Бізге нақты сандардан тұратын Х және У жиындары берілсін.
Анықтама.
Х жиынының әрбір элементіне У жиынының анықталған бір ғана элементін сәйкес қоятын ережені
функция
деп атайды да
\[y=f(x)\]
деп белгілейді. Мұндағы х айнымалысын тәуелсіз айнымалы немесе аргумент деп, ал у айнымалысын - тәуелді айнымалы немесе функция деп атайды.
\[y=f(x)\]
функциясының
анықталу облысы
(аймағы) деп функция мәндері өз мағынасын жоғалтпайтындай тәуелсіз айнымалы х-тің барлық нақты мәндер жиынын айтады. Мысалы,
Функцияның анықталу облысындағы қабылдайтын нақты мәндерінің жиының функцияның өзгеру облысы деп атайды. Мысалы,
\[y=\sin x\,\]
функциясының өзгеру облысы
\[\mid y\mid\leq1\]
теңсіздігін қанағаттандыратындай у-тің мәндері
\[\mathbb{\oplus I}\ [-\mathbf{z}_{i}+1]\]
, ал
\[y=x^{2}\]
функциясының өзгеру облысы у-тің оң мәндерінің жиыны,
\[y=[0;\infty)\]
.
Функцияның берілу тәсілі
аналитикалық, кестелік және графиктік болып үш түрге бөлінеді.
а)
Аналитикалық тәсіл.
Бұл тәсіл бойынша аргумент пен функцияның арасындағы байланыс формула арқылы анықталады. Мысалы, егер S - дөңгелектің ауданы, ал R оның радиусы десек, онда олардың арасындағы байланыс
\[S=\pi R^{2}\]
формуласымен, анықталады, мұндағы R-аргумент, ал S-оның функциясы деуге болады.
б
) Кестелік тәсіл.
Бұл тәсіл бойынша аргумент пен функцияның сәйкес х
1
, х
2
, . . . , х
n
және у
1
, у
2
, . . . , у
n
мәндері кесте арқылы беріледі.
Х
х
1
х
2
. . .
x
n
Х:
У
х1:
у
1
х2:
у
2
. . .:
. . .
xn:
y
n
Функция кестелік тәсілмен берілген жағдайда алдымен аргумент мәндері алынады да, сонан кейін әр аргументке сәйкес келетін функция мәндері анықталып кесте құрылады.
в)
Графиктік тәсіл.
Аргумент пен функцияның арасындағы байланыс график арқылы берілсе онда оны функцияның графиктік берілуі деп атайды. Функцияның берілу тәсілдерінің әрқайсысының өзіндік ерекшеліктері бар. Кестелік тәсілдің ерекшелігі - аргументтің мәндеріне сәйкес функция мәндерінің қатар берілуі. Графиктік тәсілдің ерекшелігі - көрнектілігінде. Дегенмен, математикада функцияның аналитикалық тәсілмен берілуіне үлкен мән беріледі. Функцияны толық зерттеу үшін, оның аналитикалық тәсілмен берілуі өте ыңғайлы.
2. Функцияның классификациясы.
Элементарлық функциялар алгебралық және трансценденттік (алгебралық емес) болып екі топқа бөлінеді.
Анықтама.
Функция аргументіне тиянақты санды алгебралық амалдар ғана қолданылса, онда ондай функциялар алгебралық функциялар деп аталады. Алгебралық функцияларға мына төмендегі функциялар жатады: а) бүтін рационал функция, б) бөлшекті рационал функция, в) иррационал функция. Аргументіне қолданылатын амалдардың құрамында түбір табу амалы болған жағдайда алгебралық функцияны иррационал функция деп атайды.
Трансценденттік функцияларға жататын функциялар: көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық функциялар және алгебралық функциялармен осы функциялардың әртүрлі суперпозициясы.
Егер Х жиынында оның кез келген х элементімен қатар (-х) элементі де бар болса, онда бұл жиын симметриялы жиын деп аалады. Мысалы, (-а; а),
функциясы жұп функцияға да, тақ функцияға да жатпайды. Себебі:
Жұп функцияның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы қисық болады. Тақ функцияның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық болады.
Тригонометриялық функциялардан
\[f(x)=\cos x\]
- жұп функция, ал
\[f(x)=\sin x\]
,
\[f(x)=t g x\]
және
\[f(x)=c t g x\]
- тақ функциялар екенін білеміз.
\[y=f(x)\]
функциясын
\[\textstyle x\ \in X\]
аралығында қарастырайық.
Анықтама 3.
Егер
\[f(\,x\,)\]
функциясының анықталу жиынындағы кез келген
\[x_{1}
сандары үшін
\[f(x_{1})
теңсіздігі орындалса, онда
\[f(\,x\,)\]
функциясын өспелі функция деп атайды.
Анықтама 4.
Егер
\[f\left(\,x\,\right)\]
функциясының анықталу жиынындағы кез келген
\[x_{1}
сандары үшін
\[f(x_{1})>f(x_{2})\]
теңсіздігі орындалса, онда
\[f(\,x\,)\]
функциясын кемімелі функция деп атайды.
Анықтама 5.
Егер
\[f(\,x\,)\]
функциясының анықталу жиынындағы кез келген
\[x_{1}
сандары үшін
\[\textstyle f(x_{1})~\leq f(x_{2})\]
[
\[\textstyle f(x_{1})~\geq f(x_{2})\]
] теңсіздігі орындалса, онда
\[f\left(\,x\,\right)\]
функциясын кемімейтін [өспейтін] функция деп атайды.
\[f(\,\chi\,)\]
функциясы Х жиынында кемімейтін немесе өспейтін болса, онда оны Х жиынында бірсарынды функция дейді. Ал өспелі және кемімелі функцияларды қатаң бірсарынды функциялар деп атайды. 1- суреттегі
теңдігі орындалса, онда ол периодты функция деп аталады. х және Т нүктелері функцияның анықталу облысындағы нүктелер.
\[T\ \not\subset0\]
саны функцияның периоды деп аталады.
Мысалы,
\[y=\sin x\,\]
периоды
болатын периодты функция, өйткені мұндағы
\[2\pi\]
\[f(x+T)=f(x)\]
теңдігін қанағаттандыратын оң
\[r\,=\,\sum\]
;
\[r\,=\,\lambda_{77}\]
;
\[T=6\pi\]
. . . сандарының ең кішісі, яғни
\[\sin(x+2\pi)=\sin x\]
. Периодты функцияның графигін салу үшін оның ұзындығы периодына тең аралықтағы графигін салу жеткілікті.
Егер у айнымалысы u - дың функциясы, яғни
\[y=f(u)\]
ал u айнымалысы х-тің функциясы, яғни
\[u=\phi\left(x\right)\]
болса, онда у-ті х-тің күрделі функциясы немесе функцияның функциясы деп атайды да, оны
\[y=F(\phi(x))\]
деп жазады, мұндағы u аралық аргумент деп аталады. Күрделі функцияның анықталу облысы аралық аргументтің анықталу облысына тең немесе одан кем болады.
Негізгі элементар функцияларға төрт амал мен күрделі функция алуды шектеулі рет қолданудың нәтижесі болатын функцияны элементар функция деп атайды.
Егер
\[y=f(x)\]
функциясы өзінің Х анықталу облысында бір мәнді өспелі немесе кемімелі үзіліссіз функция болса, онда осы функцияның у мәндерінің өзгеру облысында бір мәнді өспелі немесе кемімелі үзіліссіз кері
\[x=\phi(y)\]
функциясы болады.
\[y=f(x)\]
функциясы тура функция. Оның анықталу облысы Х. Функция мәндерінің өзгеру облысы У.
\[x=\phi(y)\]
функциясы кері функция анықталу облысы У. Функция мәндерінің өзгеру облысы Х.
Осы анықтамалар бойынша тура және кері функцияларды зерттесек, графиктерін көрсетсек, онда бір ғана заңдылықты бір ғана қисықты көреміз. Жалпы математикада кері функцияны анықтағанда функцияның аргументі ретінде бұрынғы айнымалы х-ті қалдырып, ал функция есебінде де бұрынғы айнымалы у-ті қалдырады, яғни кері функцияның
\[y=\phi\left(x\right)\]
аламыз, бірақ кері функцияның анықталу және мәнедрінің өзгеру облыстары өзгермейді.
болатын периодты функция, өйткені мұндағы
Бізге
