Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігін зерттеу

Кіріспе...
Негізгі бөлім
1.сызықтық теңдеулердің жалпы қасиеттері..
2. Функцнялардың сытыктық тәуелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі ... ... ... .
3.сызықтық біртекті теңдеу шешімдерінің қасиеттері...
4. Сызықтық біртекті емес теңдеулер

Дифференциалдық теңдеулер курсы студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болсын болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар ролі аса зор.
Дифференциал дықтең деулер пәні ғылыми зерттеу және қолдан бүны матемикада көптеп пайданылып, бұл пән математикалық анализ, сызықты алгебра жәнеаналитикалықгеометриянегізіндеқұрылады.
Тедңеу ұғымы жалпы математикалық ұғымдардың негізгілерінің біріне жатады. Тендеу – айнымалысының ең үлкен дәрежесіне қарай сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу, кубтық теңдеу, т.с.с. Болып бөлінеді.
теңдеу ұғымының тарихына қарасақ вавилондықтар (б.э.д. 2000 жылдар шамасында) теңдеудің кейбір түрлерін: толымсыз квадрат теңдеулерді және толық квадрат теңдеулердің дербес түрлерін шеше білген. Сына тәрізді жазумен жазылѓан есептердің шешуі (рецептер тұрінде) жазылған мәтіндердің табылуы бұған дәлел болады. Ежелгі грек математиктері квадрат теңеулердің кейбір түрлерін шешуді геометриялық салуларѓа келтіріп шеше білген.

1. Қазақстан республикасы жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға
міндетті стандарттары. Жалпы орта білім. Алматы: ронд, 2002. 360 бет.
2. Ә.бидосов «математиканы оқыту методикасы» а.: «мектеп» 1989, 221бет.
3. Әбдімәжитұлы к., марқұмова с. Квадрат теңдеулер //математика
және физика 2004, №5
4. Алгебра – 8, макарычев ю.н., миндюк н.г., нешков к.и.,
суворова с.б. Алматы, рауан, 1992 – 256 бет.
5. Алгебра – 8, медеуов е., базаров қ., балтаев б. Атамұра 2005.
6. Байдыбекова а. Квадрат теңдеулер есептерін шешудің негізгі әдістері
// математика және физика 2003, №6
7. Байдыбекова а. Квадрат теңдеулер есептерін шешудің негізгі әдістері
// математика және физика 2004, №1
8. Ахметқалиева г. Кейбір квадрат теңдеулерді шешудің тиімді жолдары
// математика және физика 2004, №1
9. Теляковский с.а. Алгебра – 8. Орта мектептің 8-класына арналған оқулық,
алматы, «рауан» 1992.
10.тест жинағы – 2005 алматы, атамұра 2005.
11.брадис в.м. Четырехзначные математические таблицы для
средней школы. Изд. 57-е. – м. Просвещение. 1990. С. 83
12.м. Математика. №№ 21/96, 27/97, 10/97, 18/98, 21/98.
13.окунев а.к. Квадратичное функций уравнения и неравенство,
пособия для учителя – м. Просвещение. 1972.
14.көбесов а. Математика тарихы, алматы «қазақ университеті» 1993 .
15.өміртаева м. Квадрат теңдеулер // математика және физика 2004, №6
16.қазиева ж. Квадрат теңдеулерді шешу // математика және физика 2003, №2
17.әшімханова н. «квадрат теңдеулер» тарауын қайталау 2002, №1
18.жарасова г. Квадрат теңдеулер тақырыбын оқып үйренуде компьютерді
қолдану // математика және физика 2000, №4

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 29 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Негізгі бөлім
1.сызықтық теңдеулердің жалпы қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
2. Функцнялардың сытыктық тәуелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі ... ... ... .
3.сызықтық біртекті теңдеу шешімдерініц қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... .
4. Сызықтық біртекті емес теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

Кіріспе
дифференциалдық теңдеулер курсы студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болсын болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар ролі аса зор.
Дифференциал дықтең деулер пәні ғылыми зерттеу және қолдан бүны матемикада көптеп пайданылып, бұл пән математикалық анализ, сызықты алгебра жәнеаналитикалықгеометриянегізіндеқ ұрылады.
Тедңеу ұғымы жалпы математикалық ұғымдардың негізгілерінің біріне жатады. Тендеу - айнымалысының ең үлкен дәрежесіне қарай сызықтық теңдеу, квадраттық теңдеу, кубтық теңдеу, т.с.с. Болып бөлінеді.
теңдеу ұғымының тарихына қарасақ вавилондықтар (б.э.д. 2000 жылдар шамасында) теңдеудің кейбір түрлерін: толымсыз квадрат теңдеулерді және толық квадрат теңдеулердің дербес түрлерін шеше білген. Сына тәрізді жазумен жазылѓан есептердің шешуі (рецептер тұрінде) жазылған мәтіндердің табылуы бұған дәлел болады. Ежелгі грек математиктері квадрат теңеулердің кейбір түрлерін шешуді геометриялық салуларѓа келтіріп шеше білген.
диофант (б.э.д. 3 ѓ.) Тендеулерді шешудің тәсілдерін геометрияѓа сүйенбей-ақкuрсеткен. Диофант uзініњ ќазірге дейін саќталып келген "арифметика" атты кітабында толыќ квадрат тендеулерді шешу тәілін баяндаѓан. Үнді ғалымы брахмагупта (7 ѓ.) түрінекелтірілген квадрат тендеулерді шешу ережесін берген.
хорезм математигі єл-хорезми "китаб єлджебр валь-мукадала" деген трактатында , , , , , түріндегі тендеулерді шешу тәсілдерін түсіндірген және тек оң түбірлер ғана ізделген, ал түрінекелтірілген квадрат тендеулерді шешудің жалпылама ережесін неміс математигі м. Штифель (1487-1567) тұжырымдады. Жалпылама түріндегі тендеулерді шешу формуласын қорытып шғарумен ф. Виет (1540-1603) айналысты.
Тақырыптың өзектілігі:
Математика курстарын оқытуда оқу процесінде дифференциялдық теңдеулер пәнінде қарастырылатын сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың әдістерін қарастыра отырып, математиканы тереңдетіп оқытатын жоғары математиканы өткенде қолдану.

Кустық жұмыстың мақсаты:
Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігін зерттеу, пәнді оқытуда есептеулерді интегралдап үйрету, математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстар орнату, теорияда алған білімдерін практикада жүзеге асыру, ұқыптылыққа тәрбиелеу және ойлау қабілеттерін дамыту болып табылады.
Курстық жұмыстың міндеттері:
Интегралдап шешудің әр түрлілігін анықтау және есептер шығаруда қолдану.
Интегралдау әдістерін жоғары оқу орындарында тереңдетіп оқыту.
Интегралдау әдістерін барлық түрлерін арнайы қарастыру арқылы оларды шешудің тиімді әдістемесін жасау.

Негізгі бөлім
Сызықтық теңдеулердің жалпы қасиеттері
Ізделінетін функция мен оның туындылары бойынша сызықтықболатын n -ретті дифференциалдық теңдеу
a0txn+a1txn-1+...+an-1tx+antx=fx (1`)`
N-ретті cызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы a0t,a1t,...,ant: :a,b--r функциялары теңдеудің коэффициентері деп, n- бос мүше немесе теңдеудің оң жағы деп аталады. Олар берілген a,b b ( аралығында үзіліссіз деп саналады және∃t∈a,b,a0t!=0
(теңдеу n-ретті). Егер ∀t∈a,b болса, оңда теңдеудің екі жағын да сол коэффициенткез бөліп, мына теңдеуді
xn+p1txn-1+...+pn-1tx+pntx=fx 1

Аламыз. Мұнда
pjt=ajta0t∈Ca,b,J=1,n; qt= fta0t∈Ca,b

Егер ∃t∈a,b,ft!=0 немесе qt!=0 бодса, онда (1`) немесе (1) теңдеуді сызықтық біртекті емес немесе оң жағы бар сызықтық теңдеу деп атайды.
Мысалы, 2 тараудың § 4-ның соңында қарастырылган х(n)= ft теңдеуі - сызықтық біртекті емес теңдеу. Онда pjt=0J=1,n,∀t∈a,b. Егер де ∀t∈a,b,ft!=0--∀t∈a,b, qt!=0 бодса оңда
a0txn+a1txn-1+...+an-1tx+antx=0 (2)
Немесе
xn+p1txn-1+...+pn-1tx+pntx=0
Теңдеуі сызықтық біртекті теңдеу деп аталынады. Коэффициентгері ортақ болган жағдайда (2) (не (21)) теңдеуді сызықтық біртекті емес (1) (не (г)) теңдеуге сәйкес кезлетін сызықтық біртекті теңдеу деп аттайды.көбінесе біз (1) және (2) түрдегі сызықтық теңдеулерді карастырамыз.
Сызықтық теңдеудің төмендегідей екі ортақ қасиеті бар.
Тәуелсіз айнымалыны қандай да бір болмасын (a,b) аралығында анықталған, осы аралықта п реткіз дейін үзіліссіз дифференциялданатын және бірінші ретті туындысы нөлгетең емес ѱ(τ) функциясымен ѱα=a, ѱβ=b ауыстырғанда сызықтық теңдеу сызықтық болып қала бередә.

Шынында да (1) теңдеуге t= ѱτ,ѱ:α,β --a,b ауыстыруын енгізелік. Мұнда

ѱτ∈Cnα,β,ѱ`τ!=0,∀τ∈α,β.

Онда
x=dxdτ∙1dtdτ=1ѱ`τxτ`

x=1ѱ`τddτxτ`Ѱ`τ=1ѱ`2τxτ2``-Ѱ``τѰ`3τ x`τ

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
бұдан кез келгенк -ретгі x,1=k=n, туындының xτ`,xτ2``,...,xτkk=:dkxdτk арқылы сызықтық өрнектелетінін оңай көруге болады.
Сызыктық өрнектің (комбинацияның) коэффнциенттері (а,b) аралығын-
Да үзіліссіз функциялар. Сонда t -ны жәнех-пен оның табылған туындыларын (1) теңдеуге қойсақ қайтадан сызықтық біртекті емес теңдеу алынады. Егер көрсетілгеы ауыстыруды (2) теңдеуге қолдансақ, онда алынатын теңдеу сызықтық біртекті болады.
2°. Ізделінетін функцияны басқа кез келгенфункциямен сызықтықтүрде ауыстырганда (сызыктық түрлеңдіргенде) сызықтық теңдеу сызықтық болып қала береді. Жаңа функция у - ті
x=cty+dt
Ауыстыруы арқылы енгізейік. Мұнда ct,dt∈Ca,b және ct!=0,∀t=a,b сонда
x=cty+cty+dt
x=cty+2cty+cty+dt
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
xn=ctyn+nctyn-1+...+cnty+dnt
Бұл туындылар мен х -тің манін (1) теңдеуге қойып, алынған теңдеудің екі жағын да ct-ға болсек, тағы да коэффицнеттері меп оң жағы a,b аралығында үзіліосіз болатын (1) түрдогі сытыктык біртекті емес теңдеу аламыз. Егср (2) тецдеуге
x=cty (3)
Түрлендіруін енгіссек,қайтадан сызықтық біртекті теңдеу аламыз. Ескезрте кезтетін бір жайт, (3) біртекті ауыстыруы (1) немесе (2) теңдеуін n-1-ретті туынды кірмейтін теңдеуге әкезлу үшін жиі қолданылады.шынында да, бұл жағдайда
1--ctyn+nct+p1tctyn-1+...+cnt+p1cn -1t+...+pncty=qt
Сонда yn-1 кіретін мүшені жою үшін ct функцияңын nct+p1tct=0 теңдеуінің бір шешімі болатындай етіп алса жеткілікті, яғни
ct=e-1np1tdt
Біз 1` теңдеудегі коэффициент a0t нөлге тең болмайтын a,b аралығын қараумен шектелдік. Ол1` теңдеуді (1) теңдеуге кезлтіру үшін қажет болды. Ал (1) теңдеу үшін коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема дәлелденді (іі-тарау, 4, 2-теорема). Сол теореманың қайтадан ескез түсірелік.
Теорема. Егeр pjt,j=1,n, qt функциялары қандай да болмасын бір a,b аралығында анықталған және үзіліссіз болса, онда кез келген бастапқы берілгендер t0,x0,x01,...,x0n-1,t0∈a,b үшін (1) немесе(2) теңдеудің

φt0=x0,φt0=x01,...,φn-1t0=x0n-1 4

Шартын қанағаттандыратын жалғыз ғана x=φt∈Ca,b шешімі бар болады және ол шешім a,b аралығыныц өн бойында анықталады.
Сызықтық біртекті (2) теңдеу қарастырылсын және(4) бастапқы шарт мына түрде
φt0=0,φt0=0,...,φn-1t0=0 5

Яғни функция мен оның туындыларының бастапқы мәні нөлге тең болсын. Онда (5) шартты нөлдік бастапқы шарт деп атайды. Әлбетте (2), (5) есептің шешімі φt=0,∀t=a,b функциясы болады, ол функцияны нөлдік шешімм деп атайды. Теоремада келтірілген шешімнің жалғыздық қасиетінен (2х (5) коши есебінең жалғыз шешімі нөдік шешім болатыны шығады.
Бұл тарауда сызықтық теңдеуледің шешімдерінің қасиеттері, жалпы шешімнің құрылымдық түрі және жалпы шешімді құру жолдары қарастырылады. Сызықтық теңдеудің жалпы шешімін құру барысында негізінен сызықтық тәуелділік, сызықтық тәуелсіздік ұғымдары қолданылады
2. Функцнялардың сытыктық тәуелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі
Сыэықтық теңдеулердің жалпы шешімін құру барысында, нақты шешімдермен қатар комплекс мәнді шешімдерді де қарастыруға тура келеді.нақты сандар өсінде жататын a,b аралығын комплекс сандар
Жазықтығына көшіретін (яғниa,b -- c

xt=ut+ivt, i=-1

Функциясын a,b аралығында анықталған нақты аргументті комплекс мәнді (камплекс) функция деп атайды. Комплекс функция xt нақты айнымалы t-ның әрбір мәніне ut+ivt комплекс санын қояды. Нақты ut және vt функцңялары сәйкес a,b комплекс функциясының нақты және жорамал бөліктері деп аталады. Бұны қысқаша былай жазады: ut=Re vt, vt=Im xt. Алгебралыққарапайым амалдардың комплекс функцияларга қолданылуы олардың комплекс сандар үшін қолданылуындай.. Комплекс xt фуккциясы үшін енгізілетін ұгымдар мен қасиеттері ut, vt нақты функцияларының жұбы үшін енгіэілетін ұгымдар мен олардың қасиеттсрі арқылы анықгалады. Мысалы, xtфункциясының бір нүктедегі немесе аралықтағы үзіліссіздігі деп utvt, жұбының сәйкес нүктедегі немесе аралықтағы үзіліссіздігі түсініледі.егер utvt, нақты функциялар жұбы a,b аралығында диффе- ренциалданяғын болса, онда осы аралыққа xt комплекс функциясы дифференциалданатын функция деп аталады. Кез келген реттегі туындылар да анықталады. Нақты функция туындысының негізгі қасиеттері комплекс фнкцияның туындысы үшін де дұрыс. Қарастырылып отырған a,b аралығында үзілісіз болатын xt комплекс функциясының алғашқы бейнесі(интеграл) деп yt= xt,∀t=a,b тепе-теңдігін қанағаттандыртын yt комплекс функцияын айтады.
Әлбетте
t0txτdτ=it0tuτdτ+t0tvτdτ, t0, t∈a,b
Нақты функция интегралының иегіің қасиспері комплекс фуикиияиың ингегралы үшін де дұрыс болғандығы теңдігінен тусінікті.
Мысал регінде xt=eα+iβt комплекс фуикциясы мен қарастыралық, мұндагы α және β -нақты сандар, t-нақты айиммалы.
Енді
eα+iβt=etα∙eitβ
теңдігін және эйлер* формуласын

eitβ=Cosβt+isinβt
Пайдаланып, xt функциясын диффереициалдайық;
xt=eα+iβt=etαCosβt+isinβt=etαCosβt+ ietαSinβt=αetαCosβt-βetαSinβt+iαetα Sinβt+βetαSinβt=α+iβCosβt+isinβtetα =α+iβeα+iβt
Бұл формулаға сүйенсе отырып,

yt=t0teα+iβtdτ=1α+iβeα+iβt-eα+iβt0
Теңдігін аламыз. Себебі yt=yt
Әлбетте: eα+iβt=etα
Анықтама. Егер φ1t,φ2t,...,φmt:a,b -- c

Функциялары үшін
α1φ1t+α2φ2t+,...,αmφmt=0, t∈a,b 1
Теңдігін қанағаттандыратын, нөлге бәрі бірдей тең емес αj∈C сандары табылатын болса, онда φ1t,φ2t,...,φmt функциалары аралығында комплекс сандар өрісіне қаттысты сызықтық тәуелді деп атталады .
Әдетте
Α1Eγt+αteγt+...+Αm+1TmEγt=Α1+Α2t+.. .+αm+1TmEγt=0, ∀t∈a,b--α1+α2t+...+αm+1tm=0,t∈a ,b
Себебі eγt!=0,t∈a,b .сондықтан берілген функцияалар сызықтық тәуелсіз.
Мысал. Егср γ1,γ2∈C0 және γ1=γ2 болса, онда
eγ1t,teγ1t,...,tkeγ1t: eγ2t,teγ2t,...,leγ2t, l,k∈N0≔0∪N
Функциялары кез келген a,b-infinity,+infinity аралығында сызықтық тәуелсіз. Бұны дәлелдеу үшін a,b аралығында (3) функциялардың нақты немесе комплекс коэффициенттер арқылы жазылған сызықтык комбинациясын алайық:
α1+α2t+...+αk+1tkeγ1t+αk+1+αk+2t+.. .+αk+l+2tleγ2t=0,t∈a,b
Егер теңдікті e-γ1t функциясына көбейтсек,
α1+α2t+...+αk+1tk+αk+1+αk+2t+...+αk +l+2tleγ2+γ2t=0,t∈a,b
(4)
Тепе-теңдігі алынады. Бұл теңдігі k+1 -рет дифференцияалдасақ ,
αk+1+αk+2t+...+αk+l+2tleγ2+γ2t=0, t∈a,b (5)

Тепе-теңдігі шығады. Мұндағы α*k+2t+...+α*k+l+2 сандары --
αk+1+αk+2t+...+αk+l+2tleγ2+γ2t
Қосындысын дифференциялдау
Нәтижесінде алынған қосындының коэффицненттері. Олар αk+2t+...+αk+l+2 сандары арқылы сызықтық өрнектеледі. Соңғы теңдіктең
α*k+1+α*k+2t+...+α*k+l+2tl=0,t∈a,b

Тепе-теңдігі алынады. Ал бұл тепе-теңдік коэффнцнентгерінің тізімінде біреуі нелден өзгеше болғанда орындалмайтыны 1 -мысалда көрсетілді.
Олай болса α*k+1=α*k+2=...=α*k+l+2tl=0б ұл мәндерді(4) тепе-теңдіккез қойсак,
α1+α2t+...+αk+1tk=0,t∈a,b
Тепе-теңдігі алынады. Бұл теңдік те тек α1=α2=...=αk+1=0 болғанда ғана орындалады. Осы α1=...=αk+1=0 мәңдерін (4) тепе-теңдіке қойып, αk+2=+...=αk+l+2=0 болатынын аламыз. , сонымен α1=α2=...=αk+l+2=0 екенін шығады. Демек (3) функциялар (а,ь) аралығында сызықтық тәуелсіз.
Дал осы әдіспен, егер γj!=γk,j!=k, болса ,
eγjt,teγjt,...,tmjeγjtγj∈C,mj∈Nj, J=1,n
Функцияларының да кез келген a,b-infinity,+infinity аралығында сызықтық тәуелсіз екенін көрсетуге болады (дәлелдеңіз).
Бұдан mj=0, ∀J=1,l болғанда,
eγ1t,eγ2t,...,eγlt γj!=γk,j!=k,γj∈C, J=1,l
Функцияларының кез келгенa,b аралығында сызықтық тәуелсіздігі шығады.
4.мысал
eαtCosβt,teαtCosβt,...,tmeαtCosβt;
ePItSinβt,tePItSinβt,...,tmePItSinβ t;α,β∈R,m∈N0

функциялары кез келген a,b аралығында нақты сандар өрісіне қатысты сызықтық тәуелсіз.
Тұжырымды дәлелдеу үшін функциялардың нақты коэффициентер арқылы жазылған сызықтық комбинациясын алайық:
j=0majtjeαtCosβt+j=0mam+j+1tjeαtSin βt=0, ∀t∈a,b,aj∈r,
j=1.2m+1
Бұл теңдікті эйлер формулаларын
Cosβt=12eiβt+e-iβt, Sinβt=-12eiβt-e-iβt
Пайдаланып, көрсеткіштік функциялар арқылы жазайық:
12j=0majtjeγt+eγt+j=0mam+j+1tjeγt+e γt=0, ∀t∈a,b, γ=α+iβ,γ=α+iβ
Бұдан, жинастыру арқылы,
j=0m(aj+iam+j+1)tjeαt+j=0m(ai+am+j+ 1tjeαt=0, ∀t∈a,b,
Тепе-теңдік алынады. Бұл теңдік дәл (4) теңдіктей. Сондықтан ∀j=0,1,...,m үшін aj+-iam+j+1=0,i=-1 .бұдан a0=a1=a2=,...,=a2m+1=0 екені шығады. Олай болса, берілген функцмлар сызықтық тауелсіз.
Функдиялардың сызықтық тәуелділігі мен сызыктық тәуелсіздігі олардың аргументін кез келген дифференциялданатын, туындысы нөлге тең емес функциямен ауыстырганнан өзгермейді.
5-мысал. Егер γj∈C,j=1,l өзара тең болмаса, яғни γj!=γk,j!=k болса, онда кез келген mj∈N0 үшін
tγj,tγjLnt,...,tγjLnt mjj=1,n функциялары a,b∈ (0,+infinity) аралығында (немесе кез келген аралығында) нақты не комплекс сандар өрісіне қатысты сызықтық тәуел сіз.
Расында да бұл функцияларға t=er ауыстыруын енгізсек, функцияларын eγjτ,τeγjτ,...,τmjeγjτ алар едік. Ал бұл функциялар дәл (б) функциялардай. Олардың кез келген a,b-infinity,+infinity аралығында сызықтық тәуелсіз екезндігі, 3-мысалда айтылды. Сондықтан алдыңғы функциялар(0,+infinity) аралығында сызықтық тәуелсіз, себебі олар соңғы функциялардан τ=lnt ауыстыруын енгізу арқылы алынады.
Ескерту. Келтірілген 2, 3 және 5-мысалдардағы функццялардың сызықтық тәуелсіздігі басқа шартар сақталғанда γj∈R болғанда да өзгермейтіні көрініп тұр.
Айталық a,b аралығында m-1 реткіз дейін дифференциялданатын φ1t,φ2t,...,φmt функциялары берілсін. Осы функциялар мен олардын туындылары арқылы құрьлған m -ретті анықтауыш
φ1t,φ2t,...,φmtφ1t,φ2t,...,φmt ... . ... ... ... ... ... ... φ1tM-1φ2tM- 1... φmtM-1
Вронскийдің анықтауышы немесе осы функциялардың вронскианы деп аталады. Вронскиан t айнымалысының функцнясы болғандықтан, оны көбінесе қысқаша w(t) арқылы белгілейді. Вронскнан мен функциялардың сызықтық тауелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі арасында мынадай байланыс бар.
1. Егер φ1t,...,φmt функциялар a,b аралығында сызықтық тауелді болса, оңда w(φ1t,...,φmt),∀t∈a,b. Шынында да

φ1t,...,φmt функцияларының сызықтық тәуелділігінен вронскианның бір бағанасынын әрбір ∀t∈a,b мәнінде қалган бағаналардың сызықтық комбинациясы болатыны шығады.
Керісінше, вронскианның нөлге тең болуынан функциялардың сызықтық тәуелді болатыны шыга бермейді. Мысалы, мына екі функцияны
φ1t=T2, t00,t=0 φ2t=0,t0t2,=0
Қарастыралық. Олардың вронскианы кез келген -a,a,0ainfinity аралығында нөлге теңбе тең:
W(φ1t,...,φ2t)=0. ∀t∈-a,a∈-infinity,+infinity.
Бірақ φ1t,φ2t функциялары-a,a аралығында сызықтық тәуелсіз. Себебі αφ1t+αφ2t=0, ∀t∈-a,a тепе-теңдігін қанағат- тандыратын нөлге қатарынан тең емес α1,α2 сандары табылмайды.
Егер ∀t∈a,bүшін W(φ1t,...,φmt)!=0 болса, онда φ1t,...,φmt функциялары a,b аралығындасызықтық тәуелсіз.
Кезрісінше, функциялардың сызыктық тәуелсіздігінен, олардың вронскианы нөлден өзгеше болатыны шыга бермейді. Бұл жоғарыда келтірілген мысалдан көрініп түр.
Ескерту. Вронскианның аталған қасиеттері функциялардың нақты не комплекс мәнді болуларынан және олардың сызыктық тәуелділігі мен сызықтық тәуелсіздігі нақты не комплекс сандар өрісіне қатысты анықталуына тәуелді емес.
3. Сызықтық біртекті теңдеу шешімдерініц қасиеттері
Әрбір n-ретке дейін дифференциалданатын х(t) функциясына оның туындыларын сәйкес қоятын Dk,k=1,n операторын енгізейік:
Dk:--dkxdtk, k=1,n
Демек Dkx=dkxdtk. Бұл оператор -
Dk≔dkdtk, k=1,n
Дифференциалдық оператор деп аталынады
Жазудың үшін х(t) функциясына осы функцияның нөлінші туындысын (яғни оның өзін) сәйкес қоятын бірлік операторды D0 арқылы белгілейік:
D0:x--x,D0x=x,D0=1
Дифференциалдық оператордың көмегімен сызықтық біртектг емес
xn+p1txn-1+...+pn-1tx+pntx=ft pjt,ft∈ca,b,j=1,n
Теңдеуін мына түрде жазуға болады:
Dnx+p1tDn-1x+pn-1tDx+pntD0x=ft,--D n+p1tDn-1+pn-1tD+pntD0x=ft.
Енді мынадай белгілеу:
Dn+p1tDn-1+pn-1tD+pntD0=:Lt,D. (2)
Онда (1) теңдеуді ықшам түрде былай жазуга болады
Lt,Dx=f(t)
Ал сызықтық біртекті теңдеу
xn+p1txn-1+...+pn-1tx+pntx=0
Былайша жазылады
Lt,Dx=0
Әдетте Lt,D өрнегін d бойытна операторлық көпмүшелік деп атайды. Көбінесе оны дифференциаялдық көпмүшелік оператор деп атай береді. Соңғы ұғым х функциясынан туындылар алу, оларды сәйкес коэффициенттерге көбейтіп қосу амалдарының жиынтығы есебінде түсініледі. Оператор Lt,D - сызықтық:
Lt,Dα1x1+α2x2=α1Lt,Dx1+α2Lt,Dx2 (4)
α1,α2- кез келген нақты не комппекс сандар. Бұл қасиет туынды алу амалының
α1x1(t)+α2x2(t)k=α1x1kx1+α2x2kx2,k∈ N 5
Сызықтылық қасиетінен туады. Егер бұл тепе-теңдіктің екі жағын да әрбір k=0,1,...,n мәндері үшін сәйкес pn-kt коэффициенттеріне көбейтіп қосатын болсак, (4) тепе-теңдік алынады.
Қандай да болмасын бір (a,b) аралығында анықталған, n-ретсіз дейін дифференциалданатын кез келген x=φt функциясына Lt,D операторының әсері f(t) функциясына тепе-тең, яғни Lt,Dφt=f(t)
∀t∈(a,b) болса, онда оны (1) теңдеудің (a,b) аралығындагы шешімі деп атайды. Бгер (a,b) аралығында анықталған, n-реткіз дейін дифференциалданатын x=φt функциясы Lt,Dφt=0,∀t∈(a,b) тепе-теңдігін қанағаттандыратын болса, онда оны (3) теңдеудің (a,b) аралығындағы деп атайды.
Айталық (1) теңдеудің коэффициенттері мен бос мүшесі комплекс мәнді функциялар болсын, яғни pjt,j=1,n,ft=(a,b)--C.
Қандай да бір (a,b) аралығында анықталған n-реткіз дейін дифферен- циалданатын нақты айнымалыдан тәуелдi φt=ut+iv(t) функциясы Lnt,Dφt=ft,∀t∈(a,b) , тепе-теңдігін қанағаттандыратын болса,онда оны (1) теңдеудің (a,b) аралығындағы комплекс шешімі деп атайды.
Бұл жерде комплекс мәнді екі функцияның тепе-теңдігі деп олардың сәйкес нақты жәнежорамал бөліктерінің тепе-теңдігі ұғылатынын ескерген жөн. Сондықтан бұл жағдайда соңғы тепе-теңдік екі нақты тепе- теңдікке, ал теңдеу екі нақты теңдеуге эквивалентгі екені түсінікті.
енді Lt,D дифференциалдық операторының сызықтылық касиетін пайдаланып, сызықтық біртекті теңдеу шешімдерінің төмендегіден қасиеттерін аламыз.
1°. Бгер φ1t,...,φmt сызықтық бірпгекгі (3) теңдеудің (a,b) аралығындагы шешімдері болса, онда олардың кез келген тұрақты коэффициенттер арқылы жазылган сызықтық комбинациясы
φt=j-1majφjt,aj∈C(αj∈R)
Осы теңдеудің a,b аралығындағы шешімі болады.
φjt,j=1,m функциялары шешімі болғандықтан
Lt,Dφjt=0,∀t∈(a,b)
Сонда
Lnt,Dφt=Lnt,Dj=1majφjt=j=1majLnt,Dφ jt=0 ∀t∈(a,b),aj∈C(αj∈R)
Яғни φt функциясы - (3) теңдеудің шешімі.
2° егер коэффициенттері нақты функциялар болатын сызықтық біртекті (3) теңдеудің комплексшешімі φt=ut+iv(t) бар болса, онда ол шешімнің нақты және жорамал бөліктері өз алдына (3) теңдеудің шешімін береді:
Lnt,Dφt=Lnt,Dut+iv(t)=Lnt,Dut+iLnt, Dvt=0
∀t∈a,b∈ Lnt,Dut=0,Lnt,Dvt=0, ∀t∈(a,b)
Айталық φ1t,...,φnt функциялары (3) теңдеудің a,b аралығында аныкталған нақты шешімдері болсын. Бұл шешімдердін сызықтық тәуелді, тәуелсіздігі мен осы шешімдердің вронскианы w( φ1t,...,φnt) арасында төмендегідей байланыс бар.
3°. Егер φ1t,...,φnt шешімдері (a,b) аралығында сызықтық
Тәуелді болса, онда w( φ1t,...φnt)=0, ∀t∈(a,b) (§ 2-тағы
Вронскианнын 1°-қасиетін қараңыз).
4°. Егер коэффициенттері (a,b) ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.