Жылуөткізгіштік теңдеуін нүктелік жылу көзін ескеріп шекті элементтер әдісімен шешу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Қожа Ахмет Ясауи атындағы халықаралық қазақ-түрік университеті

Математика кафедрасы

Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі
_______профессор Ә.С.Мұратов

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Жылуөткізгіштік теңдеуін нүктелік жылу көзін ескеріп
шекті элементтер әдісімен шешу

050109 – Математика мамандығы бойынша

Орындаған
Беристемова Г.

Ғылыми жетекшісі
тех.ғ.к., доцент
Айтбаев Қ.

Түркістан 2013

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 3
1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН ТҰТАС ЖАЗЫҚ ДЕНЕДЕ
ҚАЛЫПТАСАТЫН ТЕМПЕРАТУРАЛЫҚ ӨРІСТІ
ЗЕРТТЕУГЕ ҚОЛДАНУ 6
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... .
1.1 Стационарлық жылуөткізгіштік есебінің теориялық
негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
... .
1.2 Жылуөткізгіштіктің жазықтықтағы есебін шекті элементтер әдісімен
шешу 13
алгоритмы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
1.3 Дененің ішкі аймағында орналасқан жылу көздерінің әсерін ескері
алгоритмы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
... ... ... ... ..
1.4 Функционалдағы интегралдарды есептеудің арнайы
тәсілдері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...25
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..
2 ТҰТАС ЖАЗЫҚ ДЕНЕДЕГІ СТАЦИОНАРЛЫҚ ЖЫЛУ АЛМАСУ ПРОЦЕСІН ШЕКТІ
ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН ЗЕРТТЕУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
37
2.1 Стационарлық жылуалмасу процесінің математикалық моделі және
жылуөткізгіштік есебінің қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... .. 37
2.2 Gulbanu есептеу программасының 39
блок-схемасы ... ... ... ... ... ... .
2.3 Изотермалар сызатын арнайы ИЗОЛИНИЯЛАР
программасының жұмысына түсініктеме 40
... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3 ТҰТАС ДЕНЕДЕГІ СТАЦИОНАРЛЫҚ ТЕМПЕРАТУРАЛЫҚ ӨРІСТІҢ СИПАТТАМАСЫ
ЖӘНЕ MATLAB ЖҮЙЕСІНЕ
ШОЛУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 45
3.1 Зерттеу аймағындағы температуралық өрістің ішкі жылу көздеріне
тәуелділігін 45
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ..
3.2 MATLAB программалау жүйесіне қысқаша шолу ... ... ... ... ... ... 52
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...59
... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 61
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ...

КІРІСПЕ

Күнделікті өмірде қоршаған орташа үздіксіз жүріп жататын жылу алмасу
құбылыстарын көптеп бақылауға болады. Олардың даму заңдылықтарын анықтау
арқылы мұндай процестерді тиімді басқаруға, адам қажеттілігіне жаратуға
болады. Аталған процестерге, мысалы, қысқы айларда ғимараттарды жылыту
кезіндегі, немесе, әртүрлі жұмыстар атқаратын қондырғыларды суытуға
байланысты орын алатын және тағы басқа процестер жатады.
Дипломдық жұмыста тұтас жазық денеде орын алатын стационарлық жылу
алмасу процесін ішкі жылу көздерінің әсерін ескеріп зерттеу жоспарланған.
Аталған процесс нәтижесінде денеде қалыптасатын температуралық өрістің
деңгейіне әсер ететін сыртқы факторларды анықтау, олардың әсерін адамның
қажеттігіне ыңғайлы деңгейде ұстап тұру мәселелерін шешу қазіргі таңда
кезек күттірмейтін проблемаға айналып отыр. Қазақстан Республикасының
егемендік еліміздің бас қаласы Астанада өтетін EXPO-2017 көрмесіне ұсынған
“Болашақтың энергетикасы” тақырыбын таңдауы кездейсоқ емес. Бүгінгі таңда
адамзат алдында тұрған ең маңызды мақсаттардың бірі – энергия көздерін
ұтымды пайдаланып, олардың қоршаған ортаға келтіретін зиянын мейлінше
азайту.
Математикалық физиканың көптеген есептерін тікелей аналитикалық жолмен
шешу мүмкін емес екенін күнделікті өмір тәжірибесі көрсетіп отыр. Әсіресе
зерттеу аймағының геометриясы күрделі болған кезде, немесе, зерттеу аймағы
біртекті болмаған жағдайда және ол көпконтурлы болған кезде аналитикалық
тәсілдер дәрменсіз болып қалады. Мұндай жағдайда вариациялық принциптердің
біреуін қолданып арнайы функционал құру қажет, және сол функционалды
минималдауды сандық әдістердің біреуімен орындаудан басқа жол жоқ. Жұмыста
эллипс текті дербес туындылы дифференциалдық теңдеумен сипатталатын
процеске мысал ретінде төртбұрышты жазық денедегі жылу таралу процесі
қарастырылады. Жазық денедегі температуралық өрістің қалыптасуына қоршаған
ортаның және ішкі жылу көздерінің әсері шекті элементтер әдісінің көмегімен
жанжақты зерттеледі.
Зерттеу аймағындағы температуралық өріс жалпы жағдайда эллипс тектес
дербес туындылы дифферециалдық теңдеумен сипатталады және оны шешу үшін
математикалық физиканың аралас есебі қойылады. Арнайы құрылған функционалды
минималдау шекті элементтер әдісімен орындалады. Есептің сандық нәтижесін
алу үшін есептеу программасы MATLAB программалау жүйесінде құрылған және
есептің шешімі графикалық әдіспен көрсетілген.
Жұмыстың идеясы:
- тұтас денелерде қалыптасатын температуралық өрісті зерттеудің
теориялық негіздерін игеру;
- төрбұрышты жазық денедегі температуралық өрісті анықтау есебінің
математикалық қойылымын негіздеу;
- зерттеу аймағында қалыптасатын температуралық өрістің деңгейіне
қоршаған ортаның және ішкі жылу көздерінің әсерін шекті элементтер
әдісімен зерттеу.
Зерттеулердің мақсаты: көпқабатты тұтас денедегі температуралық өрісті
вариациялық приципті қолданып анықтаудың әдістемелік негізін жасау және
денедегі температуралық өрістің қалыптасуына сыртқы орта мен ішкі жылу
көздерінің әсерінің негізгі заңдылықтарын табу.
Қойылған мақсатқа сәйкес диссертациялық жұмыста келесі есептер
шешіледі:
- тұтас денелерде қалыптасатын температуралық өрісті зерттеудің теориялық
негіздері келтіріледі;
- төртбұрышты тұтас денедегі температуралық өрісті ішкі жылу көздерінің
әсерін ескеріп анықтау есебінің математикалық қойылымы негізделеді;
- зерттеу аймағында қалыптасатын температуралық өрістің деңгейіне қоршаған
орта мен ішкі жылу көздерінің әсері шекті элементтер әдісімен зерттеліп,
нәтижесі графикалық түрде келтіріледі;
- алынған нәтижелерге талдау жасалынып, оларды қолдану жолдары көрсетіледі.
Төртбұрышты зерттеу аймағында қоршаған ортаның температурасы мен ішкі
жылу көздерінің әсерінен қалыптасатын температуралық өрісті теориялық
жолмен анықтау есебі көптеген инженерлік есептерде кеңінен қолданылып
жүрген шекті элементтер әдісімен шешіледі. Есептің алгоритмын компьютерде
жүзеге асыру үшін MATLAB жүйесінде құрылған есептеу программасы
пайдаланылады.
Қорғауға шығарылған ғылыми тұжырымдар мен нәтижелер:
- есептеу аймағының сыртқы бетіндегі шекаралық шарттарды теориялық жолмен
негіздеу әдістері;
- есептеу аймағының ішкі нүктелеріндегі жылу көздерінің әсерін теориялық
жолмен ескеру әдістері;
- зерттеу аймағында қалыптасатын стационар температуралық өрістің
сипаттамасы;
- қойылған есептің негізгі мақсаты орындалу үшін таңдалатын ішкі жылу
көздерінің қуатын анықтау.
Диссертациялық жұмыс кіріспеден, үш бөлімнен тұратын негізгі мәтіннен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде тұтас денеде үздіксіз жүріп жататын жылу алмасу
процестерін зерттеудің тарихына қысқаша шолу жасалынған. Фурье мен Ньютон
сипаттаған негізгі заңдылықтардан бастап жылуөткізгіштіктің дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулерін алуға дейінгі тарихи жол сарапталынған.
Бөлімнің екінші жартысында эллипс текті дифференциалдық теңдеулерді
вариациялық принциптерді қолданып шешудің жолдарына талдау жасалынған.
Тұтас дененің ішкі аймағында орналасқан нүктелік жылу көздерінің
температуралық өрістің қалыптасуына әсерін зерттеу алгоритмы келтірілген.
Екінші бөлімде диссертациялық жұмыста қарастырылатын жылуалмасу
есебінің математикалық моделі құрылған. Ол үшін алдымен зерттеу аймағының
шекаралары тағайындалып, шекаралық шарттар негізделген. Зерттеу аймағының
ішкі бөлігінде орналасқан жылу көздерін орналастыру схемасы берілген.
Бөлімнің соңында стационар температуралық өрісті сипаттайтын эллипс текті
дифференциалдық теңдеуді шешудің аралас есебі қойылып, есепті шекті
элементтер әдісімен шешудің негізгі алгоритмдері келтірілген.
Үшінші бөлім шекті элементтер әдісі негізінде жасалынған есептеу
программасының жұмысының нәтижелерін талдауға арналған. Алдымен шекті
элементтер негізінде жасалынған есептеу алгоритмы толығымен келтіріліп,
есептің блок-схемасына түсініктеме берілген. Есептеу программасының
жұмысының сандық нәтижелері MATLAB жүйесінде арнайы құрылған
программалардың көмегімен температураның әрбір қималардағы графиктері
түрінде берілген. Сонымен қатар сандық нәтижелерді айқын талдау үшін тұтас
денеде қалыптасатын температуралық өрістің изотермалары келтірілген.
Изотермаларды құру үшін жоғары деңгейлі DELPHI программалау жүйесінде
арнайы ИЗОЛИНИЙ программасы жасалынған.

1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН ТҰТАС ЖАЗЫҚ ДЕНЕДЕ
ҚАЛЫПТАСАТЫН ТЕМПЕРАТУРАЛЫҚ ӨРІСТІ ЗЕРТТЕУГЕ
ҚОЛДАНУ

1. СТАЦИОНАРЛЫҚ ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ЕСЕБІНІҢ
ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

Теплофизика деп макроскопиялық жүйелердің термодинамикалық тепетеңдік
күйлерін және осы тепетеңдік күйлердің бір біріне өту процестерін
зерттейтін ғылымды айтады [1].
Денелердің теплофизикалық қасиеттерін, денелердегі жылу
энергиясының таралуын және әртүрлі денелер арасындағы жылу алмасу
процестерін сипаттау үшін әртүрлі физикалық шамалар қолданылады. Мұндай
шамалар шартты түрде бірнеше класқа бөлінеді.
Бірінші, ең маңызды класқа фундаменталдық физикалық шама –
температура жатады. Температураның өлшем бірлігі Халықаралық СИ өлшемдер
бірлігінің негізін құрайды.
Екінші класқа химиялық, физикалық және билогиялық процестерде
бөлінетін жылу сияқты калориметриялық (өлшенетін) шамалар жатады. Мұндай
шамаларға жану кезінде, сорбция, десорбция, фазалық өтулер, зат алмасу
кезінде бөлінетін жылу мен жылусиғыштық та жатады.
Үшінші класты заттық орталардың жылу алмасу қасиеттерін сипаттайтын
физикалық шамалар құрайды. Бұл класқа негізінен жылуөткізгіштік,
температураөткізгіштік жатады. Сонымен бірге бұл класқа жылуқабылдағыштық
көрсеткіші және жылулық белсенділік сияқты кейбір туынды шамаларды да
жатқызады.
Ал сәулелік жылу алмасуды сипаттайтын шамалар төртінші класты құрса,
бесінші класты денелердің температураға байланысты өгеретін қасиеттерін
сипаттайтын физикалық шамалар құрайды. Мысалы, соңғы класқа денелердің
температуралық сызықтық созылу коэффициентін жатқызады [1].
Келтірілген физикалық шамалардың ішінен ғылым мен техникадағы ең
маңыздылары ретінде температура, жылу мөлшері, меншікті жылусиымдылық,
жылуөткізгіштік және температуралық сызықтық созылу коэффициенті
қабылданған.
Өлшем бірліктерін бір жүйеге келтіру үшін келтірілген физикалық
шамалардың бірліктерінің мемлекеттік эталондары жасалынады [2]. Бұл
эталондарда физикалық шамалардың өте үлкен дәлдікпен өлшенген мөлшерлері
сақталады және оларды қажет кезінде сақталған жерлерінен алып отыруға
болады.
Мысалы, Россия Федерациясында мемлекеттік эталондардың жартысы
сақталатын ғылыми орталық Д.И. Менделеев атындағы Бүкілодақтық ғылыми
зерттеу метрология институты (ВНИИМ).
Халықаралық температуралық шкалаға (МТШ-90) сәйкес, негізгі физикалық
шаманың, термодинамикалық температураның өлшемі ретінде К символымен
белгіленетін кельвин қабылданған. Ол судың үштармақты нүктесінің
термодинамикалық температурасының 1273,16 бөлігіне тең. Ал судың
үштармақты нүктесінің термодинамикалық температурасы деп судың бу, сұйық
және қатты күйлерінің өзара тепетеңдік жағдайда болатын кезінің
температурасын айтады.
Күнделікті өмірде температура мұздың 273,15 К болатын еру
температурасы шамасымен салыстырылып өлшенеді. Осылайша алынған
термодинамикалық температура Т символымен белгіленіп, Цельсий температурасы
деп аталады, және ол

T°C=TK-273,15

қатынасымен анықталады.
Цельсий температурасының өлшем бірлігі °C символымен белгіленіп,
Цельсий градусы деп аталады. Ал температуралардың айырмашылығы кельвинмен
немесе Цельсий градусымен өлшене береді, себебі температуралар айырымының
абсолют шамасы өлшем бірлігін белгілеу тәсіліне тәуелді емес.
Жылуөткізгіштік деп тікелей жанасып тұрған денелердің энергиясы жоғары
бөлшегінен энергиясы кем бөлшегіне қарай жылу энергиясының өту процесін
сипаттайтын физикалық шаманы айтады.
Әртүрлі заттардың жылуөткізгіштігін алғаш рет 1789 жылы Ингенгуз
зерттеді. Ал 1791 жылы граф Румфорд (Бенжамен Томсон) жылусақтағыш
денелердің жылуөткізгіштігін салыстыруға арналған құрал жасап шықты.
Жылуөткізгіштіктің толыққанды теориясын жасау 1822 жылы ұлы физик және
математик Фурьенің ғана қолынан келді. Ол алғаш рет материалдардың жаңа
қасиетінің – жылуөткізгіштігінің анықтамасын берді.
Жылу энергиясын техникада қолданудың күрт дамуына байланысты XX
ғасырдың басында XVIII-XIX ғасырларда белгілі болған Био, Максвелл,
Кельвин, Кольрауш сияқты атақты физик-зерттеушілердің орнына Гребер,
Нуссельт, Якоб, Гриффитс сияқты жылу техникасын зерттеушілер келді.
Заттардың жылулық қасиеттерін өлшеу техникалық физиканың ең қиын
есептерінің бірі болып есептеледі. Осыған байланысты XX ғасырдың
жиырмасыншы жылдарынан бастап жылуөткізгіштікті өлшеумен Ұлыбритания, АҚШ,
Франция сияқты дамыған елдердің мемлекеттік метрологиялық институттары
айналыса бастады.
Россияда техникалық жылу өлшеу жұмыстары өткен ғасырдың отызыншы
жылдары басталды. Осы кезеңде А.Ф.Иоффе мен М.В.Кирпичев басқарған физика-
техникалық зертханада М.П.Стаценко жылусақтағыш материалдардың
жылуөткізгіштігін өлшеуге арналған заманауи ғылымның деңгейіне сәйкес
келетін құрал жасап шықты. Сонымен қатар, теплофизикалық өлшеулерді жүйелі
түрде жүргізу үшін Г.М.Кондратьевтің [3,4] басқаруымен арнайы ғылыми мектеп
құрылып, бұл мектепте Г.Н.Дульнев, Б.Н.Олейник, О.А.Сергеев, Е.С.Платунов,
Н.А.Ярышев және басқалар зерттеу жұмыстарын жүргізді. Осы кезеңде
Г.М.Кондратьев Ленинградтың дәл механика мен оптика институтында жылулық
өлшеулер кафедрасын ұйымдастырды. Жылуөткізгіштікті өлшеудің әдістерінің
теориялық негіздері Г.Карслоу мен Д.Егердің, және А.В.Лыков пен
А.Г.Шашковтың еңбектерінде қаланған [5-7].
Жылуөткізгіштік құбылысы температураның gradT градиенті орын алған
кезде пайда болады және бірөлшемді стационарлық жағдай кезінде Фурьенің

q = - λ· gradT

заңымен сипатталады. Бұл жерде q- жылу ағынының тығыздығы; λ – СИ
жүйесінде жай ғана жылуөткізгіштік деп аталатын жылуөткізгіштік
коэффициенті.
Жылуөткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуін нақты шешу үшін бастапқы
және шекаралық шарттар беріледі.
Жылуөткізгіштіктің өлшем бірлігі ретінде әрбір метр-кельвинге келетін
Ватт [Вт(м·К] алынған. Бұл шама сандық жағынан стационарлық режимде жылу
ағынының беттің тығыздығы 1 Втм2 болған кезде температуралық градиентті 1
Км шамасына жеткізетіндей заттың жылуөткізгіштігіне тең.
Жалпы жағдайда жылуөткізгіштік қысымның, зерттеліп отырған дененің
құрамының, ылғалдылығының және оның температурасының функциясы.
Құрылыс материалдары мен жылусақтағыш материалдардың жылуөткізгіштігі
әдетте 0,02-3,0 Вт(м·К) шамасында болады. Температура көтерілген сайын ол
өседі және оның шамасы заттың құрамына, қуыстық деңгейіне және
ылғалдылығына байланысты өзгереді.
Әрбір нақты заттың жылуөткізгіштігін алдын ала дәл болжап айту теория
жүзінде мүмкін емес. Сондықтан жылуөткізгіштікті дәл анықтау үшін тікелей
өлшеуден басқа амал жоқ.
Жылусақтағыш заттардың жылуөткізгіштігін анықтауға осы заттың өзінен
жасалған жазық плиталарды қолданып жасалған өлшеу құралы ең қарапайым да
ыңғайлы құрал ретінде кеңінен қолданылады. Бұл құралды қолданып
жылуөткізгіштікті анықтау әдісі 1954 жылы құрылыс материалдарын зерттеу
зертханаларының Халықаралық бірлестігінде (RILEM) стандарттық әдіс ретінде
қабылданған. Бұл әдіс өткен ғасырдың алпысыншы-сексенінші жылдары алдыңғы
қатарлы метрологиялық зертханаларда эталондық өлшеулер үшін пайдаланылды.
Әртүрлі материалдардың жылуөткізгіштігін анықтаудың басқа да замануи
тәсілдері көп [8]. Олардың бәріне ортақ бір жағдай – анықталатын негізгі
шама ретінде зерттелетін заттың қарама қарсы беттеріндегі температура
айырмашылығы алынады. Соңғы мәселе нақты есептеулер жүргізу кезінде өте
маңызды. Себебі бұл кезде көбінесе кельвин мен Цельсий арқылы анықталған
параметрлер қатар жүреді. Ал температуралар айырмашылығы үшін қандай
белгілеулер жүйесінде алынса да бәрібір болғандықтан, белгілеулердегі
түсініспеушілік өзінен өзі жойылады.
Жылусиымдылық деп нақты жағдайда дененің температурасын бір градусқа
көтеру үшін оның қоршаған ортадан алатын жылу мөлшерін айтады.
Жылуалмасу процесінің өту жағдайына байланысты тұрақты көлем кезіндегі
жылусиымдылық (Cv) пен тұрақты қысым кезіндегі жылусиымдылықты (Cp) өзара
ажырату керек. Заттың жылусиымдылығын есептеу жұмыстарының ерекшелігіне
байланысты кейде массаның бірлігіне қатысты алынған меншікті шама ретінде –
[Дж(кг·К], кейде зат мөлшерінің бірлігіне қатысты алынған меншікті шама
ретінде – [Дж(моль·К], ал кейде көлемнің бірлігіне қатысты алынған
меншікті шама ретінде – [Дж(м3·К], анықтайды.
Заттың жылусиымдылығын анықтау қажеттігі мынадай екі негізгі фактормен
анықталады:
-біріншіден, ол термодинамикада, қатты денелер физикасында заттардың
құрамын зерттеу кезінде, өзара әсер күштерін анықтау кезінде, фаза алмасу
процесін зерттеуде, қатерлі құбылыстарды зерттеуде және т.б. жағдайларда
қажет болатын мәліметтердің құнды көзі болып табылады;
-екіншіден, осы физикалық шаманы білу әртүрлі жылулық процестер мен
аппараттарды кәзіргі заман технологиясына сәйкес инженерлік есептеулерден
өткізу үшін қажет. Оның үстіне бұл шамалардың дәлдігі қарастырылып отырған
конструкциялардың, технологиялардың, олардың өлшемдері мен жұмыс
режимдерінің тиімділігіне зор әсер етеді.
Алғаш рет жылусиымдылық туралы түсінікті 1760 жылы Дж. Блекер енгізді
және бұл түсінік әрқашан жылу мен калория ұғымдарымен қатар жүрді.
Заттардың жылусиымдылығын жүйелі түрде өлшеу кезеңі XIX ғасырдың орта
шенінен басталды деп айтуға болады, себебі 1845 жылы Джоуль сұйықтардың
меншікті жылусиымдылығын анықтауға арналған эксперименттер жүргізді. Оның
үстіне Джоуль алғаш рет жылусиымдылықты өлшеу үшін калориметрияда
дифференциалдық әдісті қолданды. Ол қолданған калориметр өзара бірдей екі
ыдыстан тұратын. Ыдыстың біреуіне жылусиымдылығын анықтау керек сұйық
құйылса, екіншісінде жай су болатын. Сұйық пен судың массалары бірдей етіп
алынады. Ыдыстардың әрқайсысына кедергілері бірдей спирал қойылады. Электр
тогын қосқаннан кейін біраз уақыт өткенде судың температурасының ΔТ1 өсуі
мен сұйықтың температурасының ΔТ2 өсуі өлшенді. Егер судың жылусиымдылығын
эталон етіп, оны бірге тең деп алса, онда сұйықтың ізделіп отырған меншікті
жылусиымдылығы былайша анықталады:

CX=CB+ ΔТ1 ΔТ2.

Заттардың жылусиымдылығын өлшеу әдістерінің даму тарихының ерекше
кезеңі деп 1912 жылы шыққан П.Дебайдың еңбегі жарық көрген уақытты айтуға
болады. Ол өз еңбегінде қатты денелердің жылусиымдылығының теориясын
келтірді. Осыдан бастап қатты денелердің жылусиымдылығын анықтаудың
эксперименталдық әдістері мен өлшеу құралдарының дамуының жаңа кезеңі
басталды.
Онтоғызыншы ғасырдың 40-шы жылдарының орта шенінен бастап өлшеу
әдістері мен өлшеу құралдары классикалық калориметрлік әдістерден өзгеше
әдістер мен құралдар пайда бола бастады. Бірақ бұл жаңа әдістердің бәріне
ортақ екі белгі болды:

- жылусыйымдылықты өлшеудің бұл әдістерінің бәрі де жылуөткізгіштіктің
дифференциалдық теңдеуін әртүрлі бастапқы және шекаралық шарттар үшін
шешуге негізделген;
- бұл әдістердің бәрінде де зерттелуші обьект температурасы Т болатын
бастапқы күйден температуасы Т+ΔТ болатын келесі күйге алып келінеді.
Ал бұл әдістердің әртүрлі болатын себебі зерттелуші обьектіні өзара
жақын күйлердің бірінен біріне ауыстыру тәсілдері мен температурамен әсер
ету тәсілдері әртүрлі болды [8]. Бұл әдістердің бәрін де динамикалық класқа
жатқызамыз, себебі олардың негізінде жатқан белгісіз жылусиымдылық пен
өлшенетін эксперименталдық шамаларды байланыстыратын теңдеулер
жылуөткізгіштіктің бейстационар теңдеуін шешу нәтижесінде алынды. Ал
классикалық калориметрияда квазистатикалық әдіс қолданылды.
Табиғатта жылу алмасудың негізгі үш түрі белгілі. Бұл тұтас дененің
ішінде өтетін кондуктивті жылу алмасу, сұйық немесе газ түріндегі денемен
қатты дененің бетінде өтетін конвективті жылу алмасу және сәулелік жылу
алмасу. Сәулелік жылу алмасуға күн сәулесінің радиациялық жылу алмасуын
мысалға келтіруге болады. Тұтас денедегі температуралық өрістің
қалыптасуына негізінен жылу алмасудың алғашқы екі түрі әсер етеді. Ал оның
үшінші түрі тек арнайы жағдайларда ғана ескеріледі.
Қолданбалы есептерде тұтас денедегі жылу алмасу процесі стационарлық
және бейстационарлық деп бөлініп, математикалық физиканың эллипс текті
немесе парабола текті дфференциалдық теңдеулерімен сипатталады. Дегенмен,
табиғаттағы көптеген процестерді уақытқа тәуелсіз деп, басқаша айтқанда
стационар деп қарастыруа болады. Мүндай жағдайда стационарлық жылу алмасу
процесі Лаплас немесе Пуассон теңдеуімен сипатталады, және оларды шешу үшін
Нейман есебі, Дирихле есебі немесе аралас есеп қойылады.
Қатты денелер арасындағы кондуктивті жылу алмасу заңын Фурье мынадай
түрде алған [9]:

.

Бұл жерде - координаталық осіне перпендикуляр жатқан
ауданы арқылы ағып өтетін жылу мөлшері; - дененің координатасы
болатын нүктесіндегі температура; - жылуөткізгіштік коэффициенті.
Сұйық немесе газ түріндегі денемен қатты дененің бетінде өтетін
конвективті жылу алмасу заңын Ньютон алған [9]:

.

Бұл жерде - уақыттың бір өлшемінде ауданы арқылы қоршаған
ортаға өтетін жылу ағыны; - қатты дененің бетінің температурасы;
- қоршаған ортаның температурасы; - жылу алмасу коэффициенті.
Жалпы жағдайда мен коэффициентерінің өздері де температураның
функциялары екені белгілі. Бірақ арнайы жағдайларда болмаса мұндай
байланыстар ескерілмейді де, олар тұрақты деп алынады.
Өрістер теориясының стационарлық есептерінде сараптама жасалынатын
белгілі уақыт кезінде денеде тұрақталған күй орнығады деп есептеледі.
Физикалық есептердің келесі бір маңызды класын ізделіп отырған шаманың
уақыт бойынша өзгеруін ескеретін есептер құрайды. Бұл есептердің
кейбіреулерінде физикалық процестің басталуы мен белгілі бір тұрақты күйі
аралығында байқалатын өтпелі кезең болады. Бірақ, тұрақты күйге ешуақытта
жетпейтін, бүкіл процесс тек өтпелі кезеңдерден тұратын есептер де
кездеседі.
Жазық денедегі стационарлық жылуөткізгіштіктің дифференциалдық
теңдеуі былайша жазылады [9-11]:

.
(1.1)

Бұл жерде - ізделіп отырған температура, өлшем бірлігі °С; ,
- және остері бағытындағы кондуктивті жылуөткізгіштік
коэффициенттері, өлшем бірлігі Вт(м(°С); - тұтас денедегі жылу
көзі, өлшем бірлігі Втм3. Егер дене жылуын жоғалтатын болса, онда жылу
көзінің таңбасы оң деп алынады.
Жылуөткізгіштіктің (1.1) теңдеуі шекаралық шарттармен бірге
қарастырылады. Егер шекараның бір бөлігінде температура белгілі болса, онда
шекаралық шарт былайша жазылады:

.
(1.2)

Бұл жерде - тұтас дененің бетінің нүктелерінің координаларына
тәуелді белгілі температура.
Егер дененің белгілі бір бөлігінде заңдылығымен анықталатын
конвективті жылу алмасу белгілі болса, ал келесі бір бөлігінде қарқыны
болатын жылу ағыны берілсе, онда шекаралық шарт былайша анықталады:

. (1.3)

Бұл жерде мен - және остері бағытындағы кондуктивті
жылуөткізгіштік коэффициенттері, өлшем бірлігі Вт(м(°С); - дененің
беті мен қоршаған орта арасындағы конвективті жылу алмасу коэффициенті,
өлшем бірлігі Вт(м2·°С); - дененің конвективті жылу алмасу өтетін
бетінің температурасы, өлшем бірлігі °С; - қоршаған ортаның белгілі
температурасы, өлшем бірлігі °С; , - бағыттағыш косинустар;
- жылу ағынының қарқыны, өлшем бірлігі Втм2. Егер дене жылуын
жоғалтатын болса, онда жылу ағынының таңбасы оң деп алынады. Қарқыны
жылу ағыны мен конвективті жылу алмасу дене шекарасының бір бөлігінде
бір мезгілде орын ала алмайды.
Математикалық физикада (1.1) түріндегі теңдеулер эллипс текті
теңдеулерге жатады және мұндай теңдеулердің шешімін аналитикалық түрде алу
математикалық тұрғыдан қарағанда күрделі есеп. Сондықтан (1.1) түріндегі
теңдеулерді шешу үшін көбінесе вариациялық есептеулердің әдістеріне
жүгінеді. Бүл әдістерге сәйкес алдымен белгілі бір функционал құрылып,
содан кейін осы функционалға экстремум беретін функция ізделінеді [13-14].
Жылуөткізгіштік есептерінде функционал ретінде денеде стационар немесе
бейстационар күй қалыптасқанға дейін жинақталған жылу мөлшері алынады.
Мысалы, денеде температуралық стационар күй қалыптасқан кезде онда
жинақталған жылу мөлшері өзінің ең минималды шамасына жетеді. Демек,
жылуөткізгіштік есебі денеде жинақталған жылу мөлшеріне тең функционалға
минимум беретін функциясын іздеуге алып келеді.
Аталған функционал [9] жұмыста келесі интеграл түрінде алынған:

. (1.4)

Олай болса тұтас денеде температуралық стационар күй қалыптасқанда
жинақталатын жылу мөлшерін есептейтін (1.4) интегралына минимум беретін
функциясын табу вариациялық есептің мақсаты болып табылады. Сонымен
бірге мұндай функция стационарлық жылуөткізгіштік (1.1) теңдеуінің де
шешімі болады. Бұл жерде (1.4) функционалы бірден (1.3) түрдегі шекаралық
шарттарды да ескере кетеді.
Функционалдың (1.4) өрнегінің бірінші, көлемдік интегралы дененің
ішінде өтіп жатқан кондуктивті жылу алмасуды ескереді, ал екінші, аудандық
интеграл (1.3) түрдегі шекаралық шарттарды ескереді.
Вариациялық есептеулердің тікелей әдістерінде функционалға минимум
беретін функциясын іздеу сандық әдістердің біреуімен жүргізіледі.
Ұсынылып отырған жұмыста сандық әдіс ретінде шекті элементтер әдісі
таңдалған [9-12].
Қарастырылып отырған (1.4) түріндегі функционалды минималдау
алгоритмының түрлері көп, және олар ғылыми еңбектерде кеңінен
қарастырылған. Жұмыстың келесі бөлімінде аталған функционалды минималдаудың
кең тараған, [9] жұмыста ашық талданған, әдістерінің бірі келтірілген.

1.2 ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІКТІҢ ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ ЕСЕБІН ШЕКТІ
ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН ШЕШУ АЛГОРИТМЫ

Берілген (1.4) функционалы температураның түйіндік мәндерінің
жиынында минималданады. Функционалды интегралдарды есептемес бұрын
минималдау керек. Тек осылайша ғана шекті элементтердің қасиеттерін алдын
ала ескеруге болады.
Минималдау процесі (1.4) функционалын түрлендіруден басталады. Ол үшін
алдымен мынадай екі көмекші матрица енгізіледі [9]:

және
.
(1.5)

Сонда (1.4) өрнегін келтірілген матрицалар арқылы былайша жазуға
болады:

. (1.6)

Зерттеліп отырған аймақта температураға тәуелді барлық
функциялар үзіліссіз болғандықтан, олардың орынына әрбір элементтің ішінде
анықталатын функцияларын енгіземіз. Сонда (1.6) өрнегінің құрамындағы
интегралдар шекті элементтерде есептелетін интегралдардың қосындысы түрінде
алынады:

.
(1.7)

Соңғы өрнекті символды түрде былайша жазуға болады:

.

Бұл жерде - шекті элементтердің жалпы саны; - әрбір элементтің
функционалындағы үлесі. Сонда функционалын температураның
түйіндік мәндеріне қатысты минималдау нәтижесінде мынадай шарт
аламыз:

.
(1.8)

Бұл жердегі дербес туындысын есептеу үшін (1.7) өрнегіндегі
әрбір элемент ішінде үзіліссіз шамаларын температураның
түйіндік, дискретті мәндерімен алмастыру керек. Ол үшін үзіліссіз
функцияларын температураның түйіндік мәндері арқылы интерполяциялау
тәсілін таңдау керек.

Сурет 1.1

Шекті элемент ретінде үш түйін төбелері бар үшбұрышты симплекс-элемент
[9] таңдалсын. Элементтің төбелерін номерлеу тәртібі сағат бағытына қарсы
болсын. Егер төбелерді i, j және k (1.1 сурет) арқылы белгілесек, онда
олардың координаталарын , және арқылы белгілейміз.
Қажетті дәлдікке жету үшін келесі сызықтық полиномды алсақ жеткілікті
деп қабылдайық [9]:

.
(1.9)

Белгісіз және коэффициенттерді анықтау үшін келесі шарттарды
пайдаланамыз:

егер болса, онда
,
егер болса, онда ,
егер болса, онда .

Түйіндік шарттарды пайданып келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

,
,
.

Жүйені және қатысты шешсек:

,
,
.

Теңдеулер жүйесінің анықтауышының үшбұрышты элементтің ауданымен
байланысы келесі қатынас арқылы беріледі:

.
(1.10)

Бұл жерде -үшбұрышты элементтің ауданы.
Енді интерполяциялық полином былайша жазылады:

.
(1.11)

Бұл жерде

и ,
и ,
и . (1.12)

Бұл жерде және функциялары шекті элементтің пішін функциялары
деп аталады.
Әрбір элемент үшін (1.11) өрнегін былайша

, (1.13)

жазып шықсақ, онда

векторы үшін дербес туындысын есептеуге қажет келесі қатынасты
аламыз:

, (1.14)

немесе

,

немесе

. (1.15)

Бұл жерде

матрицасы градиенттер матрицасы деп аталады. Ол элементтің пішін
функциясынан координаталар бойынша алынған туындылардан тұрады.
Алынған (1.5), (1.13) және (1.15) қатынастарын пайдаланып (1.7)
функционалын былайша жазамыз:

. (1.16)

Бұл жерде және белгілі параметрлер. Олар жалпы
жағдайда элемент ішінде өзгеруі мүмкін болғандықтан, оларды интеграл астына
енгіземіз.
Алынған (1.16) функционалын бойынша дифференциалдау матрицалық
қатынастарды дифференциалдау ережелері бойынша жүргізіледі:

,
,
,
, (1.17)
,
.

Сонда ағымдағы элемент үшін туындысы мынадай түрге енеді:

. (1.18)

Интегралдардың соңғы қосындысын қысқаша былайша жазамыз:

.
(1.19)

Бұл жерде

(1.20)

және

. (1.21)

Сонда (1.16) функционалының минимумының қажетті шарты, (1.19) өрнегін
(1.8) шартына қойғаннан кейін келесі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіне
алып келеді:

,
(1.22)

немесе

.
(1.23)

Бұл жерде

(1.24)
және

.
(1.25)

Элементтің жылуөткізіштігінің матрицасы (1.20) өрнекпен, ал
элементтің түйіндеріндегі жылулық жүктеме векторы (1.21) өрнегімен
есептеледі. Бірақ нақты есептерде жылуөткізіштік матрицасын есептеу кезінде
элементтің есептеу схемасындағы нақты орыны ескеріледі. Мысалы, төбелері
шекарада жатпайтын, есептеу схемасының ортаңғы бөлігінде орналасқан
элементтер үшін тек кондуктивті жылу алмасу ескеріледі. Ал конвективті жылу
алмасу жүретін қабырғалары бар элементтер үшін жылу алмасудың екі түрі де
ескеріледі. Осы ереже және факторларын ескерген кезде де
сақталады.
Олай болса (1.20) және (1.21) өрнектеріндегі интегралдарды жазу
ыңғайлы болу үшін қосымша белгілеулер енгізген дұрыс:

,
,
,
,
.
(1.26)

Енді (1.24) және (1.25) өрнектері былайша жазылады:

және

. (1.27)

Бұл жерде

интегралы тек кондуктивті жылу алмасуды ғана ескереді. Интеграл астындағы
шамасы материалдардың жылулық техникалық сипаттамалары мен
түйіндердің белгілі координаталарына ғана тәуелді болғандықтан, оны алдын
ала интеграл сыртына шығарып жіберуге болады. Әдетте бұл шаманы алдын ала
мынадай өрнекпен есептеп қояды:

. (1.28)

Ал (1.26) өрнектеріндегі қалған интегралдар және
координаталарының функциялары болғандықтан, оларды есептеуге -
координаталар әдісі [9] қолданылады.
- координаталар әдісін қолдану (1.26) өрнектеріндегі көлемдік
және аудандық интегралдарды қолмен есептеуден құтқарып, бұл процесті
автоматтандыруға мүмкіндік береді.
- координаталар әдісін қолданудың алгоритмын нақты есеп
мысалында көрсеткен ыңғайлы.

1.3 ДЕНЕНІҢ ІШКІ АЙМАҒЫНДА ОРНАЛАСҚАН НҮКТЕЛІК
ЖЫЛУ КӨЗДЕРІНІҢ ӘСЕРІН ЕСКЕРУ АЛГОРИТМЫ

Көптеген физикалық есептер үшін нүктелік және сызықтық жылу көздері
туралы ұғымның маңызы зор. Нүктелік (немесе сызықтық) жылу көзі бар деп
шамасы болатын жылу өте шағын көлемде, немесе ауданда бөлінетін
жағдайды айтады. Сызықтық жылу көзінің физикалық мысалы ретінде ыстық су
және (немесе) буды тарататын жерге көмілген құбырларды, электрөткізгіш
ортада орналасқан электр сымдарын айтуға болады. Келтірілген жағдайларда
құбырдың, немесе электр сымының көлденең қимасының ауданы қоршаған ортаның
ауданынан әлдеқайда аз болады. Сол сияқты, жерасты суларын соратын
сорғыштарды да нүктелік көздер қатарына жатқызуға болады.

Сурет 1.2
Үшбұрышты элементтің ішінде орналасқан нүктелік көз

Күнделікті өмірде нүктелік және сызықтық көздердің жиі
кездесетіні мәлім. Бұл жерде біз екіөлшемді элемент ішінде орналасқан
көздер туралы айтамыз. Бірақ, алынған тұжырымдарды еш қиындықсық үшөлшемді
элементтерге де қолдануға болады.
Ішінде, 1.2 суретте көрсетілгендей, нүтесінде орналасқан,
қуаты [кВтм] болатын сызықтық жылу көзі орналасқан үшбұрышты
элементті қарастырайық (жылу қабылданатын болғандықтан оның таңбасын оң деп
аламыз). Жылу көзі нүктеде орналасқандықтан, енді оның қуаты элемент
ішінде тұрақты емес, және координаталарының функциясы болады.
Бірлік импульстық және функцияларын қолданып [9] былайша жазуға
болады:

. (1.29)

Олай болса

интегралын енді былайша жазуға болады

. (1.30)

Элементтің қалыңдығын бірге тең деп аламыз. Импульстық функциялардың
белгілі қасиеттерін пайдаланып [9], былайша жазамыз

(1.31)

Алынған (1.31) қатынасы арқылы, егер нүктелік, немесе сызықтық
жылу көзі элементтің ішінде орналасқан болса, онда шамасы ,
және шамаларына пропоционалды түрде элементтің түйіндеріне
таралатынын көреміз. Бұл жерде , және шамалары нүктелік
жылу көзі орналасқан нүктенің координаталары арқылы есептеледі. Сонымен
бірге, элементтің кез келген ішкі нүктесінде =1 шарты орындалатын
болғандықтан, біз ешқашан мәнінен артық шама алмаймыз. Мысал ретінде
келесі есепті қарастырайық.
Жылу көзінің қарқыны болсын, және ол элементтің ішінде
координатасы (5, 2) болатын нүктеде орналассын (1.3 сурет). Енді
шамасының элементтің түйіндеріне таралуын анықтайық.

Сурет 1.3

Тұрақты және шамаларын есептесек:

Ал тұрақты шамасы:

Егер =13 екенін ескерсек, онда өрнектері былайша жазылады:

Алынған өрнектерге және мәндерін қойсақ

Демек, шамасы және түйіндеріне және
үлестермен бөлінеді екен. Олай болса, бұл элемент үшін интегралы
былайша есептеледі:

Тұтас ортаны элементтерге бөлген кезде нүктелік (сызықтық) жылу
көзін түйіндердің біріне орналастыруға болады. Бұл кезде (1.33) өрнегін
интегралдау жеңілдейді. Мысалы, жылу көзі - ыншы түйінде орналасқан
болсын (1.4 сурет). Бұл кезде және

(1.32)

Бұдан кейін (1.32) өрнегіндегі шамасын, оның енді бір
емес, бірнеше элементке қатысы бар екенін ескеріп, түрлендіру керек. Жылу
көзінің қарқыны түйінді қоршаған элементтерге бөлініп таралуы керек. Бұл
таралу ағымдағы элементтің түйінге тірелетін төбесіндегі бұрыш
болатын толық бұрыштың қандай бөлігін құрайтынына байланысты анықталады.

Сурет 1.4
Түйіндегі нүктелік көз

Олай болса, 1.4 суреттегі элементі үшін таралу реті былайша
анықталады

(1.33)

Бірақ, түйінде орналасқан көзді қоршаған элементтер үшін
бұрышын есептеу жатудың қажеті жоқ. Себебі, жекелеген элементтер үшін
құрылған теңдеулер өзара біріккен кезде, барлық элементтердің ағымдағы
түйінге әсері де өзара қосылып, толық шамасын құрайды. Демек,
түйіндік жылу көзін ескерудің ең оңай жолы, шамасын жалпы
жүктеме векторына, анығырақ айтсақ, аталған вектордың түйінге қатысты
компонентіне қосу.
Үшөлшемді элемент жағдайында элементтің ішінде орналасқан жылу
көзінің қуаты келесі формулаға сәйкес төрт түйінге таратылады

. (1.34)

Бұл жерде - жылу көзі орналасқан нүктенің координаталары.

4. ФУНКЦИОНАЛДАҒЫ ИНТЕГРАЛДАРДЫ ЕСЕПТЕУДІҢ
АРНАЙЫ ТӘСІЛДЕРІ

- координаталар әдісін игеру үшін алдымен жергілікті
координаталар жүйесін енгізіп, элементтің пішіндер функциялары мен -
координаталар арасындағы байланысты анықтау керек.
Температураның түйіндердегі белгісіз мәндерін анықтауға қажет сызықтық
алгебралық теңдеулер жүйесін алу үшін алдымен пішін функциялары мен олардың
туындыларынан элементтің көлемі мен ауданы бойынша интегралдар есептелуі
керек. Интегралдау жұмысын жеңілдету үшін интерполяциялық полиномды нақты
элементмен байланысқан (s0t) координаталар жүйесінде жазған дұрыс. Мұндай
жүйе жергілікті (локальдық) координаталар жүйесі деп аталады [9].
Жергілікті координаталар жүйесінде интерполяциялық қатынастарды алу
үшін жалпы координаталар жүйесінде (глобальдық) алынған теңдеулерді
түрлендіру қажет.
Жергілікті координаталар жүйесінің бастапқы нүктесін 1.5 суретте
көрсетілгендей элементтің ауырлық орталығында орналастырамыз. Сонда
координаталарды түрлендіру өрнектері былайша жазылады:

.
Бұл жерде пен - элементтің ауырлық орталығының глобальдық
координаталар жүйесіндегі координаталары:

Глобальдық координаталар жүйесінде элементтің пішін функциялары былайша
жазылады:

.

Сурет 1.5

Егер соңғы өрнекке пен -тің пен арқылы
өрнектелген мәндерін қойсақ:

немесе

.

Түрлендірулер нәтижесінде және шамалары өзгеріссіз қалады
да, бұрынғыша тәуелсіз айнымалыларға көбейтіледі. Бірақ шамалары
өзгереді және = болатынын дәлелдеу оңай.

Сурет 1.6
Үшбұрышты элементтің - координаталары

Осылайша пішін функциясының элементпен тікелей байланысқан жергілікті
коодинаталар жүйесіндегі түрін аламыз:

Қалған пішін функциялары үшін де дәл осылайша жаңа өрнектер аламыз:

Глобальдық жүйеде берілген функцияның интегралы жергілікті жүйеде
мынадай өрнекпен есептеледі:

.

Бұл жерде мен - ескі және жаңа интегралдау аймақтары; -
координаталар жүйесін түрлендірудің анықтауышының абсолют шамасы. Бұл шама
элементтің әртүрлі координаталар жүйелерінде есептелген аудандарының
қатынасына тең. Біздің жағдайда ==1 және =.
Демек:

.

Үшбұрышты шекті элемент үшін ең дұрысы 1.6 суретте көрсетілгендей етіп
, және арқылы берілген натуралдық координаталар жүйесін
қолданған. Әрбір натуралды координата үшбұрыштың кезкелген ішкі нүктесінен
оның кез келген қабырғасына дейінгі қашықтықтың қарсы төбеден осы
қабырғаға түсірілген биіктікке қатынасына тең (1.6б сурет).
Егер қашықтығы ден -қа дейін өзгеретінін ескерсек,
онда шамасының нолден бірге дейін өзгеретіні түсінікті . Келесі
мен шамалары да сол аралықта өзгереді. Төмендегі 1.6в суретте
бойында координатасы өзінің мәнін тұрақты сақтап қалатын сызықтар
көрсетілген. Осы сызықтардың әрқайсысы үшбұрыштың координатасы
басталатын қабырғаға параллель.
, және координаталары - координаталар деп
аталады. Олардың мәндері шекті элементті бөліп тұратын үшбұрыштардың
аудандарының қатынастарына тең. Мысалы, 1.6б суретте көрсетілген
нүктесінің - координаталары 1.7 суретте көрсетілген үшбұрыштардың
аудандарымен анықталады. Шынында үшбұрышының ауданы мынадай
өрнекпен анықталады:

Штрихталған үшбұрышының ауданы:

Осы аудандардың қатынастарын қарастырайық:

Сурет 1.7
Үшбұрыштың кезкелген нүктесімен байланысқан үш аудан

Демек, координатасы штрихталған үшбұрыштың ауданының элементтің
толық ауданына қатынасына тең (1.7 сурет):

.

мен үшін де ұқсас өрнектер аламыз:

, .

Енді болғандықтан

(1.35)

Алынған (1.35) қатынасы - координаталарды өзара байланыстырады.
Мұндай байланыстың пайда болуы заңды, екі өлшемді ауданда үш координата
өзара байланыста болуы керек, себебі жазықтықтағы кезкелген нүкте өзінің
екі координатасымен анықталады да, үшінші теңдеу артық болып қалады.
Енді , және координаталарының қасиеттерін (1.35)
қатынасын ескере отырып зерттесек мынадай заңдылық анықтаймыз:
Координаталық , және айнымалылары үшбұрышты симплекс-
элементтің пішін функцияларына тең:

, .

Шынында, 1.6в ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.