Математиканың дамуы барысында комплекс

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

КОМПЛЕКС САНДАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5
І. Математиканың дамуы барысында комплекс
сандардың пайда болу тарихы. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 6
ІІ. Комплекс сандар және оларға амалдар қолдану.
Комплекс сандардың геометриялық мағынасы
2.1. Негізгі ұғымдар және комплекс сандарға амалдар қолдану. . . . . .8
2.2. Комплекс сандардың геометриялық кескіні.
Тригонометриялық түрі.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .9
2.3. Комплекс сандарды дәрежелеу және түбірден шығару.. . . . . . .11
2.4. Алгебралық амалдардың геометриялық мағынасы.. . . . . . . . . .12
ІІІ. Комплекс сандардың қолданылуы.
3.1. Алгебралық теңдеулерді шешу.. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Алгебралық тепе-теңдікті дәлелдеу.. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .16
3.3. Комплекс сандарды тригонометрияда қолдану.. . . . . . . . . . . . .17
3.4. Комплекс сандарды геометрияда қолдану.. . . . . . . . . . . . . . . . 19
ҚОРЫТЫНДЫ . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 20

Кіріспе
Алгебралық теңдеулер және оларды шешуге байланысты мәселелер мектеп курсында маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Математикада натурал сандар жиынында шешімі болмайтын теңдеулердің шешімін рационал сандар жиынында тауып жатамыз. Сол сияқты кейбір теңдеудің шешімі рационал сандар жиынында табылмай нақты сандар жиынында табылып жатады. Мысалы, х2 =3 теңдеуінің рационал сандар жиынында шешімі жоқ, иирационал сандарды білмеген кезде түбірі жоқ деп жауап беретін болдық. Ал шындығында оның түбірлері бар, түбірлері . Бұл сандарды түсінуге қиын болып көрінгенмен, ұзындығы -ге тең болатын кесіндінің бар екеніне көзіміз жетті. Сонымен қатар осы иррационал сандардың көмегімен математикалық есептер ғана емес, техниканың, физиканың т.б. есептері оңай шығарылады. Сондықтан сандар ұғымы әрдайым кеңейтіліп отырды. Ал х2 = - 3 теңдеуінің түбірі нақты сандар жиынында жоқ. Математика неге математикалық операциялар нәтижесінде туындаған теңдеуді шеше алмайды? деген заңды сауал туындайды. Бұл сұраққа жауап беру үшін сандар өрісін тағы кеңейтуге тура келеді.
N - натурал сандар, Q - рационал сандар, R - нақты сандар, І - комплекс сандар жиыны.

І

х2 +1=0 квадрат теңдеуін қарастырайық. Бұдан х2 = -1. Яғни берілген теңдеудің түбірі х квадраты -1-ге тең сан болып отыр. Ол санды і жорамал бірлік деп атайды. Сонда і2 = -1, і = . Теңдеудің жауабы х= і.
х2 -8х+25=0 квадрат теңдеуін қарастырайық. Оның түбірлерін былай жазуға болады: .
түріндегісандар комплекс сандардепаталады. Жалпытүрде а+biдеп жазылады. Мұндағы а, b-нақты сандар, а- комплекс санның нақты бөлігі, bi - комплекс санның жорамал бөлігі, ал b-жорамал бөлігінің коэффициенті деп аталады.
Ол сандар өте ерекше және киын болып көрінгенімен оған нақты сандармен жасалатын амалдар үшін қажетті математикалық білімнен артық білім қажет емес. Осы жұмыста теңдеуді шешуге комплекс сандарының қолданылуына ерекше көңіл бөле отырып, оңай шешу жолы ашып көрсетілген. Сонымен қатар жұмыста қарастырылған тригонометриялық есептерді шешуде комплекс сандарды пайдалану тәсілдерінің тиімділігі өте жақсы көрсетілген.

І ТАРАУ. Математиканың дамуы барысында комплекс сандарының пайда болу тарихы
Комплекс сандар теріс сандар сияқты математиканың ішкі қажеттілігінен пайда болды нақтырақ айтқанда алгебралық теңдеулерді шешу теориясы мен практикасынан қажеттілігінен туындады. Ең алғаш комплекс сандармен математиктер квадрат теңдеуді шешу кезінде кездесті. ХVI ғасырға дейін дүниежүзі математиктері комплекс сандар ұғымын дұрыс түсіндіре алмай оларды жалған сандар деп қолданбаған. Квадрат теңдеуді шешу тарихы Ежелгі Вавилоннан басталады. Бірақ олар оң түбірлерін ғана таба алған, нақты шешу жолын білмеген. Индус Брахмагупта (VII в.) квадрат теңдеуді шешудің жалпы әдісін ұсынған. Аль-Хорезми (IX в.) сызықтық және квадрат теңдеулердің классификациясын жасап, оларды шешу тәсілдерін көрсеткен. Бірақ ол да ноль және теріс түбірлерін қарастырмаған. Квадрат теңдеудің түбірлерінің жалпы формуласын Виет (XVI в.) қорытып шығарған. Бірақ ол да тек оң түбірлерін ғана тапқан. Тек ХVI ғасырда итальяндық математиктер Тарталья, Кардано, Бомбелли оң түбірлерінен басқа теріс түбірлері бар екендігін ескереді. XVII ғасырда Жирар, Декарт, Ньютон және тағы басқа математиктердің еңбектерінің арқасында квадрат теңдеуді шешудің қазіргі жолы ашылады.
3-ші және 4-ші дәрежелі теңдеулерді шешу жолын итальяндық математиктер Тарталья, Кардано және т.б. тапқан. 5-ші және одан да жоғары дәрежелі теңдеулерге байланысты тек ХIX ғасырдың 20-шы жылдары ғана норвегиялық жас математик Нильс Абель бұндай теңдеулердің түбірлері 4 арифметикалық амалдар және түбірден шығарудың көмегімен табу мүмкін еместігін дәлелдеген.
Кардано 3-ші және 4-ші дәрежелі теңдеулермен айналысып жүріп, алғаш рет комплекс сандарды қолдануды ұйғарған. Сонда да олар оған түсініксіз көрінді. Комплекс сандардың мағынасын итальяндық математик Р.Бомбелли түсіндірді.
Комплекс сандар математикада ХVI ғасырда 3-ші дәрежелі алгебралық теңдеулерді шешуге байланысты, кейінірек 2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуге байланысты пайда болды. 1545 жылы итальяндық алгебраист Джироломо Кардано табиғаты жаңа сандар енгізуді ұсынды. Ол теңдеулер жүйесінің нақты сандар жиынында шешімі жоқ, бірақ әрқашан шешімі бар. Мұндағы деп алгебраның ережесі бойынша қабылдау қажет екенін айтқан.
1572 жылы итальяндық алгебраист Рафаэль Бомбеллидің осындай сандармен орындалатын амалдардың алғашқы ережелерін жазған кітабы жарық көрді. Жорамал сандар деген атауды 1637 жылы француз математигі және философы Рене Декард енгізсе, 1777 жылы VIII ғасырдың атақты математиктерінің бірі Леонард Эйлер і2=-1 болатын і жорамал бірлігін енгізді.
Комплекс сандар кез-келген квадрат теңдеуді (Д0 болса да), 3-ші және 4-ші дәрежелі теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді. ХVI ғасырдың математиктері ХІХ ғасырдың басына дейін комплекс сандарға сенімсіздікпен қарады. Оларды жалған, ойдан шығарылған сандар деп атады. Ал Лейбниц бұл сандар керемет , ғажап сандар, -ді тосын дүниенің белгісі деп атап, өз зиратына ойып жаздыртуды аманат еткен.
Бірақ бұндай сенімсіздікке қарамастан комплекс сандарды қолдану көптеген қиын мәселелерді шешуге көмектесті. Сондықтан сол заманнан бері комплекс сандардың математикадағы маңызды өте зор. Ең бірінші олар алгебралық теңдеулер теориясына енді.
Комплекс сандардың логикалық қатаң теориясын жасаған ХІХ ғасырда (1835ж) ирландиялық математик Вильям Роу мен Гамильтон болды. Гамильтонның ұйғарымы бойынша комплекс сандар - ол төмендегідей қосу мен көбейту амалдары анықталған z=(x,y) нақты сандар жұбы:
(x1,y1) + (x2,y2) =(x1 + x2, y1 + y2); (1)
(x1,y1) :: (x2,y2) =(x1 x2 - y1 y2, x1 y2 + x2 y1) (2)
Мұндағы х және у комплекс санның нақты және жорамал бөлігі деп аталады.
z1 =(x1,y1) және z2 =(x2,y2) екі комплекс сандар тең деп аталады, егер x1 =x2, y1= y2 болса.
ХІХ ғасырда комплекс сандардың жазықтықтағы нүкте және жазықтықтағы вектор арқылы көрнекті геометриялық кескіні пайда болғаннан кейін жаратылыстанудың, әсіресе гидро-, аэродинамиканың, электротехниканың, геодезия мен картографияның көптеген есептері осы сандардың көмегімен шешім таба бастады. Содан бері комплекс сандар нақты сандар сияқты маңызды бола бастады.

ІІ тарау. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану және олардың геометриялық мағынасы

0.1. Негізгі ұғымдар және комплекс сандарға арифметикалық амалдар қолдану.

Әрбірнақтысандар комплекс сан депқабылдауғаболады, себебі, үшін.
Комплекс сандаржиынынақтысандаржиыныныңкеңею іболыптабылады:.
z=a+biжәне=a - biөзаратүйіндессандардепаталады

z1=a+biжәнеz2=c+dicандарытең
Комплекс сандарыныңқосындысыкомплекс сан болады.

Комплекс сандардыңкөбейтіндісі комплекс сан.
z=z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac - bd)+(bc+ad)i.
Комплекс сандарға қолданылатын қосу және көбейту амалдарының қасиеттері:
А) z1 +z2= z2 +z1
Ә) z1 z2= z2 z1 (қосу мен көбейтудің ауыстырымдылық заңы, коммутативтілігі)
Б) z1 +(z2 + z3) =(z1+ z2) + z3
В) z1 (z2 z3) =(z1 z2) z3 (қосу мен көбейтудің терімділік заңы, ассоциативтілігі)
Г) (z1+ z2) z3= z1 z3 + z2 z3 (үлестірімділік заңы, дистрибутивтілігі)
Комплекс сандардың айырымы мен бөліндісі z+ z2 = z1 және z z2 = z1 теңдеулерінің шешімі ретінде табылады.
Комплекс сандардың айырымы комплекс сан.

Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан,

Сонымен, нақтысандар комплекс сандарыныңдербесжағдайы (b=0). Олармен нақты сандармен орындағандай барлық амалдарды, түбірден шығаруды да орындай беруге болады. Тек i2= -1 ескеріп отыру керек.

0.2. Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.
z=a+bi
Y
X
O
a
b Ф
r

Комплекс сандарды координат жазықтығының көмегімен жазықтықтың нүктелері ретінде өрнектеуге болады. Ox - осінің бойына комплекс санның нақты бөлігін (a=a+0∙i), ал Oy осінің бойына оның жорамал бөлігін орналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықта әрбір комплекс сан z(a,b) нүктесі түрінде анықталады. тікбұрышты
z
r=z=.

z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекссанныңтригонометриялықтүрі.
=r - комплекс санныңмодулі.
-комплекс санныңаргументі.

Модульдерітең комплекс сандарменанықталатыннүктелерцентрік оординаттарбасындажататын радиусы сол комплекс сандардыңмодулінетеңболатыншеңберді ңбойындажатады.

Тригонометриялықтүрдегі комплекс сандарғаамалдарқолдануөтежеңіл.
Айталық,
z1=r1(cosφ1+isinφ1),
z2=r2(cosφ2+isinφ2) болсын.
Онда, яғни комплекс сандардыкөбейткендемодудьдерікөбейт іліп, аргументтеріқосылады.Дәл осы сияқты бөлу амалы орындалады:
Модудьдерібөлініп, аргументтеріазайтылады.
,
Берілген комплекс санды i-ге көбейтудің геометриялық
мағынасы сол санға сәйкес векторды - ге бұру
болып табылады.
У z1z2 Y

z1
zi

z2 z
X
Х

Комплекс сандыдәрежелеу
Егерболса, ондадәреженіңанықтамасынасәйкес (комплекс сандардыкөбейтуережесінпайдаланып) мынадайтеңдікаламыз:

яғни комплекс санды дәрежелеу үшін сол көрсеткішке модулін дәрежелеп, ал аргументін көбейтеді.
Бұдан теңдігі келіп шығады. Бұл - Муавр формуласы деп аталады.

Комплекс саннан nші дәрежелі түбір табу.

Айталық, а=r(cos+isin) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін

яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

теңдігін пайдаланып, Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады.
a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек

ескерсек жеткілікті.
Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық.
cos n
Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.

Мұндағы
теңдігінің сол және оң ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.