Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің Лагранж көбейткіштер әдісі


ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М. ӨТЕМІСОВ АТНЫДАҒЫ БАТЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
«Математика, физика және информатика»
кафедрасы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы:
«Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің Лагранж көбейткіштер әдісі»
Орындаған: Шаңова Д.
Тексерген: Мұратова Ж. М.
Орал қаласы, 2011
Мазмұны
Кіріспе . . . 3
1. Функцияны және оның графигін зерттеу . . . 3
Негізгі бөлім . . . 10
1. Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы
және дербес туындылары . . . 10
2. Екі айнымалылы функцияның экстремумдары . . . 13
3. Шартты экстремум. Лагранж көбейткіштері әдісі . . . 15
Қолданған әдебиеттер . . . 23
Кіріспе
1. Функцияны және оның графигін зерттеу
Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады.
у=ƒ ( х ) функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп аталады, егер х 1 <х 2 үшін ƒ( х 1 ) < ƒ( х 2 ) (ƒ( х 1 ) > ƒ( х 2 ) ) теңсіздігі орындалса, яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.
Функцияның өсу белгілерін атап өтейік.
1. Егер [а; b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ ( x ) функциясы өспелі (кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияның туындысы теріс емес (оң емес), ягни f΄ ( x ) > 0 ( f΄ ( х ) < 0) .
2. Егер [a; b] кесіндісінде үздіксіз және оның ішінде дифференциалданатын функцияның оң (теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі (кемиді) .
y=f ( x ) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келген х 1 < х 2 үшін ƒ( х 1 ) ≤ ƒ( x 2 ) (ƒ( х 1 ) ≥ f ( x 2 ) ) теңсіздігі орындалса.
Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.
Егер кез-келген Δ х ≠0 шексіз аз үшін f ( x 1 + Δ x ) <f ( x 1 ) теңсіздігі орындалса, онда х 1 нүктесі y=f ( x ) функциясының локальды максимум нүктесі деп аталады. Егер кез-келген Δ х ≠0 шексіз аз үшін f ( x 2 + Δ x ) >ƒ ( x 2 ) х 2 теңсіздігі орындалса, онда х 2 ннүктесі у=f ( x ) функциясының локальды минимум нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум нүктелері деп аталады.
Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты) . Егер y=f ( x ) функциясының х=х 0 нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄ ( х 0 ) =0 немесе f ( x 0 ) жоқ.
Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті шарты) . y=f ( x ) функциясы х=х 0 нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы интервалдың барлық нүктелерінде дифференциалдансын. Егер х<х 0 болғанда f ( x ) > 0 , ал х>х 0 болғанда f ( х ) < 0 болса, онда х=х 0 нүктесінде у=f ( x ) функциясының макси мумы бар. Егер де х<х 0 болғанда f(x) <0, ал х>х 0 болғанда f(x) > 0 болса, онда х=х 0 нүктесінде y=f ( x ) функциясының минимумы бар.
Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты) . y=f΄ ( x ) функциясы екі рет дифференциалдансын және f ( х 0 ) = 0 болсын. Онда х= х 0 нүктесінде функцияның локальды максимумы бар, егер f "( х 0 ) <0 және локальды минимумы бар, егер ƒ "( х 0 ) > 0 болса.
f "( х 0 ) = 0 болса, онда х=х 0 нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.
Функцияның дөңестігі және ойыстығы. Иілу нуктелері. Функция графигінің асимптоталары.
y=f ( x ) функциясымен берілген қисық ( a ; b ) интервалында дөңес деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан жоғары жатпаса және ( а; b ) интервалында ойыс деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан төмен жатпаса.
Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М ( х 0 , f ( x 0 ) ) нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы бар деп есептеледі.
Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті шарты) . Егер ( а; b ) интервалының барлық нүктелерінде y=f ( x ) функциясының екінші туындысы теріс (оң), яғни f "( x ) <0 ( f "( x ) >0 ) болса, онда y=f ( x ) қисығы осы интервалда дөңес (ойыс) .
Иілу нүктесінде функцияның екінші туындысы өзінің таңбасын өзгертеді, сондықтан ол нөлге айналады немесе жоқ болады.
Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі) . Егер х = х 0 нүктесінде ƒ"( х 0 ) = 0 немесе ƒ "( х 0 ) жоқ болса және осы нүктеден өткенде f "( x ) өзінің таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х 0 болатын нүкте y=f ( x ) қисығының иілу нүктесі.
L түзуі y=f ( x ) қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса.
Егер х = х i ( і= 1 , . . . , п ) нүктелері бар болып
lim f ( x ) = ±∞, болса, онда х = х i түзулері у= ƒ(х) қисығының тік
(вертикаль) асимптоталары деп аталады.
Егер ƒ( х )
k= lim--, b= lim (ƒ( х ) -kх ), шектері бар болса, онда
х→∞ х х→∞
y=kx+b түзлері y-f ( x ) қисығының көлбеу асимптоталары деп аталады. ( k= 0 болғанда, көлденең (горизонталь) асимптотасы) .
Көп айнымалылы функция ұғымы, оның шегі, үздіксіздігі.
Жаратылыстанудың көптеген мәселелерін қарастырғанда, айнымалылар арасында біреуінің бірнеше айнымалыға тәуелді болатын жағдайлары жиі кездеседі. Мәселен, қабырғалары х және у болып келген төртбұрыштың ауданы х және у айнымалыларының мәндері арқылы анықталады, ал қабырғаларының ұзындықтыры х, у, z - тік параллепипедттің көлемі х , у және z үш тәуелсіз айнымалылардың мәндеріне байланысты анықталады.
Аныктама 1. Айталық X, Ү және Z - қандай да бір сандық жиындар болсын. Екі айнымалының функциясы деп, хєХ, уєУ, zєZ болатындай реттелген (х; у; z) үштігінің f жиынын айтады және әрбір реттелген (х; у) сандар пары бұл жиынның бір тек бір ғана үштігіне енеді, ал әрбір z бір үштіктің ең болмағанда біреуіне кіреді. Мұндай кезде реттелген ( х; у ) сандар парына z саны сәйкес қойылды делініп, z=f ( x; у ) деп жазады. z саны f функциясының ( х; у ) нүктесіндегі мәні. z - тәуелді айнымалы, ал х және у - тәуелсіз айнымалылар (немесе аргументтер) ; { ( х; у ) } жиыны - функцияның анықталу облысы, ал z жиыны-функцняның мәндер жиыны.
Екі айнымалының функциясын z=f ( x; у ) деп белгілейді.
Екі айнымалының функцияның шегі ұғымын қарастыру үшін берілген М 0 ( х0; у0 ) нүктесінің δ - аймағы және жазықтықтың жинақты нүктелер тізбегі ұғымын енгізейік.
Аныктама 2. х және у координаталары ( х - х0 ) ² + ( у-у0 ) ² < δ теңсіздігін қанағаттандыратын, немесе, қысқаша, ρ( М; М 0 ) < δ, барлық {М ( х; у ) } нүктелер жиыны, М 0 ( х0 ; у0 ) нүктесінің δ - аймағы деп аталады.
М 1 ( х 1 ; у 1 ) , М 2 ( х 2 ; у 2 ), . . . , М п ( х п ; у п ), . . . нүктелер тізбегін қарастырайық. Оны қысқаша {М п } деп белгілейік.
Анықтама 3. {М п } нүктелер тізбегі М 0 нүктесіне жинақты деп аталады, егер кез-келген ε>0 саны үшін N 0 номері барлық n> N 0 үшін ρ( М; М 0 ) <δ теңсіздігі орындалатындай болып табылыса. Бұл жағдайда М 0 нүктесі {М п } тізбегінің шегі деп аталып ,
lim М п - М 0 немесе М п →М 0 егер п →∞, деп белгіленеді.
п→∞
Анықтама 4. А саны z=f ( M ) фунциясының М 0 нүктесіндегі шегі деп аталады, егер М 0 нүктесіне жинақталатын кез-келген М п нүктелер тізбегі f ( M 1 ) , f ( M 2 ) , . . . , f ( M п ), . . . функцияның мәндер жиыны А-ға жинақталса.
Бір айнымалылы функция үшін орындалған көптеген шек туралы қасиеттер бірнеше айнымалылы функция үшін де дұрыс болып табылатынын айта кеткен дұрыс.
Теорема 1. ƒ ( М ) және g ( М ) функциялары бір {М} жиынында анықталып М 0 нүктесіндегі шегі В және С болсын. Онда f ( M ) ±g ( M ) , f ( M ) ۰ g ( M ) және f ( M ) /g ( M ) ( С≠0 ) функцияларының М 0 нүктесінде шегі болып, сәйкес В ± С, В ۰ С және В/С болады.
Айталық, қандай да бір {М} жиынында ƒ ( М ) функциясы анықталып, М 0 нүктесі {М} және М 0 нүктесінің кез-келген δ -аймағы {М} жиынының барлық нүктелерін қамтысын.
Анықтама 5. z=ƒ ( M ) функциясы М 0 нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер функцияның бұл нүктеде шегі болып және ол функцияның осы нүктедегі мәніне тең болса, яғни.
lim f(M) = f(M 0 ) немесе lim f(x; y) = f(x 0 ; y 0 ) .
М→ М 0 х→ х 0
у→у 0
Функцияның үздіксіздік қасиеттері орындалмайтын нүктелері функцияның үзіліс нүктелері деп аталады.
Негізгі бөлім
1. Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және дербес туындылары.
z=ƒ ( M ) функциясы М ( х; у ) нүктесінің қандай да бір аймағында анықталсын. М нүктесінің х айнымалысына қалауымызша алынған Δ х өсімше беріп, ал у айнымалысын өзгертусіз қалдырамыз, яғни жазықтықтың М (х; у ) нүктесінен М 1 ( х+ Δх; у ) нүктесіне көшеміз. Сонымен қоса Δ х, М нүктесі М 1 нүктесінің көрсетілген аймағында жататындай етіліп алынады. Онда функцияның сәйкес өсімшесі
Δ x z=f ( x+ Δ x; y ) -f ( x; у )
Функцияның х айнымалысы бойынша М ( х; у ) нүктесіндегі дербес өсімшесі деп аталады. Осыған ұқсас функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсімшесі де келесідей анықталады
Δ уz=f ( x; y+ Δ y ) -f ( x; у ) .
Анықтама 1. Егер шегі
Δ x z Δ уz
lim -- (lim-- )
Δ х→0 Δ х Δ у→0
бар болса, онда ол z=ƒ ( M ) функциясының М нүктесіндегі х айнымалысы ( у айнымалысы) бойынша дербес туындысы деп аталады және келесі символмен белгіленеді:
z ΄ x , ƒ ΄ x , д²z , дƒ ( z ΄ у , ƒ ΄ у , д²z , дƒ ) .
дх дх ( дх дх )
Анықтама 2. z=ƒ ( M ) функциясының М ( х; у ) нүктесіндегі, х және у айнымалыларының сәйкес Δ х және Δ у өсімшелеріне қатысты толық өсімшесі деп Δ z=ƒ ( x+ Δ x; y+ Δ y ) -ƒ ( x; y ) функциясын айтады.
... жалғасы- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz