Элементар функцияларды дифференциалдау
Кіріспе.
1 Элементар функцияларды дифференциалдау..
1.1 Негізгі элементар функциялардың туындылары..
1.2 Элементар функциялардың туындылары туралы...
1.3 Жоғарғы ретті туындылар..
1.4 Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті туындылары ...
1.5 Лейбниц формуласы.
2 Элементар функцияларды жіктеу, есептеу ...
2.1 Кейбір элементар функцияларды Маклорен формуласына жіктеу ... .
2.2 Элементар функциялардың туындыларын есептеу ...
2.3 Бір айнымалыдан тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеуі.Туынды ұғымы, дифференциалдау ережелері. Күрделі және параметрлік түрде берілген функциялардың туындысы. Кері функциялардың туындысы. Туынды кестесі...
Қорытынды...
Қолданылған әдебиеттер тізімі
1 Элементар функцияларды дифференциалдау..
1.1 Негізгі элементар функциялардың туындылары..
1.2 Элементар функциялардың туындылары туралы...
1.3 Жоғарғы ретті туындылар..
1.4 Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті туындылары ...
1.5 Лейбниц формуласы.
2 Элементар функцияларды жіктеу, есептеу ...
2.1 Кейбір элементар функцияларды Маклорен формуласына жіктеу ... .
2.2 Элементар функциялардың туындыларын есептеу ...
2.3 Бір айнымалыдан тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеуі.Туынды ұғымы, дифференциалдау ережелері. Күрделі және параметрлік түрде берілген функциялардың туындысы. Кері функциялардың туындысы. Туынды кестесі...
Қорытынды...
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында анықталған болса да, хо = 0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ, егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса, онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда, элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген). Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f ', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер функцияның туындысын табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз."
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында анықталған болса да, хо = 0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ, егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса, онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда, элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген). Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f ', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер функцияның туындысын табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз."
1. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. — Алматы: ҚазҰТУ, 2000.
2. Айдос Е.Ж. Жоғары математика. Алматы «Иль- Тех-Кітап». -2008.
3. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ. Т1, Т2, Т3. Алматы: 2007.
4. Байарыстанов А.О. Жоғары математика есептері мен жаттығулар жинағы. - Астана. 2006.
5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Для вузов.- М.: Наука, 1985.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: для физ. и мех.- мат. спец. вузов.- 10-е изд.- М.: Наука, 1990.
7. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 3 т.- 2-е изд.- М.: Высш. шк., Т. 2-1988.
8. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов.- Изд. 7-е, стереотип.- СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2005.- 240 с.
9. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Бутузова В.Х.- М.: Высш. шк., 1988.
10. Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. для вузов.- М.: Высш. шк., 1999.
11. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов / Н.С. Пискунов.- Изд., стереотип.- М.: Интеграл-Пресс. Т. 2.- 2001.- 544 с.
12. Индивидуальные задания по высшей математике /Сост. З.Б. Кадырханова, Р.О. Апышева, Ж.М. Кадырханова; М-во образования РК ВКГУ.- Усть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ, 1996.- 131 с.
13. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высш. шк. Ч.2.- 1980. 320 с.
14. Аяпбергенов С. Аналитикалық геометрия. - Алматы: Мектеп, 1971.
15. Бүлабаев Т.Б., Матақаева Ғ.С. Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері. - Алматы: Білім, 1995.
2. Айдос Е.Ж. Жоғары математика. Алматы «Иль- Тех-Кітап». -2008.
3. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ. Т1, Т2, Т3. Алматы: 2007.
4. Байарыстанов А.О. Жоғары математика есептері мен жаттығулар жинағы. - Астана. 2006.
5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Для вузов.- М.: Наука, 1985.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: для физ. и мех.- мат. спец. вузов.- 10-е изд.- М.: Наука, 1990.
7. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 3 т.- 2-е изд.- М.: Высш. шк., Т. 2-1988.
8. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов.- Изд. 7-е, стереотип.- СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2005.- 240 с.
9. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Бутузова В.Х.- М.: Высш. шк., 1988.
10. Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. для вузов.- М.: Высш. шк., 1999.
11. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов / Н.С. Пискунов.- Изд., стереотип.- М.: Интеграл-Пресс. Т. 2.- 2001.- 544 с.
12. Индивидуальные задания по высшей математике /Сост. З.Б. Кадырханова, Р.О. Апышева, Ж.М. Кадырханова; М-во образования РК ВКГУ.- Усть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ, 1996.- 131 с.
13. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высш. шк. Ч.2.- 1980. 320 с.
14. Аяпбергенов С. Аналитикалық геометрия. - Алматы: Мектеп, 1971.
15. Бүлабаев Т.Б., Матақаева Ғ.С. Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері. - Алматы: Білім, 1995.
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Элементар функцияларды дифференциалдау
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 4
1 Элементар функцияларды 4
дифференциалдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9
1.1 Негізгі элементар функциялардың 14
туындылары ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
1.2 Элементар функциялардың туындылары 17
туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
1.3 Жоғарғы ретті 20
туындылар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
... ... ...
1.4 Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті туындылары ...
1.5 Лейбниц
формуласы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
... ... ... ... ... . 32
2 Элементар функцияларды жіктеу, 33
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.1 Кейбір элементар функцияларды Маклорен формуласына жіктеу ... .
2.2 Элементар функциялардың туындыларын
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Бір айнымалыдан тәуелді функциялардың дифференциалдық
есептеуі.Туынды ұғымы, дифференциалдау ережелері. Күрделі және
параметрлік түрде берілген функциялардың туындысы. Кері
функциялардың туындысы. Туынды
кестесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы
да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында
анықталған болса да, хо = 0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ,
егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса,
онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда,
элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі
екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың
туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген).
Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының
қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан
құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f
', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының
нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі
тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер функцияның туындысын
табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар
функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз."
Курстық жұмыстың мақсаты: элементар функцияларды дифференциалдауын
зерттеу.
Міндеттері:
- элементар функцияларды дифференциалдау, негізгі элементар
функциялардың туындыларын қарастыру және элементар функциялардың туындылары
туралы қарастыру;
- жоғарғы ретті туындыларды және негізгі элементар функцияларының
жоғарғы ретті туындыларын зерттеу;
- Лейбниц формуласын қарастырып өту;
- элементар функцияларды жіктеу, есептеу, кейбір элементар
функцияларды Маклорен формуласына жіктеу және элементар функциялардың
туындыларын есептеу;
- бір айнымалыдан тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеуі,
туынды ұғымы, дифференциалдау ережелері, күрделі және параметрлік түрде
берілген функциялардың туындысы, кері функциялардың туындысы, және туынды
кестесін қарастырып өту.
1 Элементар функцияларды дифференциалдау
1.1 Негізгі элементар функциялардың туындылары
1°. Тұрақты функцияның туындысы. Егер f тұрақты функция болса, яғни
әрбір х үшін f (х) =с (с — нақты сан) теңдігі орындалса, онда f '(хо)=0
болады.
Расында да, әрбір х үшін
демек,
2°. Дәрежелік функцияның туындысы. — нақты caн) болсын. Бұл
функцияның анықталу жиыны µ-ға тәуелді (2 (III тарау, § 1)-пунктті
қараңыз). х≠0 саны сол жиынна болсын.
Онда
болады, демек, 2 (III т. § 8)-пункттегі дәлелденген теңдігі бойынша
( үшін пайдаланылған)
(1)
теңдігіне келеміз. (1) формуласы үшін х = 0 нүктесінде де
орындалады, өйткені
Ал болса, онда f (х) =х болады, демек, барлық х нақты сандары
үшін
(1)-дің бірнеше дербес жағдайларын қарастырайық. Егер болса, онда
Ал болса, онда
Соңында, болсын. Онда
3°. Көрсеткіштік функцияның туындысы. болсын. Онда әрбір х нақты
саны үшін
болады, демек, 2 (III т. § 8)-пункттегі дәлелденген теңдігі
бойынша теңдігіне келеміз. Бұдан а = е болғанда, келесі тамаша
теңдігі шығады (ех функциясының туындысы өзіне тең!).
4°. Логарифмдік функцияның туындысы. болсын. х оң саны
берілсін. Онда
болады, демек, 4 (III тарау, § 4)-пункттегі дәлелденген
теңдігі бойынша ( үшін пайдаланылған)
(2)
теңдігіне келеміз. Егер а = е болса, онда (2)-нің түрі өте үнемді болады:
50. sin х пен cos x функцияларының туындылары. болсып.
Онда
болады, демек, 3 (III т. § 3)-пункттегі дәлелденген теңдігі
(үшін пайдаланылған) және косинустың үзіліссіздігі бойынша
(3)
теңдігі орындалады. Дәл осылай,
(4)
теңдігін де дәлелдеуге болады, бірақ оны біз күрделі функцияның туындысын
табу ережесін қолданып дәлелдейміз:
6°. tg х пен ctg х функцияларының туындылары. Әуелі
болсын. Онда үшін бөлшекті дифференциалдаудың ережесі бойынша
7°. arcsin х функциясының туындысы. функциясын
сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы болып, ол
сегментінде анықталған =arcsin y функциясы болады. Кері
функцияның туындысы туралы теореманы қолданайық. болғандықтан,
функциясы интервалында нольге айналмайды. Сондықтан, arcsin
y функциясының ( — 1, +1) интервалында ақырлы туындысы бар болады. Енді
соның мәнін табайық. үшін . болады, демек, кері
функцияның туындысын табу ережесі мен (3) теңдігі бойынша
; (7)
теңдігі орындалады. Жалпы болады, ал бұл жағдайда
болғандықтан, радикалдың алдында ( + ) таңбасын алу керек:
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, у-тен үйреншікті х айнымалысына
көшсек, онда (7) былай жазылады
және нүктелерінде f -тің туындысы 0-ге тең болғандықтан
-дің оларға сәйкес —1 және 1 нүктелерінде арксинустың сәйкес оң және
сол жақты туындылары бар болып, ақырсыз болады (бұл 9 (§ 1)-пункттегі 3-
ескертуден шығады).
8°. arccos х функциясының туындысы. f(x)=cosx функциясын
сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f -тің кері функциясы бар
болып, ол сегментінде анықталған функциясы болады. 7°-
де айтылғанның бәрін де arccos у үшін де қолдануға болады.
үшін болады, демек, VII және (4) бойынша
(8)
теңдігі орындалады. Жалпы болады, ал бұл жағдайда
болғандықтан, радикалдың алдында ( + ) таңбасын алу керек:
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, у-тен үйреншікті х айнымалысына
көшсек, онда (8) былай жазылады.
Ал — 1 және 1 нүктелерінде арккосинустың сәйкес оң және сол жақты
туындылары бар болып, ақырсыз болады (мұның себептері арксинус
жағдайындағыдай).
9°. arctg х функциясының туындысы. f(x)=tgx функциясын
интервалында қарастырайық. Әрине, онда f –тің кері функциясы бар болып,
ол интервалында анықталған функциясы болады.
болады, демек, VII жонс (5) бойынша
Сөйітіп, әдеттегідей у-тің орнына х-ті қойсақ, онда
теңдігіне келеміз.
10°. arcctgx функциясының туындысы. f (х) = ctg л: функциясы (0, π)
интервалында қарастырайық. Әрине, онда f -тің кері функциясы бар болып,
ол интервалында анықталған функциясы болады. .
үшін болады, демек, VII және (6)
Бойынша
Сөйтіп, соңғы теңдікте у-ті х-ке ауыстырып жазсақ, онда
теңдігіне келеміз.
Енді
Бұдан негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар
функциялар болатыны байқалады.
1.2 Элементар функциялардың туындылары туралы
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы
да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында
анықталған болса да, хо = 0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ,
егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса,
онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда,
элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі
екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элемемтар функциялардың
туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген).
Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының
қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан
құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f
', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының
нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі
тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер функцияның туындысын
табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар
функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз."
Енді сол ережелерді қолдану жөнінде кейбір нұсқаулар жасайық.
1°. Күрделі функцияның туындысын табу туралы. Әуелі негізгі элементар
функциялардың туындылар таблицасын VI ереже бойынша былай жалпылап (өйткені
и(х)=х үшін и'(х) = 1) жазайық:
Әрине, бұндағы әрбір күрделі функция көрсетілген амалдар мағыналы
болатындай шарттарды қанағаттандырады деп ұйғарамыз.
Келтірілген таблицадан мынадай қорытынды жасауға болады: егер f
функциясын сыртқы функциясы негізгі элементар болатындай, яғни 1 —11
түрлеріндегідей, күрделі функция ретінде бейнелеу мүмкін болса, онда f табу
мәселесі и (х) ішкі функциясының туындысын табу мәселесіне келтіріледі.
Әрине, ішкі функцияның туындысын табу үшін осының алдында айтылғанды
қайталауға болады. Бұл тәсіл сырттан ішке дифференциалдау деп аталады.
Айтылғанды мысалдармен толықтырайық.
Сонымен, (10), (11) және (12) бойынша
Күрделі функцияның туындысын тапқанда, оны келтірілген мысалдардағыдай
құраушы функцияларға жіктеудің кажеті жоқ. Жаттығулар арқылы сырттан ішке
қарай бірден дифференциалдауға үйренген жөн.
Енді гиперболалық функциялардың туындыларын табайық.
2°. Гиперболалық функцияларды дифференциалдау.
Егер дәлелденген формулаларды (4—7) формулаларымен салыстырсақ, онда
гиперболалық пен тригопометриялық функцияларда дифференциалдау
формулаларының арасында ұқсастық бар екенін көреміз.
3°. Дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табу. дәрежелі-
көрсеткіштік функцияның туындысын табайық. Мұнда и және v функцияларының х
нүктесінде туындысы бар болып, и функциясы х-тің белгілі бір маңайында оң
деп ұйғарамыз.
f -ті амықтайтын тепе-теңдіктің екі жағын да логарифмдеп, In f (x)=v
(х) -In и (х) тепе-теңдігіне келеміз. Оның екі жағын да дифференциалдайық:
Бұдан екенін ескере отырып, мақсатымыз болатын
(15)
формуласына келеміз.
Мысалдар. 1. (х0) болсын. Онда и(х) = х, болады,
демек, (15) бойынша
(16)
2. болсын. Онда болады, демек, (15) бойынша
функциясын f (х)-тің логарифмдік туындысы деп атайды.
Сөйтіп, логарифмдік туынды арқылы функциясының туындысы (15)
формуласымен берілетінін көрдік.
4°. Жалпы қорытынды. f функциясының х0 нүктесіндегі туындысын
тапқанда, мына екі жағдайдың біреуі міндетті түрде орындалады. 1. х0
нүктесінің белгілі бір 6-маңайында f элементар функция болады, яғни
теңсіздіктерің қанағаттандыратып барлық х сандары үшін
теңдігі орындалатын g элементар функциясы табылады. 2. х0 нүктесінің әрбір
мадайында f ешқандай элементар функцияға тепе-тең болмайды.
Бірінші жағдайда, теңдігінің орындалуы айқын, ал кез келген g
элементар функциясының туындысын табу мәеслесі жоғарыда талқыланған еді.
Екінші жағдайда, туындының анықтамасын тікелей пайдалануға тура
келеді, яғни шегін табу әдісін іздеу керек.
функциясының туындысын табайық.
Алдымен, болсын. Онда -мадайында пен элементар
функциясы тепе-тең, демек,
Ал үшін, оның маңайы болатып әрбір интервалында f функциясы
бір-бірінен өзге (х)≡0 және g (x) =х2 элементар функцияларын
араластыру арқылы құрылған, демек, элементар бола алмайды.
Сондықтан, туындының анықтамасы бойынша шегін табу керек.
болғандықтан, болады.
Сонымен,
Бұл мысалдың бір қызығы, бірінші туынды әрбір нүктеде бар болса
да,-үзіліссіз функция емес. Расында да,функциясы 0 нүктесінде
үзілісті болады, өйткені үшін бірақ .
Бұл екінші түрдегі үзіліс екенін арнайы ескертейік.
1.3 Жоғарғы ретті туындылар
f функцнясы I аралығында дифференциалдансын. Онда
әрбір , санына нақты санын сәйкес қоятын ереже функция болады.
Ол немесе символдарымен белгіленеді. Әрине, f функциясының
нүктесінде туындысы бар болуы туралы сұрақ қоюға болады (келісім
бойынша туынды деген сөзді ақырлы туынды мағынасында түсіну керек
екенін еске саламыз).
Егер f функциясы х0 нүктесінде дифференциалданса, яғни
нақты мәнді шегі бар болса, онда сол шекті f функциясының х0 нүктесіндегі
екінші туындысы деп атайды да, синволымен белгілейді.
Егер f аралығының әрбір нүктесінде f функциясының екінші туындысы бар
болса, онда f функциясы I аралығында екі рет дифференциалданады немесе
екінші ретті туындысы бар дейді.
Индукция бойынша бұл анықтамалар кез келген оң бүтін п жағдайына
таратылады:
f функциясың І символымем белгілеген кейде ыңғайлы болады.
функциясы f функциясының п-ші немесе п ретті туындысы деп аталады да, оны
белгілеу үшін
символдары да қолданылады.
f функциясының х нүктесіндегі п ретті туындысы
символдарының бірімен белгіленеді (оқылуы сәйкес n-ші эф икс, дэ эн икс
бойынша дэ эн эф, дэ эн эф икс).
Кейде бұл символдар функциясының өзін де белгілеу үшін
қолданылады.
Келесі тұжырым өте маңызды болғандықтан, оқырманның назарын ерекше
аударамыз: f функциясының х0 нүктесінде n-ші туындысы бар деген сөйлемді
белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы интервалында анықталып және
(п— 1) рет дифференциалданып, функциясынын, х0 нүктесінде туындысы бар
болады деп түсіну керек.
Расында да, бұл жоғарғы ретті туындының анықтамасының өзінен шығады:
f{n) (x0) нақты саны анықтама бойынша
шегіне тең, ал бұл шек мағыналы болу үшін функциясы х0-дің белгілі
бір δ маңайында анықталуы қажет. индукция бойынша анықталғандықтан,
интервалында ,..., соңында функциялары анықталған.
Бізге осыны көрсету керек еді.
Әрбір оң бүтін п саны үшін 0 нүктесінде n-ші туындысы бар болып, бірақ
(п+ 1)-ші. туындысы болмайтын функция табылады.
Мәселен, п жұп болғанда , п тақ болғанда sgn х функциялары
сондай болады. Расында да, бұл екі жағдайда да ' болады, ал \х\
функциясы 0 нүктесінде дифференциалданбайтыны 6 (§ 1)-пунктінде
дәлелденген еді.
Әрине, f функциясының х0 нүктесінде n-ші оң жақты (сол жақты)
туындысы бар деген сөйлемді белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы
жартылай интервалында анықталып және (п—1) рет
дифференциалданып, функциясының х0 нүктесінде оң жақты (сол жақты)
туындысы бар болады деп түсіну керек.
Мәселен, сегментінде анықталған f функциясының а нүктесінде
тек қана оң жақты, ал 6 нүктесінде тек қана сол жақты жоғарғы туындылары
бар болуы мүмкін.
f аралығында ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Тақырыбы: Элементар функцияларды дифференциалдау
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 4
1 Элементар функцияларды 4
дифференциалдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 9
1.1 Негізгі элементар функциялардың 14
туындылары ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
1.2 Элементар функциялардың туындылары 17
туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
1.3 Жоғарғы ретті 20
туындылар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
... ... ...
1.4 Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті туындылары ...
1.5 Лейбниц
формуласы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
... ... ... ... ... . 32
2 Элементар функцияларды жіктеу, 33
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.1 Кейбір элементар функцияларды Маклорен формуласына жіктеу ... .
2.2 Элементар функциялардың туындыларын
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Бір айнымалыдан тәуелді функциялардың дифференциалдық
есептеуі.Туынды ұғымы, дифференциалдау ережелері. Күрделі және
параметрлік түрде берілген функциялардың туындысы. Кері
функциялардың туындысы. Туынды
кестесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы
да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында
анықталған болса да, хо = 0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ,
егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса,
онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда,
элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі
екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың
туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген).
Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының
қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан
құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f
', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының
нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі
тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер функцияның туындысын
табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар
функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз."
Курстық жұмыстың мақсаты: элементар функцияларды дифференциалдауын
зерттеу.
Міндеттері:
- элементар функцияларды дифференциалдау, негізгі элементар
функциялардың туындыларын қарастыру және элементар функциялардың туындылары
туралы қарастыру;
- жоғарғы ретті туындыларды және негізгі элементар функцияларының
жоғарғы ретті туындыларын зерттеу;
- Лейбниц формуласын қарастырып өту;
- элементар функцияларды жіктеу, есептеу, кейбір элементар
функцияларды Маклорен формуласына жіктеу және элементар функциялардың
туындыларын есептеу;
- бір айнымалыдан тәуелді функциялардың дифференциалдық есептеуі,
туынды ұғымы, дифференциалдау ережелері, күрделі және параметрлік түрде
берілген функциялардың туындысы, кері функциялардың туындысы, және туынды
кестесін қарастырып өту.
1 Элементар функцияларды дифференциалдау
1.1 Негізгі элементар функциялардың туындылары
1°. Тұрақты функцияның туындысы. Егер f тұрақты функция болса, яғни
әрбір х үшін f (х) =с (с — нақты сан) теңдігі орындалса, онда f '(хо)=0
болады.
Расында да, әрбір х үшін
демек,
2°. Дәрежелік функцияның туындысы. — нақты caн) болсын. Бұл
функцияның анықталу жиыны µ-ға тәуелді (2 (III тарау, § 1)-пунктті
қараңыз). х≠0 саны сол жиынна болсын.
Онда
болады, демек, 2 (III т. § 8)-пункттегі дәлелденген теңдігі бойынша
( үшін пайдаланылған)
(1)
теңдігіне келеміз. (1) формуласы үшін х = 0 нүктесінде де
орындалады, өйткені
Ал болса, онда f (х) =х болады, демек, барлық х нақты сандары
үшін
(1)-дің бірнеше дербес жағдайларын қарастырайық. Егер болса, онда
Ал болса, онда
Соңында, болсын. Онда
3°. Көрсеткіштік функцияның туындысы. болсын. Онда әрбір х нақты
саны үшін
болады, демек, 2 (III т. § 8)-пункттегі дәлелденген теңдігі
бойынша теңдігіне келеміз. Бұдан а = е болғанда, келесі тамаша
теңдігі шығады (ех функциясының туындысы өзіне тең!).
4°. Логарифмдік функцияның туындысы. болсын. х оң саны
берілсін. Онда
болады, демек, 4 (III тарау, § 4)-пункттегі дәлелденген
теңдігі бойынша ( үшін пайдаланылған)
(2)
теңдігіне келеміз. Егер а = е болса, онда (2)-нің түрі өте үнемді болады:
50. sin х пен cos x функцияларының туындылары. болсып.
Онда
болады, демек, 3 (III т. § 3)-пункттегі дәлелденген теңдігі
(үшін пайдаланылған) және косинустың үзіліссіздігі бойынша
(3)
теңдігі орындалады. Дәл осылай,
(4)
теңдігін де дәлелдеуге болады, бірақ оны біз күрделі функцияның туындысын
табу ережесін қолданып дәлелдейміз:
6°. tg х пен ctg х функцияларының туындылары. Әуелі
болсын. Онда үшін бөлшекті дифференциалдаудың ережесі бойынша
7°. arcsin х функциясының туындысы. функциясын
сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы болып, ол
сегментінде анықталған =arcsin y функциясы болады. Кері
функцияның туындысы туралы теореманы қолданайық. болғандықтан,
функциясы интервалында нольге айналмайды. Сондықтан, arcsin
y функциясының ( — 1, +1) интервалында ақырлы туындысы бар болады. Енді
соның мәнін табайық. үшін . болады, демек, кері
функцияның туындысын табу ережесі мен (3) теңдігі бойынша
; (7)
теңдігі орындалады. Жалпы болады, ал бұл жағдайда
болғандықтан, радикалдың алдында ( + ) таңбасын алу керек:
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, у-тен үйреншікті х айнымалысына
көшсек, онда (7) былай жазылады
және нүктелерінде f -тің туындысы 0-ге тең болғандықтан
-дің оларға сәйкес —1 және 1 нүктелерінде арксинустың сәйкес оң және
сол жақты туындылары бар болып, ақырсыз болады (бұл 9 (§ 1)-пункттегі 3-
ескертуден шығады).
8°. arccos х функциясының туындысы. f(x)=cosx функциясын
сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f -тің кері функциясы бар
болып, ол сегментінде анықталған функциясы болады. 7°-
де айтылғанның бәрін де arccos у үшін де қолдануға болады.
үшін болады, демек, VII және (4) бойынша
(8)
теңдігі орындалады. Жалпы болады, ал бұл жағдайда
болғандықтан, радикалдың алдында ( + ) таңбасын алу керек:
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, у-тен үйреншікті х айнымалысына
көшсек, онда (8) былай жазылады.
Ал — 1 және 1 нүктелерінде арккосинустың сәйкес оң және сол жақты
туындылары бар болып, ақырсыз болады (мұның себептері арксинус
жағдайындағыдай).
9°. arctg х функциясының туындысы. f(x)=tgx функциясын
интервалында қарастырайық. Әрине, онда f –тің кері функциясы бар болып,
ол интервалында анықталған функциясы болады.
болады, демек, VII жонс (5) бойынша
Сөйітіп, әдеттегідей у-тің орнына х-ті қойсақ, онда
теңдігіне келеміз.
10°. arcctgx функциясының туындысы. f (х) = ctg л: функциясы (0, π)
интервалында қарастырайық. Әрине, онда f -тің кері функциясы бар болып,
ол интервалында анықталған функциясы болады. .
үшін болады, демек, VII және (6)
Бойынша
Сөйтіп, соңғы теңдікте у-ті х-ке ауыстырып жазсақ, онда
теңдігіне келеміз.
Енді
Бұдан негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар
функциялар болатыны байқалады.
1.2 Элементар функциялардың туындылары туралы
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы
да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында
анықталған болса да, хо = 0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ,
егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса,
онда f ' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда,
элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі
екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элемемтар функциялардың
туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген).
Екіншіден, егер ер функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының
қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан
құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f
', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының
нәтижесі болады (ол I—VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі
тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементер функцияның туындысын
табу үшін I—VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар
функциялардың туындыларының 1 —11 формулалары жеткілікті екенін көреміз."
Енді сол ережелерді қолдану жөнінде кейбір нұсқаулар жасайық.
1°. Күрделі функцияның туындысын табу туралы. Әуелі негізгі элементар
функциялардың туындылар таблицасын VI ереже бойынша былай жалпылап (өйткені
и(х)=х үшін и'(х) = 1) жазайық:
Әрине, бұндағы әрбір күрделі функция көрсетілген амалдар мағыналы
болатындай шарттарды қанағаттандырады деп ұйғарамыз.
Келтірілген таблицадан мынадай қорытынды жасауға болады: егер f
функциясын сыртқы функциясы негізгі элементар болатындай, яғни 1 —11
түрлеріндегідей, күрделі функция ретінде бейнелеу мүмкін болса, онда f табу
мәселесі и (х) ішкі функциясының туындысын табу мәселесіне келтіріледі.
Әрине, ішкі функцияның туындысын табу үшін осының алдында айтылғанды
қайталауға болады. Бұл тәсіл сырттан ішке дифференциалдау деп аталады.
Айтылғанды мысалдармен толықтырайық.
Сонымен, (10), (11) және (12) бойынша
Күрделі функцияның туындысын тапқанда, оны келтірілген мысалдардағыдай
құраушы функцияларға жіктеудің кажеті жоқ. Жаттығулар арқылы сырттан ішке
қарай бірден дифференциалдауға үйренген жөн.
Енді гиперболалық функциялардың туындыларын табайық.
2°. Гиперболалық функцияларды дифференциалдау.
Егер дәлелденген формулаларды (4—7) формулаларымен салыстырсақ, онда
гиперболалық пен тригопометриялық функцияларда дифференциалдау
формулаларының арасында ұқсастық бар екенін көреміз.
3°. Дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табу. дәрежелі-
көрсеткіштік функцияның туындысын табайық. Мұнда и және v функцияларының х
нүктесінде туындысы бар болып, и функциясы х-тің белгілі бір маңайында оң
деп ұйғарамыз.
f -ті амықтайтын тепе-теңдіктің екі жағын да логарифмдеп, In f (x)=v
(х) -In и (х) тепе-теңдігіне келеміз. Оның екі жағын да дифференциалдайық:
Бұдан екенін ескере отырып, мақсатымыз болатын
(15)
формуласына келеміз.
Мысалдар. 1. (х0) болсын. Онда и(х) = х, болады,
демек, (15) бойынша
(16)
2. болсын. Онда болады, демек, (15) бойынша
функциясын f (х)-тің логарифмдік туындысы деп атайды.
Сөйтіп, логарифмдік туынды арқылы функциясының туындысы (15)
формуласымен берілетінін көрдік.
4°. Жалпы қорытынды. f функциясының х0 нүктесіндегі туындысын
тапқанда, мына екі жағдайдың біреуі міндетті түрде орындалады. 1. х0
нүктесінің белгілі бір 6-маңайында f элементар функция болады, яғни
теңсіздіктерің қанағаттандыратып барлық х сандары үшін
теңдігі орындалатын g элементар функциясы табылады. 2. х0 нүктесінің әрбір
мадайында f ешқандай элементар функцияға тепе-тең болмайды.
Бірінші жағдайда, теңдігінің орындалуы айқын, ал кез келген g
элементар функциясының туындысын табу мәеслесі жоғарыда талқыланған еді.
Екінші жағдайда, туындының анықтамасын тікелей пайдалануға тура
келеді, яғни шегін табу әдісін іздеу керек.
функциясының туындысын табайық.
Алдымен, болсын. Онда -мадайында пен элементар
функциясы тепе-тең, демек,
Ал үшін, оның маңайы болатып әрбір интервалында f функциясы
бір-бірінен өзге (х)≡0 және g (x) =х2 элементар функцияларын
араластыру арқылы құрылған, демек, элементар бола алмайды.
Сондықтан, туындының анықтамасы бойынша шегін табу керек.
болғандықтан, болады.
Сонымен,
Бұл мысалдың бір қызығы, бірінші туынды әрбір нүктеде бар болса
да,-үзіліссіз функция емес. Расында да,функциясы 0 нүктесінде
үзілісті болады, өйткені үшін бірақ .
Бұл екінші түрдегі үзіліс екенін арнайы ескертейік.
1.3 Жоғарғы ретті туындылар
f функцнясы I аралығында дифференциалдансын. Онда
әрбір , санына нақты санын сәйкес қоятын ереже функция болады.
Ол немесе символдарымен белгіленеді. Әрине, f функциясының
нүктесінде туындысы бар болуы туралы сұрақ қоюға болады (келісім
бойынша туынды деген сөзді ақырлы туынды мағынасында түсіну керек
екенін еске саламыз).
Егер f функциясы х0 нүктесінде дифференциалданса, яғни
нақты мәнді шегі бар болса, онда сол шекті f функциясының х0 нүктесіндегі
екінші туындысы деп атайды да, синволымен белгілейді.
Егер f аралығының әрбір нүктесінде f функциясының екінші туындысы бар
болса, онда f функциясы I аралығында екі рет дифференциалданады немесе
екінші ретті туындысы бар дейді.
Индукция бойынша бұл анықтамалар кез келген оң бүтін п жағдайына
таратылады:
f функциясың І символымем белгілеген кейде ыңғайлы болады.
функциясы f функциясының п-ші немесе п ретті туындысы деп аталады да, оны
белгілеу үшін
символдары да қолданылады.
f функциясының х нүктесіндегі п ретті туындысы
символдарының бірімен белгіленеді (оқылуы сәйкес n-ші эф икс, дэ эн икс
бойынша дэ эн эф, дэ эн эф икс).
Кейде бұл символдар функциясының өзін де белгілеу үшін
қолданылады.
Келесі тұжырым өте маңызды болғандықтан, оқырманның назарын ерекше
аударамыз: f функциясының х0 нүктесінде n-ші туындысы бар деген сөйлемді
белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы интервалында анықталып және
(п— 1) рет дифференциалданып, функциясынын, х0 нүктесінде туындысы бар
болады деп түсіну керек.
Расында да, бұл жоғарғы ретті туындының анықтамасының өзінен шығады:
f{n) (x0) нақты саны анықтама бойынша
шегіне тең, ал бұл шек мағыналы болу үшін функциясы х0-дің белгілі
бір δ маңайында анықталуы қажет. индукция бойынша анықталғандықтан,
интервалында ,..., соңында функциялары анықталған.
Бізге осыны көрсету керек еді.
Әрбір оң бүтін п саны үшін 0 нүктесінде n-ші туындысы бар болып, бірақ
(п+ 1)-ші. туындысы болмайтын функция табылады.
Мәселен, п жұп болғанда , п тақ болғанда sgn х функциялары
сондай болады. Расында да, бұл екі жағдайда да ' болады, ал \х\
функциясы 0 нүктесінде дифференциалданбайтыны 6 (§ 1)-пунктінде
дәлелденген еді.
Әрине, f функциясының х0 нүктесінде n-ші оң жақты (сол жақты)
туындысы бар деген сөйлемді белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы
жартылай интервалында анықталып және (п—1) рет
дифференциалданып, функциясының х0 нүктесінде оң жақты (сол жақты)
туындысы бар болады деп түсіну керек.
Мәселен, сегментінде анықталған f функциясының а нүктесінде
тек қана оң жақты, ал 6 нүктесінде тек қана сол жақты жоғарғы туындылары
бар болуы мүмкін.
f аралығында ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz