Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер теориясы

Мазмұны

КІРІСПЕ

Ізделінетін функция мен оның туындылары бойынша сызықтык болатын n -ретті дифференциалдық теңдеу

$${a_{0}(t) x}^{(n) } + a_{1}(t) x^{(n - 1) } + . . . + a_{n - 1}(t) \dot{x} + a_{n}(t) x = f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(1`) }^{`}$$

n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы $a_{0}(t), a_{1}(t), . . . , a_{n}(t) :\ \ \ : < a, b > \rightarrow$ R функцияары теңдеудің коэффициенттері деп, $f(t)$ - бос муше немесе теңдеудің оң жағы деп аталады. олар берілген $< a, b >$ аралығында үзіліссіз деп саналады жэне $\exists t \in < a, b >$ , $a_{0}(t) \neq 0$ (теңдеу n-ретті) . егер $\ \forall t \in < a, b >$ болса, оңда теңдеудін екі жағын да сол коэффициентке бөліп, мына теңдеуді

$$x^{(n) } + p_{1}(t) x^{n - 1} + . . . + p_{n - 1}(t) \dot{x} + p_{n}(t) x = f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

аламыз. Мұнда

$$p_{j}(t) = \frac{a_{j}(t) }{a_{0}(t) } \in C < a, b >, \ \ J = \overline{1, n}; \ \ \ q(t) = \ \frac{f(t) }{a_{0}(t) } \in C < a, b > \ \ \ \$$

Егер $\exists t \in < a, b >$ , $f(t) \neq 0$ немесе $q(t) \neq 0$ болса, онда (1`) немесе (1) теңдеуді сызықтық біртекті емес немесе оң жағы бар сызықтық теңдеу деп атайды.

Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

$\begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{0}(t) \ddot{x} + p_{1}(t) \dot{x} + p_{2}(t) x + p_{3}(t) \$ = 0 (1)

$Мұндағы\ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{0}(t), \ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{1}(t), \ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{2}(t), \ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{3}(t)$ - коэффициенттері белгілі бір 〈a, b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және $\begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{0}(t) \neq 0$ , $\forall t \in \langle a, b\rangle$ деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде

$\ddot{x} + p(t) \dot{x} + q(t) x = f(t)$ (2)

қарастырады. Бұл теңдеу сызықтық біртекті емес деп, ал оған сәйкес

$\ddot{x} + p(t) \dot{x} + q(t) x = 0$ (3)

теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталады.

Курстық жұмыстың өзектілігі: Дифференциалдық теңдеулер курсында, екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер өзектілігін жоғалтқан жоқ.

Зерттеудің мақсаттары: Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін зерттеу, екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлерімен танысу, теориялық білімді орнықтыру, практикалық жаңалықтармен танысу және талдау жасау.

Курстық жұмыстың міндеттері:

-Дифференциалдық теңдеулер курсынан екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер туралы мәліметтерді жинақтау.

- Теңдеудің аналитикалық және периодты шешімдерін қорыту.

- Тақырыпқа сай әдебиеттерден мәліметтер жинақтау.

- Курстық жұмыстың тақырыбына сәйкес есептер шығару.

Курстық жұмыстың зерттеу объектісі: Сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Курстық жұмыстың зерттеу пәні: Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Курстық жұмыстың құрылымы: Курстық жұмыс кіріспеден, бес бөлімнен құралған. Кіріспеде курстық жұмыстың өзектілігі мен мақсаты көрсетілген. Бірініші бөлімде: екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері, тербелісті және тербеліссіз шешімдер, теңдеудің аналитикалық шешімдері. Екінші бөлімде: теңдеудің периодты шешімдері, кішкене параметр әдісі, сызықтық шекаралық есеп. Үшінші бөлімде: қорытынды. Төртінші бөлімде: пайдаланылған әдебиеттер тізімі. Және де соңғы бесінші бөлімде практикалық есептер қарастырылған.

І ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

1. Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері

Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

$\begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{0}(t) \ddot{x} + p_{1}(t) \dot{x} + p_{2}(t) x + p_{3}(t) \$ = 0 (1)

$Мұндағы\ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{0}(t), \ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{1}(t), \ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{2}(t), \ \begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{3}(t)$ - коэффициенттері белгілі бір 〈a, b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және $\begin{array}{r} \ \\ p \end{array}_{0}(t) \neq 0$ , $\forall t \in \langle a, b\rangle$ деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде

$\ddot{x} + p(t) \dot{x} + q(t) x = f(t)$ (2)

қарастырады. Бұл теңдеу сызықтық біртекті емес деп, ал оған сәйкес

$\ddot{x} + p(t) \dot{x} + q(t) x = 0$ (3)

теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталады. Әлбетте (1) біртекті емес теңдеуге сәйкес сызықтық біртекті теңдеу.

$\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) \ddot{x} + p_{1}(t) \dot{x} + p_{2}(t) x$ = 0 (4)

түрінде болады.

Егер $\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) \in С^{1}$ (a, b) болып $\frac{d}{dt}\begin{array}{r} \ \\ \ \ p \end{array}_{0}(t)$ = $\ p_{1}(t)$ , $\forall t \in (a, b)$ теңдігі орындалса, онда (4) теңдеу өзіне-өзі түйіндес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Өзіне-өзі түйіндес теңдеулер практикада жиі кездесетін, сондықтан да кеңінен зерттелген теңдеулер санағына жатады. Өзіне-өзі түйіндес теңдеу былайша

$\frac{d}{dt}(\begin{array}{r} \ \\ \ \ p \end{array}_{0}(t) x)$ + $\ q(t) x$ =0

жазылады.

Кез келген екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуді өзіне-өзі түйіндес түрге келтіруге болады. Ол үшін (4) сызықтық біртекті теңдеудің екі жағын да қандайда болмасын бір үзіліссіз дифференциалданатын $\mu = \mu(t)$ функциясына көбейтелік:

${\ \begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}}_{0}(t) \mu\ddot{x} + p_{1}(t) \mu\dot{x} + p_{2}(t) \mu x$ = 0. (5)

Енді $\mu(t)$ функфиясын $\begin{array}{r} \ \\ (\ p \end{array}_{0}(t) \mu) = p_{1}(t) \mu\$ теңдеуінің шешеімі болатындай етіп таңдалық. Бұл теңдеуді ашып жазсақ, бірінші ретті сызықтық біртекті $\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) \mu$ + $\begin{array}{r} \ \\ (\ p \end{array}_{0}(t)$ - $\ \begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{1}(t) ) \mu =$ 0 теңдеуін аламыз. Оның жалпы шешімі:

$\mu(t)$ =Cexp $( - \int_{}^{}\frac{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) - p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }$ dt) =C $\frac{1}{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }$ exp $(\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }$ dt)

функциясы болады. Бізге теңдеудің кез-келген дара шешімін табу жеткілікті. Сондықтан С $= 1$ деп алып, мына

$\mu(t)$ = $\ \frac{1}{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }e^{\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }dt}$

функциясын аламыз. Онда (5) теңдеу мына түрде

$e^{\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }dt}\ddot{x} + \frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }e^{\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }dt}\dot{x} + \frac{p_{2}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }e^{\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }dt}x$ = 0

жазылады, яғни өзіне-өзі түйіндес түрде

${(e}^{\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }dt}x) + \frac{p_{2}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }e^{\int_{}^{}\frac{p_{1}(t) }{\begin{array}{r} \ \\ \ p \end{array}_{0}(t) }dt}x$ = 0

болады.

Көп жағдайда (3) теңдеуді оған бірінші ретті туынды кірмейтін түрде $\ddot{x}$ + $\ q(t) x$ = 0 деп қарастырған қолайлы. Бұл түрге де (3) те ңдеуді әрқашанда келтіруге болады. Келтірудің екі жолы бар: тәуелсіз айнымалыны өзгерту немесе ізделінетін функцияны біртекті сызықты етіп ауыстыру.

1. Жаңа тәуелсіз айнымалыτ−ды\tau - ды\мына үзіліссіз дифференциалданатын функцияτ=φ(t) \tau = \varphi(t), t∈t \in(a, b) арқылы енгізелік. (φ\varphi:(a, b) →(α, β) \rightarrow (\alpha, \beta) ) .

Ауыстыруды енгізген кезде $t$ бойынша алынған туындыдан $\tau$ бойынша алынған туындыға көшу керек:

$$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\tau} \bullet \frac{d\tau}{dt} = xʹ\varphi, \ \ \ \ \ \ xʹ: = \frac{dx}{d\tau}, \ \ \$$

$$\ddot{x} = \frac{dxʹ}{d\tau} \bullet \frac{d\tau}{dt} + xʹ\ddot{\varphi} = x^{n}{\dot{\varphi}}^{2} + xʹ\ddot{\varphi}, \ \ \ \ \ \ xʹ: = \frac{d^{2}x}{d\tau^{2}}. \ \ \$$

Сонда (3) теңдеу мына түрге ${\dot{\varphi}}^{2}x^{n}$ +( $\ddot{\varphi} + p(t) \dot{\varphi}) xʹ + q(t) x = 0$ келтіріледі. Енді $\varphi(t)$ функциясын бірінші туындының коэффициентінөлге тең, яғни $\varphi + p(t) \varphi = 0$ теңдеуінің қандайда болмасын бір шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Оның жалпы шешімі:

$$\varphi(t) = C_{1}\int_{}^{}e^{- \int_{}^{}{p(t) dt}}dt + C_{2}$$

функциясы болады. Мұнда $C_{1}{, \ C}_{2}$ - еркін тұрақтылар. Бізге теңдеудің кез келген дара шешімін табу жеткілікті болғандықтан $C_{1} = 1{, \ C}_{2} = 0\$ деп алып, ауыстырудың мына түрін

$\tau = \varphi(t) = \int_{}^{}e^{- \int_{}^{}{p(t) dt}}dt$ (6)

аламыз. Бұл функция үзіліссіз дифференциалданады және

$$\frac{d\tau}{dt} + \dot{\varphi}(t) = e^{- \int_{}^{}{p(t) dt}} > 0$$

Сондықтан (6) функцияның кері функциясы бар. Оны $\psi(t)$ деп белгілелік, яғни $t = \psi(t), \ \tau = \in (a, b)$ . Әлбетте кері функция $\psi(\tau)$ үзіліссіз дифференциалданады. Сонымен (6) ауыстыруды енгізу нәтижесінде біріншіретті туынды кірмейтін

$$x^{n} + q(\psi(\tau) ) e^{2\int_{}^{}{p(\psi(\tau) ) \psi ʹ(\tau) d\tau}}x = 0$$

теңдеуін аламыз.

2. Ізделінетін функцияны жаңа функция y - пен сызықтық біртекті түрде

$x = a(t) y$ (7)

ауыстырамыз. Мұндағы $a(t)$ функциясын қарастырылып отырған (a, b) аралығында үзіліссіз дифференциалданатын, нөлге тең емес функция деп есептейміз. Енгізілген (7) ауыстыруды (3) теңдеуге қоялық

$$\ddot{a}(t) y + 2\dot{a}(t) \dot{y} + a(t) \ddot{y} + p(t) (\dot{a}(t) y + a(t) \dot{y}) + q(t) a(t) y = 0.$$

Бұдан

$$\ddot{y} + (\frac{2\dot{a}}{a} + p(t) ) \dot{y} + (\frac{\ddot{a}}{a} + p(t) \frac{\dot{a}}{a} + q(t) ) y = 0$$

Енді $a(t)$ функциясын бірінші ретті туындының коэффициенті нөлге тең болатындай, яғни

$$\frac{2\dot{a}}{a} + p(t) = 0$$

теңдеуінің бір дербес шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Бұдан

$a(t) = e^{- \frac{1}{2}\int_{}^{}{p(t) dt}}$ (8)

Сонда

$\dot{a}(t) = - \frac{1}{2}p(t) e^{- \frac{1}{2}\int_{}^{}{p(t) dt}},$ $\ddot{a}(t) = ({- \frac{1}{2}\dot{p}(t) + \frac{1}{4}p^{2}(t) ) e}^{- \frac{1}{2}\int_{}^{}{p(t) dt}}$

$$\ddot{y} + ( - \frac{1}{2}\dot{p}(t) + \frac{1}{4}p^{2}(t) + q(t) ) y = 0$$

Мұндағы J(t) := $- \frac{1}{2}\dot{p}(t) + \frac{1}{4}p^{2}(t) + q(t)$ функциясы (4) ауыстырудың коэффициенті болатын $a(t)$ функциясынан тәуелді емес. Ол (7) түрдегі барлық ауыстырулар үшін өзінің түрін сақтайды. Сондықтан оны (2) теңдеудің инварианты деп атайды.

1. 1 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер.

Екінші ретті сызықтық біртекті

$\ddot{x} + p(t) \dot{x} + q(t) x = 0$ (1)

теңдеуін қарастыралық. Мұндағы p(t) және q(t) функцияларын $\lbrack a, b\rbrack$ кесіндісінде нақты мәнді және мына шарттарды

$$p(t) \in C^{1}\lbrack a, b\rbrack, \ q(t) \in C\lbrack a, b\rbrack$$

қанағаттандырады деп есептелік. Онда (1) теңдеуді

${x = e}^{- \frac{1}{2}\int_{}^{}{p(t) dt}}\$ (2)

ауыстыруы арқылы

$\ddot{y} + g(t) y = 0$ (3)

теңдеуіне келтіруге болатыны көрсетіледі. Мұнда $g(t) \in C\lbrack a, b\rbrack$ . Сызықтық біртекті (1) не (3) түрдегі теңдеулердің нөлдік шешімі бар екені айқын. Біз нөлік емес шешімдердің нөлге тең болатын жағдайларын зерттейміз. Нақты шешімдер нөлге тең болатын нүктелерді осы шешімнің нөлдері деп атайды. Әлбетте (2) ауыстыру шешімнің нөлдерінің санын өзгертпейді, яғни (1) теңдеудің $x = \varphi(t)$ шешімінің нөлдер саны қаншаболса, (3) теңдеудің осы шешімге (2) формула бойынша сәйкес келетін $y = \psi(t)$ шешімінің нөлдер саны да сонша болады. (Себебі $e^{- \frac{1}{2}\int_{}^{}{p(t) dt}} \neq 0, \ \$ $\ t \in \lbrack a, b\rbrack$ . ) Шешімнің өзара көрші орналасқан (арасында шешімнің басқа нөлі жоқ) нөлдерін көрші нөлдер деп атайды.

Коэффициент $g(t)$ тұрақты болған кездегі (3) теңдеуді қарастыралық.

$1. \ \ g(t) = - \omega^{2}, \ \forall t \in \lbrack a, b\rbrack$ , $\omega \in R, \$ (3) ⇒ $\ddot{y} - \omega^{2}y$ =0 (3ʹ)

Бұл (3ʹ) теңдеуінің жалпы шешімі

$$y = C_{1}e^{- \omega t} + C_{2}e^{\omega t}$$

функциясына тең. Сондықтан оның кез келген шешімі ешбір аралықта бірден артық нөлге тең болмайды.

$2. \ \ \ g(t) = \omega^{2}, \ \forall t \in \lbrack a, b\rbrack$ , $\omega \in R, \$ (3) ⇒ $\ddot{y} + \omega^{2}y$ =0 (3ʹʹ)

Бұл теңдеудің жалпы шешімі:

$$y = C_{1}cos\omega t + C_{2}sin\omega t = Asin(\omega t + \varphi)$$

Мұндағы $C_{1} = \ Asin\varphi$ , $C_{2} = Acos\varphi$ , $C_{1}{, C}_{2}, A, \varphi$ кез келген нақты сандар. Бұдан (3ʹʹ) теңдеуінің кез келген шешімі гармониялық тербелісті анықтайтыны және (- $\infty, + \infty)$ аралығында оның нөлдерінің саны ақырсыз болатыны көрініп тұр (көрші екі нөлінің арақашықтығы $\frac{\pi}{\omega}$ -ға тең) . Сондықтан 2 $\frac{\pi}{\omega}$ -ден артық болатын кез келген аралықта олар ең болмағанда екі рет нөлге тең болады. Әлбетте $\omega$ -ның мәні неғұрлым үлкен болса, көрші нөлдердің арақашықтығы соғұрлым кіші болады, яғни шешімнің тербелісі жиірек болады. Әдетте қарастырылып отырған аралықта нөлінің саны екіден кем болмайтын шешімді осы аралықта тербелмелі шешім деп, ал нөлінің саны бірден аспайтын шешімді тербеліссіз шешім деп атайды.

ЛЕММА. Сызықтық біртекті (1) немесе (3) теңдеуінің нөлдік емес шешімінің $\lbrack a, b\rbrack$ кесіндісіндегі нөлінің саны ақырлы болады.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс