Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттері. Элементар функциялардың үзіліссіздігі


Кіріспе
1 Үзіліссіз функциялар теориясы...
1.1 Функцияның үзіліссіздігі..
1.2 Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары.
1.3 Функция үзіліссіздігінің қасиеттері...
2 Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттері. Элементар функциялардың үзіліссіздігі...
2.1 Үзіліссіз функциялардың кейбір локальды қасиеттері.
2.2 Элементар функциялардың үзіліссіздігі..
Қорытынды..
Қолданылған әдебиеттер тізімі..
Қосымша
Айталық f(x) функциясы Х сан жиынында анықталсын.
анықтама. Егер f(x) функциясының нүктесінде шегі бар болып, ол f(x) функциясының сол нүктедегі мәні f(x0)-ге тең болса, онда f(x) функциясын х0 нүктесінде үзіліссіз деп атайды.
Бұл анықтаманы үзіліссіздіктің формальды анықтамасы дейді.
Функция үзіліссіз болатын нүктені үзіліссіздік нүктесі дейді.
анықтама. (Гейне). Егер Х жиынынан алынған кез келген х1, х2,...,хn,.. тізбегі х0 санына жинақты болғанда осы тізбекке сәйкес келетін f(x1), f(x2)…,f(xn)…тізбегі f(x0) санына жинақты болса, онда f(x) функциясын х0 нүктесінде үзіліссіз дейді.
анықтама. (Коши). Егер кез келген санына сәйкес саны табылып
Дәлелденген теоремалардың шарттарында функцияның аргументі нақты санға ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар болуы талап етілген еді. Үзіліссіз функциялар, әрине, ол шарттарды қанағаттандырады (алдыңғы пункттегі 10-ді қараңыз), сондықтан аталған теоремалардан салдар ретінде үзіліссіз функциялардың келесі маңызды қасиеттері шығады (ол теоремаларды қолданғанда а-ның орнына хо-ді қою керек).
1-теорема. Әрбір функцияның үзіліссіздік нүктесі локальді шенелу нүктесі де болады.
1. Аяпбергенов С. Аналитикалық геометрия. - Алматы: Мектеп, 1971.
2. Бүлабаев Т.Б., Матақаева Ғ.С. Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері. - Алматы: Білім, 1995.
3. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. - Алматы: ҚазҰТУ, 2000.
4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - Москва: Наука, 1980.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Москва: Наука, 1980.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Москва: Наука, 1980.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Москва: Наука, 4.1, 2-1985.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - Высшая школа. 4.1, 2 - 1986.
9. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -Москва: Наука, 1986.
10. Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Алматы: Мектеп, 1988.
11. Нұрпейісов С.А. Комбинаториканың ықтималдықтарды тікелей есептеуге қолданылуы. Алматы: ҚазМЭУ, 1992.
12. Нұрпейісов С.А., Сатыбалдиев О.С., Өтепбергенұлы М. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика. Алматы: Экономика, 2005.
13. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва: Высшее образование, 2006.
14. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Москва: Высшая школа, 1983.
15. Байарыстанов А.О. Жоғары математика есептері мен жаттығулар жинағы. - Астана. 2006.
16. Байарыстанов А.О. Анықталмаған және анықталған интегралдарды есептеу әдістері. - Алматы: Нур-Принт, 2007.
17. Байарыстанов А.О. Дифференциалдық теңдеулер теориясы және есептеу әдістері. - Алматы: Нур-Принт, 2007.
18. Байарыстанов А.О. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика негіздері және өзіндік жұмыстар жинағы. - Алматы: Нур-Принт, 2009.
19. Байарыстанов А.О. Қатарлар теориясы және есептері. - Алматы: Нур-Принт, 20

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Курстық жұмыс
Көлемі: 20 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 700 теңге
Таңдаулыға:   
Тегін:  Антиплагиат

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Курстық жұмыс
Тақырыбы: Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттері. Элементар
функциялардың үзіліссіздігі

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
1 Үзіліссіз функциялар 5
теориясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 5
... 6
1.1 Функцияның 8
үзіліссіздігі ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... 12
1.2 Функция үзіліссіздігінің негізгі 12
теоремалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
1.3 Функция үзіліссіздігінің 16
қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
2 Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттері. Элементар 18
функциялардың
үзіліссіздігі ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... .
2.1 Үзіліссіз функциялардың кейбір локальды
қасиеттері ... ... ... ... ...
2.2 Элементар функциялардың
үзіліссіздігі ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қолданылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... .
Қосымша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...

Кіріспе

Айталық f(x) функциясы Х сан жиынында анықталсын.
анықтама. Егер f(x) функциясының нүктесінде шегі бар болып, ол f(x)
функциясының сол нүктедегі мәні f(x0)-ге тең болса, онда f(x) функциясын х0
нүктесінде үзіліссіз деп атайды.
Бұл анықтаманы үзіліссіздіктің формальды анықтамасы дейді.
Функция үзіліссіз болатын нүктені үзіліссіздік нүктесі дейді.
анықтама. (Гейне). Егер Х жиынынан алынған кез келген х1, х2,...,хn,..
тізбегі х0 санына жинақты болғанда осы тізбекке сәйкес келетін f(x1),
f(x2)...,f(xn)...тізбегі f(x0) санына жинақты болса, онда f(x) функциясын х0
нүктесінде үзіліссіз дейді.
анықтама. (Коши). Егер кез келген санына сәйкес саны
табылып

теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері үшін

теңсіздігі орындалса, онда f(x) функциясын х0 нүктесінде үзіліссіз деп
атайды. Оны жазады.
Енді ал сәйкес келетін функция өсімшесін деп белгілейміз.
Егер х0 нүктесіндегі аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның
шексіз аз өсімшесі сәйкес келсе, онда y=f(x) функциясын х0 нүктесінде
үзіліссіз деп атайды да былай жазады:

Егер y=f(x) функциясы Х сан жиынының әрбір нүктесінде үзіліссіз
болса, онда f(x) функциясын Х жиынында үзіліссіз деп атайды.
Егер х0 нүктесінде f(x) функциясы үзіліссіз болмаса, онда х0 нүктесін
f(x) функциясының үзіліс нүктесі деп атайды, ал функцияның өзін осы
нүктеде үзілісті дейді.
Егер f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда
f(x0+0) =f(x0-0)=f(x0) орындалатыны белгілі.
Егер f(x0+0) және f(x0-0)шекті шектер бар, бірақ ол f(x0)- ден
өзгеше болса, онда х0 нүктесін бірінші текті үзіліс нүкте деп атайды.
f(x0+0)-f(x0-0)- айырмасын f(x) функциясының х0 нүктесіндегі
“секірісі” деп атайды.
Егер болса, онда х0 нүктесін жойылатын үзіліс нүкте деп
атайды.
Егер оң немесе сол жақты шектердің жоқ дегенде біреуі болмаса, онда х0
нүктесін f(x) функциясының екінші текті үзіліс нүктесі дейді.
Больцано- Кошидің бірінші теоремасы.
f(x) функциясы кесіндісінде үзіліссіз және кесіндінің ұштарында
функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда аралығында ең
болмаса бір нүкте табылып, f(c)=0 болады.
Больцано- Кошидің екінші теоремасы.
Егер f(x) функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болса,
онда функция осы сегментте мен сандарының арасында жатқан кез
келген мәнін қабылдайды, демек теңдігін қанағаттандыратын
кемінде бір с саны табылады.
Вейерштрасстың 1-теоремасы.
кесіндісінде үзіліссіз f(x) функциясы осы кесіндіде шектелген.
Вейерштрасстың 2-теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде
үзіліссіз болса, онда осы сегментте функция өзінің дәл төменгі және дәл
жоғарғы шекараларын қабылдайды, демек х1, х2, нүктелер табылып

Курстық жұмыстың мақсаты: Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттерін
ашу, элементар функциялардың үзіліссіздігін зерттеу.

1 Үзіліссіз функциялар теориясы

1.1 Функцияның үзіліссіздігі

Қандай да бір хо нүктесі мен центрі хq нүктесі болатын қандай да бір
аймақта анықталған, яғни теңдігі орындалатын
функцияеын қарастырамыз.
Егер х айнымалысына қандайда бір оң немесе теріс өсімшесін
берсек және мәнін қабылдайтын болсын, онда у функциясы да
қандай да бір өсімшесін қабылдайды. Функцияның жаңа өсірілген мәні
мына түрде анықталады

(4.2)

Бұл тендеуден есімшесі келесі формула аркылы өрнектеледі (6-
сурет)

6-сурет

9-анықтама. Егер ол хо нүктесінде және оның қандай да бір аймағында
анықталған және

(4.4)

Немесе

болса, онда функциясы х= х0 мәнінде (нүктесінде) үзіліссіз (үздіксіз)
деп аталады.
Үзіліссіздіктің соңғы шартын, яғни (4.5) теңдігін мына түрде
жазуға да болады:

(4.6)

Немесе

(4.7)

Ендіболатынын ескеретін болсақ, онда (4.7) теңдеуді келесі түрде
жазамыз:
(4.8)
яғни үздіксіз функцияның ұмтылғандағы шегін табу үшін функция
өрнегіндегі х аргументінің орнына х0 мәнін қою жеткілікті болады.
Геометриялық тұрғыдан қарағанда функцияның нүктедегі
үзіліссіздігі дегеніміз, егер өте аз болғанда
функциясының графигінің және х0 нүктелеріндегі
ординаталарының айырмасы абсолют шамасы бойынша өте аз шама болады.
Мысалы, у = х функциясының кез келген х0 нүктесінде
үзіліссіздігін есептейміз.

1.2 Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары

1-теорема. Егер ' және функциялары х0 нүктесінде үзіліссіз
болса, онда қосынды функциясы да х0 нүктесінде үзіліссіз болады.
Дәлелдеу: Теореманың шарты бойынша және функциялары
үзіліссіз болғандықтан (4.7) теңдеуінің негізінде, келесі түрде жазуға
болады және

Шектер теориясының негізінде

Сонымен, қосындысы үзіліссіз функция болады.
Шектердің негізі қасиеттеріне сүйене отырып, төмендегі теоремаларды да
дәлелдеуге болады.
2-теорема. Екі үзіліссіз фукциялардың кебейтіндісі де үзіліссіз
функция боладьт.
3-теорема. Екі үзіліссіз функциялардың қатынасы да үзіліссіз функция
болады, егер бөліміндегі функция нөлге тең емес болса.
4-теорема. Егер функциясы х = хо нүктесінде үзіліссіз жэне
функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда функциясы х0
нүктесінде үзіліссіз функция болады.
5-теорема. Барлық элементарлық функциялар өздерінің анықталу облысында
үзіліссіз болады.
10-анықтама. Егер фукциясы болған кезде (a, b)
интервалының әр бір нүктесінде үзіліссіз болса, онда функция осы интервалда
үзіліссіз болады.
11-анықтама. Егер функциясы х = а анықталған және болса,
онда х = а нүктесінде оң жағынан үзіліссіз деп аталады.
12-анықтама. Егер функциясы х — b анықталған және болса,
онда х = b нүктесінде сол жағынан үзіліссіз деп аталады.
13-анықтама. Егер функциясы (а, b) интервалының әрбір
нүктесінде және шеткі нүктелерінде сәйкес оң жағынан және сол жағынан
үзіліссіз болса, онда функциясы тұйықталған интервалда
немесе кесіндісінде үзіліссіз деп аталады.
14-анықтама. Егер қандай да бір х — х0 нүктесінде функциясы
үшін үзіліссіздіктің ең кемінде бір шарты орындалмаса, яғни болған
кезде функция анықталмаған немесе шегі болмаса немесе кез
келген ұмтылғанда болса, бірақ теңдіктің оң жағындағы және сол
жағындағы ернектердің мәні бар болса, онда функциясы нүктесінде
үзілісті (үздікті) деп аталады.
15-анықтама. Егер функциясының және
ақырлы шектері бар, бірақ немесе нүктесінде функциясының
мәні болмаса, онда нүктесі І-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.
16-анықтама. Егер функциясының нүктесінде немесе
шектері жоқ немесе шексіздікке тең болса, онда нүктесі ІІ-ші
тектегі үзілістік нүктесі болады.

1.3 Функция үзіліссіздігінің қасиеттері

Бұл бөлімде кесіндідегі үзіліссіз функциялардың кейбір қасиетгерін
қарастырамыз.
6-теорема. Егер функциясы қандайда бір
кесіндісінде үзіліссіз болса, онда кесіндісінде ең кемінде бір
нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті
қанағаттандырады

мұндағы х — кесіндінің кез келген басқа нүктесі және ең кемінде бір
нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті
қанағаттандырады

Жоғарыда көрсетілген функциясының мәнін функциясының
кесіндісіндегі ең үлкен мәні, ал функциясының
мәнін функциясының кесіндісіндегі ең кіші мәні деп атаймыз.
Айтылған теореманы қысқаша төмендегідей түрде баяндауға болады:
Берілген кесіндісінде үзіліссіз болатын функция осы кесіндіде ең
кемінде бір рет ең үкен М мәнін және ең кіші т мәнін қабылдайды. (7-сурет)

Сурет

Сурет

1-теорема. функциясы кесіндісінде үзіліссіз және осы
кесіндінің шеткі нүктелерінде әр түрлі таңбадағы мәндер қабылдаса, онда а
және b нүктелерінің арасынан ең кемінде бір х = с нүктесі табылып, осы
нүктеде функциянелге айналады (8-сурет):

8-теорема. функциясы кесіндісінде анықталған және
үзіліссіз болсын. Егер осы кесіндінің шеткі нүктелерінде функция тең емес
мәндер қабылдаса, яғни болса, онда A және В сандарының
арасындағы қандайда болмасын µ санына, болатын а және b
нүктелерінің арасында жататын х = с нүктесі табылады.

Келесі мысалдарды қарастырамыз:

Шешуі: Бұл есепте ұмтылғанда анықталмағандығын аламыз, яғни
ұмтылғанда ұмтылады, сондықтан бөлшектің алымынан және
бөлімінен ернегінен құтылу керек ол үшін, бөлшектің алымын және
бөлімін жіктейміз:

Шешуі: Бұл есепте ұмтылғанда анықталмағандығын аламыз.
Мұндай анықталмағандықты ашу үшін, бөлшектің алымынан және бөлімінен х —
тің ең үлкен дәрежесін жақшаның сыртына шығарып қысқартамыз:

3.
Шешуі: Бүл есепте ұмтылғанда анықталмағандығын аламыз,
сондықтан оны екінші тамаша шек формуласын қолданып
шығарамыз:

4.
Шешуі: Бұл есепте ұмтылғанда бөлшектің алымындағы
тригонометрияльтқ функциялардың айырмасының қатынасынан
анықталмағандығын аламыз, яғни бірінші тамаша шек қолданып шығарамыз:

2 Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттері. Элементар функциялардың
үзіліссіздігі

2.1 Үзіліссіз функциялардың кейбір локальды қасиеттері

Дәлелденген теоремалардың шарттарында функцияның аргументі нақты
санға ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар болуы талап етілген еді. Үзіліссіз
функциялар, әрине, ол шарттарды қанағаттандырады (алдыңғы пункттегі ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Аралықта үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Кейбір элементар функциялардың анықтамасы және олардың қасиеттері
Арнайы түрдегі бүтін функциялардың нөлдері
Шегі бар функциялардың қасиеттері. Монотонды функцияның шегі
Көп айнымалы функциялардың экстремумын есептеу
Функциялардың жалпыланған Фабер-Шаудер жүйесі бойынша қатарларға жіктеулерінің қасиеттері
Көп аргументті функциялардың интегралдық есептеулері
Функция үзіліссіздігі
Бір айнымалылы функциялардың интегралдық есептеулері
Интервалдағы дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары.
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь