Комплекс сандарды оқытуға арналған компьтерлік бағдарламаларды қолдану тәсілдері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 3
1 КОМПЛЕКС САНДАР МЕН ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР 5
1.1 Комплекс сандар ұғымы 5
1.2 Комплекс сандарға амалдар қолдану 14
2. КОМПЛЕКС САНДАРДЫ ОҚЫТУҒА АРНАЛҒАН КОМПЬЮТЕРЛІК БАҒДАРЛАМА ЖАСАҚТАУ ТӘСІЛДЕРІ 22
2.1 Комплекс сандарды оқыту әдістері 22
2.2 Комплекс сандарды оқытуға арналған компьютерлік бағдарлама құрастыру 29
2.3 Компьютерлік бағдарламаны пайдалану жолдары 44
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...59
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 61

КІРІСПЕ

Кез - келген заманауй мамандықты игерудің бірден-бір талабының бірі математикалық біліміне сүйенеді. Заманауй әлемдегі математиканың рөлі туралы ұсыныстар жалпы мәдени ортаның қажетті қосындысы ретінде көрсетіледі. Өмірде өзін-өзі жүзеге асыру үшін, сондай-ақ ақпараттық заманында оңтайлы қызметке қол жеткізу үшін айтарлықтай берік математикалық даярлықты қажет етеді.
Сондықтан математиканы оқытудың негізгі мақсаты - заманауй қоғам мүшесінің әрқайсысының еңбек қызметіне және күнделікті өміріне қажетті, математикалық білім мен ептілік жүйесін саналы және берік игеруін қамтамасыз ету.
Білім беру жүйесінің негізгі мақсатын шешумен қатар математиканы терендетіп оқыту дегеніміз, оқушының пәнге деген тұрақты қызығушылығын қалыптастыру, олардың математикалық қабілеттерін анықтау және жетілдіру, математикамен байланысты мамандыққа бағдарлау.
Заманауй қоғамның қарқынды түрде дамуы, әртүрлі саладағы адам қызметінің жаңа ақпараттармен толықтырылуы білім жүйесіне өскелең ұрпақты оқытуда жаңа бастамаларды, сонымен қатар жаңа әдістер мен технологияларды енгізуді қажет етеді.
Қазіргі уақытта кей ғылымдарды комплекстік сандарды қолданусыз елестету қиын. Электротехника, электромеханика, радиотехника, ұшақ құру және басқа да ғылымдар теориясы комплекс сан түріндегі модельді қолданусыз мүмкін емес.
Комплекс сандарды есептеуді калькулятор немесе программалау тілдері арқылы жүргізе аламыз. Осындай программалау тілінің бірі- Соmmоn Lіsр. Соmmоn Lіsр- басқа программалау тілдеріне қарағанда математиканы жеңілдетпейді, тек оны қолдану оны қарапайым етеді.
Математиктер Lіsр-ті математикалық функцияларды зерттеу үшін құрастырған.
Қолданыстағы технологиялар мен әдістердің теориялық талдауы олардың арасынан компьтерлік оқыту бағдарламасын ең үздік технологиялық бастамалардың бірі екендігін көрсетті.
Математикалық ғылымның ерекшелігі (логикалылығы, құрылымдылығы, әмбебаптылығы) ең алдымен комплекс сандарды оқытуға арналған компьютерлік бағдарламаларға сай келеді, ол оны қолданудың мақсаттылылығын дәлелдейді.
Дипломдық жұмыстың мақсаты. Комплекс сандарды оқытуға арналған компьтерлік бағдарламаларды қолдану тәсілдері бойынша әдіснамалық ұсыныстар жасау, олар:
- қарастырылып отырған тақырып бойынша әдіснамалық ұсыныстар құрастыру;
- комплекс сандарды оқытуға арналған компьтерлік бағдарламаларды жасақтау тәсілдері.
Дипломдық жұмыстың объектісі. Комплекс сандарды оқыту әдістерін анықтау.
Дипломдық жұмыстың пәні. Комплекс сандарды оқытуға арналған компьютерлік бағдарламаларды жасақтау әдістерін зерттеу.
Дипломдық жұмыстың тәжірибелік маңыздылығы мынадан тұрады, халыққа білім беру саласындағы жаңа концепция бойынша, жаңа оқу орындарының сатылы (бакалавар, магистр) оқу жүйесіне арналған жаңа бағдарлама құрылғаны белгілі. Сондықтан да, оған сәйкестендіріліп жазылған мемлеметтік тілдегі оқулықтар мен оқу құралдарының қажеттілігі мен тапшылығы көптеген қиындықтар туғызуда. Комплекс сандарды зерттеу үшін оқу-әдіснамалық материалдар жасалынды, оларды математика пәнін тереңдетіп оқытатын мектептердің мұғалімдері қолдануы мүмкін.
Дипломдық жұмыста берілген тұжырымдардың дәлелдемелері толық қамтылған, барлық қажет жағдайларда графикалық кескіндері келтірілген.

1. КОМПЛЕКС САНДАР МЕН ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР
1.1 Комплекс сандар ұғымы

Комплекс сан ұғымы тұңғыш рет ХҮІ ғасырда итальяндықтар Дж.Кардано және Р.Бомбелли қарастырған дискриминантты теріс квадрат теңдеулердің, әсіресе кубтық теңдеулердің ,шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы шыққан Алгебра атты кітабында Р.Бомбелли комплекс сандарға арифметикалық операциялар қолданған.
Алғашқы кезде комплекс сандардың іс жүзінде нақты түрде түсінігі (интерпретациясы), болмағандықтан ондай түбірлерді мүмкін емес, жорамал деп санап , ондай түбірлері бар теңдеулерді түбірі жоқ теңдеулер қатарына қосатын болған.
Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек ХҮІІІ ғасырда басталды. Міне осы кезде комплекс сандардың интегралдық есептеуде механикада және геометрияда қолданулары комплекс аргументті функцияларды қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде туған жері Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп, өзін орыс ғалымымын деп атап өткен Леонард Эйлер (1707-1783) мен француз математигі және философы Даланбердің (1717-1783) үлесі көп.
Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық түсінікті 1797 жылы даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745-1818) берген, бірақ тек атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) комплекс сандарды арифметикаға, алгебраға, геометрия және математикалық анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың геометриялық мағынасын қолданып, оны толық пайдалана бастайды. Математикаға комплекс сан терминін кіргізген де, жоғарғы алгебраның негізгі теоремасының толық дәлелдеуін тұңғыш рет (1799 ) ұсынған да К.Гаусс.
Математиканың тарихи даму барысында әр қырынан қойылып, түрліше шешім тауып отырған ең басты мәселелердің бірі- сан ұғымын дамыту болды. Сан ұғымын кеңейту мәселесі алгебра ғылымының өз алдына бөлініп дербес даму жолына түсуін күрт жеделдетті, шешуі болатын теңдеулер класын көбейтті, қолданыстағы сандар теориясын байытуды, кеңейтуді талап етті.
Алгебралық теңдеулерді шешу үшін нақты сандар жеткіліксіз. Сондықтан да осы теңдеулерді шешуге деген ұмтылыс сандар ұғымының кеңеюіне әкеледі. Теңдеудің түбірін табу үшін оң сандар жеткіліксіз, сондықтан да теріс сандар және нөл енгізу қажеттілігі туындайды. [2]
Біздің дәуірімізге дейін 2 мың жыл бұрын ежелгі Египет және Вавилонда практикалық есептеулерде бөлшек сандар қолданылған. Сан ұғымы дамуының келесі кезеңі теріс сандарды енгізу-б.д.д 2 ғасыр бұрын қытай математиктері енгізген.Теріс сандар көмегімен бірыңғай жолмен шамалар өзгерісін суреттеуге болады. Б.д.д 8 ғасырда оң таңбалы санның квадраттық түбірінің екі мәні - оң және теріс бар екендігі, ал теріс таңбадан квадрат түбір шығаруға болмайтындығы белгілі болды. 16 ғасырда кубтық теңдеулерді зеттеу кезінде теріс таңбалы саннан квадраттық түбір шығару керек болды. Кубтық теңдеуді шешу формуласында кубтық және квадраттық түбір бар. Бұл формула теңдеудің бір нақты түбірі болса үзіліссіз әсер етеді, ал егер ол үш нақты түбірі болса, онда квадраттық түбірде теріс сан болады. Осы феноменді түсіндіру үшін 1545 жылы итальяндық алгебраист Дж.Кардано табиғаты жаңа санды енгізуді ұсынды.Кардано мұндай шамаларды сандар теріс деп атады және оларды жарамсыз деп санап, қолданбауға тырысты. Шындығында, мұндай сандардың көмегімен қандай да бір шаманың нәтижесін, осы шаманың өзгерісін көрсетуге болмайды.
Бірақ та 1572 жылы Бомбелли өз кітабында алғаш рет осы сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар ережесін орнатты. Жорамал сан атауын 1637 жылы француз математигі Р.Декарт енгізді, ал 1777 жылы Х.Эйлер француз санының бірінші әріпі і қолдануды ұсынды, бұл белгіні жалпы қолданысқа К.Гаусс енгізді.
18 ғасырдың соңында француз математигі Ж.Лагранж жорамал сандар көмегімен сызықты дифференциаль теңдеулерді көрсете білді.
Я.Бернулли комплекс сандарды интегралды есептеу үшін қолданды. 18 ғасырда комплекс сан көмегімен картография, гидродинамика және т.б. байланысты қолданбалы есептер есептелінді. Бірақ та осы сандар теориясының логикалық негізі болмады.
19 ғасырда комплекс санның геометриялық талдауы алынды.Комплекс сандардың геометриялық талдауы комплекс айнымалы функциямен байланысты көптеген түсініктер табуға, олардың қолдану саласын кеңейтуге мүмкіндік берді. Комплекс сандардың көптеген сұрақтарда, жазықтықта вектормен көрсетілетін шамалары бар, керекті екендігі белгілі болды: су ағынын зерттеу кезінде, серпімділік теориясы тапсырмаларында, теориялық электротехникада.[1]
Физика және техника тапсырмалырының шешімі кері дискриминантты квадраттық теңдеулер арқылы жүргізіледі. Бұл теңдеулердің нақты сандар облысында шешімі жоқ. Бірақ мұндай көптеген тапсырмалардың шешімінің нақты физикалық мағынасы бар. Көрсетілген теңдеуді шешу нәтижесінде алынған шама мәнін комплекстік сандар деп атады. Комплекстік санды орыс авиациясының негізін қалаушы Н.Е.Жуковский қанат теориясын құру кезінде кең қолданған. Бұл теориядағы негізгі мәселелер: қанатты көтеруші күш қалай, қайдан шығатынын, оның шамасы және түсу нүктесі ұшу жағдайына қалай байланыстылығын айқындау, зерттеу. Комплекстік сандар және комплекстік айнымалылар функциясы көптеген ғылым мен техника сұрақтарында қолданыс табады.
Сан ұғымының натурал сандардан нақты сандарға дейін кеңею үрдісі тәжірибенің талаптарымен, сондай-ақ математиканың өз мұқтаждықтарымен байланысты болды. Алдымен заттарды санау үшін натурал сандар пайдаланылады.
Содан кейін:
oo бөлуді орындаудың қажеттігі оң бөлшек сандар ұғымына әкеледі;
oo әрі қарай, азайтуды орындау қажеттігі нөл мен теріс сандар ұғымдарына әкелді;
oo ақырында оң сандардан түбір табу қажеттігі иррационал сандар ұғымына әкелді. Аталған амалдардың бәрі нақты сандар жиынында орындалады. Алайда, бұл жиында орындалмайтын операциялар да қалды, мысалы, теріс саннан квадраттық түбір табу амалы. Олай болса, сан ұғымының одан әрі кеңеюінің, нақты сандардан ерекше, жаңа сандардың пайда болуының қажеттігі бар.
Геометриялық тұрғыдан нақты сандар координаталық түзудің нүктелерімен кескінделеді. Әрбір нақты санға түзудің бір нүктесі сәйкес, ал түзудің әрбір нүктесіне бір нақты сан сәйкес келеді. Координаталық түзу түгелдей нақты сандардың бейнесімен толтырылған, яғни басқаша айтқанда онда басқа сандарға орын жоқ. Жаңа сандардың геометриялық бейнелерін енді түзу бойында емес, координаталық жазықтықта іздеу керек деген ұйғарым туады. Бірақ координаталық ХОУ жазықтығының әрбір М нүктесін осы нүктенің координаталарымен анықтауға болады. Сондықтан жаңа комплекс сандар деген атпен жаңа ұғым енгізілді. 1545 жылы италиян оқымыстысы Дж. Кардано
х+у=10ху=40 (1.1)
теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі жоқ, ал оның шешімін

х12=5+--15у12=5∓-15 (1.2)
түрінде табады. Кардано оларды таза теріс немесе софистикалық теріс шамалар деп атаған. Бірақ ол мұндай шешуді пайдасыз деп тауып, оларды қолданбауға тырысады.
Комплекс сандардың қасиетін дұрыс бағалаған ең бірінші математик Рафаэль Бомбелли (1526-1573) болды. Ол комплекс сандарды кубтық теңдеуді шешудің келтірілмейтін жағдайын шешуге қолданады. Ол 1572 жылы жарық көрген Алгебра атты еңбегінің бірінші кітабында комплекс сандарға амалдар қолданудың алғашқы ережелерін көрсетті. Бомбелли Карданоның софистикалық теріс сандар кездесетін барлық өрнектердің а bі түріне келетінін тағайындады. 1637 жылы француз математигі Р. Декарт жорымал сан терминін енгізді, ал XVІІІ ғасырдың ең атақты математиктердің бірі Л. Эйлер 1977 жылы і-1 (жорымал бірлік) санын белгілеу үшін француз сөзінің іmаgіnаіrе (жорымал) бірінші әрпін қолдануды ұсынды. 1831 жылы К. Гаусс комплекс сан терминин енгізді.
Жалпы комплекс сандарын интегралдық есептеуде, механикада, геометрияда қолданымдарына байланысты қалыптаса бастаған комплекс айнымалы функциялар теорясының дамуына француз математигі Даламбер, негізі швециялық болса да, өзін орыс ғалымы деп атап өткен Л.Эйлер көптеген үлестерін қосқан. Теорияның одан әрі дамуына неміс ғалымдары К.Гаусс, Б.Риман, француз ғалымы О.Кошилердің аттарымен қатар орыс ғалымдары Н.Е.Жуковский, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыштің де еңбектері зор.[4]
Анықтама. Комплекс сандар деп түріндегі сандарды айтамыз, мұндағы нақты сандар, жорымал бірлік деп аталады және пен сандары комплекс санының сәйкес нақты және жорымал бөлігі деп аталады әрі олар таңбаларымен белгіленеді.
Сонымен, егер бізге комплекс саны берілсе, онда нақты пен сандары берілді деп түсінуіміз керек.
Егер болса, онда комплекс саны нақты бөлігіне тең, яғни осы сияқты, егер болса, онда .
Жазықтықта тікбұрышты декарт координат жүйені қарастырайық және комплекс сандағы пен нақты сандар осы жазықтықтағы нүктенің координаттары болсын. Онда әрбір комплекс санына осы жазықтықтанүкте сәйкес келеді және керісінше, яғни жазықтықтағы әрбір нүктеге осы жазықтықта анықталған комплекс саны сәйкес келеді.
Сонымен комплекс сандар жиыны мен жазықтықтағы нүктелер жиыны арасында өзара бір мәнділік сәйкестік бар (1- сурет).
жазықтығындағы әрбір нүкте, осы жазықтықтағы координат жүйенің бас нүктесі вектордың нүкте вектордың соңғы нүктесі болатын векторды анықтайды. Осылайша анықталған вектордың өсіндегі проекциясы ке, ал өсіндегі проекциясы ке тең. Сонымен, кез келген комплекс сандардың геометриялық кескінін жазықтығында нүктелер немесе векторлар арқылы бейнелеуге болады. Осылайша анықталған жазықтығын комплекс сандар жазықтығы дейміз, немесе комплекс жазықтығы деп аталады.

y

0
y
1{1,0}

Z(x,y)

1-сурет. Бірлік векторын анықтау.
нақты сандар жазықтығында өсіндегі нүктелерді немесе немесе өсіндегі векторларды бейнелейді.
өсі нақты өс деп аталады. нақты саны өсіндегі нүктені немесе осы өстегі бірлік векторды анықтайды сурет).
Ал жорымал саны өсіндегі нүктені немесе осы өстегі векторды анықтайды. өсі жорымал өс деп аталады. жорымал саны өсіндегі нүктені немесе осы өстегі бірлік векторын анықтайды және бұл вектор өсіндегі бірлік вектор болады (1- сурет). [6]
Анықтама. және комплекс сандары тең деп аталады, егер комплекс сандардың нақты бөліктері нақты бөліктеріне, ал жорымал бөліктері жорымал бөліктеріне тең болса, яғни мен комплекс сандардың теңдігі таңбамен белгіленеді. пен комплекс сандары өзара түйіндес комплекс сандар деп аталады. Бұл жағдайда пен нүктелері нақты өсі арқылы симметриялы болады.
комплекс жазықтығындағы векторының ұзындығына және осы вектордың нақты өсімен оң бағытта түзейтін бұрышын қарастырайық (1- сурет).
Вектордың ұзындығы мен бұрышы комплекс санның сәйкес модулі және аргументі деп аталады және олар былай белгіленеді.
(1.3)
Бізге аналитикалық геометриядан, декарт координат пен поляр координат жүйелерінің арасындағы байланыс мына формула арқылы өрнектелінетіні белгілі:

Онда . (1.4)
Бұл формула комплекс санның тригонометриялық түрі деп аталады. Осыдан
(1.5)
және болғанда аргументтің барлық мәндері мына қатынасты қанағаттандырады:
. (1.6)
Егер болса, онда анықталмаған, сондықтан болғанда мәндерінің жиынынан интервалға тиісті тек бір ғана мәнді бөліп аламыз және оны деп белгілейік және ол аргументтің негізгі мәні деп аталады:
. (1.7)
Сонда (2.4) мен (2.5) формулалардан мына теңдікті аламыз:

(1.8)
Онда мына теңдік орындалады: .
Мына нақты сандар комплекс жазықтығындағы нүктенің координаттары деп аталады, яғни . Берілген мен комплекс сандардың теңдігін поляр координатында (1.9)
теңдіктерімен анықтаймыз, ал түйіндестік белгіні (1.10) мұнда . Бізге тригонометриялық түрде екі комплекс сандары берілсін. Егер болса, онда
теңдіктері орындалады. Осыдан .
Онда жоғарыдағы теңдіктерден

Онда

Егер болса, онда теңдігі орындалады.
Мысалдар. 1. Берілген комплекс сандарды тригонометриялық түрге келтірейік: а) б) в) г)
а) комплекс саны үшін және (2.3) формуладан
Енді (2.6) теңдіктен комплекс санының аргументі ге тең. Онда (2.2) формула бойынша

б) комплекс саны үшін және (2.3) формуладан Енді (2.6) теңдіктен комплекс санның аргументін анықтаймыз

Сонда (2.2) формула бойынша:

в) (2.3) формуладан ал (2.6) формуладан Сонда

г) (2.3) формуладан ал (2.6) формуладан Сонда

2. Төмендегі шарттар жазықтықтағы қандай нүктелер жиындарын анықтайды: а) б) в) г)
а) теңдігі мына теңдеумен эквивалентті:

Онда шарты өсіне параллель болатын түзуінің бойындағы нүктелер жиыны болады (2а-сурет).
y
o

x
в)
y=5
y
o

x
г)
y=5
y=2
y
X=4
o
4
x
а)
y
X=5
o

x
б)

x=2

2- сурет. Жазықтықтағы нүктелер жиынын анықтау.

б) теңсіздігінен мына теңсіздікті аламыз: .
Сонымен берілген шарт теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиыны болады (2б-сурет).
в) шарт теңдеуімен эквивалентті, яғни берілген шарт өсіне параллель болатын түзуді анықтайды (2в-сурет).
г) шарт теңсіздіктен эквивалентті, сондықтан берілген шарт теңсіздікті қанағаттандыратын нүктелер жиыны болады (2г-сурет).
Комплекс сандар және олардың геометриялық кескіні. Комплекс сан z деп белгілі бір тәртіппен алынған х және у қос нақты сандар айтылады және ол алгебралық түрде z=x+іy деп белгіленеді, мұндағы x және y-нақты сандар, ал і- жорымал бірлік деп аталады, i2=-1. Комплекс сандар жиыны С әрпімен белгіленеді: С=z=х,у:х,у∈R.
х саны z комплекс санының нақты бөлігі деп аталып, х=Rе z (Rееllе деген француз сөзінен алынған) арқылы белгіленеді, ал y саны z комплекс санының жорымал бөлігі деп аталып, y=Іm z (Іmаgіnаіrе деген француз сөзінен алынған) арқылы белгіленеді.
Егер 1=х1 + іy1 және z2= x2+ іy2 екі комплекс сандарының сәйкес нақты
және жорымал бөліктері өзара тең болса, яғни x 1= x 2, y 1= y 2, онда олар тең комплекс сандар деп аталады. Дербес жағдайда, z=x+іy комплекс саны нөлге тең болады, тек сонда ғана, егер x = y = 0 болғанда. Комплекс сандар үшін артық және кем ұғымдары енгізілмейді.
Бірінші компоненттері өзара тең, ал екінші компоненттерінің таңбасы ғана қарама-қарсы екі комплекс сан түйіндес комплекс сандар дейді.
Кез келген z= x+іy комплекс санын Оxy жазықтығында М(x;y) нүктесімен кескіндеуге болады (3-сурет ).
Сонда z∈С санын М нүктесінің аффиксі деп, а жазықтық комплекс жазықтық (кейде Гаусс жазықтығы) деп аталады. Комплекс сандарды осылайша кескіндегенде нақты сандар абсциссалар осінің нүктелерімен кескінделеді де, ал ординаталар осінің нүктелері таза жорымал сандарды кескіндейді.
Сондықтан абсцисса осін нақты ось деп, ал ордината осін жорымал ось деп атайды.

3-сурет. Түйіндес комплекс сандарды анықтау.
z=x+іy комплекс санын r =ОМ = (х,у) радиус-векторының көмегімен беруге болады. r векторының ұзындығын z комплекс санының модулі деп атайды және ол z немесе r арқылы белгіленеді:

r=z=х2+у2

Демек, φ - Ох осін r векторының бағытымен беттестіру үшін оң бағытқа бұратын бұрышты кескіндейді, егер бұру сағат тіліне қарсы бағытта іске асырылса, онда бұл бұрыш оң, қарсы жағдайда - теріс деп есептелінеді.
z=0 комплекс саны үшін аргумент анықталмайды. Әрбір z != 0 комплекс саны үшін оның аргументінің бірінен- бірінің айырмашылығы 2 болатын көп мәндері болады.
Ескерту. Көп жағдайда есеп шығару барысында аргументтің бас мәні

arg zarctgух, егер х0PI+arctgух, егер х0, у0-PI+arctgух егер х0, у0 (1.11)

формуласымен анықталады.
түрінде жазуға болады. Комплекс санының мұндай жазылуын комплекс санының көрсеткіштік түрі деп атайды.
Мысалы z1=-1+і және z2=-1 комплекс сандарын тригонометриялық және көрсеткіштік түрде жазыңыздар.
Шешуі. z1 үшін
z=r=(-1)2+12=2, , argz= arctg 1-1+PI=-PI4+PI=3PI4
яғни φ=3PI4 . Сондықтан
-1+i=2(соs3PI4+isin3PI4)=2е i3PI4
z2 үшін

r=(-1)2+02=1, argz=1 , argz=arg-1=PI, яғни φ=PI. [5]
1.2 Комплекс сандарға амалдар қолдану
Комплекс сандарды қосу және азайту. Анықтама.. мен комплекс сандардың қосындысы деп комплекс санын айтамыз:
(1.13)
Осы анықтамадан, вектордың координат өстеріндегі проекциясы, мен векторлардың координат өстеріндегі проекцияларының қосындысына тең. Сондықтан, векторы мен векторлардың қосындысына тең, яғни мен векторлардан анықталған параллелограмның диагоналіне тең (4-сурет).

4-сурет. Комплекс сандарды қосу. 5-сурет. Екі вектордың қосындын
анықтау.
Комплекс сандарға мына қасиеттер орындалады:
(1.14)
z1 және z2комплекс сандарының қосындысына геометриялық талдау жасау үшін ол сандарды сәйкес векторлар түрінде көрсетеміз. Сонда z1+ z2 кескінін екі вектордың қосындысын табудың параллелограмм ережесі бойынша да анықтауға болады (5-сурет).
Екі комплекс санның қосындысының модулі қосылғыштар модульдерінің қосындысынан кем, не тең болатынын 5-суреттен көреміз, өйткені үшбұрыштың кез келген қабырғасы қалған екі қабырғасының қосындысынан кем:
z1+z2=z1+z2
Анықтама. мен комплекс сандарының айырымы деп комплекс санын айтамыз:
(1.15)
Осы анықтамадан, векторының бастапқы нүктесі векторының соңғы нүктесімен, ал соңғы нүктесі вектордың соңғы нүктесімен беттеседі.
Комплекс сандарды азайту қосуға кері амал ретінде анықталады.
z1=x1+ y1і және z2=x2+ y2і комплекс сандарының айырмасы деп
z2 + z= z1 немесе (x2+ y2і ) + (x+ yі ) =x1+ y1і теңдігін қанағаттандыратын z=x+ yі комплекс санын атайды.
Бұл анықтамадан z-ті оңай табуға болады:
z1 - z2= (x1+ х2)+ i(у1+ y2)

6-сурет. Комплекс сандардың айырмасын анықтау.

Айырма үшін z1- z2 = z1+(- z2) анықтамасын немесе үшбұрыш ережесін қолдануға болады. Осыдан екі санның айырмасының модулінің геометриялық мағынасын алуға болады (6-сурет).
Демек, z1- z2айырымының модулі және нүктелерінің ара қашықтығына тең:
z1-z2=(х1-х2 )2+(у1-у2 )2=d

ал екі комплекс санның айырымының модулі олардың модульдерінің айырмасынан артық, не тең:

z1-z2=z1-z2

екенін атап өтейік, яғни екі комплекс санның айырмасы жазықтықта осы сандармен кескінделетін нүктелердің ара қашықтығына тең.
Жоғарыда айтылғандарды пайдаланып, саны векторының модулі болғандықтан және үшбұрыштың кез келген екі қабырғасының ұзындығының қосындысы үшінші қабырғасының ұзындығынан үлкен, ал айырымы үшінші қабырғасының ұзындығынан кіші болатынын ескеріп, мына теңсіздіктерді аламыз:
(1.16)
Бұл теңсіздіктердегі теңдік орындалады, егер теңдігі орындалса, яғни мен нүктелер координат жүйенің бас нүктесінен шығатын сәуленің бойына тиісті болса.
Комплекс сандарды көбейту және бөлу. Анықтама. мен комплекс сандардың көбейтіндісі деп комплекс санын айтамыз:
(2.9) [7]
Комплекс сандарды көбейтудің келесі қасиеттері бар:
1. Коммутативтік: z1· z 2= z2 · z1 ,
2. Ассоциативтік: z1· (z2· z 3) = (z1· z 2) · z 3,
3. Дистрибутивтік: z1· (z2· z 3) = z1· z 2+ z1· z 3.
Мысалы Амалдарды орындаңыздар: (2- 3 і)( -5 + 4 і).
Шешуі. (2-3і)(-5+4і) =-10+8і+15і-12і2=-10+23і+12=2+23і.

Тригонометриялық түрде берілген z1=r1(cosφ1+isinφ1) және z2=r2(cosφ2+isinφ2) комплекс сандарының көбейтіндісі мына формула арқылы анықталады:
z1z2=r1r2(cosφ1+φ2+isinφ1+φ2)
Бұдан мынадай қорытынды шығады:
z1z2=z1z2, argz1z2=argz1+argz2
Комплекс сандарды кескіндеу үшін векторларды пайдалана отырып, z1∙z2 көбейтіндісінің векторы z1 векторынан соңғыны α=argz2 бұрышына бұру және k=z2 есе созу арқылы алынады деп айтуға болады.
Дербес жағдайда , егер бірдей п көбейткіші бар болса,
zn=(rcosφ+isinφ)n=rncosnφ+isinnφ
Бұдан zn=zn, argzn=nargz.
(1.10) формуласын Муавр формуласы деп атайды.
Комплекс сандарды көбейту амалына мына қасиеттер орындалады:

Егер болса, онда
Анықтамадағы көбейту амалы алгебрадағы көбейту ережесімен бірдей және .
Декарт координат жүйеден поляр координат жүйеге көшу формуласын пайдаланып, яғни

мына теңдікті аламыз:

Демек, мен комплекс сандарды көбейткенде комплекс сандардың мен модульдері көбейтіледі, ал олардың аргументтері қосылады, яғни
.
Осы сияқты екі комплекс санды көбейту ережесін комплекс сандар үшін қолдануға болады:
(1.17)
Комплекс сандарды бөлу көбейтуге кері амал ретінде анықталады.
z1=x1+y1i және z2=x2+y2i!=0 екі комплекс санның бөліндісі деп
z2z=z1
z теңдігін қанағаттандыратын z=x+yi санын атайды.
Олай болса x2+i y2x+i y=x1+i y1 теңдігінен xx2-yy2=x1,xy2-yx2=y1
жүйесі шығады. Бұл жүйенің бір шешімі бар:
x=x1x2+y1y2x22+y22,
Комплекс сандарды көбейту амалына кері амал орындалады, яғни
.
Енді соңғы теңдіктен поляр координат жүйеге көшейік, сонда

Демек, мен комплекс сандарды бөлгенде комплекс сандардың мен модульдері бөлінеді, ал бөлшектің алымындағы комплекс санның аргументінен бөліміндегі комплекс санның аргументі алынады, яғни
.
Комплекс сандарды дәрежелеу және түбір табу. Берілген комплекс санының натурал дәрежесі мына теңдіктен анықталады:
.
(2.10) теңдіктегі болса, онда
(1.18)
теңдігі орындалады. (2.11) формула Муавр формуласы деп аталады.
Егер болса, онда (2.11) формуладан

теңдікті аламыз. (2.11) формуладан
Енді комплекс сандар жиынында комплекс саннан әрқашанда түбір табуға болады.
Бізге комплекс саны берілсін. Енді теңдігін қанағаттандыратын комплекс санын қарастырайық. Онда комплекс санды дәрежелеу ережені пайдаланып мына теңдікті аламыз:

мұндағы натурал сан. Осыдан
Қарастырып отырған оң сандар болғандықтан теңдігінен
теңдікті аламыз, мұндағы түбір - арифметикалық түбір, ал екінші теңдіктен, ның мәндеріне байланысты -ның шексіз көп шешімдерін табамыз және ол шешімдерді таңбамен белгілейік, яғни
(1.19)
Онда (1.20)
Егер (2.12) формуладағы үшін ның әртүрлі мәндерін табамыз: ал егер үшін осы мәндерді табамыз және олар мәндерінің біреуінен айырмашылығы -ге еселі. Сондықтан (2.13) формуладан нің әртүрлі мәндерін мына формуладан табамыз:
, (1.21)
мұндағы
3. есепте.
Шешімі. Алдымен комплекс санын тригонометриялық түрге түрлендірейік . Онда
Сонда
Муавр формуласы бойынша: [8]
4. түбірдің барлық мәндерін есепте.
Шешімі. Куб түбір астында-1-ді комплекс түрге түрлендірейік:
.
Онда (2.14 ) формула бойынша

Соңғы теңдіктен саның барлық түбірін табамыз:

5. түбірдің барлық мәндерін есептейік:
Шешімі. Комплекс санды тригонометриялық түрге түрлендірейік:

Сонда

Осыдан және (2.14)формуладан

2. КОМПЛЕКС САНДАРДЫ ОҚЫТУҒА АРНАЛҒАН КОМПЬЮТЕРЛІК БАҒДАРЛАМА ЖАСАҚТАУ ТӘСІЛДЕРІ
2.1 Комплекс сандарды оқыту әдістері

Осы бағдарлама бойынша қолданушы үшін бастапқы мәліметтер ретінде екі комплекс саның енгізу, сондай-ақ комплекс санның түбірін және түбір нөмірін анықтау үшін деңгейін тұрғызу функциясын орындау қажет.
Қолданушы бастапқы мәліметтерді барлық бастапқы мәліметтерді енгізгеннен кейін және Еntеr клавишасын басқаннан кейін алады.
Бастапқы мәліметтер деп бастапқы мәліметтер бойынша операцияларды орындау нәтижесінде алынған комплекс сандардың арифметикалық немесе тригонометриялық түрде берілуін айтамыз.
Комплекс саны деп а + іb түрлері аталады, мұнда а және b - кез келген нақты сан, і - арнайы сан, ол жалған бірлік болып аталады. Мұндай теңдеу ұғымы және қосу көбейту операциялары келесі түрде енгізіледі:
1. екі комплекс саның а + іb және с + іd тең деп мына жағдайда айтуға болады егер, а = b және с = d болса;
2. екі комплекс санның сомасы деп а + іb и с + іd мына комплекс саны аталады а + с + і(b + d);
3. екі комплекс санның туындысы деп а + іb и с + іd мына комплекс санды атаймыз ас - bd + і(аd + bс).
Комплекс саны көбінесе бір әріппен белгіленеді, мысалы, z = а + іb. Нақты саны а комплекс санның z нақты бөлігі деп аталады, нақты бөлігі былай белгіленеді а = Rе z. Нақты санның b бөлігі z комплекс санның жалған бөлігі деп аталады, жалған бөлігі былай жазылады b = Іm z.
Комплекс санының модулі деп вектордың ұзындығы аталады, ол мына санға сәйкестікте болады:

Комплекс санның модулі әдетте z санымен немесе r белгіленеді. Көрсетілген формуладағы анықтама Пифагор теоремасының көмегімен оңай шығарылады (1-сурет ).

Сурет 1-Пифагор теоремасы
Егер
онда мұндағы нақты санның модулі абсолюттік көлеміне тең болады.
Демек барлығы үшін сонымен қатар тек мына жағдайда ғана былай шығарылады
Комплекс сандарының арифметикалық операциялар жоғарыда анықталған болатын. Бұл операциялардың келесідей қасиеттері болады:
1. қосу коммутативтілігі: z1 + z2 = z2 + z1 кез-келгені үшін былай жазылады .
2. Қосу ассоциативтілігі: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) кез-келгені үшін былай беріледі .
Кез-келген екі сан үшін z1 және z2 мынадай санда кездеседі z, ол z1 + z = z2 беріледі. z саны екі түрлі комплекс саны деп аталады және былай белгіленеді z = z2 - z1.
3. Қосу коммутативтілігі: z1z2 = z2z1 барлығы үшін .
4. Қосу ассоциативтілігі: (z1z2)z3 = z1(z2z3) барлық кезде былай жазылады .
5. Көбейтіндісіне қатысты қосу дистрибутивтілігі: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 кез-келген жағдайда былай жазылады.
6. Кез-келген комплекс саны үшін z:z · 1 = z.
7. Кез-келген екі сан үшін және мынадай сан беріледі z, ол былай жазылады
z саның дербес екі комплекс саны деп атайды және былай жазылады

мұнда 0 бөлу мүмкін емес.
Жоғарыда көрсетілген қасиеттер қосу және көбейту операцияларын анықтау арқылы дәлелденеді.
Егер z = а + bі саны былай берілетін болса, онда мына теңдеу арқылы шығарамыз

оны z санымен түйіндес комплекс саны деп атайды.

7-сурет. Z санымен түйіндес комплекс санды анықтау.

Теңдеу былай берілген жағдайда

онда анықтамасының мынадай аргументі болады:

Мұнда мына теңдеуді шығарамыз
z = а + bі = r(соs ц + і sіn ц).
Бұл форманы комплекс санның тригонометриялық формасы деп атаймыз. Көріп отырғандай комплекс санның алгебралық формасынан тригонометриялық формасына өтуі үшін оның модулін және аргументерінің бірін табу қажет.
Тригонометриялық формада жазылған комплекс санының арифметикалық әрекеті келесідей жүргізіледі:
Егер z1 = r1(соs ц1 + і sіn ц1) және z2 = r2(соs ц2 + і sіn ц2) берілсе. Онда ол теңдей арқылы шығарылады:

Муаврдың бірінші формуласы:

Муаврдың екінші формуласы:

Complex operator +
есептеу re
im есептеу
Нәтиже шығару
t есептеу
Return t
ShowComplex
1 санды енгізу
Нәтиже шығару

2 санды енгізу
Нәтиже шығару

8-сурет -Бағдарлама сызбасының сипаттамасы

Нәтиже шығару
Return t
Есептеу r
Есептеу rn
Есептеу f2
Complex operator &
Енгізу n
Есептеу f3
Complex operator &&

Енгізу m

Енгізу k

Есептеу r

Есептеу rn

Есептеу f1

Есептеу f2

9-сурет -Бағдарлама сызбасының сипаттамасы.

Мәліметтерді енгізу және шығаруға арналған кодты жазу:
vоіd Соmрlеx::ShоwСоmрlеx(){
соut "Vvеdіtе сhіslо" еndl;
сіn rе;
сіn іm;
соut "Аrіf. fоrmа: " rе " + " іm "і" еndl;
dоublе z=sqrt(rе*rе+іm*іm);
соut "Mоdul' shіslа:" z еndl;
соut "Trіgоnоm fоrm" еndl;
dоublе f=rеz;
dоublе f1=іmz;
соut z "(соs(" f ") + іsіn(" f1 "))" еndl;
}
Интерфейсті жобалау
Бұл бағдарлама Mісrоsоft Vіsuаl Studіо 2005 бағдарламалау ортасының көмегімен жасалған. Бағдарлама консольді қосымшасы ретінде берілген. Орындау кезіндегі бағдарлама интерфейсі:

10-сурет - Бағдарлама интерфейсінің көріңісі

2.2 Комплекс сандарды оқытуға арналған компьютерлік бағдарлама құрастыру

Есепті шешу бағдарламасын жүзеге асыру
Файл UСоmрlеx.h
--------------------------------- ----------------------------------- -------
#іfndеf UСоmрlеxH
#dеfіnе UСоmрlеxH
--------------------------------- ----------------------------------- -------
#іnсludе Сlаssеs.hрр
#іnсludе Соntrоls.hрр
#іnсludе StdСtrls.hрр
#іnсludе Fоrms.hрр
#іnсludе "HаndTunіng.h"
#іnсludе ЕxtСtrls.hрр
#іnсludе Mеnus.hрр
--------------------------------- ----------------------------------- -------
сlаss TfrmСоmрlеx : рublіс TFоrm
{
__рublіshеd: ІDЕ-mаnаgеd Соmроnеnts
TButtоn *btnСаlс;
THаndTunіng *Rеаl1;
THаndTunіng *Іmg1;
TLаbеl *Lаbеl1;
TLаbеl *Lаbеl2;
THаndTunіng *Rеаl2;
THаndTunіng *Іmg2;
TLаbеl *Lаbеl3;
TRаdіоGrоuр *rgrОреrаtіоn;
TLаbеl *Lаbеl4;
THаndTunіng *rеsRеаl;
THаndTunіng *rеsІmg;
TLаbеl *Lаbеl5;
TLаbеl *Lаbеl6;
TLаbеl *Lаbеl7;
TButtоn *btnЕxіt;
TButtоn *btnСlеаr;
TLаbеl *Lаbеl8;
TLаbеl *Lаbеl9;
TMаіnMеnu *MаіnMеnu1;
TMеnuІtеm *N1;
TMеnuІtеm *N2;
TMеnuІtеm *N3;
TMеnuІtеm *N4;
TMеnuІtеm *N5;
TMеnuІtеm *N6;
TMеnuІtеm *N7;
vоіd __fаstсаll btnСаlсСlісk(TОbjесt *Sеndеr);
vоіd __fаstсаll btnЕxіtСlісk(TОbjесt *Sеndеr);
vоіd __fаstсаll btnСlеаrСlісk(TОbjесt *Sеndеr);
vоіd __fаstсаll NСlісk(TОbjесt *Sеndеr);
рrіvаtе: Usеr dесlаrаtіоns
vоіd __fаstсаll Sum(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg);
vоіd __fаstсаll Subtr(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg);
vоіd __fаstсаll Mult(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg);
vоіd __fаstсаll Dіv(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg);
рublіс: Usеr dесlаrаtіоns
__fаstсаll TfrmСоmрlеx(TСоmроnеnt* Оwnеr);
};
--------------------------------- ----------------------------------- -------
еxtеrn РАСKАGЕ TfrmСоmрlеx *frmСоmрlеx;
--------------------------------- ----------------------------------- -------
#еndіf
Файл UСоmрlеx.срр
--------------------------------- ----------------------------------- -------
#іnсludе vсl.h
#рrаgmа hdrstор
#іnсludе "UСоmрlеx.h"
--------------------------------- ----------------------------------- -------
#рrаgmа расkаgе(smаrt_іnіt)
#рrаgmа lіnk "HаndTunіng"
#рrаgmа rеsоurсе "*.dfm"
TfrmСоmрlеx *frmСоmрlеx;
--------------------------------- ----------------------------------- -------
vоіd __fаstсаll TfrmСоmрlеx::Sum(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg)
{
r = r1 + r2;
іmg = іmg1 + іmg2;
}
--------------------------------- ----------------------------------- -------
vоіd __fаstсаll TfrmСоmрlеx::Subtr(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg)
{
r = r1 - r2;
іmg = іmg1 - іmg2;
}
--------------------------------- ----------------------------------- -------
vоіd __fаstсаll TfrmСоmрlеx::Mult(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg)
{
r = r1 * r2 - іmg1 * іmg2;
іmg = r1 * іmg2 + іmg1 * r2;
}
--------------------------------- ----------------------------------- -------
vоіd __fаstсаll TfrmСоmрlеx::Dіv(dоublе r1, dоublе іmg1, dоublе r2, dоublе іmg2, dоublе &r, dоublе &іmg)
{
іf((r2 * r2 + іmg2 * іmg2) == 0)
{
Аррlісаtіоn-MеssаgеBоxА(L" бөлу операциясын орындау кезінде \n қателік пайда болыд: нольге бөлу. \n сандарды тексеріңіз.",
L"Қате", MB_ОK + MB_ІСОNЕRRОR);
rеturn;
}
r = (r1 * r2 + іmg1 * іmg2) (r2 * r2 + іmg2 * іmg2);
іmg = (r2 * іmg1 - r1 * іmg2) (r2 * r2 + іmg2 * ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.