Комплекс сандарын тригонометриялық және көрсеткіштік түрде жазу


КОМПЛЕКС САНДАР
1. Негізгі түсінік
1-анықтама. өрнегі түрінде берілген саны комплекс сан деп аталады, мұндағы у -нақты сандар, ал -жорамал бірлік деп аталады және немесе теңдіктерінен анықталады.
Анықтамадағы (1)
өрнегінде және бөліктері комплекс санының сәйкес нақты және жорамал бөліктері деп аталады. оларды сәйкес және арқылы белгілейміз.
2-анықтама. Егер екі комплекс санның z 1 =x 1 + iy 1 және z 2 =x 2 + iy 2
нақты бөлігі (x 1 =x 2 ) мен жорамал бөліктері (y 1 = y 2 ) тең болса, онда олар тең (z 1 =z 2 ) деп аталады.
3-анықтама . Егер z=x+iy комплекс санында x=0 және y=0 болса, онда комплекс сан нольге тең.
4-анықтама . Егер z= x+iy комплекс x=0 санында болса, онда 0+iy=iy саны таза жорамал , ал егерy=0 болса, онда x+i0=x саны нақты сан болады.
Комплекс санда «үлкен», «кіші» деген ұғымдар қарастырылмайды.
5-анықтама . Жорамал бөлігінің таңбасында айырмашылық болатын z=x+iy және екі комплекс сан түйіндес деп аталады.
1. 2 Комплекс санның геометриялық бейнесі
Кез келген z=x+iy комплекс санды Oxy жазықтығында координаталары x=Rez және y=Imz болатын M(x, y) нүктесі ретінде көрсетуге болады. Және керісінше, жазықтықтың әрбір M (x, y) нүктесіне z=x+iy комплекс саны сәйкес келеді. Комплекс саны бейнеленген жазықтық, z комплекстік айнымалы жазықтығы деп аталады (1-сурет) .
z комплекстік айнымалы жазықтығының Ox өсінде жататын нүктелеріне нақты сандар сәйкес келеді (y=0) . Ал Oy өсінде жататын нүктелерін таза жорамал сандар бейнелейді (x=0) . Абцисса өсі
(z=x+0*i) нақты өс деп, ордината (z=0+yi) осі 0 жорамал өс деп аталады. M(x, y) нүктесін координатаның бас нүктесімен қосу арқылы OM
векторын аламыз. Кейбір кездерде z=x+iy комплекс санының геометриялық бейнесі
1-сурет есебінде r=OM= радиус векторын есептеу
ыңғайлы болады. z комплекс санын бейнелейтін векторының ұзындығы осы санның модулы деп аталады және z немесе r болып белгіленеді, яғни r=z. Нақты өс пен r векторының оң бағыттағы арасындағы бұрыш шамасы комплекс санның аргументі деп аталады және Arg z немесе болып белгіленеді, яғни . Комплекс санның r және шамалары x және y арқылы мына түрде анықталады:
(2)
және . (3)
Сонымен (4)
және (5)
Егер комплекс санның аргументі Ox өсінің оң бағыты бойынша, яғни сағат тіліне қарама-қарсы есептелсе ол оң, ал сағат тілі бағыты бойынша есептелсе теріс болады.
Егер z 0 комплекс санның аргументі көпмәнді болады және 2 . . . ) қосылғышына дейінгі дәлдікпен анықталады, яғни Argz=arg+z+2 , мұндағы argz - аргументтің бас мәні деп аталады және аралығында анықталады, яғни arg орындалады (кейде аргументтің бас мәні ретінде [0; 2 аралығындағы шама да алынады) .
1. 3 Комплекс санның тригонометриялық түрі
z санының z=x+iy түрінде жазылуы комплекс санның алгебралық түрі деп аталады.
Координаталар бас нүктесін полюс, ал Ox өсінің оң бағытын полярлық өс деп есептеп, M (x, y) нүктесінің полярлық координатасын және r арқылы белгілейміз. z=x+iy комплекс санының r модулін және аргументін полярлық координаттар жүйесінде векторы түрінде бейнелеуге болады (1-сурет) . Онда 1-суреттен x=rcos және y=rsin болатынын көреміз. Сондықтан z=x+iy комплекс санын мына түрде жазуға болады:
z=rcos i rsin (6)
немесе
(7)
Комплекс санның мұндай түрде жазылуы тригонометриялық түрде жазылуы деп аталады.
Жоғарыда айтылғандай z=x+ iy комплекс санының r=z модулы r=z= формуласынан, ал аргументі мына формулалардан анықталады:
Сонымен бірге
болғандықтан,
болады.
Мысалы, z=i комплекс санының модулі i болады.
Комплекс санның алгебралық түрінен тригонометриялық түріне ауысқанда z комплекс санының аргументінің басты мәнін анықтаса жеткілікті, яғни
болғандықтан y формуласынан
аламыз.
2-сурет.
Егер z нүктесі нақты немесе жорамал өсте жатса, онда болса, онда ; , онда болса, онда (2-сурет) .
1. 4 Комплекс сандарға амалдар қолдану
1. 4. 1 Комплекс сандарды қосу
6-анықтама. Екі z 1 = x 1 + iy 1 және z 2 = x 2 + iy 2 комплекс сандарының қосындысы деп
z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) +( x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i( y 1 + y 2 ) (2. 8)
түрінде анықталған сан айтады.
Мсалы, z 1 = 3+2i және z 2 =5-7i комплекс сандарының қосындысы
z 1 + z 2 =(3+2i) +(5-7i) =8-5i
болады.
(2. 8) формуласынан векторлық түрде бинеленген комплекс сандарды қосу, векторларды қосу ережесі бойынша жүргізілетін көреміз, яғни комплекс сандардың қосындысын геометриялық тұрғыдан екі вектордың қосындысы түрінде беруге болады (3-сурет) .
Комплекс сандарды қосу амалы коммутативті және ассоциативті қасиеттерді қанағаттандырады:
1. z 1 +z 2 =z 2 +z 1 ,
2. (z 1 + z 2 ) +z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) .
3-суреттен болатынын көреміз. Бұл теңсіздік үшбұрыштар теңсіздігі деп аталады.
1. 4. 2 Комплекс сандарды алу
Алу қосуға қарама-қарсы амал.
7-анықтама . Екі z 1 және z 2 комплекс сандарының айырымы деп, z 2 комплекс санына қосындысы z 1 комплекс саны болатын, яғни z =z 2 -z 1 теңдігі орындалатын z=z 1 -z 2 комплекс санын айтады.
Егер z 1 = x 1 +iy 1 және z 2 = x 2 +iy 2 болса, онда анықтамадан
z= z 1 -z 2 = (x 1 - x 2 ) + i(y 1 -y 2 ) (2. 9)
түрінде анықталады.
Мысалы, z 1 4+5i және z 2 =7-2i комплекс сандарының айырмасы
z 1 -z 2 =(4+5i) -(7-2i) =-3+7i
болады.
(2. 9) формуласынан екі комплекс санның айырымы геометриялық тұрғыдан екі вектордың айырымы түрінде болады (4-сурет) .
Сонымен бірге 4-суреттен теңсіздігі орындалатынын көреміз.
Екі комплекс санның айырымының модулы жазықтықта осы екі комплекс санды бейнелейтін екі нүктенің арақашықтығы d береді, яғни
(2. 10)
болады.
Сондықтан, мысалы, z-2i=1 комплексті жазықтықта z 0 = 2i нүктесінен арақашықтығы 1-ге тең z нүктелерінің жиынын анықтайды, яғни центрі z 0 =2i және радиусы 1-ге тең шеңбер.
1. 4. 3 Комплекс сандарды көбейту
8-анықтама . Екі z 1 =x 1+ iy 1 және z 2 =x 2 +iy 2 комплекс сандарының көбейтіндісі деп,
Z=z 1 z 2 = (x 1 x 2 -y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ) (2. 11)
теңдігімен анықталатын комплекс санды айтамыз.
Екі комплекс санды көбейту кезінде жорамал бірлік анықтамасын, яғни i 2 =-1 теңдігін және осы теңдіктен туындайтын i 3 = i 2 *i =-1* i=- i ,
i 4 =i 2 *i 2 =(-1) *(-1) =1, i 5 =i 4 *i=1*i=i теңдіктерін, сонымен бірге жалпы кез келген бүтін k үшін i 4k =1, i 4k +1 = i, i 4k+2 =-1, i 4k+3 =-i болатындығын ескереміз. Осы теңдіктердің негізінде (7. 11) теңдігінің растығын көрсетеміз:
z=z 1 z 2 =(x 1 +iy 1 ) (x 2 +iy 2 ) =x 1 x 2 +iy 1 x 2 +x 1 y 2 -y 1 y 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2 ) +i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ) .
Мысалы, (2-3i) (-5+4i) =-10+8i+15i-12i 2 =10+23i+12=2+23i.
Егер екі z=x+iy және түйіндес комплекс сандарды көбейтсек, онда (2. 11) теңдігінің негізінде
теңдігін аламыз, бұл теңдіктің оң жағы нақты сан болады.
Комплекс сандардың көбейтіндісі келесі қасиеттерді қанағаттандырады:
- z1z2=z2z1ауыстырымдылық заңы;
- (z1z2) z3=z1(z2z3) терімділік заңы;
- z1(z2+z3) =z1z2+z1z3үлестірімділік заңы.
Екі және комплекс сандары тригонометриялық түрде берілсе, онда олардың көбейтіндісі
теңдігімен анықталады, яғни
(2. 13)
болады.
Сонымен, екі комплекс санның көбейтіндісі, модулі көбейткіштердің модулдарының көбейтіндісі, ал аргументі көбейткіштердің аргументерінің қосындысы болатын комплекс сан болады.
1. 4. 4 Комплекс сандарды бөлу
9-анықтама . Комплекс сандарды бөлу, көбейтуге кері амал ретінде анықталады. Сонымен екі z 1 =x 1 + iy 1 және z 2 =x 2 +iy 2 комплекс саны берілсе, онда z 2 = 0 болғандағы z 1 -дің z 2 -ге бөліндісі деп, берілген z 2 -ге көбейтіндісі z 1 -ді беретін, яғни
z 2 z=z 1 (2. 14)
теңдігін қанағаттандыратын z саны аталады және
(2. 15)
болып белгіленеді.
Егер болса, онда (2. 14) теңдігінен (x 2 +iy 2 ) (x+iy) =(x 2 x-y 2 y) +i(y 2 x+x 2 y) =x 1 +iy 1 теңдігін аламыз, бұл теңдіктен
теңдеyлер жүйесін алып, осы жүйеден x пен y мәндерін табамыз:
Табылған мәдерді z=x+iy теңдігіне қоямыз, сонда
болады.
Жалпы алғанда іс жүзінде екі комплекс санның бөліндісін алу үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін бөлімінің түйіндісіне көбейтеміз, сонда бөлімінің жорамал бөлігінен құтыламыз.
Шыныменде, егер екі z 1 =x 1 +iy 1 және z 2 =x 2 +iy 2 0 комплекс саны
берілсе, онда
тең.
Мысалы, бөліндісін табу керек.
Шешуі.
Егер екі комплекс сан тригонометриялық түрде берілсе, онда оларды бөлу мына түрде жүргізіледі:
Сонымен, екі комплекс санның бөліндісі, модулі комплекс сандардың сәйкес модулдерінің бөліндісіне, ал аргументі комплекс сандардың сәйкес аргументерінің айырмасы болатын комплекс сан болады.
Мысалы бөліндісін табу керек.
Шешуі.
1. 4. 5 Комплекс сандарды дәрежелеу
Комплекс сандарды дәрежелеу формуласын алу үшін алдымен берілген z=x+iy комплекс санын тригонометриялық түрде жазып, (2. 13) теңдігінің негізінде
(2. 16)
теңдігін аламыз.
(2. 16) теңдігін қолданып, z комплекс санының n-ші дәрежесін мына түрде жазамыз:
(2. 17)
Бұл формула Муавр формуласы деп аталады. Осы формуладан комплекс санды оң бүтін санға дәрежелеу кезінде, оның модулі осы санға дәрежеленетінін, ал аргументі осы санға санға көбейтілетінін көреміз.
Мысалы, табу керек. Ол үшін алдымен берілген комплекс санды тригонометриялық түрге келтреміз, сондықтан
анықтаймыз, сонда
болады. Енді осы санға Муавр формуласын қолдану арқылы
болатынын көреміз.
1. 4. 6 Комплекс сандарды түбірден шығару
10-анықтама . z комплекс санының n-ші дәрежелі түбірі деп,
... жалғасы- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz