Монотонды тізбектер
Кіріспе
1 Монотонды тізбектер..
1.1 Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема ... ... ... ... .
1.2 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдары ... ... ..
1.3 е саны..
1.4 е санының бейнелеуі..
1.5 Дәлелденген формуланың салдары.
1.6 Сегменттер ұясы туралы теорема..
2 Монотонды тізбек бар және оның шегі . е саны. Тартылатын кесінділер принципі. Коши теоремасы..
3 Функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу. Функцияның тұрақтылығы мен монотондылығы Локальдық экстремум. Асимптоталар...
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі..
Қосымша
1 Монотонды тізбектер..
1.1 Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема ... ... ... ... .
1.2 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдары ... ... ..
1.3 е саны..
1.4 е санының бейнелеуі..
1.5 Дәлелденген формуланың салдары.
1.6 Сегменттер ұясы туралы теорема..
2 Монотонды тізбек бар және оның шегі . е саны. Тартылатын кесінділер принципі. Коши теоремасы..
3 Функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу. Функцияның тұрақтылығы мен монотондылығы Локальдық экстремум. Асимптоталар...
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі..
Қосымша
Қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше қасиеттері бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне тең болуы мүмкін (мысалы, xn ≡1 үшін), ал катаң монотонды тізбектің бірде-бір мәні шегіне тең бола алмайды.
Курстық жұмыстың мақсаты: монотонды тізбектерді зерттеу.
Міндеттері:
- монотонды тізбектердің анықтамасын, негізгі теоремасын зерттеу;
- жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдарын қарастыру;
- е саны және е санының бейнелеуін қарастырып өту;
- дәлелденген формуланың салдары мен сегменттер ұясы туралы теореманы зерттеу;
- монотонды тізбек бар және оның шегі, е саны, тартылатын кесінділер принципі және Коши теоремасын зерттеу;
- функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу, функцияның тұрақтылығы мен монотондылығы мен локальдық экстремум және асимптоталарды қарастыру.
Курстық жұмыстың мақсаты: монотонды тізбектерді зерттеу.
Міндеттері:
- монотонды тізбектердің анықтамасын, негізгі теоремасын зерттеу;
- жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдарын қарастыру;
- е саны және е санының бейнелеуін қарастырып өту;
- дәлелденген формуланың салдары мен сегменттер ұясы туралы теореманы зерттеу;
- монотонды тізбек бар және оның шегі, е саны, тартылатын кесінділер принципі және Коши теоремасын зерттеу;
- функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу, функцияның тұрақтылығы мен монотондылығы мен локальдық экстремум және асимптоталарды қарастыру.
1. Аяпбергенов С. Аналитикалық геометрия. - Алматы: Мектеп, 1971.
2. Бүлабаев Т.Б., Матақаева Ғ.С. Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері. - Алматы: Білім, 1995.
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. - Алматы: ҚазҰТУ, 2000.
4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - Москва: Наука, 1980.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Москва: Наука, 1980.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Москва: Наука, 1980.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Москва: Наука, 4.1, 2-1985.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - Высшая школа. 4.1, 2 - 1986.
9. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -Москва: Наука, 1986.
10. Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Алматы: Мектеп, 1988.
11. Нұрпейісов С.А. Комбинаториканың ықтималдықтарды тікелей есептеуге қолданылуы. Алматы: ҚазМЭУ, 1992.
12. Нұрпейісов С.А., Сатыбалдиев О.С., Өтепбергенұлы М. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика. Алматы: Экономика, 2005.
13. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва: Высшее образование, 2006.
14. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Москва: Высшая школа, 1983.
15. Байарыстанов А.О. Жоғары математика есептері мен жаттығулар жинағы. - Астана. 2006.
16. Байарыстанов А.О. Анықталмаған және анықталған интегралдарды есептеу әдістері. - Алматы: Нур-Принт, 2007.
17. Байарыстанов А.О. Дифференциалдық теңдеулер теориясы және есептеу әдістері. - Алматы: Нур-Принт, 2007.
18. Байарыстанов А.О. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика негіздері және өзіндік жұмыстар жинағы. - Алматы: Нур-Принт, 2009.
19. Байарыстанов А.О. Қатарлар теориясы және есептері. - Алматы: Нур-Принт, 20
2. Бүлабаев Т.Б., Матақаева Ғ.С. Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері. - Алматы: Білім, 1995.
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. - Алматы: ҚазҰТУ, 2000.
4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - Москва: Наука, 1980.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Москва: Наука, 1980.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Москва: Наука, 1980.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Москва: Наука, 4.1, 2-1985.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - Высшая школа. 4.1, 2 - 1986.
9. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -Москва: Наука, 1986.
10. Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Алматы: Мектеп, 1988.
11. Нұрпейісов С.А. Комбинаториканың ықтималдықтарды тікелей есептеуге қолданылуы. Алматы: ҚазМЭУ, 1992.
12. Нұрпейісов С.А., Сатыбалдиев О.С., Өтепбергенұлы М. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика. Алматы: Экономика, 2005.
13. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва: Высшее образование, 2006.
14. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Москва: Высшая школа, 1983.
15. Байарыстанов А.О. Жоғары математика есептері мен жаттығулар жинағы. - Астана. 2006.
16. Байарыстанов А.О. Анықталмаған және анықталған интегралдарды есептеу әдістері. - Алматы: Нур-Принт, 2007.
17. Байарыстанов А.О. Дифференциалдық теңдеулер теориясы және есептеу әдістері. - Алматы: Нур-Принт, 2007.
18. Байарыстанов А.О. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика негіздері және өзіндік жұмыстар жинағы. - Алматы: Нур-Принт, 2009.
19. Байарыстанов А.О. Қатарлар теориясы және есептері. - Алматы: Нур-Принт, 20
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Монотонды тізбектер
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 4
1 Монотонды 4
тізбектер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 5
... ... ... ... ... 8
1.1 Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі 11
теорема ... ... ... ... . 12
1.2 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір 14
мысалдары ... ... ..
1.3 е 16
саны ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
1.4 е санының 19
бейнелеуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 22
... ... ... ... . 23
1.5 Дәлелденген формуланың 24
салдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.6 Сегменттер ұясы туралы
теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 Монотонды тізбек бар және оның шегі . е саны. Тартылатын
кесінділер принципі. Коши
теоремасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
3 Функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу. Функцияның
тұрақтылығы мен монотондылығы Локальдық экстремум.
Асимптоталар ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қолданылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... .
Қосымша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
Кіріспе
Анықтама. Егер әрбір n (n= 1, 2,...) үшін болса, онда {хn}
тізбегін өспелі, ал егер болса, онда {хn} тізбегін кемімелі деп
атайды.
Егер әрбір n (n=1, 2,...) үшін болса, онда {хn} тізбегін
кемімейтін, ал егер болса, онда {хn} тізбегін өспейтін тізбек деп
атайды.
Бұл тізбектердің әрқайсысын монотонды деп атайды. Өспелі және кемімелі
тізбектерді қатаң монотонды деп те атайды.
3-теорема. Кез келген жоғарыдан (төменнен) шенелген өспелі (кемімелі)
тізбектің ақырлы шегі бар.
Монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді шегі бар
болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты сан болады.
Қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше
қасиеттері бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне тең
болуы мүмкін (мысалы, xn ≡1 үшін), ал катаң монотонды тізбектің бірде-бір
мәні шегіне тең бола алмайды.
Курстық жұмыстың мақсаты: монотонды тізбектерді зерттеу.
Міндеттері:
- монотонды тізбектердің анықтамасын, негізгі теоремасын зерттеу;
- жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдарын қарастыру;
- е саны және е санының бейнелеуін қарастырып өту;
- дәлелденген формуланың салдары мен сегменттер ұясы туралы теореманы
зерттеу;
- монотонды тізбек бар және оның шегі, е саны, тартылатын кесінділер
принципі және Коши теоремасын зерттеу;
- функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу, функцияның тұрақтылығы
мен монотондылығы мен локальдық экстремум және асимптоталарды қарастыру.
1 Монотонды тізбектер
1.1 Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема
Біз тізбектің екі қасиетін - жинақталуын және шенелгендігін -
анықтадық. Жинақталатын тізбектің шенелгендігің бірақ шенелген тізбектің
жинақталмауы мүмкін екенін көрсеттік. Бір жағдайда осы екі қасиет
эквивалентті екен — ол тізбектің монотонды болуы.
А н ы қ т а м а. тізбегі берілсін. Егер әрбір п (п= 1, 2,...)
үшін болса, онда оны кемімейтін тізбек деп, ал
болса, онда оны өспелі тізбек деп атайды. Егер әрбір п (п = 1, 2, ...) үшін
болса, онда оны өспейтін тізбек деп, ал болса, онда оны
кемімелі тізбек деп атайды.
Бұл тізбектердің әрқайсысы монотонды деп аталады. Өспелі және кемімелі
тізбектерді қатаң монотонды деп атайды.
Әрине, өспелі тізбек кемімейді, ал кемімелі тізбек өспейді. Сол
себептен, кемімейтін және өспейтін тізбектер үшін дәлелденген кез келген
тұжырым сәйкес өспелі және кемімелі тізбектер үшін де орындалады. Сонымен
бірге, қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше
қасиеттері де бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне
тең болуы мүмкін (мысалы, үшін), ал қатаң монотонды тізбектің бірде-
бір мәні шегіне тең бола алмайды.
Расында да, өспелі тізбегі а нақты санына ұмтылып, белгілі
бір о үшін болса, онда барлық үшін
Сөйтіп, оң саны үшін болғанда демек, тізбегі а
санына ұмтылмайды. Қайшылыққа келдік.
Монотонды тізбектер бір жақты шенелген болады, өспелі
тізбектер—төменнен, кемімелі тізбектер — жоғарыдан (әрқайсысы бірінші
мүшесімен шенелген).
М ы с а л д a p:
1". —өспелі шенелген тізбек,
2°. хп = п—өспелі шенелмеген тізбек,
3°. хп= (—1) п • п — шенелмеген, шегі жоқ монотонды емес тізбек.
4°. — шенелген, шегі жоқ, монотонды емес тізбек.
5°. — шенелген, жинақталатын, монотонды емес тізбек.
Енді монотонды тізбектер туралы негізгі теореманы дәлелдейік.
Т е о р е м а. тізбегі монотонды болсын. Онда оның шегі бар
(ақырлы әлде ақырсыз) және кемімейтін болғанда өспейтін
болғанда {х1; х2 ... }.
Сондықтан, монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді
шегі бар болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты
сан болады.
Д ә л е л д е у. тізбегі кемімейтін болсын. Онда келесі екі
жағдайдың біреуі және тек қана біреуі орындалады: — нақты сан
(тізбектің барлық мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген). (тізбектің
барлық мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелмеген).
1-жағдай. ɛ оң саны берілсін.
Супремумның анықтамасы бойынша:
1) а саны жиынының жоғарғы шекарасы, яғни барлық п
үшінболады;
2) саны жиынының жоғарғы шекарасы емес, яғни
теңсіздігі орындалатын тізбектің мүшесі табылады.
тізбегі кемімейтін болғандықтан үшін теңсіздігі
орындалады.
Осының бәрін қорытындылап мынаған келеміз:
Әрбір үшін теңсіздігі орындалады, ал бұл жағдай
символдар арқылы былай бейнеленеді:
2-жағдай. ɛ оң саны берілсін. Онда ɛ-нан үлкен тізбектің мәні бар
болады, яғни теңсіздігі орындалатын номері табылады.
Енді тізбектің кемімейтін екенін ескерсек, онда әрбір үшін
болады, демек, шектің анықтамасы бойынша Теорема дәлелденді.
Өспейтін тізбек үшін теорема дәл осылай дәлелденеді.
Е с к е р т у. Дәлелденген теореманың қорытындысын сақтап, шартын сәл
жеңілдетуге болады: тізбегінің тек қана белгілі бір номерден бастап
монотонды болуы талап етіледі, өйткені тізбектің шегіне алғашқы мүшелерінің
(қандай да ақырлы жиынын алсақ та) әсері жоқ.
1.2 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдары
Дәлелденген теорема арқылы дөңгелектің ауданын анықтауға болады.
Жоғарыда айтылғандай, үшбұрыштың ауданын білсек, онда дөңгелектің ауданын
анықтауға болады.
Радиусы 1-ге тең дөңгелекке іштей сызылған 2"-бұрышты көпбұрыштың
ауданын әрпімен белгілесек, онда тізбегі өспелі тізбек болатыны
айқын.
тізбегі шенелген де болады, өйткені әрбір п үшін
теңсіздігі орындалады. (4-сол дөңгелекке сырттай сызылған
квадраттың ауданы).
Демек, дәлелденген теорема бойынша тізбегінің нақты мәнді шегі
бар болады, сол caн радиусы 1-ге тең дөңгелектің ауданы деп аталады да
әрпімен белгіленеді.
Сонымен, жаңа сан — саны — анықталады. саны иррационал сан
болады, ондық бөлшек арқылы түрлендіруінің алғашқы бес таңбасы мынадай:
π = 3,14159...
Монотонды тізбектер туралы теорема тізбектің шегі бар болып,
мәндерінің жиынының супремумы немесе инфимумына тең болатынын тұжырымдайды.
Ал жиынның супремумы мен инфимумын тек қана кейбір қарапайым жағдайларда
ғана дәл табуға болады. Сондықтан, негізгі теореманың монотонды тізбектің
шегінің мәнін табуға пайдасы аз деуге болады (шектің бар болуы мен оның
мәнін дәл табу — өзара бөлек мәселелер! Бұл жалпы факт). Бірақ кейбір
жағдайларда шектің мәнін табуға оның бар болуы туралы мәлімет те
жеткілікті. Айтқанымызды мысалдар арқылы түсіндірейік.
10. с0 үшін тізбегін қарастырайық. Егер болса, онда
, демек, —кемімелі тізбек, ал болғандықтан, ол төменнен
шенелген де болады. Сондықтан тізбегінің нақты мәнді шегі бар, оны а
әрпімен белгілейік.
Әрине, болғандықтан
теңдеуі тізбегі және тізбектерінің көбейтіндісі
болатынын керсетеді. болғанда, шекке көшсек, онда а = а*0 теңдігіне
келеміз, яғни а = 0.
Сонымен ,
2°. а және х1 оң сандары берілсін. Мына
(1)
рекуррентті формуласы арқылы анықталған тізбектің шегі бар болып,
санына тең екенін көрсетейік.
Алдымен тізбегінің төменнен 0 санымен шенелгенін дәлелдейік.
Расында да, берілуі бойынша х1 oң, caн. Енді хп оң caн деп ұйғарсақ,
онда (1) теңдігінен хп+1 —де оң болатыны айқын.
Демек, математикалық индукция әдісі бойынша әрбір п үшін хп0 болатыны
дәлелденді.
Енді тізбегінің кемімелі болатынын дәлелдейік. (1) теңдігін
санына көбейтсек (хп оң caн!), онда
болады, демек,тізбегінің кемімелі болуы
(2)
теңсіздігіне пара-пар.
(2) теңсіздігін дәлелдеудің алдында әрбір t оң саны үшін
(3).
болатынын көрсетейік. болғандықтан, болады, Соңғы
теңсіздіктің екі жағын да оң санына көбейтіп (3) тедсіздігіне
келеміз. (1) теңдігін түрінде жазып, жақшаның ішіндегі
қосындыға болғандағы (3) теңсіздігін қолдансақ, онда (2)
теңсіздігінің орындалатынын көреміз.
Сөйтіп, кемімелі тізбек екені дәлелденді кемімелі және
шенелген тізбек болғандықтан, оның нақты мәнді шегі бар. Ол а саны болсын.
(1) және (2)-де болғанда шекке көшсек, онда сәйкес
(4)
және
(5)
болады. Мұнан біздің мақсатымыз болатын
теңдігі шығады, өйткені (5) шартын қанағаттандыратын (4)-тің түбірі тек
қанасаны болады. тізбегі а-ның квадраттық түбірін жуықтап табу
үшін қолданылады.
Енді а оң санының квадраттық түбірін жуықтап есептегенде (1)
формуласымен пайдаланып хп –нен -ге көшкенде сәйкес қателіктердің
қалай өзгеретінін қарастырайық.
теңсіздігі шығады, яғни жаңа қателігі -дан аспайды. Сонымен,
әрбір келесі қадамдағы қателік шамамен алдындағы қадамдағы қателіктің
квадратына тең болады. Демек, біз санын, мысалы, үтірден кейін 5
таңбасымен тапсақ келесі қадам дәлдікті 10 таңбаға дейін, ал одан кейінгі
қадам 20 таңбаға дейін көтереді. Сондықтан, (1) тізбегі оң саннан
квадраттық түбір табу үшін қазіргі есептеу математикасында кеңінен
қолданылады.
1.3 е саны
Бұл пунктте анализдегі айрықша сандардың бірі — е санын анықтаймыз.
Әрбір оң бүтін п үшін
(6)
болсын. Монотонды тізбектер туралы негізгі теореманы қолданып,
тізбегінің нақты мәнді шегі бар болатынын дәлелдейік. өрнегіндегі п
дәреже көрсеткіші өскен сайын дәреже негізі кеми түседі, сондықтан, хп
монотонды болатыны тікелей көрінбейді.
Бұны дәлелдеу үшін, хп -ді Ныотон биномы формуласы бойынша
жіктейік:
Соңғы қосындының түрінің өзінен-ақ хп өспелі тізбек болатыны оңай
шығады. Расында да, хп -нен хп+1 -ге көшкенде, біріншіден, жаңа оң
мүшесі пайда болады, екіншіден, бұрыннан жазылған мүшенің алғашқы
екеуі өзгермейді де (олар 1 санына тең), ал қалғандарының әрқайсысының
орнына одан үлкен өрнек жазылады, өйткені түріндегі әрбір
көбейткіш одан үлкен көбейткішіне алмасады. Сонымен, әрбір п үшін
хп болады, яғни— өспелі тізбек.
— шенелген тізбек болатынын дәлелдеу үшін, басқа
жағдайларда да жиі қолданылатын, келесі формуланы дәлелдейік.
Егер болса, онда әрбір оң бүтін п саны үшін
(8)
теңдігі орындалады. Расында да,
(l – a) (l+ a + a2 + ... + aп) = (l + a+a2+ ... + aп ) – ( a + a2 +...+
aп+l ) = 1+ (а + а2 + ... + aп ) – (a+a2+ ... + aп ) – aп+l,
яғни, (8) дәлелденді.
(7) өрнегіндегі жақшаның ішіндегі әрбір көбейткіш 1 санынан кіші,
сондықтан, олардың әрқайсысының орнына 1 санын жазсақ, онда
.
" (9)
теңсіздігіне келеміз. Бұнда әрбір бөлшектің бөліміндегі әрбір
көбейткішті 2 санына алмастырсақ, онда болады. Соңғы теңсіздіктің оң
жағындағы қосындыға болғандағы (8) формуласын қолдансақ, онда
болады, яғни —жоғарыдан шенелген тізбек.
Сөйтіп, — өспелі және шенелген тізбек болатыны дәлелденді.
Сопдықтан, монотонды тізбектің шегі бар болуы туралы теорема
бойыншатізбегінің нақты мәнді шегі бар болады. Ол санды Л. Эйлер
белгілегендей әрдайым е әріпімен белгіленді.
Сонымен,
(10)
е әріпі жаңа санның белгілеуі екеніне оқырманның назарын тағы да аударамыз:
алдымен (6) бойынша анықталған тізбегінің шегі бар және нақты сан
болатынын дәлелдедік, сонан кейін сол нақты сан е әрпімен белгіленеді.
Бұл санның ондық бөлшек арқылы түрлендіруінің алғашқы үш таңбасы
мынадай болады.
е = 2,718 ...
е санын логарифмнің негізі ретінде алған көп жағдайларда өте пайдалы болады
(мысалы, 1 (V тарау, § 2)-пункттегі 3°-ті, 4°-ті қараңыз). Сондай
логарифмдер In символымен белгіленеді. Сонымен,
Соңында, әрбір оң бүтін п саны үшін
(11)
болатынын атап өтейік.
Е с к е р т у. (10) теңдігін анықталмағандықты ашу деп қарастыруға
болады.
Расында да, . болса, онда , болады, демек, 5
(§ 2)-пункттегі анықталмағандықтың белгілеулеріне сай жазсақ, 1°° символына
келеміз. Бұл анықталмағандықты былай түсіндіруге болады: егер болса,
онда үшін , ал болса, онда үшін болады.
Жалпы жағдайда өрнегінің негізі 1-ге тартады, көрсеткіші -
ке тартады, сондықтан, берілген тізбегінің шегі бар болуы, бар
болса оның мәні — хn - нің 1-ге,-нің ке ұмтылу тәртіптері мен
олардың арасындағы ара-қатынасымен байланысты.
Сондықтан, (10) теңдігін өрнегінде болғанда, олар
бір-бірін өзімен бірге ілестіре кете алмай , 1 мен
арасындағы бір санға (е = 2,718... деп аталатын)
келіскендері деуге болады.
1.4 е санының бейнелеуі
(12)
болсын (бұл (9) теңсіздігінің оң жағындағы өрнек). Мұнда
үшін ал келісім бойынша
Әрбір oң бүтін п үшін
(13)
теңдігін қанағаттандыратын саны табылатынын көрсетейік.
Алдымен,
(14)
теңдігін дәлелдейік (кейбірде е саны тізбегінің шегі ретінде
анықталады).
• оң бүтін саны берілсін. Онда әрбір үшін (7) бойынша
•
болады.
болғанда-нің әрбір жақшасындағы өрнектің шегі бар және 1
санына тең болады, демек, +1 қосылғыш үшін қолданылған 4 (§ 2)-п. 7-
теоремасының салдары бойынша уƦ теңдігі орындалады. Сондықтан,
(15), (10) және 3 (§ 2)-пункттегі 5-теорема бойынша болады.
Бұдан және (12) анықтамасы мен (9) теңсіздігінен әрбір оң бүтін п үшін
болатынын көреміз, сондықтан, (10) және 3 (§ 2)-п. 6-теорема
бойынша (14) теңдігі орындалады,
Кез келген оң бүтін п және т сандары үшін
болады, демек, болғандағы (8) формуласы бойынша
Бұл теңсіздіктің екі жағын да m-ге тәуелді тізбек деп қарастырып,
шекке көшсек, онда 3 (§ 2)-пункттегі 5-теорема және (14) теңдігі
бойынша
Біз мұнда, әрине, m-ге тәуелді тізбектің мәндерінің бәрі белгілі бір
санға тең болса, онда шегі де ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Тақырыбы: Монотонды тізбектер
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 4
1 Монотонды 4
тізбектер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 5
... ... ... ... ... 8
1.1 Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі 11
теорема ... ... ... ... . 12
1.2 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір 14
мысалдары ... ... ..
1.3 е 16
саны ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
1.4 е санының 19
бейнелеуі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 22
... ... ... ... . 23
1.5 Дәлелденген формуланың 24
салдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.6 Сегменттер ұясы туралы
теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 Монотонды тізбек бар және оның шегі . е саны. Тартылатын
кесінділер принципі. Коши
теоремасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
3 Функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу. Функцияның
тұрақтылығы мен монотондылығы Локальдық экстремум.
Асимптоталар ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қолданылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... .
Қосымша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
Кіріспе
Анықтама. Егер әрбір n (n= 1, 2,...) үшін болса, онда {хn}
тізбегін өспелі, ал егер болса, онда {хn} тізбегін кемімелі деп
атайды.
Егер әрбір n (n=1, 2,...) үшін болса, онда {хn} тізбегін
кемімейтін, ал егер болса, онда {хn} тізбегін өспейтін тізбек деп
атайды.
Бұл тізбектердің әрқайсысын монотонды деп атайды. Өспелі және кемімелі
тізбектерді қатаң монотонды деп те атайды.
3-теорема. Кез келген жоғарыдан (төменнен) шенелген өспелі (кемімелі)
тізбектің ақырлы шегі бар.
Монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді шегі бар
болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты сан болады.
Қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше
қасиеттері бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне тең
болуы мүмкін (мысалы, xn ≡1 үшін), ал катаң монотонды тізбектің бірде-бір
мәні шегіне тең бола алмайды.
Курстық жұмыстың мақсаты: монотонды тізбектерді зерттеу.
Міндеттері:
- монотонды тізбектердің анықтамасын, негізгі теоремасын зерттеу;
- жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдарын қарастыру;
- е саны және е санының бейнелеуін қарастырып өту;
- дәлелденген формуланың салдары мен сегменттер ұясы туралы теореманы
зерттеу;
- монотонды тізбек бар және оның шегі, е саны, тартылатын кесінділер
принципі және Коши теоремасын зерттеу;
- функцияларды туындыларды пайдаланып зерттеу, функцияның тұрақтылығы
мен монотондылығы мен локальдық экстремум және асимптоталарды қарастыру.
1 Монотонды тізбектер
1.1 Монотонды тізбектердің анықтамасы. Негізгі теорема
Біз тізбектің екі қасиетін - жинақталуын және шенелгендігін -
анықтадық. Жинақталатын тізбектің шенелгендігің бірақ шенелген тізбектің
жинақталмауы мүмкін екенін көрсеттік. Бір жағдайда осы екі қасиет
эквивалентті екен — ол тізбектің монотонды болуы.
А н ы қ т а м а. тізбегі берілсін. Егер әрбір п (п= 1, 2,...)
үшін болса, онда оны кемімейтін тізбек деп, ал
болса, онда оны өспелі тізбек деп атайды. Егер әрбір п (п = 1, 2, ...) үшін
болса, онда оны өспейтін тізбек деп, ал болса, онда оны
кемімелі тізбек деп атайды.
Бұл тізбектердің әрқайсысы монотонды деп аталады. Өспелі және кемімелі
тізбектерді қатаң монотонды деп атайды.
Әрине, өспелі тізбек кемімейді, ал кемімелі тізбек өспейді. Сол
себептен, кемімейтін және өспейтін тізбектер үшін дәлелденген кез келген
тұжырым сәйкес өспелі және кемімелі тізбектер үшін де орындалады. Сонымен
бірге, қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше
қасиеттері де бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне
тең болуы мүмкін (мысалы, үшін), ал қатаң монотонды тізбектің бірде-
бір мәні шегіне тең бола алмайды.
Расында да, өспелі тізбегі а нақты санына ұмтылып, белгілі
бір о үшін болса, онда барлық үшін
Сөйтіп, оң саны үшін болғанда демек, тізбегі а
санына ұмтылмайды. Қайшылыққа келдік.
Монотонды тізбектер бір жақты шенелген болады, өспелі
тізбектер—төменнен, кемімелі тізбектер — жоғарыдан (әрқайсысы бірінші
мүшесімен шенелген).
М ы с а л д a p:
1". —өспелі шенелген тізбек,
2°. хп = п—өспелі шенелмеген тізбек,
3°. хп= (—1) п • п — шенелмеген, шегі жоқ монотонды емес тізбек.
4°. — шенелген, шегі жоқ, монотонды емес тізбек.
5°. — шенелген, жинақталатын, монотонды емес тізбек.
Енді монотонды тізбектер туралы негізгі теореманы дәлелдейік.
Т е о р е м а. тізбегі монотонды болсын. Онда оның шегі бар
(ақырлы әлде ақырсыз) және кемімейтін болғанда өспейтін
болғанда {х1; х2 ... }.
Сондықтан, монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді
шегі бар болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты
сан болады.
Д ә л е л д е у. тізбегі кемімейтін болсын. Онда келесі екі
жағдайдың біреуі және тек қана біреуі орындалады: — нақты сан
(тізбектің барлық мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген). (тізбектің
барлық мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелмеген).
1-жағдай. ɛ оң саны берілсін.
Супремумның анықтамасы бойынша:
1) а саны жиынының жоғарғы шекарасы, яғни барлық п
үшінболады;
2) саны жиынының жоғарғы шекарасы емес, яғни
теңсіздігі орындалатын тізбектің мүшесі табылады.
тізбегі кемімейтін болғандықтан үшін теңсіздігі
орындалады.
Осының бәрін қорытындылап мынаған келеміз:
Әрбір үшін теңсіздігі орындалады, ал бұл жағдай
символдар арқылы былай бейнеленеді:
2-жағдай. ɛ оң саны берілсін. Онда ɛ-нан үлкен тізбектің мәні бар
болады, яғни теңсіздігі орындалатын номері табылады.
Енді тізбектің кемімейтін екенін ескерсек, онда әрбір үшін
болады, демек, шектің анықтамасы бойынша Теорема дәлелденді.
Өспейтін тізбек үшін теорема дәл осылай дәлелденеді.
Е с к е р т у. Дәлелденген теореманың қорытындысын сақтап, шартын сәл
жеңілдетуге болады: тізбегінің тек қана белгілі бір номерден бастап
монотонды болуы талап етіледі, өйткені тізбектің шегіне алғашқы мүшелерінің
(қандай да ақырлы жиынын алсақ та) әсері жоқ.
1.2 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдары
Дәлелденген теорема арқылы дөңгелектің ауданын анықтауға болады.
Жоғарыда айтылғандай, үшбұрыштың ауданын білсек, онда дөңгелектің ауданын
анықтауға болады.
Радиусы 1-ге тең дөңгелекке іштей сызылған 2"-бұрышты көпбұрыштың
ауданын әрпімен белгілесек, онда тізбегі өспелі тізбек болатыны
айқын.
тізбегі шенелген де болады, өйткені әрбір п үшін
теңсіздігі орындалады. (4-сол дөңгелекке сырттай сызылған
квадраттың ауданы).
Демек, дәлелденген теорема бойынша тізбегінің нақты мәнді шегі
бар болады, сол caн радиусы 1-ге тең дөңгелектің ауданы деп аталады да
әрпімен белгіленеді.
Сонымен, жаңа сан — саны — анықталады. саны иррационал сан
болады, ондық бөлшек арқылы түрлендіруінің алғашқы бес таңбасы мынадай:
π = 3,14159...
Монотонды тізбектер туралы теорема тізбектің шегі бар болып,
мәндерінің жиынының супремумы немесе инфимумына тең болатынын тұжырымдайды.
Ал жиынның супремумы мен инфимумын тек қана кейбір қарапайым жағдайларда
ғана дәл табуға болады. Сондықтан, негізгі теореманың монотонды тізбектің
шегінің мәнін табуға пайдасы аз деуге болады (шектің бар болуы мен оның
мәнін дәл табу — өзара бөлек мәселелер! Бұл жалпы факт). Бірақ кейбір
жағдайларда шектің мәнін табуға оның бар болуы туралы мәлімет те
жеткілікті. Айтқанымызды мысалдар арқылы түсіндірейік.
10. с0 үшін тізбегін қарастырайық. Егер болса, онда
, демек, —кемімелі тізбек, ал болғандықтан, ол төменнен
шенелген де болады. Сондықтан тізбегінің нақты мәнді шегі бар, оны а
әрпімен белгілейік.
Әрине, болғандықтан
теңдеуі тізбегі және тізбектерінің көбейтіндісі
болатынын керсетеді. болғанда, шекке көшсек, онда а = а*0 теңдігіне
келеміз, яғни а = 0.
Сонымен ,
2°. а және х1 оң сандары берілсін. Мына
(1)
рекуррентті формуласы арқылы анықталған тізбектің шегі бар болып,
санына тең екенін көрсетейік.
Алдымен тізбегінің төменнен 0 санымен шенелгенін дәлелдейік.
Расында да, берілуі бойынша х1 oң, caн. Енді хп оң caн деп ұйғарсақ,
онда (1) теңдігінен хп+1 —де оң болатыны айқын.
Демек, математикалық индукция әдісі бойынша әрбір п үшін хп0 болатыны
дәлелденді.
Енді тізбегінің кемімелі болатынын дәлелдейік. (1) теңдігін
санына көбейтсек (хп оң caн!), онда
болады, демек,тізбегінің кемімелі болуы
(2)
теңсіздігіне пара-пар.
(2) теңсіздігін дәлелдеудің алдында әрбір t оң саны үшін
(3).
болатынын көрсетейік. болғандықтан, болады, Соңғы
теңсіздіктің екі жағын да оң санына көбейтіп (3) тедсіздігіне
келеміз. (1) теңдігін түрінде жазып, жақшаның ішіндегі
қосындыға болғандағы (3) теңсіздігін қолдансақ, онда (2)
теңсіздігінің орындалатынын көреміз.
Сөйтіп, кемімелі тізбек екені дәлелденді кемімелі және
шенелген тізбек болғандықтан, оның нақты мәнді шегі бар. Ол а саны болсын.
(1) және (2)-де болғанда шекке көшсек, онда сәйкес
(4)
және
(5)
болады. Мұнан біздің мақсатымыз болатын
теңдігі шығады, өйткені (5) шартын қанағаттандыратын (4)-тің түбірі тек
қанасаны болады. тізбегі а-ның квадраттық түбірін жуықтап табу
үшін қолданылады.
Енді а оң санының квадраттық түбірін жуықтап есептегенде (1)
формуласымен пайдаланып хп –нен -ге көшкенде сәйкес қателіктердің
қалай өзгеретінін қарастырайық.
теңсіздігі шығады, яғни жаңа қателігі -дан аспайды. Сонымен,
әрбір келесі қадамдағы қателік шамамен алдындағы қадамдағы қателіктің
квадратына тең болады. Демек, біз санын, мысалы, үтірден кейін 5
таңбасымен тапсақ келесі қадам дәлдікті 10 таңбаға дейін, ал одан кейінгі
қадам 20 таңбаға дейін көтереді. Сондықтан, (1) тізбегі оң саннан
квадраттық түбір табу үшін қазіргі есептеу математикасында кеңінен
қолданылады.
1.3 е саны
Бұл пунктте анализдегі айрықша сандардың бірі — е санын анықтаймыз.
Әрбір оң бүтін п үшін
(6)
болсын. Монотонды тізбектер туралы негізгі теореманы қолданып,
тізбегінің нақты мәнді шегі бар болатынын дәлелдейік. өрнегіндегі п
дәреже көрсеткіші өскен сайын дәреже негізі кеми түседі, сондықтан, хп
монотонды болатыны тікелей көрінбейді.
Бұны дәлелдеу үшін, хп -ді Ныотон биномы формуласы бойынша
жіктейік:
Соңғы қосындының түрінің өзінен-ақ хп өспелі тізбек болатыны оңай
шығады. Расында да, хп -нен хп+1 -ге көшкенде, біріншіден, жаңа оң
мүшесі пайда болады, екіншіден, бұрыннан жазылған мүшенің алғашқы
екеуі өзгермейді де (олар 1 санына тең), ал қалғандарының әрқайсысының
орнына одан үлкен өрнек жазылады, өйткені түріндегі әрбір
көбейткіш одан үлкен көбейткішіне алмасады. Сонымен, әрбір п үшін
хп болады, яғни— өспелі тізбек.
— шенелген тізбек болатынын дәлелдеу үшін, басқа
жағдайларда да жиі қолданылатын, келесі формуланы дәлелдейік.
Егер болса, онда әрбір оң бүтін п саны үшін
(8)
теңдігі орындалады. Расында да,
(l – a) (l+ a + a2 + ... + aп) = (l + a+a2+ ... + aп ) – ( a + a2 +...+
aп+l ) = 1+ (а + а2 + ... + aп ) – (a+a2+ ... + aп ) – aп+l,
яғни, (8) дәлелденді.
(7) өрнегіндегі жақшаның ішіндегі әрбір көбейткіш 1 санынан кіші,
сондықтан, олардың әрқайсысының орнына 1 санын жазсақ, онда
.
" (9)
теңсіздігіне келеміз. Бұнда әрбір бөлшектің бөліміндегі әрбір
көбейткішті 2 санына алмастырсақ, онда болады. Соңғы теңсіздіктің оң
жағындағы қосындыға болғандағы (8) формуласын қолдансақ, онда
болады, яғни —жоғарыдан шенелген тізбек.
Сөйтіп, — өспелі және шенелген тізбек болатыны дәлелденді.
Сопдықтан, монотонды тізбектің шегі бар болуы туралы теорема
бойыншатізбегінің нақты мәнді шегі бар болады. Ол санды Л. Эйлер
белгілегендей әрдайым е әріпімен белгіленді.
Сонымен,
(10)
е әріпі жаңа санның белгілеуі екеніне оқырманның назарын тағы да аударамыз:
алдымен (6) бойынша анықталған тізбегінің шегі бар және нақты сан
болатынын дәлелдедік, сонан кейін сол нақты сан е әрпімен белгіленеді.
Бұл санның ондық бөлшек арқылы түрлендіруінің алғашқы үш таңбасы
мынадай болады.
е = 2,718 ...
е санын логарифмнің негізі ретінде алған көп жағдайларда өте пайдалы болады
(мысалы, 1 (V тарау, § 2)-пункттегі 3°-ті, 4°-ті қараңыз). Сондай
логарифмдер In символымен белгіленеді. Сонымен,
Соңында, әрбір оң бүтін п саны үшін
(11)
болатынын атап өтейік.
Е с к е р т у. (10) теңдігін анықталмағандықты ашу деп қарастыруға
болады.
Расында да, . болса, онда , болады, демек, 5
(§ 2)-пункттегі анықталмағандықтың белгілеулеріне сай жазсақ, 1°° символына
келеміз. Бұл анықталмағандықты былай түсіндіруге болады: егер болса,
онда үшін , ал болса, онда үшін болады.
Жалпы жағдайда өрнегінің негізі 1-ге тартады, көрсеткіші -
ке тартады, сондықтан, берілген тізбегінің шегі бар болуы, бар
болса оның мәні — хn - нің 1-ге,-нің ке ұмтылу тәртіптері мен
олардың арасындағы ара-қатынасымен байланысты.
Сондықтан, (10) теңдігін өрнегінде болғанда, олар
бір-бірін өзімен бірге ілестіре кете алмай , 1 мен
арасындағы бір санға (е = 2,718... деп аталатын)
келіскендері деуге болады.
1.4 е санының бейнелеуі
(12)
болсын (бұл (9) теңсіздігінің оң жағындағы өрнек). Мұнда
үшін ал келісім бойынша
Әрбір oң бүтін п үшін
(13)
теңдігін қанағаттандыратын саны табылатынын көрсетейік.
Алдымен,
(14)
теңдігін дәлелдейік (кейбірде е саны тізбегінің шегі ретінде
анықталады).
• оң бүтін саны берілсін. Онда әрбір үшін (7) бойынша
•
болады.
болғанда-нің әрбір жақшасындағы өрнектің шегі бар және 1
санына тең болады, демек, +1 қосылғыш үшін қолданылған 4 (§ 2)-п. 7-
теоремасының салдары бойынша уƦ теңдігі орындалады. Сондықтан,
(15), (10) және 3 (§ 2)-пункттегі 5-теорема бойынша болады.
Бұдан және (12) анықтамасы мен (9) теңсіздігінен әрбір оң бүтін п үшін
болатынын көреміз, сондықтан, (10) және 3 (§ 2)-п. 6-теорема
бойынша (14) теңдігі орындалады,
Кез келген оң бүтін п және т сандары үшін
болады, демек, болғандағы (8) формуласы бойынша
Бұл теңсіздіктің екі жағын да m-ге тәуелді тізбек деп қарастырып,
шекке көшсек, онда 3 (§ 2)-пункттегі 5-теорема және (14) теңдігі
бойынша
Біз мұнда, әрине, m-ге тәуелді тізбектің мәндерінің бәрі белгілі бір
санға тең болса, онда шегі де ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz