Скалярлық аргументтің векторлық функциясы, бағыт бойынша туынды және градиент

Тақырыбы: Скалярлық аргументтің векторлық функциясы. Бағыт бойынша туынды. Градиент

Орындаған: Адахамов Бекзад

Жұмыстың тақырыбы:

1. Скалярлық аргументтің векторлық функциясы. Бағыт бойынша туынды. Градиент
2. Жұмыстың аяқталу уақыты:
3. Жұмысқа керек материалдар:
4. Жұмыстың мазмұны:
5. Кестелік және графикалық материалдардың тізімі:
6. Әдебиеттер тізімі:
7. Тапсырманың берілу уақыты:
8. Курстық жұмыстың жетекшісі:

(оқытушының аты - жөні, тобы, қолы)

9. Тапсырманы алған студент: Ордабеков. Х. А

(студенттің аты - жөні, тобы, қолы)

Мазмұны

Кіріспе

Негізгі бөлім

1. Скалярлық аргументтің векторлық функциясы.

2. Бағыт бойынша туынды

3. Функцияның градиенті

4. Скаляр өрісінің градиенті және оның қасиеттері

5. Бағыт бойынша туындыға, градиентке қатысты есептер

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

Туынды - дифференциалдық есептеулердің х аргументі өзгерген кездегі f(x) функциясының өзгеру жылдамдығымен сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген х үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция Туынды деп аталады және y΄, f΄(x), түрінде белгіленеді. Туындысы бар функция үзіліссіз. Берілген аралықтың барлық нүктелерінде Туындысы болмайтын үзіліссіз функциялар да болады. “ Туынды” терминін (1797) және оның белгіленулерін (1770, 1779) Ж. Лагранж, ал түрінде жазылуын Г. Лейбниц енгізген (1675) . х0 нүктесі тығыздық нүктесі болып табылатын жиынның нүктелері арқылы х→х0 ұмтылған кездегі қатынасының шегі асимптоталық туынды деп аталады

Скалярлық аргументтің векторлық функциясы.

Анықтама. $t \in T \in R$ санының әрбіреуіне қандай да бір ереже бойынша векторы сәйкесінше бейнеленсе, онда оны скалярлық аргументінің вектор-функциясы деп атайды. Оны былай белгілейді: r = r(t) Tжиыны r(t) функциясының анықталу облысы деп аталады. T ретінде қандай да $\lbrack a, b\rbrack$ кесінідісін немесе сандық осьтердегі (a, b) интервалын алуға болады. T санын параметр деп атайды.

Кез келген тұрақты вектор сияқты скаляр аргумент $(a, b)$ ның вектор-функциясын кезкелген тұрақты бойынша i, j, k базистері бойынша жіктеуге болады. $r = r(t) = x(t) i +$ y(t) j+z(t) k (1) r = r(t) вектор -функциясының x, y, z координаттары осы базисте x(t), y(t), z(t) функциялары болады, және анықталу облысы T-мен сәйкес болады. Сондықтан, үш скалярлық теңдік орын алады: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (2)

Егер r векторын $t \in T$ кез келген мәндері үшін О нүктесінің біреуінен алып тастаса, онда оның M(t) ұшын кеңістікте кескіндеуге болады, , яғни жалпы айтқанда r = r(t) вектор- функциясының годографы деп аталатын сызықты айтады. О нүктесі годограф полюсі деп аталады. (1) теңдік годографтың векторлық-параметрлік теңдеуі болады, ал (2) теңдік оның параметрлік теңдеуі деп аталады. Бірнеше мысалдар келтірейік.

1. r=r(t) =r0+st, r0−радиус−вектор, s−кезкелгенвекторr = r(t) = \ r_{0} + st, \ r_{0} - радиус - \ вектор, \ s - кез\ келген\ вектор\
2. , вектор-параметрлік теңдеуімен берілген годографбағыттаушы векторы барМ0М_{0}нүктесі арқылы өтетін кеңістіктегі түзу болып табылады.
3. x=acost, y=asint, z=bt, (t∈(−∞+∞), a, b) x = acost, \ y = asint, \ z = bt, \ (t \in ( - \infty + \infty), \ a, b) тұрақты параметрлік теңдеуімен берілген годографырадиусы жәнеосімен берілген дөңес цилиндрде орналасқан винт сызығы болады. Егеруақыт, ал x=x(t), y=y(t), z=z(t) ұзындық болып табылса, онда (1), (2) теңдіктер векторлық- параметрлік және қозғалыс нүктесінің параметрлік теңдеуі болады. Ал оларға сәйкес болатын годограф қозғалыс траекториясы болады.
4. Егерlimt→t0x(t) =x0lim⁡t→t0y(t) =y0lim⁡t→t0z(t) =z0\underset{t \rightarrow t_{0}}{\ \lim}{x(t) } = x_{0}\lim_{t \rightarrow t_{0}}{y(t) } = y_{0}\lim_{t \rightarrow t_{0}}{z(t) } = z_{0}

онда $r_{0} = x_{0}i + \ y_{0}j + z_{0}k$ векторы $t = t_{0}$ нүктесінде r(t) вектор-функциясының шегі деп аталады. Бұл жағдайда былай жазуға болады: $\lim_{t \rightarrow t_{0}}{r(t) = {r(t}_{0}) }$

Егер $\lim_{t \rightarrow t_{0}}{r(t) = {r(t}_{0}) }$ болса, онда r(t) вектор функциясы $t = t_{0}$ нүктесінде үздіксіз болады. Егер $\mathrm{\Delta}t \neq 0$ параметрдің кез келген өсімшесі болса,

$\mathrm{\Delta}r(t) = r(t + \mathrm{\Delta}t) - r(t), \ \ r(t)$ вектор функциясының өсімшесі деп аталады. Егер $\lim_{\mathrm{\Delta}t \rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}r(t) }{\mathrm{\Delta}t} = \lim_{\mathrm{\Delta}t \rightarrow 0}\frac{r(t + \mathrm{\Delta}t) - r(t) }{\mathrm{\Delta}t}$

шегі бар болса, онда ол r(t) вектор функциясының нүктесіндегі туындысы деп аталады, және былай белгіленеді: . r(t), немесе r(t), dr(t) / d(t)

$r$ ′(t) векторы r(t) функциясының годографының жанамасы бойынша бағытталады және параметрінің өсуі бойынша болады. Механикалық тұрғыдан айтқанда, $r$ ′(t) нүктенің траектория бойынша қозғалысының лездік жылдамдығының векторы болып табылады. Сонымен қатар M(t) нүктесінде t мезетіндегі $r = r(t)$ функциясының годографы болып есептеледі. Суретті қара. x′(t), y′(t), z′(t)

Егер x′(t), y′(t), z′(t) туындылары бар болса, онда $r$ ′(t) болады, және

$r'(t) = x'(t) i + y'(t) j + z'(t) k$ (3)

(3) теңдеумен анықталатын $r'(t)$ векторы $M_{0}(t_{0})$ нүктесінде қисыққа жүргізілген жанама бойынша бағытталған болса, онда осы қисыққа жүргізілген $M_{0}$ нүктесіндегі жанама теңдеуі былай өрнектеледі:

$$\frac{x - x(t_{0}) }{x'(t_{0}) } = \frac{y - y(t_{0}) }{y'(t_{0}) } = \frac{z - z(t_{0}) }{Z'(t_{0}) }$$ (4)

$M_{0}(t_{0})$ жанама нүктесі арқылы өтетін және осы жанамаға перпендикуляр болатын жазықтық осы нүктедегі қисыққа жүргізілген нормаль жазықтық деп аталады, оның теңдеуі былай өрнектеледі

$x'\left( t_{0} \right) \left( x - x\left( t_{0} \right) \right) + y'\left( t_{0} \right) \left( y - y\left( t_{0} \right) \right) + z'\left( t_{0} \right) \left( z - z\left( t_{0} \right) \right) = 0$ (5)

Скаляр аргументтің векторлық функциясы үшін келесі дифференциалдау ережесі дұрыс болады:

1) $\left( r_{1}(t) + r_{2}(t) \right) ' = r_{1}'(t) + r_{'2}(t)$

2) $\left( Cr(t) \right) ' = Cr'(t), \ C - const$

3) $\left( r_{1}(t) \bullet r_{2}(t) \right) ' = r_{1}'(t) \bullet r_{2}(t) + r_{1}(t) \bullet r_{2}'(t)$

2. Бағыт бойынша туынды

Бағыты бойынша туындының түсініктемесіне келсек, онда мынаны анықтауға болады: кеңістіктегі бағытты бірлік вектор $s^{0} = (cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)$ (мұндағы $\alpha, \beta, \gamma, - s^{0}$ - векторы мен Ox, Oy, Oz осьтері арасындағы бұрыш) бойынша анықтауға болады. Егер $M_{0}(x_{0}y_{0}z_{0})$ нүктесінің қандай да бір аймағында анықталған u=f(x, y, z) функциясы берілсе және радиус -вектор $r_{0}{= (x}_{0}, y_{0}{, z}_{0}) \$ болса, $\ \lim_{t \rightarrow 0}\frac{f\left( r_{0} + s^{0}t \right) - f(r_{0}) }{t}$ бар болса, u=f(x, y, z) онда функциясының $M_{0}(x_{0}y_{0}z_{0})$ нүктесіндегі $s^{0}$ векторының бағыты бойынша туындысы деп аталады, және былай белгіленеді:, $\frac{\partial u(M_{0}) }{\partial s}$ яғни анықтамасы бойынша $\frac{\partial u(M_{0}) }{\partial s} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{f\left( r_{0} + s^{0}t \right) - f(r_{0}) }{t}$

Келесі формула орынды.

$\frac{\partial u(M_{0}) }{\partial s} = \frac{\partial u(M_{0}) }{\partial x}cos\alpha + \frac{\partial u(M_{0}) }{\partial y}cos\beta + \frac{\partial u(M_{0}) }{\partial z}cos\gamma$ (6)

Екі айнымалы функция үшін z=f(x, y) (6) формула қысқартылып, былай жазылады: $\frac{\partial u\left( M_{0} \right) }{\partial s} = \frac{\partial u\left( M_{0} \right) }{\partial x}cos\alpha + \frac{\partial u\left( M_{0} \right) }{\partial y}cos\beta$ , мұндағы

$s^{0} = (cos\alpha, cos\beta) ; \ \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ (7) u=f(x, y, z) функциясының дербес туындылары координат осьтерінің бағыты бойынша осы функциялардың дербес туындылары болып табылады. Физикалық тұрғыдан қарағанда, $\frac{\partial u}{\partial s}$ -ті берілген бағыттағы берілген нүкте бойынша функцияның өзгеру жылдамдығы деп қарастыруға болады.

Ескерту . Бағыт бойынша туынды түсінігі $\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial U}{\partial z}$ дербес туындылар түсінігінің жалпылама түсінігі болып табылады. Олардың ОХ, ОУ, ОZ кординаталық өстердің бағыты бойынша Uфункциясының туындысы ретінде қарастыруға болады. Егер $\lambda$ бағыты ОХ өсінің бағытымен сәйкес келсе, онда екінші формулада $\alpha = 0, \beta = \frac{\pi}{2}, \ \gamma = \frac{\pi}{2}$ қойып $\frac{dU}{d\lambda} = \frac{dU}{dx}$ , аламыз.

Градиент

L қисығы бойымен жүргізілген қисықтың туындысын осы жанама нүктесінде есептелінген, L қисығына жүргізілген жанама бойымен бағытталған туындыны атайды. u=f(x, y, z) кез келген дифференциалданған функцияға M нүктесінде функция градиенті деп аталатын $\frac{\partial u(M) }{\partial x}\frac{\partial u(M) }{\partial y}\frac{\partial u(M) }{\partial z}$

координаталарымен берілген вектор сәйкес келеді. Ол вектор M нүктесіндегі функция градиенті деп аталады және былай белгіленеді: gradu . Сонымен, анықтама бойынша $gradu = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial u}{\partial x}i + \frac{\partial u}{\partial y}j + \frac{\partial u}{\partial z}k$ (8)

Егер $s^{0} = (cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)$ онда (6), (8) формулалардан мынаны аламыз: $\ \frac{\partial u(M) }{\partial s} = gradu, \ s^{0} = np, \ gradu(M)$

Бағыт бойынша туынды мен u=f(x, y, z) функцияның градиенті арасындағы байланыстан мынаны байқаймыз: яғни,

1) u функциясының градиенті оның максимал мәндерінің өсуі бойынша бағытталады, яғни $\frac{\partial u}{\partial s}$ немесе $\frac{\partial z}{\partial s}$ градиент бағыты бойынша ең үлкен мәнге ие болады.

2) егер $s^{0}\$ бірлік векторы gradu немесе gradz перпендикуляр болса, онда

$\frac{\partial u}{\partial s} = 0$ немесе $\frac{\partial z}{\partial s} = 0$

3) grad(M ) векторы сызықтың M нүктесінде нормаль бағытына ие болады, (

Градиент функциясының қасиеттері.

1. Градиент берілген нүкте арқылы өтетін деңгей жазықтығына нормаль бойынша бағытталған.

Дәлелдеу.

Шынында әр бір бағыт бойынша деңгей жазықтығы

бойымен U=C немесе $\frac{dU}{d\lambda}$ =0 онда $cos\varphi = 0, \ \ \varphi = \pi/2\$ ,

2. grad(U+V) = gradU+ gradV

3. gradCU=CgradU C=const

4. gradUV=U gradV+ VgradU

5. grad $\frac{U}{V} = \frac{VgradU - UgradV}{V^{2}}$

6. grad f(U) = $\frac{df}{dU}gradU$

Бұл қасиеттер градиент анықтамасы негізінде дәлелденді.

Ескерту.

Келтірілген градиент қасиеттері жазық өріс үшін де дұрыс болып қалады

Скаляр өрісінің градиенті және оның қасиеттері .
$\frac{dU}{d\lambda}$ туындысы неғұрлым үлкен мәнге ие болатын бағыт скаляр өрісінің градиенті деп аталады векторды көрсетеді.

Координаталары М(х, у, z) нүктесінде U(x, y, z) функциясының дербес туындыларының мәні болып табылатын вектор функциясын градиенті деп ататлады және gradU деп белгіленеді.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс