МУЛЬТИФРАКТАЛДЫҚ ТАЛДАУ

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

МУЛЬТИФРАКТАЛДЫҚ ТАЛДАУ

2. 1. Негізгі түсініктер

Фрактал деп өз-өзіне ұқсас қасиеті бар қисық формаға ие сызықтар, беттерді айтады. Фрактал сөзі латынның “fractus” сөзінен шыққан. Фракталдың өз-өзіне ұқсастық қасиеті фракталдың ең негізгі қыры болып табылады. Егер, үлкейтіп көретін болсақ, фракталдың кішкене фрагменттерінің үлкеніне ұқсайтынын көреміз [2, 3] .

Айталық, тура өз-өзіне ұқсастық қасиеті тек регулярлы фракталдарға ғана тиесілді. Егер детерминді құрылу әдісінің алгоритміне бір кездейсоқтық элементін қосатын болсақ, онда біз кездейсоқ фрактал аламыз. Олардың регулярлы фракталдардан негізгі айырмашылығы мынада. Өз-өзіне ұқсастық қасиеті тек объектінің статикалық тәуелсіз байқалуларының орташалануынан кейін болады.

Мультифракталды сипаттау үшін бір ғана емес, көп фракталдық өлшемділіктер жиыны керек. Табиғи фракталдар-дың көбі, негізінде, мультифракталдар. Қысқаша айтқанда, мультифрактал ол-біртекті емес фрактал болып табылады.

Жоғарыда айтқандай, регулярлық фракталдарға қарағанда бір ғана фракталдық өлшемділік D ғана емес, шексіз осындай фракталдық өлшемділіктер жиынымен ғана түсіндіруге болады. Осындай фракталдар статикалық қасиеттерге де ие болады.

Фракталдық өлшемділік

Ол L өлшемді Евклид кеңістігінде өлшемділігі d (d = 1-сызық, d = 2 - жазықтық, d=3-үшөлшемді кеңістік) белгілі бір шектік аумағын қамтитын фракталдық объектіні қарастырайық. Оның құрылу барысының белгілі бір кезеңінде ол N>>1 нүктелерден құралған жиынды берсін. Біз соңында N болады деп болжам жасаймыз. l ауданының көлемі δ ^d және δ жағы бар кубтық ұяшықтарға бөлеміз. δ азайған сайын ауданды қамтитын N ( δ ), ұяшықтар саны дәрежелік заң бойынша өзгереді.

(2. 1)

D дегеніміз хаусдорф немесе фракталдық өлшемділік деп аталады. (2. 1) -ді логарифмдеп және δ нөлге ұмтылса, оны былай жазамыз

(2. 2)

D-шамасы қарастырып отырған объектінің локалдық сипаттамасы болып табылады [3] .

Евклид кеңістігіндегі L өлшемді фракталдық объектіні қарастырамыз. Біз енді тек аз дегенде бір нүкте болатын бос емес ұяшықтарды қараймыз. Бос емес i ұяшықтар санының нөмірі i = 1, 2, . . . N ( δ ) арасында өзгерсін. Мұндағы, N ( δ ) - δ ұяшық нөмірінің өлшеміне тәуелді бос емес ұяшықтардың саны. Егер ұяшықтар бойынша нүктелер үлестірілуі бірдей болмаса, ондай фракталды біртексіз фрактал дейміз. Мультифракталды сипаттау үшін D _q жалпыланған фракталдық өлшемділіктерді еңгіземіз.

Егер n _i ( δ ) i нөміріне сәйкес ұяшықтағы нүктелер мөлшері болса, онда

(2. 3)

p _i ( δ ) - жиыннан кездейсоқ таңдап алынған нүктенің i ұяшығында болу ықтималдылығы. Кеңейтілген фракталдық өлшемділіктер спектрі D _q келесі қатынаспен анықталады

(2. 4)

мұндағы q - < q + < интервалында кез-келген мән қабылдайды, сонда мына түрде жазылады

(2. 5)

мұндағы - кеңейтілген статикалық сумма:

. (2. 6)

Егер D _q = D = const болса, яғни q дан тәуелді болмаса, онда мұндай нүктелер жиынын бір ғана D фракталдық өлшемділігі бар қарапайым, регулярлы фрактал деп атаймыз. Керісінше, егер D _q функциясы q бойынша өзгеретін болса, оны мультифрактал дейміз. кезде кеңейтілген статикалық суммаға (2. 6) тек ең көп бөлшектері бар ұяшықтар саны басты үлес қосады. Оның толтырылу ықтималдылығы p _i болып табылады. Осыған орай D _q функциясы l жиынындағы нүктелер санының біртексіздігін көрсетеді.

Жалпы жағдайда, мультифрактал бейсызық (2. 5) функциямен анықталады. Ол δ → 0 статикалық сумманы сипаттайды. Бірақ нүктелердің үлестірілуін тек ғана емес, оның туындысы керек

(2. 7)

бұл туынды q мен бірге өзгереді.

q = 1 кезінде фракталдық өлшемділік мынаған тең

. (2. 8)

Бұл формуланың алымы фракталдық жиын энтропиясы болып табылады. Соңында, кеңейтілген фракталдық өлшемділік D ₁ энтропиямен S ( δ ) мына қатынаспен сипатталады

. (2. 9)

Мультифракталдық спектр функциясы

Жалпы түсінік бойынша D _q шамалары, қатаң айтқанда, фракталдық өлшемділіктер емес. Сондықтан солармен бірге мультифракталдық жиынды сипаттау үшін мультифракталдық спектр функциясын f ( α ) қолданамыз. Оны мультифрактал сингулярлығының спектрі деп те атайды. Біз осы f ( α ) шамасын белгілі бір жалпы жиынның біртекті фракталдық L жиыншасының хаусдорфтық өлшемділігіне тең екенін көреміз. Ол q шамасын беру арқылы бүкіл статикалық суммаға үлкен үлесін қосады.

Өз-өзіне ұқсас жиындар үшін р _i δ - ұяшық өлшеміне тәуелділігі дәрежелік мәнге ие болады:

(2. 10)

мұндағы α _i - дәреже көрсеткіші (i- әр түрлі ұяшық үшін әрқалай) . Біртекті фрактал үшін α _i дәреже көрсеткіштері бірдей және D фракталдық өлшемділігіне тең.

(2. 11)

Бұл жағдайда статикалық сумма:

(2. 12)

Сондықтан, бұл жағдайда, және барлық D _q =D фракталдық өлшемділіктеріне сәйкес келеді және q-дан тәуелді болмайды. Бірақ күрделі объект, яғни, мультифрактал үшін ол олай болмайды. Оның біртексіздігін ескере отырып, р _i ұяшықтарының толтырылу ықтималдылығы бірдей емес және α _i әр ұяшық үшін дәреже көрсеткіші әр мәнді беретін болады. Кейін біз бұл мәндердің бір жабық интервалды толтыратындығына көз жеткіземіз ( α _min , α _max ), демек

. (2. 13)

Осы α мәндерінен τ ( q ) функциясының туындысы арасындағы байланысты көреміз. Дәлірек айтқанда, q →± . Болғандағы осы туындының “шегін” көреміз. Егер біз q → деп алсақ, онда i бойынша суммалау кезінде тек ең көп орналасқан ұяшықтар үлес қосады. Әр ұяшық р _max максималды толтырылу ықтимадылықтарымен сипатталады. Суммада тек (саны N _max ) (2. 7) -гі алымы N _max , ал бөлмі N _max -ға тең болады деп ескерсек, онда іздеген туынды шегіміз α _min -ге тең болғанын көреміз.

Соған ұқсас егер q →- болса, онда (2. 7) суммалағанда тек ықтималдылығы р _min болатын ең аз орналасқан ұяшықтарды ескеру керек. Бұл жағдайда, -қа ұмтылғандығы мәлім. Сонымен қатар, біз негізгі шешімге келеміз, мұнда

(2. 14)

Яғни, α болатын мәндерінің интервалы жалпылама фракталдық өлшемділік-тердің шектік мәндерімен анықталады ( q →± кезінде) .

Енді α _i -дің әр мәндерінің ықтималдылық үлестірілуіне келейік. n ( α ) dα

α _i -дің α мен α + dα арасында болу ықтималдылығы болсын. Басқаша айтқанда, n ( α ) dα p _i α _i өлшемдеріне ие осы интервалда жататын белгілі бір салыстырмалы ұяшықтар саны. α _i -дің әр мәндері D бірдей емес, әр түрлі f ( α ) дәреже көрсеткіштерінің мәндеріне ие болады.

. (2. 15)

Осыған орай, f ( α ) функциясының мағынасы бір L, жиынның біртекті фракталдық жиыншасының L _α өлшемділігін білдіреді. Ол ұяшықтардың толтырылуының бірдей ықтималдылықтарын білдіреді. Жиынның фракталдық өлшемділігі сол жиынның фракталдық өлшемділігіне D ₀ тең не аз екендігін f ( α ) функция үшін мына теңсіздік көрсетіп тұр:

. (2. 16)

Қорытындысында, біз мынадай шешімге келдік. f ( α ) функциясының әр түрлі мәндерінің жиыны біртекті L _α жиыншаларға бөлінген L жиынының фракталдық өлшемділіктер спектрі болып табылады. Осыдан, мультифрактал термині түсінікті бола бастайды. Оны L _α жиыншаларға бөлінген L жиынының әр түрлі біртекті фракталдар қосындысы деп түсінуге болады. Олардың әрқайсысында өзінің f ( α ) фракталдық өлшемділіктері болады.

Демек, әр жиыншаға тек бар ұяшықтар N ( δ ) санының тек бір бөлігі ғана тиесілі болады. Ықтималдылықтарды нормалау шарты:

(2. 17)

тек бір ғана жиынша бойынша ықтималдылық орындалмайды. Ол онда бірден аз болып қалады. Сондықтан, α _i мәнге сәйкес р _i ықтималдылық шамасынан аз болады. Ол шама осы жиыншаны құрайтын ұяшықтар санына кері пропорционал. Қорытындысында, біз f ( α ) үшін келесі негізгі теңсіздікке келеміз. Яғни, α- ның барлық мәні үшін

(2. 18)

Теңдік белгі тек толық біртекті фракталға ғана тән, мұндағы f ( α ) = α = 0 [4] .

Сигналдың аффиндік коффициенті мен энтропиясы

x(t) радиосигналының біртексіздігі сандық бойынша метрлік сипатта-

мамен, яғни аффиндік коэффициентпен сипатталады. Ол әр импульс форма-

ларының айырмашылығын сипаттайды. Метрлік сипаттамалары (ұзындық, аудан, көлем) Коши-Буняковский теңсіздігінен шығады:

(2. 19)

мұндағы, t мен T өтіп жатқан және сипаттамалық уақыт мағынасын біл-

діреді. Мұндай теңсіздік орындалады, егер

(2. 20)

Радиофизикада k ₁ шамасын импульстік сигнал формасының коэффициенті деп атайды. (2. 19) теңсіздігі кез-келген х ₁ (t), х ₂ (t) функция үшін Гелдердің интегралдық теңсіздігінен шығады: