Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігі

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... .3
НЕГІЗГІ БӨЛІМ ... ... ... .6
1 Матрица және оның кейбір қасиеттері ... ... 6
2 Векторлық кеңістік және оның кейбір қасиеттері ... . ... ... ... ... ... ... ... ..17 3 Көпмүшеліктік матрицаның кейбір қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..25 4 Матрицаның қалыпты Жордан түрі ... ... ... 26 5 Матрицаның экспоненциалы ... ... ... .37
ҚОСЫМША ... ... ... ..43
Сызықтық жүйенің матрицалық.векторлық шешімі ... ... ... ... ... ... ... ... ...43
Матрицалық.векторлық теңдеудің екі ортақ қасиеті, сызықтық жүйеге байланыст ... ... ... 44 Біртекті матрицалық.векторлық теңдеуді шешудің негізгі қасиеттері ... ... ... .. 45 Біртекті матрицалық.векторлық теңдеулердің сызықты тәуелсіз шешімдері және ортақ шешімін құру ... ... ... ..46
ҚОРТЫНДЫ ... ... ... ... ...48
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

Дифференциалдық теңдеулер курсына арналған бұл «Векторлық-матрицалық есептеулер» атты курстық жұмысты жоғары оқу орнындарында оқитын математика, физика және информатика мамандығының қазақ жастарының студенттері пайдалануға болады. Бұл жұмыстың әр тарауында теорияны игеру мақсатында көптеген мысалдар мен есептер шығарылған.
Дифференциалдық теңдеулер курсы студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болсын болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар ролі аса зор.
Дифференциалдық теңдеулер пәні ғылыми зерттеу және қолданбалы матемикада көптен пайданылып, бұл пен математикалық анализ, сызықты алгебра және аналитикалық геометрия негізінде құрылады.
“Дифференциалдық теңдеулер” пәнін оқытудың мақсаты– студенттердың жай дифференциалдық теңдеулер теориясының негізі бойынша терең білімдерін қалыптастыру, жаратылыстанудың әр-түрлі облыстарындағы кездесетін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерді шешуге және зерттеуге алған білімдерін қолдануға уйрету.
“Дифференциалдық теңдеулер” пәні жай дифференциалдық теңдеулердің және бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің шешімдерін табуға, оларды зерттеуге арналған.
Жоғары математиканы кей уақытта айнымалы шамалар математикасы деп те айтады.

1 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.1. «Рауан», 1991 жыл.
2 Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы, Б.2. «Рауан», 1996 жыл
3 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу. А.: Мектеп,1989. – 232б.
4 Мәукеев Б.И. Дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері / Б Мәукеев. – Алматы : Мектеп,1989. – 50 б.
5 Кадикенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары. Алматы. “Қазақ университеті”. 2002.
6 Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы. “Қазақ университеті”. 2006.
7 Тілеубердиев Б. Дифференциалдық теңдеулер. Шымкент. 2004
8 Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, “Выш. школа”, 1974.
9 Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.1988
10 Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. М., “Наука”. 1984.
11 Самойленко А.М. и другие. Дифференциальные уравнения. М. Высшая школа.1989.
12 Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.Наука. 1965.
13 Г.М.Фихтенгольц «Математикалық анализ негіздері»
14 Байбазаров М.Б. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер: Жоғары оқу орындары студенттеріне арналған оқу құралы / М.Б. Байбазаров, Ө.Д.Ершібаев. -. Алматы
15 Г.М. Фихтенгольц «Дифференциялдық және интегралдық есептеулер курсы»
16 Петровский И.Г. Лекций по теорий дифференциальных уравнений. М., «Наука» , 1984 год.
17 Потрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976 год.
18 СтепановВ.В Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1985 г.
19 Тихонов А.Н. Василева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1980 год.
20 Филипов А.Ф. Сборник задач по Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976 год.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
НЕГІЗГІ БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1 Матрица және оның кейбір қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .6
2 Векторлық кеңістік және оның кейбір қасиеттері ... . ... ... ... ... ... ... ... ..17 3 Көпмүшеліктік матрицаның кейбір қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .25 4 Матрицаның қалыпты Жордан түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..26 5 Матрицаның экспоненциалы ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .43
Сызықтық жүйенің матрицалық-векторлық шешімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ..43 Матрицалық-векторлық теңдеудің екі ортақ қасиеті, сызықтық жүйеге байланысты ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 44 Біртекті матрицалық-векторлық теңдеуді шешудің негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 45 Біртекті матрицалық-векторлық теңдеулердің сызықты тәуелсіз шешімдері және ортақ шешімін құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..46
ҚОРТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .48
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... 49

КІРІСПЕ

Дифференциалдық теңдеулер курсына арналған бұл Векторлық-матрицалық есептеулер атты курстық жұмысты жоғары оқу орнындарында оқитын математика, физика және информатика мамандығының қазақ жастарының студенттері пайдалануға болады. Бұл жұмыстың әр тарауында теорияны игеру мақсатында көптеген мысалдар мен есептер шығарылған.
Дифференциалдық теңдеулер курсы студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болсын болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар ролі аса зор.
Дифференциалдық теңдеулер пәні ғылыми зерттеу және қолданбалы матемикада көптен пайданылып, бұл пен математикалық анализ, сызықты алгебра және аналитикалық геометрия негізінде құрылады.
"Дифференциалдық теңдеулер" пәнін оқытудың мақсаты - студенттердың жай дифференциалдық теңдеулер теориясының негізі бойынша терең білімдерін қалыптастыру, жаратылыстанудың әр-түрлі облыстарындағы кездесетін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерді шешуге және зерттеуге алған білімдерін қолдануға уйрету.
"Дифференциалдық теңдеулер" пәні жай дифференциалдық теңдеулердің және бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің шешімдерін табуға, оларды зерттеуге арналған.
Жоғары математиканы кей уақытта айнымалы шамалар математикасы деп те айтады.
Айнымалы шамалар математикасындағы келесі шешуші адым XVII ғасырдың екінші жартысында (дал айтқанда, май 1684 ж.) дифференциалдық және интегралдық есептеулердің дүниеге келуі болды. Мұны математакалық анализдің немесе шексіз аздар анализінің тууы деп есептейді.
Дифференциалдық және интегралдық есептеулердің тууына себепші болған физика мен геометрияның келесі есептері: жазықтыкта немесе кеңістікте қозғалушы материалды нүктенің кез келген уақыттың ішіндегі жылдамдығын табу, жазықтықта жатқан қисық сызықтың берілген нүктесінде оған жанама жүргізу, фигуралардың аудандарын және денелердің көлемдерін табу керек.
Жаратылыстану ғылымдары мәселелерін қандай жаңа әдіспен сипаттауға болады деген сұраққа XVII -- XVIII ғасырлардағы математиктер: -- егер бұл ғылымдардың кез келген мәселелері дұрыс математикалық сипаттауға келтірілетін болса, онда олардың шешуін аналитикалық геометрия, дифференцияалдық және интегралдық есептеудің көмегімен табуға болады, -- деп жауап берді. Бірақ ғалымдардың бұл пікірлері.тура келмеді, өйткені жаратылыстану ғылымдары мен техниканың жаңағы салалардың әлі келмейтін күрделі мәлелелері бірте-бірте кездесе берді. Осындай күрделі мәселелерді шешудің арқасында математикалық анализдің мынадай салалары: дифференциалдық теңдеулер, вариациялық есептеу, интегралдық теңдеулер, комплекс айнымалылар функцияларының теориясы, функционалдық анализ, ықтималдық теориясы атты тағы да басқа салалары пайда болды.
Дифференциалдық теңдеулер теориясы -- математикалық анализдің ең маңызды және жаратылыстану ғылымдары (физика, астрономия, механика т. б.) мен техниканың мәселелерін шешуде ерекше орын алатын саласы болып табылады. Дифференциалдық теңдеу бір шаманың екінші бір шамаларға тәуелділік заңын береді. Бұл теңдеулердегі белгісіздер бір айнымалы немесе екі, үш және онан да көп айнымалы шамалардың функциялары болып табылады.
Механикада қозғалушы дененің қозғалыс заңын табу, гидродинамикада, ағатын сұйық зат жылдамдығының оның бүкіл массасына таралу заңын, яғни жылдамдықтың сүйық зат нүктелері мен уақытқа тәуелділігін табу, физикада электр мен магнетизм өрісінің кернеуін бүкіл кеңістікте табу негізгі басты мәселелер болып табылады, өйткені техникалық мәселелердің көпшілігінің шешілуі осы мәселелерге келіп тіреледі. Мәселен, сүңгуір қайықтың су астында, кемелердің, теңіз беттерінде жүзіп жүруі, снарядтардың, самолеттердің әуеде ұшуы қатты денелердің сүйық зат ішіндегі қозғалысына мысалдар бола алады. Бұлардың құрылыстары және жобаланулары математикалық әдісті, былайша айтқанда дифференциалдық теңдеулер теориясын қолдануды талап етеді.
Тақырыптың өзектілігі:
Математика курстарын оқытуда оқу процесінде дифференциялдық теңдеулер пәнінде қарастырылатын сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдаудың матрицалық-векторлық тәсілін қарастыра отырып, математиканы тереңдетіп оқытатын мектептер мен жоғары математиканы өткенде қолдану.

Қазіргі ахуалы:
Студенттердің белгілі бір математикалық мәдениетін немесе олардың ғылыми, әсіресе математиканы оқытудың практикалық және қолданбалы бағыттарының мәнін түсіну, сол сияқты математикалық модельдеудің әдістерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру іскерлігі сияқты көзқарастырын қалыптастыру тұрғысынан болашақ мұғалімдердің іргелі математикалық дайындықтарына атқарар маңызы зор.
Кустық жұмыстың мақсаты:
Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігін зерттеу, пәнді оқытуда векторлық-матрицалық есептеулер және оларға келтірілетін теңдеулерді шешуді үйрету, математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстар орнату, теорияда алған білімдерін практикада жүзеге асыру, ұқыптылыққа тәрбиелеу және ойлау қабілеттерін дамыту болып табылады.
Курстық жұмыстың міндеттері:
Векторлық-матрицалық есептеулер шешудің әр түрлілігін анықтау
Векторлық кеңістік және оның кейбір қасиеттері математика курсында оқу процесінде пәнаралық байланыстарды ұйымдастыру

Кіріспе, негізгі бөлім, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер тұрады. Кіріспеде курстық жұмыстың мақсаты, практикалық маңыздылығы, тақырыптың өзектілігі көрсетілген. Негізгі бөлімде векторлық-матрицалық есептеулер шешудің әр түрлілігін , қасиеттерін , шешу жолдарын көрсеттім.

НЕГІЗГІ БӨЛІМ
1 Матрица және оның кейбір қасиеттері
Жатық m, тік n жолдары бар тік төртбұрыштық таблица түрінде орналасқан m · n шамалар (сандар, функциялар немесе басқа математикалық объектілер) жиынтығын m ⨯n өлшемді матрица деп атайды. Матрицаны құрайтын шамалар оның элементтері деп аталады. Әдетте матрицаның элементтерін екі индексі бар кіші әріптермен белгілейді. Индекстің біріншісі элемент тұрған жатық жолдың, ал екіншісі ол тұрған тік жолдың нөмірлерін көрсетеді. Мысалы, ajk - элементі матрицаның j - жатық жолы мен k - тік жолы қиылысатын жерінде тұр. Матрицаның өзін осы матрицаның элементтері белгіленген әріптің бас әрпімен белгілейді. Матрицаны анықтап тұрған таблицаны жай не квадрат жақшаға алып жазады. Мысалы ajk элементтері болатын m⨯n өлшемді матрица былай жазылады:
A=a11a12 ... a1na21a22 ...a2n...am1...am2 ... ..amn A=a11a12 ...a1na21a22 ...a2n...am1...am2 ... ...amn
Жазуды ықшамдау үшін көбінесе А матрицасы былай жазылады:
A=ajk, j=1,m;k=1,n
Барлық элементтері сан болатын матрица сандық, ал ең болмағанда бір элементті функция болатын матрица функциялық матрица деп аталады. Элементтерінің бәрі нақты шамалар болатын матрица нақты, ал элементтерінің ең болмағанда біреуі комплекс шама болатын матрица комплекс матрица деп аталады.
Функция At=ajkt, j=1,m;k=1,n матрицасы берілген.
Егер барлық ajkt функциялары ортақ a,b аралығында анықталған болса, онда A(t) матрицасы да осы a,b аралығында анықталған деп айтады. Егер барлық ajkt функцияларының бір t0ϵa,b нүктесіндегі шегі бар болса, онда A(t) матрицасының да осы нүктеде шегі бар деп атайды және ол шекті былайша анықтайды.
limt--t0A(t)=limt--t0ajkt=ajkt0=A (t0)
Егер функциялық матрицаның барлық элементтері бір нүктеде үзіліссіз болса, онда матрицаның өзі де осы нүктеде үзіліссіз деп атайды. Дәл осылайша, барлық ajk,j=1,m;k=1,n элементтері ортақ бір a,b аралығында үзіліссіз болатын матрица осы аралықта үзіліссіз деп аталады және бұл қасиет A(t)ϵCa,b символымен белгіленеді. Бір ғана жатық жолдан тұратын (яғни 1 ⨯ n өлшемді) матрица матрица-жол деп, ал бір ғана тік жолдан (бағанадан) тұратын (яғни 1 ⨯ n өлшемді) матрица матрица-бағана деп аталады. Көбінесе олардың сәйкес вектор-жол, вектор-бағана деп те атайды. Олардың элементтерін белгілеу үшін бір индексті жіңішке күші әріптер қолданылады, ал өздерін қалың кіші әріптермен белгілейді. Мысалы, x1,x2,...,xn элементтерінен тұратын вектор-жолды x=(x1,x2,...,xn) деп, ал осы n шамалардан тұратын вектор-бағаны
x=x1x2...xn=colon (x1,x2,...,xn)
деп белгіліейді. Мұндағы xj (j=1,n) шамалары вектордың компонентері не координаталары деп аталады.
Жатық жолдар саны тік жолдар санына тең болатын, яғни n ⨯ n өлшемді матрица квадраттық матрица деп аталады, ал оның жатық жолының (немесе тік жолының) саны (n) осы матрицаның реті деп аталады. Реті 1-ге тең квадраттық матрица A=(a11) деп a11 саны (скалярлы) ұғылады. Квадраттық A=ajk, j, k=1,n матрицасының ajj (j=1,n) элементтері орналасатын орын бас диагональ деп аталады. Бас диагоналінің бойындағы элементтерінен басқа элементтері нөлге тең квадраттық матрица диагональдық матрица деп аталады. Оны әдетте былай жазады:
A=a11,a22,...,ann=diag(a11,a22,..., ann)
Барлық бас диагональ элементтері 1-ге тең (ajj=1, j=1,n) диагоналдық матрица бірлік матрица деп аталады және E әрпімен, барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады да О символымен белгіленеді А матрицасының сәйкес нөмірлі жатық жолдары мен тік жолдарын өзара орындарымен ауыстыру арқылы алынатын матрица (яғни (ajk), k=1,n; j=1,m А матрицасына қарағанда диагональ бойынша аударылған (транспондалған) деп аталады және AT символымен белгіленеді: AT=(ajk), k=1,n; j=1,m . Комплекс түйіндес ajk элементтерінен тұратын A=( ajk)матрицасы A= ajk матрицасының комплекс - түйіндес матрица деп аталады. Ал A*=A-T= (ajk) матрицасы А матрицасының эрмиттік* түйіндес деп аталады. Егер А*--А болса, онда А матрицасын эрмиттік немесе өзін-өзіне түйіндес матрица деп атайды. Әлбетте мына тепе-теңдіктер орындалады:
A**=A, A+B*=A*+B*, AB*=B*A*
Реті n-ге тең A=(ajk) квадрат матрицасының анықтауышы не детерминанты деп n!=1∙2∙...∙(n-1)∙n қосылғыштан тұратын
kj-1va1k1∙a2k2∙...∙ankn
қосындысын айтады. Қосынды 1,2,..., n сандарынан тұратын кез келген (k1,k2,...,kn) алмастырулардағы инверсияның санын білдіреді. А матрицасының анықтауышы әдетте былайша жазылады;
a11a12 ...a1na21a22 ...a2n ... .. ... ..an1 an2 ... ann
Жазудың ықшамдығы үшін көбінесе А матрицасының A немесе detA символдарымен белгілейді. Сонымен
detA=a11a12 ...a1na21a22 ...a2n ... .. ... ..an1 an2 ... ann=kj-1va1k1∙a2k2∙...∙ankn∙
Бұл анықтамадан detE=1, detO=0 болатыны көрініп тұр. Анықтауышы нөлге тең квадраттық матрица ерекше, ал анықтауышы нөлден өзгеше квадрат матрица ерекше емес матрица деп аталады.
Бірдей өлшемді, квадраттық болған жағдайда бірдей ретті (A=(ajk) және B=bjk, j=1,m;k=1,n) матрицаларының қосындысы (немесе айырымы) деп элементтері cjk=ajk+bjk (немесе cjk=ajk-bjk ), (j=1,m;k=1,n) формуласымен анықталатын C=(cjk)матрицасын айтады:
C=A+B
Өлшемдері бірдей вектор-жолдардың немесе вектор-бағаналардың өзара қосындысы (немесе айырымы) да дәл осылайша анықталады.
A=ajk, j=1,m;k=1,n матрицасымен α скалярының (сан немесе функцияның) көбейтіндісі деп
αA=Aα=αajk, (j=1,m;k=1,n)
матрицасын айтады.
Өлшемі m ⨯ n болатын A=(ajk) және өлшемі n⨯1 болатын B=(bks) матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері келесі формуламен анықталатын D=(dks) матрицасын айтады:
dks=k=1najkbks j=1,m;l=1,l, D=A∙B
Анықтамадан, A және B матрицаларының орындарын ауыстыруға боймайтыны түсінікті. Олай етсе, көбейтіндінің мағынасы жойылады. Себебі матрицаларды көбейту үшін бірінші көбейткіш матрицаның тік жолдар саны екінші көбейткіш матрицаның жатық жол санына тең болуы қажет. Тіпті А және В матрицалары бірдей ретті квадраттық матрицалар болғанның өзінде, жалпы алғанда, АВ -- ВА теңдігі орындалмайды. Мұны есте ұстаған жөн. Өлшемі m ⨯ n - ге тең А матрицасының n өлшемді x=colon(x1,x2,...,xn) вектор-болғанымен көбейтіндісі - элементтері
yj=k=1najkxk
формуласымен анықталатын жаңа вектор-бағана болады:
Ax=y=colon(y1,y2,...,ym)
Ал x=(x1,x2,...,xn) вектор-жолының y=colon(y1,y2,...,ym) вектор-бағасына көбейтіндісі бір элементтен тұратын матрица
j=1nxjyj
яғни скаляр шама болады. Бұны x,y векторының скалярлық көбейтіндісі деп атайды.
Бірдей ретті А және В квадраттық матрицалары үшін
detAB=detA∙detB (1)
теңдігі орындалады.
Егер А квадраттық матрицасымен бірдей ретті В квадраттық матрицасы
BA=AB=E (2)
теңдігін қанағаттандыратын болса, онда В матрицасына кері матрица деп атайды және A-1 символымен белгілейді. Мұндағы Е - реті А-ның ретіне тең бірлік квадраттық матрица. А квадраттық матрицасынан оның j жатық жолы мен k - тік жолын сызып (шығарып) тастағаннан (өзге жолдар реттерін сақтайды) кейін қалған матрицаның анықтауышын ajk элементінің миноры (Mjk) деп және Mjk минорының -1j+k - ге көбейтіндісін ajk элементінің алгебралық толықтауышы деп атайды. Оны осы элементтің индекстерін сақтай отырып элемент белгіленген кіші әріптің аттас бас әріппен белгілейді.
Ajk=-1j+k
Сонда А квадраттық матрицасына кері A-1=(bjk) квадраттық матрицасының элементтері bjk былай анықталады:
bjk=AkjdetA (k, j=1,n) (3)
Әлбетте (1) формулаға сүйеніп
A-1A=AA-1=E
тепе-теңдігінен detA∙detA-1=1 тепе-теңдігін аламыз. Бұдан тек ерекше емес матрицаның ғана кері матрицасы бар болатыны, ерекше емес матрицаға кері матрицаның ерекше емес және олардың анықтауыштар біріне-бірі кері шама болатыны шығады. (Бұл келтірілген қасиеттер функциялық матрицалар үшін олар үзіліссіз болатын ақырлы аралықтарда ғана дұрыс). Кез келген ерекше емес матрицаның кері матрицасы бар болатыны (3) формуладан да көрініп тұр. Кері матрица тек біреу ғана (жалғыз). Шынында да, A матрицасының A-1 матрицасынан басқа С кері матрицасы бар болсын. Онда
C=EC=A-1∙AC=A-1AC=A-1E=A-1
яғни C=A-1. Ерекше емес бірдей ретті А және В матрицалары көбейтіндісінің кері матрицасы үшін мына тендік орындалады:
AB-1=B-1∙A-1 (4)
Шынында да AB-1AB=E тендігін оң жағынан B-1∙A-1 көбейтіндісіне көбейтсек, (4) шығады.
А матрицасының нөлге тең емес минорларының ең үлкенінің реті оның рангі деп аталады және былайша белгіленеді: rangA А. Егер А- m ⨯ n өлшемді матрица болып, ал rangA=r болса, онда әлбетте r=min⁡(m,n) болады.
А квадрат матрицасының бас диагональ элементтерінің қосындысы осы матрицаның ізі деп аталады және spA немесе trA символдарымен белгіленеді:
spA=trA=j=1najj
Өлшемі m ⨯ n - ге тең А матрицасы берілсін. Егер теріс емес нақты скаляр шама A мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) A=0 ⇔A=O
2) αA=α∙A
3) A+B=A+B
4) A∙B=A∙B
онда оны А матрицасының нормасы деп атайды. Мұнда α - скаляр, ал В - үшінші шартта өлшемі m ⨯ n - ге тең, төртінші шартта өлшемі n⨯l - ге тең болатын кез келген матрица.
Екінші және үшінші шарттан A+-B=A+B теңсіздігі оңай алынады. Олардан тіпті мынандай тиімді қасиет алынады:
A-B=A-B
Шынында да
A=B+(A-B)=B+A-B,⟹A-B=A-B
Дәл осылайша
B-A=B-A=A-B
Норманың анықтамасындағы шарттарды норманың формуласын әр түрлі жолмен енгізу арқылы қанағаттандыруға болады. Норманы көбінесе мына формулалар арқылы енгізеді:
A=max1=j=mk=1najk, A=max1=k=nj=1majk
A=j=1mk=1najk, A=j=1mk=1najk212=spA*A12
Соңғы норма А нақты болғанда евклидтік норма деп, ал А комплекс болған жағдайда эрмиттік норма деп аталады.
Матрицаның нормасы туралы анықтама матрица-жол немесе матрица-бағана түрінде қарастыратын векторлардың нормасы үшін де күшінде қалады. Тек соңғы төртінші қасиет артық болады. Ол туралы кейінірек айтылады. Ал жоғарыдағы нормалар n - өлшемді комплекс не вектор нақты x=(x1,x2,...,xn) үшін мына түрде болады:
x=maxjxj, x=j=1nxj, x=j=1nxj212
Егер x=colonx1,x2,...,xn y=colon(y1,y2,...,yn) векторлары y=Ax теңдігі арқылы байланыста болса, онда y=Ax болады.
Матрицаның кез келген элементі үшін ajk=A теңсіздігі орындалады. Егер A=(a11) ,яғни А бірінші реті матрица болса, онда A=a11
Бірдей өлшемді матрицалар тізбегі
A1,A2,...,An, Ap=ajk(p), j=1,m;k=1,n;p=1,2, ...
берілсін. Егер ajk(p),∀j=1,m;k=1,n;p=1,2, ... тізбегінің шегі бар болса, онда матрицалық Ap тізбегінің де шегі бар деп айтады және ол шекті былайша анықтайды:
A=limp--infinityAp=limp--infinity ajk(p), (j=1,m;k=1,n)
Бірдей өлшемді A1,A2,... матрицаларынан құралған қатар
A1+A2+...+An+...=p=1infinityAp (5)
матрицалық қатар деп аталады. Егер (5) қатардың бөлікше қосындыларының тізбегі Sn=p=1nAp жинақты болса, онда (5) матрицалық қатар жинақты деп аталады. Бұл тізбектің шегі қатардың қосындысы деп аталады, яғни
S=limn--infinitySn=p=1infinityAp
Матрица нормасының қасиетінен, егер Ap--A, p--infinity болса, онда
Ap-A--0, p--infinity
Ap--A, p--infinity болатыны шығады.
Егер (5) матрицалық қатардың мүшелерінің нормаларынан ұралған қатар
A1+A2+...+AP+..., (6)
жинақты болса, (5) қатар абсолют жинақты деп аталады.
Егер қатар абсолют жинақты болса, ол жай жинақты да болады. Шынында да, кез келген j=1,m;k=1,n үшін ajk=Ap болғандықтан, скаляр қатарларды салыстыру белгісі бойынша барлық p=1infinityajk(p), ∀ j=1,m;k=1,n қатарларға жинақты. Онда
p=1infinityAp=p=1infinityajk(p), (j=1,m;k=1,n)
жинақты. Егер (6) қатар жинақты болса, және Bp=Ap теңсіздігі орындалса, онда матрицалық B1+B2+...+Bp+... қатарды да абсолют жинақты. Айталық қандай да болмасын бір a,b аралығында анықталған функциялық матрицалық қатар
At=p=1infinityAp(t)=p=1infinityajk( p), j=1,m;k=1,n ( 7)
берілсін.
Егер барлық скаляр функциялық қатарлар
p=1infinityajk(p), j=1,m;k=1,n
қайсыбір a,b аралығында бірқалыпты жинақты болса, онда (7) функциялық матрицалық қатар осы a,b аралығында бірқалыпты жинақты деп аталады. Функциялық матрицалық қатар үшін Вейерштрасстың жалпыланған белгісі орындалады: егер (7) қатар мүшелерінің нормаларынан құрылған қатар
p=1infinityAp(t)
қандай да бір a,b аралығында жинақты
p=1infinitycp
сандық қатарымен мажорантталған (жоғарыдан шектелген) (яғни Ap(t)=cp ∀p=1,2,...; ∀tϵa,b болса, онда (7) функциялық матицалық қатар a,b аралығында абсолютті және бірқалыпты жинақты болады.
Қандай да болмасын бір a,b аралығында анықталған функциялық
At=ajkt,j=1,m;k=1,n;
матрица берілсін.
Егер барлық ajk(t) функциялары a,b аралығында дифференциалданатын болса, онда осы аралықта A(t) матрицасын да диференциалданады деп айтады және A(t) матрицасының туындысы деп
At=dA(t)dt=dajk(t)dt, j=1,m;k=1,n
матрицасын айтады, яғни A(t) матрицасның туындысы деп, оның элементтерін олардың туындысымен ауыстырғанда алынатын матрицаны атайды. Егер ajktϵC1a,b j=1,m;k=1,n болса, онда A(t) матрицасы a,b аралығында үзіліссіз дифференциалдантын матрица деп аталады және бұл тұжырым A(t)ϵC1a,b символымен белгіленеді.
Матрица туындысының мынадай жеңіл тексерілетін қасиеттері бар:
1°. Егер С тұрақты болса, онда dCdt
2°. Егер AtϵC1a,b, B(t)ϵC1a,b бірдей өлшемді матрицалар болса, онда
At+Bt=At+Bt, tϵa,b
3° Егер AtϵC1a,b-m⨯n өлшемді, BtϵC1a,b-n⨯l өлшемді матрицалар болса, онда
At∙Bt=At∙Bt+At∙Bt, tϵa,b
Бұл қасиеттен мынадай салдарлар шығады.
а) At∙C=At∙C, (C-n⨯1, өлшемд тұрақты матрица),
C∙At=C∙At, (C-l⨯m , ( өлшемді тұрақты матрица);
б) егер A(t)ϵC1a,b - квадраттық матрица болса, онда
A2t=At∙At=At∙At+A(t)∙A(t)
Бұл жерде жалпы жағдайда At∙At=At∙At тепе-теңдігі орындала бермейтінін ескерген жөн. Егер ол тепе-теңдік орындалатын болса, онда A2t=2At∙At=2A(t)∙A(t) . Дәл осылайша, жалпы жағдайда
Akt=p=1k-1Ap(t)∙A(t)Ak-p-1(t)
ал аталған тепе-теңдік орындалған кезде
(Ak(t)=kAk-1tAt=kA(t)Ak-1(t))
формулалары алынады. Бұл формуланы дәлелдеу үшін математикалық индукция әдісін қолдану әдісі жеткілікті.
в) егер A(t)ϵC1a,b ерекшеемес матрица болса, онда A-1(t)ϵC1a,b және A-1t=A-1(t)A(t)A-1(t) болады. Шынында да
At∙A-1t=E, ⟹AtA-1t+AtA-1t=0
Бірдей өлшемді AptajkptϵC1a,b, j=1,m;k=1,n; матрицаларынан құрылған қатар
p=1infinityAp(t)
∀tϵa,b үшін жинақты, ал олардың туындыларынан құрылған
p=1infinityAp(t)
қатары a,b аралығында бірқалыпты жинақты (яғни барлық скаляр функциялық қатарлар
p=1infinitydajk(n)dt, (j=1,m;k=1,n)
a,b аралығында бірқалыпты жинақты) болсын. Онда берілген қатарды диференциалдауға болады және оның туындысы быйайынша анықталады:
з=1infinityAp(t)=з=1infinityAp(t).
Бұл формуланы дәл скаляр жағдайындағыдай дәлелдеуге болады. Егер a,b аралығында
Ap=cp ∀p=1,2,...болып, p=1infinitycp қатарды жинақты болса, онда бұл формула орындалады.
Егер At ϵ Ca,b, болса, онда A(t) матрицасының интегралы деп, осы матрицаның элементтерін олардың интегралдарымен ауыстырғанда алынған
t0tAτdτ=t0tajkτdτ;(t0,t ϵ a,b,j=1,m;k=1,n)
матрицасын атайды. Матрицаның шегі туралы ұғымды пайдалана отырып, матрицаның интегралын шекке көшу арқылы анықтауға болады:
t0tAτdτ=lim∆--0p=0n-1A(tp)∆tp, t0,t ϵa,b.
Мұнда t0t1...tn=t, ∆tp=tp+1-tp, p=0.1,...,n-1,
∆≔maxp∆tp.
Матрица интегралының төмендегідей қасиеттері бар:
Егер At=B(t) болса, онда

t0tAτdτ=Bt-Bt0
Егер C-1⨯m өлшемі тұрақты матрица болса, онда
t0tC∙Aτdτ=Ct0tA(τ)dτ

ал егерде C-n⨯1 өлшемі тұрақты матрица болса, онда
t0tA(τ)∙Cdτ=t0tA(τ)dτ∙C
Егер AtϵCa,b, B(t)ϵa,b бірдей өлшемді матрицалар болса, онда

t0t(A(τ)+B(τ))dτ=t0tA(τ)dτ+t0tBτdτ, t0,tϵa,b
Егер AtϵC1a,b-m⨯n, өлшемді, ал BtϵC1a,b-n-l өлшемді матрицалар болса, онда
t0tA(τ)B'(τ)dτ=At∙Bt-Ato∙Bt0-t0tA'( τ)B(τ)dτ
Бұл формуланы бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады.
t0tAτdτ=t0tA(τ)dτ
Шынында да, норманың анықтамасы бойынша

p=1n-1A(tp)∆tp=p=0n-1A(tp)∆tp

Бұдан ∆t--0 кезде шекке көшу арқылы норманың үзіліссіздігіне сүйене отырып, алдыңғы формуланы аламыз.

2 Векторлық кеңістік және оның кейбір қасиеттері
Нақты немесе комплекс сандардың реттелген жиынтығы

x=x1,x2,...xn

n өлшемді вектор деп аталады, ал x1,x2,...xn сандары x векторының координаталары немес компоненттері деп аталады. Біз көбінесе n өлшемді векторды n⨯1өлшемді матрица, яғни матрица-бағана

x=x1x2⋯xn=colon(x1,x2,...xn)
түрінде белгілейміз. Онда транспондалған вектор xT=x1,x2,...,xn 1⨯n өлшемді матрицаны, яғни матрица-жолды белгілейді.
Егер x=colonx1,x2,...,xn, y=colon(y1,y2,...yn) векторлары берілсе және α - кез келген комплекс сан болса, онда векторларды қосу амалы

x+y=colon(x1+y1,x2+y2,...xn+yn)

векторды санға (скалярға) көбейту амалы αx=colon(αx1,αx2,...,αxn) түрінде анықталады. Әрі бұл амалдар кәдімгі қасиеттерге ие болады.
Элементтері үшін қосу және санға көбейту амалдары анықталған n өлшемді векторлар жиының n өлшемді векторлық комплекс кеңістік деп атайды және Сn символымен белгілейді. Ал векторлардың өздерін осы кеңістіктің нүктелері деп атайды. Бір өлшемді комплекс кеңістік, яғни комплекс сандар жазықтығы ешбір индекссіз С символымен белгіленеді. Әрбір x,y ϵ Сn векторлары үшін анықталған мына шаманы (амалды):

x,y=j=1nxjyj

олардың скалярлық көбейтіндісі деп атайды. Мұндағы yj-yj - дің комплекс түйіндес мәні. Егер эрмиттік түйіндес y*=yT=(y1,...,yn) векторын енгізсек, скалярлық көбейтіндіні x,y=y*∙x түрінде жазуға болады.
Скалярлық көбейтіндінің оңай тексерілетін мынадай қасиеттері бар.
1º. x,x0⇔x!=0 және x,x=0⇔x=0
2º. x,y=(y,x)
3º. αx,y=αx,y, x,αy=αx,y, α - кез келген комплекс сан
4º. x+y,z=x,z+y,z, z,x+y=z,x+(z,y)
Мына формула

x=(x,x)=j=1nxj212

арқылы анықталған шама (сан) x векторының ұзындығы немесе модулі деп аталады. Егер x векторын матрица-бағана ретінде қарастырса, онда оның ұзындығы вектордың нормасының үшінші формуласымен (§1) анықталады, яғни вектордың евклидтік нормасы оның ұзындығымен сәкестендірілген (теңестірілген). Скаляр көбейтіндінің формуласынан Коши теңсіздігі (x,y)=y∙x=x∙y алынады.
Аталған 1º - 4º қасиеттері бар скалярлық көбейтінді анықталатын Сn векторлық кеңістігі евклидтік комплекс немесе унитар кеңістік деп аталады. Көп жағдайларда нүктелері n өлшемді нақты векторлар (яғни координаталары нақты) болатын кеңістік қарастырамыз және ондағы санға көбейту амалын тек нақты сандар үшін ғана анықтаймыз. Бұл кеңістікті n өлшемді векторлық нақты деп атайды және оны Rn символымен белгілейді. Бір өлшемді рақты кеңістік, яғни сандық өс ешбір индекссіз R символымен белгіленеді. Нақты Rn кеңістігі үшін скаляр көбейтіндінің 1º - 4º қасиеттері мына түрде болады:
1º. x,x0⇔x!=0 және x,x=0⇔x=0
2º. x,y=(y,x)
3º. αx,y=αx,y, x,αy=αx,y, α ϵ R
4º. x+y,z=x,z+y,z, z,x+y=z,x+(z,y)
Бұл жағдайда x векторының нормасы
x=(x,x)=j=1nxj212
евклидтік норма деп, ал Rn кеңістігінің өзі n өлшемді евклидтік кеңістік деп аталады. Векторлық Cn,Rn кеңістіктері жалпы сызықтық кеңістіктің дербес түрі болып табылады. Әдетте сызықтық кеңістік деп элементтері үшін қосу және санға көбейту амалдары анықталған кез келген (элементтерінің табиғаты кез келген) L жиынын айтады. Аталған қосу және санға көбейту амалдары L жиынынан шығармайды (нәтижесінде алынған элемент L жиынында жатады) және алгебраның үйреншікті аксиомаларын қанағаттандырады деп есептеледі. Айталық x1,...,xm векторлары берілсін. Онда α1,...,αm тұрақтыларының көмегімен жазылған
y=p=1mαpxp
векторы x1,...,xm векторларының сызықтық комбинациясы деп аталады.
Егер нақты не комплекс сандар өрісінде нөлге бәрі бірдей тең емес (ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше) α1,...,αm сандары табылып сызықтық комбинация нөлдік вектор беретін болса, яғни
α1x1+...+αmxm=0
онда x1,...,xm векторлары сызықтық тәуелді деп аталады. Ал кері жағдайда, яғни теңдік тек α1=...αm=0 болғанда ғана орындалса, онда x1,...,xm векторлары сызықтық тәуелсіз деп аталады. Егер α1,...,αm сандарының бәрі нақты болса сызықтық тәуелді-тәуелсіздік нақты сандар өрісіне қатысты, ал α1,...,αm сандарының ең болмағанда біреуі комплекс болса - комплекс сандар өрісіне қатысты анықталған деп айтылады.
Егер әрбір x ϵ Cn векторы n сызықты тәуелсіз e1,e2,...en ϵ Cn векторларының сызықтық комбинациясы
x=p=1nξpep
арқылы бір-ақ түрде өрнектелетін болса, онда e1,e2,...en векторлар жиынтығын Cn векторлық кеңістігінің базисі деп аталады. Мұндағы ξ1,...ξn сандары x векторының e1,e2,...en базисіндегі координаталары деп аталады.
Мысалы x=x1,x2,...,xn векторының e1=1,0,...0, e2=0,1,...,0,...,en=0,...,0,1 канондық базисіндегі координаталары x1,x2,...,xn сандары болады. Жалпы, сызықтық кеңістіктің өлшемі оның сызықтық тәуелсіз векторларының ең үлкен санына тең. Сызықтық тәуелсіз векторларының ең үлкен саны n - өлшемді болады. Сызықтық n өлшемді кеңістіктің сызықтық тәуелсіз n векторларының жиынтығы осы кеңістіктің базисі деп аталады. Біз қарастырып отырған n өлшемді векторлық кеңістіктің n өлшемді сызықтық кеңістік болатыны түсінікті. Себебі ол үшін енгізілген ұғымдар (өлшем, базис т.б) осы ұғымдардың сызықтық кеңістікте берілген анықтамаларын қанағаттандырады. Біз n өлшемді векторды көбінесе матрица-бағана ретінде қарастыратынымызды айттық. Сондықтан сол үшін норманы өткен парагрофта матрицалар үшін енгізілген түрде қалдыра беруге болады. Дегенмен Cn немесе Rn кеңістігінін нүктесі болатын n векторлар үшін тек оларды қосу және санға көбейту амалы ғана анықталғандықтан (векторды векторға көбейту амалы анықталмағандықтан), норманың соңғы қасиетін енгізу артық болады. Оның үстіне векторды барлық кезде матрица ретінде қарастыру тіпті міндетті емес. Сондықтан x ϵ Cn (немесе Rn) векторы үшін норманың ұғымы былайша енгізіледі. Әрбір x ϵ Cn (немесе Rn) векторына теріс емес нақты санды сәйкес қоятын функция x мына шарттарды:
1º. x=0⇔ x=0
2º. αx=α∙x
3º. x+y=x+y, yϵCn (немесе Rn)
қанағаттандыратын болса, онда оны Х векторының нормасы деп атайды.
Элементтері үшін 1º - 3º қасиеттерді қанағаттандыратын олардың нормасы енгізілген (анықталған) сызықтық кеңістік әдетте сызықтық нормаланған немес тек нормаланған кеңістік деп аталады. Әрбір x ϵ Cn (немесе Rn ) үшін әдетте қолданылатын нормалар өткен параграфта келтірілгендер:
x=max1=j=nxj, x=j=1nxj, x=(x,x)
X жиыны берілсін. Кез келген x,y ϵ X элементтеріне мына қасиеттерді қанағаттандыратын арақашықтық (метрика) деп аталатын теріс емес нақты ρ(x,y) саны сәйкес қойылсын:
1. ρx,y=0, ρx,y=0⇔x=y;
2. ρx,y=ρ(y,x)
3. ρx,y=ρx,z+ρz,y, zϵX
Онда Х жиыны метрикалық кеңістік деп аталады.
Егер сызықтық нормаланған Х кеңістігінде метриканы былайша енгізсе:
ρx,y=x-y,∀x, yϵX
онда ол метрикалық кеңістік болады.
Метрикалық X кеңістігінде нүктелер тізбегі xn берілген. Егер кез келген ε0 үшін N(ε) нөмірі (саны) табылып, nN(ε) болған кезде ρxn,xε, x ϵ X теңсіздігі орындалатын болса, онда xn тізбегін x ϵX нүктесіне жинақтық (ұмтылатын) тізбек деп атайды.
Егер кез келген ε0 саны үшін N(ε) нөмірі табылып, nNε, mN(ε) болған кезде ρ(xn,xm)ε теңсіздігі орындалса, онда xn ⊂X тізбегі іргелік тізбек немесе Коши тізбегі деп аталады.
Егер сызықтық нормаланған кеңістіктің кез келген іргелік тізбегі осы кеңістікте жататын нүктеге жинақты болса, онда ол кеңістікті толық деп атайды. Сызықтық нормаланған толық кеңістік Банах" кеңістігі деп аталады. Вектордың қатары және оның жай, абсолют, бірқалыпты жинақтылық ұғымдары оларды дәл матрица үшін берген түрде қалады.
X, Y метрикалық кеңістіктері берілсін және ∀x ϵ X векторына y ϵ Y векторын сәйкес қоятын А заңдылығы берілсін, яғни:
y=Ax
Бұл сәйкестігі X кеңістігін Y кеңістігіне бейнелеу немесе бейнелеуші оператор деп атайды және A :X--X символымен белгіленеді. Егер A :X--X болса, онда А бейнелеуін Х кеңістігінің өзін-өзіне бейнелеуі деп атайды.
Егер кез келген ε0 саны үшін δ=δ(ε) саны табылып,
ρx1,x2δ, x1,x2 ϵ X
теңсіздігінің орындалуынан
ρ(Ax1,Ax2)ε
теңсіздігі орындалатын болса, онда А бейнелеуін үзіліссіз деп атайды.
Егер Х кеңістігін өзін-өзіне бейнелейтін А үшін 0=α1 саны табылып, кез келген екі x1,x2 ϵ X векторлары үшін
ρ(Ax1,Ax2)=αρ(x1,x2)
теңсіздігі орындалатын болса, онда А қысатын немесе қысушы бейнелеу деп аталады. Әрбір қысатын бейнелеу үзіліссіз болады (тексеріңіз). Егер x ϵ X нүктесі үшін Ax=x тепе-теңдігі орындалатын болса, онда x жылжымайтын (қозғалмайтын) нүкте деп аталады.
Банахтың қысушы бейнелеу қағидасы 2. Толық метрикалық Х кеңістігін өзін-өзіне көшіретін A қысушы бейнелеуінің тек бір ғана жылжымайтын нүктесі бар болады, яғни
Ax=x
тепе-теңдігін қанағаттандыратын жалғыз ғана нүкте бар болады және ол нүктені дәйекті жуықтау әдісі арқылы мына формуламен
xn=Axn-1,n=1,2,...,x=limn--infinit yxn
табуға болады. Мұндағы x0 үшін метрикалық кеңістіктің кез келген нүктесін алуға болады.
Айталық a,b⊂R ал, x: a,b--Cn (немесе Cn ) болсын. Онда xt, t ϵ a,b - скаляр аргументті векторлық функция, қысқаша вектор-функция деп, ал a,b оның анықталу аралығы деп аталады. Вектор-функциясының шегі, үзіліссіздігі, диференциалы мен интегралы бұл ұғымдарды матрица үшін берген түрде қалады.
Енді xk(t):a,b--Cn вектор-функциялар тізбегін қарастыралық. Егер кез келген ε0 үшін N(ε) нөмірі табылып, kN(ε) болған кезде
xkt-x(t)ε,∀t ϵ a,b
теңсіздігі орындалатын болса, онда xk(t) тізбегі xt:a,b--Cn функциясына t ϵ a,b нормасы бойынша бірқалыпты жинақталады деп айтады. Бұл тұжырым барлық координаталар бойынша орындалатын бірқалыпты жинақтылыққа эквивалентті. Вектор-функция үшін қатар ұғымы, оны функциялық матрица үшін енгізген түрде қалады және сонда дәлелденген қасиеттерін сақтайды. Біз тұжырымдарды олар жалпы болу үшін көбінесе векторлық комплекс Cn кеңістігінде жүргіздік. Әдетте олар векторлық нақты Rn кеңістігінде де дұрыс болады. Әрине кей жерлерде келтірілген тұжырымдарда олардың мағынасы сәйкес өзгерістер енуі мүмкін.
Нақты D⊂Rn облысы берілсін. Сонда f :D--Rm (немесe Cm ) бейнелуі D обылысында анықталған векторлық-аргументті векторлық функция деп атайды. Бұл f= f1,...,fm бейнелеуінің үзіліссіздігі n аргументтен тәуелді әрбір координаталық (скаляр) fj :D--R;j=1,m функцияларының үзіліссіздігіне эквивалентті. Егер D облысында барлық dfjdxk,, j=1,m, k=1,m туындылары үзіліссіз болса, онда fx:D--Rm функциясы үзіліссіз дифференциялданатын функция деп аталады және бұл тұжырым f ϵ C1(D) символымен белгіленеді. Ал dfdxn туындысы деп Rm кеңістігін бейнелейтін Якоби" матрицасы

df1dx1...df1dxn ... ... .dfmdx1...df mdxn

түсініледі, яғни
dfdx=f'x=dfj(x)dxk, j=1,m, k=1,m
Айталық u:D⊂Rn--G⊂R1, f:G--Rm функциялары үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болсын, онда gx=f(u(x)) функциясы да D облысында үзіліссіз дифференциалданатын болады және
dfjdxk=p=11dfjdup∙dupdxk, j=1,m, k=1,m

dgdx=p=11dfjdup∙dupdxk=dfjdup∙dupdx k=dfdx(u(s))dudx

Rn кеңістігінде жататын D дөңес облысы және f:D--Rm функциясы берілсін. Облыс дөңес болғандықтан кез ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.