Шартты экстремум

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Шартты экстремум.

z=f(x;y) функциясын х және у айнымалылары теңдеуімен байланысты
болған жағдайда экстремумге зерттеу керек болсын. Яғни, z=f(x;y)
функциясынан басқа ХоУ жазықтығында α сызығы беріліп, z функциясын
экстремальдік нүктелері тек α сызығына тиісті болуы мүмкін жағдайда
экстремумге зерттеу керек. Бұл нүктелер шартты экстремум нүктелері, ал х
және у айнымалыларын байланыстыратын теңдеу – байланыс теңдеуі деп аталады.

Егер байланыс теңдеуінінен у айнымалысын х арқылы анықтап
берілген z=f(x;y) функциясына қойсақ, онда бір х айнымалысынан тұратын
функциясына келеміз. х-тің z функциясы экстремумге жететін мәндерін тауып
байланыс теңдеуіне қоямыз да, у-тің сәйкес мәндерін анықтаймыз. Нәтижесінде
шартты нүктелерін алмасақ, онда Лагранж көбейткіштері әдісін қолданамыз.
Лагранж көбейткіштері әдісі.
z=f(x;y) функциясын болғанда экстремумге зерттеу үшін:
1) Көмекші Лагранж функциясын құрастыру керек:
(1)
Мұндағы көмекші белгісіз;
2) дербес туындыларын тауып әрқайсысын нөлге теңестіріп
шыққан үш белгісі бар үш теңдеуден тұратын жүйені есептеу
керек.
Жүйенің шешуінің нәтижесінде функцияның шартты экстремумы бар болуы
мүмкін нүктелерін табамыз. Бірақ тапқан нүктелері шартты экстремум болмауы
да мүмкін, себебі, жүйе шартты экстремумның тек қажетті шартын білдіреді.
1 Мысал: функциясын, х және у айнымалылары теңдеуімен
байланысты болған жағдайда экстремумге зерттеу керек.
Δ байланыс, теңдеуді параболасы болады. Берілген z функциясында
арқылы алмастырып
немесе
функциясына келеміз.
Шыққан z(x) функциясын экстремумге зерттейміз:

функциясының стационарлы нүктесі.
Екінші туындысын табамыз:

Екінші туындысы оң болғандықтан тапқан стационарлы нүктеде z(x)
функциясының минимумы бар. мәнін байланыс теңдеуіне қоямыз:
Сонымен, шартты экстремум нүктесі. Бұл нүктеде z=f(x;y) функциясының
минимумы бар.
▲
Енді шартты экстремум нүктесін Лагранж көбейткіштері әдісін пайдаланып
табайық.
1) Көмекші Лагранж функциясын құрастырайық: Берілгені бойынша
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.