МУЛЬТИФРАКТАЛДЫҚ ТАЛДАУ

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

МУЛЬТИФРАКТАЛДЫҚ ТАЛДАУ

2.1. Негізгі түсініктер

Фрактал деп өз-өзіне ұқсас қасиеті бар қисық формаға ие сызықтар, беттерді айтады. Фрактал сөзі латынның "fractus" сөзінен шыққан. Фракталдың өз-өзіне ұқсастық қасиеті фракталдың ең негізгі қыры болып табылады. Егер, үлкейтіп көретін болсақ, фракталдың кішкене фрагменттерінің үлкеніне ұқсайтынын көреміз [2,3].
Айталық, тура өз-өзіне ұқсастық қасиеті тек регулярлы фракталдарға ғана тиесілді. Егер детерминді құрылу әдісінің алгоритміне бір кездейсоқтық элементін қосатын болсақ, онда біз кездейсоқ фрактал аламыз. Олардың регулярлы фракталдардан негізгі айырмашылығы мынада. Өз-өзіне ұқсастық қасиеті тек объектінің статикалық тәуелсіз байқалуларының орташалануынан кейін болады.
Мультифракталды сипаттау үшін бір ғана емес, көп фракталдық өлшемділіктер жиыны керек. Табиғи фракталдар-дың көбі, негізінде, мультифракталдар. Қысқаша айтқанда, мультифрактал ол - біртекті емес фрактал болып табылады.
Жоғарыда айтқандай, регулярлық фракталдарға қарағанда бір ғана фракталдық өлшемділік D ғана емес, шексіз осындай фракталдық өлшемділіктер жиынымен ғана түсіндіруге болады. Осындай фракталдар статикалық қасиеттерге де ие болады.

Фракталдық өлшемділік
Ол L өлшемді Евклид кеңістігінде өлшемділігі d (d = 1 - сызық, d = 2 - жазықтық,d=3 - үшөлшемді кеңістік) белгілі бір шектік аумағын қамтитын фракталдық объектіні қарастырайық. Оның құрылу барысының белгілі бір кезеңінде ол N1 нүктелерден құралған жиынды берсін. Біз соңында N болады деп болжам жасаймыз. L ауданының көлемі d және жағы бар кубтық ұяшықтарға бөлеміз. азайған сайын ауданды қамтитын N(), ұяшықтар саны дәрежелік заң бойынша өзгереді.
(2.1)
D дегеніміз хаусдорф немесе фракталдық өлшемділік деп аталады. (2.1) - ді логарифмдеп және нөлге ұмтылса, оны былай жазамыз

(2.2)

D - шамасы қарастырып отырған объектінің локалдық сипаттамасы болып табылады [3].
Евклид кеңістігіндегі L өлшемді фракталдық объектіні қарастырамыз. Біз енді тек аз дегенде бір нүкте болатын бос емес ұяшықтарды қараймыз. Бос емес i ұяшықтар санының нөмірі i = 1, 2,... N() арасында өзгерсін. Мұндағы, N()- ұяшық нөмірінің өлшеміне тәуелді бос емес ұяшықтардың саны. Егер ұяшықтар бойынша нүктелер үлестірілуі бірдей болмаса, ондай фракталды біртексіз фрактал дейміз. Мультифракталды сипаттау үшін Dq жалпыланған фракталдық өлшемділіктерді еңгіземіз.
Егер ni() i нөміріне сәйкес ұяшықтағы нүктелер мөлшері болса, онда

(2.3)
pi() - жиыннан кездейсоқ таңдап алынған нүктенің i ұяшығында болу ықтималдылығы. Кеңейтілген фракталдық өлшемділіктер спектрі Dq келесі қатынаспен анықталады

(2.4)
мұндағы q - q + интервалында кез-келген мән қабылдайды, сонда мына түрде жазылады

(2.5)
мұндағы - кеңейтілген статикалық сумма:

. (2.6)
Егер Dq = D = const болса, яғни q дан тәуелді болмаса, онда мұндай нүктелер жиынын бір ғана D фракталдық өлшемділігі бар қарапайым, регулярлы фрактал деп атаймыз. Керісінше, егер Dq функциясы q бойынша өзгеретін болса, оны мультифрактал дейміз. кезде кеңейтілген статикалық суммаға (2.6) тек ең көп бөлшектері бар ұяшықтар саны басты үлес қосады. Оның толтырылу ықтималдылығы pi болып табылады. Осыған орай Dq функциясы L жиынындағы нүктелер санының біртексіздігін көрсетеді.
Жалпы жағдайда, мультифрактал бейсызық (2.5) функциямен анықталады. Ол 0 статикалық сумманы сипаттайды. Бірақ нүктелердің үлестірілуін тек ғана емес, оның туындысы керек

(2.7)
бұл туынды q мен бірге өзгереді.
q = 1 кезінде фракталдық өлшемділік мынаған тең
. (2.8)

Бұл формуланың алымы фракталдық жиын энтропиясы болып табылады. Соңында, кеңейтілген фракталдық өлшемділік D1 энтропиямен S() мына қатынаспен сипатталады

. (2.9)

Мультифракталдық спектр функциясы
Жалпы түсінік бойынша Dq шамалары, қатаң айтқанда, фракталдық өлшемділіктер емес. Сондықтан солармен бірге мультифракталдық жиынды сипаттау үшін мультифракталдық спектр функциясын f() қолданамыз. Оны мультифрактал сингулярлығының спектрі деп те атайды. Біз осы f() шамасын белгілі бір жалпы жиынның біртекті фракталдық L жиыншасының хаусдорфтық өлшемділігіне тең екенін көреміз. Ол q шамасын беру арқылы бүкіл статикалық суммаға үлкен үлесін қосады.
Өз-өзіне ұқсас жиындар үшін рi - ұяшық өлшеміне тәуелділігі дәрежелік мәнге ие болады:

(2.10)

мұндағы i - дәреже көрсеткіші (i- әр түрлі ұяшық үшін әрқалай). Біртекті фрактал үшін i дәреже көрсеткіштері бірдей және D фракталдық өлшемділігіне тең.
(2.11)
Бұл жағдайда статикалық сумма:

(2.12)
Сондықтан, бұл жағдайда, және барлық Dq=D фракталдық өлшемділіктеріне сәйкес келеді және q-дан тәуелді болмайды. Бірақ күрделі объект, яғни, мультифрактал үшін ол олай болмайды. Оның біртексіздігін ескере отырып, рi ұяшықтарының толтырылу ықтималдылығы бірдей емес және i әр ұяшық үшін дәреже көрсеткіші әр мәнді беретін болады. Кейін біз бұл мәндердің бір жабық интервалды толтыратындығына көз жеткіземіз (min, max), демек

. (2.13)

Осы мәндерінен (q) функциясының туындысы арасындағы байланысты көреміз. Дәлірек айтқанда, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.