Сызықтық емес бағдарламалау есептерін шешудегі Лагранж көбейткіштер әдісі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. ӨТЕМІСОВ АТНЫДАҒЫ БАТЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

«Математика, физика және информатика»

кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы:

«Сызықтық емес бағдарламалау есебін шешудің Лагранж көбейткіштер әдісі»

Орындаған: Шаңова Д.

Тексерген: Мұратова Ж. М.

Орал қаласы, 2011

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

1. Функцияны және оның графигін зерттеу . . . 3

Негізгі бөлім . . . 10

1. Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы

және дербес туындылары . . . 10

2. Екі айнымалылы функцияның экстремумдары . . . 13

3. Шартты экстремум. Лагранж көбейткіштері әдісі . . . 15

Қолданған әдебиеттер . . . 23

Кіріспе

1. Функцияны және оның графигін зерттеу

Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады.

у=ƒ ( х ) функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп аталады, егер х ₁ <х ₂ үшін ƒ( х ₁ ) < ƒ( х ₂ ) (ƒ( х ₁ ) > ƒ( х ₂ ) ) теңсіздігі орындалса, яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.

Функцияның өсу белгілерін атап өтейік.

1. Егер [а; b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ ( x ) функциясы өспелі (кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияның туындысы теріс емес (оң емес), ягни f΄ ( x ) > 0 ( f΄ ( х ) < 0) .

2. Егер [a; b] кесіндісінде үздіксіз және оның ішінде дифференциалданатын функцияның оң (теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі (кемиді) .

y=f ( x ) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келген х ₁ < х ₂ үшін ƒ( х ₁ ) ≤ ƒ( x ₂ ) (ƒ( х ₁ ) ≥ f ( x ₂ ) ) теңсіздігі орындалса.

Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.

Егер кез-келген Δ х ≠0 шексіз аз үшін f ( x ₁ + Δ x ) <f ( x ₁ ) теңсіздігі орындалса, онда х ₁ нүктесі y=f ( x ) функциясының локальды максимум нүктесі деп аталады. Егер кез-келген Δ х ≠0 шексіз аз үшін f ( x ₂ + Δ x ) >ƒ ( x ₂ ) х ₂ теңсіздігі орындалса, онда х ₂ ннүктесі у=f ( x ) функциясының локальды минимум нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум нүктелері деп аталады.

Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты) . Егер y=f ( x ) функциясының х=х ₀ нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄ ( х ₀ ) =0 немесе f ( x ₀ ) жоқ.

Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті шарты) . y=f ( x ) функциясы х=х ₀ нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы интервалдың барлық нүктелерінде дифференциалдансын. Егер х<х ₀ болғанда f ( x ) > 0 , ал х>х ₀ болғанда f ( х ) < 0 болса, онда х=х ₀ нүктесінде у=f ( x ) функциясының макси мумы бар. Егер де х<х ₀ болғанда f(x) <0, ал х>х ₀ болғанда f(x) > 0 болса, онда х=х ₀ нүктесінде y=f ( x ) функциясының минимумы бар.

Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты) . y=f΄ ( x ) функциясы екі рет дифференциалдансын және f ( х ₀ ) = 0 болсын. Онда х= х ₀ нүктесінде функцияның локальды максимумы бар, егер f "( х ₀ ) <0 және локальды минимумы бар, егер ƒ "( х ₀ ) > 0 болса.

f "( х ₀ ) = 0 болса, онда х=х ₀ нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.

Функцияның дөңестігі және ойыстығы. Иілу нуктелері. Функция графигінің асимптоталары.

y=f ( x ) функциясымен берілген қисық ( a ; b ) интервалында дөңес деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан жоғары жатпаса және ( а; b ) интервалында ойыс деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан төмен жатпаса.

Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М ( х ₀ , f ( x ₀ ) ) нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы бар деп есептеледі.

Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті шарты) . Егер ( а; b ) интервалының барлық нүктелерінде y=f ( x ) функциясының екінші туындысы теріс (оң), яғни f "( x ) <0 ( f "( x ) >0 ) болса, онда y=f ( x ) қисығы осы интервалда дөңес (ойыс) .

Иілу нүктесінде функцияның екінші туындысы өзінің таңбасын өзгертеді, сондықтан ол нөлге айналады немесе жоқ болады.

Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі) . Егер х = х ₀ нүктесінде ƒ"( х ₀ ) = 0 немесе ƒ "( х ₀ ) жоқ болса және осы нүктеден өткенде f "( x ) өзінің таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х ₀ болатын нүкте y=f ( x ) қисығының иілу нүктесі.

L түзуі y=f ( x ) қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса.

Егер х = х _i ( і= 1 , . . . , п ) нүктелері бар болып

lim f ( x ) = ±∞, болса, онда х = х _i түзулері у= ƒ(х) қисығының тік

(вертикаль) асимптоталары деп аталады.

Егер ƒ( х )

k= lim--, b= lim (ƒ( х ) -kх ), шектері бар болса, онда

х→∞ х х→∞

y=kx+b түзлері y-f ( x ) қисығының көлбеу асимптоталары деп аталады. ( k= 0 болғанда, көлденең (горизонталь) асимптотасы) .

Көп айнымалылы функция ұғымы, оның шегі, үздіксіздігі.

Жаратылыстанудың көптеген мәселелерін қарастырғанда, айнымалылар арасында біреуінің бірнеше айнымалыға тәуелді болатын жағдайлары жиі кездеседі. Мәселен, қабырғалары х және у болып келген төртбұрыштың ауданы х және у айнымалыларының мәндері арқылы анықталады, ал қабырғаларының ұзындықтыры х, у, z - тік параллепипедттің көлемі х , у және z үш тәуелсіз айнымалылардың мәндеріне байланысты анықталады.

Аныктама 1. Айталық X, Ү және Z - қандай да бір сандық жиындар болсын. Екі айнымалының функциясы деп, хєХ, уєУ, zєZ болатындай реттелген (х; у; z) үштігінің f жиынын айтады және әрбір реттелген (х; у) сандар пары бұл жиынның бір тек бір ғана үштігіне енеді, ал әрбір z бір үштіктің ең болмағанда біреуіне кіреді. Мұндай кезде реттелген ( х; у ) сандар парына z саны сәйкес қойылды делініп, z=f ( x; у ) деп жазады. z саны f функциясының ( х; у ) нүктесіндегі мәні. z - тәуелді айнымалы, ал х және у - тәуелсіз айнымалылар (немесе аргументтер) ; { ( х; у ) } жиыны - функцияның анықталу облысы, ал z жиыны-функцняның мәндер жиыны.

Екі айнымалының функциясын z=f ( x; у ) деп белгілейді.

Екі айнымалының функцияның шегі ұғымын қарастыру үшін берілген М ₀ ( х0; у0 ) нүктесінің δ - аймағы және жазықтықтың жинақты нүктелер тізбегі ұғымын енгізейік.

Аныктама 2. х және у координаталары ( х - х0 ) ² + ( у-у0 ) ² < δ теңсіздігін қанағаттандыратын, немесе, қысқаша, ρ( М; М ₀ ) < δ, барлық {М ( х; у ) } нүктелер жиыны, М ₀ ( х0 ; у0 ) нүктесінің δ - аймағы деп аталады.

М ₁ ( х ₁ ; у ₁ ) , М ₂ ( х ₂ ; у ₂ ), . . . , М _п ( х _п ; у _п ), . . . нүктелер тізбегін қарастырайық. Оны қысқаша {М _п } деп белгілейік.

Анықтама 3. {М _п } нүктелер тізбегі М ₀ нүктесіне жинақты деп аталады, егер кез-келген ε>0 саны үшін N ₀ номері барлық n> N ₀ үшін ρ( М; М ₀ ) <δ теңсіздігі орындалатындай болып табылыса. Бұл жағдайда М ₀ нүктесі {М _п } тізбегінің шегі деп аталып ,

lim М _п - М ₀ немесе М _п →М ₀ егер п →∞, деп белгіленеді.

п→∞

Анықтама 4. А саны z=f ( M ) фунциясының М ₀ нүктесіндегі шегі деп аталады, егер М ₀ нүктесіне жинақталатын кез-келген М _п нүктелер тізбегі f ( M ₁ ) , f ( M ₂ ) , . . . , f ( M _п ), . . . функцияның мәндер жиыны А-ға жинақталса.

Бір айнымалылы функция үшін орындалған көптеген шек туралы қасиеттер бірнеше айнымалылы функция үшін де дұрыс болып табылатынын айта кеткен дұрыс.

Теорема 1. ƒ ( М ) және g ( М ) функциялары бір {М} жиынында анықталып М ₀ нүктесіндегі шегі В және С болсын. Онда f ( M ) ±g ( M ) , f ( M ) ۰ g ( M ) және f ( M ) /g ( M ) ( С≠0 ) функцияларының М ₀ нүктесінде шегі болып, сәйкес В ± С, В ۰ С және В/С болады.

Айталық, қандай да бір {М} жиынында ƒ ( М ) функциясы анықталып, М ₀ нүктесі {М} және М ₀ нүктесінің кез-келген δ -аймағы {М} жиынының барлық нүктелерін қамтысын.

Анықтама 5. z=ƒ ( M ) функциясы М ₀ нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер функцияның бұл нүктеде шегі болып және ол функцияның осы нүктедегі мәніне тең болса, яғни.

lim f(M) = f(M ₀ ) немесе lim f(x; y) = f(x ₀ ; y ₀ ) .

М→ М ₀ х→ х ₀

у→у ₀

Функцияның үздіксіздік қасиеттері орындалмайтын нүктелері функцияның үзіліс нүктелері деп аталады.

Негізгі бөлім

1. Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және дербес туындылары.

z=ƒ ( M ) функциясы М ( х; у ) нүктесінің қандай да бір аймағында анықталсын. М нүктесінің х айнымалысына қалауымызша алынған Δ х өсімше беріп, ал у айнымалысын өзгертусіз қалдырамыз, яғни жазықтықтың М (х; у ) нүктесінен М ₁ ( х+ Δх; у ) нүктесіне көшеміз. Сонымен қоса Δ х, М нүктесі М ₁ нүктесінің көрсетілген аймағында жататындай етіліп алынады. Онда функцияның сәйкес өсімшесі

Δ _x z=f ( x+ Δ x; y ) -f ( x; у )

Функцияның х айнымалысы бойынша М ( х; у ) нүктесіндегі дербес өсімшесі деп аталады. Осыған ұқсас функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсімшесі де келесідей анықталады

Δ уz=f ( x; y+ Δ y ) -f ( x; у ) .

Анықтама 1. Егер шегі

Δ _x z Δ уz

lim -- (lim-- )

Δ х→0 Δ х Δ у→0

бар болса, онда ол z=ƒ ( M ) функциясының М нүктесіндегі х айнымалысы ( у айнымалысы) бойынша дербес туындысы деп аталады және келесі символмен белгіленеді:

z ΄ _x , ƒ ΄ _{x

,} д²z , дƒ ( z ΄ _у , ƒ ΄ _{у

,} д²z , дƒ ) .

дх дх ( дх дх )

Анықтама 2. z=ƒ ( M ) функциясының М ( х; у ) нүктесіндегі, х және у айнымалыларының сәйкес Δ х және Δ у өсімшелеріне қатысты толық өсімшесі деп Δ z=ƒ ( x+ Δ x; y+ Δ y ) -ƒ ( x; y ) функциясын айтады.