Мақсат функциясы және математикалық программалау есебінің шектемелері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 24 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы:

Мақсат функциясы және математикалық программалау есебінің шектемелері

Орындаған:

Тексерген:

Орал, 2013ж.

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
І ТАРАУ. ЭКОНОМИКАЛЫҚ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ
1.1 Математикалық модельдерінің ұғымы және даму
тарихы ... ... ... ... ... ... ...5
1.2 Динамикалық бағдарламалау есебінің жалпы
түсінігі ... ... ... ... ... ... ... ... ...9

ІІ. Мақсат функциясы және математикалық программалау
есебінің шектемелері
2.1.Динамикалық бағдарламалаудың жалпы есебі және мақсат функциясы..11
2.3. Динамикалық программалау есебін пайдаланып есептің мәнін шығару..18

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..28
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..26
Кіріспе
Математикалық модельдеу — кез келген құбылыстарды немесе күрделі физ.
процестерді, аппараттарды олардың математикалық модельдерін құру арқылы
зерттеу тәсілі; матем. модельді құру процесі. Математикалық модельдеу деп
қажетті процесті немесе аппаратты сипаттайтын матем. теңдеулер жүйесін
айтады. Математикалық модельдеу үшін кез келген матем. мүмкіндіктерді
(дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулерді, жиындар теориясын,
абстрактылық алгебраны, матем. логиканы, ықтималдықтар теориясын, т.б.)
пайдаланады. Математикалық модельдеу. негізіне түпнұсқа мен модельдің
айнымалы параметрлерінің біртектес немесе ұқсас теңдеулермен сипатталуы
алынады. Математикалық модельдеу көбінесе, компьютерлер арқылы зерттеледі,
сондықтан оны кейде компьютерлік модельдеу деп те атайды
Болашақ мамандар үшін қолданбалы математиканың ең маңызды салаларының
бірі - математикалық модельдеу пәні: ол экстремалдық есептерді зерттеуге
және олардың шешу әдістеріне арналған. Бұл пәнді оқу қарапайым есептердің
математикалық модельдерін құрастыруда алғашқы қадам жасауға, олардың
математикалық қойылуы мен шешу әдістерін үйренуге мүмкіншілік береді. Бұл
пән бойынша белгілі білім қорын жеткізіп және оларды қолдануға үйретіп қана
қоймай, ол сонымен қатар математиканы оқып-үйрену үшін қажетті
студенттердің логикалық ойлауын және математикалық мәдениетін дамытады.
Математикалық модельдеу пәні жалпы ғылыми пән болып табылады.
Бұл пән жоғары математика курсынан кейін оқылуға тиіс: бұл жерде
сызықтық алгебра мен шектелген өлшемдегі кеңістіктегі дөңес жиындар
теориясының рөлі аса маңызды. табысты меңгеру үшін орта мектеп көлеміндегі
элементарлық математиканы, сондай-ақ қатар оқылатын жоғарғы және сызықтық
алгебраны, аналитикалық геометрияны, математикалық талдау элементтерін,
сандық әдістерді білу қажет.
Математикалық модельдеу пәнін оқытудағы мақсат сызықтық және
сызықтық емес бағдарлама есептерінің модельдерін құру, олардың максимум
және минимум мәндерін табу, екіжақты, транспорттық, вариациалау және ойын
теориясының есептерін шешіп, математикалық статистика элементтерімен
танысып, көпшілікке қызмет ету жүйесінің модельдерін шешуге үйрену болып
табылады.
Көптеген математикалық модельдер универсалды болып келеді, яғни
әртүрлі жүйелерді зерттеуге қолданылады. Математикалық модельдер
қарастырылатын құбылыстар мен үрдістердің сандық заңдылықтарын анықтауға,
сипатталатын факторлардың тәуелділігі мен өзара байланысын табуға мүмкіндік
береді. Математикалық модельдердің дамуына өте күрделі есептеулерді
жүргізетін электронды-есептегіш машиналарының көбеюі зор ықпал етті.
І ТАРАУ. ЭКОНОМИКАЛЫҚ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ
1.1 Математикалық модельдерінің ұғымы және даму тарихы
Көптеген математикалық модельдер параметрлер мен айнымалылардан
тұратын теңдеулер мен теңсіздіктер жүйелерінен тұрады. Айнымалы шамалар,
мысалы, өндірілген өнім көлемі, капитал жұмсау, тасымалдау т.с.с., ал
параметрлер өнімді өндіруге жұмсалған материал, уақыт, шикізат шығынының
мөлшерін көрсетеді. Әрбір модельде айнымалылардың екі тобын көрсетуге
болады.
1) Сыртқы айнымалылар – олардың мәндері модельден тыс және берілген;
2) Ішкі айнымалылар, олардың мәндері берілген модельді зерттеу
қорытындысында анықталады.
Модельдеу үрдісінің нақты алгоритмі жоқ, бірақ модельдеу тәжірибесінде
басшылықққа алатын анықталған принциптер бар.
Математикалық модельдердің құрылымдық және функционалдық түрлері бар.
Құрылымдық модельдер жүйелердің құрылымын және оның элементерінің өзара
әсерін зерттейді. Функционалдық модельдер жүйенің ішкі құрылысына
байланыссыз әртүрлі жағдайдағы тәртібін талдайды.
Құрылымдық модельді оқып үйрену үстінде объектінің мазмұнын туралы,
оның сыртқы жағдайларға әсері туралы информацияларды алуға болады. Ал
функционалдық модельді зерттегенде объектінің әртүрлі реакцияларының сыртқы
ортаға әсері туралы деректер алуға болады. Сонымен қатар объектінің
құрылымын талдауға және құрылымдық модельдерді құруға мүмкіндіктер туады.
Экономикалық-математикалық модельдер жүйе жағдайын болашақты жоспарлау
мен болжауға пайдаланады. Мұндай жағдайда модель оның негізінде қойылған
белгілі бір алғы шарттарға сәйкес экономикалық үрдістердің ағымын
көрсетеді. Жоспарлау мен болжау модельдерінде алғышарттарды дұрыс таңдау
ерекше маңызды роль атқарады. Модель есептің шарты дұрыс қойылған кезде
ғана нақты жүйелердің құрылысы мен функциясын дұрыс сипатайды.
Экономикалық-математикалық модельдер сипаттаулы және оптималды болып
бөлінеді.
Экономикалық жүйелердің сипаттаулы моделі есептерді математикалық
формула түрінде көрсетеді және жүйе жағдайы мен оның элементтерінің
байланысын тереңірек ұғып үйренуге қолданылады. Мұндай модельдерге халық
шаруашылығы және экономикалық аудандардың салааралық байланысының
матрицалық моделі жатады. Осындай типті есептің модельдері анықталған
алғашқы мәліметтері бойынша бір ғана шешімі болады. Бұл модельдердің
негізгі кемшілігі – ең тиімді (оптималды) шешімін іздейтін шарттың жоқтығы.
Оптималды модельдерде экономикалық есептің мағынасы математикалық
формула түрінде жазылады және ең тиімді шешімі табылатын шарт функция
түрінде көрсетіледі. Бұл модельдер белгілі бір алғашқы мәліметтер бойынша
есеп шартын қанағыттандыратын көптеген шешімдер және оптималдықтың
критерийіне сәйкес тиімді шешім алуға мүмкіндік береді. Мұндай модельдерге
өндірістік программаны оптималдау, кесіп-пішуді оптималдау, қоспа
компоненттерін оптималдау, кәсіпорынды орналастыруды оптималдау, көлік
есептерінің модельдері жатады.
Оптималдық модельдердің көпшілігінде оптиалдықтың бір ғана критерийі
қарастырылады. Математикалық модельдерде сызықтық және сызықтық емес
тәуелділіктердің әртүрлі түрлері қолданылады. Математикалық модельдеу
үрдісінің негізгі бөлігі аппроксимация (жуықтау) – математикалық амалдарды
(функция, теңдеу т.с.с.) басқа қарапайым шамалар арқылы жуықтап табу болып
табылады. Аппроксимацияның көмегімен күрделі есептерді жай есептерге,
сызықтық емес теңдеулерді сызықтық теңдеулерге келтіреді. Модельденетін
обьектінің белгілі бір уақытқа немесе уақыт аралығына сәйкес қасиеттерін
сипаттайтын математикалық модельдер статикалық деп аталады.
Үрдістердің белгілі бір уақыт аралығындағы өзгерістерін зерттейтін
модельдер динамикалық деп аталады. Детерминистикалық (латынша determino –
анықтау) модельдер дегеніміз барлық параметрлері және сыртқы айнымалылары
бірге тең ықтималдықпен анықталатын модельдер. Ықтималдық модельдерінде
параметрлер мен сыртқы айнымалылар немесе олардың белгілі бір бөлігі тиісті
ықтималдықтың үлестіруімен сипатталады. Анықталмағандықты есепке алатын
модельдерге ықтималдық теориясының заңдарын қолдануға болмайды.
Математикалық модель жасау процесі өзара байланысқан бірнеше кезеңнен
тұрады.
Бірінші кезең – есептің қойылуы. Бұл кезең зерттеудің мақсатын
анықтаудан басталады.
Мысалы, кәсіпорын үшін өнім өндіру немесе жүк тасымалдаудың оптималды
жоспарын құру немесе берілген материалды кесіп-пішудің оптималды нұсқасын
табу қажет т.с.с. Зерттеудің мақсатына сәйкес жүйелерді жан-жақты талдап,
оның құрылымы мен қызметін, ерекшелктерін ескеру керек.
Жүйелерді модельдеген кезде модельге есептің шешіміне әсер ететін,
яғни қойылған мақсатқа қол жеткізетін факторлардың енуі шарт.
Екінші кезең – таңдалып алынған жүйелерге математикалық модельдер
құру. Бұл кезеңде есепті формула түріне келтіру – математикалық
тәуелділіктерді теңдеулер, теңсіздіктер түрінде құру жүргізіледі.
Алдағы уақытта есептердің математикалық формула түрінде жазылған
өрнектерін есептің моделі деп атаймыз.
Үшінші кезең – құрылған модельге сәйкес есептің шешімін алу.Бұл
кезеңнің негізгі есептерін қарастырайық. Біріншіден, модельге қажетті
алғашқы ақпараттарды жинау, параметрлер мен сыртқы айнымалылардың сандық
мәндерін анықтау қажет. Екіншіден, есептің шешімін алатын әдісті таңдап алу
керек. Сандық экономикалық-математикалық әдістердің арасында кеңінен
тарағандары симплекс әдісі және потенциал әдісі. Олар көптеген экономикалық
есептерді шығаруға қолданылады. Бұл әдістермен шығаруға келмейтін есептер
де кездеседі. Мұндай жағдайларда жүйелерді зерттеудің эвристикалық және
имитациялық әдістері қолданылады.
Эвристика (грек сөзінен – табамын, ойлап табамын, ашамын) –
зерттеушінің интуициясы мен жүргізген тәжірибесіне сәйкес шешілетін
әдістердің жиынтығы.
Имитация – модельдеудің мүмкіндігін кеңейтетін жаңа бағыт болып
табылады. Имитациялық модельдеуді нақты жүйелердің модельдеріне жүргізілген
эксперимент ретінде түсінуге болады, ал жеке алғанда математикалық
модельдеудің көмегімен алғашқы шарттарын өзгерте отырып жүргізілетін
есептеу эксперименті. Имитация (латынша - еліктеу) – жасанды құралдардың
көмегімен бір нәрсені жаңадан ендіру немесе еске түсіру.
Төртінші кезең – модель бойынша алынған қорытындыны тәжірибеде
қолдану. Математикалық әдістердің көмегімен алынған шешімдер талданып,
белгілі бір аралықта алғашқы ақпараттарға тигізетін әсері тексеріледі.
Уақыттың өзгеруіне сәйкес алғашқы ақпараттар өзгереді, сол
өзгерістердің алынатын шешімдерге тигізетін әсерін білу аса маңызды.
1.2 Динамикалық бағдарламалау есебінің жалпы түсінігі
Сызықтық және бейсызықтық бағдарламалау есептерінде экономика-лық
үдеріс статикалық, яғни уақыттан тәуелсіз деп қарастырылатындықтан, тиімді
шешімі жоспарлаудың бір ғана кезеңіне анықталатын. Бұндай есептер бір
кезеңдік немесе бір қадамдық делінеді.
Динамикалық бағдарламалау есептерінде экономикалық үдеріс уақыттан
тәуелді, бірнеше уақыт кезеңінен тұратындықтан әрбір кезеңдерінің тиімді
шешімдері анықталады, осы негізде бүкіл үдерістің тиімді ұласуы
қалыптасады. Осы себепті динамикалық бағдарламалау есептері көп кезеңді
немесе көп қадамды деп аталады.
Экономикалық үдеріс басқарылымды делінеді, егер оның дамуына әсер ету
мүмкін болса. Әрбір кезеңде үдеріс барысына әсер ететін шешімдер жиынтығы
басқару деп аталады.
Көп кезеңді үдерісті жоспарлағанда, тұтас үдерістің талаптарынан
шығатындай етіп, жеке кезеңдегі шешімдер қабылданады.
жүйесінің уақытындағы қызметі жоспарлансын, мұндағы
– кәсіпорындары, – әрбір кезең (шаруашылық жылы). Т периодының
басталуында бөлінген негізгі қаржы , жүйенің бастапқы жағдайы ,
соңғы жағдайы . Т периодының ақырында кәсіпорындар жүйесінің қосынды
кірісі максималды болатындай етіп, негізгі қаржы
кәсіпорындарына әрбір кезеңге қалай бөлінеді?
-шы жыл басында -ші кәсіпорынға бөлінетін қаржы
десек, басқару анықталады, яғни кәсіпорнына ,
кәсіпорнына , ... , кәсіпорнына үлестері бөлініп,
басқару векторы анықталады.
Бөлінген қаржылар жиынтығы k қадамдарында n-өлшемді кеңістіктің
келесі векторлар жүйесімен анықталады

... ... ... ... ... ... ... ... .

Сонымен k жылдарындағы қосынды кіріс басқарулар жиынтығынан тәуелді,
яғни

Онда есеп былай қойылады: әрбір кезеңдегі басқаруды, кәсіпорындар
жүйесінің қосынды кірісі максималды болатындай етіп таңдау қажет.
Математикалық моделі

; , ;

ІІ. Мақсат функциясы және математикалық программалау
есебінің шектемелері
2.1.Динамикалық бағдарламалаудың жалпы есебі және мақсат функциясы
Математикалық бағдарламалау есептерінің кез келгенінде айнымалыларға
қойылған шектеулерге сәйкес мақсатты функцияның экстремумын табу қажет.
Осыған дейін мақсатты функция мен шектеулері сызықтық болып келген
есептер қарастырылды. Ал нақты есептерде сызықтық емес тәуелділіктер көптеп
кездесетіндіктен сызықтық емес бағдарламалау теориясының жасалу қажеттігі
туды.
Қазіргі кезде сызықтық емес бағдарламалау есептері жылдам дамып
келеді. Математикалық бағдарламалау есептерінің мақсатты функциясы мен
шектеулері сызықтық емес болса, онда ондай есептер сызықтық емес
бағдарламалау есептері деп аталады.
Басқарылатын физикалық жүйе бастапқы жағдайынан уақыт өте
келе ақырғы жағдайына келтіріледі. Жағдайлардың өзгеріс үдерісімен
сандық белгі байланысты. Үдерісті осы сандық белгі тиімді
(оптималды) мәнін қабылдайтындай етіп ұйымдастыру қажет.
Мүмкін болатын басқарулар жиынын деп белгілейміз. Онда есеп
былай қойылады: жүйесін бастапқы жағдайынан, ақырғы
жағдайына белгі тиімді мәнін қабылдайтындай етіп келтіретін,
басқаруын анықтау керек.
Математикалық түрде

, , , .

Динамикалық бағдарламалау көп қадамды үдерісті кезеңдермен
жоспарлайтындықтан, үдерістің тұтас дамуын ескере отырып, әрбір қадамын
келешекті ескере отырып тиімді етеді.
Әрбір үдерістің соңғы k-ші қадамы бар, онда шешімді қабылдау
келешектен тәуелсіз. Осы себепті бұл қадамда ең үлкен әсер басқару
қабылданады. Бұл қадамды жоспарлап алып, оның алдынғы (k-1)-қадам
тіркеледі, ал оған өз кезегінде (k-2)-қадам тіркеледі т.с.с. Ақырында
бастапқы жағдайына келеді. Динамикалық бағдарламалау осылайша
ақырынан бастапқы жағдайға оралатындай болып түзіледі.
k-ші қадамды жоспарлау үшін жүйенің (k-1)-ші қадамындағы жағдайын білу
керек. Егер жүйенің (k-1)-ші қадамындағы жағдайы белгісіз болса, үдерістің
сипатында, осы қадамдағы жағдайына мүмкін болатындай әр түрлі болжамдар
жасалады. Соңғы k-ші қадамда әрбір болжамға тиісті тиімді басқару
анықталады. Мұндай тиімді басқару шартты тиімді делінеді.
k қадамды үдеріс жоспарланады. Жүйенің (k-1)-ші қадамдағы мүмкін
болатын жағдайларды делік. Соңғы қадамда олардың әрқайсысына шартты
тиімді басқаруларын
табамыз. Осылайша k-ші қадамы жоспарланады. Шындығында, соңғы қадам алдында
жүйе қандай жағдайда болмасын, алдын ала белгілі соңғы қадамда қандай
басқару қабылданатыны. Дәл осылайша (k-1)-ші қадамда да шартты тиімді қадам
басқаруы k-ші қадамдағы шартты тиімді қортындыда жүйенің бастапқы
жағдайына келеміз.
Басқа қадамдарға қарағанда жүйенің бірінші қадамда мүмкін болатын
жағдайлар қарастырылмайды, себебі бастапқы жағдай біреу ғана, екінші
қадамдағы шартты тиімді басқарулар ескеріле отырып , тиімді басқару
бірден анықталады. -ден -ға дейін өтіп, тұтас үдерістің
ізделініп отырған тиімді басқаруы алынады.
Р.Беллманның [1] көрсетуіндей, көп кезеңді үдерістің тиімді шешімін
табу функционалдық теңдеудің шешімін табуға келтіріледі.
Шамасы х қаржы екі түрлі кәсіпорнын дамытуға жұмсалады делік. Егер
бірінші кәсіпорнына у, екіншісіне х-у қаржы бөлінсе, онда кіріс тиісінше
g(y) және h(x-y)-ті құрасын. Жалпы кіріс J максималды болатындай етіп
қаржыны бөлу қажет. Қойылған есеп мақсат функциясының максималды мәнін
табуға келтіріледі.

, , (1)

Егер g және h функциялары мәндерінде үздіксіз болса,
мақсат функциясының максималды мәні барлық уақытта бар екендігі белгілі.
Сонымен max бір кезеңді үдерістегі мүмкін болатын максималды
кірісті анықтайды. Кірістің бірлік өлшемі қаржының бірлік өлшемінен өзгеше
болуы да мүмкін. Мысалы х теңге болса, g(y) адам-сағат мөлшері, машина
қолданғанда үнемделген нәтижесі болуы да мүмкін.
Екі кезеңді үдерісті қарастырайық. Бастапқы қаржы у кіріс g(y)-ті
алуға жұмсалған шығыннан соң шамасына дейін кемиді , сол сияқты
(х-у)-те һ(х-у) кірісінен соң b(x-y)-ке дейін кемиді делік. Онда бір
кезеңді үдерістен соң қалған қаржы үшін бөлісті қайта жалғастырамыз
, , .
Бұл бөліс нәтижесіндегі кіріс , онда толық кіріс
.
Демек, максималды толық кіріс осы функцияның және
айнымалылары бойынша алынатын максимумынан турады

.
, .

N кезеңнен тұратын үдерісте операция N рет қайталанады, толық кіріс
функциясы былай анықталады
, (2)

мұндағы бірінші, екінші, ... , (N-1)-ші кезеңдерде әрі қарай бөлініске
түсетін шамалар келесі қатынастармен анықталады:

,;
, ;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . (3)
,
, .

Есепті кезеңдерге бөліп, тиімділік қағидасымен N кезеңді үдерісте
шешеміз. N кезеңді үдерістегі толық кірістің максималды мәні тек N-нен және
бастапқы х шамасынан тәуелді болатындықтан

деп аламыз. Онда бір кезеңді үдерісте

. (4)

Екі кезеңдік үдерісте алғашқыдан қалған шамасын тиімді етіп бөлу
қажет. Демек тиімді таңдалғандағы кіріс , ал екі кезеңді үдеріс
үшін толық кіріс және функцияларын байланыстыратын
(5)

рекурентті қатынасымен өрнектеледі.Осылайша тұжырымдай отырып, N
кезеңді үдеріс үшін негізгі функцио-налдық теңдеуді аламыз:
, (6)
Мұнда әрбір кезең есептеулерінде мен бірге -те анықталады.
Сонымен динамикалық бағдарламалау есебін функционалдық теңдеулер
әдісімен шешкенде N өлшемді есепті N тізбектен тұратын бір өлшемді
есептерге келтіреміз.
Динамикалық бағдарламалауда үдеріс соңғы жағдайдан бастапқы жағдайына
қарай өрбитіндіктен, бұған тән дискретті үдерісті өрнектейтін функционалдық
теңдеу:
, (7)
f-үдеріс мақсаты (кіріс, пайда т.б); N-кезеңдер саны; х-айнымалы,
жүйенің N-ші қадамдағы сипаттаушысы; - белгінің нәтижелік мәні,
тиімділік қағидасымен алынған; - басқарушы айнымалы, нәтижелік
белгінің мәні тәуелді болатын; - белгінің шамасы; N-ші кезеңде
алынған, 0 мен х аралығында; - нәтижелік белгінің тиімді мәні
жағдайынан бастап қалған N-1 кезеңдерден өткеннен соңғы.
N-ші кезеңдегі тиімді басқару делік. Онда жүйенің (N-1)-ші
кезеңдегі жағдайының функционалдық теңдеуі:
, (8)
,
себебі шамасын N-ші кезеңде таңдауға байланысты бастапқы х
шамасы -ге дейін кеміген.
Заводтағы станоктардың тозуын есептей отырып, жұмыс істеуін
қарастыру. Заводта екі түрлі бұйымды өңдейтін s станок бар. Бірінші бұйым x
станокта өңделеді және одан түсетін жылдық пайда f (x) , ал (s- x) станокта
екінші бұйым өңделеді, одан g(s- x) пайда түседі. f және g функциялары
үзіліссіз және түрлері белгілі.
Бірінші бұйымды өңдейтін станоктардың бір жылдан соң 20%-і, ал екінші
бұйымды өңдейтін станоктардың 10%-і амортизацияланады. Алғашқы үш жылда
кәсіпорынға максималды пайда түсіретін станоктардың санын анықтау керек.
F1(s) -бірінші жылы алынатын максималды пайданы белгілейміз, яғни

(1)

(1) теңдеуінің оң жағын былай түсінуге болады. Бірінші бұйымды өңдейтін
станоктың саны (x) , ол 0 ден s - ке дейінгі интервалда өзгеруі мүмкін, ал
әрбір x үшін f(x)+ ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.