Туынды және дифференциал

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Туынды және дифференциал.

1. Элементар функциялардың туындысы.

Айталық, Х аралығында у= ƒ (x) функциясы анықталсын. Бұл аралықтан х ₀ нүктесін алып, оған ∆х өсімшесін берейік. Сонда, y=f(x) функциясы да өсімше қабылдайды:

. Мұнда .

Анықтама. Егер ∆х нольге ұмтылғанда функция өсімшесі мен аргумент өсімшесі қатынасының шегі бар болса, онда бұл шек берілген функцияның х ₀ нүктесіндегі туындысы деп аталады.

Сонымен, егер

бар болса, оны берілген функцияның х ₀ нүктсіндегі туындысы деп атайды.

Туындыны мынадай символдармен белгілейді: (игрек штрих), (игрек штрих бойынша), (де игрек де икстен), (эф штрих икстен) .

№

функциясы

Функцияның туындысы

№: 1

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 2

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 3

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 4

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 5

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 6

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 7

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 8

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 9

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 10

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 11

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 12

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 13

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 14

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 15

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 16

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 17

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 18

функциясы:

Функцияның туындысы:

№: 19

функциясы:

Функцияның туындысы:

Егер осы формулалардағы u аралық айнымалы емес, тәуелсіз айнамалы десек, яғни u=x болса, онда әр формулада u′ -тін орнына бір саны жазылады, өйткені тәуелсіз айнымалы жағдайында u′ =x′=1 болады.

Мысалы,

2. Күрделі, кері және анықталмаған функция туындысы.

Теорема . Егер функциясының х нүктесінде, ал y= ƒ(u) функциясының сол х -ке сәйкес нүктесінде туындылары бар болса, онда сол х нүктесінде күрделі функциясының да туындысы бар болады және мынаған тең:

Теорема. Егер y=f(x) функциясының х нүктесінде нөлге тең емес y′=ƒ′(x) ≠0 туындысы бар болса, онда х -ке сәйкес y ₀ = ƒ(x ₀ ) нүктесінде оған кері функциясының туындысы бар болады және

формуламен анықталады.

Негізгі элементар функциялар туындыларын кесте түрінде келтірейік. Бұл оларды пайдалануды жеңілдетеді. Осы мақсатпен кесте күрделі функциялар үшін жасалған, яғни мұнда u -аралық айнымалы.

3. Дифференциал түсінігі.

функцияның нүктесінде туындысы бар, яғни болсын.

Ақырлы шегі бар функция мен ақырсыз кіші шаманың байланысын сипаттайтын теореманы қолданып, бұл теңдікті:

түрінде жазуға болады.

Мұндағы щамасы -пен бірге нольге ұмтылатын оның ақырсыз кіші функциясы болады, яғни егер болса, онда . Енді теңдіктің екі жағын да -ке көбейтсек,

(1)

Анықтама. функциясының нүктесіндегі дифференциалы деп функцияның сол нүктесіндегі өсімшесінің басты бөлігін атайды және оны немесе деп белгілейді.

Сонымен, (2)

функциясының дифференциалы болады. Мысалы, функциясының дифференциалын табайық. Формула бойынша оның дифференциалы немесе , яғни тәуелсіз айнымалының дифференциалы оның өсімшесіне тең болады.

(2) формуласын енді

(3)

деп жазуға болады, яғни функцияның дифференциалы оның туындысы мен тәуелсіз айнымалы дифференциалының көбейтіндісіне тең болады. (3) теңдіктің екі жағын да -ке бөлсек,

болады, яғни функцияның нүктесіндегі туындысы оның сол нүктедегі дифференциалын тәуелсіз айнымалының дифференциалына бөлгенге тең болады.

4. Геометриялық мағынасы.

функциясының нүктесіндегі дифференциалының анықтамасынан өсімшесі мен дифференциалының арасында немесе түріндегі байланыс бар болады, мұндағы шамасы -ке қарағанда жоғары ретті ақырсыз кіші шама, яғни болғанда . Сондықтан жуықтап есептеулерде жуық теңдігін қолданады, немесе оны ашып, толық түрде былай жазады:

Бұдан, (4)

Бұл формула шамасы өте аз, ал пен белгілі болғанда ғана функциясының мәнін жуықтап табуға мүмкіндік береді.

5. Көп айнымалылы функция. Дербес туындылар. Толық дифференциал.

Анықтама. Реттелген сандар жұбының жиыны берілсін. Егер әрбір сандар жұбына қандай да бір f ережесі бойынша х шамасының анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда жиынында анықталған екі айнымалды функция берілді дейді де оны деп белгілейді .

жиыны функцияның анықталу аймағы (облысы) деп аталады.

Дербес туындылар .

функциясының нүктесіндегі бойынша дербес туындысы деп, дербес өсімшесінің Δх өсімшесіне қатынасының үмтылғандағы шегін (егер ол шек бар болса) айтады да

символдарының біреуімен белгілейді. Сонымен,

функциясының нүктесіндегі бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және символдарының біреуімен белгіленеді

Функцияның толық дифференциалы.

Анықтама. Егер функциясы ( x; y) нүктесінде дифференциалданса, онда оның осы нүктедегі өсімшесінің сызықтық бас бөлігі функциясының толық дифференциалы деп аталады да немесе арқылы белгіленеді.

Мұндағы , тәуелсіз айнымалдар өсімшелерін пен тәуелсіз айнымалдарының дифференциалдары деп атайды, және оларды және арқылы белгілейді. Онда толық дифференциал келесі түрге ие болады: