КӨП ӨЛШЕМДІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР ТҮСІНІГІ

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

КӨП ӨЛШЕМДІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР ТҮСІНІГІ

1. Көп өлшемді кездейсоқ шамалар.

Осыған дейін айтылған кездейсоқ шамаларды бірөлшемді кездейсоқ шамалар деп те айтады. Сондай-ақ екіөлшемді, үшөлшемді, жалпы, көпөлшемді (бірнеше өлшемді) кездейсоқ шамаларды да қарастыруға болады. Бірөлшемді кездейсоқ шамаларды қарастырғанда, олар әр түрлі сандық мәндерді қабылдайтынын, геометриялық кескіні түзу бойындағы нүктелер болатынын байқадық. Осыған орай жазықтықтағы нүктелерді кескіндейтін кездейсоқ шамаларды екіөлшемді, ал кеңістіктегі нүктелерді кескіндейтін кездейсоқ шамаларды үшөлшемді деуге болады. Кездейсоқ шаманың өлшемі үштен көп болса оны геометриялық кескіндеуге болмайтынын ескертеміз. Сонымен, $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ кездейсоқ шамалары берілсе, оны n-өлшемді кездейсоқ шама (фактор) дейміз. Бірөлшемді кездейсоқ шама сияқты көпөлшемді кездейсоқ шамалар да дискретті және үздіксіз болады. Көрнекілік жағын көздеп негізінде екіөлшемді кездейсоқ шамаларды қарастырамыз. Олар үшін айтылғандарды әрі қарай көпөлшемді кездейсоқ шамаларға тарату қыинға соқпайтынын ескертеміз.

Мысал. Автоматты - станок болатты плиткаларды істеуде. Егер бақылаулар өлшемдері болып ұзындығы Х пен ені У берілсе, онда екіөлшемді (X, Y) кездейсоқ шама бар деп айтамыз; егер биіктік Z-те бақылау да болса, онда үшөлшемді (X, Y, Z) шама бар болады.

2. Екі өлшемді кездейсоқ шаманын үлестіру функциясы.

Екіөлшемді ( X , Y ) кездейсоқ шама геометриялық түрде жазықтықтағы кездейсоқ ( X , Y ) нүкте (демек кездейсоқ координаттардағы нүкте) деп қарастыруға болады немесе кездейсоқ вектор ОМ түрінде. Үшөлшемді кездейсоқ шама геометриялық түрде М ( Х , Y , Z ) үшөлшемді кеңістіктегі нүкте немесе вектор ОМ болып табылады. Мақсатқа сәйкес дискреттік (бұл шамалардын жасаушылары дискретті) және үздіксіз (бұл шамалардын жасаушылары үздіксіз) көпөлшемді кездейсоқ шамаларды айыруға болады.

Екіөлшемді дискретті кездейсоқ шаманын үлстіру заңы деп осы шаманын мүмкін мәндерінін тізімін айтады(демек (X, У) сандар қосағы ) және олардың ықтималдықтары

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P\{ x_{i}, y_{i}\}$ $(i = 1, \ldots n; j = 1, \ldots, m)$ .

Кәдімгіде үлестіру заңы қос кіруімен кесте түрінде беріледі $\$ (кесте 2) .

Кестенін бірінші жолында жасаушы Х -тің $P\{ x_{i}, y_{i}\}$ $(i = 1, \ldots n; \ \ \ j = 1, \ldots, m) \ \ барлық\ мүмкін\ мәндері\ орналасқан$ , ал бірінші бағанда жасаушы У -тің ба $рлық\ мүмкін\ мәндері\ орналасқан.$ «Баған $x_{i}$ » және «жол $y_{i}$ » қиылысқан торда екіөлшемді кездейсоқ шаманын $(x_{i}, y_{i})$ мәнін алатын ықтималдығы $P\{ x_{i}, y_{i}\}$ келтірілген.

Кесте-2

X ₁

X ₂

….

X _i

….

X _n

ху: Y ₁

X1: p(x1, y1)

X2: p(x2, y1)

….: ….

Xi: p(xi, y1)

….: ….

Xn: p(xn, y1)

ху: ….

X1: ….

X2: ….

….: ….

Xi: ……

….: ….

Xn: ….

ху: Y _j

X1: p(x1, yj)

X2: p(x2, yj)

….: ….

Xi: p(xi, yj)

….: ….

Xn: p(xn, yj)

ху: ….

X1: ….

X2: ….

….: ….

Xi: …. .

….: ….

Xn: ….

ху: Y _m

X1: p(x1, ym)

X2: p(x2, ym)

….: ….

Xi: p(xi, ym)

….: ….

Xn: p(xn, ym)

Оқиғалардың ( $X = x_{i}, \ Y = y_{i}), \ \ (i = 1, 2, \ldots, n; \ \ j = 1, 2, \ldots, m)$ толық тобын құратынын еске алсақ, кестенің барлық торлардағы ықтималдықтар қосындысы бірге тең болады.

Екіөлшемді кездейсоқ ( X , У ) шаманы (дискретті немесе уздіксіз болуы парапар ) қарастырайық. Делік, ( х , у ) - нақты сандар қосағы. Х -тің х - тен кіші мән алатын және сол кезде У - тің у- тен кіші мән алатын оқиғанын ықтималдығын F(x, у) деп белгілейік. Егер х және у өзгеретін болса, онда F(x, у) де өзгереді, яғни F(x, у)

х - пен у - тін функциясы болып табылады. Екіөлшемді кездейсоқ (x, y) шаманың үлестіру функциясы деп әр (x, y) сандар қосағына Х -тің х - тен кіші мәнін алу ықтималдығын анықтайтын F(x, у) функцияны атайды және сол кезде У - тің у- тен кіші мәнін қабылдайды $\ \ F(x, y) =$

$P(X < x, \ Y < y)$ .

1 қасиет. Интегралдық функцияның мәндері екі жақты теңсіздікті қанағаттандырады:

$0 \leq F(x, y) \leq 1$

Дәлелдеу . Бұл қасиет интегралдық функцияның ықтималдық түрінде анықтамасынаң шығады: ықтималдық әрқашан бірдең аспайтын теріс емес сан.

2 қасиет . Әр аргумент бойынша F(x, у) кемімейтін функция, яғни

$F(x_{2}, y) \geq F(x_{1}, y)$ , егер $x_{2} > x_{1}$ ,

$F(x, y_{2}) \geq F(x, y_{1})$ , егер $y_{2} > y_{1}$ .

3 қасиет . Келесі шектік қатынастар орын алады:

F(−∞, y) =0, F( - \infty, y) = 0,
F(x, −∞) =0F(x, - \infty) = 0,
F(−∞, +∞) =0F( - \infty, + \infty) = 0,
F(∞, ∞) =1F(\infty, \infty) = 1.

4 қасиет.

а) $y = \infty$ болғанда жүйенін интегралдық функциясы жасаушы Х -тін интегралдық функциясы болады:

$F(x, \infty) = F_{1}(x)$ .

б) $x = \infty$ болғанда жүйенін интегралдық функциясы жасаушы У -тін интегралдық функциясы болады:

$F(\infty, y) = F_{2}(y)$ .

Екіөлшемді кездейсоқ шама дифференциалдық функция арқылы да берілуі мүмкін. Осында және одан кейін үлестіру функция F(x, y) әр жерде үздіксіз және үздіксіз екінші ретті дербес туындысы бар болады деп болжайық. Екіөлшемді үздіксіз кездейсоқ (X, Y) шаманың $f(x, y)$ дифференциалдық үлестіру функциясы деп $интегралдық\$ функцияның екінші ретті аралас дербес туындысын айтады:

$f(x, y) = \frac{\partial^{2}F(x, y) }{\partial x\partial y}$

Геометриялық турде бұл функцияға бет турінде мағына беруге болады, оны үлестіру беті деп атайды.

3. Шарты үлестерім заңдары

Егер оқиғалар А және В тәуелді болса, онда В оқиғаның шарттық ықтималдығы шартсыз ықтималдықтан ерекше болады. Ол жағдайда

$P_{A}(B) = \frac{P(AB) }{P(A) }$ (1)

Кездейсоқ шамалар үшін тура осы жағдай болады. Екіөлшемді кездейсоқ шамалар жасаушыларының тәуелділігін сипаттау үшін шартты үлестірім ұғымын еңгізейік. Екіөлшемді дискретті кездейсоқ шама ( X, Y ) қарастырайық. Делік, жасаушылардың мүмкін мәндері

$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ \ \ \ \ \ y_{1}, \ y_{2}, \ldots, y_{m}$

болсын.

Айталық, тәжірибе негізінде шама У $Y = y_{1}\ \$ мәніне ие болады, ал Х ол кезде өзінің мүмкін болатын мәндерінің біреуіне ие болады $x_{1}$ , немесе $x_{2}$ , . . . , немесе $x_{n}$ .

Мысалы, Х -тің ${\ x}_{1}\ мән\ алатын\ шарттық\ ықтималдығын, егерY = y_{1}, \ шарты\ орындалса, \ \ p\left( x_{1} \middle y_{1} \right) \ деп\ белгілейік. \$