Күшті қосындылау туралы түсінік

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

Күшті қосындылау туралы түсінік.

Фейер теоремасы бойынша ұмтылған кезде

(1)

теңдігі орындалатын болса, онда класының кез келген функциясы үшін .

Ең алғаш рет Хорди мен Литливуд барлық жерде

(2)

теңдігінен күшті қатынас алуға бола ма деген сауал қойды.

Егер (2) қатынас кейбір х нүктелерінде орындалатын болса, онда қатар осы нүктеде күшті қосындыланады деп айтуға болады. Шартты түрде, қатар к көрсеткішті қосындыланады деп айтуға болады немесе кейбір ғалымдардың пайымдауынша

(3)

теңдігін -қосындыланады деп айтуға болады.

Егер болса, онда Гельдер теңсіздігі бойынша -қосындылауынан - қосындылауы келіп шығады, өйткені кез келген үшін

егер

онда

болады. Олай болса, (3) қатынастан күштірек к-дан үлкен нәтиже алуға болады. .

Бұл дипломдық жұмыста Фурье қатарларын күшті қосындылау және оның үзіліссіздік модулімен арасындағы байланыс қарастырылады. Г. Фройд, Л. Лейндлер, И. Сабадош жұмыстарын зерттеудің жалғасы. Фурье қатары мен функциялар теориясындағы үзіліссіздік модулі мен ең жақсы жуықтаулар арасындағы байланыстар, Стечкин теңсіздігі, Гельдер теңсіздігі және тағы басқа теңсіздіктер қолданылады.

Айталық f функциясы периодты интегралданатын және қосындының толық емес тізбегі. Осы функция үшін Фурье қатары бар болсын.

Фройд [1] дәлелдеуінде, егер және

(4)

болса, онда жатады.

Лейндлер мен Никишиннің [3] жұмысында дәлелдегеніндей бұл (4) шарт пен бірге p=1 болғанда

болатынын көрсеткен. Себебі

Осколков пен Сабадош дәлелдемелерінде яғни (4) шарты мен қатар шарты қажетті.

Лейндлер мен Никишин жұмысының нәтижесі Лейндлердің [4] жұмысында жалғасын тапқан. Яғни осы сұраққа жауап береді.

Бұл жұмыста мына мәселе тұрғысында қарастырылады, яғни монотонды тізбегі үшін қажетті және жеткілікті және сондай-ақ мына шарт орындалады.

мұндағы класында жатады, үзіліссіз модуль бойынша тұрақты шама және класындағы функциясының үзіліссіз модулі бар, яғни

монотонды тізбек және үшін келесі түрде көрсетеміз:

Енді келесі теореманы көрсетеміз:

Теорема-1: Айталық дұрыс монотонды (кемімелі де, өспелі де емес) тізбек болсын. Сонымен қатар үзіліссіз модулі және болса, онда

шарты

(5)

(6)

қажетті.

шарты

Егер мәні бар болса, сондай-ақ

(7)

болса, онда кері жағдайда яғни (5) шартқа (6) шарт қажет.

Бұл теоремадан барлық нәтижелер ішінде көрсетілген және алдағы қарастырып кеткен сұраққа жауап аламыз. Сонымен біздің бұл теорема Лейндлердің [2] жұмысының кейбір жерлерінде де кездеседі.

Теорема-2: Айталық болсын. Бұл ұйғарым бойынша ұшбұрыштар матрицасы келесі қасиетке ие болса, ( өседі)

(8)

(9)

және

(10)

онда барлық х үшін

(11)

болса, онда

(12)

болады.

Сонымен бірге әрбір х үшін

(13)

орындалады.

Біз (12) , (13) күшеймейтінің көрсете аламыз.

Теорема-3: Ұйғарым бойынша матрицасы теорема-1де сондай бір қасиетке ие болса, онда мынадай функция табылады және барлық х үшін мына шарт орындалады.

(14)

ал барлық үшін

(15)

мұны тексеру қиын емес, мысалы мына жағдайда

ал бұл (8), (9) және (10) шарттарды қанағаттандырады және матрицасы да дұрыс.

Кейбір ескертулерде мәндері

(мұндағы )

бұл теорема-1-гі орташа мән шартына тиісті емес. Егер болса, онда барлық х-тар үшін орынды.

(16)

онда біз бұдан мына формуланы аламыз:

(17)

және әрбір х үшін

(18)

Ал бұл мына (16) шарттан келіп шығады.

егер біз деп есептесек, онда бұл шарт теорема-1-ді қанағаттандырады. Сонымен бұл теоремадан (17) және (18) теңдікті аламыз.

Егер р=1 болса, онда біз осыған ұқсас теореманы көрсете аламыз.

Теорема-4: Айталық ұшбұрыш матрицасы келесі қасиеттерден келіп шығады деп есептейік . жүйесі оң және кемімелі болсын.

(19)

және онда егер барлық х үшін

болса, онда бұдан шығатыны:

(20)

және әрбір х үшін мына бағалау орынды.

Сонымен қатар функциясы табылып және ол барлық х үшін мына қасиетке ие болсын.

ал барлық үшін

3-теореманың дәлелдеуінен 1және 2 теореманың нақты шешімі келіп шығады. Оған мысал ретінде

Бұны анықтау қиын емес, егер (к=1, 2, …) болса, онда (20) шарт орындалмайды. Сондықтан теорема-3-тен орындалмайды, егер

болса, онда келесі мысал шартында шарты шынымен де орындалмайды. Айталық болсын. Бізге екені белгілі, ал

шарттан оңай есептеуге болады.

Шынымен де, егер болса, онда

және бұл қосынды абсолют тұрақтыға қарағанда аз.

Бізге болғанда жағдайы үшін бағалауының орындалатындығы бұрынан жақсы белгілі, бірақ жағдайы үшін бұл бағалау орындалмайды.

Осыдан және жағдайлары кез келген оң мәні үшін төмендегі қатардың

дербес қосындысында анықтала ма деген заңды сұрақ тууы әбден ықтимал.

Бірқатар зерттеулер нәтижесінде бұл мәселенің орындалмайтындығы дәлелденді. Енді төмендегі теоремаларды дәлелдеуге көшейік.

Теорема -5: тұрақты мәні үшін

(24)

(2) -теңсіздікті қанағаттандыратын функциясы және Lip1 класында жататын және функциялары табылады, мұндағы - және r және p-дан тәуелді тұрақты оң сан.