Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің Лагранж көбейткіштер әдісі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М.ӨТЕМІСОВ АТНЫДАҒЫ БАТЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Математика, физика және информатика
кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы:
Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің Лагранж көбейткіштер әдісі

Орындаған: Шаңова Д.

Тексерген: Мұратова Ж.М.

Орал қаласы, 2011
Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .3
1.Функцияны және оның графигін
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3

Негізгі
бөлім ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... .10
1.Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы
және дербес
туындылары ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...10
2.Екі айнымалылы функцияның экстремумдары ... ... ... ... ... .. ... .13

3. Шартты экстремум. Лагранж көбейткіштері
әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..15

Қолданған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
23

Кіріспе
1. Функцияны және оның графигін зерттеу

Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны
зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады.
у=ƒ(х) функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп
аталады, егер х1х2 үшін ƒ(х1)ƒ(х2) (ƒ(х1)ƒ(х2)) теңсіздігі орындалса,
яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.
Функцияның өсу белгілерін атап өтейік.
1. Егер [а;b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ(x) функциясы өспелі
(кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияның туындысы теріс емес (оң
емес), ягни f΄(x) 0 (f΄ (х)0).
2. Егер [a;b] кесіндісінде үздіксіз және оның ішінде
дифференциалданатын функцияның оң (теріс) туындысы бар болса, онда функция
осы кесіндіде өседі (кемиді).
y=f(x) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп
аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келген х1х2 үшін ƒ(х1) ≤ ƒ(x2)
(ƒ(х1) ≥ f(x2)) теңсіздігі орындалса.
Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық
интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе
үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.
Егер кез-келген Δх≠0 шексіз аз үшін f(x1+Δx)f(x1) теңсіздігі
орындалса, онда х1 нүктесі y=f(x) функциясының локальды максимум нүктесі
деп аталады. Егер кез-келген Δх≠0 шексіз аз үшін f(x2+Δx)ƒ(x2) х2
теңсіздігі орындалса, онда х2 ннүктесі у=f(x) функциясының локальды минимум
нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум
нүктелері деп аталады.
Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты). Егер y=f(x)
функциясының х=х0 нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄(х0)=0 немесе
f(x0) жоқ.
Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті шарты). y=f(x)
функциясы х=х0 нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы
интервалдың барлық нүктелерінде дифференциалдансын. Егер хх0 болғанда
f(x)0, ал хх0 болғанда f(х)0 болса, онда х=х0 нүктесінде у=f(x)
функциясының максимумы бар. Егер де хх0 болғанда f(x)0, ал хх0 болғанда
f(x)0 болса, онда х=х0 нүктесінде y=f(x) функциясының минимумы бар.
Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты). y=f΄(x)
функциясы екі рет дифференциалдансын және f(х0)=0 болсын. Онда х= х0
нүктесінде функцияның локальды максимумы бар, егер f"(х0)0 және локальды
минимумы бар, егер ƒ"(х0)0 болса.
f"(х0)=0 болса, онда х=х0 нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.
Функцияның дөңестігі және ойыстығы. Иілу нуктелері. Функция
графигінің асимптоталары.
y=f(x) функциясымен берілген қисық (a; b) интервалында дөңес деп
аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген
жанамасынан жоғары жатпаса және (а;b) интервалында ойыс деп аталады, егер
қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан
төмен жатпаса.
Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М(х0, f(x0))
нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы
бар деп есептеледі.
Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті
шарты). Егер (а;b) интервалының барлық нүктелерінде y=f(x) функциясының
екінші туындысы теріс (оң), яғни f"(x)0 (f"(x)0) болса, онда y=f(x)
қисығы осы интервалда дөңес (ойыс).
Иілу нүктесінде функцияның екінші туындысы өзінің таңбасын өзгертеді,
сондықтан ол нөлге айналады немесе жоқ болады.
Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі). Егер х=х0 нүктесінде
ƒ"(х0)=0 немесе ƒ"(х0) жоқ болса және осы нүктеден өткенде f"(x) өзінің
таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х0 болатын нүкте y=f(x) қисығының иілу
нүктесі.
L түзуі y=f(x) қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М
нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда
нөлге ұмтылса.
Егер х= хi (і=1,...,п) нүктелері бар
болып
lim f(x) = ±∞, болса, онда х= хi түзулері у=ƒ(х) қисығының тік
(вертикаль) асимптоталары деп аталады.
Егер ƒ(х)
k= lim—— , b= lim (ƒ(х)-kх), шектері бар болса, онда
х→∞ х х→∞

y=kx+b түзлері y-f(x) қисығының көлбеу асимптоталары деп аталады. (k=0
болғанда, көлденең (горизонталь) асимптотасы).
Көп айнымалылы функция ұғымы, оның шегі, үздіксіздігі.
Жаратылыстанудың көптеген мәселелерін қарастырғанда, айнымалылар
арасында біреуінің бірнеше айнымалыға тәуелді болатын жағдайлары жиі
кездеседі. Мәселен, қабырғалары х және у болып келген төртбұрыштың ауданы х
және у айнымалыларының мәндері арқылы анықталады, ал қабырғаларының
ұзындықтыры х, у, z - тік параллепипедттің көлемі х, у және z үш тәуелсіз
айнымалылардың мәндеріне байланысты анықталады.
Аныктама 1. Айталық X, Ү және Z - қандай да бір сандық жиындар болсын.
Екі айнымалының функциясы деп, хєХ, уєУ, zєZ болатындай реттелген (х; у; z)
үштігінің f жиынын айтады және әрбір реттелген (х; у) сандар пары бұл
жиынның бір тек бір ғана үштігіне енеді, ал әрбір z бір үштіктің ең
болмағанда біреуіне кіреді. Мұндай кезде реттелген (х; у) сандар парына z
саны сәйкес қойылды делініп, z=f (x; у) деп жазады. z саны f функциясының
(х; у) нүктесіндегі мәні. z – тәуелді айнымалы, ал х және у – тәуелсіз
айнымалылар (немесе аргументтер); {(х; у)} жиыны - функцияның анықталу
облысы, ал z жиыны-функцняның мәндер жиыны.
Екі айнымалының функциясын z=f(x; у) деп белгілейді.
Екі айнымалының функцияның шегі ұғымын қарастыру үшін берілген М0(х0;
у0) нүктесінің δ – аймағы және жазықтықтың жинақты нүктелер тізбегі ұғымын
енгізейік.
Аныктама 2. х және у координаталары (х-х0)² + (у-у0)² δ теңсіздігін
қанағаттандыратын, немесе, қысқаша, ρ(М; М0) δ, барлық {М(х; у)} нүктелер
жиыны, М0 (х0; у0) нүктесінің δ -аймағы деп аталады.
М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), ..., Мп (хп; уп), ... нүктелер тізбегін
қарастырайық. Оны қысқаша {Мп} деп белгілейік.
Анықтама 3. {Мп} нүктелер тізбегі М0 нүктесіне жинақты деп аталады,
егер кез-келген ε0 саны үшін N0 номері барлық n N0 үшін ρ(М; М0)δ
теңсіздігі орындалатындай болып табылыса. Бұл жағдайда М0 нүктесі {Мп}
тізбегінің шегі деп аталып,

lim Мп - М0 немесе Мп→М0 егер п→∞, деп белгіленеді.
п→∞
Анықтама 4. А саны z=f(M) фунциясының М0 нүктесіндегі шегі деп аталады,
егер М0 нүктесіне жинақталатын кез-келген Мп нүктелер тізбегі f(M1), f(M2),
..., f(Mп), ... функцияның мәндер жиыны А-ға жинақталса.
Бір айнымалылы функция үшін орындалған көптеген шек туралы қасиеттер
бірнеше айнымалылы функция үшін де дұрыс болып табылатынын айта кеткен
дұрыс.
Теорема 1. ƒ (М) және g (М) функциялары бір {М} жиынында анықталып М0
нүктесіндегі шегі В және С болсын. Онда f(M)±g(M), f(M)۰g(M) және f(M)g(M)
(С≠0) функцияларының М0 нүктесінде шегі болып, сәйкес В ± С,В۰С және ВС
болады.
Айталық, қандай да бір {М} жиынында ƒ (М) функциясы анықталып, М0
нүктесі {М} және М0 нүктесінің кез-келген δ -аймағы {М} жиынының барлық
нүктелерін қамтысын.
Анықтама 5. z=ƒ(M) функциясы М0 нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер
функцияның бұл нүктеде шегі болып және ол функцияның осы нүктедегі мәніне
тең болса, яғни.
lim f(M) = f(M0) немесе lim f(x;y) = f(x0;y0).
М→ М0 х→ х0
у→у0
Функцияның үздіксіздік қасиеттері орындалмайтын нүктелері функцияның
үзіліс нүктелері деп аталады.
Негізгі бөлім
1. Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және дербес туындылары.

z=ƒ(M) функциясы М(х; у) нүктесінің қандай да бір аймағында анықталсын.
М нүктесінің х айнымалысына қалауымызша алынған Δх өсімше беріп, ал у
айнымалысын өзгертусіз қалдырамыз, яғни жазықтықтың М (х; у) нүктесінен М1
(х+ Δх; у) нүктесіне көшеміз. Сонымен қоса Δх, М нүктесі М1 нүктесінің
көрсетілген аймағында жататындай етіліп алынады. Онда функцияның сәйкес
өсімшесі
Δxz=f(x+ Δx; y)-f(x; у)
Функцияның х айнымалысы бойынша М (х; у) нүктесіндегі дербес өсімшесі
деп аталады. Осыған ұқсас функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсімшесі
де келесідей анықталады
Δуz=f(x; y+ Δy)-f(x; у).

Анықтама 1. Егер шегі
Δxz Δуz
lim —— (lim—— )
Δх→0 Δх
Δу→0

бар болса, онда ол z=ƒ(M) функциясының М нүктесіндегі х айнымалысы ( у
айнымалысы) бойынша дербес туындысы деп аталады және келесі символмен
белгіленеді:
z΄x,ƒ΄x, д²z ,дƒ ( z΄у,ƒ΄у, д²z ,дƒ ).
дх дх ( дх дх )

Анықтама 2. z=ƒ(M) функциясының М(х; у) нүктесіндегі, х және у
айнымалыларының сәйкес Δх және Δу өсімшелеріне қатысты толық өсімшесі деп
Δz=ƒ(x+Δx; y+Δy)-ƒ(x;y) функциясын айтады.
Анықтама3. z=ƒ(M) функциясы М нүктесінде дифференциалданады деп
аталады, егер оның бұл нүктедегі толық өсімшесі келесі түрде өрнектелетін
болса:
Δz = АΔх + ВΔy + α(Δx; Δy) Δx + β(Δx; Δy) Δy,
мұндағы А және В - сандары, Δх және Δy мәндеріне тәуелсіз, ал α(Δх; Δy)
және В(Δх; Δy) - Δх→0, Δу→0 болғандағы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.