Комплекс сандарын тригонометриялық және көрсеткіштік түрде жазу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

КОМПЛЕКС САНДАР
1. Негізгі түсінік
1-анықтама. z=x+iy өрнегі түрінде берілген z саны комплекс сан деп аталады, мұндағы х және у у-нақты сандар, ал i-жорамал бірлік деп аталады және i2=-1 немесе i=-1 теңдіктерінен анықталады.
Анықтамадағы z=z+iy (1)
өрнегінде x және y бөліктері z комплекс санының сәйкес нақты және жорамал бөліктері деп аталады. оларды сәйкес x=Re z және y=Im z арқылы белгілейміз.
2-анықтама. Егер екі комплекс санның z1 =x1 + iy1 және z2 =x2+ iy2
нақты бөлігі (x1 =x2) мен жорамал бөліктері (y1= y2) тең болса, онда олар тең (z1=z2) деп аталады.
3-анықтама. Егер z=x+iy комплекс санында x=0 және y=0 болса, онда комплекс сан нольге тең.
4-анықтама. Егер z= x+iy комплекс x=0 санында болса, онда 0+iy=iy саны таза жорамал, ал егерy=0 болса, онда x+i0=x саны нақты сан болады.
Комплекс санда үлкен, кіші деген ұғымдар қарастырылмайды.
5-анықтама. Жорамал бөлігінің таңбасында айырмашылық болатын z=x+iy және z=x-iy екі комплекс сан түйіндес деп аталады.

1.2 Комплекс санның геометриялық бейнесі
Кез келген z=x+iy комплекс санды Oxy жазықтығында координаталары x=Rez және y=Imz болатын M(x, y) нүктесі ретінде көрсетуге болады. Және керісінше, жазықтықтың әрбір M (x, y) нүктесіне z=x+iy комплекс саны сәйкес келеді. Комплекс саны бейнеленген жазықтық, z комплекстік айнымалы жазықтығы деп аталады (1-сурет).
z=a+bi
Y
X
O
a
b Ф
r

z комплекстік айнымалы жазықтығының Ox өсінде жататын нүктелеріне нақты сандар сәйкес келеді (y=0). Ал Oy өсінде жататын нүктелерін таза жорамал сандар бейнелейді (x=0). Абцисса өсі
(z=x+0*i) нақты өс деп, ордината (z=0+yi) осі 0 жорамал өс деп аталады. M(x,y) нүктесін координатаның бас нүктесімен қосу арқылы OM
векторын аламыз. Кейбір кездерде z=x+iy комплекс санының геометриялық бейнесі
1-сурет есебінде r=OM= x,y радиус векторын есептеу

ыңғайлы болады. z комплекс санын бейнелейтін r векторының ұзындығы осы санның модулы деп аталады және z немесе r болып белгіленеді, яғни r=z. Нақты өс пен r векторының оң бағыттағы арасындағы бұрыш шамасы комплекс санның аргументі деп аталады және Arg z немесе φ болып белгіленеді, яғни φ=Argz. Комплекс санның r және φ шамалары x және y арқылы мына түрде анықталады:
r=x2+ y2 (2)

және φ=argtgyx . (3)

Сонымен z=x+iy=x2+y2 (4)

және argz=argx+iy=argtgyx (5)

Егер комплекс санның аргументі Ox өсінің оң бағыты бойынша, яғни сағат тіліне қарама-қарсы есептелсе ол оң, ал сағат тілі бағыты бойынша есептелсе теріс болады.
Егер z!=0 комплекс санның аргументі көпмәнді болады және 2PI∙k(k=0,-1,1-2,2,...) қосылғышына дейінгі дәлдікпен анықталады, яғни Argz=arg+z+2PI∙k, мұндағы argz - аргументтің бас мәні деп аталады және (-PI,PI] аралығында анықталады, яғни -PIarg=PI орындалады (кейде аргументтің бас мәні ретінде [0;2 PI) аралығындағы шама да алынады).

1.3 Комплекс санның тригонометриялық түрі

z санының z=x+iy түрінде жазылуы комплекс санның алгебралық түрі деп аталады.
Координаталар бас нүктесін полюс, ал Ox өсінің оң бағытын полярлық өс деп есептеп, M (x,y) нүктесінің полярлық координатасын φжәне r арқылы белгілейміз. z=x+iy комплекс санының r модулін және φ аргументін полярлық координаттар жүйесінде r=OM векторы түрінде бейнелеуге болады (1-сурет). Онда 1-суреттен x=rcosφ және y=rsinφ болатынын көреміз. Сондықтан z=x+iy комплекс санын мына түрде жазуға болады:

z=rcosφ+i ∙rsinφ (6)
немесе
z=r(cosφ+i∙sinφ) (7)
Комплекс санның мұндай түрде жазылуы тригонометриялық түрде жазылуы деп аталады.
Жоғарыда айтылғандай z=x+ iy комплекс санының r=z модулы r=z=x2+y2 формуласынан, ал аргументі мына формулалардан анықталады:
cosφ=xr,sinφ=yr, tgφ=yx
Сонымен бірге
φ=Argz=argz+2kPI
болғандықтан,
cosφ=cosargz+2kPI=cosargz,sinφ=sin( argz)
болады.
Мысалы, z=i комплекс санының модулі i 02+12 болады.
Комплекс санның алгебралық түрінен тригонометриялық түріне ауысқанда z комплекс санының аргументінің басты мәнін анықтаса жеткілікті, яғни φ=argz
-PIarg=PI болғандықтан tgφ=yx y формуласынан
argz=arctgyx, I, IV ширектің ішкі нүктелері үшін arctgyx+PI, II ширектің ішкі нүктелері үшінarctgyx-PI, III ширектің ішкі нүктелері үшін

аламыз.

2-сурет.

Егер z нүктесі нақты немесе жорамал өсте жатса, онда z1=2 болса, онда argz1=0; z2=-3, онда argz2=PI; z3=i болса, онда argz3=PI2;z4=-4i болса, онда argz4=3PI2=-PI2 (2-сурет).

1.4 Комплекс сандарға амалдар қолдану
1.4.1 Комплекс сандарды қосу

6-анықтама. Екі z1 = x1+ iy1 және z2= x2 + iy2 комплекс сандарының қосындысы деп
z1+ z2= (x1+ iy1)+( x2+ iy2) = (x1+ x2)+ i( y1+ y2) (2.8)
түрінде анықталған сан айтады.

Мсалы, z1= 3+2i және z2=5-7i комплекс сандарының қосындысы
z1+ z2=(3+2i)+(5-7i)=8-5i
болады.
(2.8) формуласынан векторлық түрде бинеленген комплекс сандарды қосу, векторларды қосу ережесі бойынша жүргізілетін көреміз, яғни комплекс сандардың қосындысын геометриялық тұрғыдан екі вектордың қосындысы түрінде беруге болады (3-сурет).

Комплекс сандарды қосу амалы коммутативті және ассоциативті қасиеттерді қанағаттандырады:

1. z1+z2=z2+z1,
2. (z1+ z2)+z3=z1+(z2+z3) .
3-суреттен z1+z2=z1+z2болатынын көреміз. Бұл теңсіздік үшбұрыштар теңсіздігі деп аталады.

1.4.2 Комплекс сандарды алу
Алу қосуға қарама-қарсы амал.
7-анықтама. Екі z1 және z2 комплекс сандарының айырымы деп, z2 комплекс санына қосындысы z1 комплекс саны болатын, яғни z =z2-z1 теңдігі орындалатын z=z1-z2 комплекс санын айтады.
Егер z1 = x1 +iy1 және z2 = x2 +iy2 болса, онда анықтамадан
z= z1 -z2 = (x1 - x2 )+ i(y1 -y2) (2.9)
түрінде анықталады.
Мысалы, z1 4+5i және z2=7-2i комплекс сандарының айырмасы

z1-z2=(4+5i)-(7-2i)=-3+7i

болады.
(2.9) формуласынан екі комплекс санның айырымы геометриялық тұрғыдан екі вектордың айырымы түрінде болады (4-сурет).
Сонымен бірге 4-суреттен z1-z2=z1-z2 теңсіздігі орындалатынын көреміз.
Екі комплекс санның айырымының модулы жазықтықта осы екі комплекс санды бейнелейтін екі нүктенің арақашықтығы d береді, яғни
z1-z2=(x1-x2)2+y1-y2=d (2.10)
болады.
Сондықтан, мысалы, z-2i=1 комплексті жазықтықта z0 =2i нүктесінен арақашықтығы 1-ге тең z нүктелерінің жиынын анықтайды, яғни центрі z0=2i және радиусы 1-ге тең шеңбер.

1.4.3 Комплекс сандарды көбейту

8-анықтама. Екі z1=x1+ iy1 және z2 =x2+iy2 комплекс сандарының көбейтіндісі деп,
Z=z1z2 = (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2) (2.11)

теңдігімен анықталатын комплекс санды айтамыз.
Екі комплекс санды көбейту кезінде жорамал бірлік анықтамасын, яғни i[2]=-1 теңдігін және осы теңдіктен туындайтын i[3]= i[2] *i =-1* i=- i,
i[4] =i[2] *i[2]=(-1)*(-1)=1, i[5]=i[4]*i=1*i= i теңдіктерін, сонымен бірге жалпы кез келген бүтін k үшін i[4]k=1, i[4]k +1 = i, i[4]k[+2]=-1, i[4]k[+3] =-i болатындығын ескереміз. Осы теңдіктердің негізінде (7.11) теңдігінің растығын көрсетеміз:
z=z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2+iy1x2+ x1y2-y1y2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2) .
Мысалы, (2-3i)(-5+4i)=-10+8i+15i-12i2=10+23 i+12=2+23i.
Егер екі z=x+iy және z=x-iy түйіндес комплекс сандарды көбейтсек, онда (2.11) теңдігінің негізінде
zz=x+iyx-iy=x2+y2
теңдігін аламыз, бұл теңдіктің оң жағы нақты сан болады.
Комплекс сандардың көбейтіндісі келесі қасиеттерді қанағаттандырады:
1. z1z2 =z2 z1 ауыстырымдылық заңы;
2. (z1z2)z3=z1(z2z3) терімділік заңы;
3. z1(z2 +z3)=z1z2+z1z3 үлестірімділік заңы.
Екі z1=r1(cosφ1+i∙sinφ1) және z2=r2(cosφ2+i∙sinφ2) комплекс сандары тригонометриялық түрде берілсе, онда олардың ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.