Толық метрикалық кеңістіктер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Толық метрикалық кеңістіктер

Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде оның элементтерінен тұратын кез келген іргелі тізбектің шегі болатын элемент бар болса, онда ол толық кеңістік деп аталады.

Яғни толық кеңістік - кез келген іргелі тізбек жинақты бола алатын кеңістік.

Бұл түсініктің маңызын түсіну үшін математикалық анализдегі R нақты сандар жиынының толықтығының күшін еске түсірейік. Мысалы, Коши критерийі бойынша сандар тізбегі $\left\{ x_{n} \right\} \subset R$ жинақты болуы үшін оның іргелі болуы $(\left x_{n} - x_{m} \right \rightarrow 0, \ \ n, m \rightarrow \infty)$ қажет және жеткілікті екені белгілі.

Толық метрикалық кеңістік ұғымының маңыздылығы бұл кеңістікте тізбектің жинақталатынын оның шегін таппай - ақ анықтауға болатынында.

Бұл бөлімде метрикалық кеңістікті толықтыру туралы теорема дәлелденеді.

Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегі үшін

$\lim_{\begin{array}{r} n \rightarrow \infty \\ m \rightarrow \infty \end{array}}{\rho\left( x_{n}, x_{m} \right) = 0}$

болса, онда оны іргелі немесе Коши тізбегі деп атайды. $\varepsilon, \ N(\varepsilon) - тілінде\ егер\ \forall\varepsilon > 0\ үшін\ \exists N(\varepsilon) > 0, \rho\left( x_{n}, x_{m} \right) > \varepsilon\ болса, \ онда\ \left\{ x_{n} \right\}\ тізбегі\ іргелі\ дейміз) .$

Анықтама. Егер Х метрикалық кеңістігінде кез келген іргелі тізбек жинақталатын болса, онда ол кеңістік толық деп аталады.

Мына қасиеттерді атап өтейік:

1) Кез келген жинақталатын тізбек іргелі тізбек. Шынында да, $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегі х нүктесіне жинақталатын болса, онда үшбұрыш теңсіздігі бойынша $\rho\left( x_{n}, x_{m} \right) \leq \rho\left( x_{n}, x \right) + \rho\left( x, x_{m} \right) .$ Бұдан іргелі тізбек ұғымы жинақталатын тізбек ұғымына қарағанда ауқымды түсінік болатынын байқаймыз.

2) Егер $\left\{ x_{n} \right\}\ \ \rho_{1}$ метрикасы бойынша іргелі болса, онда ол эквивалентті $\rho_{1}$ метрикасы бойынша да іргелі болады.

3) Метрикалық толық Х кеңістігінің тұйық ішкі $X_{0}$ кеңістігінде де толықтық қасиет сақталады.

Шынында да, егер $\left\{ x_{0} \right\}\ X_{0} - дегі$ іргелі тізбек болса, онда Х толық болуы себепті $x_{0}$ табылып, $n \rightarrow \infty, \ x_{n} \rightarrow x_{0}.$ Ал $X_{0}$ тұйық, олай болса $x_{0} \in X$ , яғни $\left\{ x_{0} \right\}\ тізбегі\ X_{0}$ жинақталады.

Егер $X_{0}$ ішкі кеңістігінің тұйықтық қасиетін алып тастасақ, онда келтірілген тұжырым дұрыс емес. Мысалы, $X = R_{1}, \ ал\ X_{0}$ ретінде рационал сандар жиынын алсақ болғаны.

Толық метрикалық кеңістіктерге мысалдар

$1^{0}$ . n өлшемді $R_{n}$ векторлық кеңістігінде $\rho(x, y) = \sum_{k = 1}^{n}\left x_{k} - y_{k} \right$ өрнегімен алынған метриканы қарастырайық, мұнда $x = \left( x_{1}, \ldots, x_{n} \right), \ \ y = \left( y_{1}, \ldots, y_{n} \right) . \ R_{n}$ кеңістігінің толықтығы $R_{1}$ нақты сандар кеңістігінің толықтығынан шығады. Алдымен $\left\{ x^{(p) } \right\} \subset R_{n} - дағы\$

$\left\{ x^{(p) } \right\} \subset R_{n} - дағы\ (x^{(p) } = ({x^{(p) }}_{1}, {x^{(p) }}_{2}, \ldots, {x^{(p) }}_{n}) )$

іргелі тізбек болсын, яғни кез келген $\varepsilon > 0\ үшін\ N(\varepsilon) > 0$ саны табылып, барлық р, $q \geq N(\varepsilon) \ болғанда\ \sum_{k = 1}^{n}{\left {x^{(p) }}_{k} - {x^{(q) }}_{k} \right < \varepsilon}\ .$ Бұдан $k = 1, \ 2, \ \ldots, \ n\ \ үшін\ \forall p, \ q \geq N(\varepsilon) \ \ \left {x^{(p) }}_{k} - {x^{(q) }}_{k} \right < \varepsilon, \ \ яғни\ \left\{ {x^{(p) }}_{k} \right\}\ R_{1} - де$ іргелі тізбек. Ал $R_{1}$ толық болуы себепті $x_{k}$ саны табылады,

$x_{k} = \lim_{p \rightarrow \infty}{x^{(p) }}_{k}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k = 1, 2, \ldots, n)$

Сонымен $x = (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in R_{n}$ нүктесі табылды, олай болса $R_{n} -$ толық кеңістік.

$2^{0}$ . $C\lbrack a, b\rbrack$ үзіліссіз функциялар жиыны толық. Егер $\left\{ x_{n}(t) \right\}$ арқылы осы кеңістіктегі іргелі тізбекті белгілесек, онда кез келген $\varepsilon > 0$ санына сәйкес $N(\varepsilon)$ табылып, $\forall n, \ m \geq N(\varepsilon)$ үшін

$\max_{a \leq 1 \leq b}\left x_{n}(t) - x_{m}(t) \right < \varepsilon$

Дербес жағдайда, тиянақты $t = t_{0} -$ ді алсақ, онда $\left\{ x_{n}(t) \right\}$ сандар тізбегі іргелі болады. $R_{1}$ нақты сандар кеңістігі толық болуы себепті бұл $\left\{ x_{n}(t_{0}) \right\}$ тізбегі жинақты, онда $x(t_{0})$ саны табылып, $n \rightarrow \infty$ $\left x_{n}(t_{0}) - x(t_{0}) \right \rightarrow 0.$ Дәл осылай әрбір $t \in \lbrack a, b\rbrack$ үшін қайсыбір $x = x(t)$ сандық функциясын құруға болады. Енді $x(t)$ функциясының үзіліссіздігін және $C\lbrack a, b\rbrack$ кеңістігінде $n \rightarrow \infty$ $x_{n}(t) \rightarrow x(t)$ дәлелдеу ғана қалды.

Есептің шартынан $\forall\varepsilon > 0, \ \exists N(\varepsilon), \ \forall n, \ m \geq N(\varepsilon)$ үшін $\left x_{n}(t) - x_{m}(t) \right < \varepsilon$ теңсіздігі барлық $t \in \lbrack a, b\rbrack$ үшін орындалады. Егер n тиянақты және $m \rightarrow \infty$ болса, онда бұл теңсіздіктен әрбір $t \in \lbrack a, b\rbrack$ үшін $\left x_{n}(t) - x(t) \right < \varepsilon$ , сондықтан барлық $n \geq N(\varepsilon)$ үшін $\max\left x_{n}(t) - x(t) \right \leq \varepsilon.$ Сонымен әрбір $\varepsilon > 0$ санына сәйкес бүтін $N(\varepsilon)$ саны табылып, барлық $n \geq N(\varepsilon)$ үшін $\rho(x_{n}, x) \leq \varepsilon$ теңсіздігі орындалатындығы көрсетілді, яғни $\left\{ x_{n} \right\}\ тізбегі\ C\lbrack a, b\rbrack -$ да метрика бойынша x(t) функциясына жинақталады. Табылған x(t) функциясы үзіліссіз. Шынында да, кез келген $t, \ t_{0} \in \lbrack a, b\rbrack$ және еркін n үшін $\left x(t) - {x(t}_{0}) \right \leq \left x(t) - x_{n}\left( t_{0} \right) \right + \left x_{n}\left( t_{0} \right) - x_{n}(t) \right + \left x_{0}(t) - x\left( t_{0} \right) \right.$ Бұл теңсіздіктің оң жағындағы бірінші және үшінші қосылғыштары бірқалыпты жинақтылық бойынша жеткілікті үлкен n санын алу есебінен $\varepsilon -$ нен кіші деп айтуға болады. Сондықтан жеткілікті үлкен және тиянақты n үшін $\left x(t) - x(t_{0}) \right \leq 2\varepsilon + \left x_{n}(t) - x_{n}\left( t_{0} \right) \right.$ $x_{n}(t)$ функциясының үзіліссіздігінен алынған $\varepsilon > 0\ үшін\ \delta > 0\ табылып, \ \left t - t_{0} \right < \delta$ болғанда $\left x_{n}(t) - x_{n}\left( t_{0} \right) \right > \varepsilon.$ Олай болса, $\varepsilon > 0\ үшін\ \delta > 0$ саны табылып, $\left t - t_{0} \right < \delta\ болғанда\ \left x(t) - {x(t}_{0}) \right < 3\varepsilon.$ Ал бұл $x(t)$ функциясының $t = t_{0}$ нүктесінде үзіліссіздігін көрсетеді. Мұндағы $t_{0} \in \lbrack a, b\rbrack$ аралығындағы еркін тиянықты сан болуынан $x(t)$ функциясы осы аралықтың кез келген нүктесінде, демек, бүкіл $\lbrack a, b\rbrack -$ да үзіліссіз. Сонымен $x (t) \in C [$