Жалпыланған фракталдық өлшем

Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Жалпыланған фракталдық өлшем
Евклид кеңістігіндегі өлшемі L фракталдық объектіні қарастырайық. Мұнда біз тек, бос емес, яғни ішінде кем дегенде бір нүктесі бар ұяшықтарды ескереміз. Бос емес ұяшықтардың i нөмері i = 1, 2,... N() аралығында өзгерсін, мұндағы N() ұяшықтың өлшеміне тәуелді - бос емес ұяшықтардың жалпы саны. Егер ұяшықтар бойынша нүктелердің таралуы бір келкі болмаса фрактал біртексіз, яғни мультифрактал ретінде қарастырылады. Мультифракталды сипаттау үшін ℒ облысындағы берілген нүктелердің таралуын сипаттайтын Dq жалпыланған фракталдық өлшемділіктер енгізіледі.
ni() -i-ші нөмерлі ұяшықтағы нүктелер саны болсын, онда

шамасы көп нүктелерден кездейсоқ алынған нүктелердің i-ші ұяшықта жататындығының ықтималдығы болып табылады. Dq жалпылынған фракталдық өлшемділіктердің спектрі келесі қатынаспен анықталады:
, (24)
мұндағы q - q + интервалында кез келген мәнді қабылдайды. функциясы:
, (25)
мұндағы - жалпыланған статистикалық қосынды:
. (26)
Егер Dq=D= const, яғни q-ға байланысты болмаса, бұл тек бір ғана шамамен - D фракталдық өлшемділікпен сипатталатын нүктелер жиыны жәй, регулярлы фрактал болады. Керісінше Dq функциясы q мен бірге өзгерсе онда қарастырылып отырған жиын мультифрактал болады. жағдайда (26) жалпыланған статистикалық қосындыға ең көп ni бөлшектері бар ұяшықтар көп ықпал етеді, сондықтан олар ең көп pi толтырылу ықтималдығымен сипатталады. Керісінше ұмтылғанда (26) жалпы статистикалық қосындыға ең аз толған ұяшықтар, яғни pi -дің аз мәндері көп ықпал етеді. Осылайша, Dq функциясы, зерттеліп отырған ℒ нүктелер жиынының қаншалықты біртексіз екендігін көрсетеді.
Жалпы жағдайда мультифрактал, статистикалық қосындының 0 ұмтылғандағы қасиетін анықтайтын, қандайда бір бейсызық (25) функциямен сипатталады. Бірақ нүктелердін таралуын сипаттау үшін функциямен қатар оның туындысын да білу қажет:
(27)
Бұл туынды q мен бірге өзгереді.
q = 1 болғанда жалпыланған фракталдық өлшем:
. (28)
Бұл формуланың алымы, таңбасын ескергенде, фракталдық жиынның энтропиясы болып келеді (5-тарау, (8) формула). Нәтижесінде D1 жалпыланған фракталдық өлшем S() энтропиямен келесі қатынаста болады:
. (29)
Бұдан,
, (30)
Яғни, D1 дегеніміз нүктенің қандайда бір ұяшықта орналасу орнын анықтайтын информацияны сипаттайды. Осыған байланысты D1 жалпы фракталдық өлшемділікті көп жағдайда информациялық өлшемділік деп атайды. Бұл ұяшықтың өлшемі нөлге ұмтылғанда, нүктенің орнын анықтау информациясы қалай өсетіндігін көрсетеді.

Корреляциялық өлшемділік
Бірдей өлшемді ұяшықтарға бөлінген фракталды бетті қарастырайық және кез-келген х1 және х2 еркін таңдалған екі нүкте фракталды объектіге жататын нүктелер болсын делік.. Екі нүктеніңде i-ші ұяшықта болу ықтималдығы қанша? Бір нүктенің осы беттің i-ші элементіне түсу ықтималдығы рi-ге тең. Егер екі нүктенің осы ұяшыққа түсуі байланыссыз оқиғалар деп алсақ, онда оның ықтималдығы -ге тең болады.
Фракталдық бет (q = 2) жабылатын ұяшықтар көлемін кішірейткендегі, статистикалық қосындының (26) өзгерісін қарастырайық. -ны кішірейткенде қосынды азаяды, бұдан ол дәрежелік заңға бағынады деп жорамалдауға болады:
, (31)
немесе, эквивалентті, шек
(32)
D2 корреляциялық өлшемділік деп аталады.
Корреляциялық өлшемділіктің бейсызық динамикадағы ерекшелігі оны есептейтін салыстырмалы жеңіл және эффективті (басқа өлшемділіктерге қарағанда жеңіл және эф - фективті) тәсілі бар, ол - Грассбергер-Прокаччи алгоритмі .
Оның мағынасы мынандай. Біз динамикалық тендеуді сандық шешімдерінен күй вектор жиынын алдық делік {, i = 1, 2,..., М}, олар әрбір итерацияларға немесе дифференциалды тендеуді интегралдау қадамдарына сәйкес келсін. Қандайда бір (кіші) алып, корреляциялық өлшемділік анықтамасындағы бізге белгілі жиынды қолданып қосындысын бағалауға болады.
, (33)
мұнда - сатылы Хевисайд функциясы:
(34)
шамасын корреляциялық интеграл деп атайды.
М-ның үлкен мәндерінде (көбінесе мың немесе ондаған мың) ол статистикалық қосындыны бағалауға мумкіндік береді, сондықтан оны корреляциялық өлшемділікті есептеуге қолдануға болады. Ол үшін -ді өлшейді әртүрлі -да есептейді, шешімін және координаттарында салады. тәуелділігі болса, алынған график бұрыштық коэффициенті D2-ге тең түзу сызық болу керек.
Корреляциялық интегралды (33)-ші формула арқылы есептеу үшін есептеу көлемі өте көп болады, себебі есептеу саны М 2 пропорционал. Оны азайту үшін аздаған қулықтар қолданылады.
Біріншіден, қарастырылып отырған фазалық көлемді бірнеше бөлікке бөліп және сол бөлікке сәйкес нүктелерін әр топ бойынша қарастыруға болады. Егер кіші (бізге қажеттті) болса, онда корреляциялық интегралды есептегенде тек екеуі де бір топта жататын нүктелерді ғана есепке алуға болады.
Екіншіден, евклидті норманың орнына, есептеу санын аз қажет ететін басқа норманы қолдануға болады. Өлшемділіктің шамасы алынған норма түріне байланысты емес. Нормалар тобын енгізейік:
, (35)
Мұндағы q - параметр, айталық, q = 2 евклидті нормаға сай. Олардың ішіндегі ең ыңғайлы және тез шешілетін нормалар и .
болғандықтан, есептеу санын екі есе азайтуға болады. Ол үшін (33) орнына келесі формуланы қолдануға болады:
. (36)
Практикада логарифмдік координаттарда тұрғызылған корреляциялық интегралдың графигі, -ның үлкен мәндерінде (атракторлардың өлшемімен салыстырмалы болғанда), және өте кіші үшін (жақсы статистикалық баға беруге қажетті жұп нүкте саны азайғанда), түзу сызықтан ауытқиды. Есептеу көлемі М көбейген сайын, түзу сызық интервалы кең бола бастайды. Көп жағдайда оны көз өлшеммен алып, алынған нүктелерді орташа квадрат ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.