Дифференциялдық теңдеулер шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теормаларды зерттеу
Кіріспе
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЬІҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМІНІҢ БАР
ЖӘНЕ ЖАЛҒЫЗ БОЛУЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР
§ 1. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы локалдық теорема
§ 2. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы глобалдық теорема
3. Қалыпты жүйе үшін Коши есебі шешімінің бар жане жалғыз болуы туралы теорема
§ 4. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЬІҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМІНІҢ БАР
ЖӘНЕ ЖАЛҒЫЗ БОЛУЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР
§ 1. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы локалдық теорема
§ 2. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы глобалдық теорема
3. Қалыпты жүйе үшін Коши есебі шешімінің бар жане жалғыз болуы туралы теорема
§ 4. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер
Алғашында дифференциалдықтеңдеулер, органдардың координаталарын анықтау үшін қажет болды, онда механика мәселелері, туындады, олардың жылдамдығы мен жеделдету, түрлі әсер уақыт функциясы ретінде қарастырылады. Теңдеулер дифференциалдық, сондай-ақ геометриялық проблемаларды,ал кейбір қарауды беріледі. Дифференциалдық теориясының негізі дифференциалдық есептеулері Лейбниц және Ньютон (1642-1727) құрылды теңдеулер. Термин «дифференциалдық теңдеулер» Лейбниц бойынша 1676 жылы ұсынған болатын.
Эйлер (1707-1783) және Лагранж (1736-1813) жұмысын ерекшеленеді дифференциалдық теңдеулер бойынша XVIII ғасырдың жұмыстардың үлкен санының. Дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелердің теориясы - Осы зерттеулердің, бірінші шағын тербелі стеориясын дамытып, және, демек, болды бір мезгілде сызықты қалгебра негізгі ұғымдар (N өлшемді жағдайда Меншікті мәндер мен векторлар) бар. Қорытындысы бойынша Ньютон мен Лагранж, Лаплас, кейінірек Гаусс (1777-1855) наразылық теориясы әдістерін әзірлеу.
Ол радикалдар алгебралық теңдеулер шешілмейтін дәлелденген кезде Иосиф Лиувилля (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теориясын құрды, бастауыш функциялары мен Квадратурные (екінші ретті сызықтық теңдеулер ретінде, атап айтқанда, мұндай классикалық) теңдеулер бірқатар шешімдерді анықтау мүмкін емес. Кейінірек С Ли (1842-1899), квадратуртеңдеулер интеграция мәселесін талдау, егжей-тегжейлі (кейінірек Ли топтары атауын алды) диффеоморфизмов тобын зерттеу қажеттігін келді — осылайша, дифференциалдық теңдеулертеориясы одан әрі әзірленді қазіргі заманғы математика ең жемісті бағыттарының бірі, пайда өте тығыз басқа да мәселелер (алгебра, тіпті бұрын қаралған Симеон-Denis Пуассон (1781-1840), және, әсіресе, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ли) байланысты.
Эйлер (1707-1783) және Лагранж (1736-1813) жұмысын ерекшеленеді дифференциалдық теңдеулер бойынша XVIII ғасырдың жұмыстардың үлкен санының. Дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелердің теориясы - Осы зерттеулердің, бірінші шағын тербелі стеориясын дамытып, және, демек, болды бір мезгілде сызықты қалгебра негізгі ұғымдар (N өлшемді жағдайда Меншікті мәндер мен векторлар) бар. Қорытындысы бойынша Ньютон мен Лагранж, Лаплас, кейінірек Гаусс (1777-1855) наразылық теориясы әдістерін әзірлеу.
Ол радикалдар алгебралық теңдеулер шешілмейтін дәлелденген кезде Иосиф Лиувилля (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теориясын құрды, бастауыш функциялары мен Квадратурные (екінші ретті сызықтық теңдеулер ретінде, атап айтқанда, мұндай классикалық) теңдеулер бірқатар шешімдерді анықтау мүмкін емес. Кейінірек С Ли (1842-1899), квадратуртеңдеулер интеграция мәселесін талдау, егжей-тегжейлі (кейінірек Ли топтары атауын алды) диффеоморфизмов тобын зерттеу қажеттігін келді — осылайша, дифференциалдық теңдеулертеориясы одан әрі әзірленді қазіргі заманғы математика ең жемісті бағыттарының бірі, пайда өте тығыз басқа да мәселелер (алгебра, тіпті бұрын қаралған Симеон-Denis Пуассон (1781-1840), және, әсіресе, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ли) байланысты.
1 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.1. «Рауан», 1991 жыл.
2 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.2. «Рауан», 1996 жыл
3 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу. А.: Мектеп,1989. – 232б.
4 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері / Б Мәукеев. – Алматы : Мектеп,1989. – 50 б.
5 Кадикенов Б.М. Дифференциалдықтеңдеулердіңесептеріменжаттығулары. Алматы. “Қазақуниверситеті”. 2002.
6 Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдықтеңдеулер. Алматы. “Қазақуниверситеті”. 2006.
7 Тілеубердиев Б. Дифференциалдықтеңдеулер. Шымкент. 2004
8 Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, “Выш. школа”, 1974.
9 Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.1988
10 Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. М., “Наука”. 1984.
11 Самойленко А.М. и другие. Дифференциальные уравнения. М. Высшая школа.1989.
12 Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.Наука. 1965.
13 Г.М.Фихтенгольц «Математикалық анализ негіздері»
14 Байбазаров М.Б. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер: Жоғары оқу орындары студенттеріне арналған оқу құралы / М.Б. Байбазаров, Ө.Д.Ершібаев. -. Алматы
15 Г.М. Фихтенгольц «Дифференциялдық және интегралдық есептеулер курсы»
16 Петровский И.Г. Лекций по теорий дифференциальных уравнений. М., «Наука» , 1984 год.
17 Потрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976 год.
18 СтепановВ.В Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1985 г.
19 Тихонов А.Н. Василева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1980 год.
20 Филипов А.Ф. Сборник задач по Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976 год.
2 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.2. «Рауан», 1996 жыл
3 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу. А.: Мектеп,1989. – 232б.
4 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері / Б Мәукеев. – Алматы : Мектеп,1989. – 50 б.
5 Кадикенов Б.М. Дифференциалдықтеңдеулердіңесептеріменжаттығулары. Алматы. “Қазақуниверситеті”. 2002.
6 Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдықтеңдеулер. Алматы. “Қазақуниверситеті”. 2006.
7 Тілеубердиев Б. Дифференциалдықтеңдеулер. Шымкент. 2004
8 Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, “Выш. школа”, 1974.
9 Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.1988
10 Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. М., “Наука”. 1984.
11 Самойленко А.М. и другие. Дифференциальные уравнения. М. Высшая школа.1989.
12 Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.Наука. 1965.
13 Г.М.Фихтенгольц «Математикалық анализ негіздері»
14 Байбазаров М.Б. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер: Жоғары оқу орындары студенттеріне арналған оқу құралы / М.Б. Байбазаров, Ө.Д.Ершібаев. -. Алматы
15 Г.М. Фихтенгольц «Дифференциялдық және интегралдық есептеулер курсы»
16 Петровский И.Г. Лекций по теорий дифференциальных уравнений. М., «Наука» , 1984 год.
17 Потрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976 год.
18 СтепановВ.В Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1985 г.
19 Тихонов А.Н. Василева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1980 год.
20 Филипов А.Ф. Сборник задач по Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976 год.
Кіріспе
Алғашында дифференциалдықтеңдеулер, органдардың координаталарын анықтау үшін қажет болды, онда механика мәселелері, туындады, олардың жылдамдығы мен жеделдету, түрлі әсер уақыт функциясы ретінде қарастырылады. Теңдеулер дифференциалдық, сондай-ақ геометриялық проблемаларды,ал кейбір қарауды беріледі. Дифференциалдық теориясының негізі дифференциалдық есептеулері Лейбниц және Ньютон (1642-1727) құрылды теңдеулер. Термин дифференциалдық теңдеулер Лейбниц бойынша 1676 жылы ұсынған болатын.
Эйлер (1707-1783) және Лагранж (1736-1813) жұмысын ерекшеленеді дифференциалдық теңдеулер бойынша XVIII ғасырдың жұмыстардың үлкен санының. Дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелердің теориясы - Осы зерттеулердің, бірінші шағын тербелі стеориясын дамытып, және, демек, болды бір мезгілде сызықты қалгебра негізгі ұғымдар (N өлшемді жағдайда Меншікті мәндер мен векторлар) бар. Қорытындысы бойынша Ньютон мен Лагранж, Лаплас, кейінірек Гаусс (1777-1855) наразылық теориясы әдістерін әзірлеу.
Ол радикалдар алгебралық теңдеулер шешілмейтін дәлелденген кезде Иосиф Лиувилля (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теориясын құрды, бастауыш функциялары мен Квадратурные (екінші ретті сызықтық теңдеулер ретінде, атап айтқанда, мұндай классикалық) теңдеулер бірқатар шешімдерді анықтау мүмкін емес. Кейінірек С Ли (1842-1899), квадратуртеңдеулер интеграция мәселесін талдау, егжей-тегжейлі (кейінірек Ли топтары атауын алды) диффеоморфизмов тобын зерттеу қажеттігін келді -- осылайша, дифференциалдық теңдеулертеориясы одан әрі әзірленді қазіргі заманғы математика ең жемісті бағыттарының бірі, пайда өте тығыз басқа да мәселелер (алгебра, тіпті бұрын қаралған Симеон-Denis Пуассон (1781-1840), және, әсіресе, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ли) байланысты.
Дифференциалдық теңдеулер теориясы дамуының жаңа кезеңі Анри Пуанкаре (1854-1912) еңбектерімен басталады, ол қазіргі заманғы топологиясы негізін қалыптасқан күрделі айнымалы функциялар теориясы дифференциалдық теңдеулер сапалық теориясы, құрылды. Сапалы дифференциалдық теңдеулер теориясы, немесе ол қазір әдетте динамикалық жүйелер теориясыдеп аталады, өйткені қазір белсенді түрде дамып және ғылым маңызды бағдарламаларды баржатыр.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Дифференциялдық теңдеулер шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теормаларды зерттеу.
Міндеті:
- Дифференциялдық теңдеулердің курстық жұмыстағы теормаларын түсіну
Зерттеу объектісі: Дифференциялдық теңдеулер.
Зерттеу пәні: Дифференциялдық теңдеулердің әдістері мен теормаларын қолдану
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен,қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Негізгі бөлім
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЬІҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМІНІҢ БАР
ЖӘНЕ ЖАЛҒЫЗ БОЛУЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР
§ 1. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы
локалдық теорема
Біз осы кезге дейін жалпы шешімі немесе интегралы тұйық түрде
(формула түрінде) табылатын дифференциалдық теңдеулерді қарастыр-
дық. Жалпы шешімінің немесе жалпы интегралының түрін квадратурада
тапқандықтан, ол тендеулердің шешімі бар немесе жоқ болатыны туралы
сұрақ қойылған жоқ. Алайда туынды бойынша шешілген бірінші ретті
теңдеулер біздер қарастырған теңдеулермен таусылмайтыны, ашығын
айтсақ, қарастырылған теңдеулер олардың тек бірлі-жарым элементар
өкілдері ғана екені айқын. Ал қалған тендеулерді интегралдау жолдары
бізге беймалім. Сондықтан теңдеулерді интегралдай алмасақ та, олардын
шешімінің бар не жоқ екенін анықтауымыз керек. Себебі, есептің шешімі
жоқ болса, оны іздеудің қажеті жоқ. Ал есептің шешімі бар екені белгілі
болса, онда оны әр түрлі жолмен, мысалы жуықтап табуға тырысамыз.
Бізден көбінесе теңдеудің барлық шешімдерін емес, бастапқы берілген
шартты қанағаттандыратын (Коши есебінің) тек бір ғана шешімін табу
сұралады. Бұл сұраққа Коши есебі шешімінін бар және жалғыз болуы
туралы теорема жауап береді. Теореманы алғаш Коши дәлелдеген. Біз
теореманы Пикар ұсынған дәйекті (жүйелі) жуықтау әдісімен
дәлелдейміз. Бұл әдіс шешімнін бар екенін дэлелдеумен бірге оны белгілі
дәлдікпен жуыктап құруға мүмкіндік береді, яғни өзінін болмысы
бойынша конструктивтік болып табылады.
ЛОКАЛДЫҚ ТЕОРЕМА. Дифференциалдық теңдеу
х =f(t,x)
және бастапқы мәндер t0, х0 берілсін.
Егер f(t,x)функциясы мына тұйық облыста
D =(t,x) =R[2]:t-t0= a, x-x0= b(a,b - белгілі оң сандар), екі шартты қанағаттандырса:
1) қос айнымалы t, х бойынша үзіліссіз; демек
.
∃supsup(t,x)∈Dft,x=M
2) х айнымалысы бойынша Лимииц шартын қанағаттандырады
яғни L 0 саны бар болып, D облысының кез келген екі t,x1 және
t,x2нүктелері үшін
ft,x1-ft,x2= Lx1-x2
теңсіздігі орындалады,L 0саны нүктелердің алынуынан тәуелді емес,
онда (1) теңдеудің
φ(t0)=x0
шартын қанағаттандыратын, [t0-h,t0+h,], һ = mina,bMкесіндісінде
анықталған, үзіліссіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешімі х = φ(t)
бар болады және ∀t∈[t0-h,t0+h,]: (t, φ(t))ϵD0⊆D
D0 = [t0-h,t0+h,]x[x0-b,x0+b,]
ДӘЛЕЛДЕУІ. Теореманың дәлелдеуін бес кезеңге бөлеміз.
I. Коши есебінің интеграпдық теңдеумен эквиваленттілігі. Айталық
x = φ(t) (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын [t0-h,t0+h,],
һ = mina,bM кесіндісіңдегі шешімі болсын. Яғни φ(t)= (t, φ(t)), ∀t∈It0h,
φ(t0)=x0
Алынған тепе-теңдікті t0 -ден t-ға дейін интегралдасақ, шешімнің
φ(t)=φt0+t0tfτ, φτdτ= с,∀t∈It0h
интегралдық тепе-теңдікті қанағаттандыратынын көреміз. Сондықтан (1),
(2) Коши есебін
х=(x0) +t0tfτ, xdτ (3)
интегралдық теңдеумен алмастыралық. Берілген теңдеудің (2) шартты
қанағаттандыратын шешімі (3) теңдеудің шешімі болатындығы көрсетідді.
Енді (3) теңдеудің шешімі (1), (2) есептің шешімі болатынын көрсетелік.
х= φ(t) (3) теңдеудін шешімі болсын. Онда φ(t0)=x0
болады да
φ(t)=φt0+t0tfτ, φτdτ= с,∀t∈It0h
Тепе-теңдігі орындалады.оң жағы үзіліссіз дифференциалданатын функция. Онда сол жағы да үзіліссіз дифференциалданады. Егер
тепе-теңдікті дифференциалдасақ, φ(t)= (t, φ(t)),,∀t∈It0h яғни (3)
тендеудің шешімі (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі
болады. Шешімдерінің осы көрсетілген ортақтығы мағынасында (1), (2)
Коши есебі мен (3) интеграддық теңдеу эквивапентті деп аталады
(саналады). Сондықтан теореманы (3) теңдеу үшін дәлелдеу жеткілікті.
2. Дәйекті жуықтау тізбегін құру. Интегралдық (3) теңдеудің
шешімін табу үшін жоғарыда айтылған Пикардың дәйекті жуықтау әді-
сін пайдаланамыз, яғни шешімге біртебірте (дәйекті түрде) жуықтайтын
функциялар (жуық шешімдер) тізбегін кұрамыз. Бастапқы (нөлдік) жуық-
тау ретінде, ізделінетін шешімнің алғашқы мәніне тепе-тең болатын
функцияны аламыз:
x(0)(t) = х0.
Келесі жуықтауларды мына формулалар
x1t=x0+t0tfτ,x0dτx2t=x0+t0tfτ,x1dτ. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..xnt=x0+t0tfτ,xn-1dτ
арқылы анықтаймыз. Мұнда t∈It0h;=[t0-h,t0+h,]Алынған
x1t,x2t,...,xnt,...
тізбегінің әрбір мүшесі It0h кесіндісіңде анықталган, үзіліссіз болады және
2) облысынан шығып кетпейді.
(t,x0t=x0)∈D0⊆D,D0 = [t0-h,t0+h,]x [x0-b,x0+b,]
x1t=x0+t0tfτ,x0dτ
Мұңдағы f(t,x0)функциясы D0облысында анықталган. D0⊆D бол-
гандықтан, ол үзіліссіз. Ал онда жоғары шегінің үзіліссіз функциясы
68
болып табылатын ннтеграл t0tfτ,x0dτ үзіліссіз. Сондыктан x1t
үзіліссіз және x1x0=x0Ал (41)-ден t = It0h болғанда
x1t-x0=t0tfτ,x0dτ=t0tfτ,x0dτ=Mt0t dτ=Mt-t0=Mh=b
Енді тізбектің үшінші мүшесін
(t,x1t)∈D0
x2t=x0+t0tfτ,x1dτ,,∀t∈It0h
қарастыралық. Интеграл астындагы fτ,x1 функциясыD0⊆D облы-
сында аныкталған. Сондықтан ол үзіліссіз. Ендеше интеграл үзіліссіз, ал
онда x2t үзіліссіз. Ал (42)-ден t∈It0hболганда
x2t-x0=t0tfτ,x0dτ=Mt-t0=Mh=b
теңсіздігін аламыз. Яғни, (t,x2t)∈D0. Сонымен бірге x2t0= х0.
Әрбір жуықтау оның алдында түрған жуықтау арқылы анықталатын-
дықтан, математикалық индукия әдісін пайдаланып, x0t, x1t
x2tүшін дәлелденгендерді тізбектің жалпы мүшесі xntүшін де
дәлелдеуге болады. Шынында да ∀n-1∈N саны үшін (t,xn-1t)∈D0,
xn-1∈C(It0h),xn-1(t0)= х0 деп есептесек, (4n) - де
xnt=x0+t0tfτ,x1dτ∈C(It0h)
болады да,
xnt-x0=t0tfτ,xn-1dτ=Mt-t0=Mh= b
шығады. Яғни Уи е N: ^,х[(л]())е Pound0 х[(л)] е с(* ) жэне х[(л](0) = х0.
3. Дәйекті жуықтау тізбегінің жинақтылығы. Кұрылған тізбегінің
It0h кесіндісінде жинақты болатынын көрсетелік. Ол үшін n -бөлікше
қосындысы 8„ тізбектің n -мүшесі xnt тең болатын функциялық
қатар
xnt+(x1t-x0t)+x2t-x1t)+ ... . +(xnt-xn-1t)+...
қарастырамыз. Бұл (6) қатардың бірқалыпты жинақтылыгынан (5) тізбек-
тің бірқалыпты жинақтылығы шығады, себебі Sn = xn '. Қатардың әрбір
мүшесін, екіншісінен бастап, Pound кесіндісінде абсолют шамасы бойынша
бағалайық
x1t-x0t=(x1t-x0)=t0tfτ,x0dτ=Mt- t0=Mh
x2t-x1t=t0tfτ,x1-fτ,x0dτ=t0t⎹⎸fτ, x1-fτ,x0⎹dτ
Енді f(t,х) функциясының Липшиц шартын қанағаттандыратынын
пайдаланалық. Онда қатардың екінші мүшесі үшін алынған бағаны
ескеріп, мына теңсіздікті
x2t-x1t=Lt0tx1τ,x0dτ=t0tfτ,x0dτ= MLt0tτ-t0dτ=
MLt-t022!=MLh22!,∀t∈It0h
аламыз. Дәл осылайша
x2t-x1t=t0tfτ,x2τ-fτ,x1τdτ=t0t⎹fτ ,x2τ-fτ,x1τ⎹dτ=
=Lt0t⎹x2τ-x1τ⎹dτ=ML2t0tt-t022!=M L2t-t032!=ML2h33!,∀t∈It0h
теңсіздігі алынады. Қатардың кез келген n -мүшесі үшін де осындай
теңсіздік орындалатынын көрсету үшін математикалық индукция әдісін
пайдаланайық.
Айталық кез келген n - 1 ∈ N саны үшін
xn-1τ-xn-2τ=MLn-2t-t0n-12!=MLn-2h n-1(n-1)!,∀t∈It0h
теңсіздігі орыңдалсын. Онда ∀n ∈ N үшін
xnt-xn-1t=t0tfτ,xn-1τ-fτ,xn-2τdτ= t0t⎹fτ,xn-1τ-fτ,xn-2τ⎹dτ=Lt0t⎹xn-1 τ-xn-2τ⎹dτ=MLn-1t0tt-t0n-1(n-1)!= MLn-1t-t0nn=MLn-1hnn!,∀t∈It0h
Сонымен (6) қатардың мүшелерінің абсолют шамасынан құрылған қатар
It0h кесіндісінде мына теңсіздікті қанағаттандырады:
⎸x0⎸+k=1infinityxkt-xk-1t=⎸ x0+ Mt-t0 +MLt-t022!+...+MLn-1t-t0nn+...=⎸x0 ⎸+Mh+ML2h22!+...+MLn-1hnn!+ ...
Теңсіздіктің оң жағындағы сандық қатар жинақты. Оны Даламбер* бел-
гісіне сүйеніп дәлелдейміз.
limn--infinityan-1an=limn--infini tyMLnhn+1n!MLn-1hn(n+1)=limn--infi nityLhn+1=01
Онда Вейерштрасс[1] белгісі бойынша функциялық қатар кесіндісінде
бірқалыпты жинақты болады. Егер қатардың қосыңдысын φ(t)деп
белгілесек, онда (5) тізбектің шегі осы φtфункциясына тең болады:
limn--infinityxnt=φ(t)
және де φt∈C(It0h) Кез келген n ∈N0:= {0}∪N үшін х[(][n][)]( t0) = х0
теңдігі орындалатыңдықтан, бұл теңдікте и n--infinity болғанда шекке көшіп
φt0=limn--infinityxnt0=limn--infi nityx0= х0
теңдігін, ягни шектік функциянын да (2) бастапқы шартты қанағаттан-
дыратынын аламыз. Егер x2t-x0=b,∀n,∀t∈It0hшекке көшсек
φt-x0=b,∀t∈It0h теңсіздігін аламыз, яғни (t, φt)∈D0
4. Шектік функция - (3) теңдеудің шешімі. Құрылған {xn } тізбегі
It0h,о кесіндісінде φt функциясына бірқалыпты жинақталуы мынаны
білдіреді:
∀ε0,∃N=N(ε):xnt-φtε,∀nN(ε) ,∀t∈It0h
Сондықтан Липшиц шартын пайдаланып,
t0tfτ,xnτdτ-t0tfτ,φτdτ=t0tfτ,xnτ-f τ,φτdτ=
=Lt0t⎹xnτ-φτ⎹dτLεt-t0=Lhε, ∀t∈It0h
теңсіздігін аламыз. Бұдан ∀t∈It0h үшін
limn--infinityt0tfτ,xnτdτ =t0tfτ,xnτdτ=t0tfτ,limn--infinityx nτdτ
теңдігі алынады. Оны пайдаланып (4) жүйедегі xnt -ны анықтайтын
(4n) тендеуінде шекке көшсек,
limn--infinityxnt=limn--infinityx nτx0+t0tfτ,xn-1τdτ--φt=
=x0+t0tfτ,xn-1τdτ, ∀t∈It0h
тепе-теңдігін аламыз. Яғни φt функциясы - It0h кесіндісіндегі (3)
интегралдық теңдеудің шешімі. Олай болса φtфункциясы - It0h
кесіндісінде анықталған (1), (2) Коши есебінің шешімі.
5. Шешімнің жалғыздығы. Коши есебі шешімінің жалғыздығын
дәлелдемес бұрын Гронуолл леммасын дәлелдейік.
Гронуолл леммасы. Егер u(t)=0, f(t) )=0, t∈(a,b)үзіліссізфункциялары
және С 0 турактысы үшін
u(t)=C+t0tfτu(τ)dτ,∀ t0,t∈(a,b)
теңсіздігі орындалатын болса, онда
u(t)=Cet0tfτdτ,∀ t0,t∈(a,b)
теңсіздіп орындалады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Лемманы әуелі ,t=t0болатын кезде дәлелдейік.
Берілген (7) теңсіздікті оң жагындағы қосындыға бөліп,
u(t)C+t0tfτu(τ)dτ=1
теңсіздігін аламыз. Бұдан екі жағын да f(t) функциясына (f(t)= 0)
көбейту арқылы
f(t)utC+t0tfτuτdτ=ft,∀t=t0
алынады. Бөлшектің бөлімінің туындысы алымына тең. Осыны ескеріп,
соңғы теңсіздікті (t0-ден кез келген t-ға t=t0 дейін интегралдасақ
t0tfτuτC+t0tfsusds=t0tfτdτ--lnC+t 0tfsusdst0t=
=t0tfτdτ-- lnC+t0tfsusds-lnC=t0tfτdτ ,∀t=t0
теңсіздігін аламыз. Потенциалдап, онан соң (7) теңсіздікті пайдалансақ
u(t)=C+t0tfτuτdτ=Cet0tτdτ
Лемма t=t0 бояган кезде дәлелденді. Лемманы t=t0 болған кезде
дәлелдеу үшін, келтірілген дәлелдеудегі t0 мен t-ны орындарымен
ауыстырса болғаны.
Егер (7) және (8) формулаларда С -- 0 кезде шекке көшсек,
лемманың С = 0 болғанда да дұрыс болатынын көреміз. Бұл жағдайда
u(t)= t0tfτu(τ)dτ,∀ t0,t∈(a,b)-- u(t)=0,∀t∈(a,b)
Енді φt шешімінің жалғыздыгын дәлелдеуге көшейік. Коши есебінің
It0h кесіндісінде анықталған φt шешімінен басқа ψtшешімі болсын.
Оның анықталу It0hарқылы белгілелік. Онда олар үшін мына
тепе-теңдіктер
φt=x0+t0tfτ,φτdτ,∀t=It0h;
ψτ=x0+t0tfτ,ψτdτ, ∀t=It0h;
орындалады. Бұл теңдіктерден It0h≔It0h∩It0hкесіңдісінде, һ0 = min(h, h*)
φt-ψt=t0tfτ,φτ-fτ,ψτdτ=t0tLφτ-ψτ dτ
∀t∈t0-h0,t0-h0=It0h
теңсіздігі алынады. Бұган Гронуолл леммасын (атап айтқанда (9)
формуланы, себебі С = 0, ал ut:=φt-ψt,f(t):= L) қолданып
φt-ψt=0, ∀t∈t0-h0,t0-h0, ягни φt=ψt,
∀t∈t0-h0,t0-h0
тепе-теңдігін аламыз. Теорема толығынан дәлелденді.
Коши есебінің шешімі t0-h0,t0-h0 кесіндісінде анықталды. Мұнда
h=min(a,bM) Бұдан һ санының а және b сандарымен қатар М санынан
да тэуелді екені көрініп тұр. Бірақ һ пен М бір-біріне кері пропорционап
тәуелділікте. Сондықтан а мен b сандары аз болмаганның өзінде, М үлкен
сан болган жағдайда һ аз сан болады. Демек бұл жагдайда t0-h0,t0-h0 кесіндісі t0 нүктесінің кішкене (локалдық) тұйық маңайы болып табыла-
ды. Сол себептен де (шешім t0нүктесінің кішкене маңайында анықта-
латындықтан) теорема локалдық деп аталып тұр. Бұл жерде маңай деп
аралық түсінілінеді.
Ескертулер. 1. Әдетте Липшиц шартының орнына көрсетілген D
облысында f(t,х) функциясы x бойынша үзіліссіз дифференциалданады
деп алады. Бұл шарт орындалганда Липшиц шарты өздігінен орындалады.
Шынында да D тұйық тіктөртбұрышында fx,(t,х) үзіліссіз
болғандыкган,
∃sup(t,х)∈Dfx,(t,х)=:L
Ал Лагранж теоремасы бойынша
f(t,х2)- f(t,х1)= fx,(t,х1+θ(x2-x1))∙( x2-x1),0=θ=1
тепе-теңдігі орындалады. Сондықтан, егер t,х1+θx2-x1 ϵ D болатын
болса, (10) теңбе-теңдіктен Липшиц шарты алынады. Мына
t,х1+θx2-x1 ϵ D 0=θ=1 деген шарт - облысыңда(t,х1) және
(t,х2) нүктелерімен қатар осы нүктелерді қосаггын түзу де тұтасымен
жатады дегенді білдіреді. Бұндай қасиетке ие D облысын х бойынша (t
өзгермей тұр) дөңес облыс деп атайды. Біз қарастырып отырған D)
тіктөртбұрышы (оның ішіндегі D0 де) екі айнымалы бойынша да дөңес
облыс.
Керісінше, f(t,х) функциясының х бойынша Липшиц шартын
қанағаттандыруынан оның х бойынша үзіліссіз дифференциалдануы шыға
бермейді. Мысалы, f(t,х):= х функциясы
f(t,х2)- f(t,х1)= x1-x2=x1-x2теңсіздігін, яғни Липшиц шартын қанағатгандырады.Мұнда L=1,
Алайда (t,0) нүктесіңде бүл функция дифференциалданбайды.
2. Тіктөртбұрыштың орнына кез келген шенелген тұйық облыс алса
да теорема өз күшін жоймайды. Тек бұл жағдайда (t0,х0) нүктесі осы
облыстың ішкі нүктесі болуы керек. Онда (t0,х0) нүктесі О облысына
өзінің түйық тіктөртбұрышты аймағымен қоса кіреді.
3. Теореманы (t0,х0) нүктесін ішінде үстайтын ашық D облысында
да дәлелдеуге болады. Бұл кезде f(t,х) функциясының осы облыста
үзіліссіз болуы, ал оның кез келген ішкі шенелген тұйық облысында х
бойынша Липшиц шартын қанағаттандыруы керек [3]. Егер ашық D
облысында f(t,х) функциясы f(t,х) пен бірге үзіліссіз болса, бүл
шарттардың орындалатынын дәлелдеуге болады [9]. Еске ала кетер жағдай
(t0,х0) нүктесі ішкі нүкте болгандықтан, оның D облысында толығынан
жататын тіктөртбұрышты аймағы бар болады. Бұл жерде аймақ деп облыс
түсініліп түр.
Мысал үшін (t,х) жазықгығықда жататын кез келген шенелген D об-
лысында:
D ={(t,x)∈R2:t∈a,b,x∈(c,d)} x =p0(t)xn+p1txn-1+...+pn(t)
теңдеуін қарастыралық. Мүнда n - бүтін сан, ал р0(t), p1 (t), ... pn(t)
Теңдеудің оң жағы D облысыңда өзінің х бойынша алынған
дербес туындысымен бірге үзіліссіз. Сондықтан D -дан алынған кез
келген бастапқы t0, х0 берілгендері үшін (яғни t0∈(a,b), х0∈(a,b)
бұл тендеудің х(t0) = х0 шартын канағаттандыратын жалғыз ғана шешімі
бар болады. Екінші сөзбен айтканда, D облысының кез келген нүктесі
арқылы теңдеудін тек бір ғана интегралдық қисығы өтеді, яғни ол нүктеде
Коши есебі шешімінің жалғыздық шарты орындалады. Сондыктан
теңдеудін барлық шешімі дара шешім болып табылады. Оның ерекше
шешімі жоқ. Бұл теңдеуден n -1 болганда сызықтык біртекті емес, гя
п-2 болганда Риккати теңдеуі алынады. Олай болса сызықтық біртекті
емес және Риккати теңдеулері үшін қойылатын Коши есебінің жалғыз ғана
шешімі бар болады. Олардың ерекше шешімі жоқ.
4. Егер f(t,х) функциясы ашық D облысында үзіліссіз болса, онда
осы облыстын әрбір (t0,х0) нүктесі арқылы (1) теңдеудің ең болмағанда
бір интегралдық қисығы өтеді, яғни (1), (2) Коши есебінің t 0 нүктесінің аз
маңайында анықталған ең болмағанда бір шешімі бар болады [2; 3]. Бұл
тұжырымды Пеано теоремасы деп атайды.
2-ТЕОРЕМА. Айталық f(t,х) функциясы (Q={(t,х) ∈ Q:t0 = t=b,
х -x0 infinity} жолағында анықталған және үзіліссіз болсын. Әрі х бойынша
Липшиц шартын қанағатгандырсын. Онда жолактан апынган кез келген
бастапкы берілгендер (t 0, х0 үшін (1), (2) Коши есебінің жалғыз гана
шешімі бар болады. Ол шешім [а,Ъ ] кесіндісінің өн бойында анықталады
және онда шенелген болады. Мұндағы Липшиц шартының орнына онан
күштірек шарт Q-да fx,(t,х) шенелген деп алуға болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Анық болу үшін t ∈ [t0,b] деп алалық та локалдық
теореманы Q[+] (Q={(t,х) ∈ R[2] :а = t=b,х infinity} жолағы үшін дәлелде-
лік. Бұл облыс х бойынша ақырсыз болғандықтан, ∀n үшін xn(t) жуық-
тауларының одан шығып кетуі бізді толғандырмайды. Сондықтан жуық-
таулардың анықталу облысына қоятын қосымша шектеудің қажеті жоқ,
яғни xn(t) функциясы [t 0,b] кесіндісінің өн бойында анықталады. Оған
қосымша xn(t) функциясы [t 0,b] кесіндісінде бірқалышы шенелген болып
шығады. Шынында да, бұл жағдайда
f(t,х)= f(t,х) - f(t,x0)+ f(t,x0) =Lx-x0+f(t, x0)=Lx+ Lx0+M0
Мұнда М0:= sup(t,х)∈Dfx,(t,х)Дәйекті жуықтаулардың формуласынан осы теңсіздікке сүйеніп,
xn(t)=x0+t0tfτ,xn-1τdτ=r + Lt0txn-1τdτ
теңсіздігін аламыз. Мұнда r:= х0 + М1(b-а), М1= М0 + L х0 . Индук-
цияны пайдаланыл мына теңсіздіктерді оңай алуға болады.
x0(t)=x0= r = reL(t-t0)
x1(t)= r + Lt0treL(t-t0)dτ= reL(t-t0)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
xn(t)=r + t0txn-1τdτ = Lt0treL(t-t0)dτ= reL(t-t0), t ∈ [t0,b]
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Бұлар {хn(t)} тізбегінің [t0,b]кесіндісінде біркалыпты шенелгеңдігін
көрсетеді. Локалдық теореманын қалған пайымдаулары өзгермей қалады.
Тек дәйекті жуықтау тізбегінін жинақтылығын дәлелдеген кезде
теоремадағы М санының орнына М0 саны қолданылады. Бұл есте
ұстайтын жай, себебі облыс шексіз жолақ болған жағдайда М санынын
ақырлы болуы міндетті емес. Тізбектің шегі limn--infinityxnt=φ+t- (1), (2)
Дәл осылайша Q[-] ={Q∈{(t,х) :а = t=b,х-x0 infinity} жолағы үшін (1), (2)
есептің [t0,b] кесіндісінде анықталған φ-t шешімін апамыз. Бұл
екі шешімнің түйісуінен шыққан шешім
φt=φ-t,t ∈ [a,t0]φ+t,t ∈ [t0,b]
(1), (2) есептің [а, b] аралыгындагы шешімін береді. Шынында да,
φ-t0=φ+t0=x0, φ-t0t0-0=φ+t0t0-0=f(t0,x0) болғандықтан φt функциясы t 0 нүктесінде үзіліссіз жэне дифференциалданатын функция болып табылады, әрі (1) теңдеуді қанағатгандырады.Оның үстіне ол φt= reL(t-t0), t ∈ [t0,b]
сызықтық біртекті емес х = -р(t)х + q(t) теңдеуін қарастыралық.
Мұндағы р(t), q(t) ∈ С[а,b] болсын. Теңдеудің оң жағы Q жолағында
үзіліссіз және х бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады. Олай болса
теңдеудің х(t0) = x0, t0 ∈ t0,b, x0infinity шартын қанағаттандыратын
жалғыз ғана шешімі [а, b] бойында анықталады.
бар болады және ол шешім кесіндісінің өн
Коши есебінің [0,6] кесіндісіндегі шешімін береді
МЫСАЛ. Дәйекті жуықтау әдісін қолданып, х = х -- t +1, x(0) =1
Коши есебінің шешімін құрыңыз.
ШЕШУІ. Мұнда t0 = 0, x0 = 1, f(t,x):= x - t + 1 функциясы
жазықтықтағы кез келген шенелген облыста үзіліссіз және х бойынша
Липшиц шартын қанағаттандырады. Жуықтаулар тізбегін құралық:
x0(t)= x0=1
xn(t)=1+t0txn-1τ-τ+1dτ,n ∈N
.
Бұдан математикалық индукция әдісін пайдаланып мынадай теңдіктер
аламыз
x0(t) = 1
x1(t)=1+t0t1-τ+1dτ =1 +2t - t22!
x2(t)=1+t0t1+2τ-τ22!-τ+1dτ =1 +2t + t22! - t33!
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
xn(t)= 1 +2t + t22! +...+ tnn! - tn+1n+1!
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Біз t бойынша шенелген облысты қарастырып отырғандықған ( t infinity ),
limn--infinityxnt=t+et
теңдігін аламыз. Шектік функция φ(t) = t+et -- берілген есептін жалгыз
шешімі.
§ 2. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы
глобалдық теорема
Біз Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуын ұзындығы
кішкене кесіндіде далелдедік. Шындығында шешім онан кеңірек аралықта
анықталады. Сондықтан шешім анықталатын аралықты толығынан
анықтаудың мәні зор.
D ⊂R2 облысында
x = f(t,x),f ∈C(D)
теңдеуі берілсін және х = φ(t) (a,b) аралығында анықталған, х = ψ(t)(c,d)
аралығында анықталган оның шешімдері болсын.
Егер (a,b) ⊂ (с,d) және φ(t)=ψ(t)болса, онда ∀t∈(a,b)
шешімі φ(t)шешімінің жалгауы (ұзартылымы) деп аталады. Егер с = а
d b болса, ол шешімнің оң жақ жалғауы, ал с = a,d b
болса сол жақ жалғауы деп аталады. Ал φ(t) шешімі ψ(t) шешімінін (а, b)
аралығындағы бөлігі (үзігі) делінеді. Егер (а, b) және (с,d) аралықтарына
бірдей жататын (α,β), α β аралыгы бар болыл, φ(t)=ψ(t)
∀t=(α,β) болса, онда φ(t) шешімін ψ(t) шешімінің (α,β),-дан (а, b)
ға ұзартылымы, ψ(t)) шешімін φ(t) шешімінің (α,β),-дан (с,d)-ға
ұзартылымы деп атайды. Бұл кезде
gt=φt,t ∈ [a,b]ψ(t),t ∈ [c,d]
функциясы (1) теңдеудін (a,b) ⊂ (с,d) аралыгындағы шешімі болады.
Егер α=β болып, (α,β) аралығы бір нүкгеге айналатын болса, ол
нүктеде φt және ψ(t) шешімдері түйіседі деп айтады. Әлбетте
шешімдердің түйісе жалғануынан тағы да шешім алынады.
ГЛОБАЛДЫҚ ТЕОРЕМА. (t0,х0) - шенелген тұйық D ⊂R2
облысының ішкі нүктесі болсын.
Егер f(t,х) функциясы I) облысында үзіліссіз және х бойынша
Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда мына Коши есебінің
x = f(t,x),x(t0) =x0
шешімін D облысының шекарасынан шекарасына дейін ұзартуга болады
(ягни екі ұшы да шекарада жататын болганга дейін).
ДӘЛЕЛДЕУІ. D облысының шекарасын С, ал Р0(t0,х0) нүктесінен
осы шекарага дейінгі қашықтықты d0 деп белгілейік:
d0=infQ∈GP0Q
Р0(t0,х0) a0=d022
тең квадрат салалык: D0{(t,х) ∈ D:t - t0 = a0,х - х0= a0}. Ол үшін
(t - t0 )2-(x - x0 )2= d024
қабырғалары а0-ге тең және координат остеріне параллель квадрат салу
жеткілікті.
D0 квадратында локалдық теореманың барлық шарты орындалып
тұр. Сондықтан
sup(t,х)∈D0f(t,х)=:M0
деп белгілесек, t0-h0,t0-h0, h0=min(a0,a0M0)
кесіндісінде анықғалған жалғыз x = φ0t шешімі бар.
Енді t0+h0 =:t1, φ0t= x1 деп алып, локалдык теореманы центрі
P1(t1, x1) болатын D0{(t,х) ∈ D:t - t1 = a1,х - х1= a1}. квадратына
қолданалық. Мұнда (t1, х1) - бастапқы нұкте, ал
a1=d122,d1=infQ∈GP0Q
Егер
sup(t,х)∈D0f(t,х)=:M1
деп белгілесек мына x = f(t,х), х(t1) = x1 Коши есебінің
t1-h1,t1-h1, h0=min(a1,a1M1)
кесіндісінде анықгалған жалғыз х =ψ(t) шешімі бар
екені алынады. Ал t0-h0,t0+h0 пен t1-h1,t1+h1
кесінділеріне ортак t1-h1,t1 кесіндісінде P1(t1, x1) нүктесінен өтетін екі (φ0t жэне ψ(t)) шешім анықталған. Шешімнің жалғыздық қасиеті бойынша ∀t∈t1-h1,t1
Сондықтан
φ1t=φ0t,t ∈ t0-h0,t0+h0=:t1ψ(t),t ∈ t1,t1+h1
шешімі φ0t шешімінін оң жак ұзартылымы болып табылады және оның
анықталу аралығы t1-h1,t1+h1 болады. Бұл φ1t шешімінін оң жақ
үшін, яғни P2(t2, x2), t2:= t1+h1, х2 := φ1t (t1+h1) нүктесін бастапқы
нүкте деп алып, шешімді одан әрі ұзартамыз. Бұл ұзартуды n - рет қайталау
нәтижесінде t0-h0,tn-1+hn-1 кесіндісінде анықталған (2) есептің
φn-1t шешімін аламыз.
Мұнда tn-1 = t0+h0+h1+hn-2 hj≔minaj,ajMj sup(t,х)∈Djf(t,х)=:Mj
j = 1, ... .,n-1. Екі жағдай болуы мүмкін
1 Pn(tn, xn) ∈G, tn:= tn-1+hn-1, xn:= φn-1( tn )
2. Pn(tn, xn) - D облысының ішкі нүктесі.
Бірінші жагдайда теорема дэлелденді. Екінші жағдайда ұзартуды одан әрі
жалғастырамыз. Шексіз қайталау нәтижесінде {Рn} infinity тізбегін аламыз.
Тізбектің мүшелері infQ∈G PjQ0 шартын қанағаттандырады. Сандар
тізбегі {tj} өспелі, себебі tj=tj-1+hj-1 Ал D облысы
шенелген болғандықтан бұл тізбек жоғарыдан шектелген. Сондықтан
оның шегі бар: limtjj--infinity=bШешімді ұзарту нәтижесінде алынған
t0+h0,b] аралығында анықталган шешімді φ( t ) деп белгілелік. Бұл
шешімнің b нүктесінде сол жақтан үзіліссіз болатынын көрсетелік. Кез
келген ε 0 саны үшін ε2M -нен кіші болатын δ санын алалық, яғни
δε2M
Онда мына теңсіздіктерді 0 b - t, δ, 0 b - t,, δ
қанағаттандыратын t, пен t,, сандары үшін
φt,-φt,,=t,t,,φτdτ=t0tfτ,φτdτ=Mt, -t,,2Mδε
теңсіздігі орындалады, яғни Кошидің шарты (критериі) орындалып тұр.
Олай болса φt шешімінің b нүктесінде шегі бар. Шешімнің b
нүктесіндсгі мэні үшін осы шекті алалық: φb = limt--b-0φt . Сонда φt
шешімі t0+h0,b кесіндісінде анықталған, үзіліссіз болады. Сонымен,
lim Pj(tj, xj) j--infinity= P(b, φb)
Енді P(b, φb)нүктесінің облыстың шекарасында жататынын көрсетелік.
Кері жорып Р∉G делік. Онда екі жағдай болуы мүмкін.
1. Р нүктесі D облысының сыртында жатады. Онда D - ның
сыртында тұтасынан жататын Р - ның маңайы Up бар. Демек
∃n1∀jn1:Pj∈Up Ал бұл барлық Pj∈D дегенге қайшы, себебі
D∪UP= ∅
2. Р нүктесі D облысының ішінде жатады, яғни Р нүктесімен бірге
оның ε маңайы UPε да D облысына тұтасынан кіреді. Р нүктесін центр
етіп алып радиусы ε2 -ге тең дөңгелек салалық. Сонда ∃n2, ∀j n2 : Pj∈UPε2. Демек
∀jn2--aj=d122=ε42,dj=infQ∈GPjQ =ε2
Ал бұдан
hj≔minaj,ajMj= min(ε42,ε42M)=:h0, ∀jn2
Сондықтан hj= tj+1+tjh0--tj--infinity,j--inf inity Бұл мына теңдікке
limtjj--infinity=b infinity қайшы.Сонымен кері жору дұрыс емес, Р ∈ G.
Дәл осы жүргізген оңға қарай ұзарту сияқты шешімді сол жаққа
қарай да ұзартуға болады. Нәтижесінде алынатын шешімнің сол жақ ұшы
а:= limtjj--infinity, tj= tj-1+hj-1болсын. Сол [а, t0+h0] кесіндісінде анықта-
латын шешімді ψ(t) деп белгілелік: ψ(t) = φt, ∀tϵ[t0-h0, t0+h0]
Сондықтан φt мен ψ(t) бірі бірінің жалғауы. Ал Q(a; ψ(a))
Теорема дәлелденді.
Ұзарту нәтижесінде алынған шешімнің ұштары G -да жатқаңдықтан
ұзартылмайтын шешім облыстың шекарасынан шекарасына дейін
жетеді деп айтады. Әрі қарай ұзартылмайтын шешімнің анықталу
аралығы осы шешімнің бар болуының ең үлкен аралығы деп аталады.
Мысалы, (2) есептің шешімі бар болатын ең үлкен аралық - [а, b].
Ескертулер. 1. Коши есебі шешімін бастапқы (t0,х0) нүктесі кіретін
кез келген ашық D облысында да ұзартуға болады. Бұл кезде алынатын
ұзартылмайтын шешімнің ұштары D облысының кез келген шенелген ішкі
облысынан шығып, D -нын шекарасына ақырсыз жақындайды [3;9].
2. D облысы мынадай ашық жолақ D{(t,х) ∈ R2: a t b}
x infinity}, түріңде болсын. Мұнда а, b сандары меншіксіз мәндерге ие,
яғни а = -infinity, b = +infinity болулары да мүмкін.
2-ТЕОРЕМА. Егер f(t,х) функциясы D жолағында анықталған,
үзіліссіз және х бойынша үзіліссіз дифференциалданатын болып, әрі мына
теңсіздікті
dfdx=L(t),∀t∈a,b, L(t)∈C(a,b)
қанағаттандырса, онда кез келген бекітілген бастапқы берілгендер
(t0,х0) ∈ D (яғни t0∈a,b, ) үшін (2) Коши есебінің жалғыз ғана шешімі
бар болады және ол шешім (а, b) интервалының өн бойында анықталады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Тұтасымен D -ның ішінде орналасқан мына жолақта
Q = {(t,х) ⊂D: α= t = β}x infinity}, a αβ bөткен параграфтагы 2-
теорема орындалады. Онда дәйекті жуықтау тізбегінін жинақтылығын
дәлелдеу барысында
М0:= supα,β∈tf(t,х), L≔supα,β∈tL(t)
сандарының қолданылатыны айтылған болатын. Бұл М0, L сандарының
[α,β]-ға тәуелді екені, әрі [α,β] үлкейген сайын олардың өсетіні
түсінікті. Дегенмен кез келген a,b∈t нүктесін қоршайтын [α,β]
кесіндісі табылып ([α,β] ⊂ (а,b)) және ол кесіндіде (2) есептің жалғыз
шешімі анықталады. Демек шешім ∀t∈α,β нүктесінде анықталады.
Бұл жерде бір кесіндіден оны қамтитын екінші кесіндіге көшкенде
алынатын шешім бірінші кесіндіде анықталатын шешімнің жалғауы
болатынын ескерген жөн. Мысалы, мынадай кесінділер
[α1 ,β1] ⊂ [α2 ,β2] ⊂... ⊂ [αn ,βn] ⊂... ⊂ (а,b).
limαnn--infinity=a, limβnn--infinity=b
тізбегін алсақ, әрбір [αn ,βn] кесіндісінде (2) есептің жалғыз ғана шешімі
бар болғандықтан, онда анықталған шешім [αn-1 ,βn-1] кесіндісінде
анықталған шешімнің жалғауы болып табылады. Сондықтан (2) есептің
(а,b) = n-1infinity[αn ,βn]
интервалының өн бойында анықталған жалғыз ғана шешімі бар. Теорема
дәлелденді.
Мысал үшін сызықтық біртекті емес
x= -p(t)x+q(t)
теңдеуін карастыралық. Мұнда р(t),q(t) ∈ С(а,b). Демек
f(t,х) := -р(t)х + q(t) ∈ С(D), D={(t,x) ∈ R[2] : а t b,х infinity} және
dfdx= pt Сондықтан кез келген (t0,х0) ∈ D үшін теңдеудің
Жалғыз ғана шешімі бар және ол шешім (а, b) интервалынын өн бойында
анықталган. Бұл тұжырымның [а,b] кесіндісінде дұрыстығы ілгеріде
дәлелденді (§ 1, 2-теорема). Сондықтан енді оны кез келген (а,b) аралы-
ғына қатысты айта беруге болады.
3. Біз бастапкы шарт арқылы анықталатын дара шешімнің бар болуын
дәлелдедік. Бірақ бұл теореманы пайдаланып жалпы шешімнін де бар
болатынын көрсетуге болады [2; 9].
Ашық D облысында (2) Коши есебінің жалғыз ғана шешімі бар
болсын, оны х = φ(t,t0,х0) деп белгілелік. Бұл қатынас (2) есептің
шешімінің t0,х0 -дерден тәуелді болатынын көрсетіп тұр. Әлбетте
φ (t0,t0,х0) = х0,(t0,х0) ∈D. Шешім [t0-h0, t0+h0] кесіндісінде анықталсын да һ саны ,(t0,х0) ∈ D0 нүктесінің орнынан тәуелсіз болсын.
Мұңдағы D0 - шекарасымен қоса й облысында жататын тұйық облыс.
Демек t-h0, = h жэне ,(t0,х0) ∈ D0 болғанда , (t, φ(t,t0,х0) ∈ D болады.
Енді t0-ді бұрынғыша берілген сан (тиянақты мән) деп, ал x0-ді
(t0,х0) ∈ D0 шарты орындалатындай кез келген сандық мән қабылдай
алатын параметр деп есептелік. Сонда қандай да бір D ∈ D0 облысында
бұл шешім (1) теңдеудің жалпы шешімін береді. Мұнда
(t, φ(t,t0,х0) ∈ D , ∀tϵ[t0-h0, t0+h0],∀( t0, x0) ∈ D0
Аталған шешімнін жалпы шешім болатынын дәлелдеу үшін әрбір
( t*,х*) ∈ D үшін х* = φ(t*,t0,х0) теңдігін қанағатгандыратын х0 мәнінің
бар болатынын көрсету жеткілікті. Оны аналитикалық жолмен табу үшін
соңғы теңдік х0 бойынша шешілуі қажет. Кез келген ( t*,х*) ∈ D⊂D0
нүктесін алып, х* = ψ(t*,t0,х0) шешімін қүралық. Мұндағы
t*∈ [t0-h0, t0+h0]
болгандықган, шешім t = t0 нүктесінде де анықталады және ол нүктеде
белгілі бір х0 мәнін қабылдайды, яғни х0 = φ (t0,t*,х*) теңдігі орында-
лады. Енді осы t0, х0 мәндері арқылы анықгалатын шешімді қарастыра-
лық. Ол үшін х0-дің мәнін х = φ(t,t0,х0) формулаға апарып қоялық:
х = φ(t,t0 ψ(t*,t0,х0)) Бұл интегралдық қисық пен х = φ (t,t0,х0) ингег-
ралдық қисығынын ортақ (t0,х0) нүктесі бар. Сондықтан олардың бірі
екіншісінің жалғауы болады. Олай болса соңғы шешім (t*,х*) нүктесінен
өтеді, яғни х* = φ(t*,t0 ψ(,t0, t*,х*)) Тұжырым дәлелденді.
Қарастырылатын облыс тұйық болса, бұл дәлелдеу тіпті орынды
болатыны өздігінен түсінікті. Егер D облысы ретінде t- t0=a, x- x0 =b
тіктөртбұрышы алынса, онда D0үшін, мысалы t- t0=a2, x- x0 =b2 ішкі тіктөртбұрышын алуға болады. Сонда h = h12
болады. Мұндағы
h1≔mina,aM supDf(t,х)=M
Сонымен х0 параметр деп есептелгенде жалпы шешімді мына түрде
алдық. х = φ (t,t0,х0) Әдетте оны Коши түріндегі жалпы шешім деп
атайды. Егер кез келген тұрақты мән қабылдайтын параметрді (еркін
тұрақтыны) С әрпімен белгілесек, жалпы шешімнің кәдімгі түрін аламыз:
х = φ (t,C)
Жаппы шешімді құру барысында көрсетілген оның қасиеттері бұрын
келтірілген жалпы шешімнің анықтамасын береді.
3. Қалыпты жүйе үшін Коши есебі шешімінің бар жане жалғыз
болуы туралы теорема
Тәуелсіз айнымалы t біреу ғана болсын да, ізделінетін функциялар
xj бірнешеу (j = 1,2,...,n) болсын. Туыңды бойынша шешілген бірінші
ретті дифференциалдық теңдеулерден тұратын жүйе қарастыралық:
x1=f1(t,x1, ... xn) ... ... ... ... . ...xn=fn(t,xn, ... xn)
Мұндай жүйені дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі деп
атайды. Жүйеге кіріп тұрған дифференциалдық теңдеулердің саны
қалыпты жүйенің реті деп аталады.
Айталық f1,..., fn функциялары t,x1, ... xn айнымалыларының n + 1
өлшемді кеңістігі Rt,x1, ... xn1+n -де жататын D облысында аныкталсын.
Ықшамдылық үшін Rt,x1, ... xn1+nкеңістігін R1+n символымен белгілейік.
Қандай да болмасын бір (а,b) аралығында анықталған және диффе-
ренциалданатын x1 =φ1t, ... .., xn =φntфункциялар жиынтығы мына
екі шартты
1)( t, φ1t, ... .., φnt) ∈D,∀t∈(a,b)
2)φ1t=( t, φ1t, ... .., φnt) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..φnt=( t, φnt, ... .., φnt) ∀t∈(a,b)
қанағаттандыратын болса, онда оны (1) жүйенің (а,Ь) аралығындағы
шешімі деп атайды.
Егер f1,..., fn функциялары D облысында үзіліссіз болса, онда
шешім (а,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданады, яғни
∀j = 1,...,n: f1 ( t, x1, ... .., xn) ∈C (D) = ∀j = 1,...,n: φjt∈C(a,b )
Жүйенің шешімін табу үдерісі оны интегралдау деп аталады. Жүйенің кез
келген φ1t, ... .., φnt шешімін R1+n кеңістігінде геометриялық тұрғыдан қисық ретінде бейнелеуге болады. Ол қисық (1) жүйенің интегралдық қисығы деп аталынады. Аталған кеңістікке ішкі болып табылатын x1, ... .., xn айнымалыларының n өлшемді кеңістігі Rx1, ... xnn х фазалық кеңістік деп аталады. Интегралдық кисықтың фазалық кеңістікке проекциясы фазалық траектория деп аталынады. D облысының әрбір нүктесінде (1) жүйе r = (1, f1,..., fn) векторымен берілетін бағыт анықтайды. Әрбір нүктесінде бағыт берілген осындай облыс D ⊂Rt,x1, ... xn1+nбағыттар өрісі деп аталады. Геометриялық тұрғыдан қарағанда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Алғашында дифференциалдықтеңдеулер, органдардың координаталарын анықтау үшін қажет болды, онда механика мәселелері, туындады, олардың жылдамдығы мен жеделдету, түрлі әсер уақыт функциясы ретінде қарастырылады. Теңдеулер дифференциалдық, сондай-ақ геометриялық проблемаларды,ал кейбір қарауды беріледі. Дифференциалдық теориясының негізі дифференциалдық есептеулері Лейбниц және Ньютон (1642-1727) құрылды теңдеулер. Термин дифференциалдық теңдеулер Лейбниц бойынша 1676 жылы ұсынған болатын.
Эйлер (1707-1783) және Лагранж (1736-1813) жұмысын ерекшеленеді дифференциалдық теңдеулер бойынша XVIII ғасырдың жұмыстардың үлкен санының. Дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелердің теориясы - Осы зерттеулердің, бірінші шағын тербелі стеориясын дамытып, және, демек, болды бір мезгілде сызықты қалгебра негізгі ұғымдар (N өлшемді жағдайда Меншікті мәндер мен векторлар) бар. Қорытындысы бойынша Ньютон мен Лагранж, Лаплас, кейінірек Гаусс (1777-1855) наразылық теориясы әдістерін әзірлеу.
Ол радикалдар алгебралық теңдеулер шешілмейтін дәлелденген кезде Иосиф Лиувилля (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теориясын құрды, бастауыш функциялары мен Квадратурные (екінші ретті сызықтық теңдеулер ретінде, атап айтқанда, мұндай классикалық) теңдеулер бірқатар шешімдерді анықтау мүмкін емес. Кейінірек С Ли (1842-1899), квадратуртеңдеулер интеграция мәселесін талдау, егжей-тегжейлі (кейінірек Ли топтары атауын алды) диффеоморфизмов тобын зерттеу қажеттігін келді -- осылайша, дифференциалдық теңдеулертеориясы одан әрі әзірленді қазіргі заманғы математика ең жемісті бағыттарының бірі, пайда өте тығыз басқа да мәселелер (алгебра, тіпті бұрын қаралған Симеон-Denis Пуассон (1781-1840), және, әсіресе, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ли) байланысты.
Дифференциалдық теңдеулер теориясы дамуының жаңа кезеңі Анри Пуанкаре (1854-1912) еңбектерімен басталады, ол қазіргі заманғы топологиясы негізін қалыптасқан күрделі айнымалы функциялар теориясы дифференциалдық теңдеулер сапалық теориясы, құрылды. Сапалы дифференциалдық теңдеулер теориясы, немесе ол қазір әдетте динамикалық жүйелер теориясыдеп аталады, өйткені қазір белсенді түрде дамып және ғылым маңызды бағдарламаларды баржатыр.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Мақсаты: Дифференциялдық теңдеулер шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теормаларды зерттеу.
Міндеті:
- Дифференциялдық теңдеулердің курстық жұмыстағы теормаларын түсіну
Зерттеу объектісі: Дифференциялдық теңдеулер.
Зерттеу пәні: Дифференциялдық теңдеулердің әдістері мен теормаларын қолдану
Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен,қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Негізгі бөлім
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЬІҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМІНІҢ БАР
ЖӘНЕ ЖАЛҒЫЗ БОЛУЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР
§ 1. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы
локалдық теорема
Біз осы кезге дейін жалпы шешімі немесе интегралы тұйық түрде
(формула түрінде) табылатын дифференциалдық теңдеулерді қарастыр-
дық. Жалпы шешімінің немесе жалпы интегралының түрін квадратурада
тапқандықтан, ол тендеулердің шешімі бар немесе жоқ болатыны туралы
сұрақ қойылған жоқ. Алайда туынды бойынша шешілген бірінші ретті
теңдеулер біздер қарастырған теңдеулермен таусылмайтыны, ашығын
айтсақ, қарастырылған теңдеулер олардың тек бірлі-жарым элементар
өкілдері ғана екені айқын. Ал қалған тендеулерді интегралдау жолдары
бізге беймалім. Сондықтан теңдеулерді интегралдай алмасақ та, олардын
шешімінің бар не жоқ екенін анықтауымыз керек. Себебі, есептің шешімі
жоқ болса, оны іздеудің қажеті жоқ. Ал есептің шешімі бар екені белгілі
болса, онда оны әр түрлі жолмен, мысалы жуықтап табуға тырысамыз.
Бізден көбінесе теңдеудің барлық шешімдерін емес, бастапқы берілген
шартты қанағаттандыратын (Коши есебінің) тек бір ғана шешімін табу
сұралады. Бұл сұраққа Коши есебі шешімінін бар және жалғыз болуы
туралы теорема жауап береді. Теореманы алғаш Коши дәлелдеген. Біз
теореманы Пикар ұсынған дәйекті (жүйелі) жуықтау әдісімен
дәлелдейміз. Бұл әдіс шешімнін бар екенін дэлелдеумен бірге оны белгілі
дәлдікпен жуыктап құруға мүмкіндік береді, яғни өзінін болмысы
бойынша конструктивтік болып табылады.
ЛОКАЛДЫҚ ТЕОРЕМА. Дифференциалдық теңдеу
х =f(t,x)
және бастапқы мәндер t0, х0 берілсін.
Егер f(t,x)функциясы мына тұйық облыста
D =(t,x) =R[2]:t-t0= a, x-x0= b(a,b - белгілі оң сандар), екі шартты қанағаттандырса:
1) қос айнымалы t, х бойынша үзіліссіз; демек
.
∃supsup(t,x)∈Dft,x=M
2) х айнымалысы бойынша Лимииц шартын қанағаттандырады
яғни L 0 саны бар болып, D облысының кез келген екі t,x1 және
t,x2нүктелері үшін
ft,x1-ft,x2= Lx1-x2
теңсіздігі орындалады,L 0саны нүктелердің алынуынан тәуелді емес,
онда (1) теңдеудің
φ(t0)=x0
шартын қанағаттандыратын, [t0-h,t0+h,], һ = mina,bMкесіндісінде
анықталған, үзіліссіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешімі х = φ(t)
бар болады және ∀t∈[t0-h,t0+h,]: (t, φ(t))ϵD0⊆D
D0 = [t0-h,t0+h,]x[x0-b,x0+b,]
ДӘЛЕЛДЕУІ. Теореманың дәлелдеуін бес кезеңге бөлеміз.
I. Коши есебінің интеграпдық теңдеумен эквиваленттілігі. Айталық
x = φ(t) (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын [t0-h,t0+h,],
һ = mina,bM кесіндісіңдегі шешімі болсын. Яғни φ(t)= (t, φ(t)), ∀t∈It0h,
φ(t0)=x0
Алынған тепе-теңдікті t0 -ден t-ға дейін интегралдасақ, шешімнің
φ(t)=φt0+t0tfτ, φτdτ= с,∀t∈It0h
интегралдық тепе-теңдікті қанағаттандыратынын көреміз. Сондықтан (1),
(2) Коши есебін
х=(x0) +t0tfτ, xdτ (3)
интегралдық теңдеумен алмастыралық. Берілген теңдеудің (2) шартты
қанағаттандыратын шешімі (3) теңдеудің шешімі болатындығы көрсетідді.
Енді (3) теңдеудің шешімі (1), (2) есептің шешімі болатынын көрсетелік.
х= φ(t) (3) теңдеудін шешімі болсын. Онда φ(t0)=x0
болады да
φ(t)=φt0+t0tfτ, φτdτ= с,∀t∈It0h
Тепе-теңдігі орындалады.оң жағы үзіліссіз дифференциалданатын функция. Онда сол жағы да үзіліссіз дифференциалданады. Егер
тепе-теңдікті дифференциалдасақ, φ(t)= (t, φ(t)),,∀t∈It0h яғни (3)
тендеудің шешімі (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі
болады. Шешімдерінің осы көрсетілген ортақтығы мағынасында (1), (2)
Коши есебі мен (3) интеграддық теңдеу эквивапентті деп аталады
(саналады). Сондықтан теореманы (3) теңдеу үшін дәлелдеу жеткілікті.
2. Дәйекті жуықтау тізбегін құру. Интегралдық (3) теңдеудің
шешімін табу үшін жоғарыда айтылған Пикардың дәйекті жуықтау әді-
сін пайдаланамыз, яғни шешімге біртебірте (дәйекті түрде) жуықтайтын
функциялар (жуық шешімдер) тізбегін кұрамыз. Бастапқы (нөлдік) жуық-
тау ретінде, ізделінетін шешімнің алғашқы мәніне тепе-тең болатын
функцияны аламыз:
x(0)(t) = х0.
Келесі жуықтауларды мына формулалар
x1t=x0+t0tfτ,x0dτx2t=x0+t0tfτ,x1dτ. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..xnt=x0+t0tfτ,xn-1dτ
арқылы анықтаймыз. Мұнда t∈It0h;=[t0-h,t0+h,]Алынған
x1t,x2t,...,xnt,...
тізбегінің әрбір мүшесі It0h кесіндісіңде анықталган, үзіліссіз болады және
2) облысынан шығып кетпейді.
(t,x0t=x0)∈D0⊆D,D0 = [t0-h,t0+h,]x [x0-b,x0+b,]
x1t=x0+t0tfτ,x0dτ
Мұңдағы f(t,x0)функциясы D0облысында анықталган. D0⊆D бол-
гандықтан, ол үзіліссіз. Ал онда жоғары шегінің үзіліссіз функциясы
68
болып табылатын ннтеграл t0tfτ,x0dτ үзіліссіз. Сондыктан x1t
үзіліссіз және x1x0=x0Ал (41)-ден t = It0h болғанда
x1t-x0=t0tfτ,x0dτ=t0tfτ,x0dτ=Mt0t dτ=Mt-t0=Mh=b
Енді тізбектің үшінші мүшесін
(t,x1t)∈D0
x2t=x0+t0tfτ,x1dτ,,∀t∈It0h
қарастыралық. Интеграл астындагы fτ,x1 функциясыD0⊆D облы-
сында аныкталған. Сондықтан ол үзіліссіз. Ендеше интеграл үзіліссіз, ал
онда x2t үзіліссіз. Ал (42)-ден t∈It0hболганда
x2t-x0=t0tfτ,x0dτ=Mt-t0=Mh=b
теңсіздігін аламыз. Яғни, (t,x2t)∈D0. Сонымен бірге x2t0= х0.
Әрбір жуықтау оның алдында түрған жуықтау арқылы анықталатын-
дықтан, математикалық индукия әдісін пайдаланып, x0t, x1t
x2tүшін дәлелденгендерді тізбектің жалпы мүшесі xntүшін де
дәлелдеуге болады. Шынында да ∀n-1∈N саны үшін (t,xn-1t)∈D0,
xn-1∈C(It0h),xn-1(t0)= х0 деп есептесек, (4n) - де
xnt=x0+t0tfτ,x1dτ∈C(It0h)
болады да,
xnt-x0=t0tfτ,xn-1dτ=Mt-t0=Mh= b
шығады. Яғни Уи е N: ^,х[(л]())е Pound0 х[(л)] е с(* ) жэне х[(л](0) = х0.
3. Дәйекті жуықтау тізбегінің жинақтылығы. Кұрылған тізбегінің
It0h кесіндісінде жинақты болатынын көрсетелік. Ол үшін n -бөлікше
қосындысы 8„ тізбектің n -мүшесі xnt тең болатын функциялық
қатар
xnt+(x1t-x0t)+x2t-x1t)+ ... . +(xnt-xn-1t)+...
қарастырамыз. Бұл (6) қатардың бірқалыпты жинақтылыгынан (5) тізбек-
тің бірқалыпты жинақтылығы шығады, себебі Sn = xn '. Қатардың әрбір
мүшесін, екіншісінен бастап, Pound кесіндісінде абсолют шамасы бойынша
бағалайық
x1t-x0t=(x1t-x0)=t0tfτ,x0dτ=Mt- t0=Mh
x2t-x1t=t0tfτ,x1-fτ,x0dτ=t0t⎹⎸fτ, x1-fτ,x0⎹dτ
Енді f(t,х) функциясының Липшиц шартын қанағаттандыратынын
пайдаланалық. Онда қатардың екінші мүшесі үшін алынған бағаны
ескеріп, мына теңсіздікті
x2t-x1t=Lt0tx1τ,x0dτ=t0tfτ,x0dτ= MLt0tτ-t0dτ=
MLt-t022!=MLh22!,∀t∈It0h
аламыз. Дәл осылайша
x2t-x1t=t0tfτ,x2τ-fτ,x1τdτ=t0t⎹fτ ,x2τ-fτ,x1τ⎹dτ=
=Lt0t⎹x2τ-x1τ⎹dτ=ML2t0tt-t022!=M L2t-t032!=ML2h33!,∀t∈It0h
теңсіздігі алынады. Қатардың кез келген n -мүшесі үшін де осындай
теңсіздік орындалатынын көрсету үшін математикалық индукция әдісін
пайдаланайық.
Айталық кез келген n - 1 ∈ N саны үшін
xn-1τ-xn-2τ=MLn-2t-t0n-12!=MLn-2h n-1(n-1)!,∀t∈It0h
теңсіздігі орыңдалсын. Онда ∀n ∈ N үшін
xnt-xn-1t=t0tfτ,xn-1τ-fτ,xn-2τdτ= t0t⎹fτ,xn-1τ-fτ,xn-2τ⎹dτ=Lt0t⎹xn-1 τ-xn-2τ⎹dτ=MLn-1t0tt-t0n-1(n-1)!= MLn-1t-t0nn=MLn-1hnn!,∀t∈It0h
Сонымен (6) қатардың мүшелерінің абсолют шамасынан құрылған қатар
It0h кесіндісінде мына теңсіздікті қанағаттандырады:
⎸x0⎸+k=1infinityxkt-xk-1t=⎸ x0+ Mt-t0 +MLt-t022!+...+MLn-1t-t0nn+...=⎸x0 ⎸+Mh+ML2h22!+...+MLn-1hnn!+ ...
Теңсіздіктің оң жағындағы сандық қатар жинақты. Оны Даламбер* бел-
гісіне сүйеніп дәлелдейміз.
limn--infinityan-1an=limn--infini tyMLnhn+1n!MLn-1hn(n+1)=limn--infi nityLhn+1=01
Онда Вейерштрасс[1] белгісі бойынша функциялық қатар кесіндісінде
бірқалыпты жинақты болады. Егер қатардың қосыңдысын φ(t)деп
белгілесек, онда (5) тізбектің шегі осы φtфункциясына тең болады:
limn--infinityxnt=φ(t)
және де φt∈C(It0h) Кез келген n ∈N0:= {0}∪N үшін х[(][n][)]( t0) = х0
теңдігі орындалатыңдықтан, бұл теңдікте и n--infinity болғанда шекке көшіп
φt0=limn--infinityxnt0=limn--infi nityx0= х0
теңдігін, ягни шектік функциянын да (2) бастапқы шартты қанағаттан-
дыратынын аламыз. Егер x2t-x0=b,∀n,∀t∈It0hшекке көшсек
φt-x0=b,∀t∈It0h теңсіздігін аламыз, яғни (t, φt)∈D0
4. Шектік функция - (3) теңдеудің шешімі. Құрылған {xn } тізбегі
It0h,о кесіндісінде φt функциясына бірқалыпты жинақталуы мынаны
білдіреді:
∀ε0,∃N=N(ε):xnt-φtε,∀nN(ε) ,∀t∈It0h
Сондықтан Липшиц шартын пайдаланып,
t0tfτ,xnτdτ-t0tfτ,φτdτ=t0tfτ,xnτ-f τ,φτdτ=
=Lt0t⎹xnτ-φτ⎹dτLεt-t0=Lhε, ∀t∈It0h
теңсіздігін аламыз. Бұдан ∀t∈It0h үшін
limn--infinityt0tfτ,xnτdτ =t0tfτ,xnτdτ=t0tfτ,limn--infinityx nτdτ
теңдігі алынады. Оны пайдаланып (4) жүйедегі xnt -ны анықтайтын
(4n) тендеуінде шекке көшсек,
limn--infinityxnt=limn--infinityx nτx0+t0tfτ,xn-1τdτ--φt=
=x0+t0tfτ,xn-1τdτ, ∀t∈It0h
тепе-теңдігін аламыз. Яғни φt функциясы - It0h кесіндісіндегі (3)
интегралдық теңдеудің шешімі. Олай болса φtфункциясы - It0h
кесіндісінде анықталған (1), (2) Коши есебінің шешімі.
5. Шешімнің жалғыздығы. Коши есебі шешімінің жалғыздығын
дәлелдемес бұрын Гронуолл леммасын дәлелдейік.
Гронуолл леммасы. Егер u(t)=0, f(t) )=0, t∈(a,b)үзіліссізфункциялары
және С 0 турактысы үшін
u(t)=C+t0tfτu(τ)dτ,∀ t0,t∈(a,b)
теңсіздігі орындалатын болса, онда
u(t)=Cet0tfτdτ,∀ t0,t∈(a,b)
теңсіздіп орындалады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Лемманы әуелі ,t=t0болатын кезде дәлелдейік.
Берілген (7) теңсіздікті оң жагындағы қосындыға бөліп,
u(t)C+t0tfτu(τ)dτ=1
теңсіздігін аламыз. Бұдан екі жағын да f(t) функциясына (f(t)= 0)
көбейту арқылы
f(t)utC+t0tfτuτdτ=ft,∀t=t0
алынады. Бөлшектің бөлімінің туындысы алымына тең. Осыны ескеріп,
соңғы теңсіздікті (t0-ден кез келген t-ға t=t0 дейін интегралдасақ
t0tfτuτC+t0tfsusds=t0tfτdτ--lnC+t 0tfsusdst0t=
=t0tfτdτ-- lnC+t0tfsusds-lnC=t0tfτdτ ,∀t=t0
теңсіздігін аламыз. Потенциалдап, онан соң (7) теңсіздікті пайдалансақ
u(t)=C+t0tfτuτdτ=Cet0tτdτ
Лемма t=t0 бояган кезде дәлелденді. Лемманы t=t0 болған кезде
дәлелдеу үшін, келтірілген дәлелдеудегі t0 мен t-ны орындарымен
ауыстырса болғаны.
Егер (7) және (8) формулаларда С -- 0 кезде шекке көшсек,
лемманың С = 0 болғанда да дұрыс болатынын көреміз. Бұл жағдайда
u(t)= t0tfτu(τ)dτ,∀ t0,t∈(a,b)-- u(t)=0,∀t∈(a,b)
Енді φt шешімінің жалғыздыгын дәлелдеуге көшейік. Коши есебінің
It0h кесіндісінде анықталған φt шешімінен басқа ψtшешімі болсын.
Оның анықталу It0hарқылы белгілелік. Онда олар үшін мына
тепе-теңдіктер
φt=x0+t0tfτ,φτdτ,∀t=It0h;
ψτ=x0+t0tfτ,ψτdτ, ∀t=It0h;
орындалады. Бұл теңдіктерден It0h≔It0h∩It0hкесіңдісінде, һ0 = min(h, h*)
φt-ψt=t0tfτ,φτ-fτ,ψτdτ=t0tLφτ-ψτ dτ
∀t∈t0-h0,t0-h0=It0h
теңсіздігі алынады. Бұган Гронуолл леммасын (атап айтқанда (9)
формуланы, себебі С = 0, ал ut:=φt-ψt,f(t):= L) қолданып
φt-ψt=0, ∀t∈t0-h0,t0-h0, ягни φt=ψt,
∀t∈t0-h0,t0-h0
тепе-теңдігін аламыз. Теорема толығынан дәлелденді.
Коши есебінің шешімі t0-h0,t0-h0 кесіндісінде анықталды. Мұнда
h=min(a,bM) Бұдан һ санының а және b сандарымен қатар М санынан
да тэуелді екені көрініп тұр. Бірақ һ пен М бір-біріне кері пропорционап
тәуелділікте. Сондықтан а мен b сандары аз болмаганның өзінде, М үлкен
сан болган жағдайда һ аз сан болады. Демек бұл жагдайда t0-h0,t0-h0 кесіндісі t0 нүктесінің кішкене (локалдық) тұйық маңайы болып табыла-
ды. Сол себептен де (шешім t0нүктесінің кішкене маңайында анықта-
латындықтан) теорема локалдық деп аталып тұр. Бұл жерде маңай деп
аралық түсінілінеді.
Ескертулер. 1. Әдетте Липшиц шартының орнына көрсетілген D
облысында f(t,х) функциясы x бойынша үзіліссіз дифференциалданады
деп алады. Бұл шарт орындалганда Липшиц шарты өздігінен орындалады.
Шынында да D тұйық тіктөртбұрышында fx,(t,х) үзіліссіз
болғандыкган,
∃sup(t,х)∈Dfx,(t,х)=:L
Ал Лагранж теоремасы бойынша
f(t,х2)- f(t,х1)= fx,(t,х1+θ(x2-x1))∙( x2-x1),0=θ=1
тепе-теңдігі орындалады. Сондықтан, егер t,х1+θx2-x1 ϵ D болатын
болса, (10) теңбе-теңдіктен Липшиц шарты алынады. Мына
t,х1+θx2-x1 ϵ D 0=θ=1 деген шарт - облысыңда(t,х1) және
(t,х2) нүктелерімен қатар осы нүктелерді қосаггын түзу де тұтасымен
жатады дегенді білдіреді. Бұндай қасиетке ие D облысын х бойынша (t
өзгермей тұр) дөңес облыс деп атайды. Біз қарастырып отырған D)
тіктөртбұрышы (оның ішіндегі D0 де) екі айнымалы бойынша да дөңес
облыс.
Керісінше, f(t,х) функциясының х бойынша Липшиц шартын
қанағаттандыруынан оның х бойынша үзіліссіз дифференциалдануы шыға
бермейді. Мысалы, f(t,х):= х функциясы
f(t,х2)- f(t,х1)= x1-x2=x1-x2теңсіздігін, яғни Липшиц шартын қанағатгандырады.Мұнда L=1,
Алайда (t,0) нүктесіңде бүл функция дифференциалданбайды.
2. Тіктөртбұрыштың орнына кез келген шенелген тұйық облыс алса
да теорема өз күшін жоймайды. Тек бұл жағдайда (t0,х0) нүктесі осы
облыстың ішкі нүктесі болуы керек. Онда (t0,х0) нүктесі О облысына
өзінің түйық тіктөртбұрышты аймағымен қоса кіреді.
3. Теореманы (t0,х0) нүктесін ішінде үстайтын ашық D облысында
да дәлелдеуге болады. Бұл кезде f(t,х) функциясының осы облыста
үзіліссіз болуы, ал оның кез келген ішкі шенелген тұйық облысында х
бойынша Липшиц шартын қанағаттандыруы керек [3]. Егер ашық D
облысында f(t,х) функциясы f(t,х) пен бірге үзіліссіз болса, бүл
шарттардың орындалатынын дәлелдеуге болады [9]. Еске ала кетер жағдай
(t0,х0) нүктесі ішкі нүкте болгандықтан, оның D облысында толығынан
жататын тіктөртбұрышты аймағы бар болады. Бұл жерде аймақ деп облыс
түсініліп түр.
Мысал үшін (t,х) жазықгығықда жататын кез келген шенелген D об-
лысында:
D ={(t,x)∈R2:t∈a,b,x∈(c,d)} x =p0(t)xn+p1txn-1+...+pn(t)
теңдеуін қарастыралық. Мүнда n - бүтін сан, ал р0(t), p1 (t), ... pn(t)
Теңдеудің оң жағы D облысыңда өзінің х бойынша алынған
дербес туындысымен бірге үзіліссіз. Сондықтан D -дан алынған кез
келген бастапқы t0, х0 берілгендері үшін (яғни t0∈(a,b), х0∈(a,b)
бұл тендеудің х(t0) = х0 шартын канағаттандыратын жалғыз ғана шешімі
бар болады. Екінші сөзбен айтканда, D облысының кез келген нүктесі
арқылы теңдеудін тек бір ғана интегралдық қисығы өтеді, яғни ол нүктеде
Коши есебі шешімінің жалғыздық шарты орындалады. Сондыктан
теңдеудін барлық шешімі дара шешім болып табылады. Оның ерекше
шешімі жоқ. Бұл теңдеуден n -1 болганда сызықтык біртекті емес, гя
п-2 болганда Риккати теңдеуі алынады. Олай болса сызықтық біртекті
емес және Риккати теңдеулері үшін қойылатын Коши есебінің жалғыз ғана
шешімі бар болады. Олардың ерекше шешімі жоқ.
4. Егер f(t,х) функциясы ашық D облысында үзіліссіз болса, онда
осы облыстын әрбір (t0,х0) нүктесі арқылы (1) теңдеудің ең болмағанда
бір интегралдық қисығы өтеді, яғни (1), (2) Коши есебінің t 0 нүктесінің аз
маңайында анықталған ең болмағанда бір шешімі бар болады [2; 3]. Бұл
тұжырымды Пеано теоремасы деп атайды.
2-ТЕОРЕМА. Айталық f(t,х) функциясы (Q={(t,х) ∈ Q:t0 = t=b,
х -x0 infinity} жолағында анықталған және үзіліссіз болсын. Әрі х бойынша
Липшиц шартын қанағатгандырсын. Онда жолактан апынган кез келген
бастапкы берілгендер (t 0, х0 үшін (1), (2) Коши есебінің жалғыз гана
шешімі бар болады. Ол шешім [а,Ъ ] кесіндісінің өн бойында анықталады
және онда шенелген болады. Мұндағы Липшиц шартының орнына онан
күштірек шарт Q-да fx,(t,х) шенелген деп алуға болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Анық болу үшін t ∈ [t0,b] деп алалық та локалдық
теореманы Q[+] (Q={(t,х) ∈ R[2] :а = t=b,х infinity} жолағы үшін дәлелде-
лік. Бұл облыс х бойынша ақырсыз болғандықтан, ∀n үшін xn(t) жуық-
тауларының одан шығып кетуі бізді толғандырмайды. Сондықтан жуық-
таулардың анықталу облысына қоятын қосымша шектеудің қажеті жоқ,
яғни xn(t) функциясы [t 0,b] кесіндісінің өн бойында анықталады. Оған
қосымша xn(t) функциясы [t 0,b] кесіндісінде бірқалышы шенелген болып
шығады. Шынында да, бұл жағдайда
f(t,х)= f(t,х) - f(t,x0)+ f(t,x0) =Lx-x0+f(t, x0)=Lx+ Lx0+M0
Мұнда М0:= sup(t,х)∈Dfx,(t,х)Дәйекті жуықтаулардың формуласынан осы теңсіздікке сүйеніп,
xn(t)=x0+t0tfτ,xn-1τdτ=r + Lt0txn-1τdτ
теңсіздігін аламыз. Мұнда r:= х0 + М1(b-а), М1= М0 + L х0 . Индук-
цияны пайдаланыл мына теңсіздіктерді оңай алуға болады.
x0(t)=x0= r = reL(t-t0)
x1(t)= r + Lt0treL(t-t0)dτ= reL(t-t0)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
xn(t)=r + t0txn-1τdτ = Lt0treL(t-t0)dτ= reL(t-t0), t ∈ [t0,b]
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Бұлар {хn(t)} тізбегінің [t0,b]кесіндісінде біркалыпты шенелгеңдігін
көрсетеді. Локалдық теореманын қалған пайымдаулары өзгермей қалады.
Тек дәйекті жуықтау тізбегінін жинақтылығын дәлелдеген кезде
теоремадағы М санының орнына М0 саны қолданылады. Бұл есте
ұстайтын жай, себебі облыс шексіз жолақ болған жағдайда М санынын
ақырлы болуы міндетті емес. Тізбектің шегі limn--infinityxnt=φ+t- (1), (2)
Дәл осылайша Q[-] ={Q∈{(t,х) :а = t=b,х-x0 infinity} жолағы үшін (1), (2)
есептің [t0,b] кесіндісінде анықталған φ-t шешімін апамыз. Бұл
екі шешімнің түйісуінен шыққан шешім
φt=φ-t,t ∈ [a,t0]φ+t,t ∈ [t0,b]
(1), (2) есептің [а, b] аралыгындагы шешімін береді. Шынында да,
φ-t0=φ+t0=x0, φ-t0t0-0=φ+t0t0-0=f(t0,x0) болғандықтан φt функциясы t 0 нүктесінде үзіліссіз жэне дифференциалданатын функция болып табылады, әрі (1) теңдеуді қанағатгандырады.Оның үстіне ол φt= reL(t-t0), t ∈ [t0,b]
сызықтық біртекті емес х = -р(t)х + q(t) теңдеуін қарастыралық.
Мұндағы р(t), q(t) ∈ С[а,b] болсын. Теңдеудің оң жағы Q жолағында
үзіліссіз және х бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады. Олай болса
теңдеудің х(t0) = x0, t0 ∈ t0,b, x0infinity шартын қанағаттандыратын
жалғыз ғана шешімі [а, b] бойында анықталады.
бар болады және ол шешім кесіндісінің өн
Коши есебінің [0,6] кесіндісіндегі шешімін береді
МЫСАЛ. Дәйекті жуықтау әдісін қолданып, х = х -- t +1, x(0) =1
Коши есебінің шешімін құрыңыз.
ШЕШУІ. Мұнда t0 = 0, x0 = 1, f(t,x):= x - t + 1 функциясы
жазықтықтағы кез келген шенелген облыста үзіліссіз және х бойынша
Липшиц шартын қанағаттандырады. Жуықтаулар тізбегін құралық:
x0(t)= x0=1
xn(t)=1+t0txn-1τ-τ+1dτ,n ∈N
.
Бұдан математикалық индукция әдісін пайдаланып мынадай теңдіктер
аламыз
x0(t) = 1
x1(t)=1+t0t1-τ+1dτ =1 +2t - t22!
x2(t)=1+t0t1+2τ-τ22!-τ+1dτ =1 +2t + t22! - t33!
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
xn(t)= 1 +2t + t22! +...+ tnn! - tn+1n+1!
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Біз t бойынша шенелген облысты қарастырып отырғандықған ( t infinity ),
limn--infinityxnt=t+et
теңдігін аламыз. Шектік функция φ(t) = t+et -- берілген есептін жалгыз
шешімі.
§ 2. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы
глобалдық теорема
Біз Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуын ұзындығы
кішкене кесіндіде далелдедік. Шындығында шешім онан кеңірек аралықта
анықталады. Сондықтан шешім анықталатын аралықты толығынан
анықтаудың мәні зор.
D ⊂R2 облысында
x = f(t,x),f ∈C(D)
теңдеуі берілсін және х = φ(t) (a,b) аралығында анықталған, х = ψ(t)(c,d)
аралығында анықталган оның шешімдері болсын.
Егер (a,b) ⊂ (с,d) және φ(t)=ψ(t)болса, онда ∀t∈(a,b)
шешімі φ(t)шешімінің жалгауы (ұзартылымы) деп аталады. Егер с = а
d b болса, ол шешімнің оң жақ жалғауы, ал с = a,d b
болса сол жақ жалғауы деп аталады. Ал φ(t) шешімі ψ(t) шешімінін (а, b)
аралығындағы бөлігі (үзігі) делінеді. Егер (а, b) және (с,d) аралықтарына
бірдей жататын (α,β), α β аралыгы бар болыл, φ(t)=ψ(t)
∀t=(α,β) болса, онда φ(t) шешімін ψ(t) шешімінің (α,β),-дан (а, b)
ға ұзартылымы, ψ(t)) шешімін φ(t) шешімінің (α,β),-дан (с,d)-ға
ұзартылымы деп атайды. Бұл кезде
gt=φt,t ∈ [a,b]ψ(t),t ∈ [c,d]
функциясы (1) теңдеудін (a,b) ⊂ (с,d) аралыгындағы шешімі болады.
Егер α=β болып, (α,β) аралығы бір нүкгеге айналатын болса, ол
нүктеде φt және ψ(t) шешімдері түйіседі деп айтады. Әлбетте
шешімдердің түйісе жалғануынан тағы да шешім алынады.
ГЛОБАЛДЫҚ ТЕОРЕМА. (t0,х0) - шенелген тұйық D ⊂R2
облысының ішкі нүктесі болсын.
Егер f(t,х) функциясы I) облысында үзіліссіз және х бойынша
Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда мына Коши есебінің
x = f(t,x),x(t0) =x0
шешімін D облысының шекарасынан шекарасына дейін ұзартуга болады
(ягни екі ұшы да шекарада жататын болганга дейін).
ДӘЛЕЛДЕУІ. D облысының шекарасын С, ал Р0(t0,х0) нүктесінен
осы шекарага дейінгі қашықтықты d0 деп белгілейік:
d0=infQ∈GP0Q
Р0(t0,х0) a0=d022
тең квадрат салалык: D0{(t,х) ∈ D:t - t0 = a0,х - х0= a0}. Ол үшін
(t - t0 )2-(x - x0 )2= d024
қабырғалары а0-ге тең және координат остеріне параллель квадрат салу
жеткілікті.
D0 квадратында локалдық теореманың барлық шарты орындалып
тұр. Сондықтан
sup(t,х)∈D0f(t,х)=:M0
деп белгілесек, t0-h0,t0-h0, h0=min(a0,a0M0)
кесіндісінде анықғалған жалғыз x = φ0t шешімі бар.
Енді t0+h0 =:t1, φ0t= x1 деп алып, локалдык теореманы центрі
P1(t1, x1) болатын D0{(t,х) ∈ D:t - t1 = a1,х - х1= a1}. квадратына
қолданалық. Мұнда (t1, х1) - бастапқы нұкте, ал
a1=d122,d1=infQ∈GP0Q
Егер
sup(t,х)∈D0f(t,х)=:M1
деп белгілесек мына x = f(t,х), х(t1) = x1 Коши есебінің
t1-h1,t1-h1, h0=min(a1,a1M1)
кесіндісінде анықгалған жалғыз х =ψ(t) шешімі бар
екені алынады. Ал t0-h0,t0+h0 пен t1-h1,t1+h1
кесінділеріне ортак t1-h1,t1 кесіндісінде P1(t1, x1) нүктесінен өтетін екі (φ0t жэне ψ(t)) шешім анықталған. Шешімнің жалғыздық қасиеті бойынша ∀t∈t1-h1,t1
Сондықтан
φ1t=φ0t,t ∈ t0-h0,t0+h0=:t1ψ(t),t ∈ t1,t1+h1
шешімі φ0t шешімінін оң жак ұзартылымы болып табылады және оның
анықталу аралығы t1-h1,t1+h1 болады. Бұл φ1t шешімінін оң жақ
үшін, яғни P2(t2, x2), t2:= t1+h1, х2 := φ1t (t1+h1) нүктесін бастапқы
нүкте деп алып, шешімді одан әрі ұзартамыз. Бұл ұзартуды n - рет қайталау
нәтижесінде t0-h0,tn-1+hn-1 кесіндісінде анықталған (2) есептің
φn-1t шешімін аламыз.
Мұнда tn-1 = t0+h0+h1+hn-2 hj≔minaj,ajMj sup(t,х)∈Djf(t,х)=:Mj
j = 1, ... .,n-1. Екі жағдай болуы мүмкін
1 Pn(tn, xn) ∈G, tn:= tn-1+hn-1, xn:= φn-1( tn )
2. Pn(tn, xn) - D облысының ішкі нүктесі.
Бірінші жагдайда теорема дэлелденді. Екінші жағдайда ұзартуды одан әрі
жалғастырамыз. Шексіз қайталау нәтижесінде {Рn} infinity тізбегін аламыз.
Тізбектің мүшелері infQ∈G PjQ0 шартын қанағаттандырады. Сандар
тізбегі {tj} өспелі, себебі tj=tj-1+hj-1 Ал D облысы
шенелген болғандықтан бұл тізбек жоғарыдан шектелген. Сондықтан
оның шегі бар: limtjj--infinity=bШешімді ұзарту нәтижесінде алынған
t0+h0,b] аралығында анықталган шешімді φ( t ) деп белгілелік. Бұл
шешімнің b нүктесінде сол жақтан үзіліссіз болатынын көрсетелік. Кез
келген ε 0 саны үшін ε2M -нен кіші болатын δ санын алалық, яғни
δε2M
Онда мына теңсіздіктерді 0 b - t, δ, 0 b - t,, δ
қанағаттандыратын t, пен t,, сандары үшін
φt,-φt,,=t,t,,φτdτ=t0tfτ,φτdτ=Mt, -t,,2Mδε
теңсіздігі орындалады, яғни Кошидің шарты (критериі) орындалып тұр.
Олай болса φt шешімінің b нүктесінде шегі бар. Шешімнің b
нүктесіндсгі мэні үшін осы шекті алалық: φb = limt--b-0φt . Сонда φt
шешімі t0+h0,b кесіндісінде анықталған, үзіліссіз болады. Сонымен,
lim Pj(tj, xj) j--infinity= P(b, φb)
Енді P(b, φb)нүктесінің облыстың шекарасында жататынын көрсетелік.
Кері жорып Р∉G делік. Онда екі жағдай болуы мүмкін.
1. Р нүктесі D облысының сыртында жатады. Онда D - ның
сыртында тұтасынан жататын Р - ның маңайы Up бар. Демек
∃n1∀jn1:Pj∈Up Ал бұл барлық Pj∈D дегенге қайшы, себебі
D∪UP= ∅
2. Р нүктесі D облысының ішінде жатады, яғни Р нүктесімен бірге
оның ε маңайы UPε да D облысына тұтасынан кіреді. Р нүктесін центр
етіп алып радиусы ε2 -ге тең дөңгелек салалық. Сонда ∃n2, ∀j n2 : Pj∈UPε2. Демек
∀jn2--aj=d122=ε42,dj=infQ∈GPjQ =ε2
Ал бұдан
hj≔minaj,ajMj= min(ε42,ε42M)=:h0, ∀jn2
Сондықтан hj= tj+1+tjh0--tj--infinity,j--inf inity Бұл мына теңдікке
limtjj--infinity=b infinity қайшы.Сонымен кері жору дұрыс емес, Р ∈ G.
Дәл осы жүргізген оңға қарай ұзарту сияқты шешімді сол жаққа
қарай да ұзартуға болады. Нәтижесінде алынатын шешімнің сол жақ ұшы
а:= limtjj--infinity, tj= tj-1+hj-1болсын. Сол [а, t0+h0] кесіндісінде анықта-
латын шешімді ψ(t) деп белгілелік: ψ(t) = φt, ∀tϵ[t0-h0, t0+h0]
Сондықтан φt мен ψ(t) бірі бірінің жалғауы. Ал Q(a; ψ(a))
Теорема дәлелденді.
Ұзарту нәтижесінде алынған шешімнің ұштары G -да жатқаңдықтан
ұзартылмайтын шешім облыстың шекарасынан шекарасына дейін
жетеді деп айтады. Әрі қарай ұзартылмайтын шешімнің анықталу
аралығы осы шешімнің бар болуының ең үлкен аралығы деп аталады.
Мысалы, (2) есептің шешімі бар болатын ең үлкен аралық - [а, b].
Ескертулер. 1. Коши есебі шешімін бастапқы (t0,х0) нүктесі кіретін
кез келген ашық D облысында да ұзартуға болады. Бұл кезде алынатын
ұзартылмайтын шешімнің ұштары D облысының кез келген шенелген ішкі
облысынан шығып, D -нын шекарасына ақырсыз жақындайды [3;9].
2. D облысы мынадай ашық жолақ D{(t,х) ∈ R2: a t b}
x infinity}, түріңде болсын. Мұнда а, b сандары меншіксіз мәндерге ие,
яғни а = -infinity, b = +infinity болулары да мүмкін.
2-ТЕОРЕМА. Егер f(t,х) функциясы D жолағында анықталған,
үзіліссіз және х бойынша үзіліссіз дифференциалданатын болып, әрі мына
теңсіздікті
dfdx=L(t),∀t∈a,b, L(t)∈C(a,b)
қанағаттандырса, онда кез келген бекітілген бастапқы берілгендер
(t0,х0) ∈ D (яғни t0∈a,b, ) үшін (2) Коши есебінің жалғыз ғана шешімі
бар болады және ол шешім (а, b) интервалының өн бойында анықталады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Тұтасымен D -ның ішінде орналасқан мына жолақта
Q = {(t,х) ⊂D: α= t = β}x infinity}, a αβ bөткен параграфтагы 2-
теорема орындалады. Онда дәйекті жуықтау тізбегінін жинақтылығын
дәлелдеу барысында
М0:= supα,β∈tf(t,х), L≔supα,β∈tL(t)
сандарының қолданылатыны айтылған болатын. Бұл М0, L сандарының
[α,β]-ға тәуелді екені, әрі [α,β] үлкейген сайын олардың өсетіні
түсінікті. Дегенмен кез келген a,b∈t нүктесін қоршайтын [α,β]
кесіндісі табылып ([α,β] ⊂ (а,b)) және ол кесіндіде (2) есептің жалғыз
шешімі анықталады. Демек шешім ∀t∈α,β нүктесінде анықталады.
Бұл жерде бір кесіндіден оны қамтитын екінші кесіндіге көшкенде
алынатын шешім бірінші кесіндіде анықталатын шешімнің жалғауы
болатынын ескерген жөн. Мысалы, мынадай кесінділер
[α1 ,β1] ⊂ [α2 ,β2] ⊂... ⊂ [αn ,βn] ⊂... ⊂ (а,b).
limαnn--infinity=a, limβnn--infinity=b
тізбегін алсақ, әрбір [αn ,βn] кесіндісінде (2) есептің жалғыз ғана шешімі
бар болғандықтан, онда анықталған шешім [αn-1 ,βn-1] кесіндісінде
анықталған шешімнің жалғауы болып табылады. Сондықтан (2) есептің
(а,b) = n-1infinity[αn ,βn]
интервалының өн бойында анықталған жалғыз ғана шешімі бар. Теорема
дәлелденді.
Мысал үшін сызықтық біртекті емес
x= -p(t)x+q(t)
теңдеуін карастыралық. Мұнда р(t),q(t) ∈ С(а,b). Демек
f(t,х) := -р(t)х + q(t) ∈ С(D), D={(t,x) ∈ R[2] : а t b,х infinity} және
dfdx= pt Сондықтан кез келген (t0,х0) ∈ D үшін теңдеудің
Жалғыз ғана шешімі бар және ол шешім (а, b) интервалынын өн бойында
анықталган. Бұл тұжырымның [а,b] кесіндісінде дұрыстығы ілгеріде
дәлелденді (§ 1, 2-теорема). Сондықтан енді оны кез келген (а,b) аралы-
ғына қатысты айта беруге болады.
3. Біз бастапкы шарт арқылы анықталатын дара шешімнің бар болуын
дәлелдедік. Бірақ бұл теореманы пайдаланып жалпы шешімнін де бар
болатынын көрсетуге болады [2; 9].
Ашық D облысында (2) Коши есебінің жалғыз ғана шешімі бар
болсын, оны х = φ(t,t0,х0) деп белгілелік. Бұл қатынас (2) есептің
шешімінің t0,х0 -дерден тәуелді болатынын көрсетіп тұр. Әлбетте
φ (t0,t0,х0) = х0,(t0,х0) ∈D. Шешім [t0-h0, t0+h0] кесіндісінде анықталсын да һ саны ,(t0,х0) ∈ D0 нүктесінің орнынан тәуелсіз болсын.
Мұңдағы D0 - шекарасымен қоса й облысында жататын тұйық облыс.
Демек t-h0, = h жэне ,(t0,х0) ∈ D0 болғанда , (t, φ(t,t0,х0) ∈ D болады.
Енді t0-ді бұрынғыша берілген сан (тиянақты мән) деп, ал x0-ді
(t0,х0) ∈ D0 шарты орындалатындай кез келген сандық мән қабылдай
алатын параметр деп есептелік. Сонда қандай да бір D ∈ D0 облысында
бұл шешім (1) теңдеудің жалпы шешімін береді. Мұнда
(t, φ(t,t0,х0) ∈ D , ∀tϵ[t0-h0, t0+h0],∀( t0, x0) ∈ D0
Аталған шешімнін жалпы шешім болатынын дәлелдеу үшін әрбір
( t*,х*) ∈ D үшін х* = φ(t*,t0,х0) теңдігін қанағатгандыратын х0 мәнінің
бар болатынын көрсету жеткілікті. Оны аналитикалық жолмен табу үшін
соңғы теңдік х0 бойынша шешілуі қажет. Кез келген ( t*,х*) ∈ D⊂D0
нүктесін алып, х* = ψ(t*,t0,х0) шешімін қүралық. Мұндағы
t*∈ [t0-h0, t0+h0]
болгандықган, шешім t = t0 нүктесінде де анықталады және ол нүктеде
белгілі бір х0 мәнін қабылдайды, яғни х0 = φ (t0,t*,х*) теңдігі орында-
лады. Енді осы t0, х0 мәндері арқылы анықгалатын шешімді қарастыра-
лық. Ол үшін х0-дің мәнін х = φ(t,t0,х0) формулаға апарып қоялық:
х = φ(t,t0 ψ(t*,t0,х0)) Бұл интегралдық қисық пен х = φ (t,t0,х0) ингег-
ралдық қисығынын ортақ (t0,х0) нүктесі бар. Сондықтан олардың бірі
екіншісінің жалғауы болады. Олай болса соңғы шешім (t*,х*) нүктесінен
өтеді, яғни х* = φ(t*,t0 ψ(,t0, t*,х*)) Тұжырым дәлелденді.
Қарастырылатын облыс тұйық болса, бұл дәлелдеу тіпті орынды
болатыны өздігінен түсінікті. Егер D облысы ретінде t- t0=a, x- x0 =b
тіктөртбұрышы алынса, онда D0үшін, мысалы t- t0=a2, x- x0 =b2 ішкі тіктөртбұрышын алуға болады. Сонда h = h12
болады. Мұндағы
h1≔mina,aM supDf(t,х)=M
Сонымен х0 параметр деп есептелгенде жалпы шешімді мына түрде
алдық. х = φ (t,t0,х0) Әдетте оны Коши түріндегі жалпы шешім деп
атайды. Егер кез келген тұрақты мән қабылдайтын параметрді (еркін
тұрақтыны) С әрпімен белгілесек, жалпы шешімнің кәдімгі түрін аламыз:
х = φ (t,C)
Жаппы шешімді құру барысында көрсетілген оның қасиеттері бұрын
келтірілген жалпы шешімнің анықтамасын береді.
3. Қалыпты жүйе үшін Коши есебі шешімінің бар жане жалғыз
болуы туралы теорема
Тәуелсіз айнымалы t біреу ғана болсын да, ізделінетін функциялар
xj бірнешеу (j = 1,2,...,n) болсын. Туыңды бойынша шешілген бірінші
ретті дифференциалдық теңдеулерден тұратын жүйе қарастыралық:
x1=f1(t,x1, ... xn) ... ... ... ... . ...xn=fn(t,xn, ... xn)
Мұндай жүйені дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі деп
атайды. Жүйеге кіріп тұрған дифференциалдық теңдеулердің саны
қалыпты жүйенің реті деп аталады.
Айталық f1,..., fn функциялары t,x1, ... xn айнымалыларының n + 1
өлшемді кеңістігі Rt,x1, ... xn1+n -де жататын D облысында аныкталсын.
Ықшамдылық үшін Rt,x1, ... xn1+nкеңістігін R1+n символымен белгілейік.
Қандай да болмасын бір (а,b) аралығында анықталған және диффе-
ренциалданатын x1 =φ1t, ... .., xn =φntфункциялар жиынтығы мына
екі шартты
1)( t, φ1t, ... .., φnt) ∈D,∀t∈(a,b)
2)φ1t=( t, φ1t, ... .., φnt) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..φnt=( t, φnt, ... .., φnt) ∀t∈(a,b)
қанағаттандыратын болса, онда оны (1) жүйенің (а,Ь) аралығындағы
шешімі деп атайды.
Егер f1,..., fn функциялары D облысында үзіліссіз болса, онда
шешім (а,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданады, яғни
∀j = 1,...,n: f1 ( t, x1, ... .., xn) ∈C (D) = ∀j = 1,...,n: φjt∈C(a,b )
Жүйенің шешімін табу үдерісі оны интегралдау деп аталады. Жүйенің кез
келген φ1t, ... .., φnt шешімін R1+n кеңістігінде геометриялық тұрғыдан қисық ретінде бейнелеуге болады. Ол қисық (1) жүйенің интегралдық қисығы деп аталынады. Аталған кеңістікке ішкі болып табылатын x1, ... .., xn айнымалыларының n өлшемді кеңістігі Rx1, ... xnn х фазалық кеңістік деп аталады. Интегралдық кисықтың фазалық кеңістікке проекциясы фазалық траектория деп аталынады. D облысының әрбір нүктесінде (1) жүйе r = (1, f1,..., fn) векторымен берілетін бағыт анықтайды. Әрбір нүктесінде бағыт берілген осындай облыс D ⊂Rt,x1, ... xn1+nбағыттар өрісі деп аталады. Геометриялық тұрғыдан қарағанда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz