Анықталған интеграл. Негізгі қасиеттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Анықталған интеграл.

1. Анықталған интеграл. Негізгі қасиеттері.
сегментінде анықталған оң таңбалы функциясы берілсін.
y

A
D C
0
х

1-сурет
Бұл функцияның графигі 1-суретте бейнеленген. Сонда қисық
сызығымен, -осімен және түзулерімен қоршалған фигураны қисық
сызықты трапеция деп атайды. Енді осы қисық сызықты трапецияның ауданын
табайық. Осы мақсатпен сегментін мына нүктелермен:

бөлікке бөлейік те, осы нүктелерден қисығына қарай
перпендикуляр тұрғызайық. Сонда фигурасы вертикаль жолақтан
тұратын болады. Әрбір жолақта шамамен табаны , биіктігі ке тең
тіктөртбұрышты төртбұрыш деп қарауға болады. Осындай төртбұрыштың ауданы
болғандықтан, барлық сатылы фигураның ауданы:
ге тең,
немесе (1)
болады. Бұл қосындыны аралығында функциясы үшін интегралдық
қосынды деп атайды.
Егер да осы қосындылардың кез келген і үшін тиянақты шегі бар
болса, және бәрі бірдей болса, онда сол шек жоғарыдағы қисық сызықты
трапецияның ауданына тең болады, яғни
(2)
Бұл есептін шешуі интегралдық қосындылардың шегін табуға келіп
тіреледі.
Анықтама: аралығында функциясы берілсін.
а) кесіндісін кез келген
нүктелерімен бөліктерге бөлеміз (оны к бөліктеуі деп
атайық).
б) әрбір бөліктен кез келген нүктелерін алып
функциясының к- бөліктеуіне сәйкес интегралдық қосынды деп аталатын

қосындыны құрамыз.
в) ұмтылдырып интегралдық қосындының шегін табамыз.
Егер оның тиянақты шегі бар болса, онда оны функциясының
кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады және келесі түрде
белгіленеді:
(3)
а және b сандары анықталған интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы
шегі деп аталады.
Берілген анықталған интегралдың бар болу шарты орындалады: үзіліссіз
, функциялары алда кездесетін аралықтарда интегралданатын болсын.
Сонда мына теңдіктер орындалады.
. Тұрақты санды анықталған интеграл белгісінің алдына шығаруға
болады:
мұнда
. Саны санаулы үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысынан
алынған анықталған интеграл осы функциялардың әрқайсысынан алынған
интегралдардың алгебралық қосындысына тең, яғни

. Егер аралығын және аралықтарына бөлсек, онда

. Егер интегралдың жоғарғы шегі мен төменгі шегімен орындарын
ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгереді:

. Жоғарғы шегі мен төменгі шегі тең болатын интеграл нөлге тең:

. Егер аралығындағы х айнымалысының барлық мәндері үшін
болса, онда
. Егер аралығындағы х айнымалысының барлық мәндері үшін
болса, онда
. Егер ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.