Жер асты суларының ағысын эллипс текті теңдеу арқылы зерттеу
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Қожа Ахмет Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті
Математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі
_______профессор Ә.С.Мұратов
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Жер асты суларының ағысын эллипс текті теңдеу арқылы
зерттеу
5В060100 – Математика мамандығы бойынша
Орындаған
Ахмедова Г.
Ғылыми жетекшісі
тех.ғ.к., доцент
Айтбаев Қ.
Түркістан 2013
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 3
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ... ... ... ... ... ... . ... . 5
1.1 Эллипстік 6
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..
1.1.1Лаплас 6
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ..
1.1.2Пуассон 10
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Параболалық 14
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
1.2.1Жылуөткізгіштік 14
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
1.3 Гиперболалық 15
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... .
1.3.1Тербеліс 15
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
1.4 Шекаралық және бастапқы 17
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.4.1Шекаралық 18
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ..
1.4.2Бастапқы 20
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР 22
ӘДІСІ ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
2.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі 23
концепциясы ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Әдістің артықшылықтары мен 27
кемшіліктері ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3 Шекті элементтер әдісінің негізгі 27
этаптары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.4 Аймақты 28
дискреттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..
3 ЖЕР АСТЫ СУЛАРЫНЫҢ АҒЫСЫН ЭЛЛИПС ТЕКТІ ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ
ЗЕРТТЕУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 29
3.1 Жер асты сулары ағысын зерттеу есептерінде шекті элементтер
әдісін қолданудың негізгі алгоритмдері ... ... ... ... ... ... 29
3.2 Дененің ішкі аймағында орналасқан нүктелік су көздерін ескеру
алгоритмы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...34
... ... ... ... ...
3.3 L – координаталар әдісі ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..39
3.4 Жер асты суларының ағысын зерттеу есебінің қойылымы ... ... . 49
3.5 Жер асты суларының ағысын зерттеу есебін шекті элементтер
әдісімен 51
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .
3.6 Жоғары деңгейлі MATLAB жүйесінен қысқаша мәлімет ... ... ... 56
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...66
... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 67
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Математикалық физика есептерінің дәл аналитикалық шешімін алу үшін,
көп жағдайда, шекаралық шарттарды аналитикалық өрнектермен сипаттауға
ыңғайлы болу үшін көптеген жеңілдетуші гипотезалар енгізіледі. Соның өзінде
зерттеу аймағының біртекті болуы және геометриясы қарапайым болуы ыңғайлы.
Дипломдық жұмыстың өзектілігі күнделікті өмірде кездесіп отыратын
табиғи құбылыстарды математикалық жолмен зерттеудің нақты әдістемесін
іздеуден туындайды. Бұл жұмыста табиғи құбылыс ретінде жер асты суларының
жер қыртысында таралуы қарастырылған. Аталған құбылысты зерттеу үшін
қолданбалы математика саласында соңғы кезде пәрменді қолданыс тапқан сандық
әдіс – шекті элементтер әдісі таңдалған. Математикалық физиканың дербес
туындылы дифференциалдық теңдеулермен, немесе олардың жүйелерімен
сипатталатын күрделі есептерін шешу үшін әдетте вариациялық принциптерді
қолданып, аталған теңдеулерді сандық әдістердің бірімен сызықтық алгебралық
теңдеулер жүйесіне алып келеді. Зерттеу аймағы біртекті болмаған жағдайда,
және зерттеу аймағының геометриясы күрделі болған жағдайда сандық
әдістердің ішіндегі ең әмбебап әдіс деп табылатын әдіс – шекті элементтер
әдісі таңдалады. Алынған жоғары ретті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешуге тікелей немесе итерациялық әдістер қолданылады. Бұл кездегі ең қиын
проблемалардың бірі есептеу процесінің жинақтылығын қамтамасыз ету.
Шешімнің дәлдігі координаталық тордың қадамына, итерация санына және
компьютердің қуатына байланысты.
Дипломдық жұмыста математикалық физиканың негізгі теңдеулері,
шекаралық және бастапқы шарттарды берудің ерекшеліктері, дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулерді дискреттеу әдістері, шекті элементтер әдісінің
теориялық негіздері, шекті элементтер әдісін қолданып жылуөткізгіштік,
кернеулі-деформациялық күй туралы есептерді шығарудың негізгі этаптары
сияқты тақырыптар қамтылған.
Дипломдық жұмыс кiрiспеден, үш бөлімнен тұратын негiзгi бөлiктен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тiзiмiнен тұрады.
Бірінші бөлімде математикалық физика теңдеулеріне сараптама
жүргізіледі. Эллипстік, параболалық және гиперболалық теңдеулердің түрлері
және олармен сипатталатын физикалық процестерге талдау жасалынады.
Келесі бөлімде математикалық теңдеулерді шешуде кеңінен қолданылып
жүрген сандық әдіс, шекті элементтер әдісінің теориялық негіздері
келтіріледі. Әдістің негізгі этаптары, оның негізгі концепциясы,
артықшылығы мен кемшіліктері талданады. Аймақты дискреттеудің ережелері
қарастырылады.
Үшінші бөлімде математикалық физика теңдеулерінің ең көп
қарастырылатын түрлерінің бірі, эллипс тектес теңдеуді шекті элементтер
әдісімен шешудің теориясы және оны шешуде қолданылатын шекті элементтер
әдісінің алгоритмі келтірілген. Бөлімнің екінші жартысында, мысал ретінде,
төртбұрышты жазық аймақты қиғаштап кесіп өтетін өзеннен зерттеу аймағына
қарай таралатын жер асты суларының деңгейін реттеу мәселесіне арналған
нақты есептің шешімі алынған. Аталған шешімді алуға қажетті арнайы алгоритм
келтіріліп, оның жұмысына сараптама жасалынған. Суөткізгіштік матрицасын
құрастыру барысында кездесетін көлемдік және беттік интегралдарды есептеуді
автоматтандыруға қажетті L – координаталар әдісінің негіздері келтіріліп,
оны нақты есептеу жұмыстарында қолданудың жолдары көрсетілген. Алынған
сандық шешімнің негізгі нәтижелері зерттеу аймағының әртүрлі қималарындағы
пьезометрліқ қысымдардың графиктері түрінде берілген. Сонымен қатар,
шешімнің негізгі заңдылықтарын айқын ашу үшін аталған қысымның зерттеу
аймағында таралу заңдылықтарын көрсететін тең дәрежелі қисықтар
(изолиниялар) келтірілген. Одан кейін су сорғыш насостардың қуаттарын
өзгертіп отыру арқылы, зерттеу аймағындағы жер асты суларының деңгейінің
өзгеру заңдылықтарына талдау жасалынған.
Дипломдық жұмыстың соңында, шекті элементтер әдісін компьютерде жүзеге
асыру барысында құрылатын есептеу программасы жасалынған жоғары деңгейлі
MATLAB жүйесіне қысқаша шолу келтірілген.
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ
Қазіргі заманда ғылым мен техниканың көптеген мәселелері математикалық
физика есептерін шешумен байланысты. Жылуөткізгіштік, диффузия, электрлік
статика, электрлік динамика, сұйықтардың ағысы, электр тогының тығыздығының
таралуы, қатты денелердің деформациялануы және тағы басқа көптеген есептер
математикалық физика есептеріне жатады.
Мұндай есептер шекаралық және бастапқы шарттармен бірге
қарастырылатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулермен сипатталады.
Дипломдық жұмыста қарастырылатын дифференциалдық теңдеулердің реті
екіншіден аспайды. Себебі, осындай теңдеулер сипаттайтын физикалық
құбылыстардың өзі өте үлкен диапазон құрайды. Оның үстіне, төменде
келтірілетін әдістерді бұдан да жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерге
қолдануға болады. Жалпы жағдайда n тәуелсіз айнымалының екінші реттегі
дербес туындылы дифференциалдық теңдеуі мынадай түрде болады [1-3]:
. (1.1)
Бұл жерде - тәуелсіз айнымалылардың векторы (матрица-қатар); -
тәуелсіз айнымалылардың белгісіз функциясы; - тәуелсіз айнымалылардың
белгілі функциялары.
2. – ші теңдеуді үш стандартты канондық түрлердің біреуіне әрқашанда
келтіруге болады. шамаларының өзара қатынасына байланысты
теңдеулерді нүктесіндегі эллипстік, параболалық немесе
гиперболалық текті теңдеу деп бөледі. Мысалы, тәуелсіз
айнымалыларының екінші ретті дифференциалдық
(1.2)
теңдеуінің тегі дискриминант деп аталатын келесі шаманың мәні арқылы
анықталады:
. (1.3)
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
эллипстік теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
параболалық теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
гиперболалық теңдеу болады.
Егер коэффициенттері тұрақты болса және дискриминант
координатаға тәуелсіз болса, онда дискриминанттың таңбасына байланысты
теңдеу толық эллипстік, толық параболалық немесе толық гиперболалық болып
бөлінеді [3].
1.1 ЭЛЛИПСТІК ТЕҢДЕУЛЕР
Математикалық физиканың эллипстік теңдеулерге алып келетін кейбір
есептерін қарастырайық.
1.1.1 ЛАПЛАС ТЕҢДЕУІ
Көптеген стационар, уақытқа тәуелсіз, процестер эллипс текті
теңдеулермен сипатталады. Ал қарапайым жағдайда, біртекті ортада нүктелік
немесе сызықтық әсер көздері жоқ болса процесс координатаның үш бағыты үшін
Лаплас теңдеуімен [3] сипатталады:
.
(1.4)
Бұл жерде - анықталатын белгісіз функция.
Операторлық түрде Лаплас теңдеуі былайша жазылады:
.
(1.5)
Бұл жерде - Лаплас операторы.
Енді үшөлшемді кеңістіктің тұйық бетімен қоршалған
көлемінде стационар режимде жылудың таралуы туралы есепті қарастырайық.
Жылуөткізгіштік процесі, немесе кондукция, Фурье заңымен анықталады.
Фурье заңы бойынша жылу ағынынының тығыздық векторы
температураның градиентіне пропорционал [1]:
.
(1.6)
Бұл жерде - жылуөткізгіштік коэффициенті.
Жылу ағынының тығыздығы уақыттың бір өлшемінде изотермалық беттің
бірлік ауданынан ағып өтетін жылу мөлшеріне тең [1].
Жылуөткізгіштіктің стационар есебінің мақсаты жылу көздерінің
тығыздығы белгілі болған жағдайда температураның координаталарға
тәуелділігін табу. Жылу көздерінің тығыздығы (1.6) Фурье теңдеуінің
құрамына тікелей кірмейтін болғандықтан, алдын ала түрлендірулер жасап алу
керек. Жоғарыда келтірілген жылу ағынының анықтамасына сәйкес көлемді
қоршап тұрған бет арқылы уақыттың бір өлшемінде ағып өтетін толық
жылу мөлшері жалпы жағдайда мынадай интегралмен анықталады:
.
(1.7)
Бұл жерде ауданы бетінің шексіз шағын элементінің
ауданына тең, бағыты осы элементтің нормалымен бағыттас вектор; -
және векторларының скаляр көбейтіндісі, ал осы
векторлардың арасындағы бұрыш.
бетімен қоршалған көлемінің уақыттың бір өлшемінде бөліп
шығаратын толық жылу мөлшері мынадай интегралмен анықталады:
.
(1.8)
Әрине, бұл жағдайда көлемді қоршап тұрған бет арқылы
уақыттың бір өлшемінде ағып өтетін толық жылу мөлшері осы көлемнен
бөлініп шығатын толық жылу мөлшеріне тең болуы керек:
.
(1.9)
Остроградский-Гаусс теоремасы бойынша:
.
(1.10)
Енді (1.10) формуланы (1.9) формулаға қойсақ:
;
(1.11)
.
(1.12)
(1.12) теңдеуге (1.6) Фурье заңын қойсақ жылуөткізгіштіктің стационар
есебінің теңдеуін векторлық түрде аламыз:
.
(1.13)
Егер жылу көздері жоқ болса және дене біртекті болса ,
онда (1.13) теңдеу былайша жазылады:
.
(1.14)
Анықтама бойынша кезкелген скалярлық өрістің градиенті былайша
(1.15)
жазылатынын, ал кезкелген векторлық өрістің дивергенциясы
(1.16)
өрнегі арқылы анықталатынын ескерсек, онда (1.14) теңдеуді дербес туындылар
арқылы былайша жазып шығуға болады:
(1.17)
немесе операторлық түрде
.
(1.18)
Соңғы (1.18) теңдеу Лаплас теңдеуі деп аталады.
Заттың диффузия процесі көп жағдайда жылуөткізгіштік процессіне ұқсас
келеді. Диффузияны сипаттаған кезде Фурье заңының баламасы – Нернст заңы
қолданылады. Бұл заң бойынша зат ағынының тығыздығының векторы
концентрацияның градиентіне пропорционал [1]:
.
(1.19)
Бұл жерде - диффузия коэффициенті.
Зат ағынының тығыздығы уақыттың бір өлшемінде беттің бірлік ауданынан
диффундирленетін заттың бөлшектерінің (атомдар, молекулалар) мөлшеріне тең.
Заттың диффундирленетін көзі жоқ болса және дене біртекті болса
, онда (19) өрнекті (12) теңдеуге қойып Лаплас теңдеуін векторлық
түрде аламыз:
.
(1.20)
Осы теңдеуді дербес туындылар түрінде:
(1.21)
немесе операторлық түрде жазсақ:
(1.22)
Лаплас теңдеуін аламыз.
Лаплас теңдеуіне көптеген есептер, мысалы, электр заряды жоқ кездегі
біртекті, ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы
есеп алып келеді. Бұл есеп жалпы түрде Максвелл теңдеулерімен
сипатталады:
;
(1.23)
.
(1.24)
Бұл жерде электр өрісінің кернеулігінің векторы; - электр
зарядтарының көлемдік тығыздығы; - ортаның диэлектрлік өткізгіштігі;
- электрлік тұрақты шама. (1.23) теңдеу құйындық электр өрістерінің
жоқ екенін көрсетеді.
Егер ток өткізбейтін орта біртекті болса және көлемде электр
зарядтары жоқ немесе тепе-тең қалыпта болса, онда (1.24)-ші теңдеу былайша
жазылады:
.
(1.25)
Электр өрісінің кернеулігі электр потенциалымен мынадай
(1.26)
байланыста [1,3] болғандықтан, (1.26) теңдікті (1.5), (1.15) және (1.16)
өрнектерін ескере отырып, (1.25) теңдікке қойсақ, онда Лаплас теңдеуін
векторлық түрде аламыз:
.
(1.27)
Бұл теңдеу дербес туындылар арқылы былайша:
,
(1.28)
ал операторлық түрде былайша:
(1.29)
жазылады.
1.1.2 ПУАССОН ТЕҢДЕУІ
Жалпы жағдайда Пуассон теңдеуі векторлық түрде былайша жазылады
[1,2]:
.
(1.30)
Бұл жерде - белгісіз функция; - тәуелсіз айнымалылардың
функциялары.
Дербес туындылар арқылы (1.30) теңдеу былайша жазылады:
(1.31)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.32)
Бұл жерде - Наббл операторы:
.
(1.33)
Соңғы (1.30) – (1.32) өрнектерден Пуассон теңдеуі Лаплас теңдеуінің оң жағы
нолге тең болмаған кездегі түрі екенін көреміз. Осы айтылғанды жоғарыда
келтірілген есептерден көрсетейік.
Векторлық түрде (1.13) теңдеумен сипатталатын үшөлшемді
кеңістіктің бетімен қоршалған көлеміндегі жылу таралуының
стационар есебін қарастырайық.
Егер көлемінде жылу көздері бар және орта біртекті болмаса
, онда (1.13) дербес туындылы теңдеу былайша жазылады:
. (1.34)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.35)
Егер орта біртекті болса , онда шамасын (1.34) өрнекте
дербес туындының сыртына, ал (1.35) өрнекте Наббл операторының сыртына
шығарып жібереміз. Нәтижесінде Пуассон теңдеуінің жеке түрін аламыз:
(1.36)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.37)
Егер орта анизотропты болса, басқаша айтқанда, жылуөткізгіштік
коеффициенті жылудың таралу бағытына тәуелді
(1.38)
түріндегі тензор болса, онда (1.34) теңдеу былайша түрленеді [1]:
.
(1.39)
Бұл жерде кеңістігі - ке сәйкес келеді.
Егер тензорында бас диагональдың элементтерінен басқа
элементтер түгел нольге тең болса ( үшін ), онда (1.39) теңдеу
былайша жазылады:
. (1.40)
Диффузия процестері диффундирленетін зат бар болса және орта
біртекті емес болса векторлық түрдегі Пуассон теңдеуімен сипатталады:
.
(1.41)
Бұл теңдеу дербес туындылар арқылы:
(1.42)
немесе, операторлық түрде былайша жазылады:
.
(1.43)
Біртекті орта үшін (1.43) теңдеуін (1.36) сияқты былайша жазуға
болады:
(1.44)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.45)
Электр зарядтары бар кезде ток өткізбейтін ортада электр өрісінің
таралуы туралы есеп (1.23), (1.24) теңдеулерімен сипатталады. Векторлық
түрде (1.26) өрнекті ескере отырып былайша жазуға болады:
.
(1.46)
Бұл теңдеуді дербес туындылар түрінде былайша
(1.47)
немесе, операторлық түрде:
(1.48)
жазуға болады.
Біртекті орта үшін (1.47) теңдеу былайша жазылады:
(1.49)
немесе, операторлық түрде
(1.50)
түрінде жазылады.
1.2 ПАРАБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Математикалық физиканың параболалық теңдеулерге алып келетін кейбір
есептерін қарастырайық.
1.2.1 ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІ
Көптеген бейстационар, уақытқа байланысты өзгеретін процестер
парабола тектес теңдеулермен сипатталады. Мысал ретінде жылуөткізгіштіктің
бейстационар теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеу (1.35) теңдеудің
толықтырылған түрі және келесі түрлендірулер нәтижесінде (1.6) Фурье
заңынан алынады [3].
Үшөлшемді кеңістіктің бетімен қоршалған көлеміндегі
жылутаралудың бейстационар есебін қарастырайық.
Уақыттың аралығында бетімен қоршалған көлемінен
бөлініп шығатын жылу мөлшерін былайша есептеуге болады:
.
(1.51)
Бұл жерде уақыттың бір өлшемінде бетімен қоршалған
көлемінен бөлініп шығатын жылудың (1.8) интегралмен есептелетін толық
мөлшері.
Жүйенің тепетеңдіксіз жағдайы қарастырылып отырғандықтан жылудың
келесі өрнекпен анықталатын бір бөлігі көлеміндегі
температураның уақыт бойынша өзгеруіне жұмсалады:
.
(1.52)
Бұл жерде - көлеміндегі температураны бір градусқа өзгертуге
қажетті жылудың толық мөлшері; - уақыттың аралығындағы
көлемінің температурасының өзгеруі.
Жылудың қалған бөлігі көлемді қоршап тұрған ауданы беттен
ағып өтеді:
.
(1.53)
Бұл жерде уақыттың бір өлшемінде беттен ағып өтетін жылудың
(1.7) – ші интегралмен анықталатын толық мөлшері.
Басқаша айтқанда, бейстационар жағдайда мынадай теңдеу орын алады:
.
(1.54)
Жалпы жағдайда біртекті емес орта үшін көлемінің температурасын
бір градусқа өзгертуге қажетті жылудың толық мөлшері келесі өрнекпен
(1.55)
анықталатынын ескерсек, онда (1.55), (1.7) және (1.8) өрнектерін (1.54)
теңдеуге қойып (1.10) Остроградский-Гаусс теоремасын қолдансақ мынадай
қатынас аламыз:
. (1.56)
Бұл жерде - заттың тығыздығы; - заттың меншікті жылу
сиымдылығы.
Соңғы теңдіктегі интеграл астындағы өрнектерді сыртқа шығарып
теңдіктің екі жағын да -ға бөлсек және нәтижесіне (1.6) Фурье заңын
қойсақ, онда жылуөткізгіштіктің бейстационар теңдеуін векторлық түрде жаза
аламыз:
. (1.57)
Бұл теңдеу операторлық түрде былайша жазылады:
. (1.58)
1.3 ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Математикалық физиканың гиперболалық теңдеулерге алып келетін кейбір
есептерін қарастырайық.
1.3.1 ТЕРБЕЛІС ТЕҢДЕУІ
Көптеген физикалық процестер белгілі бір ортада тербелістердің пайда
болуымен байланысты. Мысалы, шектің тербелістері, мембрананың тербелістері,
дыбыс тербелістерінің таралуы және т.б. Олар гипербола текті теңдеулер
түріне жататын тербеліс теңдеуімен сипатталады [1-3].
Мысал ретінде, белгілі бір ортада координатасының бойында
өтетін физикалық шамасының келесі өрнекпен сипатталатын өшпейтін
тербелістерін қарастырайық:
.
(1.59)
Бұл жерде - тербелістердің амплитудасы; - физикалық
шамасының координата бойымен өзгеруінің периодын анықтайтын толқындық сан;
-физикалық шамасының - уақытындағы өзгеру периодын
анықтайтын шеңберлік (циклдық) жиілік; - нүктесіндегі
тербелістің фазасы; - тербелістің уақытына сәйкес бастапқы
фазасы.
Толқындық сан былайша анықталады:
.
(1.60)
Бұл жерде - толқынның ұзындығы.
Шеңберлік жиілік былайша анықталады:
.
(1.61)
Бұл жерде - тербелістер периоды.
Физикалық шамасының координатасы бойынша туындысы:
.
(1.62)
Физикалық шамасының уақыты бойынша туындысы:
.
(1.63)
Физикалық шамасының координатасы бойынша екінші туындысы:
.
(1.64)
Физикалық шамасының уақыты бойынша екінші туындысы:
.
(1.65)
(1.64) және (1.65) өрнектерін (1.59) өрнегімен салыстыру арқылы
мынаны табамыз:
;
(1.66)
.
(1.67)
(1.66), (1.67)-ші өрнектерінен шамасын жекешелеп алып, алынған
нәтижелердің оң жақтарын теңестірсек толқындық теңдеу деп аталатын мынадай
дербес туындылы теңдеу аламыз:
.
(1.68)
Қарапайым, және болатын жағдай үшін толқындық теңдеу
былайша жазылады:
.
(1.69)
Алынған нәтижені үш координатаға қатысты қарастырсақ, толқындық
теңдеудің операторлық жазылуы былайша болады:
.
(1.70)
Өшпелі тербелістер кезінде амплитуда координата мен уақыттың
функциясы болады да (1.68)-шы теңдеудегі коэффициенттерінің түрлері
күрделі болып кетеді.
1.4 ШЕКАРАЛЫҚ ЖӘНЕ БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Жоғары математика курсынан әдетте дифференциалдық теңдеулердің жалпы
жағдайда шексіз көп шешімдері болатыны белгілі. Себебі, дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау кезінде пайда болатын белгісіз константалардың кез
келген мәндері берілген дифференциалдық теңдеулерді қанағаттандырады [3].
Математикалық физика есептерін шешу белгілі бір физикалық шамалардың
координаталар мен уақытқа тәуелділігін анықтаумен байланысты. Алынған шешім
әрқашан жалғызмәнді, шекті және үзіліссіз болу керек [4]. Басқаша айтқанда,
математикалық физиканың кез келген есебі жалғыз ғана шешімді (егер ол бар
болса) табуды талап етеді. Сондықтан физикалық есептің математикалық
қойылуы ізделіп отырған функцияны қарастырылып отырған аймақтың ішкі
нүктелерінде сипаттайтын негізгі теңдеулермен бірге (дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулер) қосымша теңдеулерді де қамтуы керек. Қосымша
теңдеулер (дифференциалдық немесе алгебралық) белгісіз функцияның уақыттың
әрбір сәтіндегі шекаралық мәндерін және оның уақыттың алғашқы сәтіндегі
қарастырылып отырған аймақтың ішкі нүктелеріндегі мәндерін сипаттайды.
Аталған қосымша теңдеулер есептің шекаралық және бастапқы шарттары деп
аталады.
1.4.1 ШЕКАРАЛЫҚ ШАРТТАР
Кезкелген аймағында математикалық физика теңдеуімен
сипатталатын белгілі бір есепті шешу қажет болсын делік. Есептің жалғыз
ғана шешімін табу үшін шекаралық шарт белгілі болу керек, басқаша айтқанда,
белгісіз айнымалылардың аймағының шекаралық бөлігіндегі
мәндерін нақты теңдеулермен беру керек.
Егер аймағы үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген көлем болса, онда
берілген көлемді қоршап тұрған тұйық бет болады. Егер аймағы
екіөлшемді кеңістіктегі кезкелген бет болса, онда берілген бетті
қоршап тұрған тұйық контур болады. Ең соңында, егер аймағы бірөлшемді
кеңістіктегі кезкелген кесінді болса, онда берілген кесіндінің екі
шеткі нүктесі болады.
Шекаралық шарттарды беретін теңдеулердің түріне қарап оларды бірінші
текті (Дирихле шарттары), екінші текті (Нейман шарттары) және үшінші текті
деп бөледі [3].
Бірінші текті шекаралық шарттар немесе Дирихленің шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
(1.71)
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функция; -
шекарасында берілген кезкелген функция; - шекаралық нүктенің
кеңістіктегі координаталары (мысалы, үшөлшемді кеңістік үшін );
- уақыт.
Егер жылуөткізгіштік есебі қарастырылып отырса, онда бірінші текті
шекаралық шарт шекарасындағы температураны береді. Ток өткізбейтін
ортадағы элетростатикалық өрістің таралуы есебінде бірінші текті шекаралық
шарт шекарасындағы электр потенциалын береді және т.б.
Екінші текті шекаралық шарттар немесе Нейманның шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
(1.72)
Бұл жерде - шекарасының ішкі нормалі.
Басқаша айтқанда, Нейман шарттары шекарадағы ағынды, дәлірек айтсақ,
ағын векторының шекараға түсетін нормальға проекциясын береді. Мысалы,
жылуөткізгіштік есептерінде екінші текті шекаралық шарттар жылу ағынын
береді, ал ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы
есепте – электр өрісінің кернеулігінің векторының шекараға түсетін
нормальға проекциясын береді және т.б.
Үшінші текті шекаралық шарттар Дирихле мен Нейман есептерінің
жалпыланған түріне жатады және былайша жазылады:
болғанда . (1.73)
Бұл жерде - координаталар мен уақыттың белгілі функциялары. Мысалы,
жылу есептерінде үшінші текті шекаралық шарттар шекарадағы конвективті жылу
алмасу мен сәулелік жылу алмасуды беруге пайдаланылады.
Ньютон заңына сәйкес, қатты дененің бетінен уақыттың бір өлшемінде
газды немесе сұйық ортаға берілетін немесе олардан алынатын жылу ағынынының
тығыздығы былайша анықталады:
.
(1.74)
Бұл жерде - конвективті жылу алмасу коэффициенті; - қатты
дененің бетінің температурасы; - қоршаған ортаның температурасы [4].
Шекараға нормальдың бойындағы жылу ағынының тығыздығына (1.6) Фурье
заңын қолдансақ және (1.74) және (1.6) теңдеулерінің оң жақтарын өзара
теңестірсек үшінші текті шекаралық шарттарды аламыз:
;
(1.75)
.
(1.76)
Больцман заңына сәйкес, қатты дененің бетінен уақыттың бір өлшемінде
сәуле шашу арқылы бөлінетін жылу ағынынының тығыздығы былайша анықталады:
.
(1.77)
Бұл жерде -абсолют қара дененің сәуле шашу коэффициенті; -
салыстырмалы сәуле шашу қабілеті немесе дененің қаралық дәрежесі [3].
Шекараға нормальдың бойындағы жылу ағынынының тығыздығына (1.6) Фурье
заңын қолдансақ және (1.77), (1.6) теңдеулерінің оң жақтарын өзара
теңестірсек үшінші текті шекаралық шарттарды аламыз:
;
(1.78)
.
(1.79)
(1.74)-(1.79) теңдеулерде температура дененің бетіндегі
нүктелердің координаталарының функциясы.
Ескерте кету керек, әрбір айнымалы үшін шекаралық шарттардың саны
дифференциалдық теңдеулердегі туындылардың ретімен анықталады [5]: бірінші
ретті теңдеулер үшін – бір шекаралық шарт, екінші ретті теңдеулер үшін –
екі, үшінші ретті теңдеу үшін – үш шекаралық шарт және т.б.
1.4.2 БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Бейстационар, уақыт бойынша өзгеріп отыратын физикалық процестерді
сипаттайтын есептердің жалғыз ғана шешімін табу үшін шекаралық шарттармен
бірге бастапқы шарттарды да беру керек. Бастапқы шарттар айнымалылардың
немесе олардың градиенттерінің қарастырылып отырған аймағының
шекаралық нүктелерінен бөлек ішкі нүктелеріндегі уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәндерін қамтиды :
болғанда ;
(1.80)
болғанда ;
(1.81)
болғанда . (1.82)
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функцияның уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәні; - координаталардың белгілі функциялары.
Шекаралық шарттар сияқты, бастапқы шарттардың саны да дифференциалдық
теңдеулердегі уақыт бойынша туындылардың ең үлкен ретімен анықталады [4].
2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІ
Шекті элементтер әдісі физика мен техникада кездесетін
дифференциалдық теңдеулерді сандық әдіспен шешуге арналған. Бұл әдіс
космостық зерттеулерден туған есептерді шешуге байланысты пайда болған
(1950 ж). Алғаш рет ол Тернердің, Клуждың, Мартин мен Топптың еңбектерінде
жарық көрді [4-6]. Осының артынан әдісті құрылыс механикасы мен тұтас
денелердің механикасы есептерінде қолданған бірқатар еңбектер пайда болды.
Әдістің теориялық негізделуіне 1963 жылы Мелош [4] көп еңбек сіңірді. Ол
шекті элементтер әдісінің осыған дейін кеңінен таралған Рэлей-Ритц әдісінің
бір варианты екенін дәлелдеді. Құрылыс механикасында шекті элементтер әдісі
дене деформацияланғанда онда жинақталатын потенциалдық энергияны минималдау
арқылы есепті тепетеңдіктің сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіне алып
келеді.
Шекті элементтер әдісінің функционал деп аталатын интегралдық шаманы
минималдау процедурасымен байланысы әдісті техниканың басқа салаларындағы
көптеген есептерді шешуге кеңінен пайдалануға мүмкіндік берді. Әдіс Лаплас
немесе Пуассон теңдеулерімен сипатталатын есептерді шешуге қолданылды. Бұл
теңдеулерді шешу де белгілі бір функционалдарды минималдаумен байланысты.
Алғашқы басылымдарда [4] шекті элементтер әдісімен жылу таралу есептері
шешіліп жүрді. Кейіннен әдіс гидромеханиканың есептеріне, атап айтқанда,
қуысты ортада сұйықтардың ағу процестерін зерттеуге қолданыла бастады.
Шекті элементтер әдісін қолдану саласының кеңуіне құрылыс
механикасында, жылу таралу процестерінде, гидромеханикада қолданылатын
теңдеулер Галеркин әдісімен немесе ең кіші квадраттар тәсілімен оңай
алынатыны дәлелденуі көп ықпал етті [4]. Бұл фактор әдісті теориялық
жағынан негіздеуге көмектесіп, оны кез келген дифференциалдық теңдеулерді
шешуде қолдануға мүмкіндік берді. Айта кету керек, кеңірек жұргізілген
теориялық зерттеулер физикалық есептерді шешуде вариациялық принциптерді
барлық уақытта қолданудың қажеті жоқ екенін дәлелдейді.
Шекті элементтер әдісі құрылыс механикасының есептерін шешуге
арналған сандық әдістен барлық дифференциалдық теңдеулерді, немесе олардың
жүйелерін шешуге арналған жалпы әдіске айналды. Бұл прогреске бірнеше
онжылдық аумағында есептеу машиналарының күрт дамуына, ұшатын аппараттарды
дәлірек зерттеу қажеттігіне, космостық зерттеулердің кеңінен дамуына
байланысты қол жетті. Қазіргі кезде шекті элементтер әдісі самолеттер,
ракеталар жасау саласында, атом реакторларын жобалауда және т.б. күрделі
салаларда кеңінен қолданылады.
2.1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ КОНЦЕПЦИЯСЫ
Шекті элементтер әдісінің негізгі идеясы кезкелген температура, қысым
және жылжу сияқты үзіліссіз шаманы ішкі аймақтардың шекті санында
анықталатын бөлшекті-үзіліссіз функциялар жиынынан тұратын дискретті
модельмен аппроксимациялауда.
Бөлшекті-үзіліссіз функциялар үзіліссіз шаманың қарастырылып отырған
аймақтың жалпы саны шектелген нүктелеріндегі мәндері арқылы анықталады
[4].
Жалпы жағдайда үзіліссіз шама белгісіз, оны аймақтың жалпы саны
шектелген белгілі бір ішкі нүктелерінде анықтау қажет. Дискретті модельді
құру үшін алғашында үзіліссіз шаманың сандық мәндері аймақтың ішкі
нүктелерінде шартты түрде анықталған деп алынады. Одан кейін жалпы жағдайға
көшуге болады. Сонымен, үзіліссіз шаманың дискретті моделін құру мынадай
ретпен орындалады:
- қарастырылып отырған аймақта жалпы саны шектелген нүктелер белгіленеді.
Бұл нүктелерді түйіндік нүктелер деп, немесе түйіндер деп атайды;
- үзіліссіз шаманың әрбір түйіндегі мәні айнымалы және оларды анықтау
керек;
- үзіліссіз шаманың анықталу аймағы жалпы саны шектелген кіші аймақтарға
бөлшектеледі. Бұл кіші аймақтарды элементтер деп атайды. Көрші тұрған
элементтердің ортақ түйіндері болады және элементтердің толық жиыны
берілген аймақты жуықтап аппроксимациялайды;
- үзіліссіз шама әрбір элемент ішінде полином арқылы аппроксимацияланады.
Полином үзіліссіз шаманың түйіндердегі шартты түрде белгілі деп алынған
мәндері арқылы анықталады.
Шекті элементтер әдісінің негізгі концепциясын келесі мысал арқылы
көрнекі түсіндіруге болады. Анықталу аймағы осінің бойынан алынған
кесіндісі болатын үзіліссіз шамасы қарастырылсын (2.1. сурет).
осінің бойында бес нүкте белгіленіп, номерленген. Бұл түйіндік
нүктелерді өзара бірдей қашықтықта орналастыру шарт емес. Нүктелер санын
көбейтуге болады, бірақ әдістің негізгі идеясын түсіндіруге осы бес
нүктенің өзі жеткілікті. Үзіліссіз шамасының әрбір түйіндегі мәні
белгілі деп есептелінсін. Бұл мәндер 2.2б суретте көрсетілген және
түйіндердің номерлеріне сәйкес деп белгіленген.
Аймақты элементтерге бөлудің екі түрлі тәсілі бар. Мысалы, әрбір
элементті екі түйінмен шектеуге болады (2.3а сурет). Бұл кезде төрт элемент
пайда болады. Немесе, егер кесінді екі элементке бөлінсе, онда әрбір
элементтің үш түйіні болады (2.3б сурет). Элементке сәйкес полином
функциясының түйіндердегі мәндері арқылы анықталады. Аймақты төрт элементке
бөлген жағдайда әрбір элементте екі түйін болады да, элементтің функциясы
айнымалысына қатысты сызықтық функция болады (кезкелген түзу екі
нүкте арқылы анықталады). функциясының толық аппроксимациясы
әрқайсысы жеке элементте анықталған төрт бөлшекті-сызықтық функциялардан
тұрады (2.4а сурет).
Сурет 2.1
Сурет 2.2
а
б
Сурет 2.3
а
б
Сурет 2.4
Аймақты бөлудің екінші тәсілімен кесіндіде әрқайсысының үш түйіні бар
екі элемент пайда болады да, әрбір элементтің функциясы екінші дәрежелі
полиноммен беріледі. Бұл кезде функциясының толық аппроксимациясы
әрқайсысы жеке элементте анықталған екі бөлшекті- үзіліссіз квадраттық
функциялардың жинағынан тұрады (2.4б сурет).
Бұл жуықтау бөлшекті-үзіліссіз жуықтау болатыны даусыз, себебі үшінші
түйінде бұл функциялардың осы түйіндегі жанамаларының бұрылу бұрыштары
әртүрлі болуы мүмкін.
Сурет 2.5
Жалпы жағдайда температураның таралу заңдылығы белгісіз болғандықтан
температураның белгілі бір нүктелердегі мәндерін анықтау қажет. Дискретті
модельді құру әдісі бұрынғыша сақталады, тек бұл жолы қосымша қадам пайда
болады. Тағы да түйіндер жиыны анықталады, осы түйіндердегі температураның
мәндері бұл жолы айнымалы деп алынып, оларды анықтау қажеттілігі
туады. Зерттеу аймағы әрқайсысында элементтің сәйкес функциясы анықталған
элементтерге бөлінеді. Енді функциясының түйіндік мәндерін
температураның шын мәндеріне мейлінше жақындату үшін есептің физикалық
мағынасымен байланысқан белгілі бір шаманы минималдау қажет. Егер жылу
таралу есебі қарастырылып отырса, онда сәйкес дифференциалдық теңдеумен
байланысты функционал минималданады. Минималдау процесі функциясының
түйіндік мәндеріне қатысты құрылған сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешуге алып келеді.
Екі-, немесе үшөлшемді аймақта анықталған үзіліссіз шаманың дискретті
моделін құрған кезде де шекті элементтер әдісінің негізгі концепциясы
сақталады. Екі өлшемді жағдайда элементтер айнымалыларына тәуелді
функциямен сипатталады. Бұл кезде көбінесе үшбұрыш немесе төртбұрыш
түріндегі элементтер қолданылады.
Сурет 2.6
Бұл кезде элементтердің функциялары жазық (2.5 сурет), немесе қисық
(2.6 сурет) беттермен көрсетіледі. Егер элемент үшін түйіндік нүктелердің
ең аз саны пайдаланылса, онда элементтің функциясы жазық бетпен
көрсетіледі. Демек, үшбұрышты элемент үшін үш түйін, ал төрт бұрышты
элемент үшін төрт түйін алынады (2.5 сурет).
Егер қолданылатын түйіндер саны минималдық шамадан артық болса, онда
элементтің функциясына қисық бет сәйкес келеді. Оның үстіне элементтердің
артық саны шекарасы қисық сызықты элементті қарастыруға мүмкіндік береді.
Екі өлшемді үзіліссіз шаманың толық аппроксимациясы бөлшекті-
үзіліссіз беттердің жиыны түрінде беріледі. Бұл беттердің әрқайсысы
функциясының сәйкес элементтің түйіндеріндегі мәндері арқылы анықталады.
Шекті элементтер әдісінің маңызды аспекті оның элементтер жинағы
ішінен кез келген элементті бөліп алып қарастыру мүмкіндігінде. Бұл аспект
әрбір элементтің тек өзіне тән қасиеттерін ескеруге мүмкіндік береді, ал
пайдаланылатын түйіндер санын еркін таңдау мүмкіндігі, қарастырылып отырған
аймақтың күрделі геометриясын ескеруді жеңілдетеді. Ескерте кететін жағдай,
2.5 және 2.6 суреттерде келтірілген кеңістік беттер функциясының
кеңістігіндегі қарастырылып отырған элементке сәйкес графиктер
(суреттің жоғарғы бөлігі), оны элемент функциясы деп атайды, ал графиктің
жазықтығындағы проекциясы (суреттің төменгі бөлігі) аймақтың сәйкес
элементі екенін ұмытпаған жөн.
2.2 ӘДІСТІҢ АРТЫҚШЫЛЫҚТАРЫ МЕН КЕМШІЛІКТЕРІ
Қазіргі кезде шекті элементтер әдісінің қолдану аймағы күн санап
кеңейіп келеді. Ол дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын барлық
физикалық құбылыстарды қамтиды. Шекті элементтер әдісінің кең қолданылуына
себеп болып отырған оның мынадай ең маңызды артықшылықтары [4]:
1. Көрші элементтердің қасиеттерінің бірдей болуы шарт емес. Бұл жағдай
шекті элементтер әдісін әртүрлі материалдардан тұратын конструкцияларда
қолдануға мүмкіндік береді.
2. Қисықсызықты аймақ тіксызықты элементтермен жуықтап аппроксима-
цияланады, немесе қисықсызықты элементтермен дәлме дәл аппроксимацияланады.
Демек, геометриясы өте күрделі аймақтарды қарастыруға болады.
3. Элементтердің өлшемдерін өзгертіп отыруға болады. Демек, қажетіне қарай
ірі немесе майда элементтер қолданылады.
4. Шекті элементтер әдісінің көмегімен үзілісті шекаралық шарттарды,
немесе аралас шекаралық шарттарды да ескеруге болады.
5. Жоғарыда келтірілген артықшылықтар белгілі бір класқа жататын есептерге
ортақ есептеу программасын құруға мүмкіндік береді. Осы класқа жататын жеке
есепті шешу үшін ортақ программаны есептің ерекшелігіне қарай шамалы ғана
өзгертсе болғаны.
Шекті элементтер әдісін бұдан да кеңірек қолдануға кедергі келтіретін
негізгі факторлар - есептеу программаларының көлемділігі және есептеу
техникасын қолдану қажеттілігі. Шекті элементтер әдісімен құрылған
алгоритмдерді ең қарапайым есептер үшін де қолмен есептеу мүмкін емес. Тағы
бір айта кететін жай, шекті элементтер әдісін толық игеру үшін зерттеушінің
ғылымның көп салалаларынан, атап айтқанда: физикадан, механикадан, сандық
әдістерден, дифференциалдық теңдеулерден, вариациялық есептеулерден,
сызықтық алгебрадан, матрицалық алгебрадан және т.б. білім салаларынан
жеткілікті деңгейде білімі болуы шарт. Сонымен қатар зерттеуші кезкелген
алгоритмді белгілі бір алгоритмдік тілге аудара білуі қажет.
2.3 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ ЭТАПТАРЫ
Физикалық есептің қойылуынан бастап одан шекті элементтер әдісімен
нақты сандық нәтижелер алғанға дейінгі операциялар мынадай ретпен орындалуы
керек [4]:
1. Аймақты дискреттеу - түйіндік нүктелер мен элементтерді тағайындау.
2. Жеке элемент үшін элемент функциясын анықтау.
3. Зерттеліп отырған бүкіл аймақ үшін жекеленген элемент функцияларынан
бөлшекті-үзіліссіз функция құрастыру.
4. Физикалық есептің мазмұнына сәйкес алынған функционалды
минималдау арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін құру.
5. Алынған теңдеулер жүйесін тікелей немесе итерациялық әдістердің
бірімен түйіндерге қатысты шешу.
6. Элементте ізделіп отырған шамаларды есептеу.
2.4 АЙМАҚТЫ ДИСКРЕТТЕУ
Шекті элементтер әдісімен әрбір есепті шешу әрқашан зерттелетін
аймақты шекті элементтер деп аталатын шағын аймақтарға бөліп тастаудан
басталады. Ескере кететін жағдай, аймақты шекті элементтерге бөлудің
теориялық түрде негізделген жалпы нұсқау, ережесі жоқ.
Аймақты (денені) дискреттеу кезінде шекті элементтердің жалпы саны,
өлшемдері және формалары беріледі. Осы кезде мынадай бір ерекше жағдай
туады. Есептің шешімін дәлірек алу үшін элементтердің неғұрлым кіші болғаны
керек. Екінші жағынан, есептеу жұмыстарының көлемін қысқарту үшін
элементтерді неғұрлым ірі қылып алу тиімді. Мұндайда көбінесе компромистік
шешім қабылданады. Аймақтың ізделіп отырған параметрдің өзгеру градиенті
жоғары болады деп күтілетін бөлігінде элементтерді кішірейтіп, қалған
бөлігінде ірі элементтер қолданылады. Мұның бәрі зерттеушінің шеберлігіне,
есептеу тәжірибесіне, интуициясына байланысты. Дегенмен, аймақты
дискреттеудің кейбір жалпы қағидалары мен тәсілдеріне тоқталып өту қажет.
Есептің түріне қарай әртүрлі шекті элементтер қолданылады. Элементтің
түрі зерттеліп отырған аймақтың геометриясына ғана емес, есептің мақсатына
да байланысты таңдалады.
3 ЖЕР АСТЫ СУЛАРЫНЫҢ АҒЫСЫН ЭЛЛИПС ТЕКТІ
ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ ЗЕРТТЕУ
Идеалды сұйықтың құйынсыз (ламинарлық) ағысы плотиналардың бұрыштарын
айналып ағу, самолеттердің қанаттарының көтергіш беттерін айналып ағу және
т.б. сияқты көптеген маңызды физикалық есептерді шешуде қолданылатын
болғандықтан, кеңінен қарастырылады. Идеалды құйынсыз ағысты нақты бір
физикалық процестің жуықтап алған моделі деп қарастыру керек. Бұл моделде
сұйық пен жанасатын бет арасында үйкеліс болмайды деп (идеалды сұйық) және
ағатын сұйықтың бөлшектері айналу қозғалысына қатыспайды деп (құйынсыз
ағыс) қабылданған [4].
Жер асты суларының ағысын да құйынсыз ағыс моделін қолданып белгілі
бір дәлдікпен зерттеуге болады. Жер асты суларының ағысын зерттеу
күнделікті өмірде маңызы зор мәселе, себебі көптеген аудандарды сумен
толық, немесе жартылай қамтамасыз ету осы зерттеулердің нәтижесіне тығыз
байланысты шешіледі. Сол сияқты дамбалардан және олардың астымен ағып
кететін су мөлшері, дренаждық каналдардың табанында жоғалтылатын су мөлшері
де осы теория негізінде есептеледі.
Құйынсыз ағыс теориясына негізделген есептердің бәрін де шекті
элементтер әдісімен шешуге болады, себебі мұндай есептер квазигармоникалық
эллипс текті теңдеумен сипатталады.
3.1 ЖЕР АСТЫ СУЛАРЫ АҒЫСЫН ЗЕРТТЕУ ЕСЕПТЕРІНДЕ
ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН ҚОЛДАНУДЫҢ НЕГІЗГІ
АЛГОРИТМДЕРІ
Тұйық аймақтың сулы қабатындағы жер асты суларының горизонтал
жазықтықтағы ағысын сипаттайтын дербес туындылы дифференциалдық теңдеу
мынадай түрде беріледі [4]:
.
(3.1)
Бұл жерде , - және остері бағытындағы фильтрация
коэффициенттері, өлшемі м3(сөтке(м2), немесе мсөтке; - сулы
қабаттың табанынан бастап метрмен өлшенетін пьезометрлік қысым; -
судың нүктелік шығыны (м3сөтке). Егер сулы қабаттан су сорылып алынатын
болса, онда теріс таңбалы болады.
Шекаралық шарттар
(3.2)
және (немесе)
(3.3)
түрінде беріледі. Бұл жерде зерттеу аймағының шекарасы арқылы ағып
өтетін су мөлшерін сипаттайтын шама, өлшемі м3сөтке.
Келтірілген дифференциалдық теңдеулер жылуөткізгіштік есебінің,
немесе бұралу деформациясын анықтау есебінің теңдеулеріне ұқсас, сондықтан
бұл жерде жылуөткізгіштік есебіндегі матрицалық аппаратты қолдануға болады.
Оның үстіне, құрамында конвективтік жылу алмасуды ескеретін қосылғышы
болмағандықтан, элементтегі су алмасу процесін сипаттайтын қатынастар жылу
алмасу есептеріндегідей күрделі болмайды.
Шекті элементтер әдісімен (3.1) теңдеуді шекаралық (3.2) және (3.3)
шарттарды ескеріп шешу, бірінші бөлімде атап өтілгендей, келесі
функционалдың минимумын табу есебіне алып келеді:
.
(3.4)
(3.4)-ші функционал белгісіз функциясының түйіндік мәндерінің
жиынында минималдану керек. Ол үшін (3.4)-ші функционал құрамындағы
интегралдарды есептемей тұрып минималданады. Ескерте кету керек,
минималдауды интегралдарды есептеп болғаннан кейін де жүргізуге болады,
бірақ бұл жағдайда жекелеген есептерде элементтердің өзіндік қасиеттерін
ескерудің алгоритмін құру процедурасы қиындап кетеді [4].
Минималдау процессі (3.4)-ші функционалды түрлендіруден басталады. Ол
үшін жаңадан екі матрица енгізіледі [4]:
(3.5)
және
.
(3.6)
Енді
екенін ескеріп (3.4)-ші қатынасты былайша жазуға болады:
. (3.7)
Үзіліссіз функциясын элемент ішінде интерполяциялауға сызықтық
полином таңдалғандықтан белгісіз функция бүкіл аймақта үзіліссіз бола
алмайды, сондықтан ол жекелеген элементтер ішінде анықталатын
функцияларының жиынымен айырбасталады. Олай болса (3.7)-ші өрнектегі
интегралдар жеке элементтерде есептелетін интегралдарға бөлінеді:
. (3.8)
Бұл жерде - элементтердің жалпы саны. Соңғы қатынас символдық түрде
былайша жазылады:
.
(3.9)
Бұл жерде - жеке элементтің функционалындағы үлесі.
функционалын ізделіп отырған функциясының
түйіндердегі мәндеріне қатысты минималдағанда мынадай қатынас алынады:
.
(3.10)
(3.8)-ші қатынастардағы интегралдар функцияның түйіндік
мәндері арқылы өрнектелгенше (3.10) қатынастағы дербес туындылар
анықтала алмайды. Келесі
(3.11)
қатынасты ескере отырып (3.5)–ші өрнекті есептеуге болады. Алынған нәтиже
(3.11) шамамен бірге (3.8)-ші қатынасқа қойылады. Бұл жерде
элементтегі түйіндер саны.
векторы келесі өрнекпен анықталады:
(3.12)
Немесе
.
(3.13)
Бұл жерде градиенттер матрицасы деп аталады. Ол пішін функцияларының
координаталар бойынша туындыларының мәндерінен тұрады. Матрицаның
элементтері әзірше белгісіз, себебі пішін функциялары әлі анықталған жоқ.
(3.11) және (3.13) теңдіктерді қолдану (3.8)-ші өрнектегі элемент ішіндегі
интегралдарды былайша жазуға мүмкіндік береді:
. (3.14)
Бұл жерде мен белгілі шамалар. Олар элемент ішінде өзгеруі
мүмкін болғандықтан интеграл астына енгізілген. (3.14)-ші өрнекті
бойынша дифференциалдау үшін матрицалық қатынастарды дифференциалдау
ережелері қолданылады. (3.14)-ші өрнекке дифференциалдау операциясын
қолдансақ:
,
,
. (3.15)
Жеке элементтің қосындысындағы үлесі мынаған тең:
.
(3.16)
Соңғы интегралдар жинағын ықшамдап жазсақ:
.
(3.17)
Бұл жерде
(3.18)
және
. (3.19)
Сызықтық ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қожа Ахмет Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті
Математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі
_______профессор Ә.С.Мұратов
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Жер асты суларының ағысын эллипс текті теңдеу арқылы
зерттеу
5В060100 – Математика мамандығы бойынша
Орындаған
Ахмедова Г.
Ғылыми жетекшісі
тех.ғ.к., доцент
Айтбаев Қ.
Түркістан 2013
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 3
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ... ... ... ... ... ... . ... . 5
1.1 Эллипстік 6
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..
1.1.1Лаплас 6
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ..
1.1.2Пуассон 10
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Параболалық 14
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
1.2.1Жылуөткізгіштік 14
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
1.3 Гиперболалық 15
теңдеулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... .
1.3.1Тербеліс 15
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
1.4 Шекаралық және бастапқы 17
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.4.1Шекаралық 18
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ..
1.4.2Бастапқы 20
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР 22
ӘДІСІ ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
2.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі 23
концепциясы ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Әдістің артықшылықтары мен 27
кемшіліктері ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3 Шекті элементтер әдісінің негізгі 27
этаптары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.4 Аймақты 28
дискреттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..
3 ЖЕР АСТЫ СУЛАРЫНЫҢ АҒЫСЫН ЭЛЛИПС ТЕКТІ ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ
ЗЕРТТЕУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 29
3.1 Жер асты сулары ағысын зерттеу есептерінде шекті элементтер
әдісін қолданудың негізгі алгоритмдері ... ... ... ... ... ... 29
3.2 Дененің ішкі аймағында орналасқан нүктелік су көздерін ескеру
алгоритмы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...34
... ... ... ... ...
3.3 L – координаталар әдісі ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..39
3.4 Жер асты суларының ағысын зерттеу есебінің қойылымы ... ... . 49
3.5 Жер асты суларының ағысын зерттеу есебін шекті элементтер
әдісімен 51
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .
3.6 Жоғары деңгейлі MATLAB жүйесінен қысқаша мәлімет ... ... ... 56
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...66
... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 67
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ...
КІРІСПЕ
Математикалық физика есептерінің дәл аналитикалық шешімін алу үшін,
көп жағдайда, шекаралық шарттарды аналитикалық өрнектермен сипаттауға
ыңғайлы болу үшін көптеген жеңілдетуші гипотезалар енгізіледі. Соның өзінде
зерттеу аймағының біртекті болуы және геометриясы қарапайым болуы ыңғайлы.
Дипломдық жұмыстың өзектілігі күнделікті өмірде кездесіп отыратын
табиғи құбылыстарды математикалық жолмен зерттеудің нақты әдістемесін
іздеуден туындайды. Бұл жұмыста табиғи құбылыс ретінде жер асты суларының
жер қыртысында таралуы қарастырылған. Аталған құбылысты зерттеу үшін
қолданбалы математика саласында соңғы кезде пәрменді қолданыс тапқан сандық
әдіс – шекті элементтер әдісі таңдалған. Математикалық физиканың дербес
туындылы дифференциалдық теңдеулермен, немесе олардың жүйелерімен
сипатталатын күрделі есептерін шешу үшін әдетте вариациялық принциптерді
қолданып, аталған теңдеулерді сандық әдістердің бірімен сызықтық алгебралық
теңдеулер жүйесіне алып келеді. Зерттеу аймағы біртекті болмаған жағдайда,
және зерттеу аймағының геометриясы күрделі болған жағдайда сандық
әдістердің ішіндегі ең әмбебап әдіс деп табылатын әдіс – шекті элементтер
әдісі таңдалады. Алынған жоғары ретті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешуге тікелей немесе итерациялық әдістер қолданылады. Бұл кездегі ең қиын
проблемалардың бірі есептеу процесінің жинақтылығын қамтамасыз ету.
Шешімнің дәлдігі координаталық тордың қадамына, итерация санына және
компьютердің қуатына байланысты.
Дипломдық жұмыста математикалық физиканың негізгі теңдеулері,
шекаралық және бастапқы шарттарды берудің ерекшеліктері, дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулерді дискреттеу әдістері, шекті элементтер әдісінің
теориялық негіздері, шекті элементтер әдісін қолданып жылуөткізгіштік,
кернеулі-деформациялық күй туралы есептерді шығарудың негізгі этаптары
сияқты тақырыптар қамтылған.
Дипломдық жұмыс кiрiспеден, үш бөлімнен тұратын негiзгi бөлiктен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тiзiмiнен тұрады.
Бірінші бөлімде математикалық физика теңдеулеріне сараптама
жүргізіледі. Эллипстік, параболалық және гиперболалық теңдеулердің түрлері
және олармен сипатталатын физикалық процестерге талдау жасалынады.
Келесі бөлімде математикалық теңдеулерді шешуде кеңінен қолданылып
жүрген сандық әдіс, шекті элементтер әдісінің теориялық негіздері
келтіріледі. Әдістің негізгі этаптары, оның негізгі концепциясы,
артықшылығы мен кемшіліктері талданады. Аймақты дискреттеудің ережелері
қарастырылады.
Үшінші бөлімде математикалық физика теңдеулерінің ең көп
қарастырылатын түрлерінің бірі, эллипс тектес теңдеуді шекті элементтер
әдісімен шешудің теориясы және оны шешуде қолданылатын шекті элементтер
әдісінің алгоритмі келтірілген. Бөлімнің екінші жартысында, мысал ретінде,
төртбұрышты жазық аймақты қиғаштап кесіп өтетін өзеннен зерттеу аймағына
қарай таралатын жер асты суларының деңгейін реттеу мәселесіне арналған
нақты есептің шешімі алынған. Аталған шешімді алуға қажетті арнайы алгоритм
келтіріліп, оның жұмысына сараптама жасалынған. Суөткізгіштік матрицасын
құрастыру барысында кездесетін көлемдік және беттік интегралдарды есептеуді
автоматтандыруға қажетті L – координаталар әдісінің негіздері келтіріліп,
оны нақты есептеу жұмыстарында қолданудың жолдары көрсетілген. Алынған
сандық шешімнің негізгі нәтижелері зерттеу аймағының әртүрлі қималарындағы
пьезометрліқ қысымдардың графиктері түрінде берілген. Сонымен қатар,
шешімнің негізгі заңдылықтарын айқын ашу үшін аталған қысымның зерттеу
аймағында таралу заңдылықтарын көрсететін тең дәрежелі қисықтар
(изолиниялар) келтірілген. Одан кейін су сорғыш насостардың қуаттарын
өзгертіп отыру арқылы, зерттеу аймағындағы жер асты суларының деңгейінің
өзгеру заңдылықтарына талдау жасалынған.
Дипломдық жұмыстың соңында, шекті элементтер әдісін компьютерде жүзеге
асыру барысында құрылатын есептеу программасы жасалынған жоғары деңгейлі
MATLAB жүйесіне қысқаша шолу келтірілген.
1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ
Қазіргі заманда ғылым мен техниканың көптеген мәселелері математикалық
физика есептерін шешумен байланысты. Жылуөткізгіштік, диффузия, электрлік
статика, электрлік динамика, сұйықтардың ағысы, электр тогының тығыздығының
таралуы, қатты денелердің деформациялануы және тағы басқа көптеген есептер
математикалық физика есептеріне жатады.
Мұндай есептер шекаралық және бастапқы шарттармен бірге
қарастырылатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулермен сипатталады.
Дипломдық жұмыста қарастырылатын дифференциалдық теңдеулердің реті
екіншіден аспайды. Себебі, осындай теңдеулер сипаттайтын физикалық
құбылыстардың өзі өте үлкен диапазон құрайды. Оның үстіне, төменде
келтірілетін әдістерді бұдан да жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерге
қолдануға болады. Жалпы жағдайда n тәуелсіз айнымалының екінші реттегі
дербес туындылы дифференциалдық теңдеуі мынадай түрде болады [1-3]:
. (1.1)
Бұл жерде - тәуелсіз айнымалылардың векторы (матрица-қатар); -
тәуелсіз айнымалылардың белгісіз функциясы; - тәуелсіз айнымалылардың
белгілі функциялары.
2. – ші теңдеуді үш стандартты канондық түрлердің біреуіне әрқашанда
келтіруге болады. шамаларының өзара қатынасына байланысты
теңдеулерді нүктесіндегі эллипстік, параболалық немесе
гиперболалық текті теңдеу деп бөледі. Мысалы, тәуелсіз
айнымалыларының екінші ретті дифференциалдық
(1.2)
теңдеуінің тегі дискриминант деп аталатын келесі шаманың мәні арқылы
анықталады:
. (1.3)
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
эллипстік теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
параболалық теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
гиперболалық теңдеу болады.
Егер коэффициенттері тұрақты болса және дискриминант
координатаға тәуелсіз болса, онда дискриминанттың таңбасына байланысты
теңдеу толық эллипстік, толық параболалық немесе толық гиперболалық болып
бөлінеді [3].
1.1 ЭЛЛИПСТІК ТЕҢДЕУЛЕР
Математикалық физиканың эллипстік теңдеулерге алып келетін кейбір
есептерін қарастырайық.
1.1.1 ЛАПЛАС ТЕҢДЕУІ
Көптеген стационар, уақытқа тәуелсіз, процестер эллипс текті
теңдеулермен сипатталады. Ал қарапайым жағдайда, біртекті ортада нүктелік
немесе сызықтық әсер көздері жоқ болса процесс координатаның үш бағыты үшін
Лаплас теңдеуімен [3] сипатталады:
.
(1.4)
Бұл жерде - анықталатын белгісіз функция.
Операторлық түрде Лаплас теңдеуі былайша жазылады:
.
(1.5)
Бұл жерде - Лаплас операторы.
Енді үшөлшемді кеңістіктің тұйық бетімен қоршалған
көлемінде стационар режимде жылудың таралуы туралы есепті қарастырайық.
Жылуөткізгіштік процесі, немесе кондукция, Фурье заңымен анықталады.
Фурье заңы бойынша жылу ағынынының тығыздық векторы
температураның градиентіне пропорционал [1]:
.
(1.6)
Бұл жерде - жылуөткізгіштік коэффициенті.
Жылу ағынының тығыздығы уақыттың бір өлшемінде изотермалық беттің
бірлік ауданынан ағып өтетін жылу мөлшеріне тең [1].
Жылуөткізгіштіктің стационар есебінің мақсаты жылу көздерінің
тығыздығы белгілі болған жағдайда температураның координаталарға
тәуелділігін табу. Жылу көздерінің тығыздығы (1.6) Фурье теңдеуінің
құрамына тікелей кірмейтін болғандықтан, алдын ала түрлендірулер жасап алу
керек. Жоғарыда келтірілген жылу ағынының анықтамасына сәйкес көлемді
қоршап тұрған бет арқылы уақыттың бір өлшемінде ағып өтетін толық
жылу мөлшері жалпы жағдайда мынадай интегралмен анықталады:
.
(1.7)
Бұл жерде ауданы бетінің шексіз шағын элементінің
ауданына тең, бағыты осы элементтің нормалымен бағыттас вектор; -
және векторларының скаляр көбейтіндісі, ал осы
векторлардың арасындағы бұрыш.
бетімен қоршалған көлемінің уақыттың бір өлшемінде бөліп
шығаратын толық жылу мөлшері мынадай интегралмен анықталады:
.
(1.8)
Әрине, бұл жағдайда көлемді қоршап тұрған бет арқылы
уақыттың бір өлшемінде ағып өтетін толық жылу мөлшері осы көлемнен
бөлініп шығатын толық жылу мөлшеріне тең болуы керек:
.
(1.9)
Остроградский-Гаусс теоремасы бойынша:
.
(1.10)
Енді (1.10) формуланы (1.9) формулаға қойсақ:
;
(1.11)
.
(1.12)
(1.12) теңдеуге (1.6) Фурье заңын қойсақ жылуөткізгіштіктің стационар
есебінің теңдеуін векторлық түрде аламыз:
.
(1.13)
Егер жылу көздері жоқ болса және дене біртекті болса ,
онда (1.13) теңдеу былайша жазылады:
.
(1.14)
Анықтама бойынша кезкелген скалярлық өрістің градиенті былайша
(1.15)
жазылатынын, ал кезкелген векторлық өрістің дивергенциясы
(1.16)
өрнегі арқылы анықталатынын ескерсек, онда (1.14) теңдеуді дербес туындылар
арқылы былайша жазып шығуға болады:
(1.17)
немесе операторлық түрде
.
(1.18)
Соңғы (1.18) теңдеу Лаплас теңдеуі деп аталады.
Заттың диффузия процесі көп жағдайда жылуөткізгіштік процессіне ұқсас
келеді. Диффузияны сипаттаған кезде Фурье заңының баламасы – Нернст заңы
қолданылады. Бұл заң бойынша зат ағынының тығыздығының векторы
концентрацияның градиентіне пропорционал [1]:
.
(1.19)
Бұл жерде - диффузия коэффициенті.
Зат ағынының тығыздығы уақыттың бір өлшемінде беттің бірлік ауданынан
диффундирленетін заттың бөлшектерінің (атомдар, молекулалар) мөлшеріне тең.
Заттың диффундирленетін көзі жоқ болса және дене біртекті болса
, онда (19) өрнекті (12) теңдеуге қойып Лаплас теңдеуін векторлық
түрде аламыз:
.
(1.20)
Осы теңдеуді дербес туындылар түрінде:
(1.21)
немесе операторлық түрде жазсақ:
(1.22)
Лаплас теңдеуін аламыз.
Лаплас теңдеуіне көптеген есептер, мысалы, электр заряды жоқ кездегі
біртекті, ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы
есеп алып келеді. Бұл есеп жалпы түрде Максвелл теңдеулерімен
сипатталады:
;
(1.23)
.
(1.24)
Бұл жерде электр өрісінің кернеулігінің векторы; - электр
зарядтарының көлемдік тығыздығы; - ортаның диэлектрлік өткізгіштігі;
- электрлік тұрақты шама. (1.23) теңдеу құйындық электр өрістерінің
жоқ екенін көрсетеді.
Егер ток өткізбейтін орта біртекті болса және көлемде электр
зарядтары жоқ немесе тепе-тең қалыпта болса, онда (1.24)-ші теңдеу былайша
жазылады:
.
(1.25)
Электр өрісінің кернеулігі электр потенциалымен мынадай
(1.26)
байланыста [1,3] болғандықтан, (1.26) теңдікті (1.5), (1.15) және (1.16)
өрнектерін ескере отырып, (1.25) теңдікке қойсақ, онда Лаплас теңдеуін
векторлық түрде аламыз:
.
(1.27)
Бұл теңдеу дербес туындылар арқылы былайша:
,
(1.28)
ал операторлық түрде былайша:
(1.29)
жазылады.
1.1.2 ПУАССОН ТЕҢДЕУІ
Жалпы жағдайда Пуассон теңдеуі векторлық түрде былайша жазылады
[1,2]:
.
(1.30)
Бұл жерде - белгісіз функция; - тәуелсіз айнымалылардың
функциялары.
Дербес туындылар арқылы (1.30) теңдеу былайша жазылады:
(1.31)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.32)
Бұл жерде - Наббл операторы:
.
(1.33)
Соңғы (1.30) – (1.32) өрнектерден Пуассон теңдеуі Лаплас теңдеуінің оң жағы
нолге тең болмаған кездегі түрі екенін көреміз. Осы айтылғанды жоғарыда
келтірілген есептерден көрсетейік.
Векторлық түрде (1.13) теңдеумен сипатталатын үшөлшемді
кеңістіктің бетімен қоршалған көлеміндегі жылу таралуының
стационар есебін қарастырайық.
Егер көлемінде жылу көздері бар және орта біртекті болмаса
, онда (1.13) дербес туындылы теңдеу былайша жазылады:
. (1.34)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.35)
Егер орта біртекті болса , онда шамасын (1.34) өрнекте
дербес туындының сыртына, ал (1.35) өрнекте Наббл операторының сыртына
шығарып жібереміз. Нәтижесінде Пуассон теңдеуінің жеке түрін аламыз:
(1.36)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.37)
Егер орта анизотропты болса, басқаша айтқанда, жылуөткізгіштік
коеффициенті жылудың таралу бағытына тәуелді
(1.38)
түріндегі тензор болса, онда (1.34) теңдеу былайша түрленеді [1]:
.
(1.39)
Бұл жерде кеңістігі - ке сәйкес келеді.
Егер тензорында бас диагональдың элементтерінен басқа
элементтер түгел нольге тең болса ( үшін ), онда (1.39) теңдеу
былайша жазылады:
. (1.40)
Диффузия процестері диффундирленетін зат бар болса және орта
біртекті емес болса векторлық түрдегі Пуассон теңдеуімен сипатталады:
.
(1.41)
Бұл теңдеу дербес туындылар арқылы:
(1.42)
немесе, операторлық түрде былайша жазылады:
.
(1.43)
Біртекті орта үшін (1.43) теңдеуін (1.36) сияқты былайша жазуға
болады:
(1.44)
немесе, операторлық түрде:
.
(1.45)
Электр зарядтары бар кезде ток өткізбейтін ортада электр өрісінің
таралуы туралы есеп (1.23), (1.24) теңдеулерімен сипатталады. Векторлық
түрде (1.26) өрнекті ескере отырып былайша жазуға болады:
.
(1.46)
Бұл теңдеуді дербес туындылар түрінде былайша
(1.47)
немесе, операторлық түрде:
(1.48)
жазуға болады.
Біртекті орта үшін (1.47) теңдеу былайша жазылады:
(1.49)
немесе, операторлық түрде
(1.50)
түрінде жазылады.
1.2 ПАРАБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Математикалық физиканың параболалық теңдеулерге алып келетін кейбір
есептерін қарастырайық.
1.2.1 ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІ
Көптеген бейстационар, уақытқа байланысты өзгеретін процестер
парабола тектес теңдеулермен сипатталады. Мысал ретінде жылуөткізгіштіктің
бейстационар теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеу (1.35) теңдеудің
толықтырылған түрі және келесі түрлендірулер нәтижесінде (1.6) Фурье
заңынан алынады [3].
Үшөлшемді кеңістіктің бетімен қоршалған көлеміндегі
жылутаралудың бейстационар есебін қарастырайық.
Уақыттың аралығында бетімен қоршалған көлемінен
бөлініп шығатын жылу мөлшерін былайша есептеуге болады:
.
(1.51)
Бұл жерде уақыттың бір өлшемінде бетімен қоршалған
көлемінен бөлініп шығатын жылудың (1.8) интегралмен есептелетін толық
мөлшері.
Жүйенің тепетеңдіксіз жағдайы қарастырылып отырғандықтан жылудың
келесі өрнекпен анықталатын бір бөлігі көлеміндегі
температураның уақыт бойынша өзгеруіне жұмсалады:
.
(1.52)
Бұл жерде - көлеміндегі температураны бір градусқа өзгертуге
қажетті жылудың толық мөлшері; - уақыттың аралығындағы
көлемінің температурасының өзгеруі.
Жылудың қалған бөлігі көлемді қоршап тұрған ауданы беттен
ағып өтеді:
.
(1.53)
Бұл жерде уақыттың бір өлшемінде беттен ағып өтетін жылудың
(1.7) – ші интегралмен анықталатын толық мөлшері.
Басқаша айтқанда, бейстационар жағдайда мынадай теңдеу орын алады:
.
(1.54)
Жалпы жағдайда біртекті емес орта үшін көлемінің температурасын
бір градусқа өзгертуге қажетті жылудың толық мөлшері келесі өрнекпен
(1.55)
анықталатынын ескерсек, онда (1.55), (1.7) және (1.8) өрнектерін (1.54)
теңдеуге қойып (1.10) Остроградский-Гаусс теоремасын қолдансақ мынадай
қатынас аламыз:
. (1.56)
Бұл жерде - заттың тығыздығы; - заттың меншікті жылу
сиымдылығы.
Соңғы теңдіктегі интеграл астындағы өрнектерді сыртқа шығарып
теңдіктің екі жағын да -ға бөлсек және нәтижесіне (1.6) Фурье заңын
қойсақ, онда жылуөткізгіштіктің бейстационар теңдеуін векторлық түрде жаза
аламыз:
. (1.57)
Бұл теңдеу операторлық түрде былайша жазылады:
. (1.58)
1.3 ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Математикалық физиканың гиперболалық теңдеулерге алып келетін кейбір
есептерін қарастырайық.
1.3.1 ТЕРБЕЛІС ТЕҢДЕУІ
Көптеген физикалық процестер белгілі бір ортада тербелістердің пайда
болуымен байланысты. Мысалы, шектің тербелістері, мембрананың тербелістері,
дыбыс тербелістерінің таралуы және т.б. Олар гипербола текті теңдеулер
түріне жататын тербеліс теңдеуімен сипатталады [1-3].
Мысал ретінде, белгілі бір ортада координатасының бойында
өтетін физикалық шамасының келесі өрнекпен сипатталатын өшпейтін
тербелістерін қарастырайық:
.
(1.59)
Бұл жерде - тербелістердің амплитудасы; - физикалық
шамасының координата бойымен өзгеруінің периодын анықтайтын толқындық сан;
-физикалық шамасының - уақытындағы өзгеру периодын
анықтайтын шеңберлік (циклдық) жиілік; - нүктесіндегі
тербелістің фазасы; - тербелістің уақытына сәйкес бастапқы
фазасы.
Толқындық сан былайша анықталады:
.
(1.60)
Бұл жерде - толқынның ұзындығы.
Шеңберлік жиілік былайша анықталады:
.
(1.61)
Бұл жерде - тербелістер периоды.
Физикалық шамасының координатасы бойынша туындысы:
.
(1.62)
Физикалық шамасының уақыты бойынша туындысы:
.
(1.63)
Физикалық шамасының координатасы бойынша екінші туындысы:
.
(1.64)
Физикалық шамасының уақыты бойынша екінші туындысы:
.
(1.65)
(1.64) және (1.65) өрнектерін (1.59) өрнегімен салыстыру арқылы
мынаны табамыз:
;
(1.66)
.
(1.67)
(1.66), (1.67)-ші өрнектерінен шамасын жекешелеп алып, алынған
нәтижелердің оң жақтарын теңестірсек толқындық теңдеу деп аталатын мынадай
дербес туындылы теңдеу аламыз:
.
(1.68)
Қарапайым, және болатын жағдай үшін толқындық теңдеу
былайша жазылады:
.
(1.69)
Алынған нәтижені үш координатаға қатысты қарастырсақ, толқындық
теңдеудің операторлық жазылуы былайша болады:
.
(1.70)
Өшпелі тербелістер кезінде амплитуда координата мен уақыттың
функциясы болады да (1.68)-шы теңдеудегі коэффициенттерінің түрлері
күрделі болып кетеді.
1.4 ШЕКАРАЛЫҚ ЖӘНЕ БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Жоғары математика курсынан әдетте дифференциалдық теңдеулердің жалпы
жағдайда шексіз көп шешімдері болатыны белгілі. Себебі, дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау кезінде пайда болатын белгісіз константалардың кез
келген мәндері берілген дифференциалдық теңдеулерді қанағаттандырады [3].
Математикалық физика есептерін шешу белгілі бір физикалық шамалардың
координаталар мен уақытқа тәуелділігін анықтаумен байланысты. Алынған шешім
әрқашан жалғызмәнді, шекті және үзіліссіз болу керек [4]. Басқаша айтқанда,
математикалық физиканың кез келген есебі жалғыз ғана шешімді (егер ол бар
болса) табуды талап етеді. Сондықтан физикалық есептің математикалық
қойылуы ізделіп отырған функцияны қарастырылып отырған аймақтың ішкі
нүктелерінде сипаттайтын негізгі теңдеулермен бірге (дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулер) қосымша теңдеулерді де қамтуы керек. Қосымша
теңдеулер (дифференциалдық немесе алгебралық) белгісіз функцияның уақыттың
әрбір сәтіндегі шекаралық мәндерін және оның уақыттың алғашқы сәтіндегі
қарастырылып отырған аймақтың ішкі нүктелеріндегі мәндерін сипаттайды.
Аталған қосымша теңдеулер есептің шекаралық және бастапқы шарттары деп
аталады.
1.4.1 ШЕКАРАЛЫҚ ШАРТТАР
Кезкелген аймағында математикалық физика теңдеуімен
сипатталатын белгілі бір есепті шешу қажет болсын делік. Есептің жалғыз
ғана шешімін табу үшін шекаралық шарт белгілі болу керек, басқаша айтқанда,
белгісіз айнымалылардың аймағының шекаралық бөлігіндегі
мәндерін нақты теңдеулермен беру керек.
Егер аймағы үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген көлем болса, онда
берілген көлемді қоршап тұрған тұйық бет болады. Егер аймағы
екіөлшемді кеңістіктегі кезкелген бет болса, онда берілген бетті
қоршап тұрған тұйық контур болады. Ең соңында, егер аймағы бірөлшемді
кеңістіктегі кезкелген кесінді болса, онда берілген кесіндінің екі
шеткі нүктесі болады.
Шекаралық шарттарды беретін теңдеулердің түріне қарап оларды бірінші
текті (Дирихле шарттары), екінші текті (Нейман шарттары) және үшінші текті
деп бөледі [3].
Бірінші текті шекаралық шарттар немесе Дирихленің шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
(1.71)
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функция; -
шекарасында берілген кезкелген функция; - шекаралық нүктенің
кеңістіктегі координаталары (мысалы, үшөлшемді кеңістік үшін );
- уақыт.
Егер жылуөткізгіштік есебі қарастырылып отырса, онда бірінші текті
шекаралық шарт шекарасындағы температураны береді. Ток өткізбейтін
ортадағы элетростатикалық өрістің таралуы есебінде бірінші текті шекаралық
шарт шекарасындағы электр потенциалын береді және т.б.
Екінші текті шекаралық шарттар немесе Нейманның шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
(1.72)
Бұл жерде - шекарасының ішкі нормалі.
Басқаша айтқанда, Нейман шарттары шекарадағы ағынды, дәлірек айтсақ,
ағын векторының шекараға түсетін нормальға проекциясын береді. Мысалы,
жылуөткізгіштік есептерінде екінші текті шекаралық шарттар жылу ағынын
береді, ал ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы
есепте – электр өрісінің кернеулігінің векторының шекараға түсетін
нормальға проекциясын береді және т.б.
Үшінші текті шекаралық шарттар Дирихле мен Нейман есептерінің
жалпыланған түріне жатады және былайша жазылады:
болғанда . (1.73)
Бұл жерде - координаталар мен уақыттың белгілі функциялары. Мысалы,
жылу есептерінде үшінші текті шекаралық шарттар шекарадағы конвективті жылу
алмасу мен сәулелік жылу алмасуды беруге пайдаланылады.
Ньютон заңына сәйкес, қатты дененің бетінен уақыттың бір өлшемінде
газды немесе сұйық ортаға берілетін немесе олардан алынатын жылу ағынынының
тығыздығы былайша анықталады:
.
(1.74)
Бұл жерде - конвективті жылу алмасу коэффициенті; - қатты
дененің бетінің температурасы; - қоршаған ортаның температурасы [4].
Шекараға нормальдың бойындағы жылу ағынының тығыздығына (1.6) Фурье
заңын қолдансақ және (1.74) және (1.6) теңдеулерінің оң жақтарын өзара
теңестірсек үшінші текті шекаралық шарттарды аламыз:
;
(1.75)
.
(1.76)
Больцман заңына сәйкес, қатты дененің бетінен уақыттың бір өлшемінде
сәуле шашу арқылы бөлінетін жылу ағынынының тығыздығы былайша анықталады:
.
(1.77)
Бұл жерде -абсолют қара дененің сәуле шашу коэффициенті; -
салыстырмалы сәуле шашу қабілеті немесе дененің қаралық дәрежесі [3].
Шекараға нормальдың бойындағы жылу ағынынының тығыздығына (1.6) Фурье
заңын қолдансақ және (1.77), (1.6) теңдеулерінің оң жақтарын өзара
теңестірсек үшінші текті шекаралық шарттарды аламыз:
;
(1.78)
.
(1.79)
(1.74)-(1.79) теңдеулерде температура дененің бетіндегі
нүктелердің координаталарының функциясы.
Ескерте кету керек, әрбір айнымалы үшін шекаралық шарттардың саны
дифференциалдық теңдеулердегі туындылардың ретімен анықталады [5]: бірінші
ретті теңдеулер үшін – бір шекаралық шарт, екінші ретті теңдеулер үшін –
екі, үшінші ретті теңдеу үшін – үш шекаралық шарт және т.б.
1.4.2 БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Бейстационар, уақыт бойынша өзгеріп отыратын физикалық процестерді
сипаттайтын есептердің жалғыз ғана шешімін табу үшін шекаралық шарттармен
бірге бастапқы шарттарды да беру керек. Бастапқы шарттар айнымалылардың
немесе олардың градиенттерінің қарастырылып отырған аймағының
шекаралық нүктелерінен бөлек ішкі нүктелеріндегі уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәндерін қамтиды :
болғанда ;
(1.80)
болғанда ;
(1.81)
болғанда . (1.82)
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функцияның уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәні; - координаталардың белгілі функциялары.
Шекаралық шарттар сияқты, бастапқы шарттардың саны да дифференциалдық
теңдеулердегі уақыт бойынша туындылардың ең үлкен ретімен анықталады [4].
2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІ
Шекті элементтер әдісі физика мен техникада кездесетін
дифференциалдық теңдеулерді сандық әдіспен шешуге арналған. Бұл әдіс
космостық зерттеулерден туған есептерді шешуге байланысты пайда болған
(1950 ж). Алғаш рет ол Тернердің, Клуждың, Мартин мен Топптың еңбектерінде
жарық көрді [4-6]. Осының артынан әдісті құрылыс механикасы мен тұтас
денелердің механикасы есептерінде қолданған бірқатар еңбектер пайда болды.
Әдістің теориялық негізделуіне 1963 жылы Мелош [4] көп еңбек сіңірді. Ол
шекті элементтер әдісінің осыған дейін кеңінен таралған Рэлей-Ритц әдісінің
бір варианты екенін дәлелдеді. Құрылыс механикасында шекті элементтер әдісі
дене деформацияланғанда онда жинақталатын потенциалдық энергияны минималдау
арқылы есепті тепетеңдіктің сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіне алып
келеді.
Шекті элементтер әдісінің функционал деп аталатын интегралдық шаманы
минималдау процедурасымен байланысы әдісті техниканың басқа салаларындағы
көптеген есептерді шешуге кеңінен пайдалануға мүмкіндік берді. Әдіс Лаплас
немесе Пуассон теңдеулерімен сипатталатын есептерді шешуге қолданылды. Бұл
теңдеулерді шешу де белгілі бір функционалдарды минималдаумен байланысты.
Алғашқы басылымдарда [4] шекті элементтер әдісімен жылу таралу есептері
шешіліп жүрді. Кейіннен әдіс гидромеханиканың есептеріне, атап айтқанда,
қуысты ортада сұйықтардың ағу процестерін зерттеуге қолданыла бастады.
Шекті элементтер әдісін қолдану саласының кеңуіне құрылыс
механикасында, жылу таралу процестерінде, гидромеханикада қолданылатын
теңдеулер Галеркин әдісімен немесе ең кіші квадраттар тәсілімен оңай
алынатыны дәлелденуі көп ықпал етті [4]. Бұл фактор әдісті теориялық
жағынан негіздеуге көмектесіп, оны кез келген дифференциалдық теңдеулерді
шешуде қолдануға мүмкіндік берді. Айта кету керек, кеңірек жұргізілген
теориялық зерттеулер физикалық есептерді шешуде вариациялық принциптерді
барлық уақытта қолданудың қажеті жоқ екенін дәлелдейді.
Шекті элементтер әдісі құрылыс механикасының есептерін шешуге
арналған сандық әдістен барлық дифференциалдық теңдеулерді, немесе олардың
жүйелерін шешуге арналған жалпы әдіске айналды. Бұл прогреске бірнеше
онжылдық аумағында есептеу машиналарының күрт дамуына, ұшатын аппараттарды
дәлірек зерттеу қажеттігіне, космостық зерттеулердің кеңінен дамуына
байланысты қол жетті. Қазіргі кезде шекті элементтер әдісі самолеттер,
ракеталар жасау саласында, атом реакторларын жобалауда және т.б. күрделі
салаларда кеңінен қолданылады.
2.1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ КОНЦЕПЦИЯСЫ
Шекті элементтер әдісінің негізгі идеясы кезкелген температура, қысым
және жылжу сияқты үзіліссіз шаманы ішкі аймақтардың шекті санында
анықталатын бөлшекті-үзіліссіз функциялар жиынынан тұратын дискретті
модельмен аппроксимациялауда.
Бөлшекті-үзіліссіз функциялар үзіліссіз шаманың қарастырылып отырған
аймақтың жалпы саны шектелген нүктелеріндегі мәндері арқылы анықталады
[4].
Жалпы жағдайда үзіліссіз шама белгісіз, оны аймақтың жалпы саны
шектелген белгілі бір ішкі нүктелерінде анықтау қажет. Дискретті модельді
құру үшін алғашында үзіліссіз шаманың сандық мәндері аймақтың ішкі
нүктелерінде шартты түрде анықталған деп алынады. Одан кейін жалпы жағдайға
көшуге болады. Сонымен, үзіліссіз шаманың дискретті моделін құру мынадай
ретпен орындалады:
- қарастырылып отырған аймақта жалпы саны шектелген нүктелер белгіленеді.
Бұл нүктелерді түйіндік нүктелер деп, немесе түйіндер деп атайды;
- үзіліссіз шаманың әрбір түйіндегі мәні айнымалы және оларды анықтау
керек;
- үзіліссіз шаманың анықталу аймағы жалпы саны шектелген кіші аймақтарға
бөлшектеледі. Бұл кіші аймақтарды элементтер деп атайды. Көрші тұрған
элементтердің ортақ түйіндері болады және элементтердің толық жиыны
берілген аймақты жуықтап аппроксимациялайды;
- үзіліссіз шама әрбір элемент ішінде полином арқылы аппроксимацияланады.
Полином үзіліссіз шаманың түйіндердегі шартты түрде белгілі деп алынған
мәндері арқылы анықталады.
Шекті элементтер әдісінің негізгі концепциясын келесі мысал арқылы
көрнекі түсіндіруге болады. Анықталу аймағы осінің бойынан алынған
кесіндісі болатын үзіліссіз шамасы қарастырылсын (2.1. сурет).
осінің бойында бес нүкте белгіленіп, номерленген. Бұл түйіндік
нүктелерді өзара бірдей қашықтықта орналастыру шарт емес. Нүктелер санын
көбейтуге болады, бірақ әдістің негізгі идеясын түсіндіруге осы бес
нүктенің өзі жеткілікті. Үзіліссіз шамасының әрбір түйіндегі мәні
белгілі деп есептелінсін. Бұл мәндер 2.2б суретте көрсетілген және
түйіндердің номерлеріне сәйкес деп белгіленген.
Аймақты элементтерге бөлудің екі түрлі тәсілі бар. Мысалы, әрбір
элементті екі түйінмен шектеуге болады (2.3а сурет). Бұл кезде төрт элемент
пайда болады. Немесе, егер кесінді екі элементке бөлінсе, онда әрбір
элементтің үш түйіні болады (2.3б сурет). Элементке сәйкес полином
функциясының түйіндердегі мәндері арқылы анықталады. Аймақты төрт элементке
бөлген жағдайда әрбір элементте екі түйін болады да, элементтің функциясы
айнымалысына қатысты сызықтық функция болады (кезкелген түзу екі
нүкте арқылы анықталады). функциясының толық аппроксимациясы
әрқайсысы жеке элементте анықталған төрт бөлшекті-сызықтық функциялардан
тұрады (2.4а сурет).
Сурет 2.1
Сурет 2.2
а
б
Сурет 2.3
а
б
Сурет 2.4
Аймақты бөлудің екінші тәсілімен кесіндіде әрқайсысының үш түйіні бар
екі элемент пайда болады да, әрбір элементтің функциясы екінші дәрежелі
полиноммен беріледі. Бұл кезде функциясының толық аппроксимациясы
әрқайсысы жеке элементте анықталған екі бөлшекті- үзіліссіз квадраттық
функциялардың жинағынан тұрады (2.4б сурет).
Бұл жуықтау бөлшекті-үзіліссіз жуықтау болатыны даусыз, себебі үшінші
түйінде бұл функциялардың осы түйіндегі жанамаларының бұрылу бұрыштары
әртүрлі болуы мүмкін.
Сурет 2.5
Жалпы жағдайда температураның таралу заңдылығы белгісіз болғандықтан
температураның белгілі бір нүктелердегі мәндерін анықтау қажет. Дискретті
модельді құру әдісі бұрынғыша сақталады, тек бұл жолы қосымша қадам пайда
болады. Тағы да түйіндер жиыны анықталады, осы түйіндердегі температураның
мәндері бұл жолы айнымалы деп алынып, оларды анықтау қажеттілігі
туады. Зерттеу аймағы әрқайсысында элементтің сәйкес функциясы анықталған
элементтерге бөлінеді. Енді функциясының түйіндік мәндерін
температураның шын мәндеріне мейлінше жақындату үшін есептің физикалық
мағынасымен байланысқан белгілі бір шаманы минималдау қажет. Егер жылу
таралу есебі қарастырылып отырса, онда сәйкес дифференциалдық теңдеумен
байланысты функционал минималданады. Минималдау процесі функциясының
түйіндік мәндеріне қатысты құрылған сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін
шешуге алып келеді.
Екі-, немесе үшөлшемді аймақта анықталған үзіліссіз шаманың дискретті
моделін құрған кезде де шекті элементтер әдісінің негізгі концепциясы
сақталады. Екі өлшемді жағдайда элементтер айнымалыларына тәуелді
функциямен сипатталады. Бұл кезде көбінесе үшбұрыш немесе төртбұрыш
түріндегі элементтер қолданылады.
Сурет 2.6
Бұл кезде элементтердің функциялары жазық (2.5 сурет), немесе қисық
(2.6 сурет) беттермен көрсетіледі. Егер элемент үшін түйіндік нүктелердің
ең аз саны пайдаланылса, онда элементтің функциясы жазық бетпен
көрсетіледі. Демек, үшбұрышты элемент үшін үш түйін, ал төрт бұрышты
элемент үшін төрт түйін алынады (2.5 сурет).
Егер қолданылатын түйіндер саны минималдық шамадан артық болса, онда
элементтің функциясына қисық бет сәйкес келеді. Оның үстіне элементтердің
артық саны шекарасы қисық сызықты элементті қарастыруға мүмкіндік береді.
Екі өлшемді үзіліссіз шаманың толық аппроксимациясы бөлшекті-
үзіліссіз беттердің жиыны түрінде беріледі. Бұл беттердің әрқайсысы
функциясының сәйкес элементтің түйіндеріндегі мәндері арқылы анықталады.
Шекті элементтер әдісінің маңызды аспекті оның элементтер жинағы
ішінен кез келген элементті бөліп алып қарастыру мүмкіндігінде. Бұл аспект
әрбір элементтің тек өзіне тән қасиеттерін ескеруге мүмкіндік береді, ал
пайдаланылатын түйіндер санын еркін таңдау мүмкіндігі, қарастырылып отырған
аймақтың күрделі геометриясын ескеруді жеңілдетеді. Ескерте кететін жағдай,
2.5 және 2.6 суреттерде келтірілген кеңістік беттер функциясының
кеңістігіндегі қарастырылып отырған элементке сәйкес графиктер
(суреттің жоғарғы бөлігі), оны элемент функциясы деп атайды, ал графиктің
жазықтығындағы проекциясы (суреттің төменгі бөлігі) аймақтың сәйкес
элементі екенін ұмытпаған жөн.
2.2 ӘДІСТІҢ АРТЫҚШЫЛЫҚТАРЫ МЕН КЕМШІЛІКТЕРІ
Қазіргі кезде шекті элементтер әдісінің қолдану аймағы күн санап
кеңейіп келеді. Ол дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын барлық
физикалық құбылыстарды қамтиды. Шекті элементтер әдісінің кең қолданылуына
себеп болып отырған оның мынадай ең маңызды артықшылықтары [4]:
1. Көрші элементтердің қасиеттерінің бірдей болуы шарт емес. Бұл жағдай
шекті элементтер әдісін әртүрлі материалдардан тұратын конструкцияларда
қолдануға мүмкіндік береді.
2. Қисықсызықты аймақ тіксызықты элементтермен жуықтап аппроксима-
цияланады, немесе қисықсызықты элементтермен дәлме дәл аппроксимацияланады.
Демек, геометриясы өте күрделі аймақтарды қарастыруға болады.
3. Элементтердің өлшемдерін өзгертіп отыруға болады. Демек, қажетіне қарай
ірі немесе майда элементтер қолданылады.
4. Шекті элементтер әдісінің көмегімен үзілісті шекаралық шарттарды,
немесе аралас шекаралық шарттарды да ескеруге болады.
5. Жоғарыда келтірілген артықшылықтар белгілі бір класқа жататын есептерге
ортақ есептеу программасын құруға мүмкіндік береді. Осы класқа жататын жеке
есепті шешу үшін ортақ программаны есептің ерекшелігіне қарай шамалы ғана
өзгертсе болғаны.
Шекті элементтер әдісін бұдан да кеңірек қолдануға кедергі келтіретін
негізгі факторлар - есептеу программаларының көлемділігі және есептеу
техникасын қолдану қажеттілігі. Шекті элементтер әдісімен құрылған
алгоритмдерді ең қарапайым есептер үшін де қолмен есептеу мүмкін емес. Тағы
бір айта кететін жай, шекті элементтер әдісін толық игеру үшін зерттеушінің
ғылымның көп салалаларынан, атап айтқанда: физикадан, механикадан, сандық
әдістерден, дифференциалдық теңдеулерден, вариациялық есептеулерден,
сызықтық алгебрадан, матрицалық алгебрадан және т.б. білім салаларынан
жеткілікті деңгейде білімі болуы шарт. Сонымен қатар зерттеуші кезкелген
алгоритмді белгілі бір алгоритмдік тілге аудара білуі қажет.
2.3 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ ЭТАПТАРЫ
Физикалық есептің қойылуынан бастап одан шекті элементтер әдісімен
нақты сандық нәтижелер алғанға дейінгі операциялар мынадай ретпен орындалуы
керек [4]:
1. Аймақты дискреттеу - түйіндік нүктелер мен элементтерді тағайындау.
2. Жеке элемент үшін элемент функциясын анықтау.
3. Зерттеліп отырған бүкіл аймақ үшін жекеленген элемент функцияларынан
бөлшекті-үзіліссіз функция құрастыру.
4. Физикалық есептің мазмұнына сәйкес алынған функционалды
минималдау арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін құру.
5. Алынған теңдеулер жүйесін тікелей немесе итерациялық әдістердің
бірімен түйіндерге қатысты шешу.
6. Элементте ізделіп отырған шамаларды есептеу.
2.4 АЙМАҚТЫ ДИСКРЕТТЕУ
Шекті элементтер әдісімен әрбір есепті шешу әрқашан зерттелетін
аймақты шекті элементтер деп аталатын шағын аймақтарға бөліп тастаудан
басталады. Ескере кететін жағдай, аймақты шекті элементтерге бөлудің
теориялық түрде негізделген жалпы нұсқау, ережесі жоқ.
Аймақты (денені) дискреттеу кезінде шекті элементтердің жалпы саны,
өлшемдері және формалары беріледі. Осы кезде мынадай бір ерекше жағдай
туады. Есептің шешімін дәлірек алу үшін элементтердің неғұрлым кіші болғаны
керек. Екінші жағынан, есептеу жұмыстарының көлемін қысқарту үшін
элементтерді неғұрлым ірі қылып алу тиімді. Мұндайда көбінесе компромистік
шешім қабылданады. Аймақтың ізделіп отырған параметрдің өзгеру градиенті
жоғары болады деп күтілетін бөлігінде элементтерді кішірейтіп, қалған
бөлігінде ірі элементтер қолданылады. Мұның бәрі зерттеушінің шеберлігіне,
есептеу тәжірибесіне, интуициясына байланысты. Дегенмен, аймақты
дискреттеудің кейбір жалпы қағидалары мен тәсілдеріне тоқталып өту қажет.
Есептің түріне қарай әртүрлі шекті элементтер қолданылады. Элементтің
түрі зерттеліп отырған аймақтың геометриясына ғана емес, есептің мақсатына
да байланысты таңдалады.
3 ЖЕР АСТЫ СУЛАРЫНЫҢ АҒЫСЫН ЭЛЛИПС ТЕКТІ
ТЕҢДЕУЛЕР АРҚЫЛЫ ЗЕРТТЕУ
Идеалды сұйықтың құйынсыз (ламинарлық) ағысы плотиналардың бұрыштарын
айналып ағу, самолеттердің қанаттарының көтергіш беттерін айналып ағу және
т.б. сияқты көптеген маңызды физикалық есептерді шешуде қолданылатын
болғандықтан, кеңінен қарастырылады. Идеалды құйынсыз ағысты нақты бір
физикалық процестің жуықтап алған моделі деп қарастыру керек. Бұл моделде
сұйық пен жанасатын бет арасында үйкеліс болмайды деп (идеалды сұйық) және
ағатын сұйықтың бөлшектері айналу қозғалысына қатыспайды деп (құйынсыз
ағыс) қабылданған [4].
Жер асты суларының ағысын да құйынсыз ағыс моделін қолданып белгілі
бір дәлдікпен зерттеуге болады. Жер асты суларының ағысын зерттеу
күнделікті өмірде маңызы зор мәселе, себебі көптеген аудандарды сумен
толық, немесе жартылай қамтамасыз ету осы зерттеулердің нәтижесіне тығыз
байланысты шешіледі. Сол сияқты дамбалардан және олардың астымен ағып
кететін су мөлшері, дренаждық каналдардың табанында жоғалтылатын су мөлшері
де осы теория негізінде есептеледі.
Құйынсыз ағыс теориясына негізделген есептердің бәрін де шекті
элементтер әдісімен шешуге болады, себебі мұндай есептер квазигармоникалық
эллипс текті теңдеумен сипатталады.
3.1 ЖЕР АСТЫ СУЛАРЫ АҒЫСЫН ЗЕРТТЕУ ЕСЕПТЕРІНДЕ
ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН ҚОЛДАНУДЫҢ НЕГІЗГІ
АЛГОРИТМДЕРІ
Тұйық аймақтың сулы қабатындағы жер асты суларының горизонтал
жазықтықтағы ағысын сипаттайтын дербес туындылы дифференциалдық теңдеу
мынадай түрде беріледі [4]:
.
(3.1)
Бұл жерде , - және остері бағытындағы фильтрация
коэффициенттері, өлшемі м3(сөтке(м2), немесе мсөтке; - сулы
қабаттың табанынан бастап метрмен өлшенетін пьезометрлік қысым; -
судың нүктелік шығыны (м3сөтке). Егер сулы қабаттан су сорылып алынатын
болса, онда теріс таңбалы болады.
Шекаралық шарттар
(3.2)
және (немесе)
(3.3)
түрінде беріледі. Бұл жерде зерттеу аймағының шекарасы арқылы ағып
өтетін су мөлшерін сипаттайтын шама, өлшемі м3сөтке.
Келтірілген дифференциалдық теңдеулер жылуөткізгіштік есебінің,
немесе бұралу деформациясын анықтау есебінің теңдеулеріне ұқсас, сондықтан
бұл жерде жылуөткізгіштік есебіндегі матрицалық аппаратты қолдануға болады.
Оның үстіне, құрамында конвективтік жылу алмасуды ескеретін қосылғышы
болмағандықтан, элементтегі су алмасу процесін сипаттайтын қатынастар жылу
алмасу есептеріндегідей күрделі болмайды.
Шекті элементтер әдісімен (3.1) теңдеуді шекаралық (3.2) және (3.3)
шарттарды ескеріп шешу, бірінші бөлімде атап өтілгендей, келесі
функционалдың минимумын табу есебіне алып келеді:
.
(3.4)
(3.4)-ші функционал белгісіз функциясының түйіндік мәндерінің
жиынында минималдану керек. Ол үшін (3.4)-ші функционал құрамындағы
интегралдарды есептемей тұрып минималданады. Ескерте кету керек,
минималдауды интегралдарды есептеп болғаннан кейін де жүргізуге болады,
бірақ бұл жағдайда жекелеген есептерде элементтердің өзіндік қасиеттерін
ескерудің алгоритмін құру процедурасы қиындап кетеді [4].
Минималдау процессі (3.4)-ші функционалды түрлендіруден басталады. Ол
үшін жаңадан екі матрица енгізіледі [4]:
(3.5)
және
.
(3.6)
Енді
екенін ескеріп (3.4)-ші қатынасты былайша жазуға болады:
. (3.7)
Үзіліссіз функциясын элемент ішінде интерполяциялауға сызықтық
полином таңдалғандықтан белгісіз функция бүкіл аймақта үзіліссіз бола
алмайды, сондықтан ол жекелеген элементтер ішінде анықталатын
функцияларының жиынымен айырбасталады. Олай болса (3.7)-ші өрнектегі
интегралдар жеке элементтерде есептелетін интегралдарға бөлінеді:
. (3.8)
Бұл жерде - элементтердің жалпы саны. Соңғы қатынас символдық түрде
былайша жазылады:
.
(3.9)
Бұл жерде - жеке элементтің функционалындағы үлесі.
функционалын ізделіп отырған функциясының
түйіндердегі мәндеріне қатысты минималдағанда мынадай қатынас алынады:
.
(3.10)
(3.8)-ші қатынастардағы интегралдар функцияның түйіндік
мәндері арқылы өрнектелгенше (3.10) қатынастағы дербес туындылар
анықтала алмайды. Келесі
(3.11)
қатынасты ескере отырып (3.5)–ші өрнекті есептеуге болады. Алынған нәтиже
(3.11) шамамен бірге (3.8)-ші қатынасқа қойылады. Бұл жерде
элементтегі түйіндер саны.
векторы келесі өрнекпен анықталады:
(3.12)
Немесе
.
(3.13)
Бұл жерде градиенттер матрицасы деп аталады. Ол пішін функцияларының
координаталар бойынша туындыларының мәндерінен тұрады. Матрицаның
элементтері әзірше белгісіз, себебі пішін функциялары әлі анықталған жоқ.
(3.11) және (3.13) теңдіктерді қолдану (3.8)-ші өрнектегі элемент ішіндегі
интегралдарды былайша жазуға мүмкіндік береді:
. (3.14)
Бұл жерде мен белгілі шамалар. Олар элемент ішінде өзгеруі
мүмкін болғандықтан интеграл астына енгізілген. (3.14)-ші өрнекті
бойынша дифференциалдау үшін матрицалық қатынастарды дифференциалдау
ережелері қолданылады. (3.14)-ші өрнекке дифференциалдау операциясын
қолдансақ:
,
,
. (3.15)
Жеке элементтің қосындысындағы үлесі мынаған тең:
.
(3.16)
Соңғы интегралдар жинағын ықшамдап жазсақ:
.
(3.17)
Бұл жерде
(3.18)
және
. (3.19)
Сызықтық ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz