Толық метрикалық кеңістіктер


Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Толық метрикалық кеңістіктер
Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде оның элементтерінен тұратын кез келген іргелі тізбектің шегі болатын элемент бар болса, онда ол толық кеңістік деп аталады.
Яғни толық кеңістік - кез келген іргелі тізбек жинақты бола алатын кеңістік.
Бұл түсініктің маңызын түсіну үшін математикалық анализдегі R нақты сандар жиынының толықтығының күшін еске түсірейік. Мысалы, Коши критерийі бойынша сандар тізбегі xn⊂R жинақты болуы үшін оның іргелі болуы (xn-xm--0, n,m--infinity) қажет және жеткілікті екені белгілі.
Толық метрикалық кеңістік ұғымының маңыздылығы бұл кеңістікте тізбектің жинақталатынын оның шегін таппай - ақ анықтауға болатынында.
Бұл бөлімде метрикалық кеңістікті толықтыру туралы теорема дәлелденеді.
Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде xn тізбегі үшін
limn--infinitym--infinityρxn,xm=0
болса, онда оны іргелі немесе Коши тізбегі деп атайды. ε, Nε-тілінде егер ∀ε0 үшін ∃Nε0,ρxn,xmε болса, онда xn тізбегі іргелі дейміз).
Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде кез келген іргелі тізбек жинақталатын болса, онда ол кеңістік толық деп аталады.
Мына қасиеттерді атап өтейік:
1)Кез келген жинақталатын тізбек іргелі тізбек. Шынында да, xn тізбегі х нүктесіне жинақталатын болса, онда үшбұрыш теңсіздігі бойынша ρxn,xm=ρxn,x+ρx,xm. Бұдан іргелі тізбек ұғымы жинақталатын тізбек ұғымына қарағанда ауқымды түсінік болатынын байқаймыз.
2)Егер xn ρ1 метрикасы бойынша іргелі болса, онда ол эквивалентті ρ1 метрикасы бойынша да іргелі болады.
3)Метрикалық толық Х кеңістігінің тұйық ішкі X0 кеңістігінде де толықтық қасиет сақталады.
Шынында да, егер x0 X0-дегі іргелі тізбек болса, онда Х толық болуы себепті x0 табылып, n--infinity, xn--x0. Ал X0 тұйық , олай болса x0∈X, яғни x0 тізбегі X0 жинақталады.
Егер X0 ішкі кеңістігінің тұйықтық қасиетін алып тастасақ, онда келтірілген тұжырым дұрыс емес. Мысалы, X=R1, ал X0 ретінде рационал сандар жиынын алсақ болғаны.

Толық метрикалық кеңістіктерге мысалдар
10.n өлшемді Rn векторлық кеңістігінде ρx,y=k=1nxk-yk өрнегімен алынған метриканы қарастырайық, мұнда x=x1,...,xn, y=y1,...,yn. Rn кеңістігінің толықтығы R1 нақты сандар кеңістігінің толықтығынан шығады. Алдымен x(p)⊂Rn-дағы
x(p)⊂Rn-дағы (xp=(xp1,xp2,...,x(p)n))
іргелі тізбек болсын, яғни кез келген ε0 үшін N(ε)0 саны табылып, барлық р, q=Nε болғанда k=1nxpk-xqkε . Бұдан k=1, 2, ..., n үшін ∀p, q=Nε xpk-xqkε, яғни xpk R1-де іргелі тізбек. Ал R1 толық болуы себепті xk саны табылады,
xk=limp--infinityx(p)k (k=1,2,...,n)
Сонымен x=(x1,...,xn)∈Rn нүктесі табылды, олай болса Rn-толық кеңістік.
20.C[a,b] үзіліссіз функциялар жиыны толық. Егер xn(t) арқылы осы кеңістіктегі іргелі тізбекті белгілесек, онда кез келген ε0 санына сәйкес N(ε) табылып, ∀n, m=N(ε) үшін
maxa=1=bxnt-xm(t)ε
Дербес жағдайда, тиянақты t=t0-ді алсақ, онда xn(t) сандар тізбегі іргелі болады. R1 нақты сандар кеңістігі толық болуы себепті бұл xn(t0) тізбегі жинақты , онда x(t0) саны табылып, n--infinity xn(t0)-x(t0)--0. Дәл осылай әрбір t∈a,b үшін қайсыбір x=x(t) сандық функциясын құруға болады. Енді xt функциясының үзіліссіздігін және C[a,b] кеңістігінде n--infinity xn(t)--xt дәлелдеу ғана қалды.
Есептің шартынан ∀ε0, ∃Nε, ∀n, m=N(ε) үшін xnt-xm(t)ε теңсіздігі барлық t∈[a,b] үшін орындалады. Егер n тиянақты және m--infinity болса, онда бұл теңсіздіктен әрбір t∈[a,b] үшін xnt-x(t)ε, сондықтан барлық n=Nε үшін maxxnt-x(t)=ε. Сонымен әрбір ε0 санына сәйкес бүтін N(ε) саны табылып, барлық n=N(ε) үшін ρ(xn,x)=ε теңсіздігі орындалатындығы көрсетілді, яғни xn тізбегі Ca,b-да метрика бойынша x(t) функциясына жинақталады. Табылған x(t) функциясы үзіліссіз. Шынында да, кез келген t, t0∈[a,b] және еркін n үшін xt-x(t0)=xt-xnt0+xnt0-xnt+x0t-xt0. Бұл теңсіздіктің оң жағындағы бірінші және үшінші қосылғыштары бірқалыпты жинақтылық бойынша жеткілікті үлкен n санын алу есебінен ε-нен кіші ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы
Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының ядролығы
Гиперболалық түрдегі оператордың бір класының симметриялы болатындығы туралы мәселені зерттеу
МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕ ЖИНАҚТАЛАТЫН ТІЗБЕКТЕР
Интегралдық кластарды кластарға бөлу
Рисс теоремасын Штурм-Ливилль есебі үшін пайдалану
КОМПАКТЫ ЖИЫНДАР ҰҒЫМЫ
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі
Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі
Пәндер