Анықталмаған интеграл. Алғашқы функция

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Анықталмаған интеграл.

1. Алғашқы функция.
Көп жағдайда, әсірісе физика, механика және техника есептерінде
берілген функцияның туындысы бойынша сол функцияның өзін табу амалдары
қарастырылады. Сондықтан берілген функцияның туындысы бойынша сол
функциясының өзін табу тәсілдерін келтірейік.
Анықтама 1. Егер аралығында берілген функциясы үщін
теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының
аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.
Мысал. Егер функциясы берілсе онда функциясы оның алғашқы
функциясы болады.
Шындығында да,
Бұл функцияның алғашқы функциясы бірмәнді болмайды, өйткені
функциясы да С санының кез келген мәндерінде функциясының алғашқы
функциясы болады, яғни

Сонымен, егер берілген функциясының алғашқы функциясы болса,
онда бұдан өзгеше алғашқы функциялардың түрі болады. Басқаша
айтқанда, егер функциясының алғашқы функциялары бар болса, онда
олардың айырымы тұрақты шамаға тең.
Анықтама 2. Егер функциясы берілген функциясының алғашқы
функциясы болса, онда өрнегін функциясының анықталмаған
интегралы деп атайды және оны символымен белгілейді, яғни

Мұндағы: - интеграл астындағы функция;
- интеграл астындағы өрнек;
ал - интеграл белгісі деп аталады.
Берілген функцияның алғашқы функциясын табу интегралдау амалы деп
аталады.
Геометриялық тұрғыдан анықталмаған интеграл жазықтықта бір-бірінен
айырымы тұрақты шама болатындай қисықтар жиынын көрсетеді. Бұл қисықтарды
интегралдық қисықтар деп атайды.
Анықталмаған интегралдың бар болу шартын келтірейік.
Теорема. Егер функциясы үзіліссіз болса, онда оның анықталмаған
интегралы бар болады.

2. Анықталмаған интеграл және олардың қасиеттері, кестесі.
10. Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең
болады, яғни

Дәлелдеуі. Интегралдың анықтамасы бойынша . Осы
теңдіктің екі жағынан да туынды алсақ, онда

Келесі қасиеттерді де осылай дәлелдеуге болады.
20. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке
тең болады, яғни

30. Кез келген функциясы дифференциалының интегралы сол
функциясы мен тұрақты С санының қосындысына тең болады, яғни

40. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталмаған
интегралы қосылғыштардан алынған анықталмаған интегралдардың алгебралық
қосындысына тең, яғни

50. Тұрақты санды интеграл белгісінің алдына шығаруға болады, яғни егер
болса, онда

60. Егер функциясы функцияның алғашқы функциясы болса, онда

Мұндағы және - ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.