Аралықта үзіліссіз функциялардың қасиеттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:

Курстық жұмыс

Тақырыбы: Аралықта үзіліссіз функциялардың қасиеттері

Мазмұны

Кіріспе . . .

1 Үзіліссіз функция ұғымы . . .

1. 1 Үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану. Элементар функциялардың үзіліссіздігі. Үзіліссіз функциялардың негізігі қасиеттері . . .

1. 2 Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі . . .

1. 3 Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары . . .

2 Аралықта анықталған үзіліссіз функциялардың қасиеттері . . .

2. 1 Аралықтың үзіліссіз бейнесінің байланыстылығы (Больцано - Коши теоремасы) . . .

2. 2 Сегменттің үзіліссіз бейнесінің ең үлкен және ең кіші элементтері бар болуы (Вейерштрасс теоремалары) . . .

2. 3 Үзіліссіздіктің бірқалыптылығы. Кантор теоремасы . . .

Қорытынды . . .

Қолданылған әдебиеттер тізімі . . .

Қосымша . . .

Кіріспе

Бұл курстық жұмыста кесіндідегі үзіліссіз функциялардың кейбір қасиетгерін қарастырамыз.

Егер функциясы қандайда бір кесіндісінде үзіліссіз болса, онда кесіндісінде ең кемінде бір нүктесі табылып, функцияньщ осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті қанағаттандырады

мұндағы х - кесіндінің кез келген басқа нүктесі және ең кемінде бір нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті қанағаттандырады

Жоғарыда көрсетілген функциясының мәнін функциясының кесіндісіндегі ең үлкен мәні, ал функциясының мәнін функциясының кесіндісіндегі ең кіші мәні деп атаймыз.

Айтылған теореманы қысқаша төмендегідей түрде баяндауға болады:

Берілген кесіндісінде үзіліссіз болатын функция осы кесіндіде ең кемінде бір рет ең үкен М мәнін және ең кіші т мәнін қабылдайды.

Курстық жұмыстың мақсаты: аралықта үзіліссіз функциялардың қасиеттерін зерттеу.

Міндеттері:

- үзіліссіз функция ұғымын зерттеу, үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану, элементар функциялардың үзіліссіздігі мен үзіліссіз функциялардың негізігі қасиеттерін ашып зерттеу;

- функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі мен функция үзіліссіздігінің негізгі теоремаларын қарастыру;

- аралықта анықталған үзіліссіз функциялардың қасиеттерін зерттеу;

- аралықтың үзіліссіз бейнесінің байланыстылығы (Больцано - Коши теоремасы) мен сегменттің үзіліссіз бейнесінің ең үлкен және ең кіші элементтері бар болуын (Вейерштрасс теоремалары) және үзіліссіздіктің бірқалыптылығы мен Кантор теоремасын қарастыру.

Құрылымы: курстық жұмыс құрамында кіріспе, негізгі бқлім, қорытынды, әдебиеттер тізімі мен қосымша бар.

1 Үзіліссіз функция ұғымы

1. 1 Үзіліссіз функцияларға арифметикалық амалдар қолдану. Элементар функциялардың үзіліссіздігі. Үзіліссіз функциялардың негізігі қасиеттері

Үзіліссіз функциялардың кейбір қасиеттері. Енді үзіліссіз функциялардың аралықтағы кейбір қасиеттерін келтіре кетелік.

Теорема. Егер функциясы [ a , b] кесіндісінде үзіліссіз және кесіндінің шектінүктелеріндегі мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, [a, b] кесіндінің еңболмағанда бір нүктесінде нольге теңболады. Бұл теоремаға мынадай беруге болады. Егер [a, b] кесіндісінде үзіліссіз сызығы абсциссалар осінің бір жағынан екінші жағына өткенде ол абсциссалар осін қияды (18-сурет) .

Теорема. Егер функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз болса, ол кесіндіде шектелген болады.

Теорема. Егер функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз болса, ол функция сол кесіндіде кем дегенде бір рет өзінің ең үлкен мәнін, бір рет ең кіші мәнін қабылдайды.

Мысал. Берілген x ₁ және х ₂ нүктелеріндегі функциясының үзіліссіздігін анықтау керек. Егерде олардың ішінде үзілістінүктелер болса, онда оның тегін анықтап, функцияның графигін салу керек.

1) ₁ =3, ₂ = -2; 2) ₁ =3, ₂ =4.

Шешуі: 1) ₁ =3, ₂ = -2.

Берілген функцияны аргументтің х ₁ , х ₂ мәндерінде жеке-жеке қарастырамыз.

х ₁ =3 нүктесінде функция анықталынған және элементарлық функция болғандықтан үзіліссіз.

₂ =-2 нүктесінде бөлшектің бөлімі нольге айналатын болғандықтан, функция анықталмаған, сондықтан бұл нүктеде функция үзілісті.

Функцияның ₂ =-2 нүктесінде оң жақты, сол жақты шектерін есептейміз.

Демек, х ₂ = -2 нүктесі 2-ші текті үзілістінүкте.

Берілген функция бөлшек-сызықты, сондықтанда оның графигі асимптоттары координат өстеріне параллель гипербола болады. Функцияның графигі гиперболаны (19-сурет) салу үшін мынадай таблица құрамыз:

-6

-5

-4

-3

-2

-1

x: y

-6: 9/2

-5: 5

-4: 6

-3: 9

-2: ±¥

-1: -3

0: 0

1: 1

2: 3/2

3: 9/5

4: 2

5: 15/7

6: 9/4

2) x ₁ = 3, x ₂ =4 .

Функцияны аргументтің берілген мәндерінде жеке-жеке қарастырамыз.

Сурет 1.

х1=3 нүктесінде функция анықталған және элементарлық функция болғандықтан үзіліссіз.

х2=4 нүктесінде дәреже көрсеткішінің бөлімі нольге айналатын болғандықтан, берілген.

1. 2 Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі

Анықтама: егер F(x) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінің маңайында анықталған және

\[\operatorname*{lim}\ f(x_{\ast\ast_{0}})\zeta(x_{0})\]

болса, онда ол

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Егер

\[x-\ x_{0}=\Delta x\]

(аргументтің өсімшесі),

\[f(x)-\ f(x_{0})=\Delta y\]

(функцияның өсімшесі) деп белгілесек, онда бұл анықтаманы келесі түрде жазуға болады:

Анықтама: егер F(x) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінің маңайында анықталып

\[\operatorname*{lim}_{\mathrm{Dx}\to0}\operatorname{D}y=0\]

болса, онда ол

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Сонымен, егер F(x) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз болса, онда сол нүктедегі аргументтің ақырсыз кіші өсімшесіне функцияның ақырсыз кіші өсімшесі сәйкес болады.

Біржақты үзіліссіздік.

Анықтама: егер F(x) функциясы кейбір (a;

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

] жарты интервалында анықталып

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\]

болса, онда ол

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінің сол жағынан үзіліссіз деп аталады.

Анықтама: егер F(x) функциясы кейбір [

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

; b) жарты интервалында анықталып

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})\]

болса, онда ол

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінің оң жағынан үзіліссіз деп аталады.

F(x) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінің сол жағынан және оң жағынан үзіліссіз, яғни,

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}-0}f(x)=\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}+0}f(x_{0})\]

болған жағдайда ғана

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз болады.

Функцияның үзіліс нүктелері.

Анықтама:

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесі F(x) функциясының анықталу аймағына тиісті немесе сол аймақтың шектік нүктесі болсын. Егер F(x) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда сол нүкте F(x) функциясының үзіліс нүктесі деп аталады;

Үзіліс нүктелер бірінші текті және екінші текті үзіліс нүктелеріне бөлінеді;

Анықтама:

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесі арқылы біржақты

\[\operatorname*{lim}_{x\in x_{0}=0}f(x)\]

және

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}+0}f(x)\]

шектері бар болса, бірақ олар өзара тең емес немесе біржақты шектер өзара тең, ал функцияның сол нүктедегі мәні біржақты шектермен беттеспесе, онда

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесі бірінші текті үзіліс нүкте деп аталады;

Егер

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде арқылы

\[\operatorname*{lim}_{x\to x}f(x)\]

шек бар болса, ал

\[f(\,x_{0})\]

анықталмаған немесе

\[\operatorname*{lim}_{x\to x_{0}}f(x)\neq f(x_{0})\]

болса, онда бұл нүкте жөнделетін үзіліс нүктесі деп аталады.

F(x) функциясының, жөнделетін үзіліс нүктесі болмайтын, бірінші текті үзіліс нүктелері функцияның секірме нүктелері деп аталады;

Егер

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

- функцияның секірме нүктесі болса, онда

\[\mathrm{D}\!\Omega(\tilde{\sigma}_{0})=\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}+0}f(x)-\operatorname*{lim}_{x\oplus x_{0}-0}f(x)\]

айырмасы нөлге тең емес және F(x) функциясының

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде секірмесі деп аталады;

Анықтама: егер

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде

\[\operatorname*{lim}_{x\in x_{0}=0}f(x)\]

және

\[\operatorname*{lim}_{x\in x_{\leq}}f(x)\]

біреуі бар болмаса, онда

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

-екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

Функцияның аралықтағы үзіліссіздігі.

Анықтама: егер F(x) функциясы берілген аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол сол аралықта үзіліссіз деп аталады.

Егер функция аралықтың шеттерінде анықталған болса, онда сол нүктедегі үзіліссіздік ретінде сол жақты және оң жақты үзіліссіздіктер түсініледі.

Дербес жағдайда, F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде егер:

(a; b) интервалының әрбір нүктесінде үзіліссіз;
а нүктесінде оң жағынан үзіліссіз;
в нүктесінде сол жағынан үзіліссіз;
болса үзіліссіз деп аталады.

Нүктедегі үзіліссіз функциялардың қасиеттері.

Теорема : егер f(x) және g(x) функциялары

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз болса, онда

\[f(x)\pm g(x),f(x)\cdot g(x)\]

және

\[\frac{{\mathcal{I}}(x)}{g(x)}(g(x_{0})\ \ne0)\]

функциялары да үзіліссіз болады.

Теорема

\[2^{0}\]

\[\textstyle{\mathit{P}}\]

(x) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз болсын, ал f(U) функциясы

\[~~~~~U_{0}\,=O_{0}(x_{0})\]

нүктесінде үзіліссіз болсын. Онда күрделі f(U(x) ) функциясы

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесінде үзіліссіз болады;

Теорема

\[{\underline{{\lambda}}}{\underline{{\lambda}}}{\stackrel{0}{\sim}}\]

: Барлық қарапайым элементарлы функциялар

\[\left(C,X^{2},Q^{x},\operatorname{Im}\mathbf{g}_{a}\ X,\operatorname{Sin}X,\operatorname{cos}X,\operatorname{arg}\operatorname{Sin}X,\operatorname{arccos}x\right)\]

өздерінің анықталу аймақтарының әрбір нүктелерінде үзіліссіз болады.

Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеттері.

Теорема

\[{\boldsymbol{A}}^{0}\]

: (Больцано-Коши теоремасы)

F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып, үзіліссіз болсын және оның ұштарында әр түрлі таңба қабылдасын. Онда (a; b) аралығында

\[f(x_{0})=0\]

болатын

\[{\widetilde{O}}_{0}\]

нүктесі табылады.

Теорема

\[\lesssim^{0}\]

: F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып үзіліссіз болсын. Онда f(a) және f(x) нүктелерінің арасында орналасқан кез келген С саны үшін

\[f(x_{n})=C\]

болатын

\[x_{0}\in[a;b]\]

нүктесі табылады.

Теорема

\[\complement^{0}\]

: (Вейерштрасстың 1-ші теоремасы)

F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып үзіліссіз болсын. Онда бұл функция сол кесіндіде шенелген.

Теорема

\[{\mathcal{T}}^{0}\]

: (Вейерштрасстың 2-ші теоремасы)

F(x) функциясы [a; b] кесіндісінде анықталып үзіліссіз болсын. Онда функция [a; b] кесіндісінде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды, яғни кез келген

\[x_{0}\in[a;b]\]

нүктесі үшін

\[f(x_{1})\ {\mathfrak{E}}\ f(x)\ \leq f(x_{2})\]

теңсіздіктері орындалады.

Мысалы:

\[\begin{array}{r}{{\frac{1}{1}}x,x\operatorname{E}\cdot\mathbf{P}}\\ {f(x)={\frac{1}{1}}\sin x,\mathbf{P}\ {\frac{\mathbf{P}}{2}}}\end{array}\]

Функциясын үзіліссіздікке зерттеп графигін салу керек.

Δ Функцияны

\[x_{1}=\mathbf{\nabla}\mathbf{P},x_{2}={\frac{\Pi}{2}}\]

нүктелерінде үзіліссіздікке зерттейік, ол үшін сәйкес біржақты шектермен функцияның мәндерін табамыз.

\[\scriptstyle x_{i}=-\mathbf{\partial}x_{i}\]

нүктесінде:

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus\lnot\mathrm{P}\cdot\ 0}f(x)=\operatorname*{lim}_{x\oplus\lnot\mathrm{P}}=-\mathrm{P}\ ,\operatorname*{lim}_{x\oplus\lnot\mathrm{P}+0}f(x)=\operatorname*{lim}_{x\oplus\lnot\mathrm{II}}x=0\]

\[f(\cdot\mathrm{P}\,)=\mathrm{\mathrm{D}}\]

Сонымен, бұл нүктеде

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus\lnot P\ldots0}f(x)=f(-{\bf P})\neq\operatorname*{lim}_{x\oplus\lnot P\ldots0}f(x)\]

яғни, функцияның бірінші текті үзілісі бар және сол жағынан үзіліссіз. F(x) функциясының

\[\scriptstyle x_{i}=-\mathbf{n}\]

нүктесіндегі секірмесі:

\[\operatorname{Dia}(-\mathbf{P}\,)=\operatorname*{lim}_{x\oplus\mathbf{p}+0}-\operatorname*{lim}_{x\oplus\mathbf{p}-0}f(x)=\operatorname{II}\]

Дәл солай,

\[x_{i}={\frac{\mathbf{m}}{2}}\]

нүктесі үшін:

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus{\frac{\mathrm{p}_{-}}{2}},0}f(x)=\operatorname*{lim}_{x\oplus{\frac{\mathrm{p}}{2}}-0}\sin x=\sin{\frac{\mathrm{P}}{2}}=1\]

\[\operatorname*{lim}_{x\oplus{\frac{\mathbf{p}}{2}}+0}f(x)=\operatorname*{lim}_{x\oplus{\frac{\mathbf{p}}{2}}+0}1=1,\]

ал

\[f({\frac{1}{2}})\]

мәні анықталмаған. Осыдан

\[x_{i}={\frac{\mathbf{n}}{2}}\]

- F(x) функциясының жөнделетін үзіліс нүктесі екені шығады. Енді осы шыққан мәліметтерді пайдаланып, берілген функцияның графигін сызамыз.

1. 3 Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары

1-теорема. Егер ' және функциялары х ₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда қосынды функциясы да х ₀ нүктесінде үзіліссіз болады.

Дәлелдеу: Теореманың шарты бойынша және функциялары үзіліссіз болғандықтан (4. 7) теңдеуінің негізінде, келесі түрде жазуға болады және

Шектер теориясының негізінде

Сонымен, қосындысы үзіліссіз функция болады.

Шектердің негізі қасиеттеріне сүйене отырып, төмендегі теоремаларды да дәлелдеуге болады.

2-теорема. Екі үзіліссіз фукциялардың көбейтіндісі де үзіліссіз функция болады.

3-теорема. Екі үзіліссіз функциялардың қатынасы да үзіліссіз функция болады, егер бөліміндегі функция нөлге тең емес болса.

4-теорема. Егер функциясы х = х _о нүктесінде үзіліссіз және функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда функциясы х ₀ нүктесінде үзіліссіз функция болады.

5-теорема. Барлық элементарлық функциялар өздерінің анықталу облысында үзіліссіз болады.

10-анықтама. Егер фукциясы болған кезде (a, b) интервалының әр бір нүктесінде үзіліссіз болса, онда функция осы интервалда үзіліссіз болады.

11 -анықтама. Егер функциясы х = а анықталған және болса, онда х = а нүктесінде оң жағынан үзіліссіз деп аталады.

12 -анықтама. Егер функциясы х - b анықталған және болса, онда х = b нүктесінде сол жағынан үзіліссіз деп аталады.

13-анықтама. Егер функциясы (а, b) интервалының әрбір нүктесінде және шеткі нүктелерінде сәйкес оң жағынан және сол жағынан үзіліссіз болса, онда функциясы тұйықталған интервалда немесе кесіндісінде үзіліссіз деп аталады.

14-анықтама. Егер қандай да бір х - х ₀ нүктесінде функциясы үшін үзіліссіздіктің ең кемінде бір шарты орындалмаса, яғни болған кезде функция анықталмаған немесе шегі болмаса немесе кез келген ұмтылғанда болса, бірақ теңдіктің оң жағындағы және сол жағындағы өрнектердің мәні бар болса, онда функциясы нүктесінде үзілісті (үздікті) деп аталады.

15-анықтама. Егер функциясының және ақырлы шектері бар, бірақ немесе нүктесінде функциясының мәні болмаса, онда нүктесі І-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.

16-анықтама. Егер функциясының нүктесінде немесе шектері жоқ немесе шексіздікке тең болса, онда нүктесі ІІ-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.

2 Аралықта анықталған үзіліссіз функциялардың қасиеттері

f функциясы X жиынында анықталған және үзіліссіз болсын. Онда f -тің мәндерінен құрылған жиыны Х-тің үзіліссіз бейнесі деп аталады.

Сурет 2.

Бұнда аралықтардың үзіліссіз бейнелерінің байланыстылық және шенелгенділік қасиеттері зерттеледі.

2. 1 Аралықтың үзіліссіз бейнесінің байланыстылығы (Больцано - Коши теоремасы)

Әрбір байланысты жиынның үзіліссіз бейнесі де байланысты болады.

Б о л ь ц а н о - К о ш и т е о р е м а с ы. Eгep f функциясы I аралығында үзіліссіз болса, онда f функциясының кез келген екі мәнінің арасында жатқан әрбір нақты caн да сол функцияның мәні болады.

Бұл теорема келесі леммадан оңай шығады:

Л е м м a. g функциясы [а, b] сегментінде анықталғап және үзіліссіз болсып. Егер

g (a) < 0, g (b) > 0 (1)

болса, онда (a, b) интервалында g (с) =0 теңдігін қанағаттандыратын кемінде бір с саны табылады.

Лемманың көрнекі геометриялық мағынасы бар: егер үзіліссіз қисық Ох осінің бір жағынан екі жағына өтсе, онда осы осьті қияды (35-сурет) .

Дәлелдеуі. Егер болса, онда лемма дәлелденді ( деп алуға болады) .

Егер ≠ 0 болса, онда әріпімен болғанда сегментін, болғанда сегментін белгілейік.

а ₁ және b ₁ сандарын теңдігі арқылы анықтайық. Онда g(a ₁ ) <0, g (b ₁ ) >0 болады.

Дәл осылай жалғастыра берсек, онда келесі екі жағдайдың біреуі және тек қана біреуі орындалады: белгілі бір оң бүтін п үшін болады, онда лемма дәлелденеді (с деп алсақ болғаны), немесе

(2)

шарттарын қанағаттандыратын белгілі бір сегменттер тізбегі үшін

(3)

теңсіздіктері орындалады.

Соңғы жағдайда (2) сегменттер ұясы туралы теорема бойынша (6 (II тарау, § 3) -п. қараңыз) .

(4)

болатын нүктесі табылады. g функциясы сегментінде, демек, с нүктесінде де үзіліссіз болғандықтан, (3) және (4) бойынша яғни (1) бойынша, сондықтан, Лемма толық дәлелденді.

Больцано - Коши теоремасының дәлелдеуі. у ₁ <у ₂ сандары f функциясының I аралығында қабылдамған мәндері болсын, яғни у ₁ =f(x ₁ ), у ₂ = f ( х ₂ ) теңдіктері орындалатын сандары табылсын. Онда у ₁ <γ< у ₂ теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір γ саны да f-тің мәні болады, яғни белгілі бір үшін f (с) =γ. Расында да, егер х _х <х ₂ болса, онда x ₁ = а, х ₂ = b, g (x) =f (х) − γ үшін g(a) <0, g (b) >0 болады, демек, лемма бойынша (g-ның [a, b] сегментінде үзіліссіз болатыны айқын) g (с) = f (с) - γ = 0 теңдігі орындалатын саны табылады, яғни γ саны f -тің мәні болады.

Егер х ₁ >х ₂ болса, онда х ₂ = а, х ₁ = b, g (x) - γ - f (x) үшін лемманы қолданып, γ саны f -тің мәні болатыны дәлелдемеді.

Сонымен, f функциясының кез келген у ₁ у ₂ және у ₂ мәндерінің арасында жатқан әрбір γ саны да f -тің мәні болады.

Теорема толық дәлелденді.

Е с к е р т у. Егер f функциясы I аралығында үзіліссіз болмаса, онда оның мәндер жиыны байланысты болмауы мүмкін, мәселен, интервалында анықталған функциясының мәндер жиыны байланысты емес үш элементті жиын болады.

Салдар (кері функцияыың үзіліссіз болуы) . Eгep f функциясы I аралығында өспелі (кемімелі) және үзіліссіз болса, онда f ^-1 кері функциясы f (I) аралығында өспелі (кемімелі) және үзіліссіз болады.

Дәлелдеуі. f функциясы I аралығында үзіліссіз болғандықтан Больцано - Коши теоремасы бойынша f (I) жиыны да аралық болады. f өспелі (кемімелі) болғандықтан, оған кері болатын f ^-1 функциясы да өспелі (кемімелі) болады. Сонымен, f (I) аралығында анықталған f ^-1 өспелі (кемімелі) функцияның мәндер жиыны f байланысты жиыны болады, демек, f ^-1 үшін қолданылған 2 (§ 2) -пунктте берілген монотонды функцияның үзіліссіз болуы туралы теорема бойынша f ^-1 функциясы f (I) аралығында үзіліссіз болады. Салдар дәлелденді.

Егер І = [а, b] сегменті болса, онда f өспелі болғанда f (I) = - [f (a) >f(b) ], f кемімелі болғанда f(I) - [f(b) > f(a) ] сегменттері болатынын атап өтейік.

2. 2 Сегменттің үзіліссіз бейнесінің ең үлкен және ең кіші элементтері бар болуы (Вейерштрасс теоремалары)

Әрбір сегменттің үзіліссіз бейнесі сегмент болады. Бұл Больцано - Коши теоремасы мен төменде дәлелденетін Вейерштрасс теоремаларының салдары болады. Вейерштрасс теоремаларының дәлелдеулері келесі қарапайым леммада негізделген.

Л е м м а. Егер а -ға ұмтылатын {х _п } тізбегінің мүшелерінің бәрі де [а, b] сегментінде жатса, онда а да сол сегментте жатады, яғни

Расында да, барлық оң бүтін п сандары үшін (5) болады, демек, а мен b сандарын тұрақты тізбек деп есептесек, болғанда (5) теңсіздіктерінде шекке кешсек, онда 3 (II тарауда, § 2) -пункттегі 5-теореманы екі рет қолданып (а≤х _п және х _п ≤ b үшін) a ≤ a ≤ b теңсіздігіне келеміз, яғни

Вейерштрасстың бірінші теоремасы. Егер f функциясы [а, b] сегментінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның мәндер жиыны шенелген жиын болады.

Дәлелдеуі. Кері жорып, f функциясы [a, b] сегментінде шенелмеген делік. Онда әрбір п оң бүтін саны үшін

(6)

теңсіздігін қанағаттандыратын саны табылады. тізбегіне Больцано - Вейерштрасс теоремасын (3 (II тарау, § 4) -пунктті қараңыз) қолданып, белгілі бір a нақты санына ұмтылатып тізбекшесін бөліп ала аламыз. Әрине, барлық k= 1 , 2, . . . үшін демек, лемма бойынша f функциясы [a, b] сегментінде, демек, нүктесінде де үзіліссіз болғандықтан,