Параболалық теңдеулер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Параболалық теңдеулер
Осы түрдегі теңдеуге әкелетін физикалық тапсырма мысалы ретінде х осі бойымен х=0 осінен x=L дейін жатқан ұзын білік бойынша жылу берілу үдерісін қарастырайық. x=0 нүктесінде температура TL деңгейінде болады деп болжайық. Сондай-ақ t=0 уақыт мезетінде білік бойынша температураның таратылысы f(x) функциясы арқылы берілді деп болжайық. Онда білік бойынша температураның қалған уақыт мезеттеріндегі таратылуы
uxx=aut, (24)
теңдеуін шешу арқылы беріледі.
мұндағы u - біліктің берілген нүктедегі уақыттың берілген мезетіндегі температурасы,
a - a=cρk тұрақтысы,
Мұндағы с - білік материалының жылу сыйымдылығы,
ρ - білік материалының тығыздығы,
k - оның жылу өткізгіштігі.
Оңай болу үшін a=1 болсын, сондықтан теңдік келесідегідей болады:
uxx=ut (25)
Осы теңдік үшін үйлесімді шарт болып табылады:
u0, t= T0
uL, t= TL (26)
Және бастапқы шарт болып табылады:
ux, 0=f(x) (27)
(25) теңдеу жылу таратылуы теңдеуі немесе диффузия теңдеуі деген атпен белгілі жеке туындылардағы параболалық дифференциалды теңдеу болып табылады. Көптеген басқа да маңызды тапсырмалар да параболалық теңдеулерге апарады. Мысалы, байланыстың ұзақ сызбалары сипатталатын теңдеулер де, былайша айтқанда телеграфтық теңдеулер, параболалық болып табылады.
Таратпа түрдегі жазба кезінде шекаралық теңдеулер (26) былай жазылады:
u0.j=T0; j=1,2 . ..
un.j=TL; j=1,2 . .. (28)
Бастапқы (27) шарт былай жазылады:
ui,0=f(ih) (29)
Тарапта түрге (25) өзгерту үшін 0=x=L и t0 ауданын қамтитын, х интервалында h бөлу интервалды және t бағытында k бөлу интервалды торды елестетейік. (2) мен (6) пайдалана отырып,
ui,j+1=λui+1,j+1-2λui,j+λui-1,j (3 0)
қол жеткіземіз. Мұндағы
λ=kh2 (31)
Және і индексі 1-ден n-ге дейін өзгереді, ал j индексі 1-ден infinity дейін өзгереді. λ жаңа анықтамасына назар аударыңдар.
Бұл тәсілдің трафаретін былайша көрсетуге болады:

j+1
j
+1
-(1-2λ)
-λ
-λ
i-1
i
i+1
Шектеу қатесінің жоғарғы шегі қатынасымен анықталады:
Ti,j=λ(6λ-1)12Mh4 (32)
uxxxxxxM

λ!=16 шарты бойынша бұл мән нөлге айналады. λ=16 болған жағдайда шектеу қателігінің жоғарғы шегі мынандай болады:
Ti,j=N810h6 (33)
Мұндағы
uxxxxxxN
Шектеудің ең кіші қателігі тұрғысынан мынаны пайдаланған дұрыс екендігі анық:
k=16h2 (34)
Ол әрқашан ыңғайлы бола бермейді. Дифференциалды теңдікті әр түрлілікке өзгертуді тек бір ғана қателікпен жасауға болады деген ой туындауы мүмкін. Алайда, барлығы олай емес. Ары қарай біз параболалық теңдікке арналған әр түрлі сызбаны құрудың басқа да тәсілдерін қарастырамыз және олардың артықшылықтары мен кемшіліктерін атап өтеміз. Нақты айтқанда, біз екі тәсілді қарастырамыз.
(30) теңдікте келтірілген тәсіл оң түрлілікті (2) пайдалануға негізделді. Егер сол түрліліктерді (3) пайдаланатын болсақ, онда түрлілік теңдеуі келесідей жазылады:
-λ ui+1.j+1+2λui.j-λui-1.j=ui-1.j (3 5)
Шектеу қателігінің жоғарғы шегі мына формуламен беріледі:
Ti.j=λ(6λ+1)12Mh4 (36) мұнда бұрынғыдай: uxxxxM
Мұндағы λ (31)-дегідей мәнді білдіреді.Бұл тәсілдің трафареті келесідегідей көрінеді:
-λ

1+2λ
-λ
j
j-1
-1
i-1
i
i+1

Бұл шек (32) қарағанда көбірек, сонымен қатар шектеу қателігін λ параметрін арнайы таңдап, O(h6)-ге келтіруге болмайды.
(25) балама түрлілік теңдеу құрылуының таңы бір тәсілін қарастырайық. (6) сәйкес, і, j нүктесінде
uxx≈ui+1.j-2ui.j+ui-1.jh2
I, j+1 нүктесінде осыған балама түрде:
uxx≈ui+1.j+1-2ui.j+1+ui-1.j+1h2
Осы екі жақындатудың ортасын таба отыра, біз мынаған келеміз:
uxx≈12h2(ui+1.j+1-2ui.j+1+ui-1.j+1+ ui+1.j-2ui.j+ui-1.j)
Енді егерut есептеу үшін әртекті және эквивалентті (25)теңдеуін пайдаланып,
ut≈1kui.j+1-ui.j
былай жазамыз
:λ2ui-1.j+1-λ+1ui.j+1+λ2ui-1.j+1=-λ 2ui-1.j+λ-1ui.j+λ2ui-1.j (37)
Бұл біртекті теңдеуді Кранк - Никольсон әдісі деп те атайды.
(37) формула үшін трафарет былай белгіленеді.

Үстіңгі қателер мына формуламен беріледі:
Ti.j=λ12Mh4
мұнда
uxxxxM (38)
-(λ+1)
λ2
λ2
λ2
-(λ+1)
λ2
j+1
j
i-1
i
i+1

6λ +1 -дегі жоғарғы шек (36) қарағанда бір есе кіші.
(38) шектеу қателігінің шегі (36) қарағанда кішірек болғандықтан, бұл сипаттама бойынша (37) түрлілік теңдеуі (35) қарағанда тиімдірек.
2.8. Параболалық әртекті теңдеулерді шешу
Біз uxx=utдифференциалды теңдіктіәртекті көрсетудің үш түрлі тәсілін, ал нақтырақ айтқанда (30), (35), (37) формулаларды қарастырамыз. Енді осы түрлілік теңдеулердің әрбіреуінің шешу тәсілдерін қарастырып, олардың артықшылықтары мен кемшіліктерін салыстырайық. Барлық жағдайларда шектік және бастапқы шарттар (28) және (29) түрінде берілген деп есептейік. (30) формуламен анықталатын алғашқы тәсіл, ui, j+1 үшін анық теңдеулер жүйесін көрсетеді. Бұл теңдеу жүйесі гиперболалық теңдеулер үшін анық жүйе болған (19) формуламен бір ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.