Шектер теориясы жайлы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

Ф-ОБ-001/035

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Қ. А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

«Математика» кафедрасы

Курстық жұмыс

Тақырыбы: Шектер теориясы

Орындаған: Шәмшиева Г.

Ғылыми жетекші: Назарова К.

Түркістан 2012

Ф-ОБ-001/035

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

I тарау: Тізбектің шегі

1. 1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері . . . 4

1. 2 Шегі бар тізбектердің қасиеттері6

1. 3 Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен тізбектер . . . 8

1. 4 Тізбектің шегі туралы теоремалар . . . 9

1. 5 Теңсіздіктерде шекке көшу . . . 12

1. 6 Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті

шарты . . . 13

1. 7 Тізбектің жинақталуының Коши критерийі . . . 15

1. 8 Тізбекшелер. Больцано-Вейерштрасс теоремасы . . . 17

1. 9 Анықталмаған өрнектер . . . 18

II тарау : Функция шегі

Функция шегінің екі анықтамасы және олардың пара - парлығы……20
Бір жақты шектер . . . 21
Функцияның шексіздіктегі шегі . . . 23
Шегі бар функцияның шенделгендігі . . . . 24
Функция шектері туралы теоремалар . . . . . . 25
Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен функциялар…… . . . . 26
Функция шегінің бар болуының қажетті және жеткілікті белгісі

(Коши критерийі) . . . . 28

Бірсарынды функция бар болуының қажетті және

жеткілікті шарты. . 31

Қорытынды . . . 34

Пайдаланылған әдебиеттер. . 35

Ф-ОБ-001/035

Кіріспе

Мен өзімнің курстық жұмысымда Шектер теориясы туралы қарастырамыз яғни:

Егер кез - келген оң

\[\begin{array}{c}{{\underline{{{\mathcal{C}}}\Phi}}}\\ {{\underline{{{\langle\Omega\rangle}}}}}\end{array}\]

санына сәйкес натурал

\[{\mathcal{N}}_{G}\]

саны табылып, барлық

\[n>n_{e}\]

нөмірлері үшін

\[\left|x_{n}-\,a\right|<\varepsilon\]

теңсіздігі орындалса, онда a саны

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:

\[\operatorname*{liPi}_{n\mathrm{(g)}_{\infty}}\chi_{n}\implies\mathcal{Q}\]

Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:

1) Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілді қолданғанда n нөмері бойынша тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып көрсетіледі.

2) Рекуренттік тәсіл. Бүл тәсілді қолданғанда тізбектің біріншісі беріледі және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері бойынша кез - келген мүшесін табу үшін формула беріледі.

Мысал. а) кез - келген n ≥ 2 үшін a = an-1+d; б) кез - келген n ≥ 2 үшін bn = bn-1 ∙ q ; а) және б) формулалары сәйкес

\[\left\langle{\hat{a}}_{t}\right\rangle\]

және

\[[b_{n}\}\]

тізбектерінің берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез - келген мүшесін табуға мүмкіндік береді. Тізбектің рекуренттік тәсілмен берілуі шапшаң есептейтін элетрондық есептеуіш машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді.

3) Баяндап беру тәсілі. Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да, немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болу

мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.

а) 2, 3, 5, 7, 11, . . . ; б) 2; 2, 2; 2, 23; 2, 236; 2, 2361; . . . Бұл тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жай сандар тізбегі, ал екіншісі -

\[{\sqrt{5}}\]

саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.

Ф-ОБ-001/035

I тарау Тізбектің шегі

1. 1 Сандық тізбек және оның шегі, берілу тәсілдері .

Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны атайды. Бұл функцияны f әріпімен белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына f (1) мәні, 2 санына f (2) мәні т. с. с. сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:

n f (n) .

Бұл шамаларды сәйкес түрде

\[\int_{1}\]

= f (1),

\[f_{2}\]

= f (2), …,

\[\textstyle{\int_{n}}\]

= f (n), … арқылы белгілеп, оларды тізбектің бірінші, екінші, және т. с. с. n -ші мүшелері деп атайды. n -ші мүшені тіэбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі

\[\textstyle{\int_{n}}\]

болатын тізбекті

\[\left\{f_{1},f_{2},\ldots f_{n},\ldots\right\}\]

немесе

\[\textstyle{\int_{n}}\]

арқылы белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі. ‏ ‍‌

Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері мыналар:

Мысал. а) кез - келген n ≥ 2 үшін a = an-1+d; б) кез - келген n ≥ 2 үшін bn = bn-1 ∙ q ; а) және б) формулалары сәйкес

\[\left\langle{\hat{a}}_{t}\right\rangle\]

және

\[[b_{n}\}\]

Ф-ОБ-001/035

мүмкін. Осы айтылғанды мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.

\[{\sqrt{5}}\]

саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.

Тізбектердің қарапайым сипаттамалары.

а) Шенделген және шенделмеген тізбектер. Егер с > 0 саны табылып,

барлық үшін

\[\left|x_{n}\right|\leq c\]

теңсіздігі орындалса, онда

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегі шенделген

тізбек деп аталады. (символдар арқылы :

\[{\bf S}{\tilde{n}}>0|^{u}\;n\hat{\bf I}\;\;N|{\bf P}\;\;|x_{n}|\;\leq c\]

) . Жоғарыдан

және төменнен шенелген тізбектердің анықтамалары осыған ұқсас түрде

тұжырымдалады.

Мысал үшін тізбектің жоғарыдан шенделгендігін символдармен жазылуын келтірейік. Егер

\[{\mathfrak{G}}M{\mathfrak{t}}^{\mid\ n}\ n\ {\mathfrak{I}}\ {\textbf{N}}\ x_{n}\ \leq M\]

орындалса, онда

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегі жоғарыдан шенделген деп аталады. Сонда М саны тізбектің жоғарғы шені деп аталады. Енді тізбектің шенделгендігін терістеу арқылы оның шенделмегендігінің анықтамасын (символдар көмегімен) берейік. Егер

үшін

\[\Im\jmath\eta_{0}\ \widehat{\Lambda}\ \ M\ \rightarrow\ \Big|\chi_{n_{0}}\Big|\]

>c орындалса, онда

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегі шенделмеген деп аталады.

б) Тізбек үшін жұп болу, не тақ болу деген түсініктердің мағынасы болмайды, өйткені N жиыны симмметриялы емес ( N жиынына n саны енгенімен - n саны енбей отыр) .

в) Тізбек үшін периодты, не периодсыз болу деген түсініктердің де мағынасы жоқ, өйткені N жиыны периодты емес.

г) Бірсарынды тізбектер. Барлық n

\[\bigoplus\]

N үшін

\[x_{n}\ теңсіздігі орындалса, онда

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегі өспелі тізбек деп аталады. Егер барлық n

\[\bigoplus\]

N үшін

\[\textstyle x_{n}\ \leq x_{n+1}\]

теңсіздігі орындалса, онда

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегі кемімейтін тізбек деп

Ф-ОБ-001/035

аталады. Өспелі, кемімейтін, кемімелі және өспейтін тізбектерді жалпы бірсарынды тізбектер деп атайды.

Тізбек шегін анықтау

1- анықтама. Егер кез - келген оң

\[\begin{array}{c}{{\underline{{{\mathcal{C}}}\Phi}}}\\ {{\underline{{{\langle\Omega\rangle}}}}}\end{array}\]

санына сәйкес натурал

\[{\mathcal{N}}_{G}\]

саны табылып, барлық

\[n>n_{e}\]

нөмірлері үшін

\[\left|x_{n}-\,a\right|<\varepsilon\]

теңсіздігі орындалса, онда a саны

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:

немесе

\[n\ \mathbb{G}\ \intercal\infty\]

жағдайда

\[\textstyle{X_{n}\to\;Q}\]

(символдар арқылы

\[\operatorname*{li}_{n\mathrm{(g)}_{\infty}\chi_{n}}\subseteq\left(\frac{1}{N-N}\right)\]

\[\hat{\mathrm{U}}\;^{\mathrm{n}}\;e>0.9m_{e}|n>n e\;\hat{\mathrm{U}}\;|x_{n}-a\;|<\varepsilon\]

) . Шегі бар тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын жинақталмайтын тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде

\[\left|x_{n}-\,a\right|<\varepsilon\]

теңсіздігі

\[-\ e\ немесе

\[a-\,e\, теңсіздігімен пара - пар, олай болса, барлық

\[n>n_{e}\]

үшін

\[x\ \in{\cal D}_{s}(a)\]

, яғни a нүктесінің

\[\begin{array}{c}{{\underline{{{\mathcal{C}}}\Phi}}}\\ {{\underline{{{\langle\Omega\rangle}}}}}\end{array}\]

- маңайы тізбектің

\[n>n_{e}\]

нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды.
Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.

2- анықтама . Егер a нүктесінің кез - келген

\[\begin{array}{c}{{\underline{{{\mathcal{C}}}\Phi}}}\\ {{\underline{{{\langle\Omega\rangle}}}}}\end{array}\]

маңайы

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегінің саны арқылы

\[\begin{array}{l l}{\P\forall}&{\downarrow}\\ {\downarrow}&{\forall2\ 3\cdots\bullet\geqslant\sum_{n_{s}}\overbrace{\ \}}}\end{array}\]

мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы a санын

\[\left\{x_{n}\right\}\]

тізбегінің шегі деп атайды.

1. 2 Шегі бар тізбектердің қасиеттері

1- теорема. Егер

\[\textstyle{X_{n}}\]

тізбегінің шегі бар болса, онда ол шек жалғыз.

\[\textstyle{X_{n}}\]

тізбегінің шегі a және b бар деп жориық. Олардың

\[\scriptstyle O_{\circ}\left(a\right)\]

\[O_{\varepsilon_{2}}(b)\]

маңайларын

\[O_{e_{1}}(a)|\setminus O_{e_{2}}(b)=\mathcal{D}\]

( яғни қиылыспайтындай) етіп алайық.

\[\textstyle{X_{n}\to Q}\]

ұмтылғанда

\[\textstyle{\mathcal{X}}_{n}\]

тізбегінің

\[\partial_{s}\left(a\right)\]

маңайының сыртында жатқан мүшелері арқылы жиын, олай болса

\[\textstyle{X_{n}}\]

тізбегінің

\[O_{\varepsilon_{2}}(b)\]

маңайында жатқан мүшелері ақырсыз жиын бола алмайды , сондықтан, анықтама бойынша « b» саны

\[\textstyle{X_{n}}\]

тізбегінің шегі бола алмайды.

Ф-ОБ-001/035

2- теорема. Егер

\[\textstyle{X_{n}}\]

тізбегі жинақты болса, онда ол тізбек - шенелген.

\[\operatorname{lim}x_{n}\simeq d\]

деп алайық.

\[{\boldsymbol{\varepsilon}}=1\]

саны берілсін.

\[\mathbf{\pi}^{n}n>n_{1}\]

нөмерлері бар

\[\textstyle{\mathcal{X}}_{n}\]

мүшелері үшін

\[\left|x_{n}-\,a\right|<1\]

орындалатындай етіп

\[{\mathcal{N}}_{1}\]

оң бүтін санын табамыз. Онда (

\[n>n_{1}\]

)

\[\left|x_{n}\right|-\left|a\right|\Xi\left|x_{n}-\,a\right|<1\]

, бұдан

\[n>n_{1}\]

\[\left|X_{n}\right|<1+\left|Q\right|\]

аламыз. Енді

\[\left\lfloor X_{1}\right\rfloor,\left\lfloor X_{2}\right\rfloor,\dots,\left\lfloor X_{n}\right\rfloor.\]

\[1+\left|{\cal Q}\right|\]

сандарының ең үлкенін М деп алсақ, онда

\[\mathrm{\Gamma}_{n}\ \in N,\]

\[\left|x_{n}\right| аламыз.

Ескерту. Тізбек жинақты болу үшін тізбектің шенелген болуы қажетті, бірақ бұл - жеткіліксіз шарт.

3 - теорема. Егер

\[x_{n}\in(a,b)\]

болса, онда

\[\operatorname*{lim}x\ =c\in[a,b]\]

4- теорема. Егер

\[|\dot{\mathrm{1II}}\,\chi_{n}\,=\,\vert\dot{\mathrm{1II}}\ y_{n}\,=\,d\]

және

\[{\cal X}_{n}\ \Xi\ {\cal Z}_{n}\ \ \le y_{n}\]

, n= 1, 2 . . . болса онда

\[\operatorname{lim}z_{n}=d\]

\[{\mathfrak{E}}\setminus0\]

саны берілсін. Онда

\[{}^{+}\ H>N_{1}\]

нөмірлері үшін

\[\:\underline{{{Q}}}\,-\,\underline{{{g}}}\ \triangleleft\underline{{{\chi}}}_{n}\,,\:\]

нөмірлері үшін

\[y_{n}\

Орындалатындай

\[\textstyle{N_{1}}\]

және

\[N_{2}\]

сандары табылады.

Ал нөмірлері үшін

\[a-\,e\,

Яғни

\[\left|z_{n}-\,a\right|<\varepsilon\]

(

\[n>n_{e}\]

) орындалады.

5- теорема. Егер

\[\textstyle{X_{n}\to Q}\]

, онда

\[\left|\chi_{n}\right|\longrightarrow\ \left|Q\right|\]

Кeлесі екі тұжырым, пара-пар: (

\[\textstyle{X_{n}\to Q}\]

)

\[\stackrel{\sqrt{-\gamma}}{\longleftrightarrow}\]

(

\[\mathrm{\Gamma}^{n}\,\mathcal{E}\,>0\]

Оң сан берілсе

\[\mathrm{\Gamma}_{n}\gg n_{e}\]

нөмірлері үшін

\[\left|x_{n}-\,a\right|<\varepsilon\]

теңсіздігі орындалатындай

\[{\mathcal{N}}_{s}\]

саны табылады) .

теңсіздігі орындалатыны белгілі. Олай болса

\[\mathrm{\Gamma}^{n}\,\mathcal{E}\,>0\]

саны берілсе

\[n>n_{e}\]

\[<\varepsilon\]

орындалатыны

\[{\mathcal{N}}_{s}\]

саны бар, яғни

\[\operatorname*{lim}|x_{n}|=|a|\]

Ф-ОБ-001/035

1. 3 Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен тізбектер.

1- анықтама . Егер

\[\left\{a_{n}\right\}\]

тізбегінің шегі 0 -ге тең болса, онда ол ақырсыз кіші тізбек деп аталады (

\[\operatorname*{lim}_{n\in\alpha}{\alpha_{n}}=0\]

) . Басқаша айтқанда, егер кез- келген

\[\scriptstyle e\;>0\]

үшін,

\[{\mathcal{N}}_{s}\]

нөмірі табылып, барлық

\[n>n_{e}\]

нөмірлері үшін

\[\left\vert a_{\ n}-\ 0\right\vert=\left\vert a_{\ n}<\varepsilon\right\vert\]

теңсіздігі орындалса, онда

\[\left\{a_{n}\right\}\]

тізбегі ақырсыз кіші тізбек деп аталады (символдар арқылы

\[\left\{a_{n}\right\}\]

ақырсыз кіші

\[{\textbf{U}}^{n}\varepsilon>0\]

\[\mathrm{S}n_{e}|n>n_{e}\mathrm{\textbf{p}}|a_{n}|<\varepsilon\]

) . Ақырсыз кіші тізбек кез - келген жинақталатын тізбек сияқты, шенделген тізбек болады.

1-теорема .

\[\operatorname*{liPi}_{n\mathrm{(g)}_{\infty}}\chi_{n}\implies\mathcal{Q}\]

теңдігі орындалуы үшін

\[x_{n}=a+\alpha_{n}\]

мұндағы

\[\operatorname*{lim}_{n\in\alpha}{\alpha_{n}}=0\]

теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Бұл теореманы символдарды пайдаланып, дәлелдейік. Тізбектің жинақталатын болу анықтамасынан:

\[{\bf S}n_{\!_{e}}|n>n_{_{E}}{\bf\gamma_{\pi}}{\bf\gamma_{\pi}}|x_{n}-a|<\varepsilon.\]

\[x_{n}\ -\ a=\alpha_{n}\]

деп белгілісік,

\[\begin{array}{l}{{\downarrow\Pi\Pi\downarrow\chi_{n}\ \longrightarrow\ Q\ \bar{\bigcup}\ \ \vdash\ Q\ \gg\ ()}}\end{array}\]

, яғни

\[{\boldsymbol{a}}_{n}\]

ақырсыз кіші тізбек. Демек,

\[\operatorname*{lim}_{n\mathrm{\&}\smallsetminus\cdots}\chi_{n}\underline{{{\not=}}}\underline{{{}}}\]

\[\stackrel{\leftarrow\sim}{\longleftrightarrow}\]

\[\textstyle x_{n}=a+\alpha_{n}\]

формуласын аламыз. Пара - парлық таңбасы жоғарыда келтірілген шарттың қажетті де жеткілікті де екенін білдіреді. Бұл теорема іс жүзінде қолдануға ыңғайлы.

2- анықтама . Егер кез -келген Е> 0 санына сәйкес

\[{n_{E}}\,\]

нөмірі табылып, барлық

\[n>n_{E}\]

нөмірлері үшін

\[y_{n}\,>\,H\]

теңсіздігі орындалса, онда

\[\left\{y_{n}\right\}\]

тізбегі ақырсыз үлкен тізбек деп аталады. Оны былай жазады:

\[\operatorname*{lim}_{n\oplus\circ}=\infty_{\mathfrak{k}}\]

Егер ақырсыз үлкен

\[\left\{y_{n}\right\}\]

тізбегінің

\[{\mathbf{}}y_{n}\]

жалпы мүшесі өзінің оң (теріс) таңбасын тұрақты сақтайтын болса, (ең болмағанда жеткілікті үлкен n нөмірлерінен бастап), онда

\[{\mathbf{}}y_{n}\]

сәйкес таңбалы оң (теріс) шексіздікке ұмтыладжы дейді:

\[\operatorname*{lim}_{n\oplus\circ}=\infty_{\mathfrak{k}}\]

\[\bigcup_{n\oplus\infty}=-\infty_{\mathrm{{s}}})\]

Ф-ОБ-001/035

3- анықтама . Егер кез - келген c>0 санына сәйкес

\[\hat{\mathcal{J}}^{\mathcal{J}}\hat{\overline{{{\phi}}}}\]

нөмірі табылып, барлық

\[n>n_{c}>\ n_{c}\]

нөмірлері үшін

\[y_{n}>c(y_{n})<-c\]

теңсіздігі орындалса, онда

\[{\mathbf{}}y_{n}\]

оң (теріс ) шексіздікке ұмтылады дейді және былай жазады:

\[\operatorname*{lim}_{n\oplus\infty}=+\infty\]

\[\bigcup_{n\oplus\infty}=-\infty_{\mathrm{{s}}})\]

2- теорема . Егер

\[\left\{y_{n}\right\}\]

ақырсыз үлкен тізбек болса, онда

\[\left\{x_{n}\right\}\]

\[\left(x_{n}\right)={\frac{1}{y_{n}}}\]

ақырсыз кіші тізбек болады. Осы тұжырымның дұрыстығын тексерейік.

\[\left\{y_{n}\right\}\]

ақырсыз үлкен тізбек болсын. Анықтама бойынша кез -келген Е> 0 саны үшін

\[{n_{E}}\,\]

нөмірі табылып, барлық

\[n>n_{E}\]

нөмірлері үшін

\[\left|y_{n}\right|>E\]

теңсіздігі орындалады. Бұдан

\[\left|{\frac{1}{|y_{n}|}}\right|<{\frac{1}{E}}\]

немесе

\[\left|x_{n}\right|<{\frac{1}{E}}=\varepsilon\]

. Бұл теңсіздік барлық

\[n>n_{E}\]

\[{\mathcal{N}}_{G}\]

нөмірлері үшін орындалады. Соңғы теңсіздік теореманың тұжырымдамачын береді. Осыған ұқсас түрде мына тұжырымды да дәлелдеуге болады:

Егер

\[\left\{a_{n}\right\}\]

\[(a\ \not\neq0)\]

ақырсыз кіші тізбек болса, онда

\[\left\{y_{n}\right\}\]

\[y_{n}={\frac{1}{a}}\]

ақырсыз үлкени тізбек болады.

Тізбектің шегі турлы теоремaлар.

Бұл пунктте тізбектерге арифметикалық амалдар қалай қолданылатыны жайлы әңгімеленеді.

1- теорема . Егер

\[\left\{x_{n}\right\}\]

және

\[\left\{y_{_{n}}\right\}\]

тізбектері жинақталатын болса, онда

\[\left\{x_{n}\pm y_{n}\right\}\]

тізбектері де жинақталатын болады және

\[\operatorname*{lim}_{n\oplus\chi}(x_{n}\pm y_{n})\!=\!\operatorname*{lim}_{n\oplus\chi}x_{n}\pm\operatorname*{lim}_{n\oplus\infty}y_{n},\]

, яғни жинақталатын екі тізбек қосындысының шегі сол тізбектер шектерінің қосындысына тең болады.

Дәлелдеуі :

\[\operatorname*{liIII}_{n\mathrm{(g\alpha\cdots~}}\chi_{n}\implies\mathbb{Q}\]

және

\[\operatorname*{lim}_{n\in\mathbf{\theta}_{\alpha}}y_{n}=b\]

дейік. Сонда 1 - теорема негізінде

\[\chi_{n}=Q+Q{}_{n},\ y_{n}\underline{{{}}}\underline{{{=}}}\underline{{{\beta}}}_{n}\]

(мұндағы

\[\left\{a_{n}\right\}\]

мен

\[[\theta_{n}]\]

ақырсыз кіші тізбектер ) теңдіктерін аламыз. Бұдан

\[x_{n}\pm y_{n}=\left(a+b\right)+\left(a_{n}+\beta_{n}\right).\]

\[\left\{a_{n}\pm\beta_{n}\right\}\]

тізбегі ақырсыз

Ф-ОБ-001/035

кіші тізбек, яғни

\[\operatorname*{lim}_{n\oplus\infty}(a_{\ n}\pm\beta_{\ n})=0\]

сонда 1. 3 - тің 1- теоремасы бойынша

\[\operatorname*{lim}_{n\Theta\times}(x_{n}\pm y_{n})\!=\!\,d\pm D=\operatorname*{lim}_{n\Theta\times}x_{n}\pm\operatorname*{lim}_{n\Theta\cdot\Theta}y_{n}\]

. Бұл теореманы индукция әдісін қолдана отырып, саны шектеулі тізбектердің алгебралық қосындысы үшін де дәлелдеуге болады.

2- теорема . Егер

\[\left\{x_{n}\right\}\]

және

\[\left\{y_{_{n}}\right\}\]

жинақталатын тізбек болса, онда

\[\left\{x_{n}\cdot y_{n}\right\}\]

тізбегі де жинақталатын болады және

\[\operatorname*{lim}_{n\oplus\chi}\!\left(x_{n}\times y_{n}\,\right)=\operatorname*{lim}_{n\oplus\chi}\!x_{n}\cdot\operatorname*{lim}_{n\oplus\infty}y_{n}\,,\]

, яғни жинақталатын тізбектер көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең болады.

Дәлелдеуі .

\[\operatorname*{liPi}_{n\mathrm{(g)}_{\infty}}\chi_{n}\implies\mathcal{Q}\]

және