Функцияның жоғарғы және төменгі шектері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

Курстық жұмыс

Тақырыбы: Функцияның жоғарғы және төменгі шектері

Мазмұны

Кіріспе . . .

1 Функцияның шектері теориясы . . .

2 Функцияның жоғарғы және төмен шектері . . .

2. 1 Функцияның дербес шегі . . .

2. 2 Функцияның жоғарғы және төменгі шектері . . .

2. 3 Нақты функцияның құрылысы туралы . . .

2. 4 Жалпы жағдай . . .

Қорытынды . . .

Қолданылған әдебиеттер тізімі . . .

Қосымша . . .

Кіріспе

Әуелі дербес шектің екі анықтамасын берейік. функциясы X жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын. a - нақты сан, немесе -тің бірі болсын, яғни

шарттарын қанағаттандыратын белгілі бір тізбегі мен оған сәйкес тізбегі үшін теңдігі орындалса, онда а -ны функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп атайды.

Курстық жұмыстың мақсаты: функцияның жоғарғы және төменгі шектерін зерттеу.

Міндеттері:

- функцияның шектері теориясын қарастыру;

- функцияның жоғарғы және төмен шектерін зерттеу;

- функцияның дербес шегін қарастыру;

- функцияның жоғарғы және төменгі шектері және нақты функцияның құрылысы туралы ашу, жалпы жағдай қарастыру.

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытындыдын, әдебиеттер тізімінен, қосымшадан құрылады.

1 Функцияның шектері теориясы

Анықтама. функциясы нүктесінің бір төңірегіндегі нүктелерде анықталсын делік. Егер әрбір e>0 үшін d оң саны табылып, x -тің теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін, мына теңсіздік орындалса, шамасы -тің -ға ұмтылғандағы функциясының ( нүктесіндегі ) шегі деп аталады.

Осы анықтамадағы шамасының функцияның анықталу облысына кіруі шарт емес, бірақ -ға мейлінше жақын нүктелердіңфункцияның анықталу облысына кіруі шарт.

Егер шамасы -ға ұмтылғанда, функциясының мәні -ға ұмтылса, оны былайша жазатын боламыз

Анықтамадағы және шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да мүмкін.

Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, - шексіз үлкен деп аталады, мұны былай жазамыз

Егер әрбір e>0 үшін саны табылып, үлкен болғанда теңсіздігі орындалса, деп жазамыз.

Егер -ның шамасы символдарының бірі болса, деп жазамыз.

Енді функцияның шегінің геометриялық мағынасын анықтайық. Айталық делік. Бұлай деу, берілген e>0 үшін d>0 саны табылып, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады деген сөз.

Басқаша айтқанда: аргумент x -тің теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық мәндеріне сәйкес келетін ¦(x) функциясының барлық мәндері теңсіздігін қанағаттандыруы тиіс. b -саны функциясының х шамасы -ға ұмтылғандағы шегі дегенді геометрияда былай түсіндіруге болады. түзулер шектеген алап қандай болса да, нүктесінің төңірегіне маңайын салуға болады (яғни d>0 саны табылады) . Олай болса, абсциссалары теңсіздіктерін қанағаттандыратын қисығының барлықнүктелері , түзулері шектеген алаптың ішінде жатады (тек абсциссасы -ға тең нүкте ғана алапқа енбей қалуы мүмкін) . Функция шегінің анықтамасындағы d>0 саны e санына тәуелді, жалпы айтқанда e өзгерсе d да өзгереді . Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1) болатынын көрсету керек.

Алдын ала e>0 саны берілсін. Оған сәйкес -тің

(*)

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

(**)

теңсіздігі, яғни теңсіздігі орындалатын d>0 санын табайық. Ал (*) -дан теңсіздігі шығады. Демек,

. (***)

(**) мен (***) -дан мына қорытындыға келеміз: егер d санын d(5+d) =e тендігін қанағаттандыратын етіп алсақ, (*) (***) да орындалады.

Сонымен, екендігі дәлелденеді.

2) екендігін дәлелдеу керек.

Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент теңсіздігін қанағаттандырысымен N санын іздеуіміз керек.

Ал, . Cондықтан болғанда теңсіздігі орындалады. Бұдан . Демек, егер деп алсақ, болғанда , яғни болатыны айқын.

Ескерту. Егер функциясы шамасына ұмтылғанда, x -тің -ға ұмтылуы тек -дан кіші мәндер қабылдау арқылы ғана болса, былай жазып , ді функцияның нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.

Егер х тек -дан үлкен мәндер қабылдайтын болса, былай жазып , -ні функцияның нүктесіндегі оң жақты шегі дейді.

Ескерту. Егер аргумент х -тің берілген анықталу облысындағы барлық мәндері үшін М саны табылса, функциясы қарастырылып отырған облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция берілген облыста шектелмеген делінеді.

Шексіз аз шама және оның қасиеттері.

Анықтама. Егер не болса, функциясы не x ®¥ болғанда шексіз аз шама делінеді.

Шектің анықтамасына сүйеніп, жоғарыдағы анықтаманы былайша тұжырымдауға болады: алдынала берілген кез-келген жеткілікті аз e>0 саны үшін теңсіздігі орындалатын x - тың мәндері үшін теңсіздігі орындалатындай d саны табылса, a(x) шексіз аз шама делінеді (x® ) .

Мысалы.

1) функция a(x) =(x-2) ² , x шамасы 2-ге ұмтылғанда шексіз аз шама, өйткені .

2) функция a(x) = , х®¥ болғанда шексіз аз шама, өйткені .

Теорема. Егер функциясы b санымен шексіз аз шама a-нің қосындысына тең болса, яғни y=b+a болса, lіm y=b (x®a не х®¥) болады. Керісінше, егер болса, деп жазуға болады. Мұндағы a шексіз аз шама.

Теорема. Егер шамасы -ға ұмтылғанда a(x) нольге ұмтылса, y= шексіз үлкен шамаға ұмтылады.

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) шексіз аз шамалардың алгебралық қосындысы шексіз аз шама болады.

Теорема. Шексіз аз шама a(x) -тың шектелген g(x) функциясына көбейтіндісі (x® , x®¥) шексіз аз шама.

Салдар. Егер lіm a(x) =0, lіm b(x) =0 болса, lіmab=0.

Салдар. Егер lіm a(x) =0, c=const болса, lіm ca=0.

Теорема. Егер lіma(x) =0, lіmb(x) ¹0 болса a(x) ·b ^-1 (x) -шексіз аз шама болады.

Шектер туралы негізгі теоремалар.

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) функциялардың қосындысының шегі сол функциялардың шектерінің қосындысына тең

lіm(u ₁ +u ₂ + . . . +u _k ) = lіm u ₁ +lіm u ₂ + . . . +lіm u _{k .}

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) айнымалы шегі сол шамалардың тең:

lіm(u ₁ u ₂ . . . u _k ) =lіm u ₁ lіm u ₂ . . . lіm u _k .

Теорема. .

Теорема. Егер u(x), және v(x) функцияларының сәйкес мәндері мына теңсіздіктерін қанағаттандырса және u(x) пен v(x) функциялары не -да бір b санына ұмтылса, онда -те сол шекке ұмтылады.

Теорема. Егер шамасы -ға (не ¥-ке) ұмтылғанда теріс емес функциясы шегіне ұмтылса, онда -нольден кіші болмайды.

Теорема. Егер үдемелі айнымалы шама шектелген шама, яғни болса, онда бұл айнымалы шаманың шегі бар, яғни болады және ол .

Кемімелі айнымалы шама үшін де осыған ұқсас теорема орындалады.

функциясының шегі

функциясы да түріндегі анықталмағандықты береді.

Теорема. . (*)

(*) формуласын 1-ші тамаша шек деп атайды.

Есеп шығарғанда, бізге қажет болатын маңызы зор бірнеше шектерді (бірінші тамаша шектің көмегімен дәлелденетін) келтірейік:

1) .

2) .

3) .

Айнымалы шаманың шегі. Тізбектің шегі.

Анықтама. Егер бізге қалағанымызша аз e оң саны берілсе және айнымалы шама -тің бір мәнікөрсетіліп, одан кейінгі мәндерінің бәрі мына теңсіздікті қанағаттандырса, түрақты саны айнымалы -тің шегі делінеді де, былайша жазылады:

Сандар тізбегі үшін бұл анықтаманы былайша айтуға болар еді.

Егер де алдын ала кез келген аз eоң саны берілсе, теңсіздігі нөмірден бастап орындалатын болса, онда түрақты сан -ны тізбектің шегі дейді де

cимволымен жазады. Мұндағы lіm латын тіліндегі lіmes (шек) деген сөзден қысқартылып алынған. Бұл жағдайды былайша: тізбегі түрақты санына ұмтылады деп те айтады және былай жазады: ; тізбекті санына жинақталады деп те атайды.

Мысалы. 1) жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегі өзінің шегі -ке ұмтылады.

Шынында, алдын ала санын алып, теңсіздігі номерінің қай мәнінен бастап орындалатынын анықталық. Бұл теңсіздікті мына түрге түрлендіреміз бұдан .

Демек, болғанда, анықтамаға сәйкес қарастырылып отырған тізбектің шегі болады.

2) Тізбектің жалпы мүшесі былай берілсе, бұл тізбектің шегі бірге тең.

Шынында, кез-келген e>0үшін теңсіздігі болғанда орындалады.

Бұдан кез келген тізбектің шегі болады деген ұғым тумауы керек.

Мысалы. Тізбектің мүшелері мына формулалармен берілсе

мұнда k-ның үлкен номерлерінен бастап, жұп номерлі мүшелерінің нольден айырмашылығы керегінше аз болады да, тақ номерлері мүшелерінің бірден айырмашылығы аз болады. Сондықтан тізбектің шегі болмайды.

Анықтама. Егер алдынала берілген әрбір оң сан М үшін айнымалы -тің бір мәнікөрсетіліп және кейінгі мәндерінің бәрі мына теңсіздікті қанағаттандырса, шексіздікке ұмтылады дейміз. Бұндай айнымалы шаманы шексіз үлкен айнымалы шама деп, cимволымен белгілейді.

Мысалы. тізбегі шексіздікке ұмтылады.

e саны. функциясының шегі

Жалпы мүшесі түрінде берілген сан тізбегінің шегін e саны деп атайды, яғни . e-саны иррационал сан және оның жуық мәні мынадай e=2. 71828128 . . .

Теорема. . (**)

(**) -формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.

Егерде (**) формулада десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуға болады:

e-cанын пайдаланып шығарылатын кейбір шектерді келтірейік:

1) .

2) e .

3) .

3') .

Егерде шегін және болған жағдайда есептеп шығару керек болса, онда түріндегі анықталмағандық алар едік.

Бұл секілді анықталмағандықтарды ашу үшін, берілген функцияның негізі мен дәреже көрсеткішін мына формуланы қолдану мүмкін болатындай етіп түрлендіру керек .

Мысалы.

Осыдан, , жағдайда, мына формула табылады (бұл жерде үзіліссіз функциялардың композициясының үзіліссіздігі пайдаланылды) .

Мысал келтірейік,

Ескерту. Егер логарифмдердің негізін e деп алсақ, мұндай логарифмдер натуралдық логарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617) - логарифм кестелерін алғашқы жасаушылардың бірі.

Егер х=e ^y болса, y-ті х санының натуралдық логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=log _e x деудің орнына) .

Бір санның ондық логарифмі мен натуралдық логарифмдерінің байланысын былай табады.

Егер y=lgx, не х=10 ^y болса, оны е негізінде логарифмдесек ln x=y× ln10 , .

Егер десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.

Осылайша, егер санның натуралдық логарифмі белгілі болса, онда оның ондық логарифмін ауысу модуліне көбейту арқылы табады.

2 Функцияның жоғарғы және төмен шектері

2. 1 Функцияның дербес шегі

(1)

шарттарын қанағаттандыратын белгілі бір тізбегі мен оған сәйкес тізбегі үшін

(2)

теңдігі орындалса, онда а -ны функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп атайды.

Дербес шектің тіліндегі анықтамасы. Егер әрбір және оң сандары үшін

(3)

және а нақты сан болғанда болғанда болғанда шарттарын қанағаттандыратын х' саны табылса, онда а саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп аталады.

Бұл анықтамалар эквивалентті болады. Алдымен а нақты саны дербес шектің тізбектер тіліндегі анықтамасы бойынша функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болып, ɛ және δ оң сандары берілсін. Берілген ɛ оң саны үшін (2) бойынша

шарты орындалатын оң бүтін саны табылады. Берілген δ оң саны үшін (1) бойынша

(4)

шарты орындалатын оң бүтін саны табылады. Бұдан саны үшін (3) және (4) шарттары орындалуы айқын, демек, дербес шектің тіліндегі анықтамасы бойынша а нақты саны функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болады.

Кері, дербес шектің тіліндегі анықтамасы бойынша а нақты саны функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болсын.

Әрбір п оң бүтін нақты саны үшін болғанда (3) және (4) шарттарын қанағаттандыратын х' санын х _п символымен белгілесек, онда

болады. Бұдан тізбегі үшін (1) және (2) шарттары орындалуы айқын, яғни дербес шектің тізбектер тіліндегі анықтамасы бойынша а нақты саны функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болады.

Сонымен, дербес шек нақты сан болғанда екі анықтаманың эквиваленттілігі дәлелденді. және жағдайлары да дәл осылай дәлелденеді.

Мысалдар. 1. функциясы үшін [-1, +1] сегменті функциясының 0 нүктесіндегі дербес шектер жиыны болады.

Расында да, болса, онда

тізбегі үшін , яғни у _о саны f функциясының 0 нүктесіндегі дербес шегі.

2. функциясының 0 нүктесіндегі дербес шектер жиыны 1 және -1 сандарынан құрылған екі элементті жиын болады.

3. функциясының 0 нүктесіндегі дербес шектер жиыны . және ақырсыз сандарынан құрылған сегментінің екі элементті жиыншасы болады.

Кез келген функцияның кемінде бір дербес шегі бар болады. Расында да, а нақты саны X жиынының шектік нүктесі болғандықтан, (1) шарттарын қанағаттандыратын тізбегі табылады. Дәл осы тізбекке сәйкес тізбегінің Больцано - Вейерштрасс теоремасы бойынша белгілі бір

санына ұмтылатын тізбекшесібар болады.

тізбегі тізбегінің тізбекшесі болады, сондықтан ол (1) -дсгі көрестілген шарттарды қанағаттандырады.

Сонымен, функциясының а нүктесінде а _о -ға тең дербес шегі бар болады.

Әрине, функциясының а нүктесінде шегі бар және санына тең болуы үшін оның дербес шектер жиыны құрамында тек қана сол а саны болатын бір элементті жиын болуы қажетті және жеткілікті.

Бұл дербес шек пен шектің тізбектер тіліндегі анықтамаларынан айқын түрде шығады.

2. 2 Функцияның жоғарғы және төменгі шектері

Енді тізбек жағдайындағыдай, функция үшін дербес шектер жиынының ең үлкен және ең кіші элементтері бар болатынын дәлелдейік.

Алдымен негізгі жағдай - локальді шенелген функцияларды қарастырайық.

Т е о р е м а. функциясы X жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын.

Егер функциясы а нүктесінде локальді шенелген болса, онда а нүктесінде функциясының ең үлкен және ең кіші дербес шектері бар болады да сәйкес мына

нақты сандарына тең болады.

Дәлелдеуі. (5) -тегі өрнектерді былай түсіну керек: функциясы а нүктесінде локальді шенелген болғандықтан, шарттарын қанағаттандыратын барлық х сандары үшін

(6)

теңсіздігі орындалатын және С оң сандары табылады. Егер әрбір үшін анықтама бойынша

болса, онда және сәйкестіктерінің әр-қайсысы интервалында анықталған функция болады, өйткені: біріншіден, әpбip сандар жиынының тек қана бір супремумы мен тек қана бір инфимумы болады; екіншіден, (6) бойынша

(9)

яғни М мен т (б) -нақты сандар.

М (6) және т (6) функциялары Бәрдің сәйкес жоғарғы және төменгі функциялары деп аталады. δ азайған сайын, (7) және (8) анықтамаларындағы супремум мен инфимум анықталған жиын тарыла түседі, демек, 8 (I тарау, § 4) -пункттегі 2-теорема бонышна интервалында М (б) -кемімейтін, ал m (δ) өспейтін функция болады. Сондықтан, (9) және § 5-тегі монотонды функцияның шегі туралы теорема бойынша болғанда М (б) және т (δ) функцияларының нақты шектері бар болады да,

теңдіктері орындалады. (10) -дағы a саны функциясының a нүктесіндегі дербес шектерінің ең үлкені екенін көрсетейік.

Алдымен a санының өзі дербес шек болатынын дәлелдейік. Дербес шектің анықтамасындағы тізбегін былай құрайық: (7) бойынша әрбір оң бүтін п саны үшін жиынының жоғарғы шекарасы бола алмайды, демек,

(12)

теңсіздіктерін қанағаттандыратын х _п саны табылады. Бұдан тізбегі үшін (4) шарттарының орындалуы айқын. (10) мен шектің тізбектер тіліндегі анықтамасы бойынша

демек, (12) бойынша (3 ІІІ тарау, § 2) -пункттегі 6-теореманы қараңыз) , яғни, расында да, а саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болады.

Енді а ең үлкен дербес шек болатының яғни әрбір басқа дербес шек а санынан аспайтымын көрсетейік. Сонымен, у саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болсын. Онда дербес шектің анықтамасы бойынша (4) шарттарын қанағаттандыратын белгілі бір тізбегі үшін

(13)

болады. болсын. Онда (4) бойынша демек, (10) -ды қараңыз)

(14)

Сонымен, (13), (14) және 3 (II тарау, § 2) -пункттегі 5-теорема бойынша өйткені

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық оң бүтігі п сандары үшін Теорема толық дәлелденді.

Функцияның а нүктесінде ең үлкен дербес шегін жоғарғы шек деп атап,

(15)

символдарымен белгілейді. Дәл солай, функцияның а нүктесіндегі ең кіші дербес шегін төменгі шек деп атап немесе символдарымен белгілейді.

Сөйтіп,

және

Бұл теңдіктерде алғашқы екі өрнек қалған өрнектердің белгілеулері болады. Қолданылған белгілеулер үшін тізбектер жайында 2 (II тарау, § 5) -пунктте айтылғанды қайталауға болады.

Енді қалған жағдайларды қарастырайық. Егер функциясы а нүктесінде жоғарыдан локальді шенелмеген болса, онда сол нүктеде оның дербес шегі болады (әрине, - ең үлкен дербес шек те болады) .

Расында да, функцияның жоғарыдан локальді шенелмегендігінің анықтамасы бойынша әрбір п оң бүтін саны үшін (1 (§ 4) -пункттегі (3) анықтамасында алу керек)

шарттарын қанағаттандыратын х _п саны табылады, демек, тізбегі үшін яғни саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болады. Бұл жағдайда да (15) белгілеулерін сақтайық. (16) теңдіктеріндегі lim немесе inf символдарының астында тұрған өрнек болғанда сол өрнектің бәрі де -ке тең болсын деп келіссек, онда а нүктесінде жоғарыдан локальді шенелмеген функциясы үшін де (16) теңдіктері орындалады.

Дәл осылай, егер f функциясы а нүктесінде төменнен локальді шенелмеген болса, онда сол нүктеде оның дербес шегі болады (әрине, ең кіші дербес шек те болады), тиісті келісімдерді енгізіп, (17) теңдіктерін сақтауға болады.

2. 3 Нақты функцияның құрылысы туралы

Функцияның тербелісі. «Нақты мәнді функция» деген өте жалпы ұғым болса да, оның әрбір нүктенің қасындағы құрылысы кездейсоқ емес, белгілі бір тәртіпке бағынады екен. Оны жоғарғы және төменгі шектердің анықтамаларының салдары болатын келесі қасиеттерден көруге болады: f функциясы а нүктесінде локальді шенелген болып, а және нақты сандары оның сол нүктедегі сәйкес жоғарғы және төменгі шектері болсын.

1°. Әрбір ɛ оң саны бойынша теңсіздігін қанағаттандыратын барлық сандары үшін теңсіздіктері орындалатын оң саны табылады.

Дәлелдеуі. Инфимумның анықтамасы бойынша әрбір саны үшін теңсіздігін қанағаттандыратын оң саны табылады, демек, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық сандары үшін болады. Дәл осылай, (11) мен супремумның анықтамасы бойынша әрбір саны үшін шарты орындалатын саны табылады. Енді бізге қажетті саны ретінде және сандарының кішісін алсақ болғаны. Сонымен, 1° дәлелденді.

2°. Әрбір ɛ және оң сандары үшін

(18)

шарттарын қанағаттандыратын ақырсыз көп х' сандары бар болады.

Дәлелдеуі. (18) шарттарын қанағаттандыратын кемінде бір х' саны бар болатыны дербес шектің тіліндегі анықтамасынан шығады. Сондықтан, сондай х' сандары ақырсыз көп болатынын дәлелдеу қалды. Кері жорысақ, онда белгілі бір п он бүтін саны үшін

(19)

сандарынан өзге бірде-бір х' саны (18) шарттарын қанағаттандырмайды. болсын.

(18) бойынша болады. және оң сандары үшін дербес шектің тіліндегі анықтамасы бойынша шарттары орындалатын х' саны табылады. Әрбір үшін болғандықтан,

Сонымен, (19) сандарының әрқайсысынай өзге болып, (18) шарттарын қанағаттандыратын х' саны табылды (өйткені, δ ), яғни қайшылыққа келдік. 2° дәлелдепді.

Е с к е р т у. Бұл дәлелдеуде тек қана а нақты саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болатыны пайдаланылды, демек, 1-пунктте берілген дербес шектің тіліндегі анықтамасында саны табылады» деген сөйлемшені « . . . ақырсыз көп х' сандары табылады» деп күшейтуге болады.