Комплекс сандар: анықтамалар, геометриялық бейнесі, түрлері, амалдары және көрсеткіштік функция

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

КОМПЛЕКС САНДАР

1. Негізгі түсінік

1-анықтама. $z = x + iy$ өрнегі түрінде берілген $z$ саны комплекс сан деп аталады, мұндағы $х\ және\ у$ у -нақты сандар, ал $i$ -жорамал бірлік деп аталады және $i^{2} = - 1$ немесе $i = \sqrt{- 1}$ теңдіктерінен анықталады.

Анықтамадағы $z = z + iy$ (1)

өрнегінде $x$ және $y$ бөліктері $z$ комплекс санының сәйкес нақты және жорамал бөліктері деп аталады. оларды сәйкес $x = Re\ z$ және $y = Im\ z$ арқылы белгілейміз.

2-анықтама. Егер екі комплекс санның z ₁ =x ₁ + iy ₁ және z ₂ =x ₂ + iy ₂

нақты бөлігі (x ₁ =x ₂ ) мен жорамал бөліктері (y ₁ = y ₂ ) тең болса, онда олар тең (z ₁ =z ₂ ) деп аталады.

3-анықтама . Егер z=x+iy комплекс санында x=0 және y=0 болса, онда комплекс сан нольге тең.

4-анықтама . Егер z= x+iy комплекс x=0 санында болса, онда 0+iy=iy саны таза жорамал , ал егерy=0 болса, онда x+i0=x саны нақты сан болады.

Комплекс санда «үлкен», «кіші» деген ұғымдар қарастырылмайды.

5-анықтама . Жорамал бөлігінің таңбасында айырмашылық болатын z=x+iy және $\overline{z} = x - iy\ \$ екі комплекс сан түйіндес деп аталады.

1. 2 Комплекс санның геометриялық бейнесі

Кез келген z=x+iy комплекс санды Oxy жазықтығында координаталары x=Rez және y=Imz болатын M(x, y) нүктесі ретінде көрсетуге болады. Және керісінше, жазықтықтың әрбір M (x, y) нүктесіне z=x+iy комплекс саны сәйкес келеді. Комплекс саны бейнеленген жазықтық, z комплекстік айнымалы жазықтығы деп аталады (1-сурет) .

z комплекстік айнымалы жазықтығының Ox өсінде жататын нүктелеріне нақты сандар сәйкес келеді (y=0) . Ал Oy өсінде жататын нүктелерін таза жорамал сандар бейнелейді (x=0) . Абцисса өсі

(z=x+0*i) нақты өс деп, ордината (z=0+yi) осі 0 жорамал өс деп аталады. M(x, y) нүктесін координатаның бас нүктесімен қосу арқылы OM

векторын аламыз. Кейбір кездерде z=x+iy комплекс санының геометриялық бейнесі

1-сурет есебінде r=OM= $\left\{ x, y \right\}$ радиус векторын есептеу

ыңғайлы болады. z комплекс санын бейнелейтін $\overrightarrow{r}$ векторының ұзындығы осы санның модулы деп аталады және z немесе r болып белгіленеді, яғни r=z. Нақты өс пен r векторының оң бағыттағы арасындағы бұрыш шамасы комплекс санның аргументі деп аталады және Arg z немесе $\varphi$ болып белгіленеді, яғни $\varphi = Argz$ . Комплекс санның r және $\varphi$ шамалары x және y арқылы мына түрде анықталады:

$r = \sqrt{x^{2} + \ y^{2}\ \ }$ (2)

және $\varphi = argtg\frac{y}{x}$ . (3)

Сонымен $z = x + iy = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ (4)

және $argz = \arg(x + iy) = argtg\frac{y}{x}$ (5)

Егер комплекс санның аргументі Ox өсінің оң бағыты бойынша, яғни сағат тіліне қарама-қарсы есептелсе ол оң, ал сағат тілі бағыты бойынша есептелсе теріс болады.

Егер z $\neq$ 0 комплекс санның аргументі көпмәнді болады және 2 $\pi \bullet k(k = 0, - 1, 1 - 2, 2,$ . . . ) қосылғышына дейінгі дәлдікпен анықталады, яғни Argz=arg+z+2 $\pi \bullet k$ , мұндағы argz - аргументтің бас мәні деп аталады және $( - \pi, \pi\rbrack$ аралығында анықталады, яғни $- \pi <$ arg $\leq \pi\$ орындалады (кейде аргументтің бас мәні ретінде [0; 2 $\ \pi)$ аралығындағы шама да алынады) .

1. 3 Комплекс санның тригонометриялық түрі

z санының z=x+iy түрінде жазылуы комплекс санның алгебралық түрі деп аталады.

Координаталар бас нүктесін полюс, ал Ox өсінің оң бағытын полярлық өс деп есептеп, M (x, y) нүктесінің полярлық координатасын $\varphi$ және r арқылы белгілейміз. z=x+iy комплекс санының r модулін және $\varphi\ \$ аргументін полярлық координаттар жүйесінде $\overrightarrow{r} = OM$ векторы түрінде бейнелеуге болады (1-сурет) . Онда 1-суреттен x=rcos $\varphi$ және y=rsin $\varphi\$ болатынын көреміз. Сондықтан z=x+iy комплекс санын мына түрде жазуға болады:

z=rcos $\varphi +$ i $\bullet$ rsin $\varphi$ (6)

немесе

$z = r(cos\varphi + i \bullet sin\varphi)$ (7)

Комплекс санның мұндай түрде жазылуы тригонометриялық түрде жазылуы деп аталады.

Жоғарыда айтылғандай z=x+ iy комплекс санының r=z модулы r=z= $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ формуласынан, ал аргументі мына формулалардан анықталады:

$cos\varphi = \frac{x}{r}, \sin{\varphi = \frac{y}{r}, \ tg\varphi = \frac{y}{x}}$

Сонымен бірге

$\varphi = Argz = argz + 2k\pi$

болғандықтан,

$\cos\varphi = \cos(argz + 2k\pi) = \cos(argz), sin\varphi = \sin{(argz) }$

болады.

Мысалы, z=i комплекс санының модулі i $\sqrt{0^{2} + 1^{2}}\$ болады.

Комплекс санның алгебралық түрінен тригонометриялық түріне ауысқанда z комплекс санының аргументінің басты мәнін анықтаса жеткілікті, яғни $\varphi = argz$

$- \pi < \arg \leq \pi\$ болғандықтан $tg\varphi = \frac{y}{x}\$ y формуласынан

$argz = \left\{ \begin{array}{r} arctg\frac{y}{x}, \ I, \ IV\ ширектің\ ішкі\ нүктелері\ үшін\ \\ arctg\frac{y}{x} + \pi, \ II\ ширектің\ ішкі\ нүктелері\ үшін \\ arctg\frac{y}{x} - \pi, \ III\ ширектің\ ішкі\ нүктелері\ үшін \end{array}\ \right. \$

аламыз.

2-сурет.

Егер z нүктесі нақты немесе жорамал өсте жатса, онда $z_{1} = 2$ болса, онда $\arg z_{1} = 0$ ; $z_{2} = - 3$ , онда $\arg z_{2} = \pi; \ z_{3} = i\ болса, \ онда\ \arg z_{3} = \frac{\pi}{2}; z_{4} = - 4i\$ болса, онда $\arg z_{4} = \frac{3\pi}{2} = - \frac{\pi}{2}$ (2-сурет) .

1. 4 Комплекс сандарға амалдар қолдану

1. 4. 1 Комплекс сандарды қосу

6-анықтама. Екі z ₁ = x ₁ + iy ₁ және z ₂ = x ₂ + iy ₂ комплекс сандарының қосындысы деп

z ₁ + z ₂ = (x ₁ + iy ₁ ) +( x ₂ + iy ₂ ) = (x ₁ + x ₂ ) + i( y ₁ + y ₂ ) (2. 8)

түрінде анықталған сан айтады.

Мсалы, z ₁ = 3+2i және z ₂ =5-7i комплекс сандарының қосындысы

z ₁ + z ₂ =(3+2i) +(5-7i) =8-5i

болады.

(2. 8) формуласынан векторлық түрде бинеленген комплекс сандарды қосу, векторларды қосу ережесі бойынша жүргізілетін көреміз, яғни комплекс сандардың қосындысын геометриялық тұрғыдан екі вектордың қосындысы түрінде беруге болады (3-сурет) .

Комплекс сандарды қосу амалы коммутативті және ассоциативті қасиеттерді қанағаттандырады:

1. z ₁ +z ₂ =z ₂ +z ₁ ,

2. (z ₁ + z ₂ ) +z ₃ =z ₁ +(z ₂ +z ₃ ) .

3-суреттен $\left z_{1} + z_{2} \right \leq \left z_{1} \right + z_{2}$ болатынын көреміз. Бұл теңсіздік үшбұрыштар теңсіздігі деп аталады.

1. 4. 2 Комплекс сандарды алу

Алу қосуға қарама-қарсы амал.

7-анықтама . Екі z ₁ және z ₂ комплекс сандарының айырымы деп, z ₂ комплекс санына қосындысы z ₁ комплекс саны болатын, яғни z =z ₂ -z ₁ теңдігі орындалатын z=z ₁ -z ₂ комплекс санын айтады.

Егер z ₁ = x ₁ +iy ₁ және z ₂ = x ₂ +iy ₂ болса, онда анықтамадан

z= z ₁ -z ₂ = (x ₁ - x ₂ ) + i(y ₁ -y ₂ ) (2. 9)

түрінде анықталады.

Мысалы, z ₁ 4+5i және z ₂ =7-2i комплекс сандарының айырмасы

z ₁ -z ₂ =(4+5i) -(7-2i) =-3+7i

болады.

(2. 9) формуласынан екі комплекс санның айырымы геометриялық тұрғыдан екі вектордың айырымы түрінде болады (4-сурет) .

Сонымен бірге 4-суреттен $z_{1} - z_{2} \geq z_{1} - z_{2}$ теңсіздігі орындалатынын көреміз.

Екі комплекс санның айырымының модулы жазықтықта осы екі комплекс санды бейнелейтін екі нүктенің арақашықтығы d береді, яғни

$\left z_{1} - z_{2} \right = \sqrt{{(x_{1} - x_{2}) }^{2} + \left( y_{1} - y_{2} \right) } = d\ \ \ \$ (2. 10)

болады.

Сондықтан, мысалы, z-2i=1 комплексті жазықтықта z _{0 =} 2i нүктесінен арақашықтығы 1-ге тең z нүктелерінің жиынын анықтайды, яғни центрі z ₀ =2i және радиусы 1-ге тең шеңбер.

1. 4. 3 Комплекс сандарды көбейту

8-анықтама . Екі z ₁ =x ₁₊ iy ₁ және z ₂ =x ₂ +iy ₂ комплекс сандарының көбейтіндісі деп,

Z=z ₁ z ₂ = (x ₁ x ₂ -y ₁ y ₂ ) + i(x ₁ y ₂ +y ₁ x ₂ ) (2. 11)

теңдігімен анықталатын комплекс санды айтамыз.

Екі комплекс санды көбейту кезінде жорамал бірлік анықтамасын, яғни i ² =-1 теңдігін және осы теңдіктен туындайтын i ³ = i ² *i =-1* i=- i ,

i ⁴ =i ² *i ² =(-1) *(-1) =1, i ⁵ =i ⁴ *i=1*i=i теңдіктерін, сонымен бірге жалпы кез келген бүтін k үшін i ^4k =1, i ^{4k +1} = i, i ^4k+2 =-1, i ^4k+3 =-i болатындығын ескереміз. Осы теңдіктердің негізінде (7. 11) теңдігінің растығын көрсетеміз:

z=z ₁ z ₂ =(x ₁ +iy ₁ ) (x ₂ +iy ₂ ) =x ₁ x ₂ +iy ₁ x ₂ +x ₁ y ₂ -y ₁ y ₂ =(x ₁ x ₂ -y ₁ y ₂ ) +i(x ₁ y ₂ +y ₁ x ₂ ) .

Мысалы, (2-3i) (-5+4i) =-10+8i+15i-12i ² =10+23i+12=2+23i.

Егер екі z=x+iy және $\overline{z} = x - iy\$ түйіндес комплекс сандарды көбейтсек, онда (2. 11) теңдігінің негізінде

$z\overline{z} = (x + iy) (x - iy) = x^{2} + y^{2}$

теңдігін аламыз, бұл теңдіктің оң жағы нақты сан болады.

Комплекс сандардың көбейтіндісі келесі қасиеттерді қанағаттандырады:

z1z2=z2z1ауыстырымдылық заңы;
(z1z2) z3=z1(z2z3) терімділік заңы;
z1(z2+z3) =z1z2+z1z3үлестірімділік заңы.

Екі $z_{1} = r_{1}(cos\varphi_{1} + i \bullet \sin\varphi_{1})$ және $z_{2} = r_{2}(cos\varphi_{2} + i \bullet \sin\varphi_{2})$ комплекс сандары тригонометриялық түрде берілсе, онда олардың көбейтіндісі

$z_{1}z_{2} = r_{1}\left( \cos\varphi_{1} + isin\varphi_{1} \right) r_{2}\left( \cos\varphi_{2} + isin\varphi_{2} \right) = r_{1}r_{2}\left( \cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2} + isin\varphi_{1}\sin\varphi_{2} + icos\varphi_{1}\sin\varphi_{2} - sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2} \right) = r_{1}r_{2}\left( \left( \cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2} - sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2} \right) + i\left( \sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2} + cos\varphi_{1}\sin\varphi_{2} \right) \right) = \ r_{1}r_{2}\lbrack\cos\left( \varphi_{1} + \varphi_{2} \right) + isin(\varphi_{1} + \varphi_{2}) \rbrack$

теңдігімен анықталады, яғни

$r_{1}r_{2}\left\lbrack \cos\left( \varphi_{1} + \varphi_{2} \right) + isin\left( \varphi_{1} + \varphi_{2} \right) \right\rbrack$ (2. 13)

болады.

Сонымен, екі комплекс санның көбейтіндісі, модулі көбейткіштердің модулдарының көбейтіндісі, ал аргументі көбейткіштердің аргументерінің қосындысы болатын комплекс сан болады.

1. 4. 4 Комплекс сандарды бөлу

9-анықтама . Комплекс сандарды бөлу, көбейтуге кері амал ретінде анықталады. Сонымен екі z ₁ =x ₁ + iy ₁ және z ₂ =x ₂ +iy ₂ комплекс саны берілсе, онда z ₂ = 0 болғандағы z ₁ -дің z ₂ -ге бөліндісі деп, берілген z ₂ -ге көбейтіндісі z ₁ -ді беретін, яғни

z ₂ z=z ₁ (2. 14)

теңдігін қанағаттандыратын z саны аталады және

$z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ (2. 15)

болып белгіленеді.

Егер $z_{1} = x_{1} + iy_{1}, \ z_{2} = x_{2} + iy_{2} \neq 0, \ z_{} = x_{} + iy_{}$ болса, онда (2. 14) теңдігінен (x ₂ +iy ₂ ) (x+iy) =(x ₂ x-y ₂ y) +i(y ₂ x+x ₂ y) =x ₁ +iy ₁ теңдігін аламыз, бұл теңдіктен

$\left\{ \begin{matrix} x_{2}x - y_{2}y + x_{1} \\ y_{2}x + x_{2}y = y_{1} \end{matrix} \right. \$

теңдеyлер жүйесін алып, осы жүйеден x пен y мәндерін табамыз:

$x = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}, \ \ \ y = \frac{y_{1}x_{2} + x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}, \ \ \$

Табылған мәдерді z=x+iy теңдігіне қоямыз, сонда

$z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} + i\frac{y_{1}x_{2} + x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}, \ \ \$

болады.

Жалпы алғанда іс жүзінде екі комплекс санның бөліндісін алу үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін бөлімінің түйіндісіне көбейтеміз, сонда бөлімінің жорамал бөлігінен құтыламыз.

Шыныменде, егер екі z ₁ =x ₁ +iy ₁ және z ₂ =x ₂ +iy ₂ $\neq$ 0 комплекс саны

берілсе, онда

$z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1} + iy_{1}}{x_{1} + iy_{1}} = \frac{\left( x_{1} + iy_{1} \right) (x_{2} - iy_{2}) }{\left( x_{1} + iy_{1} \right) (x_{2} - iy_{2}) } = \frac{\left( x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} \right) + i(x_{2}y_{2} - x_{1}y_{1}) }{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}\ = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} + i\frac{x_{2}y_{1} - x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$

тең.

Мысалы, $\frac{1 + 3i}{2 + i}$ бөліндісін табу керек.

Шешуі. $\frac{1 + 3i}{2 + i} = \frac{(1 + 3i) (2 - i) }{(2 + i) (2 - i) } = \frac{2 - i + 6i + 3}{4 + 1} = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i$

Егер екі комплекс сан тригонометриялық түрде берілсе, онда оларды бөлу мына түрде жүргізіледі:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}(cos\varphi_{1} + isin\varphi_{1}) }{r_{2}(cos\varphi_{2} + isin\varphi_{2}) } = \frac{r_{1}}{r_{2}}\lbrack\cos\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right) + isin(\varphi_{1} - \varphi_{2}) \rbrack$

Сонымен, екі комплекс санның бөліндісі, модулі комплекс сандардың сәйкес модулдерінің бөліндісіне, ал аргументі комплекс сандардың сәйкес аргументерінің айырмасы болатын комплекс сан болады.

Мысалы $\frac{5\left( \cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} \right) }{7\left( \cos\frac{\pi}{3} + isin\frac{\pi}{3} \right) }$ бөліндісін табу керек.

Шешуі. $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5\left( \cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} \right) }{7\left( \cos\frac{\pi}{3} + isin\frac{\pi}{3} \right) } = \frac{5}{7}\left\lbrack \cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{6} \right\rbrack$

1. 4. 5 Комплекс сандарды дәрежелеу

Комплекс сандарды дәрежелеу формуласын алу үшін алдымен берілген z=x+iy комплекс санын тригонометриялық түрде жазып, (2. 13) теңдігінің негізінде

$z^{2} = zz = rr\left\lbrack \cos(\varphi + \varphi) + isin(\varphi + \varphi) \right\rbrack = r^{2}(cos2\varphi + isin2\varphi)$ (2. 16)

теңдігін аламыз.

(2. 16) теңдігін қолданып, z комплекс санының n-ші дәрежесін мына түрде жазамыз:

$z^{n} + {(r(cos\varphi + isin\varphi) ) }^{n} = r^{2}(cosn\varphi + isinn\varphi) \ \$ (2. 17)

Бұл формула Муавр формуласы деп аталады. Осы формуладан комплекс санды оң бүтін санға дәрежелеу кезінде, оның модулі осы санға дәрежеленетінін, ал аргументі осы санға санға көбейтілетінін көреміз.

Мысалы, ${(1 + \sqrt{3i}) }^{9}\$ табу керек. Ол үшін алдымен берілген комплекс санды тригонометриялық түрге келтреміз, сондықтан