МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕ ЖИНАҚТАЛАТЫН ТІЗБЕКТЕР

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕ ЖИНАҚТАЛАТЫН ТІЗБЕКТЕР ... ... .6
1.1 Метрикалық кеңістік ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2 Метрикалық кеңістіктерге мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1.3 Жинақталатын тізбектер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ..15

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі. Функционалдық анализде тек қана сандардан тұратын жиындар емес, сонымен қатар кез-келген табиғатты элементтерден (функциялар, тізбектер,векторлар,т.б) тұратын жиындар арасындағы функционалдық байланыстар кластарының қаситтері қарастырылады.Шекке көшу түсінігі, амалы анықталған жиын кеңістік деп, ал шекке көшу мүмкіндігі жиын элементтерінің арақашықтығы түсінігі арқылы берілетін кеңістіктер метрикалық кеңістіктер деп аталады.Бос емес X жиыны мен анықталған метрика, яғни (X, ρ) пары, метрикалық кеңістік деп аталады. Егер қарастырылып отырған X жиынында тиянақты метрика ρ анықталса, онда көп жағдайда ол метрикалық кеңістікті тек X арқылы ғана белгілейміз. Бір жиында бірнеше метрика анықтап бірнеше метрикалық кеңістік алуға болады.
Жұмыстың мақсаты. Метрикалық кеңістік туралы түсінік беру.Есептер шешуде метрикалық кеңістікте қолданудың ең тиімді әдіс - тәсілдерін анықтау. Теориялық білімді практикамен байланыстыра отырып, қазіргі талаптарға сай білім сапасын жақсарту жолдарын қарастыру.
Жұмыстың мазмұны. Метрикалық кеңістікте жинақталатын тізбектерге шолу жасау арқылы анықтамалардан метрикалық кеңістіктің кез-келген ақырсыз жиыны да шектік нүктесін қамтыса, онда ол кеңістік жинақы болатыны шығады.
Жұмыстың құрылымы. Курстық жұмыс кіріспеден және негізгі бөлімнен, қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттен тұрады.

1 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕ ЖИНАҚТАЛАТЫН ТІЗБЕКТЕР

0.1 Метрикалық кеңістік ұғымы
Шекке көшу түсінігі, амалы анықталған жиын кеңістік деп, ал шекке көшу мүмкіндігі жиын элементтерінің арақашықтығы түсінігі арқылы берілетін кеңістіктер метрикалық кеңістіктер деп аталады.
Егер кез-келген (кез-келген табиғатты элементтерден тұратын) Х және У жиындары беріліп, белгілі А заңдылығы (ережесі) бойынша әрбір x∈X элементіне бір ғана y∈Y элементі сәйкес қойылған болса, онда y=Axоператоры (бейнелеуі) берілді дейміз. Оны (жақшасыз) түрінде де жазады. Мұндағы Х операторының анықталу (берілу) жиыны (облысы), оның мәндері У жиынында жатыр. Бұл жағдайда Х жиынының У жиынындағы бейнесі берілді деп, оныA:X--Y түрінде жазады. Оператордың анықталу облысынD(A) деп, мәндерінің облысын R(A)деп белгілесек, ондаDA=X, RA⊂Y.
Анықтама 1.1X={x¸y¸z¸...} жиыны метрикалық кеңістік деп аталады, егер оның әрбір x¸y элементттер жұбына төменгі шарттарды қанағаттандыратын нақты сан ρ(x,y) сәйкес қойылса:
׀. ρ(x,y) = 0 ρ(x,y) = 0 тек сонда ғана, егер x=y болса, ( ρ(x,y)=0 = x=y ) (тепе - теңдік аксиомасы).
.׀׀ ρ(x,y)= ρ(y,x) (симметрия аксиомасы).
׀׀׀.Кез келген x,y,z ∈X үшін ρ(x,y) = ρ(x,z)+ ρ(z,y) ( үшбұрыш
Осы ρ(x,y) саны x және y элементтерінің арақашықтығы немесе X кеңістігінің метрикасы деп, ал ׀,׀׀׀ шарттар метрика аксиомалары деп аталады.Сонымен метрикалық кеңістік (X,ρ) жұбынан тұрады, оны қысқаша X түрінде де белгілейміз. Керек болғанда ρ(x,y) өрнегі X кеңістігінің метрикасы дегенді қысқаша ρX(x¸y) түрінде жазамыз.
Үшбұрыш теңсіздігін мынадай:
Ρ (x,y) = ρ(x¸z)+ρ(z,y)¸ρ(x¸z) = ρ(x,y)+ρ(y¸z)
екі түрде жазып,
ρ(x,y) - ρ(x¸z) = ρ(z,y)¸ρ(x¸z) - ρ(x,y) = ρ(y¸z)
теңсіздіктерін аламыз. Бұдан:
ρx,y-ρx¸z=ρz,y.
Соңғы теңсіздік үшбұрыш теңсіздігіне кері теңсіздік деп аталады.
Метрикасы бар кеңістіке шекке көшу, жинақтылық, узіліссіздік, тағы басқа маңызды түсініктер табиғи жолмен анықталады.

1.2 Метрикалық кеңістіктерге келтірілетін мысалдар
1. Сандар түзуі. R - барлық нақты сандар жиыны (сандар түзуі ). Егер x,y ∈R болса, онда
ρ( x,y ) =x-y.
Метрика аксиомаларының орындылығы көрініп тұр. Бұл кеңістіктегі жинақтылық бізге белгілі сандар тізбектерінің жинақтылығы.
2. Евклид кеңістігі.Rn- реттелген n нақты сандар жүйесі. Егер Rn кеңістігінің элементтері x = (ξ1,ξ2,...,ξn) және y = (Ƞ1,Ƞ2,...,Ƞn) десек, онда
ρ(x,y) =j=1n(ξj-Ƞj)2
Метрика аксиомаларының орындлығы дәлелдеуді қажет етпейді.
Егер xk= ( ξ1(k),ξ2(k),..., ξn(k),x= (ξ1,ξ2,..., ξn) және
ρ(xk,x)=j=1n(ξj(k)-ξj)2--0,k-- infinity,
болса, бұл ξj(k)-ξj-- 0, k -- infinity,( j = 1, ..., n) жинақтылығына тең.
3. C[a,b]- [a,b] кесіндісінде үзіліссіз функциялардың жиыны. Егер x ( t ), y(t) ∈C[a,b] үшін
ρ( x¸y ) = maxx(t)-y(t)
десек, онда метрикалық кеңістік аламыз. Шынында сегиентте үзіліссіз функция үшін max бар , яғни өрнек анықталған. Және өрнектен
ρ( x¸y) =0,x(t)=y(t) болғанда ғана ρ( x¸y ) =0, сол сияқты
ρ( x¸y ) =ρ( x¸y ) екені көрініп тұр. Кез келген t ∈[ a¸b] үшін
x(t)-z(t)=x(t)-y(t)+y(t)-z(t)= maxx(t)-y(t)+ maxy(t)-z(t)= ρ(x¸y) + ρ(x¸y).
Онда ρ(x¸y) =max x(t)-z(t)= ρ( x¸y )+ ρ( y¸z). Сонымен үшбұрыш теңсіздігі де орынды. Осы С[a,b]¸ метрикасы ρ(x¸y) (1) өрнекпен берілген, метрикалық кеңістігіндегі жинақтылық үзіліссіз функциялардың кәдімгі бірқалыпты жинақтылығы екенін көрейік. Ол үшін {xn(t)} ⊂C[a,b]функциялар тізбегі x (t) ∈ C[a,b] функциясына жинақты, яғни
ρ(xn,y) = maxxn(t)-x(t)-- 0,n -- infinity,
дейік.Онда ∀ ε0 үшін n0= n0(ε) нөмірі табылып, барлық n =n0 үшін maxxn(t)-x(t)ε. Бұл {xn(t)} тізбегінің x (t) функциясына бірқалыпты жинақты болса, онда жоғарыда айтылғанда керісінше қарастырып,
ρ(xn,x) -- 0 болатынын көреміз.
4.M[a,b]-[a,b] кесіндісінде шенелген функциялардың жиынында
ρ(x¸y)=supx(t)-y(t)
десек, метрикалық кеңістік аламыз.Шынында шенелген функциялар үшін өрнек анықталған және метрика аксиомаларының орындылығын тексеру енді оңай.M[a,b]- метрикалық кеңістігіндегі жинақтылықта t ϵ [a,b] бойынша бірқалыпты жинақтылық және С[a,b]⊂M[a,b] екенін көру оңай.
5. Нақты анализде Lpa,b, p =1, кеңістіктері анықталады. Бұл кеңістікке [a,b] кесіндісінде p дәрежесі қосындылы, яғни
abx(t)pdt+ infinity
Лебег интегралы ақырлы нақты (комплекс) мәнді өлшемді функциялар жатады. Нөл өлшемді жиыннан басқа жерде (яғни барлық дерлік жерде) бір-біріне тең функциялар эквивалентті деп аталады. Эквивалентті функциялар бір функция болып саналатындықтан, Lp[a,b] кеңістігінің элементтері, дәлірек айтқанда, жеке функциялар емес, эквивалентті функциялардың кластары болады. Егер x ( t ), y ( t ) ϵLp[ a,b ] болса, онда x(t)+-y(t)p=2px+ypтеңсіздігінен x ( t ) +-y(t)∈Lp[ a,b ] болатынын көреміз. Және
ρ(x,y) =abx(t)-y(t)pdt1\p
қашықтығымен Lp[a,b ] метрикалық кеңістік. Тепе - теңдік және симметрия аксиомаларының орындылығы көрініп тұр. Төменде келтірілген Минковский теңсіздігінен үшбұрыш аксиомасы шығады.
6.Жоғардағы 3-мысалдағыдай, [a,b] кесіндісінде үзілісссіз функциялардың жиынын алып, метриканы басқаша:
ρ(x¸y)=abx(t)-y(t)2dt12
түрінде алсақ та метрикалық кеңістікке келеміз. Бұл кеңістік C2[a¸b] үзіліссіз функциялардың квадраттық метрикалы кеңістігі деп аталады. ׀,׀׀ метрика аксиомалары дәлелдеуді қажет етпейді.׀׀׀ аксиоманың орындылығы Коши-Буняковский теңсіздігінің төменгі интегралдық түрінен шығады:
abx(t)y(t)dt2=aba2(t)dt*aby2(t)dt.

1.3 Жинақталатын тізбектер
Анықтама 1.2Егер Х метрикалық кеңістігінде әрбір нүктелер тізбегінің шектік нүктесі болса, онда ол метрикалық кеңістік жинақы деп аталады. Әр нүктесінде жинақы шар бар метрикалық кеңістік жергілікті жинақы кеңістік деп аталады.
Бұл анықтамалардан метрикалық кеңістіктің кез-келген ақырсыз ішкі жиыны да шектік нүктесін қамтыса, онда ол кеңістік жинақы болатыны шығады. Берілген анықтама тек қана шектік нүкте түсінігіне негізделгендіктен кеңістіктің жинақы болу қасиеті эквивалентті метрикаға көшкенде өзгермейді.
Мысалы, R1 нақты сандар кеңістігі ρ1x,y=[x-y] метрикасында да және оған эквивалентті метрика ρ2x,y=fx-f(y) (мұндағы fx=x1+x ) де жергілікті жинақы. Сонымен бірге R1 барлық жинақы кеңістік болмайтыны айтылған, себебі 1,2,...,n,... тізбегінің бірде-бір шектік нүктесі жоқ.
Теорема 1.1Кез-келген жинақы кеңістік толық.
Дәлелдеу. Х жинақы кеңістігінің іргелі тізбегін xn ал оның шектік нүктесін x0 арқылы белгілейік. Бізге осы тізбекті жинақталатынын, яғни
x0=limn--infinityxn
екенін, көрсету жеткілікті. Берілген ε0 үшін N нөмірі табылып n,m=N болғанда ρ(xn, xm)ε2 болады. Енді pN нөмірін болат ρ(xn, x0)ε2ындай етіп алайық. Сонда барлық nN үшінρxn,x0=ρxn,xp+ρ(xp,x0)ε болады. Бұдан теореманың дәлелі шығады.
Мысалы, R1-дегі [a,b] тұйық жиыны жинақы, ал сондықтан дәлелденген теорема бойынша толық. Ал кері тұжырым дұрыс емес; R1-толық, бірақ жинақы емес.
Жинақы кеңістік түсінгеннен кеңірек түсініктің бірі n- жинақы кеңістіктер түсінігі.
Анықтама 1.3Егер метрикалық Х кеңістігінің кез-келген нүктелер тізбегінде іргелі ішкі тізбекше бар болса, онда ол кеңістікті n- жинақы деп атайды.
Егер қарастырылып отырған кеңістігіміз толық болса, онда іргелі тізбегіміз жинақталатын болады да, ал кеңістіктің өзі жинақы болады. Керісінше жинақы кеңістік толық болуы себепті, ол n жинақы. Мысалы, түзу бойындағы [a,b] интервалы n- жинақы кеңістік болғанымен жинақы бола алмайды.
Анықтама 1.4 X-метрикалық кеңістік, ε0- сан, ал A,B⊂X сол кеңістіктегі жиындар болсын. Егер В жиынының x нүктесі үшін a∈A нүктесі табылып ρ(x,a)ε болса, онда А жиынын В жиынының ε-торы деп атайды. Егер ε-тор ақырлы санды элементтерден тұрса, онда оны ақырлы ε-тор дейді.
Теорема (Ф.Хаусдорф) 1.2Толық, метрикалық Х кеңістігінде А жиыны үшін ақырлы тор болғанда және тек сонда ғана ол жиын n-жинақы болады.
Дәлелдеу. А n-жинақы болып, ε0саны берілсін. А жиыны үшін ақырлы ε-тордың бар болатынын көрсетейік. Кез-келген x1∈A нүктесін алайық. Егер А жиынының қалған нүктелерінің кез-келгені x1 нүктесінен ара қашықтығы ε-нен кіші болса, онда ε-тор x1 нүктесінен тұрады да теорема дәлелденеді. Егер де А жиынының нүктелерінің ішінде x1-ден ара қашықтығы ε-нен артықтары кездессе, онда олардың ішінен кез-келген x2 нүктесінен аламыз. Егер осы жағдайда А жиынының қалған нүктелерінің x1 мен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.