Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер теориясы
КІРІСПЕ ... ... ... ...3
І Екінші ретті сызықтық дифферениалдық теңдеулер.
1.1 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері ... ... 5 1.2 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер ... .9
1.3 Теңдеудің аналитикалық шешімдері...13
ІІ Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің периоды мен параметрі ...
2.1 Теңдеудің периодты шешімдері ... ... ..15 2.2 Кішкене параметр әдісі ... ... ... 19
2.3 Сызықтық шекаралық есеп ... ... ... ... ...24
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ..26
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ...29
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
І Екінші ретті сызықтық дифферениалдық теңдеулер.
1.1 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері ... ... 5 1.2 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер ... .9
1.3 Теңдеудің аналитикалық шешімдері...13
ІІ Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің периоды мен параметрі ...
2.1 Теңдеудің периодты шешімдері ... ... ..15 2.2 Кішкене параметр әдісі ... ... ... 19
2.3 Сызықтық шекаралық есеп ... ... ... ... ...24
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ..26
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ...29
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
Ізделінетін функция мен оның туындылары бойынша сызықтык болатын n -ретті дифференциалдық теңдеу
〖a_0 (t)x〗^((n) )+a_1 (t) x^((n-1))+...+a_(n-1) (t) x ̇+a_n (t)x=f(x) 〖(1`)〗^`
n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы a_0 (t),a_1 (t),...,a_n (t): ∶→ R функцияары теңдеудің коэффициенттері деп, f(t)- бос муше немесе теңдеудің оң жағы деп аталады. олар берілген аралығында үзіліссіз деп саналады жэне ∃t∈,a_0 (t)≠0 (теңдеу n-ретті). егер ∀t∈ болса, оңда теңдеудін екі жағын да сол коэффициентке бөліп, мына теңдеуді
x^((n) )+p_1 (t) x^(n-1)+...+p_(n-1) (t) x ̇+p_n (t)x=f(x) (1)
аламыз. Мұнда
p_j (t)=(a_j (t))/(a_0 (t) )∈C,J=(1,n) ̅; q(t)= f(t)/(a_0 (t) )∈C
Егер ∃t∈, f(t)≠0 немесе q(t)≠0 болса, онда (1`) немесе (1) теңдеуді сызықтық біртекті емес немесе оң жағы бар сызықтық теңдеу деп атайды.
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
– коэффициенттері белгілі бір 〈a,b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде
〖a_0 (t)x〗^((n) )+a_1 (t) x^((n-1))+...+a_(n-1) (t) x ̇+a_n (t)x=f(x) 〖(1`)〗^`
n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы a_0 (t),a_1 (t),...,a_n (t): ∶
x^((n) )+p_1 (t) x^(n-1)+...+p_(n-1) (t) x ̇+p_n (t)x=f(x) (1)
аламыз. Мұнда
p_j (t)=(a_j (t))/(a_0 (t) )∈C
Егер ∃t∈
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
– коэффициенттері белгілі бір 〈a,b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде
1. Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер курсы. Алматы.:
Рауан,1991,360б.
2. Сулейменов Ж. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер.
Алматы,КазГУ.1981.-45б
3. Альчинбаева А.Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2008 .[5-10]б.
4. Көлекеев К, Назарова К. Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2010
[11-12]б.
5. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
6.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. 2-ші этап. Алматы.: Білім, 1996,256б.
6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1959,
468б.
7. Филлиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука,1984,128б.
8. Бейлин Н. Математика в биологии и медицине. Пер. С англ. М., Мир, 1970.
9. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. М., Наука, 1974.
10. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985,4486.
11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,1965
Рауан,1991,360б.
2. Сулейменов Ж. Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер.
Алматы,КазГУ.1981.-45б
3. Альчинбаева А.Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2008 .[5-10]б.
4. Көлекеев К, Назарова К. Дифференциалдық теңдеулер. Түркістан 2010
[11-12]б.
5. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
6.Сулейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. 2-ші этап. Алматы.: Білім, 1996,256б.
6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1959,
468б.
7. Филлиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука,1984,128б.
8. Бейлин Н. Математика в биологии и медицине. Пер. С англ. М., Мир, 1970.
9. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. М., Наука, 1974.
10. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985,4486.
11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,1965
Мазмұны
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
І Екінші ретті сызықтық дифферениалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ..
1.1 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5 1.2 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...9 1.3 Теңдеудің аналитикалық шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .13
ІІ Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің периоды мен параметрі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.1 Теңдеудің периодты шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .15 2.2 Кішкене параметр әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19 2.3 Сызықтық шекаралық есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...31
КІРІСПЕ
Ізделінетін функция мен оның туындылары бойынша сызықтык болатын n -ретті дифференциалдық теңдеу
N-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы R функцияары теңдеудің коэффициенттері деп, f- бос муше немесе теңдеудің оң жағы деп аталады. олар берілген a,b аралығында үзіліссіз деп саналады жэне ∃t∈a,b, (теңдеу n-ретті). егер ∀t∈a,b болса, оңда теңдеудін екі жағын да сол коэффициентке бөліп, мына теңдеуді
аламыз. Мұнда
Егер ∃t∈a,b, f немесе q болса, онда (1`) немесе (1) теңдеуді сызықтық біртекті емес немесе оң жағы бар сызықтық теңдеу деп атайды.
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
p0(t)x+p1(t)x+p2(t)x+p3(t) = 0 (1)
Мұндағы p0(t), p1(t), p2(t), p3(t) - коэффициенттері белгілі бір 〈a,b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және p0(t)!=0, ∀t∈〈a,b〉 деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде
x+p(t)x+q(t)x=f(t) (2)
қарастырады. Бұл теңдеу сызықтық біртекті емес деп, ал оған сәйкес
x+p(t)x+q(t)x=0 (3)
теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталады.
Курстық жұмыстың өзектілігі: Дифференциалдық теңдеулер курсында , екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер өзектілігін жоғалтқан жоқ.
Зерттеудің мақсаттары: Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін зерттеу, екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлерімен танысу, теориялық білімді орнықтыру, практикалық жаңалықтармен танысу және талдау жасау.
Курстық жұмыстың міндеттері:
-Дифференциалдық теңдеулер курсынан екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер туралы мәліметтерді жинақтау.
- Теңдеудің аналитикалық және периодты шешімдерін қорыту.
- Тақырыпқа сай әдебиеттерден мәліметтер жинақтау.
- Курстық жұмыстың тақырыбына сәйкес есептер шығару.
Курстық жұмыстың зерттеу объектісі: Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Курстық жұмыстың зерттеу пәні: Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер
Курстық жұмыстың құрылымы: Курстық жұмыс кіріспеден, бес бөлімнен құралған. Кіріспеде курстық жұмыстың өзектілігі мен мақсаты көрсетілген. Бірініші бөлімде: екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері, тербелісті және тербеліссіз шешімдер, теңдеудің аналитикалық шешімдері. Екінші бөлімде: теңдеудің периодты шешімдері, кішкене параметр әдісі, сызықтық шекаралық есеп. Үшінші бөлімде: қорытынды. Төртінші бөлімде: пайдаланылған әдебиеттер тізімі. Және де соңғы бесінші бөлімде практикалық есептер қарастырылған.
І ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
1.Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
p0(t)x+p1(t)x+p2(t)x+p3(t) = 0 (1)
Мұндағы p0(t), p1(t), p2(t), p3(t) - коэффициенттері белгілі бір 〈a,b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және p0(t)!=0, ∀t∈〈a,b〉 деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде
x+p(t)x+q(t)x=f(t) (2)
қарастырады. Бұл теңдеу сызықтық біртекті емес деп, ал оған сәйкес
x+p(t)x+q(t)x=0 (3)
теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталады. Әлбетте (1) біртекті емес теңдеуге сәйкес сызықтық біртекті теңдеу.
p0(t)x+p1(t)x+p2(t)x= 0 (4)
түрінде болады.
Егер p0(t)∈С1(a,b) болып ddt p0(t)= p1(t), ∀t∈(a,b) теңдігі орындалса, онда (4) теңдеу өзіне-өзі түйіндес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Өзіне-өзі түйіндес теңдеулер практикада жиі кездесетін, сондықтан да кеңінен зерттелген теңдеулер санағына жатады. Өзіне-өзі түйіндес теңдеу былайша
ddt( p0(t)x) + q(t)x =0
жазылады.
Кез келген екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуді өзіне-өзі түйіндес түрге келтіруге болады. Ол үшін (4) сызықтық біртекті теңдеудің екі жағын да қандайда болмасын бір үзіліссіз дифференциалданатын μ=μ(t) функциясына көбейтелік:
p0(t)μx+p1(t)μx+p2(t)μx= 0. (5)
Енді μ(t) функфиясын ( p0(t)μ)=p1(t)μ теңдеуінің шешеімі болатындай етіп таңдалық. Бұл теңдеуді ашып жазсақ, бірінші ретті сызықтық біртекті p0(t)μ+ ( p0(t)- p1(t))μ= 0 теңдеуін аламыз. Оның жалпы шешімі:
μ(t)=Cexp(- p0(t)-p1(t) p0(t)dt)=C1 p0(t)exp (p1(t) p0(t)dt)
функциясы болады. Бізге теңдеудің кез-келген дара шешімін табу жеткілікті. Сондықтан С =1 деп алып, мына
μ(t)= 1 p0(t)ep1(t) p0(t)dt
функциясын аламыз. Онда (5) теңдеу мына түрде
ep1(t) p0(t)dtx+p1(t) p0(t)ep1(t) p0(t)dtx+p2(t) p0(t)ep1(t) p0(t)dtx=0
жазылады, яғни өзіне-өзі түйіндес түрде
(ep1(t) p0(t)dtx)+p2(t) p0(t)ep1(t) p0(t)dtx=0
болады.
Көп жағдайда (3) теңдеуді оған бірінші ретті туынды кірмейтін түрде x + q(t)x = 0 деп қарастырған қолайлы. Бұл түрге де (3) те ңдеуді әрқашанда келтіруге болады. Келтірудің екі жолы бар: тәуелсіз айнымалыны өзгерту немесе ізделінетін функцияны біртекті сызықты етіп ауыстыру.
Жаңа тәуелсіз айнымалы τ-ды мына үзіліссіз дифференциалданатын функция τ=φ(t), t∈ (a,b) арқылы енгізелік. (φ:(a,b)--(α,β)).
Ауыстыруды енгізген кезде t бойынша алынған туындыдан τ бойынша алынған туындыға көшу керек:
x=dxdt=dxdτ∙dτdt=xʹφ, xʹ:=dxdτ,
x=dxʹdτ∙dτdt+xʹφ=xnφ2+xʹφ, xʹ:=d2xdτ2.
Сонда (3) теңдеу мына түрге φ2xn+(φ+p(t)φ)xʹ+q(t)x=0 келтіріледі. Енді φ(t) функциясын бірінші туындының коэффициентінөлге тең, яғни φ+p(t)φ=0 теңдеуінің қандайда болмасын бір шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Оның жалпы шешімі:
φ(t)=C1e-p(t)dtdt+C2
функциясы болады. Мұнда C1, C2 - еркін тұрақтылар. Бізге теңдеудің кез келген дара шешімін табу жеткілікті болғандықтан C1=1, C2=0 деп алып, ауыстырудың мына түрін
τ=φ(t)=e-p(t)dtdt (6)
аламыз. Бұл функция үзіліссіз дифференциалданады және
dτdt+φ(t)=e-p(t)dt0
Сондықтан (6) функцияның кері функциясы бар. Оны ψ(t) деп белгілелік, яғни t=ψ(t), τ=∈(a,b). Әлбетте кері функция ψ(τ) үзіліссіз дифференциалданады. Сонымен (6) ауыстыруды енгізу нәтижесінде біріншіретті туынды кірмейтін
xn+q(ψ(τ))e2p(ψ(τ))ψʹ(τ)dτx=0
теңдеуін аламыз.
2.Ізделінетін функцияны жаңа функция y - пен сызықтық біртекті түрде
x=a(t)y (7)
ауыстырамыз. Мұндағы a(t) функциясын қарастырылып отырған (a,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданатын, нөлге тең емес функция деп есептейміз. Енгізілген (7) ауыстыруды (3) теңдеуге қоялық
a(t)y+2a(t)y+a(t)y+p(t)(a(t)y+a(t)y )+q(t)a(t)y=0.
Бұдан
y+(2aa+p(t))y+(aa+p(t)aa+q(t))y=0
Енді a(t) функциясын бірінші ретті туындының коэффициенті нөлге тең болатындай, яғни
2aa+p(t)=0
теңдеуінің бір дербес шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Бұдан
a(t)=e-12p(t)dt (8)
Сонда
a(t)=-12p(t)e-12p(t)dt, a(t)=(-12p(t)+14p2(t))e-12p(t)dt
y+(-12p(t)+14p2(t)+q(t))y=0
Мұндағы J(t) := -12p(t)+14p2(t)+q(t) функциясы (4) ауыстырудың коэффициенті болатын a(t) функциясынан тәуелді емес. Ол (7) түрдегі барлық ауыстырулар үшін өзінің түрін сақтайды. Сондықтан оны (2) теңдеудің инварианты деп атайды.
1.1 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер.
Екінші ретті сызықтық біртекті
x+p(t)x+q(t)x=0 (1)
теңдеуін қарастыралық. Мұндағы p(t) және q(t) функцияларын [a,b] кесіндісінде нақты мәнді және мына шарттарды
p(t)∈C1[a,b], q(t)∈C[a,b]
қанағаттандырады деп есептелік. Онда (1) теңдеуді
x=e-12p(t)dt (2)
ауыстыруы арқылы
y+g(t)y=0 (3)
теңдеуіне келтіруге болатыны көрсетіледі. Мұнда g(t)∈C[a,b]. Сызықтық біртекті (1) не (3) түрдегі теңдеулердің нөлдік шешімі бар екені айқын. Біз нөлік емес шешімдердің нөлге тең болатын жағдайларын зерттейміз. Нақты шешімдер нөлге тең болатын нүктелерді осы шешімнің нөлдері деп атайды. Әлбетте (2) ауыстыру шешімнің нөлдерінің санын өзгертпейді, яғни (1) теңдеудің x=φ(t) шешімінің нөлдер саны қаншаболса, (3) теңдеудің осы шешімге (2) формула бойынша сәйкес келетін y=ψ(t) шешімінің нөлдер саны да сонша болады. (Себебі e-12p(t)dt!=0, t∈[a,b].) Шешімнің өзара көрші орналасқан (арасында шешімнің басқа нөлі жоқ) нөлдерін көрші нөлдер деп атайды.
Коэффициент g(t) тұрақты болған кездегі (3) теңдеуді қарастыралық.
1. g(t)=-ω2, ∀t∈[a,b], ω∈R, (3)⇒ y-ω2y=0 (3ʹ)
Бұл (3ʹ) теңдеуінің жалпы шешімі
y=C1e-ωt+C2eωt
функциясына тең. Сондықтан оның кез келген шешімі ешбір аралықта бірден артық нөлге тең болмайды.
2. g(t)=ω2, ∀t∈[a,b], ω∈R, (3)⇒y+ω2y=0 (3ʹʹ)
Бұл теңдеудің жалпы шешімі:
y=C1cosωt+C2sinωt=Asin(ωt+φ)
Мұндағы C1= Asinφ, C2=Acosφ, C1,C2,A,φ кез келген нақты сандар. Бұдан (3ʹʹ) теңдеуінің кез келген шешімі гармониялық тербелісті анықтайтыны және (-infinity,+infinity) аралығында оның нөлдерінің саны ақырсыз болатыны көрініп тұр (көрші екі нөлінің арақашықтығы PIω-ға тең). Сондықтан 2PIω-ден артық болатын кез келген аралықта олар ең болмағанда екі рет нөлге тең болады. Әлбетте ω-ның мәні неғұрлым үлкен болса, көрші нөлдердің арақашықтығы соғұрлым кіші болады, яғни шешімнің тербелісі жиірек болады. Әдетте қарастырылып отырған аралықта нөлінің саны екіден кем болмайтын шешімді осы аралықта тербелмелі шешім деп, ал нөлінің саны бірден аспайтын шешімді тербеліссіз шешім деп атайды.
ЛЕММА. Сызықтық біртекті (1) немесе (3) теңдеуінің нөлдік емес шешімінің [a,b] кесіндісіндегі нөлінің саны ақырлы болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Кері жорып (1) теңдеудің нөлдік емес бір x=φ(t) шешімі [a,b] кесіндісінде ақырсыз рет нөлге теңғ ал t1,t2,...,tn,... осы нөлдер екен делік. Бұл сандар тізбегі {tn} шенелген болғандықтан, Больцано-Вейерштрасс теоремасы бойынша одан жинақталатын ішкі тізбек {tnk} бөліп алуға болады. Осы ішкі тізбектің шегі t* , болсын, яғни k--infinity⇒tnk--t*. Әлбетте φ(tnk)=0, бұдан шешімнің үзіліссіздігі бойынша φ(t*)=0 болады. Ролль теоремасы бойынша (tnk, tnk+1) аралығында tʹnk нүктесі табылып, φ(tʹnk )=0 болады. Ал k--infinity⇒tʹnk--t*. Олай болса φ(t*)=0. Демек φ(t*)=0, φ(t*)=0 болғандықтан, жалғыздық шарты бойынша φ(t)=0, ∀t∈[a,b]. Бұл шешім нөлдік емес деген шартқа қайшы. Лемма дұрыс.
САЛЫСТЫРУ ТЕОРЕМАСЫ. Коэффициенттері (a,b) аралығында нақты мәнді және үзіліссіз екі дифференциалдық теңдеу қарастырайық:
y+g1(t)y=0 (41)
z+g2(t)z=0 (42)
Егер
g1(t)=g2(t), ∀t∈〈a,b〉
болса, онда (41) теңдеудің кез келген нөлдік емес шешімінің әрбір көрші екі нөлінің арасында (42) теңдеудің кез-келген шешімінің ең болмағанда бір нөлі жатады. Мұнда 〈a,b〉 - ашық (яғни (a,b)) немесе тұйық (яғни [a,b]) аралық.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық t1, t2∈〈a,b〉, t1˂ t2 нүктелері (41) теңдеудің y=φ(t) шешімнің көрші екі нөлі болсын:
φ(t1)=φ(t2)=0, ∀t∈( t1, t2): φ(t)!=0.
Әрбір нөлдік емес шешімнің кез-келген кесіндідегі нөлінің саны ақырлы болғандықта, олар бір-бірінен оқшау орналасады, яғни әрбір нөлдің басқа нөл кірмейтін маңайы бар болады. Анық болу үшін φ(t)0, ∀t∈( t1, t2) деп есептелік. Енді (42) теңдеудің z=ψ(t) шешімі [t1, t2] кесіндісінде нөлге тең болмайды деп жорып, анықтық үшін ψ(t)0, ∀t∈( t1, t2) деп есептейік. Берілген (41) және (42) теңдеулерге олардың сәйкес y=φ(t) және z=ψ(t) шешімдерін апарып қоялық. Шешімдер 〈a,b〉 аралығында анықталған. Одан соң (42) - ден шыққан теңдікті φ(t) - ға, ал (41) - ден алынған теңдікті ψ(t) - ға көбейтелік те,бірінші теңдіктен екінші теңдікті мүшелеп алалық. Сонда
φ(t) ψ(t)-ψ(t) φ(t)+(g1(t)-g2(t))φ(t)ψ(t) = 0, ∀t∈〈a,b〉.
Бұл тепе-теңдікті t1 - ден t2 - ге дейін интегралдадық. Онда
φ ψ - ψφ=(φψ -φψ)
және φ(t1) =φ(t2) = 0 екенін ескеріп,
φ(t2)ψ(t2)-φ(t1)ψ(t1)+t1t2(g1(τ)-g1 (τ))φ(τ) ψ(τ)dτ = 0 (5)
тепе-теңдігін аламыз. Ал y= φ(t) шешімі нөлдік емес болғандықтан φ(t1)!=0, φ(t2)!=0. Егер олардың біреуі нөлге тең болса φ(t1)=0, φ(t2)= 0 болғандықтан (бастапқы нөлдік шартты қанағаттандыруы себепті) y= φ(t) нөлдік шешім болар еді. Сондықтан φ(t)0, ∀t∈( t1, t2) деп алғандықтан φ(t1)0, φ(t2)0 болады. Ал ψ(t)0, ∀t∈( t1, t2). Демек:
φ(t2)ψ(t2)-φ(t1)ψ(t1) 0.
Енді g1(t)=g2(t) және ∀t∈[ t1, t2] үшін φ(t)=0, ψ(t)0 екенін ескерсек, онда (g1(t)-g2(t))φ(t)ψ(t) = 0, ∀t∈[ t1, t2] теңсіздігі алынады. Ендеше (5) формуладағы интеграл оң емес. Сонымен (5) теңдіктің сол жағында теріс сан тұр, ал оң жағы нөлге тең. Бұл қайшылық жорудың қателігінен болып тұр. Жору дұрыс емес, [ t1, t2] - де ψ(t) - ның ең болмағанда бір нөлі бар.
1-САЛДАР. Егер (g(t)=0, ∀t∈a,b болса, онда (3) теңдеудің кез-келген шешімі тербеліссіз болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Салыстыру теоремасын қолданамыз. Ол үшін g1(t):=g(t),g2(t):=0, ∀t∈a,b деп есептейміз. Кері жорып, (3) теңдеудің тербелісті бір y= φ(t) шешімі бар және t1, t2∈a,b, t1 t2 оның екі нөлі екен делік. Онда [ t1, t2] кесіндісінде z=0 теңдеуінің кез-келген шешімі ең болмағанда бір рет нөлге тең болуы керек. Бұл дұрыс емес, мысалы, оның z(t) = 1 шешімі ол кесіндіде нөлге тең емес.
2-САЛДАР. (Штурм * теоремасы). Сызықтық біртекті (1) немесе (3) теңдеудің сызықтық тәуелсіз екі шешімінің нөлдері өзара кезектесіп орналасады, яғни бір шешімнің көрші екі нөлінің ортасында онымен сызықтық тәуелсіз болатын екінші шешімнің тек қана бір нөлі жатады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Салдарды (3) теңдеу үшін дәлелдеу жеткілікті. y=φ1(t) және y=φ2(t) (3) теңдеудің өзара сызықтық тәуелсіз екі шешімі болсын. Олар ортақ нөлге ие бола алмайды, себебі егер φ1(t1)=φ2(t1)=0 болса, онда вронскиан
W(t)=φ1(t)φ2(t)φ1(t)φ2(t)
t1 нүктесінде нөлге тең болар еді де, φ1(t) мен φ2(t) шешімдері өзара сызықтық тәуелді болар еді. Айталық, t1, t2 нүктелері φ1(t) шешімінің көрші екі нөлі болсын, t1t2. Салыстырылатын (41) және (42) теңдеулер үшін (3) теңдеудің өзін аламыз, яғни g1(t)=g2(t): = g(t), ∀t∈a,b. Салыстыру теоремасы бойынша t1 мен t2 - нің арасында φ2(t) шешімінің ең болмағанда бір нөлі жатады. Олар екеу болсын: t3 және t4, яғни φ2(t3)=φ2(t4)=0. Онда салыстыру теоремасы бойынша t3 мен t4 - тің арасында φ1(t) шешімінің ең болмағанда бір нөлі бар болады, яғни ∃t0∈(t3,t4)⊂(t1, t2), φ1(t0)=0. Бұл t1 мен t2 нүктелері φ1(t) шешімінің көрші нөлдері деген шартқа қайшы. Салдар дұрыс.
1.2 Теңдеудің аналитикалық шешімдері
Егер t=t0 нүктесінің қандайда болмасын бір маңайы табылып, ол маңайда f(t) функциясы (t-t0) - дің дәрежелері бойынша жазылған дәрежелік (жинақты) қатарға жіктелсе, яғни
f(t)=k=0infinityak(t-t0)k, (1)
Онда f(t) функциясын t=t0 нүктесінде аналитикалық немесе голоморфты функция деп атайды. Егер t- комплекс мәнді айнымалы болса, онда аталған жағдайда қатардың ak коэффициенттері де комплекс сандар болады. Біз нақты аналитикалық функцияларды қарастырамыз (яғни t,t0,ak∈R). Егер f(t) функциясы қандайда болмасын бір аралықтың барлық нүктесінде аналитикалық функция болса, онда оны осы аралықта аналитикалық функция деп атайды.
Аналитикалық функциялардың жиыны азайту, қосу және көбейту амалдары бойынша тұйық.
Айталық, r0 - (1) қатардың жинақталу радиусы болсын, яғни t-t0r болғанда қатар жинақты, ал t-t0 r болғанда жинақсыз (r=infinity болса, қатар кез-келген t үшін жинақты). Онда (t0-r,t0+r) аралығында f(t) функциясының кез-келген ретке дейінгі туындысы бар болады, ол туындылар (1) қатарды мүшелеп дифференциалдау арқылы табылады. Айта кетер жағдай (1) қатарды дифференциалдау нәтижесінде алынған қатарлардың жинақталу радиусы r-ге тең болады. Бұл келтірілген қасиеттер f(t)функциясының интегрелдары үшін де орындалады. Аналитикалық функция жалғыздық қасиетке ие: берілген t=t0 нүктесінде аналитикалық болатын f(t) функциясының (1) қатар түрінде жазылуы жалғыз, яғни егер
f(t)=k=0infinityak(t-t0)k=k=0infini tybk(t-t0)k,t-t0r
болса, онда ak=bk, k=0, 1, 2,...
Екінші ретті сызықтық біртекті теңдеу
x +p(t)x+q(t)x=0 (2)
қарастыралық. Оның коэффициенттері t0 нүктінің (t0-r,t0+r) маңайында аналитикалық функциялар болсын:
p(t)=k=0infinitypk(t-t0)k, q(t)=k=0infinityqk(t-t0)k (3)
Онда (2) теңдеудің кез-келген шешімі де осы маңайда аналитикалық функция болады [15]. Бұл тұжырым кез-келген n-ретті сызықтық біртекті теңдеулер үшін де дұрыс. Бұл қасиет (2) теңдеудің шешімдерін дәрежелік қатар арқылы табуға мүмкіндік береді. Ықшамдылық үшін t0=0 деп алайық.
Теңдеудің шешімін t-ның дәрежесі бойынша жазылған коэффициенттері анықталмаған дәрежелік қатар түрінде іздейміз:
x(t)=k=0infinityxk∙tk (4)
Бұл қатарды, екінші ретке дейін формальды түрде дифференциалдап, (3) қатарларды (t0=0) ескере отырып, (2) теңдеуге қоялық
k=2infinityk(k-1)xktk-2+j=0infinity pjtjk=1infinitykxktk-1+j=0infinityq jtjk=0infinityxktk=0, ∀t∈(-r,r). (5)
Алынған (4) функциясы (2) теңдеудің (-r,r) аралығындағы шешімі болу үшін (5) тепе-теңдіктің орындалуы қажет. Ол тепе-теңдіктің екі жағы да дәрежелік қатар. Жалғыздық қасиет бойынша сол жақта тұрған қатардың (қатарларды көбейту және қосу нәтижесінде алынаты) барлық коэффициенті нөлге тең болуы керек. Сонда t0,t1,t2,... дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерді нөлге теңестіре отырып, белгісіз x0,x1,x2 шамаларын анықтау үшін мынадай рекуррентті теңдеулер жүйесін аламыз:
q0x0+p0x1+1∙2∙x2=0;q1x0+(q0+p1)x1+2 p0x2+2∙3x3=0; ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .k=0n(qn-kx k+(k+1)pn-kxk+1)+(n+1)(n+2)xn+2=0;. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Алғашқы екі коэффициент x0 мен x1-лерді еркін (кез-келген) сан етіп алуға болады. Олар шешімнің өзі мен туындысына қойылатын бастапқы x(0)=x0, x(0)=x1 шартқа эквивалент. Әуелі бірінші теңдеуден x2-ні табамыз, сонан кейін екінші теңдеуден x3-ті табамыз, әрі қарай сол сияқты. Табылған коэффициенттерді (4) - ке қойып коэффициенттері анықталған дәрежелік қатар аламыз. Ол қатар жоғарыда келтірген тұжырым бойынша (-r,r) аралығында жинақты. Олай болса, оны екі ретке дейін дифференциалдағанымыз заңды. Демек алынған қатар - (2) теңдеудің шешімі.
ІІ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ПЕРИОДЫ МЕН ПАРАМЕТРІ
2.1 Теңдеудің периодты шешімдері
Нақты сандар өсі R-де анықталған f(t) функциясы берілсін. Егер ол үшін ω∈R саны табылып, мына шарттар
1)t-ω, t+ω∈R, ∀t∈R (1)
2)f(t+ω)=f(t), ∀t∈R
орындалатын болса, онда f(t) функциясын R өсінде периодты функция (ω-периодты функция) деп, ал ω санын оның периоды деп атайды. Әлбетте ω-периодты функция мына теңдікті де қанағаттандырады:(t-ω∈R, t∈R болғанда):
f(t-ω)=f(t), ∀t∈R.
Демек, егер k∈Z үшін t+ kω∈R, ∀t∈R болса, f(t+ kω)=f(t), t∈R, орындалады яғни kω, k∈Z, саны да f(t) функциясының периоды болады. периодты функцияның периоды деп оның ең кіші оң периодын атайды. Сондықтан, әдетте (1) теңдікте ω0 деп есептейді.
Екінші ретті дифференциалдық теңдеу қарастырайық.
x=f(t,x,x). (2)
Егер x=φ(t) R ∃ω:t+ω∈R, φ(t+ω)=φ(t), ∀t∈R орындалатын болса, онда ол шешімді периодты шешім деп атайды.
x=φ(t) - (2) теңдеудің R өсіндегі периодты шешімі болсын. Онда φ(t+ω)=φ(t) , φ(t+ω)= φ(t), ∀t∈R болады да φ(t)=f(t,φ(t),φ(t)),φ(t)=f(t+ω,φ(t) ,φ(t)) теңдіктері алынады. Сондықтан f(t+ω,φ(t),φ(t))=f(t,φ(t),φ(t)), ∀t∈R, яғни шешімнің бойында (2) теңдеудің оң жағы тәуелсіз айнымалы бойынша ω-периодты функция болады. Демек (2) теңдеудің периодты шешімі бар болуы үшін f(t,x,x) функциясы t-дан айқын түрде тәуелді болып, осы t бойынша периодты функция болуы қажет.
Енді екінші ретті сызықтық біртекті теңдеу қарастырайық:
x+p(t)x+q(t)x=0 (3)
Мұнда p(t), q(t)∈C〈a,b〉 , p(t+ω)=q(t), p(t+ω)=q(t), (t+ω)∈R, ∀t∈R. Сызықтық біртекті ауыстыру
x=e-12p(t)dt (4)
арқылы (3) теңдеуді мына түрге
y+q(t)y=0 (5)
g(t)=-p(t) ̸ 2-p2(t) ̸4+q(t) келтіруге болатыны белгілі. Бұдан g(t+ω)=g(t), (t+ω)∈R, ∀t∈R. Болатыны және (4) ауыстыру шешімнің периодтылығын сақтайтыны көрініп тұр.
Егер g(t)= a2, ∀t∈R болса, (5) теңдеудің барлық шешімі 2PIa периодты болады:
y(t)=C1cos at+C2sin at. (6)
Жалпылай айтылғанды ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
І Екінші ретті сызықтық дифферениалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ..
1.1 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5 1.2 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...9 1.3 Теңдеудің аналитикалық шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .13
ІІ Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің периоды мен параметрі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.1 Теңдеудің периодты шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .15 2.2 Кішкене параметр әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19 2.3 Сызықтық шекаралық есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
ЕСЕПТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...31
КІРІСПЕ
Ізделінетін функция мен оның туындылары бойынша сызықтык болатын n -ретті дифференциалдық теңдеу
N-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы R функцияары теңдеудің коэффициенттері деп, f- бос муше немесе теңдеудің оң жағы деп аталады. олар берілген a,b аралығында үзіліссіз деп саналады жэне ∃t∈a,b, (теңдеу n-ретті). егер ∀t∈a,b болса, оңда теңдеудін екі жағын да сол коэффициентке бөліп, мына теңдеуді
аламыз. Мұнда
Егер ∃t∈a,b, f немесе q болса, онда (1`) немесе (1) теңдеуді сызықтық біртекті емес немесе оң жағы бар сызықтық теңдеу деп атайды.
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
p0(t)x+p1(t)x+p2(t)x+p3(t) = 0 (1)
Мұндағы p0(t), p1(t), p2(t), p3(t) - коэффициенттері белгілі бір 〈a,b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және p0(t)!=0, ∀t∈〈a,b〉 деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде
x+p(t)x+q(t)x=f(t) (2)
қарастырады. Бұл теңдеу сызықтық біртекті емес деп, ал оған сәйкес
x+p(t)x+q(t)x=0 (3)
теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталады.
Курстық жұмыстың өзектілігі: Дифференциалдық теңдеулер курсында , екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер өзектілігін жоғалтқан жоқ.
Зерттеудің мақсаттары: Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін зерттеу, екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлерімен танысу, теориялық білімді орнықтыру, практикалық жаңалықтармен танысу және талдау жасау.
Курстық жұмыстың міндеттері:
-Дифференциалдық теңдеулер курсынан екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер туралы мәліметтерді жинақтау.
- Теңдеудің аналитикалық және периодты шешімдерін қорыту.
- Тақырыпқа сай әдебиеттерден мәліметтер жинақтау.
- Курстық жұмыстың тақырыбына сәйкес есептер шығару.
Курстық жұмыстың зерттеу объектісі: Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Курстық жұмыстың зерттеу пәні: Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер
Курстық жұмыстың құрылымы: Курстық жұмыс кіріспеден, бес бөлімнен құралған. Кіріспеде курстық жұмыстың өзектілігі мен мақсаты көрсетілген. Бірініші бөлімде: екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері, тербелісті және тербеліссіз шешімдер, теңдеудің аналитикалық шешімдері. Екінші бөлімде: теңдеудің периодты шешімдері, кішкене параметр әдісі, сызықтық шекаралық есеп. Үшінші бөлімде: қорытынды. Төртінші бөлімде: пайдаланылған әдебиеттер тізімі. Және де соңғы бесінші бөлімде практикалық есептер қарастырылған.
І ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
1.Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қарапайым түрлері
Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
p0(t)x+p1(t)x+p2(t)x+p3(t) = 0 (1)
Мұндағы p0(t), p1(t), p2(t), p3(t) - коэффициенттері белгілі бір 〈a,b〉 аралығында үзіліссіз нақты функциялар және p0(t)!=0, ∀t∈〈a,b〉 деп есептелінеді. Көп жағдайларда екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді мына түрде
x+p(t)x+q(t)x=f(t) (2)
қарастырады. Бұл теңдеу сызықтық біртекті емес деп, ал оған сәйкес
x+p(t)x+q(t)x=0 (3)
теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталады. Әлбетте (1) біртекті емес теңдеуге сәйкес сызықтық біртекті теңдеу.
p0(t)x+p1(t)x+p2(t)x= 0 (4)
түрінде болады.
Егер p0(t)∈С1(a,b) болып ddt p0(t)= p1(t), ∀t∈(a,b) теңдігі орындалса, онда (4) теңдеу өзіне-өзі түйіндес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Өзіне-өзі түйіндес теңдеулер практикада жиі кездесетін, сондықтан да кеңінен зерттелген теңдеулер санағына жатады. Өзіне-өзі түйіндес теңдеу былайша
ddt( p0(t)x) + q(t)x =0
жазылады.
Кез келген екінші ретті сызықтық біртекті теңдеуді өзіне-өзі түйіндес түрге келтіруге болады. Ол үшін (4) сызықтық біртекті теңдеудің екі жағын да қандайда болмасын бір үзіліссіз дифференциалданатын μ=μ(t) функциясына көбейтелік:
p0(t)μx+p1(t)μx+p2(t)μx= 0. (5)
Енді μ(t) функфиясын ( p0(t)μ)=p1(t)μ теңдеуінің шешеімі болатындай етіп таңдалық. Бұл теңдеуді ашып жазсақ, бірінші ретті сызықтық біртекті p0(t)μ+ ( p0(t)- p1(t))μ= 0 теңдеуін аламыз. Оның жалпы шешімі:
μ(t)=Cexp(- p0(t)-p1(t) p0(t)dt)=C1 p0(t)exp (p1(t) p0(t)dt)
функциясы болады. Бізге теңдеудің кез-келген дара шешімін табу жеткілікті. Сондықтан С =1 деп алып, мына
μ(t)= 1 p0(t)ep1(t) p0(t)dt
функциясын аламыз. Онда (5) теңдеу мына түрде
ep1(t) p0(t)dtx+p1(t) p0(t)ep1(t) p0(t)dtx+p2(t) p0(t)ep1(t) p0(t)dtx=0
жазылады, яғни өзіне-өзі түйіндес түрде
(ep1(t) p0(t)dtx)+p2(t) p0(t)ep1(t) p0(t)dtx=0
болады.
Көп жағдайда (3) теңдеуді оған бірінші ретті туынды кірмейтін түрде x + q(t)x = 0 деп қарастырған қолайлы. Бұл түрге де (3) те ңдеуді әрқашанда келтіруге болады. Келтірудің екі жолы бар: тәуелсіз айнымалыны өзгерту немесе ізделінетін функцияны біртекті сызықты етіп ауыстыру.
Жаңа тәуелсіз айнымалы τ-ды мына үзіліссіз дифференциалданатын функция τ=φ(t), t∈ (a,b) арқылы енгізелік. (φ:(a,b)--(α,β)).
Ауыстыруды енгізген кезде t бойынша алынған туындыдан τ бойынша алынған туындыға көшу керек:
x=dxdt=dxdτ∙dτdt=xʹφ, xʹ:=dxdτ,
x=dxʹdτ∙dτdt+xʹφ=xnφ2+xʹφ, xʹ:=d2xdτ2.
Сонда (3) теңдеу мына түрге φ2xn+(φ+p(t)φ)xʹ+q(t)x=0 келтіріледі. Енді φ(t) функциясын бірінші туындының коэффициентінөлге тең, яғни φ+p(t)φ=0 теңдеуінің қандайда болмасын бір шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Оның жалпы шешімі:
φ(t)=C1e-p(t)dtdt+C2
функциясы болады. Мұнда C1, C2 - еркін тұрақтылар. Бізге теңдеудің кез келген дара шешімін табу жеткілікті болғандықтан C1=1, C2=0 деп алып, ауыстырудың мына түрін
τ=φ(t)=e-p(t)dtdt (6)
аламыз. Бұл функция үзіліссіз дифференциалданады және
dτdt+φ(t)=e-p(t)dt0
Сондықтан (6) функцияның кері функциясы бар. Оны ψ(t) деп белгілелік, яғни t=ψ(t), τ=∈(a,b). Әлбетте кері функция ψ(τ) үзіліссіз дифференциалданады. Сонымен (6) ауыстыруды енгізу нәтижесінде біріншіретті туынды кірмейтін
xn+q(ψ(τ))e2p(ψ(τ))ψʹ(τ)dτx=0
теңдеуін аламыз.
2.Ізделінетін функцияны жаңа функция y - пен сызықтық біртекті түрде
x=a(t)y (7)
ауыстырамыз. Мұндағы a(t) функциясын қарастырылып отырған (a,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданатын, нөлге тең емес функция деп есептейміз. Енгізілген (7) ауыстыруды (3) теңдеуге қоялық
a(t)y+2a(t)y+a(t)y+p(t)(a(t)y+a(t)y )+q(t)a(t)y=0.
Бұдан
y+(2aa+p(t))y+(aa+p(t)aa+q(t))y=0
Енді a(t) функциясын бірінші ретті туындының коэффициенті нөлге тең болатындай, яғни
2aa+p(t)=0
теңдеуінің бір дербес шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Бұдан
a(t)=e-12p(t)dt (8)
Сонда
a(t)=-12p(t)e-12p(t)dt, a(t)=(-12p(t)+14p2(t))e-12p(t)dt
y+(-12p(t)+14p2(t)+q(t))y=0
Мұндағы J(t) := -12p(t)+14p2(t)+q(t) функциясы (4) ауыстырудың коэффициенті болатын a(t) функциясынан тәуелді емес. Ол (7) түрдегі барлық ауыстырулар үшін өзінің түрін сақтайды. Сондықтан оны (2) теңдеудің инварианты деп атайды.
1.1 Тербелісті және тербеліссіз шешімдер.
Екінші ретті сызықтық біртекті
x+p(t)x+q(t)x=0 (1)
теңдеуін қарастыралық. Мұндағы p(t) және q(t) функцияларын [a,b] кесіндісінде нақты мәнді және мына шарттарды
p(t)∈C1[a,b], q(t)∈C[a,b]
қанағаттандырады деп есептелік. Онда (1) теңдеуді
x=e-12p(t)dt (2)
ауыстыруы арқылы
y+g(t)y=0 (3)
теңдеуіне келтіруге болатыны көрсетіледі. Мұнда g(t)∈C[a,b]. Сызықтық біртекті (1) не (3) түрдегі теңдеулердің нөлдік шешімі бар екені айқын. Біз нөлік емес шешімдердің нөлге тең болатын жағдайларын зерттейміз. Нақты шешімдер нөлге тең болатын нүктелерді осы шешімнің нөлдері деп атайды. Әлбетте (2) ауыстыру шешімнің нөлдерінің санын өзгертпейді, яғни (1) теңдеудің x=φ(t) шешімінің нөлдер саны қаншаболса, (3) теңдеудің осы шешімге (2) формула бойынша сәйкес келетін y=ψ(t) шешімінің нөлдер саны да сонша болады. (Себебі e-12p(t)dt!=0, t∈[a,b].) Шешімнің өзара көрші орналасқан (арасында шешімнің басқа нөлі жоқ) нөлдерін көрші нөлдер деп атайды.
Коэффициент g(t) тұрақты болған кездегі (3) теңдеуді қарастыралық.
1. g(t)=-ω2, ∀t∈[a,b], ω∈R, (3)⇒ y-ω2y=0 (3ʹ)
Бұл (3ʹ) теңдеуінің жалпы шешімі
y=C1e-ωt+C2eωt
функциясына тең. Сондықтан оның кез келген шешімі ешбір аралықта бірден артық нөлге тең болмайды.
2. g(t)=ω2, ∀t∈[a,b], ω∈R, (3)⇒y+ω2y=0 (3ʹʹ)
Бұл теңдеудің жалпы шешімі:
y=C1cosωt+C2sinωt=Asin(ωt+φ)
Мұндағы C1= Asinφ, C2=Acosφ, C1,C2,A,φ кез келген нақты сандар. Бұдан (3ʹʹ) теңдеуінің кез келген шешімі гармониялық тербелісті анықтайтыны және (-infinity,+infinity) аралығында оның нөлдерінің саны ақырсыз болатыны көрініп тұр (көрші екі нөлінің арақашықтығы PIω-ға тең). Сондықтан 2PIω-ден артық болатын кез келген аралықта олар ең болмағанда екі рет нөлге тең болады. Әлбетте ω-ның мәні неғұрлым үлкен болса, көрші нөлдердің арақашықтығы соғұрлым кіші болады, яғни шешімнің тербелісі жиірек болады. Әдетте қарастырылып отырған аралықта нөлінің саны екіден кем болмайтын шешімді осы аралықта тербелмелі шешім деп, ал нөлінің саны бірден аспайтын шешімді тербеліссіз шешім деп атайды.
ЛЕММА. Сызықтық біртекті (1) немесе (3) теңдеуінің нөлдік емес шешімінің [a,b] кесіндісіндегі нөлінің саны ақырлы болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Кері жорып (1) теңдеудің нөлдік емес бір x=φ(t) шешімі [a,b] кесіндісінде ақырсыз рет нөлге теңғ ал t1,t2,...,tn,... осы нөлдер екен делік. Бұл сандар тізбегі {tn} шенелген болғандықтан, Больцано-Вейерштрасс теоремасы бойынша одан жинақталатын ішкі тізбек {tnk} бөліп алуға болады. Осы ішкі тізбектің шегі t* , болсын, яғни k--infinity⇒tnk--t*. Әлбетте φ(tnk)=0, бұдан шешімнің үзіліссіздігі бойынша φ(t*)=0 болады. Ролль теоремасы бойынша (tnk, tnk+1) аралығында tʹnk нүктесі табылып, φ(tʹnk )=0 болады. Ал k--infinity⇒tʹnk--t*. Олай болса φ(t*)=0. Демек φ(t*)=0, φ(t*)=0 болғандықтан, жалғыздық шарты бойынша φ(t)=0, ∀t∈[a,b]. Бұл шешім нөлдік емес деген шартқа қайшы. Лемма дұрыс.
САЛЫСТЫРУ ТЕОРЕМАСЫ. Коэффициенттері (a,b) аралығында нақты мәнді және үзіліссіз екі дифференциалдық теңдеу қарастырайық:
y+g1(t)y=0 (41)
z+g2(t)z=0 (42)
Егер
g1(t)=g2(t), ∀t∈〈a,b〉
болса, онда (41) теңдеудің кез келген нөлдік емес шешімінің әрбір көрші екі нөлінің арасында (42) теңдеудің кез-келген шешімінің ең болмағанда бір нөлі жатады. Мұнда 〈a,b〉 - ашық (яғни (a,b)) немесе тұйық (яғни [a,b]) аралық.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық t1, t2∈〈a,b〉, t1˂ t2 нүктелері (41) теңдеудің y=φ(t) шешімнің көрші екі нөлі болсын:
φ(t1)=φ(t2)=0, ∀t∈( t1, t2): φ(t)!=0.
Әрбір нөлдік емес шешімнің кез-келген кесіндідегі нөлінің саны ақырлы болғандықта, олар бір-бірінен оқшау орналасады, яғни әрбір нөлдің басқа нөл кірмейтін маңайы бар болады. Анық болу үшін φ(t)0, ∀t∈( t1, t2) деп есептелік. Енді (42) теңдеудің z=ψ(t) шешімі [t1, t2] кесіндісінде нөлге тең болмайды деп жорып, анықтық үшін ψ(t)0, ∀t∈( t1, t2) деп есептейік. Берілген (41) және (42) теңдеулерге олардың сәйкес y=φ(t) және z=ψ(t) шешімдерін апарып қоялық. Шешімдер 〈a,b〉 аралығында анықталған. Одан соң (42) - ден шыққан теңдікті φ(t) - ға, ал (41) - ден алынған теңдікті ψ(t) - ға көбейтелік те,бірінші теңдіктен екінші теңдікті мүшелеп алалық. Сонда
φ(t) ψ(t)-ψ(t) φ(t)+(g1(t)-g2(t))φ(t)ψ(t) = 0, ∀t∈〈a,b〉.
Бұл тепе-теңдікті t1 - ден t2 - ге дейін интегралдадық. Онда
φ ψ - ψφ=(φψ -φψ)
және φ(t1) =φ(t2) = 0 екенін ескеріп,
φ(t2)ψ(t2)-φ(t1)ψ(t1)+t1t2(g1(τ)-g1 (τ))φ(τ) ψ(τ)dτ = 0 (5)
тепе-теңдігін аламыз. Ал y= φ(t) шешімі нөлдік емес болғандықтан φ(t1)!=0, φ(t2)!=0. Егер олардың біреуі нөлге тең болса φ(t1)=0, φ(t2)= 0 болғандықтан (бастапқы нөлдік шартты қанағаттандыруы себепті) y= φ(t) нөлдік шешім болар еді. Сондықтан φ(t)0, ∀t∈( t1, t2) деп алғандықтан φ(t1)0, φ(t2)0 болады. Ал ψ(t)0, ∀t∈( t1, t2). Демек:
φ(t2)ψ(t2)-φ(t1)ψ(t1) 0.
Енді g1(t)=g2(t) және ∀t∈[ t1, t2] үшін φ(t)=0, ψ(t)0 екенін ескерсек, онда (g1(t)-g2(t))φ(t)ψ(t) = 0, ∀t∈[ t1, t2] теңсіздігі алынады. Ендеше (5) формуладағы интеграл оң емес. Сонымен (5) теңдіктің сол жағында теріс сан тұр, ал оң жағы нөлге тең. Бұл қайшылық жорудың қателігінен болып тұр. Жору дұрыс емес, [ t1, t2] - де ψ(t) - ның ең болмағанда бір нөлі бар.
1-САЛДАР. Егер (g(t)=0, ∀t∈a,b болса, онда (3) теңдеудің кез-келген шешімі тербеліссіз болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Салыстыру теоремасын қолданамыз. Ол үшін g1(t):=g(t),g2(t):=0, ∀t∈a,b деп есептейміз. Кері жорып, (3) теңдеудің тербелісті бір y= φ(t) шешімі бар және t1, t2∈a,b, t1 t2 оның екі нөлі екен делік. Онда [ t1, t2] кесіндісінде z=0 теңдеуінің кез-келген шешімі ең болмағанда бір рет нөлге тең болуы керек. Бұл дұрыс емес, мысалы, оның z(t) = 1 шешімі ол кесіндіде нөлге тең емес.
2-САЛДАР. (Штурм * теоремасы). Сызықтық біртекті (1) немесе (3) теңдеудің сызықтық тәуелсіз екі шешімінің нөлдері өзара кезектесіп орналасады, яғни бір шешімнің көрші екі нөлінің ортасында онымен сызықтық тәуелсіз болатын екінші шешімнің тек қана бір нөлі жатады.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Салдарды (3) теңдеу үшін дәлелдеу жеткілікті. y=φ1(t) және y=φ2(t) (3) теңдеудің өзара сызықтық тәуелсіз екі шешімі болсын. Олар ортақ нөлге ие бола алмайды, себебі егер φ1(t1)=φ2(t1)=0 болса, онда вронскиан
W(t)=φ1(t)φ2(t)φ1(t)φ2(t)
t1 нүктесінде нөлге тең болар еді де, φ1(t) мен φ2(t) шешімдері өзара сызықтық тәуелді болар еді. Айталық, t1, t2 нүктелері φ1(t) шешімінің көрші екі нөлі болсын, t1t2. Салыстырылатын (41) және (42) теңдеулер үшін (3) теңдеудің өзін аламыз, яғни g1(t)=g2(t): = g(t), ∀t∈a,b. Салыстыру теоремасы бойынша t1 мен t2 - нің арасында φ2(t) шешімінің ең болмағанда бір нөлі жатады. Олар екеу болсын: t3 және t4, яғни φ2(t3)=φ2(t4)=0. Онда салыстыру теоремасы бойынша t3 мен t4 - тің арасында φ1(t) шешімінің ең болмағанда бір нөлі бар болады, яғни ∃t0∈(t3,t4)⊂(t1, t2), φ1(t0)=0. Бұл t1 мен t2 нүктелері φ1(t) шешімінің көрші нөлдері деген шартқа қайшы. Салдар дұрыс.
1.2 Теңдеудің аналитикалық шешімдері
Егер t=t0 нүктесінің қандайда болмасын бір маңайы табылып, ол маңайда f(t) функциясы (t-t0) - дің дәрежелері бойынша жазылған дәрежелік (жинақты) қатарға жіктелсе, яғни
f(t)=k=0infinityak(t-t0)k, (1)
Онда f(t) функциясын t=t0 нүктесінде аналитикалық немесе голоморфты функция деп атайды. Егер t- комплекс мәнді айнымалы болса, онда аталған жағдайда қатардың ak коэффициенттері де комплекс сандар болады. Біз нақты аналитикалық функцияларды қарастырамыз (яғни t,t0,ak∈R). Егер f(t) функциясы қандайда болмасын бір аралықтың барлық нүктесінде аналитикалық функция болса, онда оны осы аралықта аналитикалық функция деп атайды.
Аналитикалық функциялардың жиыны азайту, қосу және көбейту амалдары бойынша тұйық.
Айталық, r0 - (1) қатардың жинақталу радиусы болсын, яғни t-t0r болғанда қатар жинақты, ал t-t0 r болғанда жинақсыз (r=infinity болса, қатар кез-келген t үшін жинақты). Онда (t0-r,t0+r) аралығында f(t) функциясының кез-келген ретке дейінгі туындысы бар болады, ол туындылар (1) қатарды мүшелеп дифференциалдау арқылы табылады. Айта кетер жағдай (1) қатарды дифференциалдау нәтижесінде алынған қатарлардың жинақталу радиусы r-ге тең болады. Бұл келтірілген қасиеттер f(t)функциясының интегрелдары үшін де орындалады. Аналитикалық функция жалғыздық қасиетке ие: берілген t=t0 нүктесінде аналитикалық болатын f(t) функциясының (1) қатар түрінде жазылуы жалғыз, яғни егер
f(t)=k=0infinityak(t-t0)k=k=0infini tybk(t-t0)k,t-t0r
болса, онда ak=bk, k=0, 1, 2,...
Екінші ретті сызықтық біртекті теңдеу
x +p(t)x+q(t)x=0 (2)
қарастыралық. Оның коэффициенттері t0 нүктінің (t0-r,t0+r) маңайында аналитикалық функциялар болсын:
p(t)=k=0infinitypk(t-t0)k, q(t)=k=0infinityqk(t-t0)k (3)
Онда (2) теңдеудің кез-келген шешімі де осы маңайда аналитикалық функция болады [15]. Бұл тұжырым кез-келген n-ретті сызықтық біртекті теңдеулер үшін де дұрыс. Бұл қасиет (2) теңдеудің шешімдерін дәрежелік қатар арқылы табуға мүмкіндік береді. Ықшамдылық үшін t0=0 деп алайық.
Теңдеудің шешімін t-ның дәрежесі бойынша жазылған коэффициенттері анықталмаған дәрежелік қатар түрінде іздейміз:
x(t)=k=0infinityxk∙tk (4)
Бұл қатарды, екінші ретке дейін формальды түрде дифференциалдап, (3) қатарларды (t0=0) ескере отырып, (2) теңдеуге қоялық
k=2infinityk(k-1)xktk-2+j=0infinity pjtjk=1infinitykxktk-1+j=0infinityq jtjk=0infinityxktk=0, ∀t∈(-r,r). (5)
Алынған (4) функциясы (2) теңдеудің (-r,r) аралығындағы шешімі болу үшін (5) тепе-теңдіктің орындалуы қажет. Ол тепе-теңдіктің екі жағы да дәрежелік қатар. Жалғыздық қасиет бойынша сол жақта тұрған қатардың (қатарларды көбейту және қосу нәтижесінде алынаты) барлық коэффициенті нөлге тең болуы керек. Сонда t0,t1,t2,... дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерді нөлге теңестіре отырып, белгісіз x0,x1,x2 шамаларын анықтау үшін мынадай рекуррентті теңдеулер жүйесін аламыз:
q0x0+p0x1+1∙2∙x2=0;q1x0+(q0+p1)x1+2 p0x2+2∙3x3=0; ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .k=0n(qn-kx k+(k+1)pn-kxk+1)+(n+1)(n+2)xn+2=0;. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Алғашқы екі коэффициент x0 мен x1-лерді еркін (кез-келген) сан етіп алуға болады. Олар шешімнің өзі мен туындысына қойылатын бастапқы x(0)=x0, x(0)=x1 шартқа эквивалент. Әуелі бірінші теңдеуден x2-ні табамыз, сонан кейін екінші теңдеуден x3-ті табамыз, әрі қарай сол сияқты. Табылған коэффициенттерді (4) - ке қойып коэффициенттері анықталған дәрежелік қатар аламыз. Ол қатар жоғарыда келтірген тұжырым бойынша (-r,r) аралығында жинақты. Олай болса, оны екі ретке дейін дифференциалдағанымыз заңды. Демек алынған қатар - (2) теңдеудің шешімі.
ІІ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ПЕРИОДЫ МЕН ПАРАМЕТРІ
2.1 Теңдеудің периодты шешімдері
Нақты сандар өсі R-де анықталған f(t) функциясы берілсін. Егер ол үшін ω∈R саны табылып, мына шарттар
1)t-ω, t+ω∈R, ∀t∈R (1)
2)f(t+ω)=f(t), ∀t∈R
орындалатын болса, онда f(t) функциясын R өсінде периодты функция (ω-периодты функция) деп, ал ω санын оның периоды деп атайды. Әлбетте ω-периодты функция мына теңдікті де қанағаттандырады:(t-ω∈R, t∈R болғанда):
f(t-ω)=f(t), ∀t∈R.
Демек, егер k∈Z үшін t+ kω∈R, ∀t∈R болса, f(t+ kω)=f(t), t∈R, орындалады яғни kω, k∈Z, саны да f(t) функциясының периоды болады. периодты функцияның периоды деп оның ең кіші оң периодын атайды. Сондықтан, әдетте (1) теңдікте ω0 деп есептейді.
Екінші ретті дифференциалдық теңдеу қарастырайық.
x=f(t,x,x). (2)
Егер x=φ(t) R ∃ω:t+ω∈R, φ(t+ω)=φ(t), ∀t∈R орындалатын болса, онда ол шешімді периодты шешім деп атайды.
x=φ(t) - (2) теңдеудің R өсіндегі периодты шешімі болсын. Онда φ(t+ω)=φ(t) , φ(t+ω)= φ(t), ∀t∈R болады да φ(t)=f(t,φ(t),φ(t)),φ(t)=f(t+ω,φ(t) ,φ(t)) теңдіктері алынады. Сондықтан f(t+ω,φ(t),φ(t))=f(t,φ(t),φ(t)), ∀t∈R, яғни шешімнің бойында (2) теңдеудің оң жағы тәуелсіз айнымалы бойынша ω-периодты функция болады. Демек (2) теңдеудің периодты шешімі бар болуы үшін f(t,x,x) функциясы t-дан айқын түрде тәуелді болып, осы t бойынша периодты функция болуы қажет.
Енді екінші ретті сызықтық біртекті теңдеу қарастырайық:
x+p(t)x+q(t)x=0 (3)
Мұнда p(t), q(t)∈C〈a,b〉 , p(t+ω)=q(t), p(t+ω)=q(t), (t+ω)∈R, ∀t∈R. Сызықтық біртекті ауыстыру
x=e-12p(t)dt (4)
арқылы (3) теңдеуді мына түрге
y+q(t)y=0 (5)
g(t)=-p(t) ̸ 2-p2(t) ̸4+q(t) келтіруге болатыны белгілі. Бұдан g(t+ω)=g(t), (t+ω)∈R, ∀t∈R. Болатыны және (4) ауыстыру шешімнің периодтылығын сақтайтыны көрініп тұр.
Егер g(t)= a2, ∀t∈R болса, (5) теңдеудің барлық шешімі 2PIa периодты болады:
y(t)=C1cos at+C2sin at. (6)
Жалпылай айтылғанды ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz