Анықталған интеграл. Негізгі қасиеттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Анықталған интеграл.

1. Анықталған интеграл. Негізгі қасиеттері.

сегментінде анықталған оң таңбалы функциясы берілсін.

D C

0 х

1-сурет

Бұл функцияның графигі 1-суретте бейнеленген. Сонда қисық сызығымен, -осімен және түзулерімен қоршалған фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды. Енді осы қисық сызықты трапецияның ауданын табайық. Осы мақсатпен сегментін мына нүктелермен:

бөлікке бөлейік те, осы нүктелерден қисығына қарай перпендикуляр тұрғызайық. Сонда фигурасы вертикаль жолақтан тұратын болады. Әрбір жолақта шамамен табаны , биіктігі ке тең тіктөртбұрышты төртбұрыш деп қарауға болады. Осындай төртбұрыштың ауданы болғандықтан, барлық сатылы фигураның ауданы:

ге тең,

немесе (1)

болады. Бұл қосындыны аралығында функциясы үшін интегралдық қосынды деп атайды.

Егер да осы қосындылардың кез келген і үшін тиянақты шегі бар болса, және бәрі бірдей болса, онда сол шек жоғарыдағы қисық сызықты трапецияның ауданына тең болады, яғни

(2)

Бұл есептін шешуі интегралдық қосындылардың шегін табуға келіп тіреледі.

Анықтама: аралығында функциясы берілсін.

а) кесіндісін кез келген

нүктелерімен бөліктерге бөлеміз (оны к бөліктеуі деп атайық) .

б) әрбір бөліктен кез келген нүктелерін алып функциясының к- бөліктеуіне сәйкес интегралдық қосынды деп аталатын

қосындыны құрамыз.

в) ұмтылдырып интегралдық қосындының шегін табамыз.

Егер оның тиянақты шегі бар болса, онда оны функциясының кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады және келесі түрде белгіленеді:

(3)

а және b сандары анықталған интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шегі деп аталады.

Берілген анықталған интегралдың бар болу шарты орындалады: үзіліссіз , функциялары алда кездесетін аралықтарда интегралданатын болсын. Сонда мына теңдіктер орындалады.

. Тұрақты санды анықталған интеграл белгісінің алдына шығаруға болады:

мұнда

. Саны санаулы үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысынан алынған анықталған интеграл осы функциялардың әрқайсысынан алынған интегралдардың алгебралық қосындысына тең, яғни

. Егер аралығын және аралықтарына бөлсек, онда

. Егер интегралдың жоғарғы шегі мен төменгі шегімен орындарын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгереді:

. Жоғарғы шегі мен төменгі шегі тең болатын интеграл нөлге тең:

. Егер аралығындағы х айнымалысының барлық мәндері үшін болса, онда

. Егер аралығындағы х айнымалысының барлық мәндері үшін

болса, онда

. Егер аралығында функциясының ең үлкен және ең кіші мәндері сәйкес М және m сандары болса, онда

. (интегралдың орташа мәні туралы теорема) .

Теорема. Егер аралығындағы х айнымалысы үшін функциясы үзіліссіз болса, онда

2. Ньютон-Лейбниц формуласы.

аралығында үзіліссіз f(x) функциясы берілсін. Егер t болса, онда интеграл

жоғарғы шегі айнымалы интеграл деп аталады. Сонда а-тұрақты болғандықтан, бұл интеграл айнымалы x-тің функциясы болады, демек Ф(x) =

1-Теорема. Егер f(х) үзіліссіз, ал Ф(x) = болса, онда , яғни Ф(x) функциясы f(x) -тің алғашқы функциясы болады.

2-Теорема. Егер F(x) берілген үзіліссіз f(x) функциясы үшін алғашқы функция болса, онда болады және бұл тендікті Ньютон-Лейбниц формуласы деп атайды.

Бул формула -тің анықталған интегралы мен анықталмаған интегралын (алғашқы функциясын) байланыстырады.

Бұл формуланы көбіне былай жазады:

Мұндағы а-интегралдың төменгі, ал b- жоғарғы шегі деп аталады.

Ұштары а және b болатын кесінді интегралдау кесіндісі деп аталады, фукнциясы- интеграл астындағы функция деп, ал х-интегралдың айнымалысы деп аталады.

Интегралдың жоғарғы b шегі төменгі а шегінен үлкен болуы міндетті емес, және болуы да мүмкін.

3. Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы.

Егер функциясы кесіндісінде үзілісіз болса, онда оның интегралдың қосындысының әрқашанда тиянақты шегі бар болады.

Анықталған интегралдың анықтамасын үзіліссіз функциялар үшін француз математигі Коши, ал жалпы жағдай үшін неміс математигі Б. Ф. Риман (1826-1866) енгізген.

Сондықтан, (3) -тегі интгералды Риман интегралы, ал сондағы фукнциясы Риман мағынасында интегралданатын функция деп атайды. Осыдан, үзіліссіз функция әрқашанда интегралданатын функция болады- анықталған итегралды бар болу шарты . Енді келесі қорытынды жасауға болады: