Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 3

НЕГІЗГІ БӨЛІМ . . . 6

1 Матрица және оның кейбір қасиеттері . . . 6

2 Векторлық кеңістік және оның кейбір қасиеттері . . . 17 3 Көпмүшеліктік матрицаның кейбір қасиеттері . . . 25 4 Матрицаның қалыпты Жордан түрі . . . 26 5 Матрицаның экспоненциалы . . . 37

ҚОСЫМША . . . 43

Сызықтық жүйенің матрицалық-векторлық шешімі . . . 43 Матрицалық-векторлық теңдеудің екі ортақ қасиеті, сызықтық жүйеге байланысты . . . 44 Біртекті матрицалық-векторлық теңдеуді шешудің негізгі қасиеттері . . . 45 Біртекті матрицалық-векторлық теңдеулердің сызықты тәуелсіз шешімдері және ортақ шешімін құру . . . 46

ҚОРТЫНДЫ . . . 48

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 49

КІРІСПЕ

Дифференциалдық теңдеулер курсына арналған бұл «Векторлық-матрицалық есептеулер» атты курстық жұмысты жоғары оқу орнындарында оқитын математика, физика және информатика мамандығының қазақ жастарының студенттері пайдалануға болады. Бұл жұмыстың әр тарауында теорияны игеру мақсатында көптеген мысалдар мен есептер шығарылған.

Дифференциалдық теңдеулер курсы студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болсын болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар ролі аса зор.

Дифференциалдық теңдеулер пәні ғылыми зерттеу және қолданбалы матемикада көптен пайданылып, бұл пен математикалық анализ, сызықты алгебра және аналитикалық геометрия негізінде құрылады.

“Дифференциалдық теңдеулер” пәнін оқытудың мақсаты- студенттердың жай дифференциалдық теңдеулер теориясының негізі бойынша терең білімдерін қалыптастыру, жаратылыстанудың әр-түрлі облыстарындағы кездесетін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерді шешуге және зерттеуге алған білімдерін қолдануға уйрету.

“Дифференциалдық теңдеулер” пәні жай дифференциалдық теңдеулердің және бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің шешімдерін табуға, оларды зерттеуге арналған.

Жоғары математиканы кей уақытта айнымалы шамалар математикасы деп те айтады.

Айнымалы шамалар математикасындағы келесі шешуші адым XVII ғасырдың екінші жартысында (дал айтқанда, май 1684 ж. ) дифференциалдық және интегралдық есептеулердің «дүниеге келуі» болды. Мұны математакалық анализдің немесе шексіз аздар анализінің тууы деп есептейді .

Дифференциалдық және интегралдық есептеулердің тууына себепші болған физика мен геометрияның келесі есептері: жазықтыкта немесе кеңістікте қозғалушы материалды нүктенің кез келген уақыттың ішіндегі жылдамдығын табу, жазықтықта жатқан қисық сызықтың берілген нүктесінде оған жанама жүргізу, фигуралардың аудандарын және денелердің көлемдерін табу керек.

Жаратылыстану ғылымдары мәселелерін қандай жаңа әдіспен сипаттауға болады деген сұраққа XVII-XVIII ғасырлардағы математиктер: - егер бұл ғылымдардың кез келген мәселелері дұрыс математикалық сипаттауға келтірілетін болса, онда олардың шешуін аналитикалық геометрия, дифференцияалдық және интегралдық есептеудің көмегімен табуға болады, - деп жауап берді. Бірақ ғалымдардың бұл пікірлері. тура келмеді, өйткені жаратылыстану ғылымдары мен техниканың жаңағы салалардың әлі келмейтін күрделі мәлелелері бірте-бірте кездесе берді. Осындай күрделі мәселелерді шешудің арқасында математикалық анализдің мынадай салалары: дифференциалдық теңдеулер, вариациялық есептеу, интегралдық теңдеулер, комплекс айнымалылар функцияларының теориясы, функционалдық анализ, ықтималдық теориясы атты тағы да басқа салалары пайда болды.

Дифференциалдық теңдеулер теориясы - математикалық анализдің ең маңызды және жаратылыстану ғылымдары (физика, астрономия, механика т. б. ) мен техниканың мәселелерін шешуде ерекше орын алатын саласы болып табылады. Дифференциалдық теңдеу бір шаманың екінші бір шамаларға тәуелділік заңын береді. Бұл теңдеулердегі белгісіздер бір айнымалы немесе екі, үш және онан да көп айнымалы шамалардың функциялары болып табылады.

Механикада қозғалушы дененің қозғалыс заңын табу, гидродинамикада, ағатын сұйық зат жылдамдығының оның бүкіл массасына таралу заңын, яғни жылдамдықтың сүйық зат нүктелері мен уақытқа тәуелділігін табу, физикада электр мен магнетизм өрісінің кернеуін бүкіл кеңістікте табу негізгі басты мәселелер болып табылады, өйткені техникалық мәселелердің көпшілігінің шешілуі осы мәселелерге келіп тіреледі. Мәселен, сүңгуір қайықтың су астында, кемелердің, теңіз беттерінде жүзіп жүруі, снарядтардың, самолеттердің әуеде ұшуы қатты денелердің сүйық зат ішіндегі қозғалысына мысалдар бола алады. Бұлардың құрылыстары және жобаланулары математикалық әдісті, былайша айтқанда дифференциалдық теңдеулер теориясын қолдануды талап етеді.

Тақырыптың өзектілігі:

Математика курстарын оқытуда оқу процесінде дифференциялдық теңдеулер пәнінде қарастырылатын сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілін қарастыра отырып, математиканы тереңдетіп оқытатын мектептер мен жоғары математиканы өткенде қолдану.

Қазіргі ахуалы:

Студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар маңызы зор.

Кустық жұмыстың мақсаты:

Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігін зерттеу, пәнді оқытуда векторлық-матрицалық есептеулер және оларға келтірілетін теңдеулерді шешуді үйрету, математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстар орнату, теорияда алған білімдерін практикада жүзеге асыру, ұқыптылыққа тәрбиелеу және ойлау қабілеттерін дамыту болып табылады.

Курстық жұмыстың міндеттері:

Векторлық-матрицалық есептеулер шешудің әр түрлілігін анықтау
Векторлық кеңістік және оның кейбір қасиеттері математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстарды ұйымдастыру

Кіріспе, негізгі бөлім, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер тұрады. Кіріспеде курстық жұмыстың мақсаты, практикалық маңыздылығы, тақырыптың өзектілігі көрсетілген. Негізгі бөлімде векторлық-матрицалық есептеулер шешудің әр түрлілігін, қасиеттерін, шешу жолдарын көрсеттім.

НЕГІЗГІ БӨЛІМ

1 Матрица және оның кейбір қасиеттері

Жатық m , тік n жолдары бар тік төртбұрыштық таблица түрінде орналасқан m · n шамалар (сандар, функциялар немесе басқа математикалық объектілер) жиынтығын m ⨯n өлшемді матрица деп атайды. Матрицаны құрайтын шамалар оның элементтері деп аталады. Әдетте матрицаның элементтерін екі индексі бар кіші әріптермен белгілейді. Индекстің біріншісі элемент тұрған жатық жолдың, ал екіншісі ол тұрған тік жолдың нөмірлерін көрсетеді. Мысалы, $a_{jk}$ - элементі матрицаның j -жатық жолы мен k -тік жолы қиылысатын жерінде тұр. Матрицаның өзін осы матрицаның элементтері белгіленген әріптің бас әрпімен белгілейді. Матрицаны анықтап тұрған таблицаны жай не квадрат жақшаға алып жазады. Мысалы $a_{jk}$ элементтері болатын m⨯n өлшемді матрица былай жазылады:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\ \ \ \ldots\ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22\ \ \ }\ldots & a_{2n} \\ \begin{array}{r} \ldots \\ a \end{array}_{m1} & \begin{array}{r} \ldots \\ a \end{array}_{m2}\ \ldots & \begin{array}{r} \ldots \\ a \end{array}_{mn} \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12\ \ }\ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}\ \ldots & a_{2n} \\ \begin{array}{r} \ldots \\ a \end{array}_{m1} & \begin{array}{r} \ldots \\ a \end{array}_{m2\ }\ldots\ & \begin{array}{r} \ldots \\ a \end{array}_{mn} \end{pmatrix}$

Жазуды ықшамдау үшін көбінесе А матрицасы былай жазылады:

$A = \left( a_{jk} \right), \ \left( j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n} \right)$

Барлық элементтері сан болатын матрица сандық , ал ең болмағанда бір элементті функция болатын матрица функциялық матрица деп аталады. Элементтерінің бәрі нақты шамалар болатын матрица нақты , ал элементтерінің ең болмағанда біреуі комплекс шама болатын матрица комплекс матрица деп аталады.

Функция $A(t) = \left( a_{jk}(t) \right), \ \left( j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n} \right) \$ матрицасы берілген.

Егер барлық $a_{jk}(t)$ функциялары ортақ $\left\langle a, b \right\rangle$ аралығында анықталған болса, онда $A(t)$ матрицасы да осы $\left\langle a, b \right\rangle$ аралығында анықталған деп айтады. Егер барлық $a_{jk}(t)$ функцияларының бір $t_{0}\epsilon\left\langle a, b \right\rangle$ нүктесіндегі шегі бар болса, онда $A(t)$ матрицасының да осы нүктеде шегі бар деп атайды және ол шекті былайша анықтайды.

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{A(t) } = \left( \lim_{t \rightarrow t_{0}}{a_{jk}(t) } \right) = \left( a_{jk}\left( t_{0} \right) \right) = A(t_{0})$

Егер функциялық матрицаның барлық элементтері бір нүктеде үзіліссіз болса, онда матрицаның өзі де осы нүктеде үзіліссіз деп атайды. Дәл осылайша, барлық $\left( a_{jk} \right), j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n}\$ элементтері ортақ бір $\left\langle a, b \right\rangle$ аралығында үзіліссіз болатын матрица осы аралықта үзіліссіз деп аталады және бұл қасиет $A(t) \epsilon C\left\langle a, b \right\rangle$ символымен белгіленеді. Бір ғана жатық жолдан тұратын (яғни 1 ⨯ n өлшемді) матрица матрица-жол деп, ал бір ғана тік жолдан (бағанадан) тұратын (яғни 1 ⨯ n өлшемді) матрица матрица-бағана деп аталады. Көбінесе олардың сәйкес вектор-жол, вектор-бағана деп те атайды. Олардың элементтерін белгілеу үшін бір индексті жіңішке күші әріптер қолданылады, ал өздерін қалың кіші әріптермен белгілейді. Мысалы, $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ элементтерінен тұратын вектор-жолды $x = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ деп, ал осы n шамалардан тұратын вектор-бағаны

$x = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \end{matrix} \\ x_{n} \end{array} \right) = colon\ (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$

деп белгіліейді. Мұндағы $x_{j}\ (j = \overline{1, n}) \$ шамалары вектордың компонентері не координаталары деп аталады.

Жатық жолдар саны тік жолдар санына тең болатын, яғни n ⨯ n өлшемді матрица квадраттық матрица деп аталады, ал оның жатық жолының (немесе тік жолының) саны (n) осы матрицаның реті деп аталады. Реті 1-ге тең квадраттық матрица $A = (a_{11})$ деп $a_{11}$ саны (скалярлы) ұғылады. Квадраттық $A = \left( a_{jk} \right), \ \left( j, \ k = \overline{1, n} \right)$ матрицасының $a_{jj\ \ }(j = \overline{1, n) }\$ элементтері орналасатын орын бас диагональ деп аталады. Бас диагоналінің бойындағы элементтерінен басқа элементтері нөлге тең квадраттық матрица диагональдық матрица деп аталады. Оны әдетте былай жазады:

$A = \left\lbrack a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn} \right\rbrack = diag(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn})$

Барлық бас диагональ элементтері 1-ге тең $(a_{jj} = 1, \ \ j = \overline{1, n})$ диагоналдық матрица бірлік матрица деп аталады және E әрпімен, барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады да О символымен белгіленеді А матрицасының сәйкес нөмірлі жатық жолдары мен тік жолдарын өзара орындарымен ауыстыру арқылы алынатын матрица (яғни ${(a}_{jk}), \ k = \overline{1, n}; \ j = \overline{1, m}$ А матрицасына қарағанда диагональ бойынша аударылған (транспондалған) деп аталады және $A^{T}$ символымен белгіленеді: $\ A^{T} = {(a}_{jk}), \ k = \overline{1, n}; \ j = \overline{1, m}$ . Комплекс түйіндес $\overline{a_{jk}}$ элементтерінен тұратын $\overline{A} = (\ \overline{a_{jk}})$ матрицасы $A = \ \overline{a_{jk}}$ матрицасының комплекс -түйіндес матрица деп аталады. Ал $A^{*} = A^{- T} = \ \overline{{(a}_{jk}})$ матрицасы А матрицасының эрмиттік* түйіндес деп аталады. Егер А*--А болса, онда А матрицасын эрмиттік немесе өзін-өзіне түйіндес матрица деп атайды. Әлбетте мына тепе-теңдіктер орындалады:

$\left( A^{*} \right) ^{*} = A, \ (A + B) ^{*} = A^{*} + B^{*}, \ (AB) ^{*} = B^{*}A^{*}$

Реті n- ге тең $A = (\overline{a_{jk}})$ квадрат матрицасының анықтауышы не детерминанты деп $n! = 1 \bullet 2 \bullet \ldots \bullet (n - 1) \bullet n$ қосылғыштан тұратын

$\sum_{k_{j}}^{}( - 1) ^{v}a_{1k1} \bullet a_{2k2} \bullet \ldots \bullet a_{nkn}$

қосындысын айтады. Қосынды 1, 2, . . . , n сандарынан тұратын кез келген $(k_{1}, k_{2}, \ldots{, k}_{n})$ алмастырулардағы инверсияның санын білдіреді. А матрицасының анықтауышы әдетте былайша жазылады;

$\left \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} & a_{12\ }\ \ \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}\ \ \ \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots\ \ \ \ \ \ \ldots & \ldots \end{matrix} \\ a_{n1}\ \ \ \ a_{n2}\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ a_{nn} \end{array} \right$

Жазудың ықшамдығы үшін көбінесе А матрицасының $A$ немесе $detA$ символдарымен белгілейді. Сонымен

$\det{A = \left \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} & a_{12\ }\ \ \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}\ \ \ \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots\ \ \ \ \ \ \ldots & \ldots \end{matrix} \\ a_{n1}\ \ \ \ a_{n2}\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ a_{nn} \end{array} \right = \sum_{k_{j}}^{}( - 1) ^{v}a_{1k1} \bullet a_{2k2} \bullet \ldots \bullet a_{nkn} \bullet}$

Бұл анықтамадан $detE = 1, \ detO = 0$ болатыны көрініп тұр. Анықтауышы нөлге тең квадраттық матрица ерекше, ал анықтауышы нөлден өзгеше квадрат матрица ерекше емес матрица деп аталады.

Бірдей өлшемді, квадраттық болған жағдайда бірдей ретті $(A = (\overline{a_{jk}})$ және $B = \left( \overline{b_{jk}} \right), \ j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n) }$ матрицаларының қосындысы (немесе айырымы) деп элементтері $c_{jk} = a_{jk} + b_{jk}$ (немесе $c_{jk} = a_{jk} - b_{jk}\$ ), ( $j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n}$ ) формуласымен анықталатын $C = (c_{jk})$ матрицасын айтады:

$C = A + B$

Өлшемдері бірдей вектор-жолдардың немесе вектор-бағаналардың өзара қосындысы (немесе айырымы) да дәл осылайша анықталады.

$A = \left( a_{jk} \right), \ \left( j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n} \right)$ матрицасымен $\alpha$ скалярының (сан немесе функцияның) көбейтіндісі деп

$\alpha A = A\alpha = \left( \alpha a_{jk} \right), \ (j = \overline{1, m}; k = \overline{1, n})$

матрицасын айтады.

Өлшемі m ⨯ n болатын $A = (a_{jk})$ және өлшемі n⨯1 болатын $B = (b_{ks})$ матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері келесі формуламен анықталатын $D = (d_{ks})$ матрицасын айтады:

$d_{ks} = \sum_{k = 1}^{n}{a_{jk}b_{ks}\ \left( j = \overline{1, m}; l = \overline{1, l} \right), \ D = A \bullet B}$

Анықтамадан, A және B матрицаларының орындарын ауыстыруға боймайтыны түсінікті. Олай етсе, көбейтіндінің мағынасы жойылады. Себебі матрицаларды көбейту үшін бірінші көбейткіш матрицаның тік жолдар саны екінші көбейткіш матрицаның жатық жол санына тең болуы қажет. Тіпті А және В матрицалары бірдей ретті квадраттық матрицалар болғанның өзінде, жалпы алғанда, АВ-ВА теңдігі орындалмайды. Мұны есте ұстаған жөн. Өлшемі m ⨯ n -ге тең А матрицасының n өлшемді $x = colon(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ вектор-болғанымен көбейтіндісі -элементтері

$y_{j} = \sum_{k = 1}^{n}{a_{jk}x_{k}}$

формуласымен анықталатын жаңа вектор-бағана болады:

$Ax = y = colon(y_{1, }y_{2}, \ldots, y_{m})$

Ал $x = {(x}_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ вектор-жолының $y = colon(y_{1, }y_{2}, \ldots, y_{m})$ вектор-бағасына көбейтіндісі бір элементтен тұратын матрица