ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІКТІҢ ТЕҢДЕУЛЕРІНІҢ КЕЙБІР БАСТАПҚЫ-ШЕКТІК ЕСЕПТЕРІН САНДЫҚ ӘДІСТЕРМЕН ШЕШУ
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Қолжазба құқығында
НАДЫРОВ АБУНАСР АБАЙҰЛЫ
ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІКТІҢ ТЕҢДЕУЛЕРІНІҢ КЕЙБІР БАСТАПҚЫ-ШЕКТІК ЕСЕПТЕРІН САНДЫҚ
ӘДІСТЕРМЕН ШЕШУ
Мамандығы 6N0501
Математика магистры академиялық дәрежесін алу
үшін дайындалған диссертация
Ғылыми жетекшісі: тех.ғ.к., доцент Қ.Айтбаев ____________________
Түркістан 2013
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 3
1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ
ФИЗИКА ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ ҚОЛДАНУДЫҢ
ТЕОРИЯЛЫҚ 7
НЕГІЗДЕРІ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
1.1 Математикалық физика 7
теңдеулері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1.1Шекаралық және бастапқы 8
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1.2Шекаралық 9
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... .
1.1.3Бастапқы 10
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..
1.1.4Вариациялық принциптер туралы қысқаша түсініктеме ... ... ... . 10
1.2 Шекті элементтер әдісінің теориялық 11
негіздері ... ... ... ... ... ... . ... .
1.2.1Шекті элементтер әдісінің негізгі 12
концепциясы ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2.2Шекті элементтер әдісінің негізгі 14
этаптары ... ... ... ... ... ... .. ... ...
1.2.3Екіөлшемді элементтердің 15
түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.4Сызықтық интерполяциялық 15
полиномдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.5Екіөлшемді симплекс-элемент 16
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .
1.2.6Векторлық шамаларды 19
интерполяциялау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.2.7Жергілікті координаталар 21
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.8Көлемдік - 26
координаталар ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
1.3 Шекті элементтер әдісін стационарлық жылу таралу
есептерінде 27
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .
1.3.1Екіөлшемді жылу таралу есебін шекті элементтер әдісімен
шешудің негізгі 28
алгоритмдері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... .
2 ТӨРТБҰРЫШТЫ 41
ЭЛЕМЕНТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Сызықтық төртбұрышты 41
элемент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2 Квадраттық және кубтық төртбұрышты элементтер ... ... ... ... ... 46
2.3 Пішін функцияларының туындыларын 50
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Элементтерді анықтайтын 54
қатынастар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3 ТӨРТБҰРЫШТЫ КВАДРАТТЫҚ ЭЛЕМЕНТТІ
ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ЕСЕБІНЕ ҚОЛДАНУ ... ... ... ... ... ... ... ... ..68
3.1 Тұтас жазық денедегі жылуөткізгіштік есебінің қойылымы ... .. 68
3.2 Есептеу программасының алгоритмына қысқаша талдау ... ... . 70
3.3 ABU есептеу программасының жұмысының нәтижелеріне қысқаша
cараптама ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 71
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 75
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... 76
КІРІСПЕ
Жұмыстың көкейтестілігі: Ғылым мен техниканың дамыған заманында
физика мен математика саласында классикалық аналитикалық әдістермен қатар
ғылымның қолданбалы бөлігі де қатты дамып келе жатыр. Қолданбалы математика
негізінен сандық әдістерге сүйенеді. Ғылымның бұл саласының соңғы жылдары
ғарыштап дамуына есептеу техникасының және әртүрлі программалау жүйелерінің
дамуы да қатты әсер етуде. Кең таралған сандық әдістерге шекті айырымдар
әдісі, шекаралық интегралдық теңдеулер әдісі және шекті элементтер әдісі
жатады. Аталған әдістердің алғашқы екеуі зерттеу аймағы біртекті болған
кезде қолданылады, себебі бұл әдістерде анықтаушы дифференциалдық теңдеулер
бүкіл зерттеу аймағы үшін бірден құрылады. Оның үстіне бұл әдістерде
зерттеу аймағының геометриясы да аналитикалық түрде сипаттауға ыңғайлы
болғаны шарт. Ал келесі сандық әдіс - шекті элементтер әдісіне аталған
шектеулер бөгет бола алмайды. Шекті элементтер әдісі әсіресе математикалық
физиканың эллипс текті, парабола текті немесе гипербола текті
дифферециалдық теңдеулермен сипатталатын процестерді геометриясы күрделі
және біртекті емес аймақтар үшін зерттеуге қолайлы. Мысалы, шекті
элементтер әдісімен температура, қысым және сол сияқты скалярлық өрістерді
өте үлкен дәлдікпен зерттеуге болады. Бұл кезде шекті элементтің ең
қарапайым түрі, үшбұрышты симплекс элементтерді қолданса жеткілікті. Алайда
техниканың кейбір есептерінде, атап айтқанда тұтас денедегі кернеулі-
деформациялық күйді зерттеген кезде көп жағдайда шешімнің дәлдігі
жеткіліксіз болып жатады. Мұндай жағдай әсіресе зерттеу аймағында
сингулярлық нүктелер бар кезде градиенті жоғары шамалардың аталған нүктелер
маңындағы өзгерісін байқамай қалуға алып келеді. Аталған жағдайдан шығудың
ең ұтымды жолы жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану. Мұндай
полиномдарды үшбұрышты шекті элементтерде де қолдануға болады. Бірақ төрт
түйінді, сегіз және он екі түйінді төртбұрышты шекті элементтерді қолдану
өте жақсы нәтиже беретінін өмірлік тәжірибе көрсетіп отыр.
Диссертациялық жұмыста шекті элементтер әдісінің теориялық негіздеріне
шолу жасалынған және үшбұрышты симплекс элементтердің осал жерлеріне
сараптама жасалынған. Содан кейін төртбұрышты, төрт және сегіз түйінді
элементтерді қолданудың теориясы ашылып жазылып, оларды есептеу
практикасында қолдануға мысалдар келтірілген. Төртбұрышты, біртекті жазық
денеде қалыптасатын температуралық өрісті квадраттық элемент деп аталатын
төртбұрышты сегіз түйінді шекті элементті қолданып зерттеу есебі қойылған.
Есептің шекті элементтер әдісі негізінде құрылған алгоритмін компьютерде
жүзеге асыру үшін жоғары деңгейлі MATLAB жүйесі таңдалған. Диссертациялық
жұмыста аталған жүйеде жасалынған есептеу программасының негізгі блоктарына
терең талдау жасалынған. Графикалық түрде алынған нәтижелер әртүрлі
шекаралық шарттар үшін келтіріліп, сарапталған.
Жұмыстың идеясы:
- Шекті элементтер әдісімен математикалық физика есептерін шешу
жолдарын сараптау;
- Шекті элементтер әдісіндегі шекаралық және бастапқы шарттардың
түрлеріне шолу жасау;
- Жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану ерекшеліктерін
терең зерттеу.
Зерттеулердің мақсаты: Математикалық физика есептерін шекті элементтер
әдісімен шешу барысында кейбір есептердің, әсіресе тұтас денелерде
қалыптасатын кернеулі-деформациялық күйді анықтау есебінде сызықтық
симплекс элемент арқылы алынған неәтижелердің дәлдігі жеткіліксіз болып
жатады. Бұл кемшілікті жоюдың бірден бір жолы жоғары дәрежелі
интерполяциялық полиномдарды қолдану. Диссертациялық жұмыстың мақсаты
жоғары дәрежелі полиномдарды шекті элементтер әдісінде қолданудың ықшам
алгоритмын MATLAB жүйесінде жасап шығу.
Қойылған мақсатқа сәйкес диссертациялық жұмыста келесі жұмыстар
атқарылды:
- математикалық физика есептеріне сараптама жасалынады;
- шекті элементтер әдісінің теориялық негіздеріне шолу жасалынады;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен симплекс
элементтерді қолданып шешудің алгоритмына толық сараптама жасалды;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
кезінде жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану жолдары
анықталып, арнайы есептеу программасы MATLAB жүйесінде жасалынды және нақты
есепте программаның жұмысы тексерілді. Алынған сандық нәтижелер графикалық
түрде көрсетіліп, оларға сараптама жасалынды.
Зерттеу әдістері. Матрицалар алгебрасының ережелері мен әдістерін
MATLAB жүйесінде тиімді қолдану үшін нақты есепті шекті элементтер әдісін
қолданып шешу алгоритмы жасалды.
Қорғауға шығарылған ғылыми тұжырымдар мен нәтижелер:
- математикалық физика есептерін шекті элементтер әдісімен шешкен кезде
шекаралық және бастапқы шарттарды тағайындау ерекшеліктері;
- жылуөткізгіштік матрицасын құру барысында қажет болатын интегралдарды
есептеу жұмысын автоматтандыру жолдары;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында симплекс элементтерді қолдану алгоритмы;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолданып құрылған
есептеу алгоритмының жұмысын нақты мысалда тексеру.
Автордың жеке үлесі:
- зерттеулердің мақсаты анықталып, есептер қойылды;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында жылуөткізгіштік матрицасын симплекс элемент, квадраттық және
кубтық төртбұрышты элементтерді қолданып құрастыру жолдары игерілді;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында квадраттық төртбұрышты элементті қолданудың есептеу программасы
құрылды.
Ғылыми жаңалықтар:
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында төртбұрышты квадраттық элементтерді қолдану жолдары анықталды;
- тұтас денедегі температуралық өрістің шекаралық шарттарға тәуелділігі
зерттелді.
Алынған нәтижелердің ғылыми негізділігі:
Қолданбалы физика, механика және математика есептерінде кеңінен
қолданылып жүрген шекті элементтер әдісін дамыту мақсатында зерттеулер
жүргізілді. Зерттеулер барысында теориялық негіздері көпке белгілі
материалдар қолданылды. Зерттеулердің сандық нәтижелері жоғары деңгейлі
программалаудың MATLAB жүйесінде алынды.
Жұмыстың нәтижелерінің тексерілуі:
Жұмыстың негізгі тұжырымдары мен нәтижелері 2012 жылы ХҚТУ
ұйымдастырған “Өзбекәлі Жәнібеков оқулары” атты III рес. ғыл.-тәжіриб.
ғылыми конференцияда баяндалды.
Жариялануы: Диссертациялық жұмыстың тақырыбы бойынша Шекті
элементтер әдісінде жоғары ретті элементтерді қолдану жолдары деген атпен
Өзбекәлі Жәнібеков оқулары - 2012. III рес. ғыл.-тәжіриб. конференция
материалдарында жеке мақала түрінде жарық көрді. Сонымен бірге ХҚТУ
Хабаршысы журналының 2013 жылғы №1(81) санында Вычисление определителя
матрицы Якоби для изопараметрических и субпараметрических элементов атты
мақаласы жарияланды.
Диссертациялық жұмыстың құрылымы: диссертациялық жұмыс кіріспеден, үш
бөлімнен тұратын негізгі мәтіннен, қорытындыдан және пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде математикалық физика теңдеулерін шешу барысында
тағайыналатын бастапқы және шекаралық шарттардың түрлеріне талдау
жасылынды. Бөлімнің екінші жартысында шекті элементтер әдісінің теориялық
негіздеріне шолу жасалынды. Шекті элементтер әдісін симплекс элементтерді
қолданып жылөткізгіштік есебін шешудің алгоритмына талдау жасалында.
Екінші бөлімде шекті элементтер әдісінде жоғары дәрежелі
интерполяциялық полиномдарды қолдану жолдары қарастырылды. Аталған
элементтердің түрлері келтірілді және оларды қолданып элементтердің
жылуөткізгіштік матрицаларын құрған кезде қажет болатын интегралдарды
сандық әдістермен есептеу жолдары келтірілді. Гаусс-Лежандр квадратурасын
пайдаланып элементтерді анықтайтын қатынастардағы интегралдарды есептеудің
толық алгоритмы келтірілді. Квадраттық және кубтық төртбұрышты
элементтердің пішін функцияларын алу жолдары келтірілді.
Үшінші бөлімде шекті элементтер әдісінде жоғары ретті интерполяциялық
полиномды пайдаланып есеп шығаруға нақты мысал қарастырылды. Алынған сандық
нәтижелер графикалық түрде келтіріліп, оларға сараптама жасалынды. Есептің
шешімінің шекаралық шарттарға тәуелділік деңгейіне талдау жасалынды.
1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ
ҚОЛДАНУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Диссертациялық жұмыстың тақырыбынан жұмыстың негізгі мақсаты шекті
элементтер әдісін математикалық физика есептерін шешуге сандық әдістердің
бірін таңдап, нақты шектік септі шешу екенін көреміз. Алдымен математикалық
физика есептері туралы түсініктерге шолу жасалып, есептердің шекаралық және
бастапқы шарттары туралы, шекті элементтер әдісін қолдануға мүмкіндік
беретін вариациялық принциптер туралы түсініктерді айқындап алу керек.
1.1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ
Қазіргі заманда ғылым мен техниканың көптеген мәселелері
математикалық физика есептерін шешумен байланысты. Жылуөткізгіштік,
диффузия, электрлік статика, электрлік динамика, сұйықтардың ағысы, электр
тогының тығыздығының таралуы, қатты денелердің деформациялануы және тағы
басқа көптеген есептер математикалық физика есептеріне жатады.
Мұндай есептер шекаралық және бастапқы шарттармен бірге
қарастырылатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулермен сипатталады.
Әдетте қолданбалы математика ғылымында қарастырылатын дифференциалдық
теңдеулердің реті екіншіден аспайды. Себебі, осындай теңдеулер сипаттайтын
физикалық құбылыстардың өзі өте үлкен диапазон құрайды. Оның үстіне,
диссертациялық жұмыста келтірілетін әдістерді бұдан да жоғары ретті
дифференциалдық теңдеулерге қолдануға болады. Жалпы жағдайда n тәуелсіз
айнымалының екінші реттегі дербес туындылы дифференциалдық теңдеуі мынадай
түрде болады [1]:
.
Бұл жерде - тәуелсіз айнымалылардың векторы (матрица-қатар); -
тәуелсіз айнымалылардың белгісіз функциясы; - тәуелсіз айнымалылардың
нақты функциялары.
(1.1)-ші теңдеуді үш стандартты канондық түрлердің біреуіне әрқашанда
келтіруге болады. шамаларының өзара қатынасына байланысты теңдеулерді
нүктесіндегі эллипстік, параболалық немесе гиперболалық текті теңдеу
деп бөледі. Мысалы, тәуелсіз айнымалыларының екінші ретті
дифференциалдық
теңдеуінің тегі дискриминант деп аталатын келесі шаманың мәні арқылы
анықталады:
.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
эллипстік теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
параболалық теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
гиперболалық теңдеу болады.
Егер коэффициенттері тұрақты болса және дискриминант
координатаға тәуелсіз болса, онда дискриминанттың таңбасына байланысты
теңдеу толық эллипстік, толық параболалық немесе толық гиперболалық болып
бөлінеді [1].
1.1.1 ШЕКАРАЛЫҚ ЖӘНЕ БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Жоғары математика курсынан әдетте дифференциалдық теңдеулердің шексіз
көп шешімдері болатыны белгілі. Себебі, дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау кезінде пайда болатын белгісіз константалардың кез келген
мәндері берілген дифференциалдық теңдеулерді қанағаттандырады [2].
Математикалық физика есептерін шешу белгілі бір физикалық шамалардың
координаталар мен уақытқа тәуелділігін анықтаумен байланысты. Алынған шешім
әрқашан жалғызмәнді, шекті және үзіліссіз болу керек [2]. Басқаша айтқанда,
математикалық физиканың кез келген есебі жалғыз ғана шешімді (егер ол бар
болса) табуды талап етеді. Сондықтан физикалық есептің математикалық
қойылуы ізделіп отырған функцияны қарастырылып отырған аймақтың ішкі
нүктелерінде сипаттайтын негізгі теңдеулермен бірге (дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулер) қосымша теңдеулерді де қамтуы керек. Қосымша
теңдеулер (дифференциалдық немесе алгебралық) белгісіз функцияның уақыттың
әрбір сәтіндегі шекаралық мәндерін және оның уақыттың алғашқы сәтіндегі
қарастырылып отырған аймақтың ішкі нүктелеріндегі мәндерін сипаттайды (Коши
есебі). Аталған қосымша теңдеулер есептің шекаралық және бастапқы шарттары
деп аталады.
1.1.2 ШЕКАРАЛЫҚ ШАРТТАР
Кезкелген аймағында математикалық физика теңдеуімен
сипатталатын белгілі бір есепті шешу қажет болсын делік. Есептің жалғыз
ғана шешімін табу үшін шекаралық шарт, басқаша айтқанда, белгісіз
айнымалылардың аймағының шекаралық бөлігіндегі мәндері
берілген болуы керек.
Егер аймағы үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген көлем болса, онда
берілген көлемді қоршап тұрған тұйық бет болады. Егер аймағы
екіөлшемді кеңістіктегі кезкелген бет болса, онда берілген бетті
қоршап тұрған тұйық контур болады. Ең соңында, егер аймағы бірөлшемді
кеңістіктегі кезкелген кесінді болса, онда берілген кесіндінің екі
шеткі нүктесі болады.
Шекаралық шарттарды беретін теңдеулердің түріне қарап оларды бірінші
текті (Дирихле шарттары), екінші текті (Нейман шарттары) және үшінші текті
(аралас шарттар) деп бөледі [1].
Бірінші текті шекаралық шарттар немесе Дирихленің шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функция; -
шекарасында берілген кезкелген функция; - шекаралық нүктенің
кеңістіктегі координаталары (мысалы, үшөлшемді кеңістік үшін );
- уақыт.
Егер жылуөткізгіштік есебі қарастырылып отырса, онда бірінші текті
шекаралық шарт шекарасындағы температураны береді. Ток өткізбейтін
ортадағы электростатикалық өрістің таралуы есебінде бірінші текті шекаралық
шарт шекарасындағы электр потенциалын береді және т.б.
Екінші текті шекаралық шарттар немесе Нейманның шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
Бұл жерде - шекарасының ішкі нормалі.
Басқаша айтқанда, Нейман шарттары шекарадағы ағынды, дәлірек айтсақ,
ағын векторының шекараға түсетін нормальға проекциясын береді. Мысалы,
жылуөткізгіштік есептерінде екінші текті шекаралық шарттар жылу ағынын
береді, ал ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы
есепте – электр өрісінің кернеулігінің векторының шекараға түсетін
нормальға проекциясын береді және т.б.
Үшінші текті шекаралық шарттар Дирихле мен Нейман есептерінің
жалпыланған түріне жатады және былайша жазылады:
болғанда .
Бұл жерде - координаталар мен уақыттың белгілі функциялары. Мысалы,
жылу есептерінде үшінші текті шекаралық шарттар шекарадағы конвективті жылу
алмасу мен сәулелік жылу алмасуды беруге пайдаланылады.
1.1.3 БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Бейстационар, уақыт бойынша өзгеріп отыратын, физикалық процестерді
сипаттайтын есптердің жалғыз ғана шешімін табу үшін шекаралық шарттармен
бірге бастапқы шарттарды да беру керек. Бастапқы шарттар айнымалылардың
немесе олардың градиенттерінің қарастырылып отырған аймақтың
шекаралық нүктелерінен бөлек ішкі нүктелеріндегі уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәндерін қамтиды :
болғанда ;
болғанда ;
болғанда .
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функцияның уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәні; - координаталардың белгілі функциялары.
Шекаралық шарттар сияқты, бастапқы шарттардың саны да дифференциалдық
теңдеулердегі уақыт бойынша туындылардың ең үлкен ретімен анықталады [3].
1.1.4 ВАРИАЦИЯЛЫҚ ПРИНЦИПТЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚАША
ТҮСІНІКТЕМЕ
Математикалық физика есептері көп жағдайда жоғары ретті дербес
туындылы дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Бұл теңдеулер күнделікті
өмірде болып жататын физикалық, химиялық және т.б. күрделі процестерді
математикалық тұрғыдан сипаттайды. Әрине, мұндай дифференциалдық
теңдеулердің аналитикалық шешімі қолдануға ыңғайлы болатыны даусыз. Бірақ
олардың санаулы түрлерінің ғана аналитикалық шешімі табылады. Соның өзінде
нақты есептің негізгі табиғи шарттарына көптеген шектеулер мен жеңілдетуші
гипотезалар енгізіледі. Мысалы, біртекті емес, бірнеше бөліктен тұратын,
геометриясы күрделі тұтас дененің кернеулі-деформациялық күйін сипаттайтын
дифференциалдық теңдеудің аналитикалық шешімін табу өте күрделі
математикалық мәселе. Мұндай кезде берілген дифференциалдық теңдеу
вариациялық принциптердің көмегімен шешімі жеңіл табылатын басқа
дифференциалдық, немесе алгебралық теңдеумен алмастырылады.
Алғаш рет вариациялық принциптерді дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулерді шешуге қолданған Эйлер деп есептеледі. Вариациялық принципті
дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді шешуге қолдану үшін алдымен
аталған дифференциалдық теңдеуге сәйкес функционал деп аталатын интегралдық
шама құрастырылуы керек. Бұл әрине зерттеліп отырған процестің табиғи
мағынасын толық түсінбей мүмкін емес. Мысалы, тұтас денеде қалыптасатын
температуралық өріс (стационарлық, немесе бейстационарлық) пен жерасты
суларының ағысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер бірдей түрде
(эллипс, немесе парабола тектес) жазылады. Ал оларға сәйкес функционалдар
әртүрлі болады.
Функционалдарға экстремум беретін функцияны іздеу үшін вариациялық
принципті қолданған кезде Эйлер мынадай қағиданы ұстанған. Егер тәуелсіз
бір айнымалының кез келген функциясының экстремумын табу үшін функцияның
тәуелсіз айнымалы бойынша туындысын нолге теңестіру керек болса, осы әдісті
функционалдарға да қолдануға болады. Себебі екі жағдайда да экстремалдық
нүкте (функция) маңында функция (функционал) өзінің өзгеру жылдамдығын күрт
азайтады, ал шексіздік жағдайында мүлдем доғарады. Демек, оның вариациясы
нолге ұмтылады. Сондықтан Эйлер функционалға экстремум беретін функцияны
тәуелсіз айнымалыға айналдырған.
Физика ғылымында вариациялық принциптер көптеп саналады. Мысалы,
тұтас денедегі температуралық өріс өзгеруін доғарып, стационарлық күйге
көшкен кезде денеде жинақталатын толық жылу мөлшері өзінің ең кіші мәніне
жетеді. Сол сияқты, сыртқы күштердің әсерінен денеде пайда болатын
деформациялардың толық потенциалдық энергиясы дене теп теңдік қалыпқа
көшкен кезде өзінің ең кіші мәнін қабылдайды. Аталған шамаларды анықталған
интеграл түрінде сипаттау арқылы қажетті функционалдар алынады. Алынған
функционалдарды минималдау арқылы оларға минимум беретін функция табылады.
Ал өз кезегінде, бұл функция бастапқы дифференциалдық теңдеудің де шешімі
болады. Келтірілген мысалдардан зерттеліп отырған процеске сәйкес
функционал құру үшін оның физикалық мағынасын толық түсіну қажет екені
түсінікті болып қалады.
1.2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Шекті элементтер әдісі физика мен техникада кездесетін
дифференциалдық теңдеулерді сандық әдіспен шешуге арналған. Бұл әдіс
космостық зерттеулерден туған есептерді шешуге байланысты пайда болған
(1950 ж). Алғаш рет ол Тернердің, Клуждың, Мартин мен Топптың еңбектерінде
жарық көрді [4]. Осының артынан әдісті құрылыс механикасы мен тұтас
денелердің механикасы есептерінде қолданған бірқатар еңбектер пайда болды.
Әдістің теориялық негізделуіне 1963 жылы Мелош [5] көп еңбек сіңірді. Ол
шекті элементтер әдісінің осыған дейін кеңінен таралған Рэлей-Ритц әдісінің
бір варианты екенін дәлелдеді. Құрылыс механикасында шекті элементтер әдісі
потенциалдық энергияны минималдау арқылы есепті тепетеңдіктің сызықтық
алгебралық теңдеулер жүйесіне алып келеді.
Шекті элементтер әдісінің минималдау процедурасымен байланысы әдісті
техниканың басқа салаларындағы көптеген есептерді шешуге кеңінен
пайдалануға мүмкіндік берді. Әдіс Лаплас немесе Пуассон теңдеулерімен
сипатталатын есептерді шешуге қолданылды. Бұл теңдеулерді шешу де белгілі
бір функционалдарды минималдаумен байланысты. Алғашқы басылымдарда [6,7]
шекті элементтер әдісімен жылу таралу есептері шешіліп жүрді. Кейіннен әдіс
гидромеханиканың есептеріне, атап айтқанда, қуысты ортада сұйықтардың ағу
процестерін зерттеуге қолданыла бастады.
Шекті элементтер әдісін қолдану саласының кеңуіне құрылыс
механикасында, жылу таралу процестерінде, гидромеханикада қолданылатын
теңдеулер Галеркин әдісімен немесе ең кіші квадраттар тәсілімен оңай
алынатыны дәлелденуі көп ықпал етті [8,9]. Бұл фактор әдісті теориялық
жағынан негіздеуге көмектесіп, оны кез келген дифференциалдық теңдеулерді
шешуде қолдануға мүмкіндік берді. Айта кету керек, кеңірек жұргізілген
теориялық зерттеулер физикалық есептерді шешуде вариациялық принциптерді
барлық уақытта қолданудың қажеті жоқ екенін дәлелдейді.
Шекті элементтер әдісі құрылыс механикасының есептерін шешуге
арналған сандық әдістен барлық дифференциалдық теңдеулерді немесе олардың
жүйелерін шешуге арналған жалпы әдіске айналды. Бұл прогреске бірнеше
онжылдық аумағында есептеу машиналарының күрт дамуына, ұшатын аппараттарды
дәлірек зерттеу қажеттігіне, космостық зерттеулердің кеңінен дамуына
байланысты қол жетті. Қазіргі кезде шекті элементтер әдісі самолеттер,
ракеталар жасау саласында, атом реакторларын жобалауда және т.б. күрделі
салаларда кеңінен қолданылады.
1.2.1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ КОНЦЕПЦИЯСЫ
Шекті элементтер әдісінің негізгі идеясы кезкелген температура, қысым
және жылжу сияқты үзіліссіз шаманы ішкі аймақтардың шекті санында
анықталатын бөлшекті-үзіліссіз функциялар жиынынан тұратын дискретті
модельмен аппроксимациялауда. Бөлшекті-үзіліссіз функциялар үзіліссіз
шаманың қарастырылып отырған аймақтың жалпы саны шектелген нүктелеріндегі
мәндері арқылы анықталады [10].
Жалпы жағдайда үзіліссіз шама белгісіз, оны аймақтың жалпы саны
шектелген белгілі бір ішкі нүктелерінде анықтау қажет. Дискретті модельді
құру үшін алғашында үзіліссіз шаманың сандық мәндері аймақтың ішкі
нүктелерінде шартты түрде анықталған деп алынады. Одан кейін жалпы жағдайға
көшуге болады. Сонымен, үзіліссіз шаманың дискретті моделін құру мынадай
ретпен орындалады:
- қарастырылып отырған аймақта жалпы саны шектелген нүктелер белгіленеді.
Сурет 1.1
Бұл кезде көбінесе үшбұрыш немесе төртбұрыш түріндегі элементтер
қолданылады.
Сурет 1.2
Бұл нүктелерді түйіндік нүктелер деп немесе түйіндер деп атайды;
- үзіліссіз шаманың әрбір түйіндегі мәні айнымалы және оларды анықтау
керек;
- үзіліссіз шаманың анықталу аймағы жалпы саны шектелген кіші аймақтарға
бөлшектеледі. Бұл кіші аймақтарды элементтер деп атайды. Көрші тұрған
элементтердің ортақ түйіндері болады және элементтердің толық жиыны
берілген аймақты жуықтап аппроксимациялайды;
- үзіліссіз шама әрбір элемент ішінде полином арқылы аппроксимацияланады.
Полином үзіліссіз шаманың түйіндердегі шартты түрде белгілі деп алынған
мәндері арқылы анықталады.
Екі өлшемді жағдайда элементтер айнымалыларына тәуелді
функциямен сипатталады. Бұл кезде элементтердің функциялары жазық (1.1
сурет) немесе қисық (1.2 сурет) беттермен көрсетіледі. Егер элемент үшін
түйіндік нүктелердің ең аз саны пайдаланылса, онда элементтің функциясы
жазық бетпен көрсетіледі. Демек, үшбұрышты элемент үшін үш түйін, ал төрт
бұрышты элемент үшін төрт түйін алынады (1.1 сурет).
Егер қолданылатын түйіндер саны минималдық шамадан артық болса, онда
элементтің функциясына қисық бет сәйкес келеді. Оның үстіне элементтердің
артық саны шегарасы қисық сызықты элементті қарастыруға мүмкіндік береді.
Екі өлшемді үздіксіз шаманың толық аппроксимациясы бөлшекті-үздіксіз
беттердің жиыны түрінде беріледі. Бұл беттердің әрқайсысы
функциясының сәйкес элементтің түйіндеріндегі мәндері арқылы анықталады.
Шекті элементтер әдісінің маңызды аспекті оның элементтер жинағы
ішінен кез келген элементті бөліп алып қарастыру мүмкіндігінде. Бұл аспект
әрбір элементтің тек өзіне тән қасиеттерін ескеруге мүмкіндік береді, ал
пайдаланылатын түйіндер санын еркін таңдау мүмкіндігі, қарастырылып отырған
аймақтың күрделі геометриясын ескеруді жеңілдетеді. Ескерте кететін жағдай,
(1.1) және (1.2) суреттерде келтірілген кеңістік беттер функциясының
кеңістігіндегі қарастырылып отырған элементке сәйкес графигі
(суреттің жоғарғы бөлігі), оны элемент функциясы деп атайды, ал графиктің
жазықтығындағы проекциясы (суреттің төменгі бөлігі) аймақтың сәйкес
элементі екенін ұмытпаған жөн.
1.2.2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ ЭТАПТАРЫ
Физикалық есептің қойылуынан бастап одан шекті элементтер әдісімен
нақты сандық нәтижелер алғанға дейінгі операциялар мынадай ретпен орындалуы
керек [10]:
1. Аймақты дискреттеу - түйіндік нүктелер мен элементтерді тағайындау.
2. Жеке элемент үшін элемент функциясын анықтау.
3. Зерттеліп отырған бүкіл аймақ үшін жекеленген элемент функцияларынан
бөлшекті-үздіксіз функция құрастыру.
4. Физикалық есептің мазмұнына сәйкес алынған функционалды
минималдау арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін құру.
5. Алынған теңдеулер жүйесін тікелей немесе итерациялық әдістердің
бірімен түйіндерге қатысты шешу.
6. Элементте ізделіп отырған шамаларды есептеу.
1.2.3 ЕКІӨЛШЕМДІ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ
Екіөлшемді аймақтың дискретті моделін құру үшін негізінде үшбұрышты
және төртбұрышты шекті элементтер қолданылады. Сызықтық элементтердің
қабырғалары түзу сызық болып келеді (1.3а сурет).
Квадраттық және кубтық элементтердің қабырғалары түзу, қисық немесе
бір қабырғасы түзу, қалғандары қисық және т.б. болып келуі мүмкін.
Қисықсызықты шекараны модельдеу үшін қабырғаның орта тұсында қосымша түйін
(түйіндер) орналастырылады (1.3б,в суреттер).
а
б в
Сурет 1.3
Элементтің қалыңдығы (1.3а сурет) тұрақты немесе координаталардың
функциясы болуы мүмкін.
1.2.4 СЫЗЫҚТЫҚ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛЫҚ ПОЛИНОМДАР
Шекті элементтер әдісі үзіліссіз функцияны (температура, қысым, жылжу
және т.б.) элементтер деп аталатын кіші аймақтарда анықталатын бөлшекті-
үзіліссіз функциялар жиынымен айырбастау идеясына негізделген. Бөлшекті-
үзіліссіз функцияны элемент ішінде аппроксимациялау көбінесе полиномдар
арқылы жүзеге асады. Полиномның дәрежесіне қарай аппроксимация сызықтық
немесе бейсызықтық болып бөлінеді. Полиномның реті элементтің әрбір
түйінінде ізделетін компоненттер санына байланысты, ал полиномның дәрежесі
элементтегі түйіндер санымен анықталады.
Шекті элементтер полиномның ретіне қарай сұрыпталады. Көбінесе
элементтердің үш түрі қолданылады: симплекс-, комплекс- және мультиплекс-
элементтер. Симплекс-элементке тұрақты мүшеден және сызықтық мүшелерден
тұратын полином сәйкес келеді. Мұндай полиномдағы коэффициенттер саны
түйіндердегі компоненттер санынан бір санға артық.
Екі өлшемді үшбұрыш элемент үшін
полиномы симплекс-функция береді. Полином пен - тің сызықтық
функциясы және үшбұрыш симлекс-элементте үш төбе болғандықтан құрамында үш
белгісіз коэффициент бар.
Комплекс-элементтерге құрамында тұрақты мүшемен қоса сызықтық мүшелер
және екінші, үшінші және т.б. дәрежелі мүшелері бар полиномдық функциялар
сәйкес келеді. Комплекс-элементтердің түрі симплекс-элемент сияқты болып
келеді, бірақ полиномның дәрежесіне қарай қабырғаларында, кейбір жағдайда
ішкі нүктелерінде, қосымша түйіндер болады. Екіөлшемді үшбұрышты комплекс-
элементтің интерполяциялық полиномы мынадай түрде алынады:
.
Бұл өрнекте алты коэффициент бар, сондықтан сәйкес комплекс-элементтің алты
түйіні болу керек.
Шекті элементтер әдісінің негізгі этаптарын толық игеру үшін бұдан
былай ең қарапайым шекті элемент, симплекс-элементтерді қарастырамыз.
1.2.5 ЕКІӨЛШЕМДІ СИМПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТ
Екіөлшемді симплекс-элемент 1.4 суретте қөрсетілген. Бұл әрбір
төбесінде бір бірден түйін орналасқан үшбұрыш элемент. Элементте кез келген
-ші төбеден бастап сағат тіліне қарсы бағытта номерлеу реті
қабылданған.
Скалярлық шамасының түйіндік мәндері , және
арқылы, ал үш түйіннің координата жұптары (,, ,
арқылы белгіленген.
Интерполяциялық полином мынадай түрде алынған:
.
(1.1)
Түйіндерде келесі шарттар орындалады:
нүктесінде ,
нүктесінде ,
нүктесінде .
Бұл шарттарды (1.1) өрнекке қойып сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:
,
,
.
Жүйені шешудің нәтижесі мынадай болады:
.
Сурет 1.4
Жүйенің анықтауышы үшбұрыштың ауданымен мынадай байланыста
болады:
.
(1.2)
Анықталған , және мәндерін (1.1) өрнегіне қойсақ
скаляр шамасын былайша түрлендіруге болады:
.
(1.3)
Бұл жерде
және ,
және ,
және . (1.4)
Енді пішін функциясы деп аталатын функциясының түйініндегі
мәнін есептейік:
.
Жақша ішіндегі өрнектің мәні (1.2) өрнегіндегі анықтауыштың мәніне
тең. Демек түйінінде:
функциясының және түйіндеріндегі мәндері нольге тең
екені осы жолмен оңай дәлелденеді.
Скалярлық шамасы элементтің ішінде пен -ке сызықты
тәуелді пішін функциялары арқылы анықталады. Демек, бұл шаманың және
бағыттарындағы градиенттері тұрақты болады.
Әрбір элементтің ішіндегі градиенттің тұрақтылығы жылдам өзгеретін
функциялары үшін өлшемі өте кіші элементтерді пайдалану қажеттігін
талап етеді.
1.2.6 ВЕКТОРЛЫҚ ШАМАЛАРДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
Осыған дейін интерполяциялық қатынастар скалярлық шамаларға қатысты
қарастырылды. Векторлық шамалар, мысалы, жылжулар, мөлшерімен бірге
бағытымен де сипатталады. Мұндай жағдайда әдетте былай жасайды: векторлық
шаманың компоненттерін скалярлық шамалар ретінде қарастырады да, оларға
осыдан бұрын алынған қатынастарды қолданады. Бұл кезде әрбір түйінде,
қарастырылып отырған есебіне байланысты, бір, екі немесе үш белгісіз болуы
мүмкін (түйіннің еркіндік дәрежесіне қарай).
Сурет 1.5
Векторлық шаманың компоненттерін белгілеу реті 1.5 суретте
келтірілген. Барлық компоненттер арқылы белгіленеді. Жекелеген
компоненттер төменгі индекс арқылы ажыратылады. Төменгі индекстердің сандық
мәндері осьтерінің бағыттарына сәйкес реттелген. Индекстердің ең кіші
мәні бағытындағы компонентке сәйкес. Оң таңбалы компоненттің бағыты
сәйкес координата осінің бағытына тура келеді. Ал және
белгілері және осьтері бағытындағы жылжуларға қолданылады.
Жылжулардың компоненттерін және арқылы емес төменгі индекстер
арқылы ғана өзара ажыратылатын арқылы белгілеу есептеу алгоритмін
программалауға жеңілдік туғызады. Бірақ және т.б. екенін ұмытпау
керек.
Бірөлшемді есепте элементтің ішіндегі векторлық шама мен скалярлық
шамалардың интерполяциялық өрнектері бірдей болады, себебі екі жағдайда да
бір ғана белгісіз ізделінеді:
.
Бұл жерде элемент бойымен жылжу шамасы.
Үшбұрышты симплекс-элементтегі векторлық шаманы қарастырғанда
алдыңғы бөлімнің нәтижелерін пайдаланған жөн. Горизонталдық жылжуы
келесі өрнекпен аппроксимацияланады:
,
ал вертикалдық жылжуы
өрнегімен аппроксимацияланады. Соңғы екі қатынасты жылжу векторының барлық
мүмкін түйіндік мәндеріне қатысты жазсақ (нольдік мәндерін де ескеріп):
,
.
Матрицалық жазуды қолдансақ:
.
Келтірілген пішін функциялары мағына жағынан (1.4) өрнегімен бірдей.
Нәтижені алу ретін үшөлшемді жағдайға қолдансақ мынадай формулалар
аламыз:
.
1.2.7 ЖЕРГІЛІКТІ КООРДИНАТАЛАР ЖҮЙЕСІ
Белгісіз шамалардың түйіндік мәндеріне қатысты теңдеулер жүйесін алу
пішін фукцияларының немесе олардың дербес туындыларының элементтің ауданы
бойынша интегралдарын есептеуді қажет етеді. Егер интерполяциялық
қатынастар элементпен байланысты координаталар жүйесінде жазылса
интегралдау процессі көп жеңілдейді. Мұндай координаталар жүйесі жергілікті
(локалдық) координаталар жүйесі деп аталады [10].
Жергілікті координаталар жүйесіндегі интерполяциялық қатынастарды
жалпы (глобалдық) координаталар жүйесінде жазылған теңдеулерді түрлендіру
арқылы алуға болады.
Жергілікті координаталар жүйесінің бас нүктесін 1.6 суретте
көрсетілгендей элементтің ауырлық орталығына орналастырайық.
Координаталарды түрлендіру формуласы былайша жазылады:
.
Бұл жерде пен - элементтің ауырлық орталығының
координаталары:
Сурет 1.6
Глобалдық координаталар жүйесінде пішін функциясы мынадай түрде
болады:
.
Соңғы қатынасқа және арқылы өрнектелген пен
- ті қойсақ:
,
немесе
.
Түрлендіру нәтижесінде және коэффициенттері өзгеріссіз
қалады да бұрынғыша тәуелсіз айнымалыларға көбейтіледі. Бірақ тұрақты
шамасы өзгереді. Бұл жерде = екенін дәлелдеу оңай. Осылайша
элементпен тікелей байланысты координаталар жүйесіндегі пішін функциясының
жаңа түрін аламыз:
Дәл осылайша қалған пішін функцияларына да жаңа өрнектер алынады:
Глобалдық координаталар жүйесінде берілген функцияның интегралы
жергілікті координаталар жүйесінде келесі қатынас арқылы есептеледі:
.
Бұл жерде мен - ескі және жаңа интегралдау аймақтары; -
координаталар жүйесін түрлендірудің анықтауышының абсолюттік шамасы. Бұл
шама элементтің екі координаталар жүйесіндегі аудандарының қатынасына
тең. Біздің жағдайда ==1 және =. Олай болса:
.
Үшбұрышты элемент үшін ыңғайлысы 1.7 суретте келтірілген салыстырмалы
үш , және координаталар арқылы берілген табиғи
координаталар жүйесі. Әрбір табиғи координата үшбұрыштың кезкелген
нүктесінен үшбұрыштың қабырғаларының біреуіне дейінгі қашықтықтың осы
қабырғаға қарсы төбеден түсірілген биіктікке қатынасына тең
(1.7 сурет). қашықтықтың -ден -қа дейін
өзгеретінін ескерсек шамасының нольден бірге дейін өзгеретіні
түсінікті . мен де сол аралықта өзгереді. 1.7в суретте
бойларында координатасы тұрақты мәнін сақтайтын сызықтар көрсетілген.
Бұл сызықтардың әрқайсысы үшбұрыштың координатасы бастап өлшенетін
қабырғасына параллель.
, және координаталары - координаталар деп
аталады. Олардың мәндері элементті бөліп тұрған үшбұрыштардың аудандарының
салыстырмалы шамасын береді. 1.7б суретте көрсетілген нүктесінің
- координаталары 1.8 суреттегі үшбұрыштардың аудандарына тең.
үшбұрышының ауданы мына формуламен беріледі:
Сурет 1.7
Үшбұрыштың - координаталары
Сурет 1.8
Үшбұрыштың кезкелген нүктесімен байланысты үш аудан
Штрихталған үшбұрышының ауданы мынаған тең:
Осы аудандардың қатынасын қарастырайық:
Демек, координатасы штрихталған үшбұрыштың ауданының бүкіл элементтің
ауданына қатынасына тең (1.8 сурет):
.
Осы сияқты формулалар мен үшін де алынады:
, .
болғандықтан ,
(1.5)
(1.5) теңдеуі үш координатаны өзара байланыстырады. Бұл сияқты
теңдеудің пайда болуы заңды, себебі екіөлшемді аймақта үш координата
қалайда өзара байланыста болуға тиіс, себебі, кезкелген нүктенің
элементтегі орыны тек қана екі координата арқылы толық анықталады, демек,
үшінші теңдеу артық болып қалады.
, және координаталарының қасиеттерін (1.5) қатынасын
ескере отырып зерттеу арқылы мынадай бір қызық заңдылық аламыз.
Координаталық , және айнымалылары үшбұрышты
симплекс-элементтің пішін функцияларына тең:
, .
Шынында, 1.7в суретте көрсетілгендей номері -ге тең түйінде
, ал номері немесе -ға тең түйінде . Осы сияқты
қасиеттер мен үшін де орындалады. Оның үстіне (1.5) формулаға
сәйкес элементтің кезкелген нүктесіндегі пішін функцияларының қосындысы
әрқашан бірге тең болады. Сонымен қатар, егер келесі теңдеулерді :
,
,
, және -ке қатысты шешсек, (1.4) сияқты қатынастар аламыз.
Алғашқы екі теңдеу пен координаталарын түйіндік мәндердің
функциялары ретінде көрсетеді.
- координаталарды қолданудың артықшылығы интегралдарды
элементтің қабырғаларының бойымен және оның ауданы бойынша есептеу үшін
арнайы интегралдық формулаларды [5] қолданғанда анық көрінеді:
(1.6)
.
(1.7)
(1.7) қатынасын қолдануды келесі интегралды есептеу арқылы көрсетуге
болады:
.
Бұл жерде мен - пен -тің функциялары.
Элементтің ауданы бойынша есептелетін интегралды былайша түрлендіруге
болады:
.
және координаталары , пішін функцияларына сәйкес
келеді. Ал пішін функциясы интеграл астындағы өрнекке енбегендіктен
(1.7)-ші формуладағы қөбейткішінің дәрежесі нольге тең деп
алынады
(1.6) қатынасы интегралдарды элементтің қабырғалары бойымен есептеуде
қолданылады. шамасы қарастырылып отырған қабырғаның екі түйінінің
арасындағы қашықтық.
1.2.8 КӨЛЕМДІК - КООРДИНАТАЛАР
Тетраэдрлік элемент үшін табиғи координаталар жүйесін енгізу жазық
элементтерге - координаталарын енгізгендегі ретпен жүргізіледі. Төрт
салыстырмалы және қашықтықтар элементтің кезкелген
нүктесінен тетраэдрдың жақтарының біреуіне, мысалы, жағына дейінгі
қашықтықтың осы жаққа қарсы төбеден түсірілген биіктікке
қатынасы арқылы анықталады.
Сурет 1.9
Мұндай координаталар көлемдік - координаталар деп аталады (1.9
сурет). Олар өзара келесі қатынас арқылы байланысқан:
.
(1.8)
Сызықтық тетраэдр үшін пішін функциялары көлемдік -
координаталарға тең:
, , .
(1.9)
Көлемдік интегралдар
(1.10)
қатынасының көмегімен - координаталары арқылы оңай есептеледі.
1.3 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН СТАЦИОНАРЛЫҚ ЖЫЛУ
ТАРАЛУ ЕСЕПТЕРІНДЕ ҚОЛДАНУ
Көптеген инженерлік есептерде денедегі температуралық өрісті анықтау
қажеттігі туады. Егер денедегі температураның таралу заңдылығы белгілі
болса дененің қабылдайтын немесе жоғалтатын жылуының мөлшерін анықтауға
болады. Сонымен бірге, жоғары градиентті температуралық өріс әсерінен қатты
денеде қосымша температуралық кернеулер пайда болады. Мысалы, белгілі
бағытта деформациялануы шектелген денелерде температуралық градиенттің
әсерінен қосымша температуралық кернеулердің пайда болуы заңды. Қосымша
кернеулерді жоғары температуралық режимде жұмыс істейтін механизмдерді,
мысалы, бу генераторларын жобалағанда әрдайым ескеріп отырады.
Диссертациялық жұмыстың негізгі мақсаты шекті элементтер әдісінде
жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану мүмкіндіктерін зерттеу
болғандықтан, алдымен шекті элементтер әдісінде үшбұрышты элементтерді
қолдану тәжірибесін келтіріп, алынған нәтижені жоғары ретті полиномдар
арқылы алынған нәтижемен салыстыру керек. Бұл мақсатқа ең ыңғайлысы жазық
денедегі жылу таралу есебі болады. Төменде жазық денедегі температуралық
өрістің қалыптасу заңдылығын шекті элементтер әдісімен зерттеудің теориялық
негіздері мен есептеу алгоритмдері келтірілген.
1. ЕКІӨЛШЕМДІ ЖЫЛУ ТАРАЛУ ЕСЕБІН ШЕКТІ
ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН ШЕШУДІҢ НЕГІЗГІ АЛГОРИТМДЕРІ
Екіөлшемдік жағдай үшін тұтас денедегі жылуөткізгіштіктің
дифференциалдық теңдеуі былайша жазылады [10]:
(1.11)
Бұл жерде - дененің нүктелеріндегі белгісіз температура, өлшемі 0С;
, - және бағыттарындағы жылуөткізгіштік
коэффициенттері, өлшемі кВт(м(К); - дененің ішіндегі жылу көзі,
өлшемі кВтм3. Егер дене жылу қабылдайтын болса, онда жылу көзінің таңбасы
оң деп есептеледі.
(1.11)–ші теңдеумен бірге шекаралық шарттардың екі түрі
қарастырылады. Егер шекараның бір бөлігінде температура белгілі болса,
онда:
.
(1.12)
Бұл жерде - шекарадағы белгілі температура. Ол бетінің
нүктелерінің координаталарының функциясы болуы мүмкін.
Егер дененің бетінің бір бөлігінде шамасымен сипатталатын
конвективтік жылу алмасу жүретін, ал екінші бір бөлігіне жылу ағыны
әсер ететін болса, онда екінші түрдегі шекаралық шарт былайша жазылады:
. (1.13)
Бұл жерде - конвективтік жылу алмасу коэффициенті, өлшемі
кВт(м2∙К); - дененің бетінің конвективтік жылу алмасу жүретін
бөлігіндегі белгісіз температура, өлшемі 0С; - қоршаған ортаның
белгілі температурасы, өлшемі 0С; , - бағыттағыш косинустар;
- жылу ағынының тығыздығы, өлшемі кВтм2. Дене жылуын беретін болса
жылу ағыны оң таңбалы деп есептеледі.
Жылу ағыны мен конвективтік жылу алмасу дененің
шекарасының бір бөлігінде бір мезгілде орын ала алмайды.
Қарастырылып отырған жылуөткізгіштіктің теңдеулері мен шекаралық
шарттар мынадай заңдардың негізінде алынған:
а) энергияның сақталу заңы;
б) қатты денелердің ішкі нүктелеріндегі кондуктивтік жылуөткізгіштік заңы
(Фурье заңы);
в) қатты дененің беті мен қоршаған сұйық немесе газ түріндегі орта
арасындағы конвективтік жылу алмасу заңы (Ньютон заңы).
Энергияның сақталу заңына ешқандай түсініктеме қажет емес деп
есептесек, бірөлшемді жағдай үшін кондуктивтік жылуөткізгіштік заңын алғаш
рет Фурье мынадай түрде алған:
.
Бұл жерде - уақыттың бірлік өлшемінде осіне
перпендикуляр ауданы арқылы осі бағытында ағып өтетін жылу
мөлшері; - дененің координатасы нүктесіндегі температура;
- жылуөткізгіштік коэффициенті (біздің жағдайда ол арқылы
белгіленеді).
Кондуктивтік жылу алмасу процесін қарапайым түрде былайша түсіндіруге
болады. Тұтас қатты дененің белгілі бір нүктесінде тұрақты жылу көзі
орнатылған болсын делік. Дененің жылу көзіне тікелей көрші тұрған
молекуласы жылу көзінен белгілі бір мөлшерде жылу энергиясын қабылдайды да,
ол энергияны жылу көзінен алыстау тұрған өзінің көрші молекуласымен
бөліседі, ал ол, өз кезегінде, өзінің көршісімен бөліседі. Бұл жағдай жылу
алмасу процесі стационар (уақытқа тәуелсіз) күйге жеткенше жалғаса береді.
Айта кететін жағдай, жылу алмасу процесі алғашында әрқашан бейстационар
(уақытқа тәуелді) күйде болады да, белгілі бір уақыт өткеннен кейін ғана,
жылу көзінің берілген қуаты өзінен біршама алшақ тұрған нүктелердегі
температуралық күйді өзгертуге жеткіліксіз болған кезде ғана стационар
жағдайға көшеді.
Конвективтік жылу алмасу заңдылығын Ньютон мынадай формуламен
өрнектейді:
.
Бұл жерде - уақыттың бірлік өлшемінде ауданы арқылы қоршаған
ортаға ағып өтетін жылу мөлшері; - дененің бетінің температурасы;
- қоршаған ортаның температурасы; - жылу алмасу коэффициенті.
Соңғы кезде анықталғандай, мен коэффициенттері
дененің өзіндік қасиеттерімен бірге денедегі температураға да тәуелді.
Бірақ, арнайы жағдайларда ғана болмаса бұл тәуелділік ескерілмейді де,
көптеген инженерлік есептерде олар тұрақты деп алынады.
Шекаралық (1.12) және (1.13) шарттарын ескеріп (1.11)-ші теңдеуді
шекті элементтер әдісімен шешу келесі
(1.14)
функционалдың минимумын табуға әкеліп саяды.
(1.14)-ші функционал температураның түйіндік мәндерінің ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Қолжазба құқығында
НАДЫРОВ АБУНАСР АБАЙҰЛЫ
ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІКТІҢ ТЕҢДЕУЛЕРІНІҢ КЕЙБІР БАСТАПҚЫ-ШЕКТІК ЕСЕПТЕРІН САНДЫҚ
ӘДІСТЕРМЕН ШЕШУ
Мамандығы 6N0501
Математика магистры академиялық дәрежесін алу
үшін дайындалған диссертация
Ғылыми жетекшісі: тех.ғ.к., доцент Қ.Айтбаев ____________________
Түркістан 2013
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 3
1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ
ФИЗИКА ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ ҚОЛДАНУДЫҢ
ТЕОРИЯЛЫҚ 7
НЕГІЗДЕРІ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
1.1 Математикалық физика 7
теңдеулері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1.1Шекаралық және бастапқы 8
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1.2Шекаралық 9
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... .
1.1.3Бастапқы 10
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..
1.1.4Вариациялық принциптер туралы қысқаша түсініктеме ... ... ... . 10
1.2 Шекті элементтер әдісінің теориялық 11
негіздері ... ... ... ... ... ... . ... .
1.2.1Шекті элементтер әдісінің негізгі 12
концепциясы ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2.2Шекті элементтер әдісінің негізгі 14
этаптары ... ... ... ... ... ... .. ... ...
1.2.3Екіөлшемді элементтердің 15
түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.4Сызықтық интерполяциялық 15
полиномдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.5Екіөлшемді симплекс-элемент 16
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .
1.2.6Векторлық шамаларды 19
интерполяциялау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.2.7Жергілікті координаталар 21
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2.8Көлемдік - 26
координаталар ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
1.3 Шекті элементтер әдісін стационарлық жылу таралу
есептерінде 27
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .
1.3.1Екіөлшемді жылу таралу есебін шекті элементтер әдісімен
шешудің негізгі 28
алгоритмдері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... .
2 ТӨРТБҰРЫШТЫ 41
ЭЛЕМЕНТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1 Сызықтық төртбұрышты 41
элемент ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2 Квадраттық және кубтық төртбұрышты элементтер ... ... ... ... ... 46
2.3 Пішін функцияларының туындыларын 50
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ..
2.4 Элементтерді анықтайтын 54
қатынастар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3 ТӨРТБҰРЫШТЫ КВАДРАТТЫҚ ЭЛЕМЕНТТІ
ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ЕСЕБІНЕ ҚОЛДАНУ ... ... ... ... ... ... ... ... ..68
3.1 Тұтас жазық денедегі жылуөткізгіштік есебінің қойылымы ... .. 68
3.2 Есептеу программасының алгоритмына қысқаша талдау ... ... . 70
3.3 ABU есептеу программасының жұмысының нәтижелеріне қысқаша
cараптама ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 71
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 75
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... 76
КІРІСПЕ
Жұмыстың көкейтестілігі: Ғылым мен техниканың дамыған заманында
физика мен математика саласында классикалық аналитикалық әдістермен қатар
ғылымның қолданбалы бөлігі де қатты дамып келе жатыр. Қолданбалы математика
негізінен сандық әдістерге сүйенеді. Ғылымның бұл саласының соңғы жылдары
ғарыштап дамуына есептеу техникасының және әртүрлі программалау жүйелерінің
дамуы да қатты әсер етуде. Кең таралған сандық әдістерге шекті айырымдар
әдісі, шекаралық интегралдық теңдеулер әдісі және шекті элементтер әдісі
жатады. Аталған әдістердің алғашқы екеуі зерттеу аймағы біртекті болған
кезде қолданылады, себебі бұл әдістерде анықтаушы дифференциалдық теңдеулер
бүкіл зерттеу аймағы үшін бірден құрылады. Оның үстіне бұл әдістерде
зерттеу аймағының геометриясы да аналитикалық түрде сипаттауға ыңғайлы
болғаны шарт. Ал келесі сандық әдіс - шекті элементтер әдісіне аталған
шектеулер бөгет бола алмайды. Шекті элементтер әдісі әсіресе математикалық
физиканың эллипс текті, парабола текті немесе гипербола текті
дифферециалдық теңдеулермен сипатталатын процестерді геометриясы күрделі
және біртекті емес аймақтар үшін зерттеуге қолайлы. Мысалы, шекті
элементтер әдісімен температура, қысым және сол сияқты скалярлық өрістерді
өте үлкен дәлдікпен зерттеуге болады. Бұл кезде шекті элементтің ең
қарапайым түрі, үшбұрышты симплекс элементтерді қолданса жеткілікті. Алайда
техниканың кейбір есептерінде, атап айтқанда тұтас денедегі кернеулі-
деформациялық күйді зерттеген кезде көп жағдайда шешімнің дәлдігі
жеткіліксіз болып жатады. Мұндай жағдай әсіресе зерттеу аймағында
сингулярлық нүктелер бар кезде градиенті жоғары шамалардың аталған нүктелер
маңындағы өзгерісін байқамай қалуға алып келеді. Аталған жағдайдан шығудың
ең ұтымды жолы жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану. Мұндай
полиномдарды үшбұрышты шекті элементтерде де қолдануға болады. Бірақ төрт
түйінді, сегіз және он екі түйінді төртбұрышты шекті элементтерді қолдану
өте жақсы нәтиже беретінін өмірлік тәжірибе көрсетіп отыр.
Диссертациялық жұмыста шекті элементтер әдісінің теориялық негіздеріне
шолу жасалынған және үшбұрышты симплекс элементтердің осал жерлеріне
сараптама жасалынған. Содан кейін төртбұрышты, төрт және сегіз түйінді
элементтерді қолданудың теориясы ашылып жазылып, оларды есептеу
практикасында қолдануға мысалдар келтірілген. Төртбұрышты, біртекті жазық
денеде қалыптасатын температуралық өрісті квадраттық элемент деп аталатын
төртбұрышты сегіз түйінді шекті элементті қолданып зерттеу есебі қойылған.
Есептің шекті элементтер әдісі негізінде құрылған алгоритмін компьютерде
жүзеге асыру үшін жоғары деңгейлі MATLAB жүйесі таңдалған. Диссертациялық
жұмыста аталған жүйеде жасалынған есептеу программасының негізгі блоктарына
терең талдау жасалынған. Графикалық түрде алынған нәтижелер әртүрлі
шекаралық шарттар үшін келтіріліп, сарапталған.
Жұмыстың идеясы:
- Шекті элементтер әдісімен математикалық физика есептерін шешу
жолдарын сараптау;
- Шекті элементтер әдісіндегі шекаралық және бастапқы шарттардың
түрлеріне шолу жасау;
- Жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану ерекшеліктерін
терең зерттеу.
Зерттеулердің мақсаты: Математикалық физика есептерін шекті элементтер
әдісімен шешу барысында кейбір есептердің, әсіресе тұтас денелерде
қалыптасатын кернеулі-деформациялық күйді анықтау есебінде сызықтық
симплекс элемент арқылы алынған неәтижелердің дәлдігі жеткіліксіз болып
жатады. Бұл кемшілікті жоюдың бірден бір жолы жоғары дәрежелі
интерполяциялық полиномдарды қолдану. Диссертациялық жұмыстың мақсаты
жоғары дәрежелі полиномдарды шекті элементтер әдісінде қолданудың ықшам
алгоритмын MATLAB жүйесінде жасап шығу.
Қойылған мақсатқа сәйкес диссертациялық жұмыста келесі жұмыстар
атқарылды:
- математикалық физика есептеріне сараптама жасалынады;
- шекті элементтер әдісінің теориялық негіздеріне шолу жасалынады;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен симплекс
элементтерді қолданып шешудің алгоритмына толық сараптама жасалды;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
кезінде жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану жолдары
анықталып, арнайы есептеу программасы MATLAB жүйесінде жасалынды және нақты
есепте программаның жұмысы тексерілді. Алынған сандық нәтижелер графикалық
түрде көрсетіліп, оларға сараптама жасалынды.
Зерттеу әдістері. Матрицалар алгебрасының ережелері мен әдістерін
MATLAB жүйесінде тиімді қолдану үшін нақты есепті шекті элементтер әдісін
қолданып шешу алгоритмы жасалды.
Қорғауға шығарылған ғылыми тұжырымдар мен нәтижелер:
- математикалық физика есептерін шекті элементтер әдісімен шешкен кезде
шекаралық және бастапқы шарттарды тағайындау ерекшеліктері;
- жылуөткізгіштік матрицасын құру барысында қажет болатын интегралдарды
есептеу жұмысын автоматтандыру жолдары;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында симплекс элементтерді қолдану алгоритмы;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолданып құрылған
есептеу алгоритмының жұмысын нақты мысалда тексеру.
Автордың жеке үлесі:
- зерттеулердің мақсаты анықталып, есептер қойылды;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында жылуөткізгіштік матрицасын симплекс элемент, квадраттық және
кубтық төртбұрышты элементтерді қолданып құрастыру жолдары игерілді;
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында квадраттық төртбұрышты элементті қолданудың есептеу программасы
құрылды.
Ғылыми жаңалықтар:
- тұтас денедегі жылуөткізгіштік есебін шекті элементтер әдісімен шешу
барысында төртбұрышты квадраттық элементтерді қолдану жолдары анықталды;
- тұтас денедегі температуралық өрістің шекаралық шарттарға тәуелділігі
зерттелді.
Алынған нәтижелердің ғылыми негізділігі:
Қолданбалы физика, механика және математика есептерінде кеңінен
қолданылып жүрген шекті элементтер әдісін дамыту мақсатында зерттеулер
жүргізілді. Зерттеулер барысында теориялық негіздері көпке белгілі
материалдар қолданылды. Зерттеулердің сандық нәтижелері жоғары деңгейлі
программалаудың MATLAB жүйесінде алынды.
Жұмыстың нәтижелерінің тексерілуі:
Жұмыстың негізгі тұжырымдары мен нәтижелері 2012 жылы ХҚТУ
ұйымдастырған “Өзбекәлі Жәнібеков оқулары” атты III рес. ғыл.-тәжіриб.
ғылыми конференцияда баяндалды.
Жариялануы: Диссертациялық жұмыстың тақырыбы бойынша Шекті
элементтер әдісінде жоғары ретті элементтерді қолдану жолдары деген атпен
Өзбекәлі Жәнібеков оқулары - 2012. III рес. ғыл.-тәжіриб. конференция
материалдарында жеке мақала түрінде жарық көрді. Сонымен бірге ХҚТУ
Хабаршысы журналының 2013 жылғы №1(81) санында Вычисление определителя
матрицы Якоби для изопараметрических и субпараметрических элементов атты
мақаласы жарияланды.
Диссертациялық жұмыстың құрылымы: диссертациялық жұмыс кіріспеден, үш
бөлімнен тұратын негізгі мәтіннен, қорытындыдан және пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде математикалық физика теңдеулерін шешу барысында
тағайыналатын бастапқы және шекаралық шарттардың түрлеріне талдау
жасылынды. Бөлімнің екінші жартысында шекті элементтер әдісінің теориялық
негіздеріне шолу жасалынды. Шекті элементтер әдісін симплекс элементтерді
қолданып жылөткізгіштік есебін шешудің алгоритмына талдау жасалында.
Екінші бөлімде шекті элементтер әдісінде жоғары дәрежелі
интерполяциялық полиномдарды қолдану жолдары қарастырылды. Аталған
элементтердің түрлері келтірілді және оларды қолданып элементтердің
жылуөткізгіштік матрицаларын құрған кезде қажет болатын интегралдарды
сандық әдістермен есептеу жолдары келтірілді. Гаусс-Лежандр квадратурасын
пайдаланып элементтерді анықтайтын қатынастардағы интегралдарды есептеудің
толық алгоритмы келтірілді. Квадраттық және кубтық төртбұрышты
элементтердің пішін функцияларын алу жолдары келтірілді.
Үшінші бөлімде шекті элементтер әдісінде жоғары ретті интерполяциялық
полиномды пайдаланып есеп шығаруға нақты мысал қарастырылды. Алынған сандық
нәтижелер графикалық түрде келтіріліп, оларға сараптама жасалынды. Есептің
шешімінің шекаралық шарттарға тәуелділік деңгейіне талдау жасалынды.
1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ
ҚОЛДАНУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Диссертациялық жұмыстың тақырыбынан жұмыстың негізгі мақсаты шекті
элементтер әдісін математикалық физика есептерін шешуге сандық әдістердің
бірін таңдап, нақты шектік септі шешу екенін көреміз. Алдымен математикалық
физика есептері туралы түсініктерге шолу жасалып, есептердің шекаралық және
бастапқы шарттары туралы, шекті элементтер әдісін қолдануға мүмкіндік
беретін вариациялық принциптер туралы түсініктерді айқындап алу керек.
1.1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ
Қазіргі заманда ғылым мен техниканың көптеген мәселелері
математикалық физика есептерін шешумен байланысты. Жылуөткізгіштік,
диффузия, электрлік статика, электрлік динамика, сұйықтардың ағысы, электр
тогының тығыздығының таралуы, қатты денелердің деформациялануы және тағы
басқа көптеген есептер математикалық физика есептеріне жатады.
Мұндай есептер шекаралық және бастапқы шарттармен бірге
қарастырылатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулермен сипатталады.
Әдетте қолданбалы математика ғылымында қарастырылатын дифференциалдық
теңдеулердің реті екіншіден аспайды. Себебі, осындай теңдеулер сипаттайтын
физикалық құбылыстардың өзі өте үлкен диапазон құрайды. Оның үстіне,
диссертациялық жұмыста келтірілетін әдістерді бұдан да жоғары ретті
дифференциалдық теңдеулерге қолдануға болады. Жалпы жағдайда n тәуелсіз
айнымалының екінші реттегі дербес туындылы дифференциалдық теңдеуі мынадай
түрде болады [1]:
.
Бұл жерде - тәуелсіз айнымалылардың векторы (матрица-қатар); -
тәуелсіз айнымалылардың белгісіз функциясы; - тәуелсіз айнымалылардың
нақты функциялары.
(1.1)-ші теңдеуді үш стандартты канондық түрлердің біреуіне әрқашанда
келтіруге болады. шамаларының өзара қатынасына байланысты теңдеулерді
нүктесіндегі эллипстік, параболалық немесе гиперболалық текті теңдеу
деп бөледі. Мысалы, тәуелсіз айнымалыларының екінші ретті
дифференциалдық
теңдеуінің тегі дискриминант деп аталатын келесі шаманың мәні арқылы
анықталады:
.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
эллипстік теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
параболалық теңдеу болады.
Егер болса, онда дифференциалдық теңдеу нүктесінде
гиперболалық теңдеу болады.
Егер коэффициенттері тұрақты болса және дискриминант
координатаға тәуелсіз болса, онда дискриминанттың таңбасына байланысты
теңдеу толық эллипстік, толық параболалық немесе толық гиперболалық болып
бөлінеді [1].
1.1.1 ШЕКАРАЛЫҚ ЖӘНЕ БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Жоғары математика курсынан әдетте дифференциалдық теңдеулердің шексіз
көп шешімдері болатыны белгілі. Себебі, дифференциалдық теңдеулерді
интегралдау кезінде пайда болатын белгісіз константалардың кез келген
мәндері берілген дифференциалдық теңдеулерді қанағаттандырады [2].
Математикалық физика есептерін шешу белгілі бір физикалық шамалардың
координаталар мен уақытқа тәуелділігін анықтаумен байланысты. Алынған шешім
әрқашан жалғызмәнді, шекті және үзіліссіз болу керек [2]. Басқаша айтқанда,
математикалық физиканың кез келген есебі жалғыз ғана шешімді (егер ол бар
болса) табуды талап етеді. Сондықтан физикалық есептің математикалық
қойылуы ізделіп отырған функцияны қарастырылып отырған аймақтың ішкі
нүктелерінде сипаттайтын негізгі теңдеулермен бірге (дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулер) қосымша теңдеулерді де қамтуы керек. Қосымша
теңдеулер (дифференциалдық немесе алгебралық) белгісіз функцияның уақыттың
әрбір сәтіндегі шекаралық мәндерін және оның уақыттың алғашқы сәтіндегі
қарастырылып отырған аймақтың ішкі нүктелеріндегі мәндерін сипаттайды (Коши
есебі). Аталған қосымша теңдеулер есептің шекаралық және бастапқы шарттары
деп аталады.
1.1.2 ШЕКАРАЛЫҚ ШАРТТАР
Кезкелген аймағында математикалық физика теңдеуімен
сипатталатын белгілі бір есепті шешу қажет болсын делік. Есептің жалғыз
ғана шешімін табу үшін шекаралық шарт, басқаша айтқанда, белгісіз
айнымалылардың аймағының шекаралық бөлігіндегі мәндері
берілген болуы керек.
Егер аймағы үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген көлем болса, онда
берілген көлемді қоршап тұрған тұйық бет болады. Егер аймағы
екіөлшемді кеңістіктегі кезкелген бет болса, онда берілген бетті
қоршап тұрған тұйық контур болады. Ең соңында, егер аймағы бірөлшемді
кеңістіктегі кезкелген кесінді болса, онда берілген кесіндінің екі
шеткі нүктесі болады.
Шекаралық шарттарды беретін теңдеулердің түріне қарап оларды бірінші
текті (Дирихле шарттары), екінші текті (Нейман шарттары) және үшінші текті
(аралас шарттар) деп бөледі [1].
Бірінші текті шекаралық шарттар немесе Дирихленің шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функция; -
шекарасында берілген кезкелген функция; - шекаралық нүктенің
кеңістіктегі координаталары (мысалы, үшөлшемді кеңістік үшін );
- уақыт.
Егер жылуөткізгіштік есебі қарастырылып отырса, онда бірінші текті
шекаралық шарт шекарасындағы температураны береді. Ток өткізбейтін
ортадағы электростатикалық өрістің таралуы есебінде бірінші текті шекаралық
шарт шекарасындағы электр потенциалын береді және т.б.
Екінші текті шекаралық шарттар немесе Нейманның шекаралық есебі
былайша беріледі:
болғанда .
Бұл жерде - шекарасының ішкі нормалі.
Басқаша айтқанда, Нейман шарттары шекарадағы ағынды, дәлірек айтсақ,
ағын векторының шекараға түсетін нормальға проекциясын береді. Мысалы,
жылуөткізгіштік есептерінде екінші текті шекаралық шарттар жылу ағынын
береді, ал ток өткізбейтін ортада электростатикалық өрістің таралуы туралы
есепте – электр өрісінің кернеулігінің векторының шекараға түсетін
нормальға проекциясын береді және т.б.
Үшінші текті шекаралық шарттар Дирихле мен Нейман есептерінің
жалпыланған түріне жатады және былайша жазылады:
болғанда .
Бұл жерде - координаталар мен уақыттың белгілі функциялары. Мысалы,
жылу есептерінде үшінші текті шекаралық шарттар шекарадағы конвективті жылу
алмасу мен сәулелік жылу алмасуды беруге пайдаланылады.
1.1.3 БАСТАПҚЫ ШАРТТАР
Бейстационар, уақыт бойынша өзгеріп отыратын, физикалық процестерді
сипаттайтын есптердің жалғыз ғана шешімін табу үшін шекаралық шарттармен
бірге бастапқы шарттарды да беру керек. Бастапқы шарттар айнымалылардың
немесе олардың градиенттерінің қарастырылып отырған аймақтың
шекаралық нүктелерінен бөлек ішкі нүктелеріндегі уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәндерін қамтиды :
болғанда ;
болғанда ;
болғанда .
Бұл жерде - ізделіп отырған белгісіз функцияның уақыттың бастапқы
сәтіндегі мәні; - координаталардың белгілі функциялары.
Шекаралық шарттар сияқты, бастапқы шарттардың саны да дифференциалдық
теңдеулердегі уақыт бойынша туындылардың ең үлкен ретімен анықталады [3].
1.1.4 ВАРИАЦИЯЛЫҚ ПРИНЦИПТЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚАША
ТҮСІНІКТЕМЕ
Математикалық физика есептері көп жағдайда жоғары ретті дербес
туындылы дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Бұл теңдеулер күнделікті
өмірде болып жататын физикалық, химиялық және т.б. күрделі процестерді
математикалық тұрғыдан сипаттайды. Әрине, мұндай дифференциалдық
теңдеулердің аналитикалық шешімі қолдануға ыңғайлы болатыны даусыз. Бірақ
олардың санаулы түрлерінің ғана аналитикалық шешімі табылады. Соның өзінде
нақты есептің негізгі табиғи шарттарына көптеген шектеулер мен жеңілдетуші
гипотезалар енгізіледі. Мысалы, біртекті емес, бірнеше бөліктен тұратын,
геометриясы күрделі тұтас дененің кернеулі-деформациялық күйін сипаттайтын
дифференциалдық теңдеудің аналитикалық шешімін табу өте күрделі
математикалық мәселе. Мұндай кезде берілген дифференциалдық теңдеу
вариациялық принциптердің көмегімен шешімі жеңіл табылатын басқа
дифференциалдық, немесе алгебралық теңдеумен алмастырылады.
Алғаш рет вариациялық принциптерді дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулерді шешуге қолданған Эйлер деп есептеледі. Вариациялық принципті
дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді шешуге қолдану үшін алдымен
аталған дифференциалдық теңдеуге сәйкес функционал деп аталатын интегралдық
шама құрастырылуы керек. Бұл әрине зерттеліп отырған процестің табиғи
мағынасын толық түсінбей мүмкін емес. Мысалы, тұтас денеде қалыптасатын
температуралық өріс (стационарлық, немесе бейстационарлық) пен жерасты
суларының ағысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер бірдей түрде
(эллипс, немесе парабола тектес) жазылады. Ал оларға сәйкес функционалдар
әртүрлі болады.
Функционалдарға экстремум беретін функцияны іздеу үшін вариациялық
принципті қолданған кезде Эйлер мынадай қағиданы ұстанған. Егер тәуелсіз
бір айнымалының кез келген функциясының экстремумын табу үшін функцияның
тәуелсіз айнымалы бойынша туындысын нолге теңестіру керек болса, осы әдісті
функционалдарға да қолдануға болады. Себебі екі жағдайда да экстремалдық
нүкте (функция) маңында функция (функционал) өзінің өзгеру жылдамдығын күрт
азайтады, ал шексіздік жағдайында мүлдем доғарады. Демек, оның вариациясы
нолге ұмтылады. Сондықтан Эйлер функционалға экстремум беретін функцияны
тәуелсіз айнымалыға айналдырған.
Физика ғылымында вариациялық принциптер көптеп саналады. Мысалы,
тұтас денедегі температуралық өріс өзгеруін доғарып, стационарлық күйге
көшкен кезде денеде жинақталатын толық жылу мөлшері өзінің ең кіші мәніне
жетеді. Сол сияқты, сыртқы күштердің әсерінен денеде пайда болатын
деформациялардың толық потенциалдық энергиясы дене теп теңдік қалыпқа
көшкен кезде өзінің ең кіші мәнін қабылдайды. Аталған шамаларды анықталған
интеграл түрінде сипаттау арқылы қажетті функционалдар алынады. Алынған
функционалдарды минималдау арқылы оларға минимум беретін функция табылады.
Ал өз кезегінде, бұл функция бастапқы дифференциалдық теңдеудің де шешімі
болады. Келтірілген мысалдардан зерттеліп отырған процеске сәйкес
функционал құру үшін оның физикалық мағынасын толық түсіну қажет екені
түсінікті болып қалады.
1.2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Шекті элементтер әдісі физика мен техникада кездесетін
дифференциалдық теңдеулерді сандық әдіспен шешуге арналған. Бұл әдіс
космостық зерттеулерден туған есептерді шешуге байланысты пайда болған
(1950 ж). Алғаш рет ол Тернердің, Клуждың, Мартин мен Топптың еңбектерінде
жарық көрді [4]. Осының артынан әдісті құрылыс механикасы мен тұтас
денелердің механикасы есептерінде қолданған бірқатар еңбектер пайда болды.
Әдістің теориялық негізделуіне 1963 жылы Мелош [5] көп еңбек сіңірді. Ол
шекті элементтер әдісінің осыған дейін кеңінен таралған Рэлей-Ритц әдісінің
бір варианты екенін дәлелдеді. Құрылыс механикасында шекті элементтер әдісі
потенциалдық энергияны минималдау арқылы есепті тепетеңдіктің сызықтық
алгебралық теңдеулер жүйесіне алып келеді.
Шекті элементтер әдісінің минималдау процедурасымен байланысы әдісті
техниканың басқа салаларындағы көптеген есептерді шешуге кеңінен
пайдалануға мүмкіндік берді. Әдіс Лаплас немесе Пуассон теңдеулерімен
сипатталатын есептерді шешуге қолданылды. Бұл теңдеулерді шешу де белгілі
бір функционалдарды минималдаумен байланысты. Алғашқы басылымдарда [6,7]
шекті элементтер әдісімен жылу таралу есептері шешіліп жүрді. Кейіннен әдіс
гидромеханиканың есептеріне, атап айтқанда, қуысты ортада сұйықтардың ағу
процестерін зерттеуге қолданыла бастады.
Шекті элементтер әдісін қолдану саласының кеңуіне құрылыс
механикасында, жылу таралу процестерінде, гидромеханикада қолданылатын
теңдеулер Галеркин әдісімен немесе ең кіші квадраттар тәсілімен оңай
алынатыны дәлелденуі көп ықпал етті [8,9]. Бұл фактор әдісті теориялық
жағынан негіздеуге көмектесіп, оны кез келген дифференциалдық теңдеулерді
шешуде қолдануға мүмкіндік берді. Айта кету керек, кеңірек жұргізілген
теориялық зерттеулер физикалық есептерді шешуде вариациялық принциптерді
барлық уақытта қолданудың қажеті жоқ екенін дәлелдейді.
Шекті элементтер әдісі құрылыс механикасының есептерін шешуге
арналған сандық әдістен барлық дифференциалдық теңдеулерді немесе олардың
жүйелерін шешуге арналған жалпы әдіске айналды. Бұл прогреске бірнеше
онжылдық аумағында есептеу машиналарының күрт дамуына, ұшатын аппараттарды
дәлірек зерттеу қажеттігіне, космостық зерттеулердің кеңінен дамуына
байланысты қол жетті. Қазіргі кезде шекті элементтер әдісі самолеттер,
ракеталар жасау саласында, атом реакторларын жобалауда және т.б. күрделі
салаларда кеңінен қолданылады.
1.2.1 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ КОНЦЕПЦИЯСЫ
Шекті элементтер әдісінің негізгі идеясы кезкелген температура, қысым
және жылжу сияқты үзіліссіз шаманы ішкі аймақтардың шекті санында
анықталатын бөлшекті-үзіліссіз функциялар жиынынан тұратын дискретті
модельмен аппроксимациялауда. Бөлшекті-үзіліссіз функциялар үзіліссіз
шаманың қарастырылып отырған аймақтың жалпы саны шектелген нүктелеріндегі
мәндері арқылы анықталады [10].
Жалпы жағдайда үзіліссіз шама белгісіз, оны аймақтың жалпы саны
шектелген белгілі бір ішкі нүктелерінде анықтау қажет. Дискретті модельді
құру үшін алғашында үзіліссіз шаманың сандық мәндері аймақтың ішкі
нүктелерінде шартты түрде анықталған деп алынады. Одан кейін жалпы жағдайға
көшуге болады. Сонымен, үзіліссіз шаманың дискретті моделін құру мынадай
ретпен орындалады:
- қарастырылып отырған аймақта жалпы саны шектелген нүктелер белгіленеді.
Сурет 1.1
Бұл кезде көбінесе үшбұрыш немесе төртбұрыш түріндегі элементтер
қолданылады.
Сурет 1.2
Бұл нүктелерді түйіндік нүктелер деп немесе түйіндер деп атайды;
- үзіліссіз шаманың әрбір түйіндегі мәні айнымалы және оларды анықтау
керек;
- үзіліссіз шаманың анықталу аймағы жалпы саны шектелген кіші аймақтарға
бөлшектеледі. Бұл кіші аймақтарды элементтер деп атайды. Көрші тұрған
элементтердің ортақ түйіндері болады және элементтердің толық жиыны
берілген аймақты жуықтап аппроксимациялайды;
- үзіліссіз шама әрбір элемент ішінде полином арқылы аппроксимацияланады.
Полином үзіліссіз шаманың түйіндердегі шартты түрде белгілі деп алынған
мәндері арқылы анықталады.
Екі өлшемді жағдайда элементтер айнымалыларына тәуелді
функциямен сипатталады. Бұл кезде элементтердің функциялары жазық (1.1
сурет) немесе қисық (1.2 сурет) беттермен көрсетіледі. Егер элемент үшін
түйіндік нүктелердің ең аз саны пайдаланылса, онда элементтің функциясы
жазық бетпен көрсетіледі. Демек, үшбұрышты элемент үшін үш түйін, ал төрт
бұрышты элемент үшін төрт түйін алынады (1.1 сурет).
Егер қолданылатын түйіндер саны минималдық шамадан артық болса, онда
элементтің функциясына қисық бет сәйкес келеді. Оның үстіне элементтердің
артық саны шегарасы қисық сызықты элементті қарастыруға мүмкіндік береді.
Екі өлшемді үздіксіз шаманың толық аппроксимациясы бөлшекті-үздіксіз
беттердің жиыны түрінде беріледі. Бұл беттердің әрқайсысы
функциясының сәйкес элементтің түйіндеріндегі мәндері арқылы анықталады.
Шекті элементтер әдісінің маңызды аспекті оның элементтер жинағы
ішінен кез келген элементті бөліп алып қарастыру мүмкіндігінде. Бұл аспект
әрбір элементтің тек өзіне тән қасиеттерін ескеруге мүмкіндік береді, ал
пайдаланылатын түйіндер санын еркін таңдау мүмкіндігі, қарастырылып отырған
аймақтың күрделі геометриясын ескеруді жеңілдетеді. Ескерте кететін жағдай,
(1.1) және (1.2) суреттерде келтірілген кеңістік беттер функциясының
кеңістігіндегі қарастырылып отырған элементке сәйкес графигі
(суреттің жоғарғы бөлігі), оны элемент функциясы деп атайды, ал графиктің
жазықтығындағы проекциясы (суреттің төменгі бөлігі) аймақтың сәйкес
элементі екенін ұмытпаған жөн.
1.2.2 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІНІҢ НЕГІЗГІ ЭТАПТАРЫ
Физикалық есептің қойылуынан бастап одан шекті элементтер әдісімен
нақты сандық нәтижелер алғанға дейінгі операциялар мынадай ретпен орындалуы
керек [10]:
1. Аймақты дискреттеу - түйіндік нүктелер мен элементтерді тағайындау.
2. Жеке элемент үшін элемент функциясын анықтау.
3. Зерттеліп отырған бүкіл аймақ үшін жекеленген элемент функцияларынан
бөлшекті-үздіксіз функция құрастыру.
4. Физикалық есептің мазмұнына сәйкес алынған функционалды
минималдау арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін құру.
5. Алынған теңдеулер жүйесін тікелей немесе итерациялық әдістердің
бірімен түйіндерге қатысты шешу.
6. Элементте ізделіп отырған шамаларды есептеу.
1.2.3 ЕКІӨЛШЕМДІ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ
Екіөлшемді аймақтың дискретті моделін құру үшін негізінде үшбұрышты
және төртбұрышты шекті элементтер қолданылады. Сызықтық элементтердің
қабырғалары түзу сызық болып келеді (1.3а сурет).
Квадраттық және кубтық элементтердің қабырғалары түзу, қисық немесе
бір қабырғасы түзу, қалғандары қисық және т.б. болып келуі мүмкін.
Қисықсызықты шекараны модельдеу үшін қабырғаның орта тұсында қосымша түйін
(түйіндер) орналастырылады (1.3б,в суреттер).
а
б в
Сурет 1.3
Элементтің қалыңдығы (1.3а сурет) тұрақты немесе координаталардың
функциясы болуы мүмкін.
1.2.4 СЫЗЫҚТЫҚ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛЫҚ ПОЛИНОМДАР
Шекті элементтер әдісі үзіліссіз функцияны (температура, қысым, жылжу
және т.б.) элементтер деп аталатын кіші аймақтарда анықталатын бөлшекті-
үзіліссіз функциялар жиынымен айырбастау идеясына негізделген. Бөлшекті-
үзіліссіз функцияны элемент ішінде аппроксимациялау көбінесе полиномдар
арқылы жүзеге асады. Полиномның дәрежесіне қарай аппроксимация сызықтық
немесе бейсызықтық болып бөлінеді. Полиномның реті элементтің әрбір
түйінінде ізделетін компоненттер санына байланысты, ал полиномның дәрежесі
элементтегі түйіндер санымен анықталады.
Шекті элементтер полиномның ретіне қарай сұрыпталады. Көбінесе
элементтердің үш түрі қолданылады: симплекс-, комплекс- және мультиплекс-
элементтер. Симплекс-элементке тұрақты мүшеден және сызықтық мүшелерден
тұратын полином сәйкес келеді. Мұндай полиномдағы коэффициенттер саны
түйіндердегі компоненттер санынан бір санға артық.
Екі өлшемді үшбұрыш элемент үшін
полиномы симплекс-функция береді. Полином пен - тің сызықтық
функциясы және үшбұрыш симлекс-элементте үш төбе болғандықтан құрамында үш
белгісіз коэффициент бар.
Комплекс-элементтерге құрамында тұрақты мүшемен қоса сызықтық мүшелер
және екінші, үшінші және т.б. дәрежелі мүшелері бар полиномдық функциялар
сәйкес келеді. Комплекс-элементтердің түрі симплекс-элемент сияқты болып
келеді, бірақ полиномның дәрежесіне қарай қабырғаларында, кейбір жағдайда
ішкі нүктелерінде, қосымша түйіндер болады. Екіөлшемді үшбұрышты комплекс-
элементтің интерполяциялық полиномы мынадай түрде алынады:
.
Бұл өрнекте алты коэффициент бар, сондықтан сәйкес комплекс-элементтің алты
түйіні болу керек.
Шекті элементтер әдісінің негізгі этаптарын толық игеру үшін бұдан
былай ең қарапайым шекті элемент, симплекс-элементтерді қарастырамыз.
1.2.5 ЕКІӨЛШЕМДІ СИМПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТ
Екіөлшемді симплекс-элемент 1.4 суретте қөрсетілген. Бұл әрбір
төбесінде бір бірден түйін орналасқан үшбұрыш элемент. Элементте кез келген
-ші төбеден бастап сағат тіліне қарсы бағытта номерлеу реті
қабылданған.
Скалярлық шамасының түйіндік мәндері , және
арқылы, ал үш түйіннің координата жұптары (,, ,
арқылы белгіленген.
Интерполяциялық полином мынадай түрде алынған:
.
(1.1)
Түйіндерде келесі шарттар орындалады:
нүктесінде ,
нүктесінде ,
нүктесінде .
Бұл шарттарды (1.1) өрнекке қойып сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:
,
,
.
Жүйені шешудің нәтижесі мынадай болады:
.
Сурет 1.4
Жүйенің анықтауышы үшбұрыштың ауданымен мынадай байланыста
болады:
.
(1.2)
Анықталған , және мәндерін (1.1) өрнегіне қойсақ
скаляр шамасын былайша түрлендіруге болады:
.
(1.3)
Бұл жерде
және ,
және ,
және . (1.4)
Енді пішін функциясы деп аталатын функциясының түйініндегі
мәнін есептейік:
.
Жақша ішіндегі өрнектің мәні (1.2) өрнегіндегі анықтауыштың мәніне
тең. Демек түйінінде:
функциясының және түйіндеріндегі мәндері нольге тең
екені осы жолмен оңай дәлелденеді.
Скалярлық шамасы элементтің ішінде пен -ке сызықты
тәуелді пішін функциялары арқылы анықталады. Демек, бұл шаманың және
бағыттарындағы градиенттері тұрақты болады.
Әрбір элементтің ішіндегі градиенттің тұрақтылығы жылдам өзгеретін
функциялары үшін өлшемі өте кіші элементтерді пайдалану қажеттігін
талап етеді.
1.2.6 ВЕКТОРЛЫҚ ШАМАЛАРДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
Осыған дейін интерполяциялық қатынастар скалярлық шамаларға қатысты
қарастырылды. Векторлық шамалар, мысалы, жылжулар, мөлшерімен бірге
бағытымен де сипатталады. Мұндай жағдайда әдетте былай жасайды: векторлық
шаманың компоненттерін скалярлық шамалар ретінде қарастырады да, оларға
осыдан бұрын алынған қатынастарды қолданады. Бұл кезде әрбір түйінде,
қарастырылып отырған есебіне байланысты, бір, екі немесе үш белгісіз болуы
мүмкін (түйіннің еркіндік дәрежесіне қарай).
Сурет 1.5
Векторлық шаманың компоненттерін белгілеу реті 1.5 суретте
келтірілген. Барлық компоненттер арқылы белгіленеді. Жекелеген
компоненттер төменгі индекс арқылы ажыратылады. Төменгі индекстердің сандық
мәндері осьтерінің бағыттарына сәйкес реттелген. Индекстердің ең кіші
мәні бағытындағы компонентке сәйкес. Оң таңбалы компоненттің бағыты
сәйкес координата осінің бағытына тура келеді. Ал және
белгілері және осьтері бағытындағы жылжуларға қолданылады.
Жылжулардың компоненттерін және арқылы емес төменгі индекстер
арқылы ғана өзара ажыратылатын арқылы белгілеу есептеу алгоритмін
программалауға жеңілдік туғызады. Бірақ және т.б. екенін ұмытпау
керек.
Бірөлшемді есепте элементтің ішіндегі векторлық шама мен скалярлық
шамалардың интерполяциялық өрнектері бірдей болады, себебі екі жағдайда да
бір ғана белгісіз ізделінеді:
.
Бұл жерде элемент бойымен жылжу шамасы.
Үшбұрышты симплекс-элементтегі векторлық шаманы қарастырғанда
алдыңғы бөлімнің нәтижелерін пайдаланған жөн. Горизонталдық жылжуы
келесі өрнекпен аппроксимацияланады:
,
ал вертикалдық жылжуы
өрнегімен аппроксимацияланады. Соңғы екі қатынасты жылжу векторының барлық
мүмкін түйіндік мәндеріне қатысты жазсақ (нольдік мәндерін де ескеріп):
,
.
Матрицалық жазуды қолдансақ:
.
Келтірілген пішін функциялары мағына жағынан (1.4) өрнегімен бірдей.
Нәтижені алу ретін үшөлшемді жағдайға қолдансақ мынадай формулалар
аламыз:
.
1.2.7 ЖЕРГІЛІКТІ КООРДИНАТАЛАР ЖҮЙЕСІ
Белгісіз шамалардың түйіндік мәндеріне қатысты теңдеулер жүйесін алу
пішін фукцияларының немесе олардың дербес туындыларының элементтің ауданы
бойынша интегралдарын есептеуді қажет етеді. Егер интерполяциялық
қатынастар элементпен байланысты координаталар жүйесінде жазылса
интегралдау процессі көп жеңілдейді. Мұндай координаталар жүйесі жергілікті
(локалдық) координаталар жүйесі деп аталады [10].
Жергілікті координаталар жүйесіндегі интерполяциялық қатынастарды
жалпы (глобалдық) координаталар жүйесінде жазылған теңдеулерді түрлендіру
арқылы алуға болады.
Жергілікті координаталар жүйесінің бас нүктесін 1.6 суретте
көрсетілгендей элементтің ауырлық орталығына орналастырайық.
Координаталарды түрлендіру формуласы былайша жазылады:
.
Бұл жерде пен - элементтің ауырлық орталығының
координаталары:
Сурет 1.6
Глобалдық координаталар жүйесінде пішін функциясы мынадай түрде
болады:
.
Соңғы қатынасқа және арқылы өрнектелген пен
- ті қойсақ:
,
немесе
.
Түрлендіру нәтижесінде және коэффициенттері өзгеріссіз
қалады да бұрынғыша тәуелсіз айнымалыларға көбейтіледі. Бірақ тұрақты
шамасы өзгереді. Бұл жерде = екенін дәлелдеу оңай. Осылайша
элементпен тікелей байланысты координаталар жүйесіндегі пішін функциясының
жаңа түрін аламыз:
Дәл осылайша қалған пішін функцияларына да жаңа өрнектер алынады:
Глобалдық координаталар жүйесінде берілген функцияның интегралы
жергілікті координаталар жүйесінде келесі қатынас арқылы есептеледі:
.
Бұл жерде мен - ескі және жаңа интегралдау аймақтары; -
координаталар жүйесін түрлендірудің анықтауышының абсолюттік шамасы. Бұл
шама элементтің екі координаталар жүйесіндегі аудандарының қатынасына
тең. Біздің жағдайда ==1 және =. Олай болса:
.
Үшбұрышты элемент үшін ыңғайлысы 1.7 суретте келтірілген салыстырмалы
үш , және координаталар арқылы берілген табиғи
координаталар жүйесі. Әрбір табиғи координата үшбұрыштың кезкелген
нүктесінен үшбұрыштың қабырғаларының біреуіне дейінгі қашықтықтың осы
қабырғаға қарсы төбеден түсірілген биіктікке қатынасына тең
(1.7 сурет). қашықтықтың -ден -қа дейін
өзгеретінін ескерсек шамасының нольден бірге дейін өзгеретіні
түсінікті . мен де сол аралықта өзгереді. 1.7в суретте
бойларында координатасы тұрақты мәнін сақтайтын сызықтар көрсетілген.
Бұл сызықтардың әрқайсысы үшбұрыштың координатасы бастап өлшенетін
қабырғасына параллель.
, және координаталары - координаталар деп
аталады. Олардың мәндері элементті бөліп тұрған үшбұрыштардың аудандарының
салыстырмалы шамасын береді. 1.7б суретте көрсетілген нүктесінің
- координаталары 1.8 суреттегі үшбұрыштардың аудандарына тең.
үшбұрышының ауданы мына формуламен беріледі:
Сурет 1.7
Үшбұрыштың - координаталары
Сурет 1.8
Үшбұрыштың кезкелген нүктесімен байланысты үш аудан
Штрихталған үшбұрышының ауданы мынаған тең:
Осы аудандардың қатынасын қарастырайық:
Демек, координатасы штрихталған үшбұрыштың ауданының бүкіл элементтің
ауданына қатынасына тең (1.8 сурет):
.
Осы сияқты формулалар мен үшін де алынады:
, .
болғандықтан ,
(1.5)
(1.5) теңдеуі үш координатаны өзара байланыстырады. Бұл сияқты
теңдеудің пайда болуы заңды, себебі екіөлшемді аймақта үш координата
қалайда өзара байланыста болуға тиіс, себебі, кезкелген нүктенің
элементтегі орыны тек қана екі координата арқылы толық анықталады, демек,
үшінші теңдеу артық болып қалады.
, және координаталарының қасиеттерін (1.5) қатынасын
ескере отырып зерттеу арқылы мынадай бір қызық заңдылық аламыз.
Координаталық , және айнымалылары үшбұрышты
симплекс-элементтің пішін функцияларына тең:
, .
Шынында, 1.7в суретте көрсетілгендей номері -ге тең түйінде
, ал номері немесе -ға тең түйінде . Осы сияқты
қасиеттер мен үшін де орындалады. Оның үстіне (1.5) формулаға
сәйкес элементтің кезкелген нүктесіндегі пішін функцияларының қосындысы
әрқашан бірге тең болады. Сонымен қатар, егер келесі теңдеулерді :
,
,
, және -ке қатысты шешсек, (1.4) сияқты қатынастар аламыз.
Алғашқы екі теңдеу пен координаталарын түйіндік мәндердің
функциялары ретінде көрсетеді.
- координаталарды қолданудың артықшылығы интегралдарды
элементтің қабырғаларының бойымен және оның ауданы бойынша есептеу үшін
арнайы интегралдық формулаларды [5] қолданғанда анық көрінеді:
(1.6)
.
(1.7)
(1.7) қатынасын қолдануды келесі интегралды есептеу арқылы көрсетуге
болады:
.
Бұл жерде мен - пен -тің функциялары.
Элементтің ауданы бойынша есептелетін интегралды былайша түрлендіруге
болады:
.
және координаталары , пішін функцияларына сәйкес
келеді. Ал пішін функциясы интеграл астындағы өрнекке енбегендіктен
(1.7)-ші формуладағы қөбейткішінің дәрежесі нольге тең деп
алынады
(1.6) қатынасы интегралдарды элементтің қабырғалары бойымен есептеуде
қолданылады. шамасы қарастырылып отырған қабырғаның екі түйінінің
арасындағы қашықтық.
1.2.8 КӨЛЕМДІК - КООРДИНАТАЛАР
Тетраэдрлік элемент үшін табиғи координаталар жүйесін енгізу жазық
элементтерге - координаталарын енгізгендегі ретпен жүргізіледі. Төрт
салыстырмалы және қашықтықтар элементтің кезкелген
нүктесінен тетраэдрдың жақтарының біреуіне, мысалы, жағына дейінгі
қашықтықтың осы жаққа қарсы төбеден түсірілген биіктікке
қатынасы арқылы анықталады.
Сурет 1.9
Мұндай координаталар көлемдік - координаталар деп аталады (1.9
сурет). Олар өзара келесі қатынас арқылы байланысқан:
.
(1.8)
Сызықтық тетраэдр үшін пішін функциялары көлемдік -
координаталарға тең:
, , .
(1.9)
Көлемдік интегралдар
(1.10)
қатынасының көмегімен - координаталары арқылы оңай есептеледі.
1.3 ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІН СТАЦИОНАРЛЫҚ ЖЫЛУ
ТАРАЛУ ЕСЕПТЕРІНДЕ ҚОЛДАНУ
Көптеген инженерлік есептерде денедегі температуралық өрісті анықтау
қажеттігі туады. Егер денедегі температураның таралу заңдылығы белгілі
болса дененің қабылдайтын немесе жоғалтатын жылуының мөлшерін анықтауға
болады. Сонымен бірге, жоғары градиентті температуралық өріс әсерінен қатты
денеде қосымша температуралық кернеулер пайда болады. Мысалы, белгілі
бағытта деформациялануы шектелген денелерде температуралық градиенттің
әсерінен қосымша температуралық кернеулердің пайда болуы заңды. Қосымша
кернеулерді жоғары температуралық режимде жұмыс істейтін механизмдерді,
мысалы, бу генераторларын жобалағанда әрдайым ескеріп отырады.
Диссертациялық жұмыстың негізгі мақсаты шекті элементтер әдісінде
жоғары ретті интерполяциялық полиномдарды қолдану мүмкіндіктерін зерттеу
болғандықтан, алдымен шекті элементтер әдісінде үшбұрышты элементтерді
қолдану тәжірибесін келтіріп, алынған нәтижені жоғары ретті полиномдар
арқылы алынған нәтижемен салыстыру керек. Бұл мақсатқа ең ыңғайлысы жазық
денедегі жылу таралу есебі болады. Төменде жазық денедегі температуралық
өрістің қалыптасу заңдылығын шекті элементтер әдісімен зерттеудің теориялық
негіздері мен есептеу алгоритмдері келтірілген.
1. ЕКІӨЛШЕМДІ ЖЫЛУ ТАРАЛУ ЕСЕБІН ШЕКТІ
ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН ШЕШУДІҢ НЕГІЗГІ АЛГОРИТМДЕРІ
Екіөлшемдік жағдай үшін тұтас денедегі жылуөткізгіштіктің
дифференциалдық теңдеуі былайша жазылады [10]:
(1.11)
Бұл жерде - дененің нүктелеріндегі белгісіз температура, өлшемі 0С;
, - және бағыттарындағы жылуөткізгіштік
коэффициенттері, өлшемі кВт(м(К); - дененің ішіндегі жылу көзі,
өлшемі кВтм3. Егер дене жылу қабылдайтын болса, онда жылу көзінің таңбасы
оң деп есептеледі.
(1.11)–ші теңдеумен бірге шекаралық шарттардың екі түрі
қарастырылады. Егер шекараның бір бөлігінде температура белгілі болса,
онда:
.
(1.12)
Бұл жерде - шекарадағы белгілі температура. Ол бетінің
нүктелерінің координаталарының функциясы болуы мүмкін.
Егер дененің бетінің бір бөлігінде шамасымен сипатталатын
конвективтік жылу алмасу жүретін, ал екінші бір бөлігіне жылу ағыны
әсер ететін болса, онда екінші түрдегі шекаралық шарт былайша жазылады:
. (1.13)
Бұл жерде - конвективтік жылу алмасу коэффициенті, өлшемі
кВт(м2∙К); - дененің бетінің конвективтік жылу алмасу жүретін
бөлігіндегі белгісіз температура, өлшемі 0С; - қоршаған ортаның
белгілі температурасы, өлшемі 0С; , - бағыттағыш косинустар;
- жылу ағынының тығыздығы, өлшемі кВтм2. Дене жылуын беретін болса
жылу ағыны оң таңбалы деп есептеледі.
Жылу ағыны мен конвективтік жылу алмасу дененің
шекарасының бір бөлігінде бір мезгілде орын ала алмайды.
Қарастырылып отырған жылуөткізгіштіктің теңдеулері мен шекаралық
шарттар мынадай заңдардың негізінде алынған:
а) энергияның сақталу заңы;
б) қатты денелердің ішкі нүктелеріндегі кондуктивтік жылуөткізгіштік заңы
(Фурье заңы);
в) қатты дененің беті мен қоршаған сұйық немесе газ түріндегі орта
арасындағы конвективтік жылу алмасу заңы (Ньютон заңы).
Энергияның сақталу заңына ешқандай түсініктеме қажет емес деп
есептесек, бірөлшемді жағдай үшін кондуктивтік жылуөткізгіштік заңын алғаш
рет Фурье мынадай түрде алған:
.
Бұл жерде - уақыттың бірлік өлшемінде осіне
перпендикуляр ауданы арқылы осі бағытында ағып өтетін жылу
мөлшері; - дененің координатасы нүктесіндегі температура;
- жылуөткізгіштік коэффициенті (біздің жағдайда ол арқылы
белгіленеді).
Кондуктивтік жылу алмасу процесін қарапайым түрде былайша түсіндіруге
болады. Тұтас қатты дененің белгілі бір нүктесінде тұрақты жылу көзі
орнатылған болсын делік. Дененің жылу көзіне тікелей көрші тұрған
молекуласы жылу көзінен белгілі бір мөлшерде жылу энергиясын қабылдайды да,
ол энергияны жылу көзінен алыстау тұрған өзінің көрші молекуласымен
бөліседі, ал ол, өз кезегінде, өзінің көршісімен бөліседі. Бұл жағдай жылу
алмасу процесі стационар (уақытқа тәуелсіз) күйге жеткенше жалғаса береді.
Айта кететін жағдай, жылу алмасу процесі алғашында әрқашан бейстационар
(уақытқа тәуелді) күйде болады да, белгілі бір уақыт өткеннен кейін ғана,
жылу көзінің берілген қуаты өзінен біршама алшақ тұрған нүктелердегі
температуралық күйді өзгертуге жеткіліксіз болған кезде ғана стационар
жағдайға көшеді.
Конвективтік жылу алмасу заңдылығын Ньютон мынадай формуламен
өрнектейді:
.
Бұл жерде - уақыттың бірлік өлшемінде ауданы арқылы қоршаған
ортаға ағып өтетін жылу мөлшері; - дененің бетінің температурасы;
- қоршаған ортаның температурасы; - жылу алмасу коэффициенті.
Соңғы кезде анықталғандай, мен коэффициенттері
дененің өзіндік қасиеттерімен бірге денедегі температураға да тәуелді.
Бірақ, арнайы жағдайларда ғана болмаса бұл тәуелділік ескерілмейді де,
көптеген инженерлік есептерде олар тұрақты деп алынады.
Шекаралық (1.12) және (1.13) шарттарын ескеріп (1.11)-ші теңдеуді
шекті элементтер әдісімен шешу келесі
(1.14)
функционалдың минимумын табуға әкеліп саяды.
(1.14)-ші функционал температураның түйіндік мәндерінің ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz