Төртөлшемді Де-Ситтера кеңістігінде Папапетру теңдігі: спин тензоры және индукцияланған бұрыштық жылдамдық

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Де-Ситтера әлеміндегі Папапетру теңдігі

Төртөлшемді Де-Ситтера әлемінің интервалдық түрі

${ds}^{2} = \left( 1 - \frac{{\overline{r}}^{2}}{R_{0}^{2}} \right) d{\overline{x}}^{0^{2}} - \frac{{d\overline{r}}^{2}}{1 - \frac{{\overline{r}}^{2}}{R_{0}^{2}}} - {\overline{r}}^{2}\left( {d\theta}^{2} + \sin^{2}\theta d\varphi^{2} \right), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14)$

Мұнда . . . космологиялық тұрақты. Гармоникалық координаталарға ауыса

${ds}^{2} = \left( 1 - \frac{r^{2}}{R_{0}^{2}} - 2\frac{r^{4}}{R_{0}^{4}} \right) dx^{0^{2}} - \delta_{ij}\left( 1 + \frac{r^{2}}{R_{0}^{2}} \right) dx^{i}dx^{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15)$

Метрикалық тензорды анықтай келе, (15) формуладан

$\underset{2}{\overset{g_{ij, k}}{︸}} = - \frac{r}{R_{0}^{2}}\left( \delta_{ik}\eta_{j} + \delta_{jk}\eta_{i} \right) = - \frac{r}{c^{2}T^{2}}\left( \delta_{ik}\eta_{j} + \delta_{jk}\eta_{i} \right), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16)$

Мұнда Т-Де-Ситтерадағы әлемнің өлшемдік уақыты.

Фок методына қарай, . . .

Мұнда u-ішкі потенциал, U-сыртқы потенциал. Оны Тейлор қатарына қойсақ

$U(r) = U\left( r_{0} \right) + \left( \frac{U}{x^{m}} \right) _{r = r_{0}}\xi^{m} + \ldots = \frac{r_{0}^{2}}{R_{0}^{2}} + 2\frac{r_{0}^{\ }}{R_{0}^{2}}\eta_{m}\xi^{m} + \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17)$

(13) формуладан ньютон компонентінің спинінің тензоры

$\underset{0}{\overset{S^{kl}}{︸}} = \int_{\sigma}^{\ }{\left( \xi^{k}T^{0l} - \xi^{l}T^{0k} \right) d\sigma} = \int_{\sigma}^{\ }{\rho\left\lbrack \xi^{k}\left( v_{0}^{l} + w_{m}^{l}\xi^{m} \right) - \xi^{l}\left( v_{0}^{k} + w_{m}^{k}\xi^{m} \right) \right\rbrack}d\sigma = v_{0}^{l}\mathfrak{T}^{k} - v_{0}^{k}\mathfrak{T}^{l} + \omega_{m}^{l}\mathfrak{T}^{km} - \omega_{m}^{k}\mathfrak{T}^{lm}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (19)$

$\mathfrak{T}^{k} = \int_{\sigma}^{\ }{\rho\xi^{k}}d\sigma, \ \ \ \ \ \ \mathfrak{T}^{mk} = \int_{\sigma}^{\ }{\rho{\xi^{m}\xi}^{k}}d\sigma. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (20) \ \$

Сонымен қатар сфералық-симметриялық дене . . . онда,

$\underset{0}{\overset{S^{kl}}{︸}} = 2\underset{0}{\overset{\omega^{kl}}{︸}}\mathfrak{T}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (21)$

Күрделі компонент тензоры және ньютондық түрленуде мынандай болады

$\underset{2}{\overset{{\widetilde{S}}^{0k}}{︸}} = \rho\xi^{k} \bullet \frac{1}{c^{2}}\left( \frac{v_{0}^{2}}{2} + v_{0}^{n}\omega_{nm}\xi^{m} + П + \overline{u} + \frac{r_{0}^{2}}{2T^{2}}\eta_{m}\xi^{m} \right), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (22)$

$(22)$ теңдеуін (9) теңдеуге қоятын болсақ сызықты бұрышты оңай табамыз

$\frac{d}{dt}\int_{\sigma}^{\ }\left( \underset{2}{\overset{{\widetilde{S}}^{k0}}{︸}}v^{l} - \underset{2}{\overset{{\widetilde{S}}^{l0}}{︸}}v^{k} \right) d\sigma = - \frac{1}{c^{2}}\frac{d}{dt}\left\lbrack \left( \frac{r_{0}^{2}}{2T^{2}} \right) \left( v_{0}^{l}\mathfrak{T}^{k} - v_{0}^{kl} \right) \right\rbrack - \frac{1}{c^{2}}\frac{d}{dt}\left( v_{0}^{l}\begin{matrix} *^{k} \\ \mathfrak{T} \end{matrix} - v_{0}^{l}\begin{matrix} *^{l} \\ \mathfrak{T} \end{matrix} \right) - \frac{1}{c^{2}}\frac{d}{dt}\left\lbrack v_{0}^{n}\underset{0}{\overset{\omega_{m}^{n}}{︸}}\left( \mathfrak{T}^{km}v_{0}^{l} - \mathfrak{T}^{lm}v_{0}^{k} \right) \right\rbrack - \frac{1}{c^{2}}\frac{d}{dt}\left\lbrack \frac{r_{0}^{\ }}{R^{2}}\eta_{m}\left( \mathfrak{T}^{km}v_{0}^{l} - \mathfrak{T}^{lm}v_{0}^{k} \right) \right\rbrack, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)$

$\begin{matrix} *^{k} \\ \mathfrak{T} \end{matrix} = \int_{\sigma}^{\ }{\rho\xi^{k}\left( П + \overline{u} \right) }d\sigma\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (24)$

Сфералық-симметриялық дене . . . Импульстің сақталу заңын қолдана отырып, н

$\frac{d}{dt}\left( \eta^{k}v_{0}^{l} - \eta^{l}v_{0}^{k} \right) = 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (25)$

ньютондық түрленудегі жылдамдық

$\frac{dv_{0}^{k}}{dt} = - \frac{1}{2}g_{00, k} = \frac{r_{0}^{\ }}{T^{2}}\eta^{k} = \frac{x_{0}^{2}}{T^{2}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (26)$

(23) теңдіктен мына формуланы аламыз

$\frac{d}{dt}\int_{\sigma}^{\ }{\left( \underset{2}{\overset{{\widetilde{S}}^{k0}}{︸}}v^{l} - \underset{2}{\overset{{\widetilde{S}}^{l0}}{︸}}v^{k} \right) d\sigma = -}\frac{r_{0}}{2R_{0}^{2}}\left\lbrack \left( \underset{0}{\overset{S^{mk}}{︸}}v_{0}^{l} - \underset{0}{\overset{S^{ml}}{︸}}v_{0}^{k} \right) \eta_{m} + v_{0m}\left( \underset{0}{\overset{S^{mk}}{︸}}\eta_{\ }^{l} - \underset{0}{\overset{S^{ml}}{︸}}\eta_{\ }^{k} \right) \right\rbrack. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (27)$

Егер (9) формуланын оң жағын өрнектесек, дәлірек мына формуланы аламыз

$\int_{\sigma}^{\ }\left\{ \underset{2}{\overset{g_{00, m}}{︸}}\left( \underset{0}{\overset{{\widetilde{S}}^{km}}{︸}}v_{0}^{l} - \underset{0}{\overset{{\widetilde{S}}^{lm}}{︸}}v_{0}^{k} \right) + \frac{1}{2}v_{0}^{n}\left\lbrack \left( \underset{2}{\overset{g_{nm, k}}{︸}} - \underset{2}{\overset{g_{mk, n}}{︸}} - \underset{2}{\overset{g_{nk, m}}{︸}} \right) \underset{0}{\overset{{\widetilde{S}}^{ml}}{︸}} - \left( \underset{2}{\overset{g_{nm, l}}{︸}} - \underset{2}{\overset{g_{ml, n}}{︸}} - \underset{2}{\overset{g_{nl, m}}{︸}} \right) \underset{0}{\overset{{\widetilde{S}}^{mk}}{︸}} \right\rbrack \right\} d\sigma = - \frac{r_{0}}{2R_{0}^{2}}\left( \underset{0}{\overset{S^{km}}{︸}}v_{0}^{l} - \underset{0}{\overset{S^{lm}}{︸}}v_{0}^{k} \right) \eta_{m} - \frac{r_{0}}{2R_{0}^{2}}\left( \underset{0}{\overset{S^{mk}}{︸}}\eta_{\ }^{l} - \underset{0}{\overset{S^{ml}}{︸}}\eta_{\ }^{k} \right) v_{0m}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (28)$

Онда ньютондық түрленудің айналмалы қозғалысының түрі

$\underset{0 + 2}{\overset{\frac{dS^{kl}}{dt}}{︸}} = \frac{d}{dt}\int_{\sigma}^{\ }\underset{0 + 2}{\overset{{\widetilde{S}}^{kl}}{︸}}d\sigma = \underset{2}{\overset{Q^{kl}}{︸}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (29)$

$\underset{2}{\overset{Q^{kl}}{︸}} = \frac{3}{2}\frac{r_{0}}{R_{0}^{2}}\left\lbrack \left( \underset{0}{\overset{S^{mk}}{︸}}\eta_{\ }^{l} - \underset{0}{\overset{S^{ml}}{︸}}\eta_{\ }^{k} \right) v_{0m} - \left( \underset{0}{\overset{S^{km}}{︸}}v_{0}^{l} - \underset{0}{\overset{S^{lm}}{︸}}v_{0}^{k} \right) \eta_{m} \right\rbrack. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (30)$

Енді (30) формуласының анық түрі

$\underset{2}{\overset{{\widetilde{S}}^{kl}}{︸}} = \underset{2}{\overset{\sqrt{- g}}{︸}}\left( \xi^{k}\underset{0}{\overset{T^{0l}}{︸}} - \xi^{l}\underset{0}{\overset{T^{0k}}{︸}} \right) + \left( \xi^{k}\underset{2}{\overset{T^{0l}}{︸}} - \xi^{l}\underset{2}{\overset{T^{0k}}{︸}} \right) = \rho\left( \frac{r_{0}^{2}}{R_{0}^{2}} + 2\frac{r_{0}^{\ }}{R_{0}^{2}}\eta_{m}\xi^{m} \right) \times \times \left\lbrack \xi^{k}\left( v_{0}^{l} + \omega_{n}^{l}\xi^{n} \right) - \xi^{l}\left( v_{0}^{k} + \omega_{n}^{k}\xi^{n} \right) \right\rbrack + \frac{1}{c^{2}}\rho \bullet \left\{ \xi^{k}\left\lbrack \frac{v_{0}^{2}}{2} + v_{0}^{p}\omega_{pm}^{\ }\xi^{m} + \left( П + \overline{u} + \frac{Р}{\rho} \right) + \frac{r_{0}^{2}}{2T^{2}} + \frac{r_{0}^{\ }}{T^{2}}\eta_{m}\xi^{m} \right\rbrack\left( v_{0}^{l} + \omega_{n}^{l}\xi^{n} \right) - \xi^{l}\left\lbrack \frac{v_{0}^{2}}{2} + v_{0}^{p}\omega_{pm}^{\ }\xi^{m} + \left( П + \overline{u} + \frac{Р}{\rho} \right) + \frac{r_{0}^{2}}{2T^{2}} + \frac{r_{0}^{\ }}{T^{2}}\eta_{m}\xi^{m} \right\rbrack\left( v_{0}^{k} + \omega_{n}^{k}\xi^{n} \right) \right\}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (31)$