КОМПАКТЫ ЖИЫНДАР ҰҒЫМЫ

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1 КОМПАКТЫ ЖИЫНДАР ҰҒЫМЫ ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . 6
0.1 Метрикалық кеңістіктегі жинақтылық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
0.2 Метрикалық кеңістіктердегі компакты жиындар ... ... ... ... ... ... 9
1.3 Компактылық ұғымы үшін Арцель теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... 11
1.4 Сызықты нормаланған кеңістіктегі компакты жиындар ... ... ... ...13
1.5Lpa,bкеңістігіндегі компактылық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 14
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 15
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16

КІРІСПЕ
Жұмыстың өзектілігі.Алдын ала кейбір қарапайым ұғымдардың метрикалық кеңістіктегі анықтамасын еске салайық. X - кез-келген метрикалық кеңістік болсын.
Анықтама 1 AϲXкез-келген жиын және, Gλ, λ∈ʌ ашық жиындардың кез-келген үйірі болсын. Мұнда ʌ индекс λ мәндерін қабылдайтын сандар жиыны. Жалпы жағдайда ол саналымсыз жиын болуы мүмкін. Егер ʌ саналымды жиын болса, онда, Gλ, λ∈ʌ жиындар тізбегі, ал жалпы жағдайда жиындар үйірі болады.
Егер кез-келген x∈A элементі Gλ , жиындарының ең болмағанда бірінде жататын болса, онда Gλ, үйірі A жиынын бүркейді дейміз.
Анықтама 2 AϲX жиынының барлық элементтерін қамтитын радиусы ақырлы шар бар болса, онда А шенелген жиын деп аталады.
Басқаша айтқанда, қайсыбір x0∈X элементі мен r∈(0;infinity) саны үшін A⊂Or(x0) болса, онда А шенелген жиын болғаны.
Математикалық анализден белгілі екі тұжырымды еске алайық:
1.Больцано-Вейерштрасс теоремасы. Нақты сандардың шенелген ақырсыз жиынының ең болмағанда бір шектік нүктесі бар.
2.Гейне - Борель леммасы. Ақырлы кесіндіні бүркейтін интервалдар жиынынан, сол кесіндіні әлі де бүркейтін ақырлы ішжиын бөліп алуға болады.
Бұл тұжырымдар Rn метрикалық кеңістігінде де орындалады. Бірақөлшемі ақырсыз кеңістіктерге бұл принциптерді бұлжытпай таратуға болмайды екен. Компакт жиын ұғымы - осы тұжырымдардың жалпы метрикалық кеңістік тұрғысыңдағы бірегей жалпыламасы.
Анықтама 3 Егер метрикалық кеңістіктегі А жиынының кез - келген ақырсыз ішкі жиынында жинақты тізбек бар болса, онда А шала компакт жиын деп аталады. Ал осындай тізбектің шегі А жиынында жатса, онда Акомпакт жиын деп аталады.
Бұл анықтамадан компакт жиын тұйық жиын, сондай-ақ, шала компакт жиынның тұйыктауы компакт жиын екені көрінеді. Дербес жағдайда, егер А компакт тізбек болса, оның жинақты ішкі тізбегі бар болады.
Кеңістік анықталған Xжиыны компакт жиын болса, онда бұл метрикалық кеңістік компакт деп аталады.
Арцель теоремасы Ca,b кеңістігіндегіA=φp(t)үйірі шала компакт жиын болу үшін, және біршенде үздіксіз болуы қажетті және жеткілікті шарттарды қанағаттандырады.
Жұмыстың мақсаты. Метрикалық кеңістіктің, сызықты нормаланған кеңістіктің және Lpa,bкеңістігінің компактылығына түсінік беру және үзіліссіз функциялардың осы кеңістіктердегі жиыны жинақы болу үшін қажетті де жеткілікті шарттарды қанағаттандыратын Арцель теоремасын дәлелдеу.
Жұмыстың құрылымы. Жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, төрт тақырыпшадан, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
1 КОМПАКТЫ ЖИЫНДАР ҰҒЫМЫ

1. 1 Метрикалық кеңістіктегі жинақтылық
Анықтама 1.1 Егер Х метрикалық кеңістігінде әрбір нүктелер тізбегінің шектік нүктесі болса, онда ол метрикалық кеңістік жинақы деп аталады. Әр нүктесінде жинақы шар бар метрикалық кеңістік жергілікті жинақы кеңістік деп аталады.
Бұл анықтамалардан метрикалық кеңістіктің кез келген ақырсыз ішкі жиыны да шектік нүктесін қамтыса, онда ол кеңістік жинақы болатыны шығады. Берілген анықтама тек қана шектік нүкте түсінігіне негізделгендіктен кеңістіктің жинақы болу қасиеті эквивалентті метрикаға көшкенде өзгермейді. Мысалы, R1 нақты сандар кеңістігі ρ1x,y=x-y метрикасында да және оған эквивалентті метрика ρ2x,y=fx-f(y) (мұнда fx=x1+x) де жергілікті жинақы. Сонымен бірге барлық R1 жинақы кеңістік болмайтыны айтылған, себебі 1,2,...,n,...тізбегінің бірде-бір шектік нүктесі жоқ.
Теорема 1.1 Кез келген жинақы кеңістік толық.
Дәлелдеу. Х жинақы кеңістігінің іргелі тізбегінxn, ал оның шектік нүктесін x0арқылы белгілейік. Бізге осы тізбектің жинақталатынын, яғни x0=limn--infinityxnекенін, көрсету жеткілікті. Берілген ε0үшін N нөмірі табылып n, m=N болғанды ρ(xn,xm)ε2 болады. Енді ρN нөмірін ρ(xp, x0)ε2 болатындай етіп алайық. Сонда барлық nNүшін ρxn,x0=ρxn,xp+ρ(xp,x0)εболады. Бұдан теореманың дәлелі шығады.
Мысалы,R1-дегі a,b тұйық жиыны жинақы, ал сондықтан дәлелденген теорема бойынша толық. Ал кері тұжырым дұрыс емес; R1- толық, бірақ жинақы емес.
Жинақы кеңістік түсінігінен кеңірек түсініктің бірі - n-жинақы кеңістіктер түсінігі.
Анықтама 1.2 Егер метрикалық Х кеңістігінің кез келген нүктелер тізбегінде іргелі ішкі тізбекше бар болса, онда ол кеңістікті жинақы деп атайды.
Егер қарастырылып отырған кеңістігіміз толық болса, онда іргелі тізбегіміз жинақталатын болады да, ал кеңістіктің өзі жинақы болады. Керісінше жинақы кеңістік толық болуы себепті, ол жинақы. Мысалы, түзу бойындағы a,b интервалы жинақы кеңістік болғанымен жинақы бола алмайды.
Жалпы метрикалық кеңістіктердегі жиынның (шала) компакт болуының критерийін келтірер алдында ε -тор ұғымының анықтамасын берейік.
Анықтама1.3 Х - метрикалық кеңістік, ε0- сан, ал A, BϲX сол кеңістіктегі жиындар болсын. Егер B жиынының әрбір x нүктесі үшін a∈Aнүктесі табылып, ρx,aε болса, онда A жиынын B жиынының ε- торы деп атайды. Егер тор ақырлы санды элементтерден тұрса, онда оны ақырлы ε-тор дейді.
Енді метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт жиын болуының критерийін беретін теореманы дэлелдейік.
Теорема 1.2 (Ф.Хаусдорф). Толық метрикалық кеңістіктегі Е жиыны үшін кез-келген ε0 үшін ақырлыε-тор бар болуы Е жиыны шала компакт жиын болуының қажетті жеткілікті шарты.
Шарттың қажеттілігі.Е - (шала) компакт жиын болсын. Кез келген ε0 үшін Е жиынының ε-тор болатын, саны ақырлы Т жиыны табылатынын дәлелдейік. Е жиынының кез-келген x1нүктесін алып, ρx,x1ε шартына сай x∈E нүктесін іздейік. Егер бұл шарт орындалатын нүкте табылмаса, онда Е жиынының барлық нүктелері үшін ρx,x1ε теңсіздігі орындалатын болғаны. Демек, Е жиыны үшін тек x1нүктесі ε-тор болғаны.ρx,x1ε
Ал, ρx2,x1ε шартына сай x2∈E нүктесі бар болса, онда ρx,x1ε және ρx1,x2ε шарттарына сай x∈Eнүктесін іздейміз. Егер бұл шарттар орындалатын нүкте табылмаса, онда x1,x2 жиыны Е үшін ε-тор болғаны. Басқа жағдайда осы екі шартты қанағаттандыратынx1 нүктесі табылады ... Бұл әрекет қайсыбір k-нші ретте, x1,x2,...,xk нүктелері табылғаннан кейін, тоқталады. Шынында да, егер ол шексіз созыла берсе, онда Е жиынының элементтерінен тұратын x1,x2,...,xk,... тізбегі пайда болар еді және мұндағы кез-келген екі элементтің арақашықтығы ρxn,xmε болар еді. Бірақ бұл тізбек жинақсыз және мұнда жинақты іштізбек те жоқ екені 3-анықтама алдында келтірілген мысалдағы байыптауға ұқсас дәлелденеді. Ал, бұл жағдай Е жиынының компактылылығы туралы теорема шартына қайшы. Демек, Е жиыны үшін ε-тор болатын T=x1,x2,...,xkақырлы жиын табылады.
Шарттың жеткіліктілігі. Е жиынының A⊂Eақырсыз ішжиынында жинақты тізбек бар екенін дәлелдейік. Шарт бойынша Е жиыны үшін ақырлы ε -тор кез-келген ε0 үшін табылады. Осыған сәйкес, ε = 1 үшін Е жиынының ақырлы ε -торы T1=x1,...,x1k жиыны болсын. Радиусы 1-ге тең, центрлері x1k(k=1,...,n1)нүктелерінде орналасқан Ot (x1k) тұйық шарларының бірігуі Е жиынын толық қамтиды. Шынында да, кез-келген x∈E үшін және x1k нүктелерінің ең болмаса біреуі үшін ρ(x1k,x)=1, демек x∈Ot(x1k). Сонымен, Eϲk=1n1O1(x1k) . А жиыны ақырсыз болғандыктан, осы шарлардың ең болмағанда бірінде оның ақырсыз бөлігі бар. Сол ішжиынды At арқылы, ал оны қамтып жатқан шарды Ot арқылы белгілейік.
Енді Е жиынының -торы T2=x21,...,x2n2жиыны болсын. Радиусы 12-ге тең, центрлері нүктелерінде орналасқан тұйық шарларының бірігуі Е жиынын толық қамтиды.Осы шарлардың ең болмаса бірінің A1 жиынымен қиылысуы A2 - ақырсыз жиыны болады. Оны қамтып жатқан шарларды арқылы белгілейік. Сонда, A2⊂O2⊂O1. Осы әрекетті әрі қарай шексіз қайталау нәтижесінде O1⊃...⊃Ok⊃... тұйық шарлар тізбегі, сонымен қатарA1⊃...⊃Ak⊃...ақырсыз жиындар тізбегіпайда болады. Мұнда Ak⊂OkжәнеOk шарының радиусы 1k (k=1,2,...). Біріне бірі еніп жатқан тұйық шарлар тізбегі туралы теорема бойынша осы шарлардың бәріне тиісті бір ғана нүктесі бар, яғни .. Енді әрAkжиынынан бірxk нүктесін алайық. Онда xk∈Ak ⊂Ok демек, ρ(x,xk)=2k, яғни xkтізбегіk--infinity кезде x нүктесіне жинақталады. Ақырында, xk∈Ak ⊂A , демек кез-келгенA ⊂ E ақырсыз жиынында жинақты тізбек бар екені айқындалды.
Осымен теорема толық дәлелденді.
Ескерту.Егер Е жиыны үшін кез-келген ε0санына сәйкес ақырлы ε-тор бар болса, онда Е жиыны, әдетте, жете шенелген жиын деп аталады.
Ақырлыn өлшемдіRn Евклид кеңістіктеріндегі шенелген тұйық жиындар үшін Больцано - Вейерштрасс теоремасы мен Гейне - Борель леммасында берілетін қасиеттер бір біріне эквивалентті. Бұл эквиваленттілік метрикалық кеңістіктерде (ақырсыз өлшемді болса) компакты жиындар үшін де сақталады. Бұдан компакты жиындар сандар кеңістігіндегі шенелген тұйық жиындардың қасиеттерін жалғастыратынын көреміз.
Анықтама 1.4 МетрикалықXкеңістігіндеGξ ашық жиындар жүйесі M⊂Xжиынының ашық бүркеуі дейміз, егер әрбірx∈M нүктесі осы жүйенің кемінде бір Gξжиынына тиісті болса, яғни M⊂ ξGξболса.
Теорема 1.3 M⊂Xжиыны компакты болу үшін оның кез келгенGξашық бүркеуінен ақырлы ішбүркеу бөлінетін болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттігі. М компакты жиынымен оның кез келгенN = Gξ ашық бүркеуі берілсін. Онда кез келгенε0 үшін М жиынына ақырлы ε- тор x1,x2,...,xnтабылады. Әрбірx∈M үшін ρx1,x2ε k=1,2,...,nтеңсіздіктерінің кемінде біреуі орындалады, сондықтанM⊂ k=1nSk (xk,ε). Егер берілгенε0 үшінSk (xk,ε) шарларының әрқайсысы кемінде бірGξk∈N жиынында жатса, ондаM⊂ k=1nGξk. Бұл ақырлы бүркеу бөлінгені. Осындай ε0табылатынын көрсету керек. Ол үшін, қандай x∈Mалсақ та S (x,ε)шары бір Gξжиынында түгел жататындай ε0табылатынын дәлелдейік. Олай болмаса, εn--0 n--infinityжәне ∈Mтізбектері табылып S (xn',εn) шарлары ешбір Gξk∈Nжиынында жатпайды. М компакты болғандықтан xn' тізбегінен бір x0∈Mнүктесіне жинақталатын xnk' іштізбегі бөлінеді. Осы x0нүктесін қамтитын Gξ0∈Nжиын бар, Gξ0 ашық болғандықтан ол x0 нүктесін бір δ - маңайымен бірге қамтиды S (x0,δ)⊂Gξ0. Онда ξnkδ2 болатын жеткілікті үлкен nkүшін:ρxn',x0ξnkδ2. Сондықтан S (xnk',εnk)⊂ S (x0,δ)⊂Gξ0. Алуымыз бойынша S xnk',εnk шары ешбір Gξk∈N жиынында жатпайды. Қайшылық керекε0 бар екенін дәлелдейді.
Жеткіліктілігі.М жиынының кез келген ашық бүркеуінен ашық ішбүркеу бөлінетін болсын. Шектік нүктесі жоқ N⊂M ішжиын бар дейік. Онда әрбір x∈M нүктесінің қайсыбірS (x,εx) маңайында N - нің осы x- тан басқа нүктесі болмайды S x,εx-x∩N=∅ және M⊂ x∈MS x,εx. Шарт бойынша М-ді бүркейтін саны ақырлы S x1,ε1,...,S xn,εnшарлар бөлінеді. Бұл шарлардың әрқайсысында N - нің бір ғана нүктесі болуы мүмкін, яғни N - ақырлы жиын. Онда М - нің әрбір ақырсыз бөлігінің шектік нүктесі бар, яғни М азкомпакты. Енді М - нің тұйық екенін көрсету жеткілікті. Егер әрбір x0∉Mшектік нүкте болмайтынын көрсетсек, онда М- нің шектік нүктелері өзінде жататынын, яғни оның тұйық жиын екенін аламыз. Әрбірx0∉M және кез келгенx∈M үшін. Ашық шарлар Sx0,rx3,S(x,rx3)қиылыспайды және M⊂ x∈MS x,rx3. Шарт бойынша Sx,rx3ашық бүркеуден ақырлыSx1,rx13,...,S(xn,rxn3) ішбүркеу бөлінеді. Енді r0=minkrxkдесек, онда Sx0,r03шарыSxk,rk3, k=1,2,...,n, шарларының ешқайсысымен де, сондықтан М - мен де қиылыспайды. Сондықтан, x0∉Mнүктесі M үшін шектік нүкте емес.
Дәлелденді.

1.2 Метрикалық кеңістіктердегі компакты жиындар
Қандай жиыннан жинақты тізбек бөлінетінін білу анализдегі негізгі мәселелердің бірі, оны математикалық анализдегі Гейне - Борель леммасының немесе Больцано - Вейерштрасс теоремасының алатын орнымен түсіндіруге болады.
Анықтама 1.5 Х метрикалық кеңістігінің М жиыны компакты жиын дейміз, егер оның әрбір ақырсыз бөлігінен (ішжиынынан) осы М жиынының өзінің бір нүктесіне жинақталатын іштізбек бөлінетін болса.
Жинақты тізбек пен оның кез келген іштізбегінің шегі біреу екенін білеміз. Бұдан компакты жиынның тұйық болатынын көреміз және компакты жиынның тұйық ішжиыны да компакты болатынын түсінікті.
Анықтама 1.6M⊂Xжиыны азкомпакты (немесе салыстырмалы компакты) дейміз, егер оның кез келген ақырсыз бөлігінен Х кеңістігінің нүктесіне жинақты іштізбек бөлінетін болса. Яғни азкомпакты М жиынның ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.