Коши есебінің шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теоремалар: локалдық теорема, Пикар әдісі және Гронуолл леммасы

Кіріспе

Алғашында , органдардың координаталарын анықтау үшін қажет болды, онда механика мәселелері, туындады, олардың жылдамдығы мен жеделдету, түрлі әсер уақыт функциясы ретінде қарастырылады. Теңдеулер дифференциалдық, сондай-ақ геометриялық проблемаларды, ал кейбір қарауды беріледі. Дифференциалдық теориясының негізі дифференциалдық есептеулері Лейбниц және Ньютон (1642-1727) құрылды теңдеулер. Термин «дифференциалдық теңдеулер» Лейбниц бойынша 1676 жылы ұсынған болатын.

Эйлер (1707-1783) және Лагранж (1736-1813) жұмысын ерекшеленеді дифференциалдық теңдеулер бойынша XVIII ғасырдың жұмыстардың үлкен санының. Дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелердің теориясы - Осы зерттеулердің, бірінші шағын тербелі стеориясын дамытып, және, демек, болды бір мезгілде сызықты қалгебра негізгі ұғымдар (N өлшемді жағдайда Меншікті мәндер мен векторлар) бар. Қорытындысы бойынша Ньютон мен Лагранж, Лаплас, кейінірек Гаусс (1777-1855) наразылық теориясы әдістерін әзірлеу.

Ол радикалдар алгебралық теңдеулер шешілмейтін дәлелденген кезде Иосиф Лиувилля (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теориясын құрды, бастауыш функциялары мен Квадратурные (екінші ретті сызықтық теңдеулер ретінде, атап айтқанда, мұндай классикалық) теңдеулер бірқатар шешімдерді анықтау мүмкін емес. Кейінірек С Ли (1842-1899), квадратуртеңдеулер интеграция мәселесін талдау, егжей-тегжейлі (кейінірек Ли топтары атауын алды) диффеоморфизмов тобын зерттеу қажеттігін келді - осылайша, дифференциалдық теңдеулертеориясы одан әрі әзірленді қазіргі заманғы математика ең жемісті бағыттарының бірі, пайда өте тығыз басқа да мәселелер (алгебра, тіпті бұрын қаралған Симеон-Denis Пуассон (1781-1840), және, әсіресе, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ли) байланысты.
Дифференциалдық теңдеулер теориясы дамуының жаңа кезеңі Анри Пуанкаре (1854-1912) еңбектерімен басталады, ол қазіргі заманғы топологиясы негізін қалыптасқан күрделі айнымалы функциялар теориясы «дифференциалдық теңдеулер сапалық теориясы», құрылды. Сапалы дифференциалдық теңдеулер теориясы, немесе ол қазір әдетте динамикалық жүйелер теориясыдеп аталады, өйткені қазір белсенді түрде дамып және ғылым маңызды бағдарламаларды баржатыр.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Мақсаты: Дифференциялдық теңдеулер шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теормаларды зерттеу.

Міндеті:

- Дифференциялдық теңдеулердің курстық жұмыстағы теормаларын түсіну

Зерттеу объектісі: Дифференциялдық теңдеулер.

Зерттеу пәні: Дифференциялдық теңдеулердің әдістері мен теормаларын қолдану

Зерттеу әдістері: Талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап, тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Негізгі бөлім

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЬІҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМІНІҢ БАР
ЖӘНЕ ЖАЛҒЫЗ БОЛУЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР

§ 1. Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы
локалдық теорема

Біз осы кезге дейін жалпы шешімі немесе интегралы тұйық түрде
(формула түрінде) табылатын дифференциалдық теңдеулерді қарастыр-
дық. Жалпы шешімінің немесе жалпы интегралының түрін квадратурада
тапқандықтан, ол тендеулердің шешімі бар немесе жоқ болатыны туралы
сұрақ қойылған жоқ. Алайда туынды бойынша шешілген бірінші ретті
теңдеулер біздер қарастырған теңдеулермен таусылмайтыны, ашығын
айтсақ, қарастырылған теңдеулер олардың тек бірлі-жарым элементар
өкілдері ғана екені айқын. Ал қалған тендеулерді интегралдау жолдары
бізге беймалім. Сондықтан теңдеулерді интегралдай алмасақ та, олардын
шешімінің бар не жоқ екенін анықтауымыз керек. Себебі, есептің шешімі
жоқ болса, оны іздеудің қажеті жоқ. Ал есептің шешімі бар екені белгілі
болса, онда оны әр түрлі жолмен, мысалы жуықтап табуға тырысамыз.
Бізден көбінесе теңдеудің барлық шешімдерін емес, бастапқы берілген
шартты қанағаттандыратын (Коши есебінің) тек бір ғана шешімін табу
сұралады. Бұл сұраққа Коши есебі шешімінін бар және жалғыз болуы
туралы теорема жауап береді. Теореманы алғаш Коши дәлелдеген. Біз
теореманы Пикар ұсынған дәйекті (жүйелі) жуықтау әдісімен
дәлелдейміз. Бұл әдіс шешімнін бар екенін дэлелдеумен бірге оны белгілі
дәлдікпен жуыктап құруға мүмкіндік береді, яғни өзінін болмысы
бойынша конструктивтік болып табылады.

ЛОКАЛДЫҚ ТЕОРЕМА. Дифференциалдық теңдеу

х =f(t, x)

және бастапқы мәндер t ₀ , х ₀ берілсін.

Егер f(t, x) функциясы мына тұйық облыста

D =(t, x) =R ² :t-t ₀ ≤ a, x-x ₀ ≤ b(a, b - белгілі оң сандар), екі шартты қанағаттандырса:

1) қос айнымалы t, х бойынша үзіліссіз; демек

.

$$\exists sup\sup_{(t, x) \in D}\left f(t, x) \right = M$$

2) х айнымалысы бойынша Лимииц шартын қанағаттандырады
яғни L > 0 саны бар болып, D облысының кез келген екі $\left( t, x_{1} \right)$ және
$\left( t, x_{2} \right)$ нүктелері үшін

$f\left( t, x_{1} \right) - f\left( t, x_{2} \right)$ ≤ L $x_{1} - x_{2}$

теңсіздігі орындалады, L > 0саны нүктелердің алынуынан тәуелді емес,

онда (1) теңдеудің

$\varphi(t_{0})$ = $x_{0}$

шартын қанағаттандыратын, [ $t_{0} - h{, t}_{0} + h$ , ], һ = min $\left( a, \frac{b}{M} \right)$ кесіндісінде

анықталған, үзіліссіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешімі х = $\varphi$ (t)
бар болады және $\forall t \in$ [ $t_{0} - h{, t}_{0} + h$ , ] : (t, $\ \varphi(t)$ ) $\epsilon D_{0} \subseteq D$

$D_{0}$ = [ $t_{0} - h{, t}_{0} + h$ , ] ×[ $x_{0} - b{, x}_{0} + b$ , ]

ДӘЛЕЛДЕУІ. Теореманың дәлелдеуін бес кезеңге бөлеміз.

I. Коши есебінің интеграпдық теңдеумен эквиваленттілігі. Айталық
x = $\varphi(t)$ (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын [ $t_{0} - h{, t}_{0} + h$ , ],

һ = min $\left( a, \frac{b}{M} \right)$ кесіндісіңдегі шешімі болсын. Яғни $\ \ \varphi(t)$ = (t, $\ \varphi(t)$ ), $\forall t \in I_{t_{0}}^{h}$ ,

$\varphi(t_{0})$ = $x_{0}$

Алынған тепе-теңдікті $t_{0\ }$ -ден t-ға дейін интегралдасақ, шешімнің

$\varphi(t) = \varphi\left( t_{0} \right)$ + $\int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, \ \varphi(\tau) \right) d\tau = \ }$ с, $\forall t \in I_{t_{0}}^{h}$

интегралдық тепе-теңдікті қанағаттандыратынын көреміз. Сондықтан (1),
(2) Коши есебін

х=( $x_{0}$ ) + $\int_{t_{0}}^{t}{f(\tau, \ x) d\tau\ }$ (3)

интегралдық теңдеумен алмастыралық. Берілген теңдеудің (2) шартты
қанағаттандыратын шешімі (3) теңдеудің шешімі болатындығы көрсетідді.
Енді (3) теңдеудің шешімі (1), (2) есептің шешімі болатынын көрсетелік.
х= $\ \varphi(t)$ (3) теңдеудін шешімі болсын. Онда $\varphi(t_{0})$ = $x_{0}$

болады да

$\varphi(t) = \varphi\left( t_{0} \right)$ + $\int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, \ \varphi(\tau) \right) d\tau = \ }$ с, $\forall t \in I_{t_{0}}^{h}$

Тепе-теңдігі орындалады. оң жағы үзіліссіз дифференциалданатын функция. Онда сол жағы да үзіліссіз дифференциалданады. Егер

тепе-теңдікті дифференциалдасақ, $\varphi(t)$ = (t, $\ \varphi(t)$ ), , $\forall t \in I_{t_{0}}^{h}$ яғни (3)

тендеудің шешімі (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі
болады. Шешімдерінің осы көрсетілген ортақтығы мағынасында (1), (2)
Коши есебі мен (3) интеграддық теңдеу эквивапентті деп аталады
(саналады) . Сондықтан теореманы (3) теңдеу үшін дәлелдеу жеткілікті.

2. Дәйекті жуықтау тізбегін құру . Интегралдық (3) теңдеудің
шешімін табу үшін жоғарыда айтылған Пикардың дәйекті жуықтау әді-
сін пайдаланамыз, яғни шешімге біртебірте (дәйекті түрде) жуықтайтын
функциялар (жуық шешімдер) тізбегін кұрамыз. Бастапқы (нөлдік) жуық-
тау ретінде, ізделінетін шешімнің алғашқы мәніне тепе-тең болатын
функцияны аламыз:

x ⁽⁰⁾ (t) = х ₀ .

Келесі жуықтауларды мына формулалар

$$\left\{ \begin{array}{r} x^{1}(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \\ x^{2}(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(1) } \right) d\tau} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ x^{n}(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(n - 1) } \right) d\tau} \end{array} \right. \$$

арқылы анықтаймыз. Мұнда t $\in I_{t_{0}}^{h}; = \lbrack t_{0} - h{, t}_{0} + h, \rbrack$ Алынған

$$x^{1}(t), x^{2}(t), \ldots, x^{n}(t), \ldots$$

тізбегінің әрбір мүшесі ${\ \ I}_{t_{0}}^{h}$ кесіндісіңде анықталган, үзіліссіз болады және
2) облысынан шығып кетпейді.

(t, $x^{0}(t) = x_{0}$ ) $\in D_{0} \subseteq D, D_{0}$ = [ $t_{0} - h{, t}_{0} + h$ , ] × [ $x_{0} - b{, x}_{0} + b$ , ]

$$x^{1}(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau}$$

Мұңдағы f(t, $x^{0})$ функциясы $D_{0}$ облысында анықталган. $D_{0} \subseteq D$ бол-
гандықтан, ол үзіліссіз. Ал онда жоғары шегінің үзіліссіз функциясы

68

болып табылатын ннтеграл $\int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau}\$ үзіліссіз. Сондыктан $x^{1}(t)$

үзіліссіз және $x^{1}\left( x_{0} \right) = x_{0}$ Ал ( $4_{1}$ ) -ден t = ${\ \ I}_{t_{0}}^{h}$ болғанда

$$\left x^{1}(t) - x_{0} \right = \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \right \leq M\left \int_{t_{0}}^{t}{d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq Mh \leq b$$

Енді тізбектің үшінші мүшесін

( $t, x^{1}(t)$ ) $\in D_{0}$

$x^{2}(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(1) } \right) d\tau}$ ,, $\forall t \in I_{t_{0}}^{h}$

қарастыралық. Интеграл астындагы $f\left( \tau, x^{(1) } \right)$ функциясы $D_{0} \subseteq D$ облы-
сында аныкталған. Сондықтан ол үзіліссіз. Ендеше интеграл үзіліссіз, ал
онда $\ x^{2}(t)$ үзіліссіз. Ал (4 ₂ ) -ден $t \in I_{t_{0}}^{h}$ болганда

$$\left x^{2}(t) - x_{0} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq Mh \leq b$$

теңсіздігін аламыз. Яғни, (t, $x^{2}(t)$ ) $\in D_{0}$ . Сонымен бірге $x^{2}\left( t_{0} \right)$ = х ₀ .
Әрбір жуықтау оның алдында түрған жуықтау арқылы анықталатын-
дықтан, математикалық индукия әдісін пайдаланып, $x^{0}(t)$ , $x^{1}(t)$
$x^{2}(t)$ үшін дәлелденгендерді тізбектің жалпы мүшесі $x^{n}(t)$ үшін де
дәлелдеуге болады. Шынында да $\forall n - 1 \in N\$ саны үшін (t, $x^{n - 1}(t)$ ) $\in D_{0}$ ,
$x^{n - 1} \in$ C ${(I}_{t_{0}}^{h}), x^{n - 1}{(t}_{0})$ = х ₀ деп есептесек, (4 _n ) -де

$x^{n}(t)$ = $x_{0} + \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(1) } \right) d\tau} \in$ C ${(I}_{t_{0}}^{h})$

болады да,

$$\left x^{n}(t) - x_{0} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(n - 1) } \right) d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq Mh \leq b$$

шығады. Яғни Уи е N: ^, х ^(л> (/) ) е £> ₀ х ^(л) е с(/* ) жэне х ^(л> (/ ₀ ) = х ₀ .

3. Дәйекті жуықтау тізбегінің жинақтылығы. Кұрылған тізбегінің

$I_{t_{0}}^{h}$ кесіндісінде жинақты болатынын көрсетелік. Ол үшін n -бөлікше

қосындысы 8„ тізбектің n -мүшесі $x^{n}(t)$ тең болатын функциялық
қатар

$x^{n}(t) + (x^{1}(t) - x^{0}(t) )$ + $x^{2}(t) {- x}^{1}(t)$ ) +…. . $\ + (x^{n}(t) - x^{n - 1}(t) )$ +…

қарастырамыз. Бұл (6) қатардың бірқалыпты жинақтылыгынан (5) тізбек-
тің бірқалыпты жинақтылығы шығады, себебі $S_{n}$ = $x^{n}$ ’. Қатардың әрбір
мүшесін, екіншісінен бастап, /£ кесіндісінде абсолют шамасы бойынша

бағалайық

$\left( x^{1}(t) - x^{0}(t) \right)$ = $(x^{1}(t) - x_{0}) \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x_{0} \right) d\tau} \right \leq M\left t - t_{0} \right \leq Mh$

$$\left( x^{2}(t) - x^{1}(t) \right) \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{1} \right) - f\left( \tau, x_{0} \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{⎹⎸f\left( \tau, x^{1} \right) - f\left( \tau, x_{0} \right) ⎹d\tau} \right$$

Енді f(t, х) функциясының Липшиц шартын қанағаттандыратынын
пайдаланалық. Онда қатардың екінші мүшесі үшін алынған бағаны
ескеріп, мына теңсіздікті

$$\left x^{2}(t) - x^{1}(t) \right \leq L\left \int_{t_{0}}^{t}{x^{1}(\tau), x_{0}} \rightd\tau \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{(0) } \right) d\tau} \right \leq ML\left \int_{t_{0}}^{t}{\tau - t_{0}} \rightd\tau =$$

$$\frac{ML\left t - t_{0} \right^{2}}{2!} \leq ML\frac{h^{2}}{2!}, \forall t \in I_{t_{0}}^{h}$$

аламыз. Дәл осылайша

$$\left( x^{2}(t) - x^{1}(t) \right) \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{2}(\tau) \right) - f\left( \tau, x^{1}(\tau) \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{⎹f\left( \tau, x^{2}(\tau) \right) - f\left( \tau, x^{1}(\tau) \right) ⎹d\tau} \right \leq$$

$$\leq L\left \int_{t_{0}}^{t}{⎹\left( x^{2}(\tau) \right) - \left( x^{1}(\tau) \right) ⎹d\tau} \right \leq ML^{2}\int_{t_{0}}^{t}\frac{\left t - t_{0} \right^{2}}{2!} \leq \frac{ML^{2}\left t - t_{0} \right^{3}}{2!} \leq ML^{2}\frac{h^{3}}{3!}, \forall t \in I_{t_{0}}^{h}$$

теңсіздігі алынады. Қатардың кез келген n -мүшесі үшін де осындай
теңсіздік орындалатынын көрсету үшін математикалық индукция әдісін
пайдаланайық.

Айталық кез келген n - 1 $\in$ N саны үшін

$$\left( x^{n - 1}(\tau) - x^{n - 2}(\tau) \right) \leq \frac{ML^{n - 2}\left t - t_{0} \right^{n - 1}}{2!} \leq ML^{n - 2}\frac{h^{n - 1}}{(n - 1) !}, \forall t \in I_{t_{0}}^{h}$$

теңсіздігі орыңдалсын. Онда $\forall$ n $\in$ N үшін

$$\left( x^{n}(t) - x^{n - 1}(t) \right) \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{f\left( \tau, x^{n - 1}(\tau) \right) - f\left( \tau, x^{n - 2}(\tau) \right) d\tau} \right \leq \left \int_{t_{0}}^{t}{⎹f\left( \tau, x^{n - 1}(\tau) \right) - f\left( \tau, x^{n - 2}(\tau) \right) ⎹d\tau} \right \leq L\left \int_{t_{0}}^{t}{⎹\left( x^{n - 1}(\tau) \right) - \left( x^{n - 2}(\tau) \right) ⎹d\tau} \right \leq ML^{n - 1}\int_{t_{0}}^{t}\frac{\left t - t_{0} \right^{n - 1}}{(n - 1) !} \leq \frac{ML^{n - 1}\left t - t_{0} \right^{n}}{n} \leq ML^{n - 1}\frac{h^{n}}{n!}, \forall t \in I_{t_{0}}^{h}$$

Сонымен (6) қатардың мүшелерінің абсолют шамасынан құрылған қатар
$I_{t_{0}}^{h\ }\ \$ кесіндісінде мына теңсіздікті қанағаттандырады:

⎸ $x_{0}⎸$ + $\sum_{k = 1}^{\infty}\left( x^{k}(t) - x^{k - 1}(t) \right) \leq$ ⎸ $x_{0} + \ M\left t - t_{0} \right$ + $ML\frac{\left t - t_{0} \right^{2}}{2!}$ +…+ $ML^{n - 1}\frac{\left t - t_{0} \right^{n}}{n} + . . . \leq$ ⎸ $x_{0}⎸ +$ Mh+ $ML^{2}\frac{h^{2}}{2!}$ +…+ ${ML}^{n - 1}\frac{h^{n}}{n!}$ +….

Теңсіздіктің оң жағындағы сандық қатар жинақты

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс