Анықталмаған интеграл. Алғашқы функция

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Анықталмаған интеграл.

1. Алғашқы функция.

Көп жағдайда, әсірісе физика, механика және техника есептерінде берілген функцияның туындысы бойынша сол функцияның өзін табу амалдары қарастырылады. Сондықтан берілген функцияның туындысы бойынша сол функциясының өзін табу тәсілдерін келтірейік.

Анықтама 1. Егер аралығында берілген функциясы үщін теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.

Мысал. Егер функциясы берілсе онда функциясы оның алғашқы функциясы болады.

Шындығында да,

Бұл функцияның алғашқы функциясы бірмәнді болмайды, өйткені функциясы да С санының кез келген мәндерінде функциясының алғашқы функциясы болады, яғни

Сонымен, егер берілген функциясының алғашқы функциясы болса, онда бұдан өзгеше алғашқы функциялардың түрі болады. Басқаша айтқанда, егер функциясының алғашқы функциялары бар болса, онда олардың айырымы тұрақты шамаға тең.

Анықтама 2. Егер функциясы берілген функциясының алғашқы функциясы болса, онда өрнегін функциясының анықталмаған интегралы деп атайды және оны символымен белгілейді, яғни

Мұндағы: - интеграл астындағы функция;

- интеграл астындағы өрнек;

ал - интеграл белгісі деп аталады.

Берілген функцияның алғашқы функциясын табу интегралдау амалы деп аталады.

Геометриялық тұрғыдан анықталмаған интеграл жазықтықта бір-бірінен айырымы тұрақты шама болатындай қисықтар жиынын көрсетеді. Бұл қисықтарды интегралдық қисықтар деп атайды.

Анықталмаған интегралдың бар болу шартын келтірейік.

Теорема. Егер функциясы үзіліссіз болса, онда оның анықталмаған интегралы бар болады.

2. Анықталмаған интеграл және олардың қасиеттері, кестесі.

1 ⁰ . Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең болады, яғни

Дәлелдеуі. Интегралдың анықтамасы бойынша . Осы теңдіктің екі жағынан да туынды алсақ, онда

Келесі қасиеттерді де осылай дәлелдеуге болады.

2 ⁰ . Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең болады, яғни

3 ⁰ . Кез келген функциясы дифференциалының интегралы сол функциясы мен тұрақты С санының қосындысына тең болады, яғни

4 ⁰ . Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы қосылғыштардан алынған анықталмаған интегралдардың алгебралық қосындысына тең, яғни

5 ⁰ . Тұрақты санды интеграл белгісінің алдына шығаруға болады, яғни егер болса, онда

6 ⁰ . Егер функциясы функцияның алғашқы функциясы болса, онда

Мұндағы және - тұрақты сандар

Интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері болатынын ескерсек, онда интегралдар кестесін былай жазуға болады:

2. егер

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Бұл кестеге енген әрбір формуланың дұрыстығын дифференциалдау арқылы дәлелдеуге болады.

3. Айнымалыны алмастыру және бөліктеп интегралдау әдістері.

Берілген интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдар кестесінің қорына байланысты бірнеше түрге бөлінеді: тікелей интегралдау, айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау; бөліктеп интегралдау. Осы тәсілдердің әрқайсысына жеке - жеке тоқталайық.

а) Тікелей интегралдау.

Көптеген функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттер мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Тікелей интегралдау тәсіліне бірнеше мысалдар келтірейік.

б) айнымалыны алмастыру әдісі.

Көп жағдайларда интегралдағы айнымалысының орнына басқа айнымалысын енгізіп, берілген

(1)

интегралын тікелей интегралданатын жаңа интегралдарға немесе кестелік интегралдардың біріне оңай келтіруге болады. Бұл әдісті айнымалыларды ауыстыру (немесе айнымалыны алмастыру) әдісі деп атайды.

Теорема. Анықталмаған интегралындағы айнымалысының орнына

(2)

формуласы бойынша жаңа айнымалысын енгізейік (мұндағы аргументінің бірсарынды, үзіліссіз және дифференциалданатын функциясы) . Сонда берілген анықталмаған интеграл үшін

(3)

теңдігі орындалады.

Айнымалыларды ауыстыру әдісін ұтымды қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты. Яғни интегралдың берілуіне қарап, ауыстыру формуласын таңдап алу керек. Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісіне бірнеше мысалдар келтірейік.

Дифференциалдары үзіліссіз және функциялары берілсін.

Осы екі функция көбейтіндісінің дифференциалы

болады.

Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ,

(4)

(4) формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл әдісті қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің ( және ) көбейтіндісі түрінде қарастыру керек. Сондықтан бөліктеп интегралдау әдісінің ұтымдылығы осы және көбейткіштерін дұрыс таңдап алуға байланысты.