Дисперсиялық анализ мақсаты

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Дисперсиялық анализ мақсаты

Жаратылыста кездесетін шамалар бір - бірімен тығыз байланыста болуы түсінікті. Олардың арасындағы байланыс түрлерін, формасын, тығыздығын және т. т. айқындау көптеген ғалым салаларына тән. Бұл байланыс сырын ашу үшін оларға әсер етеітн себептерді білу бірден - бір мәселе. Мұны орындау үшін әдетте бұл шамалар ішінен ең негізгісін анықтайды. Бұл шаманы бұдан былай нәтижелеуші деп айтамыз. Сонда осы нәтижелеуші шаманың өзгеруіне көптеген факторлар (себептер) әсер етеді. Мысалы, мақта өнімді (нәтижелеуші шама) болуына есепке алуға болатын (тыңайтқыш мөлшері, суғару мерзімі т. т. ) және есепке алуға мүмкін емес көптеген шамалар әсер етеді.

Факторлар әсерінің қаншалықты болуын қарастыратын түрлі әдістері бар. Солардың ішіндегі ең үлкен роль атқаратыны статистикалық әдіс, әсіресе статистикалық топтастыру әдісінің ролі үлкен-ақ. Сонымен топтастыру - корреляциялық және дисперсиялық әдістерді қолданудың негізі болады. Бұл әдістер арқылы екі немесе одан да көп белгілер арасындағы байланыстың санақтық көрсеткіштерін алуға мүмкіндік туады. Математикалық статистиканың бұл тарауларының әрқайсысы құбылыстың байланысына тиісті арнаулы есептерді шешетін дербес салалар. Сонымен, бақылау нәтижесінде әсер ететін бірнеше факторлар ішінен ең маңыздысын таңдап, олардың әсерін бағалауды талдаумен айналысатын статистикалық әдісті дисперсиялық анализ дейді. Дисперсиялық анализде сандық белгілермен қатар сапалық белгілерді де қарастырады. Бұл факторларды сипаттауда статистикалық сипаттама ортаның (арифметикалық орта, матемматикалық күтім) алып тұрған орны ерекше, өйткені орталарды қос-қостан салыстыруды Стьюдент критерийі арқылы орындасақ, мұнда бірнеше орталар айырымының маңыздылығын бағалаймыз. Бұл мақсат кездейсоқ қосылғыштарға (топаралық және қалдық дисперсияларға) жіктеу, оларды салыстыру және зерттеп отырған белгіге факторлардың әсерінің маңыздылығын бағалау арқылы орындалады.

Сонымен, далпы дисперсияны жіктегенде факторлық немес топаралық дисперсия және осы кездейсоқ факторлар дисперсиясы (қалдық дисперсия немесе ішкі топ дисперсиясы) болып бөлінеді. Мұны жалпы түрде

О ² _ж = С ² _т _ар + С ² _қ

деп жазуымызға болады. Ескертетін бір мәселе - біз бақылауды таңдама жиынтық негізінде орындаймыз. Сөйтіп одан алынған мәліметтер анықталған параметрлердің бас жиынтықты мінездеуін бағалаймыз, сондықтан да дисперсиялық анализді таңдама сипаттамаларына бағалайтын әдіс деп ұғамыз.

Дисперсиялық анализ негізінде мынадай мәселерді шешіге болады:

бір немесе бірнеше факторлық белгілер бойынша топтастырудағы орташалар айырымның сенімділігін бағалау;
Екі үш және одан да көп факторлардың нәтижелеуші белгіге бірігіп жасаған әсерінің сенімділігін бағалау;
Әрбір қос орталар арасындағы дербес айырымдарын бағалау. Бұларды шешу мынадай тәртіппен орындалады.

Қойылған мәселе негізінде қажетті факторларды және нәтижелеуші факторды таңдаймыз.
Олардың бір - біріне әсері туралы гипотеза қоямыз. Бұл жағдай есепті математикалық формальдауға, яғни математикалық модель құруға әкеледі.
Математикалық модель нақтылы математикалық теңдеу (өрнек) түрінде немесе қатаң схема (топтастыру) күйінде беріледі.
Байланыс дәрежесін көрсететін параметрлерді және факотрлардың өзара әсерінің көрсеткішін анықтау.
аоынған сипаттамаларды сипаттау мен қойылған гипотеза жайында тұжырымдалған қорытынды жасау.

Сонымен біз дисперсиялық анализ әдісін бір және екі факотрлардың тәуелді (нәтижелеуші) айнымалыға әсерін келтіреміз. Нақты мысалдарда көрсетеміз. Басқа мысалдармен қатар педагогика - психологиялық эксперименттерден алынған мысалдарды келтіріп талдаймыз. Мұны педагогика - психологиялық зерттеулерде модель ретінде пайдалану мүмкіндігіне көз жеткізеді деп ұғамыз. Алдымен бір факторлы дисперсиялық анализі қарастырайық.

Бір факторлар дисперсиялық анализ моделі

Айталық m жиыннан көлемдері n ₁ , n ₂ , . . . n _m болған таңдамалар алынды дейік талқылауға жеңіл болу үшін n ₁ = n ₂ = … = n _m дейік, мысалы, і жиыннан алынған таңдаманы (бақылауды -) х _і1 , х _і2 , . . . , х _іn деп жазайық. Онда барлық таңдаманы (бақылауды) мына 51 таблица (матрица) күйінде жазуымызға болады.

51 таблица

Таңдама жиындар

Жиындағы элементтер саны

. . .

…

Таңдама жиындар:

…

Жиындағы элементтер саны:

x ₁₁

x ₂₁

. . .

x _i1

…

x _m1

x ₁₂

x ₂₂

…

x _i2

…

x _m2

…

x _1j

x _2j

…

x _ij

…

x _mj

…

x _n1

x _n2

…

x _in

…

x _mn

Белгінің өзгеруін екі бөлікке жіктеуге болады, олардың біреуі фактордың әсерін көрсетсе, екіншісі ескере алмайтын кездейсоқ фактор әсерін көрсетеді. Сондықтан, топаралық және ішкі топ (қалдық) дисперсия құрылымын және оларды есептеу тәсілдерін қарастырайық. Оның үшін әрбір қатар және баған бойынша алынған арифметикалық орта формуласын жазайық, олар

х _і* = 1 ∑ x _ij

n i=1

және

х _і* = 1 ∑ x _ij

m i=1

болады. Индекстегі жұлдызша (*) белгісі, сол орындағы индекс бойынша қосынды алынбайтындығын көрсетеді.

Барлық жиындар бойынша алынған арифметикалық ортаны х-пен белгілесек, онда ол

n m

х _і* = 1 ∑ ∑ x _ij

mn i=1 j=1

түрінде жазылады. Немесе мұны мынадай да жазуға болады:

х = 1 ∑ x _i*

m i=1

х = 1 ∑ x _j*

n j=1

Фишердің F критерийі

Фактордың әсерінің маңыздылығын тексеру үшін Н ₀ гипотезасын s ² ₁ = s ² ₂ деп аламыз. Сөйтіп Н ₀ гипотезасының дұрыстығын немес оның альтернативті гипотезасының Н ₁ -дің дұрыстығын Фишер критерийімен тексереміз. Ол үшін F = s ² ₁ / s ² ₂ - min (1) есептейміз, мұндағы еркіндік дәрежелері сәйкес v ₁ = m - 1 және v ₂ = m (n- 1) . Әрі қарай таблицадан мәндік деңгейі α бойынша критерийлік (шекаралық) F _αν _ν2 мәнін анықтаймыз. Егер F < F _{αν1 ν2} болса, Н ₀ гипотезасын дұрыс деп қабылдаймыз, яғни фактор әсері маңызды емес дейміз. Ал F ≥ F _{αν1 ν2} болса, онда Н ₀ -ді қабылдаймыз, яғни фактор әсері маңызды дейміз. Қысқасы топаралық және қалдық дисперсияларды шамасы бойынша салыстыра отырып әсерінің қаншалықты күштілігін білеміз.

Енді мына мысалды келтірейік.

1 - мысал. Оқу жылы бойында 5 кластың әрқайсысында жеке - жеке әдіс қолданып оқытылады. Бір класта - программалап оқытуға ерекше көңіл аударған, екінші класта - негізінен әңгімелесу әдісіне көңіл аударған, үшінші - іс дәптерін пайдаланып оқушылардың өзіндік дайындалуына көңіл аударған, төртінші класта - лабораториялық - практикалық аударған, төртінші класта - лабораториялық - практикалық жұмысқа көңіл аударған, бесінші класта - жаңа матералды негізінен лекция күйінде түсіндірген. Әрбір тема өтілген соң сол аталған кластарға сын жұмыстары жүргізіліп отырған. Жыл бойында әр класс бойынша 6 реттен сын жұмысы жүргізіліп отырған, жұмыс 100 балдық шкаламен бағаланған. Эксперимент нәтижесі 53-таблицаға жазылады.

53-таблица

Сын жұмыстары

Кластар

ІІ

ІІІ

∑ x _i

i=l

x _i*

Сын жұмыстары: 1

Кластар: 2

Сын жұмыстары:

∑ х _j

Кластар:

486

417

426

449

320

348

330

346

365

317

393

2099

69, 6

66, 0

69, 2

73, 0

63, 4

78, 6

x=70

Эксперимент мақсаты аталған оқу әдістердің оқушылардың үлгеріміне әсері болады ма, әлде болмады ма, яғни айырым болса, олар қандай да кездейсоқ себептер нәтижесінде текесеру арқылы орындаймыз.

Шешуі: Есепте қойылған мақсатты орындау үшін Q, Q ₁ , Q ₂ және s ² ₁ , s ² ₂ , s ² мәндерін есептейміз, сөйтіп Фишер критерийі F = s ² ₁ / s ² ₂ мәнін анықтап, F-тің критериялық мәнімен салыстырамыз. Алдымен аталған параметрлерді есептейік.

_ 6 5

x = 1 ∑ ∑ x _ij = 1 ∙ 2099 70

mn i=1 j=1 5∙6

Q ₁ = 6 [(69, 6 - 70) ² + … + (78, 6 - 70) ² ] = 740,

Q ₂ = [(83 - 69, 6) ² + … + (62 - 78, 6) ² ] = 4275,

Q = Q ₁ + Q ₂ = 5015

(есептеуді VIII программадан қараңыз) .

Дисперсия компоненттері

Қосындылары квадраты

Еркіндік дәреже саны

s ² _i

s _i

Дисперсия компоненттері:

Толық

Топаралық

Ішкі топарасы

Қосындылары квадраты:

5015

740

4275

Еркіндік дәреже саны:

s2i:

172, 91

147, 98

178, 11

si:

13, 89

12, 16

7, 42

Бұл таблицадан

F = s ² ₁ = 147, 98 = 0, 83

s ² ₂ 178, 11

α = 0. 05 мәндәләк деңгейде және ν ₁ =6, ν ₂ =24 болғанда

F _ш = 3. 85 (F _ш = F шекаралық)

Сонда F < F _ш яғни Н ₀ гипотезаның дұрыстығын көрсетіп отырмыз. Демек, бұл жағдайда сын жұмыстарының нәтижесі ұсынылған методикалық әдістерді оқушылардың үлгеріміне әсер болмаған дегенді көрсетеді. Олай болса, оқушылар үлегірімндегі прогресс ұсынылған әдістердің әсерінен болмастан себептерден туған дейміз. Бұл себептерді іздестіру тәжірибе жүргізуші мандандардың ісі.

Екі факторлы дисперсиялық анализ

Біз қарастырып отырған белгіге бір фактордың әсерінен болатын өзгерістерді бағалауды қарастырдық. Енді белгіге екі фактор әсерінен болатын өзгерістерді бағалауды қарастырамыз. Жалпы үш және одан да көп факторлық анализбен де айналысады, бірақ біз екі факторлы анализбен қанағаттнамыз. Мұның зерттеу құрылымы бір факторлы дисперсиялық анализ сияқты, мен, белгіге бірден А және В факторлар әсерін бағалауды қарасытарйық.

А факторының деңгейі А ₁ , А ₂ , . . . , А _R , болсын, В үшін сәйкес В ₁ , В ₂ , . . . , В _l болсын. Бұл мына 55-таблица (матрица) күйінде берілсін. Мұның і жолымен j бағанасы қиылысуындағы ij - ұясына і және j деңгейіндегі А және В факторларының зерттеуде бірден пайда болған бақылау нәтижесі жазылсын. Енді осы таблица бойынша х _і* , х _*j , х пен Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ , Q және бұларға сәйкес дисперсиялар S ² ₁ , S ² ₂ , S ² ₃ және S ² мәндерін есептейік. Бұл параметрлер есептелген соң әрбір фактор бойынша Н ₀ гипотезасын Фишердің F критериясымен тексереміз, сөйтіп Н ₀ гипотезасының дұрыс не дұрыс еместігі туралы (яғни Н ₁ -дің дұрыстығы туралы) тұжырым аламыз.