Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 5
1 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІК 6
1.1 Метрикалық кеңістік ұғымы 8
1.2 Метрикалық кеңістіктегі жинақтылық 8
1.3 Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар 9
2. ЖИНАҚТЫЛЫҚ 11
2.1 Жинақтылық ұғымы 12
2.2 Функционалдар мен элементтердің әлсіз жинақтылығы 12
ҚОРЫТЫНДЫ. 16
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 17

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі: Математикалық анализдегі ең негізгі ұғымдардың бірі бұл шек және үзіліссіздік ұғымы. Бұл ұғымдарды анықтау үшін түзудің, жазықтықтың, кеңістіктің бойындағы екі нүктенің арақашықтығы ұғымын білу керек. Арақашықтық ұғымының мағынасы элементар үш аксиома (тепе-теңдік, симметриялық және үшбұрыш теңсіздігі) арқылы жақсы түсіндіріледі. Арақашықтық ұғымын жалпылау арқылы метрика ұғымына, сосын метрикалық кеңістік ұғымына келеміз. Метрика ұғымы тізбектердің, қатарлардың жинақталуын зерттеуге және функцияның үзіліссіздігін, дифференциалдануын зерттеуге көмектеседі.
Жұмыстың қысқаша құрылымы: Метрикалық кеңістік тақырыбында жазылған. Курстық жұмыс үш бөлімнен тұрады: кіріспе, негізгі бөлім, қорытынды.
Метрикалық кеңістік анықтамасы және оған мысалдар бөлімінде метрикалық кеңістіктің аксиомалары, метрикалық кеңістікке мысалдар келтірілген.
Метрикалық кеңістіктегі жинақтылық бөлімінде метрикалық кеңістікте жинақтылықты қалай енгізуге болатындығы туралы анықтамалар келтірілген.
Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар бөлімінде жиынның ішкі, сыртқы және шекаралық нүктелерінің анықтамасы мысалдармен қарастырылған.
Жұмыстың мақсаты. Метрикалық кеңістіктің анықтамасын, метрикалық кеңістікте жинақтылықты қалай енгізетіндігі түсінік беріп, оларды мысалдар арқылы көрсету.

1 Метрикалық кеңістік

0.1 Метрикалық кеңістік ұғымы
E - кез келген бос емес жиын болсын.
Анықтама 1. Егер E жиынының кез келген х, у элементтерінің жұбына теріс емес нақты ρE x,y саны сәйкес қойылса және төмендегі шарттарды
1. ρEx,y = 0; ρEx,y = 0 = x = y (тепе-теңдік аксиомасы);
2. ρEx,y = ρEy,x (симметрия аксиомасы);
3.∀x, y, z ∈E : ρE x,y = ρE x,z + ρE z,y (үшбұрыш аксиомасы) қанағаттандыратын болса, онда ρEx,y санын E жиынының x,y элементтерінің ара қашықтығы немесе E жиынының метрикасы және жоғарыдағы көрсетілген 1)-3) шарттарды метриканың аксиомалары деп атайды. Ал E жиыны мен осы жиында анықталған ρEx,y жұбын E метрикалық кеңістігі деп атайды.
Алда E кеңістігі нақты кеңістік болған жағдайда ρEx,y - тің орнына деп жазамыз.
Метрикалық кеңістіктердің жиі кездесетін мысалдары:
1. E = R - Евклид түзуі (нақты сандар жиыны). -infinity;+infinity сан өсіндегі екі x және y нүктелерінің ара қашықтығын
ρx,y = x-y
Түрінде анықтауға болады. ρx,y метриканың барлық аксиомаларын қанағаттандырады. Шынында
1) ρx,y = x-y=0; ρx,y = 0 = x-y=0 = x=y;
2) ρx,y = x-y= -1y-x = y-x = ρy,x;
3) ∀x, y, z ∈R : ρx,y = x-y= x-z+z-y = x-z + z-y= ρx,z + ρz,y.
Сондықтан R кеңістігі - метрикалық кеңістік.
1. Евклид жазықтығы E = R2 болсын. A1x1, y1 және A2x2, y2∈E
нүктелерінің ара қашықтығын
ρA1, A2 = x2-x12+y2-y12
түрінде анықтауға болады. ρA1, A2 метриканың барлық аксиомаларын қанағаттандыратынын оңай көрсетуге болады. R2 жазықтығымен ρA1, A2 метрикасының жұбын екі өлшемді евклид кеңістігі деп атайды.
Дәл осы сияқты координаталары реттелген нақты сандардан тұратын нүктелер жиыны
ρA1, A2 = i=1nxi-yi2, (A1 x1, x2, ..., xn, A2 y1, y2, ..., yn)
метрикасы арқылы n - өлшемді Евклид кеңістігін анықтайды.
Метрикалық кеңістіктерде үшбұрыш аксиомасының орындалатынын тексергенде жиі қолданылатын теңсіздіктер:
1. Коши-Буняковский теңсіздігі:
.
және оның салдары:
.
2. Гельдер теңсіздігі:

1.2 Метрикалық кеңістіктегі жинақтылық
E метрикалық кеңістігінің элементтерінен тұратын xn тізбегін қарастырайық.
Анықтама 2. E метрикалық кеңістігінің x элементін xn тізбегінің шегі деп атайды, егер
∀ε0 ∃Nε ∀n:nNε : ρExn,xε
болса, және оны қысқаша былай белгілейді:
limn--infinityxn=x
Егер xn тізбегінің n--infinity кезде шегі бар болса, онда оны осы метрикалық кеңістіктің анықтамасы бойынша x∈E нүктесіне жинақталатын тізбек дейді. Ал егер xn тізбегі E метрикалық кеңістігінің ешбір нүктесіне жинақталмайтын болса, онда оны жинақталмайтын тізбек деп атайды.
Кез келген метрикалық кеңістіктегі шек анықтамасын сандық тізбектің шегі туралы анықтамаға келтіруге болады.
Анықтама 3. E метрикалық кеңістігінің x элементін xn тізбегінің шегі деп атайды, егер ρExn,x сандық тізбегі n--infinity кезде нөлге ұмтылатын болса, яғни
limn--infinityρExn,x=0
Мысал. C L10,1 кеңістігінен алынған xnt=tn функционалдық тізбегінің шегі θt≡0 функциясына жинақталатынын көрсетіңдер.
Шынында да, бұл кеңістікте
ρExn,θ=01xnt-θtdt=01tndt=1n+1
Сондықтан,
limn--infinityρCLxn,θ=limn--infin ity1n+1=0
Олай болса, 3 анықтама бойынша tn тізбегі C L10,1 кеңістігінде жинақталатын тізбек және θt≡0 функциясы оның шегі болып табылады.
Бірақ бұл тізбек C 0,1 кеңістігінде θt≡0 функциясына жинақталмайды, өйткені

limn--infinityρCxn,θ=limn--infini tymaxtn=limn--infinity1-1↛0.

1.3 Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар
α - жазықтығында берілген X жиынын қарастырайық. Осы α жазықтығының барлық нүктелері X жиынына қатысты 3 класқа бөлінеді. Мысалы, α нүктесі - ішкі, b нүктесі - сыртқы, c нүктесі шекаралық нүкте болады.
Дәл осылай сияқты метрикалық кеңістіктің кез келген ішкі жиынына қатысты оның кез келген нүктелерін классификациялауға болады.
X жиыны E метрикалық кеңістігінің қандай да бір ішкі жиыны болсын, яғни X ⊂ E.
Анықтама 4. E метрикалық кеңістігінің a нүктесін X жиыны үшін ішкі нүкте деп атайды, егер ол өзінің қандай да бір маңайымен осы X жиынында толығымен жататын болса, яғни
∃S1a: S2a ⊂ X.
Анықтама 5. E метрикалық кеңістігінің b нүктесін X жиыны үшін сыртқы нүкте деп атайды, егерде оның X жиынымен қиылысуы бос болатын қандай да бір ε маңайы табылатын болса, яғни
∃Sεb: Sεb ∩ X = ∅.
Анықтама 6. E метрикалық кеңістігінің c нүктесін X жиыны үшін шекаралық нүкте деп атайды, егерде c нүктесінің кез келген ε маңайында X жиынында жататын да, жатпайтын да нүктелер табылатын болса. X жиынының барлық шекаралық нүктелер жиынын X жиынының шекарасы деп атайды және dX деп белгілейді.
Осы анықтамалардан мынандай қорытынды жасауға болады: E метрикалық кеңістігінің кез келген нүктесі X жиыны үшін не сыртқы, не ішкі, не шекаралық нүкте болады. Сонымен қатар, X жиынының барлық ішкі нүктелері X жиынында жатады, ал сыртқы нүктелері жатпайды. Шекаралық нүктелері өзінде жатуы да, жатпауы да мүмкін.
Мысал. X = xt∈C-1,1:xt=1⊂C-1,1 болсын.
x0t = 2t функциясы X жиыны үшін сыртқы нүкте болатынын көрсетіңдер.
Дәлелдеу. Радиусы ε = 12 болатын x0t функциясының маңайын, яғни S12x0 жиынын қарастырайық. Егер ∀xt∈ S12x0 болса, онда
ρCx, x0 = max-1=t=1xt-x0t 12
Бұдан ∀t ∈ -1,1 : xt-x0t 12 = x1-2 12 =
-12 x1-2 12 = x1 32 != xt ∉ X.
Сонымен, S12x0 маңайының кез келген нүктесі X жиынында жатпайды. Олай болса, x0t функциясы - X жиыны үшін сыртқы нүкте.

2.ЖИНАҚТЫЛЫҚ

2.1 Жинақтылық ұғымы
Жинақтылық облысы -- функционал қатардың жинақталатын нүктелерінің жиыны, яғни (х) қатарының жинақталатын х айнымалысы мәндерінің жиыны. Дәрежелі қатардың Жинақтылық облысы қарапайым түрде болады. х аргументінің нақты мәндерінің Жинақтылық облысы не бір нүктеден, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.