Параболалық теңдеулер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Параболалық теңдеулер

Осы түрдегі теңдеуге әкелетін физикалық тапсырма мысалы ретінде х осі бойымен х=0 осінен x=L дейін жатқан ұзын білік бойынша жылу берілу үдерісін қарастырайық. x=0 нүктесінде температура $T_{L}$ деңгейінде болады деп болжайық. Сондай-ақ $t = 0$ уақыт мезетінде білік бойынша температураның таратылысы $f(x)$ функциясы арқылы берілді деп болжайық. Онда білік бойынша температураның қалған уақыт мезеттеріндегі таратылуы

$u_{xx} = au_{t}$ , (24)

теңдеуін шешу арқылы беріледі.

мұндағы $u$ - біліктің берілген нүктедегі уақыттың берілген мезетіндегі температурасы,

$a$ - $a = c\rho/k$ тұрақтысы,

Мұндағы с - білік материалының жылу сыйымдылығы,

ρ - білік материалының тығыздығы,

k - оның жылу өткізгіштігі.

Оңай болу үшін $a = 1$ болсын, сондықтан теңдік келесідегідей болады:

$u_{xx} = u_{t}$ (25)

Осы теңдік үшін үйлесімді шарт болып табылады:

$u(0, \ t) = \ T_{0}$

$u(L, \ t) = \ T_{L}$ (26)

Және бастапқы шарт болып табылады:

$u(x, \ 0) = f(x) \$ (27)

(25) теңдеу жылу таратылуы теңдеуі немесе диффузия теңдеуі деген атпен белгілі жеке туындылардағы параболалық дифференциалды теңдеу болып табылады. Көптеген басқа да маңызды тапсырмалар да параболалық теңдеулерге апарады. Мысалы, байланыстың ұзақ сызбалары сипатталатын теңдеулер де, былайша айтқанда телеграфтық теңдеулер, параболалық болып табылады.

Таратпа түрдегі жазба кезінде шекаралық теңдеулер (26) былай жазылады:

$u_{0. j} = T_{0}$ ; $j = 1, 2\ . \ . .$

$u_{n. j} = T_{L}$ ; $j = 1, 2\ . \ . .$ (28)

Бастапқы (27) шарт былай жазылады:

$u_{i, 0} = f(ih)$ (29)

Тарапта түрге (25) өзгерту үшін $0 \leq x \leq L$ и $t > 0$ ауданын қамтитын, х интервалында h бөлу интервалды және t бағытында k бөлу интервалды торды елестетейік. (2) мен (6) пайдалана отырып,

$u_{i, j + 1} = {\lambda u}_{i + 1, j} + {(1 - 2\lambda) u}_{i, j} + {\lambda u}_{i - 1, j}$ (30)

қол жеткіземіз. Мұндағы

$\lambda = \frac{k}{h^{2}}$ (31)

Және і индексі 1-ден n -ге дейін өзгереді, ал j индексі 1 -ден $\infty$ дейін өзгереді. $\lambda$ жаңа анықтамасына назар аударыңдар.

Бұл тәсілдің трафаретін былайша көрсетуге болады:

$\lambda \neq \frac{1}{6}$ шарты бойынша бұл мән нөлге айналады. $\lambda = \frac{1}{6}$ болған жағдайда шектеу қателігінің жоғарғы шегі мынандай болады:

$T_{i, j} \leq \frac{N}{810}h^{6}$ (33)

Мұндағы

$u_{} < N$

Шектеудің ең кіші қателігі тұрғысынан мынаны пайдаланған дұрыс екендігі анық:

$k = \frac{1}{6}h^{2}$ (34)

Ол әрқашан ыңғайлы бола бермейді. Дифференциалды теңдікті әр түрлілікке өзгертуді тек бір ғана қателікпен жасауға болады деген ой туындауы мүмкін. Алайда, барлығы олай емес. Ары қарай біз параболалық теңдікке арналған әр түрлі сызбаны құрудың басқа да тәсілдерін қарастырамыз және олардың артықшылықтары мен кемшіліктерін атап өтеміз. Нақты айтқанда, біз екі тәсілді қарастырамыз.

(30) теңдікте келтірілген тәсіл оң түрлілікті (2) пайдалануға негізделді. Егер сол түрліліктерді (3) пайдаланатын болсақ, онда түрлілік теңдеуі келесідей жазылады:

$- \lambda\ u_{i + 1. j} + (1 + 2\lambda) u_{i. j} - \lambda u_{i - 1. j} = u_{i - 1. j}$ (35)

Мұндағы λ (31) -дегідей мәнді білдіреді.

Бұл тәсілдің трафареті келесідегідей көрінеді:

Бұл шек (32) қарағанда көбірек, сонымен қатар шектеу қателігін λ параметрін арнайы таңдап, $O(h^{6})$ -ге келтіруге болмайды.

(25) балама түрлілік теңдеу құрылуының таңы бір тәсілін қарастырайық. (6) сәйкес, і, j нүктесінде

$u_{xx} \approx \frac{u_{i + 1. j} - {2u}_{i. j} + u_{i - 1. j}}{h^{2}}$

I, j+1 нүктесінде осыған балама түрде:

$u_{xx} \approx \frac{u_{i + 1. j + 1} - {2u}_{i. j + 1} + u_{i - 1. j + 1}}{h^{2}}$

Осы екі жақындатудың ортасын таба отыра, біз мынаған келеміз:

$u_{xx} \approx \frac{1}{{2h}^{2}}{(u}_{i + 1. j + 1} - {2u}_{i. j + 1} + u_{i - 1. j + 1} + u_{i + 1. j} - {2u}_{i. j} + u_{i - 1. j})$

Енді егер u _t есептеу үшін әртекті және эквивалентті (25) теңдеуін пайдаланып,
$u_{t} \approx \frac{1}{k}\left( u_{i. j + 1} - u_{i. j} \right)$

былай жазамыз

: $\frac{\lambda}{2}u_{i - 1. j + 1} - (\lambda + 1) u_{i. j + 1} + \frac{\lambda}{2}u_{i - 1. j + 1} = - \frac{\lambda}{2}u_{i - 1. j} + (\lambda - 1) u_{i. j} + \frac{\lambda}{2}u_{i - 1. j}$ (37)

Бұл біртекті теңдеуді Кранк - Никольсон әдісі деп те атайды.

(37) формула үшін трафарет былай белгіленеді.

6λ +1 -дегі жоғарғы шек (36) қарағанда бір есе кіші.

(38) шектеу қателігінің шегі (36) қарағанда кішірек болғандықтан, бұл сипаттама бойынша (37) түрлілік теңдеуі (35) қарағанда тиімдірек.

2. 8. Параболалық әртекті теңдеулерді шешу

Біз $u_{xx} = u_{t}$ дифференциалды теңдіктіәртекті көрсетудің үш түрлі тәсілін, ал нақтырақ айтқанда (30), (35), (37) формулаларды қарастырамыз. Енді осы түрлілік теңдеулердің әрбіреуінің шешу тәсілдерін қарастырып, олардың артықшылықтары мен кемшіліктерін салыстырайық. Барлық жағдайларда шектік және бастапқы шарттар (28) және (29) түрінде берілген деп есептейік. (30) формуламен анықталатын алғашқы тәсіл, $u_{i, \ j + 1}$ үшін анық теңдеулер жүйесін көрсетеді. Бұл теңдеу жүйесі гиперболалық теңдеулер үшін анық жүйе болған (19) формуламен бір мағынада болады. Бастапқы және шектік шарттарды негізінде шешімнің бірінші жолын ала отырып, біз екінші жолды қарастыра аламыз , j=1 , ол j =0 қоя отырып, (30) шығады. Екінші жолды есептеп, жаңағы бойынша біз бұл жолы j=1 қоя отырып, үшінші жолды есептейміз. Осы тәсілмен уақыт осьі бойынша қажетінші алыс орналасқандарды есептеуге болады.

Бұл жағдай гиперболалық теңдіктерді қарастыру кезінде кездескен жағдайға ұқсас болып табылады. Сондықтан параболалық теңдіктер үшін ұқсастығы мен тұрақтылығы сондай сұрақтар пайда болуы тиіс. Ол шынымен де солай: шешімді есептеу үдерісі ұқсас және тұрақты, егер:

$\lambda < \frac{1}{2}$

Немесе, мынадағыдай,

$k < \frac{h^{2}}{2}$

Осылайша, гиперболалық теңдеулер жағдайына қарағанда күрделілік, уақыт қадамын таңдау кезінде маңыздырақ болып табылатын біршама күрделі шектеулер туындайды. Дәл осы жағдай теңдеуді басқа тәсілдермен, ал нақтырақ айтқанда (35) және (37) есептеу тәсілдерін іздеуді талап етеді.

(35) те, (37) де эллипстік теңдеулерге (14) қолданылған есептеудің айқын емес тәсілдері ретінде белгілі. Алдымен (35) қарастырайық. Біз j=1 шешімінің бірінші жолына арналған теңдеулерді жаза аламыз, ол үшін (28) және (29) бастапқы және шекті шарттарды пайдаланамыз.

${(1 + 2\lambda) u_{1. 1} - \lambda u_{2. 1} = f(h) + \lambda T_{0} }{- \lambda u_{1. 1} + (1 + 2\lambda) u_{2. 1} - \lambda u_{3. 1} = f(2h) }$

$- \lambda u_{2. 1} + (1 + 2\lambda) u_{3. 1} - \lambda u_{4. 1} = f(3h)$

. . .

$- \lambda u_{n - 2. 1} + (1 + 2\lambda) u_{n - 1. 1} = f(nh - h) + \lambda T_{L}$

Барлығы і=1, 2, . ., n- 1 арналған n- 1 белгісіздері бар n- 1 сызықтық теңдеу шығады. Бұл теңдіктерді алып тастау тәсілімен шешуге болады, сонымен қатар, коэффиценттердің көп бөлігі нөлге тең, ал жүйе түрі алып тастау арқылы шешу тәсілін біршама қарапайым тапсырма етеді.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.