Эллиптикалық тектес теңдеулер

Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 38 бет
Таңдаулыға:

Ф-ОБ-001033

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі,
техн.ғ.д., профессор
______________Ә.Мұратов
_____________2012ж

Д И П Л О М Д Ы Қ Ж Ұ М Ы С

Тақырыбы: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

5В010900-Математика мамандығы бойынша

Орындаған: Хусанова С.

Ғылыми жетекшісі, Төребек Б.
Т.
магистр оқытушы:

Түркістан 2014

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .

1 Эллипс тектес дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер ... .. 6
1.1Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер
классификациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
1.2Эллиптикалық тектес 12
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...

2 Лаплас операторы үшін кейбір есептердің шешуші операторларын
құру ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 26
... ... ... ... ...
2.1Лаплас теңдеуі үшін Дирихле, Нейман және үшінші шеттік есептердің
шешімін 26
құру ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
2.2Пуассон теңдеуі үшін негізгі шеттік есептердің Грин функциясын
құру ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 45
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...

Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..61
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер 62
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.

Кіріспе

Математикалық физика мен механиканың көптеген есептері эллипс тектес
теңдеулер арқылы сипатталады [1-5]. Эллипс тектес теңдеулерге мысал ретінде
Лаплас және Пуассон теңдеулерін қарастыруға болады.
Эллипс тектес теңдеулер үшін классикалық шеттік есептерге Дирихле,
Нейман және Робен есептері мысал болады [1, 2]. Бұл есептер классикалық
болғанымен олар түрлі сыныптарға тиісті. Себебі Дирихле және Робен есептері
шартсыз шешіледі, ал Нейман есебінің шешімі бар болуы үшін шекаралық
функцияға қосымша шарт талап етіледі, яғни Нейман есебі шекаралық
шартында қатысқан функция қосымша шартты қанағаттандырғанда ғана шешілетін
есеп болып табылады [2, 5].
Жұмыстың мақсаты: дипломдық жұмыстың негізгі мақсаты Лаплас және
Пуассон теңдеулері үшін радиусы бірге тең дөңгелекте берілген кейбір шеттік
есептердің шешуші операторларын құру болып табылады.
Зерттеу әдістері: жұмысты орындау барысында Фурьенің айнымалыларды
ажырату әдісі, дәрежелік қатарларды қосындылау әдістері және т.б. әдістер
қолданылды.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: дипломдық жұмыста бірлік дөңгелекте
берілген Лаплас және Пуассон теңдеулері үшін негізгі шеттік есептердің
шешуші операторларын құру мәселелері қарастырылады.
Жұмыстың негізгі бөлімі екі тараудан тұрады.
Дипломдық жұмыстың бірінші тарауында екінші ретті дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулер классификациясы және Лаплас теңдеуінің дербес
шешімдері, кейбір қасиеттері туралы қысқаша мәліметтер жазылған.
Екінші тарауда - дөңгелекте берілген Лаплас және Пуассон теңдеулері
үшін негізгі шеттік есептердің шешімін құруға арналған. Алғашқы бөлімде

,

,

түрдегі Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебі қарастырылып, оның шешімі

,

көріністегі Пуассон интегралы арқылы жазылатындығы көрсетілген.
Сондай-ақ

,
,

түрдегі Нейман есебі қарастырылып, оның шешімі

.

интегралы арқылы анықталатыны дәлелденген. Бөлімнің соңында Лаплас теңдеуі
үшін үшінші шеттік есеп немесе Робин есебі деп аталатын

,
,

есебі қарастырылып, шешімі

түрінде болатындығы келтірілген. Мұндағы

.

Жұмыстың екінші тарауы Пуассон теңдеуі үшін негізгі шеттік есептердің Грин
функциясын құруға арналған. Мұнда алдымен

,

,

(мұндағы f(x), g(x)-алдын ала берілген үзіліссіз функциялар) есебі
қарастырылып, оның Грин функциясы

түрде анықталатыны көрсетілген. Сонымен қатар

Нейман есебінің Грин функциясы

өрнегімен жазылатындығы дәлелденді. Сондай-ақ

үшінші шеттік (Робен) есебінің де

көріністегі Грин формуласы есептелінді.
1 Эллипс тектес дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер

1.1 Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер классификациясы
Екі айнымалылы дифференциалдық теңдеулер.
: - екінші ретті дербес туындылы теңдеу деп аталады [1-3].
Бұл теңдеу жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық деп аталады, егер
мына түрде жазылса:

(1.1.1)

Мұндағы теңдеудің коэффициенттері. Егер осы (1.1.1) теңдеудің
коэффициенттері тәуелді болса, онда бұл теңдеу квазисызықтық деп
аталады. Теңдеу сызықтық делінеді, егер мына түрде берілсе:

(1.1.2)

(1.1.2) теңдеу сызықтық деп аталады. - коэффициенттері тұрақты болған
жағдайда теңдеу тұрақты коэффициентті делінеді. Егер болса, онда
(1.1.2) теңдеу сызықтық біртекті делінеді. Ал егер ол нольге тең болмаса,
яғни болса, онда ол сызықты біртекті емес деп аталады.
, түрлендірулердің көмегімен теңдеуді жай түрде келтіреді.

түрлендіру нәтижесінде мына түрге келтіреміз.

мұндағы

Егер бастапқы (1.1.1) теңдеу сызықтық болса, яғни болса. Онда
түрлендіру нәтижесінде мына түрде жүреді.

және -ны етіп таңдаймыз. Осыған байланысты

(1.1.3)

теңдеуі қарастырылады.
Бұл теңдеуге байланысты леммалар.
1-лемма. Егер (1.1.3) теңдеудің дербес шешімі болса. Онда
функциясы

(1.1.4)

теңдеуінің жалпы шешімі.
2-лемма. Егер (1.1.4) теңдеудің жалпы шешімі болса, онда
функциясы (1.1.3) теңдеуді қанағаттандырады.
(1.1.4) теңдеу (1.1.1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі делінеді, ал
бұл (1.1.4) теңдеудің интегралдары (1.1.1) теңдеудің характеристикалары деп
аталады.
1-лемманы дәлелдеу:
(1.1.3) теңдеудің шешімі

айқын белгілеген функцияны мына түрде жазуға болады. , онда

онда біз мынаны жазамыз.

.

Лемма дәлелденді. Характеристикалық теңдеу

бұл теңдеуді мына түрге келтіреміз.

онда бұл теңдеудің екі шешімі бар.

1)

2)

Сонымен нүктесінде біз мынадай анықтау қосамыз.

1. , онда дифференциалдық теңдеу гиперболалық тектес, себебі
бұлардың екі нақты шешім шығады.
2. , онда дифференциалдық теңдеу параболалық тектес.
3. онда дифференциалдық теңдеу эллиптикалық тектес.
Егер жазықтықтың белгілі бір облысы қарастырылатын болса, онда әртүрлі
нүктелерінде әртүрлі тектес теңдеулер болуы мүмкін немесе бір ғана тектес
теңдеу болуы мүмкін. Облыстың әрбір нүктесінде бір ғана тектес теңдеу
болса, онда осы облыста теңдеу сол түрде аталады.
Гиперболалық тектес.
, онда характеристикалық теңдеудің екі жалпы шешімі болады.
, .
Енді мынадай алмастырулар жасаймыз. .
Сонда теңдеу мына түрге келтіріледі:

гипербола тектес теңдеудің жай түрі немесе канондық түрі.

Практикада келесі түрдегі канондық теңдеулер де қолданылады. Алмастырулар
жасаймыз. ,

,

Екінші канондық түрі .
Параболалық тектес.
. Шешімі біреу-ақ болады. . Енді алмастыру жасаймыз.
. Мұндағы -мен сызықты тәуелсіз функция.

Сонымен бізде мынадай теңдеу шығады.
- Парабола тектес теңдеудің канондық түрі.

Элиптикалық тектес.
, бұдан, яғни характеристикалық теңдеуден комплекс түйіндес
түбірлер шығады. , .
, алмастырулар орындалады. Комплекс түйіндестен құтылу үшін
келесі түрлендірулер жасаймыз.

онда десек, онда біз мынадай теңдеу аламыз.
-Элиптикалық тектес теңдеудің жай түрі.
Қорытынды: гипербола тектес.
элиптикалық тектес.
параболалық тектес.
Көп айнымалылы екінші ретті теңдеу классификациясы
Сонымен біз мына теңдеуді қарастырамыз.

Екі айнымалыдан тәуелді жағдайдағыдай зерттеулер нәтижесінде мынадай жай
түрдегі теңдеулерді аламыз.

элипс тектес.

гипербола тектес.

, Бұл ультра гипербола тектес.

, параболалық тектес.
Тұрақты коэффициентті теңдеулердің канондық түрлері.
, мұндағы

характеристикалық түзулер

, эллипс тектес

гиперболалық тектес.
параболалық тектес.

алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу мына түрге келеді.

.

Сонда теңдеу мына түрге келеді.

.

Мұндағы
Осы сияқты түрлі комбинациялар арқылы келесі түрдегі теңдеулерді аламыз.

эллипс тектес.

гипербола тектес

парабола тектес.

1.2. Эллиптикалық тектес теңдеулер.
Әр түрлі стационарлы физикалық есептер процестер эллиптикалық
теңдеулер есептеріне келтіріледі [1-6]. Жиі кездесеін теңдеу

Лаплас теңдеуі.
Егер кеңістік бір өлшемді болса,

Т облысында берілген функциясы гармоникалық деп аталады. Егер осы
облыста Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын екі үзіліссіз дифференциалданатын
және Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын функциялар гармоникалық функция
класын құрады.

Лаплас теңдеуіне келтірілетін есептер.
Стационарлық өріс. Шеттік есептердің қойылуы.
Егер процес стационарлы болса, онда температураның таралуы
тоқталады. Яғни -дан тәуелсіз келесі Лаплас теңдеуіне келеміз

Егер жылу көздері бар болса, онда мына теңдеуге келеміз.

(1.2.1)

Мұндағы Ғ – жылу көздерінің тығыздығы, к – жылу өткізгіштік
коэффициент. Біртекті емес Лаплас (1.2.1) теңдеуін көп жағдайда Пуассон
теңдеуі деп те атайды.
– көлемі дейтін бетпен қоршалсын. Онда Т-нің ішкі
нүктелерінде

теңдеуін қанағаттандыратын функциясы іздестіріледі. Бұл біреуін
қанағаттандыруын талап етіледі.
І. онда бұл бірінші шеттік шарт.
ІІ. екінші шеттік шарт.
ІІІ. үшінші шеттік шарт.
берілген функциялар нормал бағыттағы туынды.

бірінші шеттік есеп немесе Дирихле есебі. Ал

екінші шеттік есеп немесе Нейман есебі.
Егер бетіне байланысты ішкі облыс қарастырылатын болса,
онда шеттік есептер іштей шеттік есептер деп аталады. Ал егер
облысына байланысты ішкі емес сыртқы үктелер қарастырылатын болса, онда
сыртқы шеттік есептер деп аталады.
Қисық сызықты координаталардағы Лаплас түрлендірулері.
Лаплас ореаторының ортогонал қисық сызықты координаталарда
қарастырайық. Сонымен, Декарт координататармен бірге қисық сызықты
координаталар енгізілсін.

беттері өзара ортогонал беттер деп есептелінеді.
, АВ сызығында АС сызығында АD сызығында
Онда бағыттаушы косинустар АВ, АС, АD сызықтарына бағыттаушы косинустар
келесі шамаларға пропорционал.

Онда беттердің қырларының ортогоналдығы былай жазылады.

Сонда жаңа координаталардағы ұзындықтың элементі

Әрбір қыры бойынша бір ғана айнымалы болатындықтан мыналарды аламыз.

,

,

Онда элементар көлем мынаған тең.

Кеңістікте векторлық өріс қарастыратын болсақ, , онда бұның
дивергенциясы мынаған тең:

Ал егер өрісіміз потенциалды өріс болса , онда біз мынаны
аламыз.

(1.2.2)

(1.2.2) қисық сызықты Лаплас теңдеуі. Осы теңдеудің екі дербес түрін
қарастырайық.
Сфералық координаталар.

деп аламыз.

Онда бізде

Сфералық координаталарда теңдеу былай жазылады.

Цилиндрлік координаталар.

(1.2.3)

ал егер екі айнымалыға тәуелді болса, онда

(1.2.3)

Бұл полярлық координаталардағы Лаплас теңдеуі.
Лаплас теңдеуінің кейбір шешімдері.
Сфералық немесе цилиндрлік симметрияларда берілген Лаплас теңдеулерінің
шешімдерін оңай табуға болады. Бұл жағдайларда функция тек қана
немесе -дан тәуелді болады. Сонымен сфералық симметриялық
жағдай. Сонда Лаплас теңдеуі

. - тұрақты.

мұндағы с1, с2- кез келген
онда бұл мәнге тиісті шешім

болады.
шешімін Лаплас түрлендіруінің фундамениалды шешімі деп аталады.
деп аламыз. Онда (1.2.3), (1.2.3) пайдаланып, дербес шешімдер аламыз.

шешімді жазықтықтағы Лаплас теңдеуінің фундаменталдық шешім деп
аталады.
Комплекс айнымалы гармоникалық және аналитикалық функциялар.
Екі өлшемді кеңістіктегі Лаплас теңдеуінің шешімдерін комплекс
айнымалы функциялы функциялар арқылы өрнектеу тиімді

Өсімше нольге әртүрлі жолмен ұмтылады. Егер функциясы
аналитикалық болса, онда

Функцияның аналитикалық болуы үшін Коши – Риман шарттарының орындалуы

қажетті және жеткілікті.
функциясын қарастырамыз.

.

Егер қандай да бір G облысы берілсе, онда осы облыстың әрбір
нүктесіндегі аналитикалық талап етілуі мүмкін. Бұндай жағдайда, яғни
функция облыста аналитикалық болғанда кез келген ретті туындысы бар болады.
Осы себепті аналитикалық функция дәрежелік қатарға жіктеледі. Көп жағдайда
дәрежелік қатарға жіктелетін функцияны аналитикалық деп те атайды.
Кері радиус векторларды түрлендіру.
Радиусы сферада кері радиус векторларды түрлендіру деп
кезкелген нүктесіне осы нүктенің радиусының жалғасында жатқан
нуктесінің радиус векторлары болатындай қатынасын айтады.

егер десе

кері радиус векторларды түрлендіру.
Гормоникалық функция берілсін

Дел осылайша

көз жеткізуге болады

Гармоникалық функциялардың жалпы қасиеттері
Гармоникалық функцияларды интегралдық түрде жазып жалпы қасиеттерін
қарастырамыз. Мұнда максимум мән қағидасы ерекше орын алады. Осы қағида
көмегімен бірнеше тұжырымдар делелденеді.
Грин формулалары. Шешімдердің интегралдық түрлері.
Остроградский формулаларымен Грин формулалары қортылады.

Остроградский формуласы. Мұндағы формуласы үзіліссіз функци

Бірнеше функция қарастыратын болсақ

жалпы турдегі Остроградский формуласы. Мұндағы

үзіліссіз және 1 реті дефференциялды функция.
Қандай да векторлық өріс берілсін

онда

(2\)

Ал вектордың нормаль векторға проекциясы

мұндағы

.

Остроградский формуласын пайдаланып Грин формуласын қорту.
функциялары берілсін. Бұл функциялар облысында екі рет үзіліссіз
дефференциалданады ,ал облысында бір рет дефференциолданатын болсын

(1.2.4)

(1.2.4)-ші формуласы Гриннің 1-ші формуласы деп аталады.

және функцияларының орындарын алмастырсақ онда мынадай
формула аламыз.

(1.2.5)

(1.2.5)-ші формуланы Гриннің 2-шц формуласы деп аталады.
облысы бірнеше беттермен шектелген күрделі облыс болуы мүмкін.
Бұл жағдай да Грин формулалары өзгеріссіз қалады.
екі өлшемді кеңістік облысымыз контурымен шектелген
болады.

Мына функцияны қарастырайық

ішкі нүктесі болсын.

-шар центрі нуктесі болсын. Онда Гриннің 2-ші формуласын
қолдансақ мынадай теңдік шығады.

ұмтылдырсақ :

(1.2.6)

мұндағы
Егер нүктесі облысынан тыс жатса, онда үзіллісіз
және гарморикалық функция. нүктесіне байланысты үш түрлі мүмкіндік
бар.
1) нүктесі облыстан сырт жатпайды.
2)
3)
Осы мүмкіндіктерді ескерсек Гриннің негізгі формуласы (1.2.6) мына
түрде жазылады.

Гармоникалық функйия үшін , онда

Гармоникалық функцияның ішкі нүктелеріндегі мәні беттегі мәндермен
өрнектеледі.
Әрбір гармоникалық функция берілген облыста шексіз көп рет
дифференциалданады. Жазықтық облыс үшін Грин функцияларын жазайық. Сонымен
облысы берілсін.

функциясын қолданып,

Гриннің негізгі формуласын жазайық.

Гармоникалық функциялардың негізгі қасиеттері.
- Егер гармоникалық функция болса, Т облысында бетімен
қоршалған, онда

- Т облысында гармоникалық болса, ал осы
обьлыстың ішкі нүктесі болса , онда

- сфера центрі нүктесінде.
- Егер облысында үзіліссіз анықталған функция
болса, Лаплас теңдеуін қанағаттандырса ішкі нүктелерінде бетінде
қабылданады. Бұны максимум қағидасы деп аталады.
Салдар 1.
Егер - функциялары үзіліссіз функциялар болса, Т облысында
гармоникалық болса, Т гармоникалық
Салдар 2. облысында гармоникалық болса және болса,
онда облысында
Бірінші шеттік есебінің шешімінің жалғыз және орнықтылығы.

іштей бірінші шеттік есеп. Облыстың ішкі нүктелерінде теңдеуді
қанағаттандырып, шекарасында берілген шартты орындайтын шешімін табу керек.
Теорема: Лаплас теңдеуі бірінші іштей шеттік есептің жалғыз шешімі
бар.
Дәлелдеуі: Есептің шешімі бар екендігі айқын. Осы шешімнің жалғыз
екеніне көз жеткізейік. Керісінше екі шешімі бар делік.
функциясы келесі талаптарды орындайды.
1. ,Т;
2.
3.
Функция үзіліссіз берілген облыста максималды, минималды мәндерді
қабылдайды. Максимум қағидасы бойынша болғандықтан бүкіл
облыста .

2 Лаплас операторы үшін кейбір есептердің шешуші операторларын құру

2.1 Лаплас теңдеуі үшін Дирихле, Нейман және үшінші шеттік есептердің
шешімін құру
Айталық, екі өлшемді жазықтық болсын.
Үзіліссіз функциялар класы. D облысында анықталған, сол облыста өзі
жане k-ші ретті туындысына дейін үзіліссіз болатын функциялар жиынын
символымен белгілейміз.
Гармониялық функция анықтамасы. D облысында анықталған, классына
тиісті және үшін

теңдігін қанағаттандыратын функцияны гармониялық функция деп атаймыз [1-4].
Бұл жерде

- Лаплас операторы, ал

теңдеуін Лаплас теңдеуі деп атайды [1-6]. (Пьер-Симо́н Лапла́с (французша
Pierre - Simon Laplace; 23 наурыз 1749 — 5 наурыз 1827) — әйгілі француз
математигі, физигі және астрономы. Оның атымен көптеген математикалық
әдістер, теңдеулер, формулалар аталады.)
Айталық,

- центрі координаталар басында жататын радиусы бірге тең дөңгелек, ал,

- оның шекарасы, яғни бірлік шеңбер болсын.
Бұл параграфта облысында

,
(2.1.1)

Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын

функциясының қасиеттерін зерттейміз.
Алдымен (2.1.1)-теңдеуді қанағаттандыратын

функциясын табу мәселесін қарастырайық. облысы дөңгелек болғандықтан,
бұл мәселені полярлық координаттар жүйесінде қарастыру қолайлы болады.
Бізге аналитикалық геометрия пәнінен декарттық координаталар жүйесінен
полярлық координаталар жүйесіне көшу формуласы белгілі. Ол

,

арқылы жүзеге асады. Керісінше, полярлық координаталар жүйесінен декарттық
координаталар жүйесіне көшу формуласы

,

арқылы анықталады. Осы формулаларды пайдаланып біз

түрдегі Лаплас операторының полярлық координаталар жүйесіндегі көрінісін
аламыз. Ол үшін бізге кейінгі есептеулерге

туындылардың мәндері қажет болады. Сондықтан осы туындыларды есептейік.
Бірінші мәнін есептейміз. Онда

Ал, мәні

болады.
Енді екінші ретті туындыларын есептейміз. Яғни,

.

.

Ал, енді бойынша туындыларды есептейміз

.

.

.

Енді полярлық координаттық жүйеде операторының қай түрде жазылуын
анықтайық. Алдымен

туындыларды есептейік :

Екінші ретті туындыларды табамыз :

Демек,

Осы сияқты

Нәтижеде

Демек полярлық координаттар жүйесінде (2.1.2) теңдеу

(2.1.2)

түрінде жазылады .
Ендігі мақсат (2.1.2) - теңдеудің жалпы шешімін табу.
Ол үшін, алдымен бұл теңдеудің

(2.1.3)

көріністегі шешімін табамыз. Бұл жерде

және

шарттары орындалады деп есептейміз.
Егер (2.1.3)-өрнекті (2.1.2)-теңдеуге қойсақ , онда

теңдігі келіп шығады .
Соңғы теңдікті

функциясына көбейтсек , онда

болады.
Бұдан

(2.1.4)

теңдігіні ие боламыз. (2.1.4)-теңдігінің оң жағы мен сол жағы бір-біріне
тәуелді болмаған айнымалылардың функциялары. Онда

Бұл жердегі тұрақтыны деп белгілейік.
Онда және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.