Толық метрикалық кеңістіктер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Толық метрикалық кеңістіктер
Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде оның элементтерінен тұратын кез келген іргелі тізбектің шегі болатын элемент бар болса, онда ол толық кеңістік деп аталады.
Яғни толық кеңістік - кез келген іргелі тізбек жинақты бола алатын кеңістік.
Бұл түсініктің маңызын түсіну үшін математикалық анализдегі R нақты сандар жиынының толықтығының күшін еске түсірейік. Мысалы, Коши критерийі бойынша сандар тізбегі xn⊂R жинақты болуы үшін оның іргелі болуы (xn-xm--0, n,m--infinity) қажет және жеткілікті екені белгілі.
Толық метрикалық кеңістік ұғымының маңыздылығы бұл кеңістікте тізбектің жинақталатынын оның шегін таппай - ақ анықтауға болатынында.
Бұл бөлімде метрикалық кеңістікті толықтыру туралы теорема дәлелденеді.
Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде xn тізбегі үшін
limn--infinitym--infinityρxn,xm=0
болса, онда оны іргелі немесе Коши тізбегі деп атайды. ε, Nε-тілінде егер ∀ε0 үшін ∃Nε0,ρxn,xmε болса, онда xn тізбегі іргелі дейміз).
Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде кез келген іргелі тізбек жинақталатын болса, онда ол кеңістік толық деп аталады.
Мына қасиеттерді атап өтейік:
1)Кез келген жинақталатын тізбек іргелі тізбек. Шынында да, xn тізбегі х нүктесіне жинақталатын болса, онда үшбұрыш теңсіздігі бойынша ρxn,xm=ρxn,x+ρx,xm. Бұдан іргелі тізбек ұғымы жинақталатын тізбек ұғымына қарағанда ауқымды түсінік болатынын байқаймыз.
2)Егер xn ρ1 метрикасы бойынша іргелі болса, онда ол эквивалентті ρ1 метрикасы бойынша да іргелі болады.
3)Метрикалық толық Х кеңістігінің тұйық ішкі X0 кеңістігінде де толықтық қасиет сақталады.
Шынында да, егер x0 X0-дегі іргелі тізбек болса, онда Х толық болуы себепті x0 табылып, n--infinity, xn--x0. Ал X0 тұйық , олай болса x0∈X, яғни x0 тізбегі X0 жинақталады.
Егер X0 ішкі кеңістігінің тұйықтық қасиетін алып тастасақ, онда келтірілген тұжырым дұрыс емес. Мысалы, X=R1, ал X0 ретінде рационал сандар жиынын алсақ болғаны.

Толық метрикалық кеңістіктерге мысалдар
10.n өлшемді Rn векторлық кеңістігінде ρx,y=k=1nxk-yk өрнегімен алынған метриканы қарастырайық, мұнда x=x1,...,xn, y=y1,...,yn. Rn кеңістігінің толықтығы R1 нақты сандар кеңістігінің толықтығынан шығады. Алдымен x(p)⊂Rn-дағы
x(p)⊂Rn-дағы (xp=(xp1,xp2,...,x(p)n))
іргелі тізбек болсын, яғни кез келген ε0 үшін N(ε)0 саны табылып, барлық р, q=Nε болғанда k=1nxpk-xqkε . Бұдан k=1, 2, ..., n үшін ∀p, q=Nε xpk-xqkε, яғни xpk R1-де іргелі тізбек. Ал R1 толық болуы себепті xk саны табылады,
xk=limp--infinityx(p)k (k=1,2,...,n)
Сонымен x=(x1,...,xn)∈Rn нүктесі табылды, олай болса Rn-толық кеңістік.
20.C[a,b] үзіліссіз функциялар жиыны толық. Егер xn(t) арқылы осы кеңістіктегі іргелі тізбекті белгілесек, онда кез келген ε0 санына сәйкес N(ε) табылып, ∀n, m=N(ε) үшін
maxa=1=bxnt-xm(t)ε
Дербес жағдайда, тиянақты t=t0-ді алсақ, онда xn(t) сандар тізбегі іргелі болады. R1 нақты сандар кеңістігі толық болуы себепті бұл xn(t0) тізбегі жинақты , онда x(t0) саны табылып, n--infinity xn(t0)-x(t0)--0. Дәл осылай әрбір t∈a,b үшін қайсыбір x=x(t) сандық функциясын құруға болады. Енді xt функциясының үзіліссіздігін және C[a,b] кеңістігінде n--infinity xn(t)--xt дәлелдеу ғана қалды.
Есептің шартынан ∀ε0, ∃Nε, ∀n, m=N(ε) үшін xnt-xm(t)ε теңсіздігі барлық t∈[a,b] үшін орындалады. Егер n тиянақты және m--infinity болса, онда бұл теңсіздіктен әрбір t∈[a,b] үшін xnt-x(t)ε, сондықтан барлық n=Nε үшін maxxnt-x(t)=ε. Сонымен әрбір ε0 санына сәйкес бүтін N(ε) саны табылып, барлық n=N(ε) үшін ρ(xn,x)=ε теңсіздігі орындалатындығы көрсетілді, яғни xn тізбегі Ca,b-да метрика бойынша x(t) функциясына жинақталады. Табылған x(t) функциясы үзіліссіз. Шынында да, кез келген t, t0∈[a,b] және еркін n үшін xt-x(t0)=xt-xnt0+xnt0-xnt+x0t-xt0. Бұл теңсіздіктің оң жағындағы бірінші және үшінші қосылғыштары бірқалыпты жинақтылық бойынша жеткілікті үлкен n санын алу есебінен ε-нен кіші ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.