Нормаланған сызықтық кеңісікт

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
I. Сызықты кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
1.1 Cызықтық кеңісік ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .6
1.2 Нормаланған кеңістік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9
1.3 Нормаланған сызықтық кеңісіктің мысалдары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 9
1.4 Шектік өлшемді кеңістіктегі норманың эквиваленттігі ... ... ... ... ... . ... .13
II. Сызықты операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...15
2.1 Сызықты операторлар ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..18
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі. Х ,Y нормаланған векторлық кеңістіктер, ал D(A), R(A) сәйкес Х пен Y - тегі кейбір жиындар болсын. Егер әр x ∈D(A) үшін қайсыбір y ∈R(A) векторы сәйкес қойылып бұл вектор кемінде векторы сәйкес қойылып бұл вектор кемінде бір x ∈D(A) векторының бейнесі болса, онда A: X--Y-тегі жиынға түрлендіретін, анықталу облысы D(a), мәндер облысы R(A) болатын Егер A:D(A)--Y операторы барлық x,y ∈DA және α∈С дін А(αx)=αAx, A(x+y)=Ax+Ay шарттарын қанағаттандырса, онда A операторын сызықты оператор деп атайды.
Кез келген және кез келген нақты саны үшін элементі мен санының көбейтіндісі деп аталатын элементі анықталған болса және бұл элементті санға көбейту амалы мен элементтерді қосу амалдары мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса.
1)
2)
3)
4)
Онда бұл жиыны сызықты кеңістік депе аталады.

Жұмыстың мақсаты. Нормаланаған сызықтық кеңістік тегі сызықтық операторларға түсінік беру. Есептер шешуде сызықтық операторларды қолданудың ең тиімді әдіс-тәсілдерін анықтау. Теориялық білімді практикамен байланыстыра отырып, қазіргі талаптарға сай білім сапасын жақсарту жолдарын қарастыру.

Жұмыстың құрылымы. Курстық жұмыстың тақырыбы нормаланған сызықтық кеңістіктегі сызықтық операторлар. Курстық жұмыс кіріспеден және негізгі бөлімнен, қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттен тұрады.

1. СЫЗЫҚТЫҚ КЕҢІСТІКТЕР

1.1 Сызықтық кеңістік ұғымы

Анықтама 1.1.1 Егер қайсыбір жиынында:
1.Кез-келген элементтері үшін олардың қосындысы деп аталатын мына қасиеттер орындалса:
1)
2)
3) үшін теңдігі орындалатын бір ғана элементі бар болуы ( нөлдік элемент);
4) үшін теңдігі орындалатын элементі бар және ол әр үшін біреу ғана болса және
2.Кез келген және кез келген нақты саны үшін элементі мен санының көбейтіндісі деп аталатын элементі анықталған болса және бұл элементті санға көбейту амалы мен элементтерді қосу амалдары мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса.
1)
2)
3)
4)
Онда бұл жиыны сызықты кеңістік депе аталады.
жиынының элементерін қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.
жиынының элементтері көбейтілетін сандар жиыны алынуына қарай нақты сызықтық кеңістік, немесе комплекс сызықтық кеңістік пайда болады.
Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл аксиомалар орындалатыны жақсы белгілі. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторларды қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін де бұл шарттар орындалатыны (аналитикалық геометриядан) белгілі. Демек, әдеткі амалдар анықталған сандар жиыны, немесе векторлар жиыны сызықтық кеңістіктің мысалдары болып табылады.
Сонымен, қайсыбір жиында кез-келген екі элементтің қосындысы және элементтің нақты (комплекс) санға көбейтіндісі анықталса және бұл амалдар жоғарыдағы аксиомаларды қанағаттандырса, онда бұл жиын сызықтық кеңістікке айналады.
1-мысал. Барлық мүмкін векторлар жиыны (үш өлшемді кеңістікте, жазықтықта немесе түзуде) сызықты кеңістікті жасайды. Вектордың қосындысы параллелограммның ережесі бойынша анықталатынын, ал векторының нақты санына көбейтіндісі векторы арқылы анықталатынын еске түсіреміз, оның ұзындығы ұзындығына көбейтіндісі, ал бағыты бағытына дәл келеді, егер және оған қарама-
қарсы болса. Сызықты кеңістіктің аксиомалары - бұл векторлармен атақты операция қасиеттері.
Осылайша, сызықты кеңістіктің элементтері міндетті түрде жалпыланған векторлар ретінде қарастырылады. Сызықты кеңістік терминінің орнына векторлық кеңістік термині де қолданылады. Ары қарай, сызықты кеңістіктің элементтерін айтқанда, біз оны вектор деп те атайтын боламыз.
2-мысал. жиынын барлық мүмкін нақты сандарынан реттелген терулермен қарастырамыз.

сандарын бағандарының координаталары деп атаймыз. бағандарының қосындысынан бағанды түсінетін боламыз, олардың координаталары - және бағандарына сәйкес келетін координата, яғни бағаннан бағанын түсінетін боламыз, мұндағы - нақты сан. Нөлдің рөлін бағаны ойнайды. Бағандар операциясы координаттар операциясына, яғни сызықты кеңістік аксиомалары тривиальді орындалатын нақты сандарға келтірілетіндіктен, осы аксиомалар бағандарға да орындалады. Осылайша, сызықты кеңістік болып табылады.
Комплекстік сандар бағандарын комплекстік сандарға көбейтіп қарастыруға болады. Қорыта келгенде бағандардың комплексті сызықты кеңістігін аламыз.
Енді функцияның сызықты кеңістігіне мысал қарастырамыз. Алдымен кейбір жалпы ескертулер жасаймыз. - кез келген табиғаттың кейбір жиынының элементтері және әрбір -ға Е сызықты кеңістігінде элементі сәйкес қойылған болсын, яғни анықталған облысында функциясы және Е-де облыстың мәндері берілген. және екі функцияның қосындысынан функциясын түсінетін боламыз. функциясын санына көбейтіндісінен функциясын түсінетін боламыз.
Төменде ұсынылған мысалдарда нақты немесе комплексті мәнді функция қарастырылған, Е - нақты ось немесе комплексті жазықтық. 2 мысалдағысияқы, осындай функциялардың операциясы нақты немесе комплексті сандар операциясына жинақталады. деп белгілеп және сол немесе басқа функциялар классын таңдай отырып, біз автоматты түрде сызықты кеңістіктің аксиомаларының орындалуын аламыз, егер тек және таңдалынған функциялар классына және -пен бірге жататын болса.
3-мысал. -дан асып кетпейтін, барлық дәрежелік көпмүшеліктің жиынтығын қарастырамыз: - кез келген нақты сан, ). Көпмүшелікті нақты санға көбейтіндісі және екі көпмүшеліктің қосындысы көпмүшеліктер болғандықтан, біз көпмүшеліктің сызықты кеңістігін аламыз.
Дәл осылайша -дан асып кетпейтін комплексті сызықты кеңістіктегі дәрежелік көпмүшелікті қарастыруға болады. Оның элементтері мынадай түрде болады -комплексті сан, - комплексті жазықтығында өзгеретін, комплексті айнымалы).
4-мыса л. кеңістігі - үзіліссіз функциялардың кеңістігі. Айталық, болсын. -да үзіліссіз барлық мүмкін , функцияларын аламыз. -да үзіліссіз және үзіліссіз функциялардың қосындысы ретінде -да үзіліссіз болса, онда сызықты кеңістік болып табылады. Нақты және комплексті жағдайлар мүмкін.
5-мысал. ( - натурал сан) кеңістігі - -ші ретті үзіліссіз дифференциалданатын функция кеңістігі болғандықтан, егер және , егер және болса, онда - сызықты кеңістік.
6-мысал. Скалярлық элементтері арқылы ретпен барлық тіктөртбұрышты матрицалық жиынын қарастырамыз.

операциясын анықтаймыз

Матрицалардан алынған операция сандардан алынған операцияға жинайтын болса, онда аксиоманың дұрыстығы белгілі. Егер матрицаның және скалярларының элементтері нақты (комплексті) болса, онда біз нақты (комплексті) сызықты кеңістікке келеміз.

1.2 Нормаланған сызықтық кеңістік

Анықтама 1.2.1 Егер әрбір үшін нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мынана шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана ( норманың теріс еместік шарты);
2) Кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) Кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі),
Онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.

1.3 Нормаланған сызықтық кеңістіктің мысалдары

1. нормаланған сызықты кеңістікке айналдырамыз. Мұнда жатқан әрбір элемент үшін норманы

(1.3.1)

теңдігімен анықтаймыз. Осылай анықталған норма норманың аксиомаларын қанағаттандыратынын тексеру қажет.Бірінші шарттың орындалатыны (1) теңдігінің оң жағындағы өрнек көрер көзге теріс емес екендігінен айқын. Оны әрі, егер болса,онда барлық болғаны. Себебі, егер қайсібір болса, онда (1) теңдігінің оң жағындағы өрнектің мәні оң сан болатыны айқын. Сонымен, егер болса, онда векторының барлық координаттары нөлге тең: . Керісінше, егер болса, онда екені айқын.
Екінші аксиома оңай тексеріледі.

. (1.3.2)

Үшінші аксиома, яғни үшбұрыш теңсіздігі орындалатынын дәлелдеу үшін алдымен Коши теңсіздігін еске алайық. Кез келген нақты сандар үшін

(1.3.3)

теңсіздігі орындалады.Бұл теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып, оны мына түрде де жазуға болады:

(1.3.4)

Енді осы теңсіздікті пайдаланып, (1) нормасы үшін үшбұрыш теңсіздігін дәлелдейік:

Теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып,үшбұрыш теңсіздігіне келеміз.
Сонымен (1.3.1) теңдігінен анықталған норма шынында да норма аксиомаларын қанағаттандыратыны айқын болды. жиыны нормаланған сызықтық кеңістікке айналды. Бұл кеңістік, әдетте, арифметикалық Евклид кеңістігі деп, ал норма (1.3.1)- Евклид нормасы деп аталады.
2. сызықтық кеңістігінде норманы басқаша, атап айтқанда,

(1.3.5)

Теңдігі арқылы енгізіп, сол жиында анықталған тағы бір нормаланған сызықтық кеңістікке келеміз. Норманың аксиомалары орындалатынын тексеру бұл жолы тіпті оңай. Шынында да, (1.3.5) өрнегінен норманың теріс сан болмайтыны айқын және болуы барлық болғанда, тек қана осы жағдайда болады, яғни .
Сондай-ақ, екінші, үшінші аксиомалардың тексерілуі де қиын емес:

(1.3.6)

Егер және кеңістіктің кез - келген екі векторы болса, онда

яғни үшбұрыш теңсіздігі орындалады екен.
Осы анықталған нормаланған сызықтық кеңістікті түрінде таңбалайтын боламыз.
3. символымен сол сызықтық кеңістігінде норманы

(1.3.7)

теңдігімен анықтау нәтижесінде пайда болған нормаланған сызықтық кеңістікті белгілейміз.
4. сызықтық кеңістігіндегі функциясының нормасы

(1.3.8)

теңдігімен анықталады. функциясы кесіндісінде үзіліссіз болғандықтан, оның модулі де үзіліссіз, демек, оның осы кесіндіде максимумы бар, сондықтан (1.3.8) теңдігі жиынының әрбір элементі үшін оның нормасының мәнін бірмәнді анықтайды. Модулінің максимумы нөлге тең функция тек қана екендігі түсінікті. Сонымен бірінші аксиоманың орындалуы айқын. Енді

(1.3.9)

теңдігімен

(1.3.10)

теңсіздігі норманың қалған екі аксиомасы да орындалатынын көрсетеді.
5. кеңістігі кеңістігінің жағдайына жалпыламасы. Бұл кеңістікті құрайтын жиынының элементтері , т.с.с, яғни, басқаша айтқанда бұл жиынның әр элементін координаттары саналымды вектор ретінде қарастыруға болады.
Енді осы жиында норма енгізілсе, нормаланған сызықтық кеңістік пайда болмақ. кеңістігінде норма

теңдігімен анықталып еді.Бірақ бұл формула қазіргі жағдайында кез келген векторы үшін норманың сан мәнін анықтай алмайды. Сондықтан жиынына координаттары
(1.3.11)
шартын қанағаттандыратын векторлар ғана енеді. Енді осы шартқа сай векторлар үшін норма
(1.3.12)

теңдігімен анықталады. Бұл анықтамаға еніп тұрған қатар шарты бойынша жинақты қатар, демек (12) өрнегі норманың сан мәнін анықтайды.
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.