Математика пәнін оқыту әдістемесі
Мырзабекова Қ. И.
Жандарбекова Д. И.
Палмағанбетова Л.
Математика пәнін оқыту әдістемесі
Түркістан-2014
УДК373: 51
ББК74. 262. 0
М91
Пікір берген: Қ. А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік
унивесритетінің оқытушысы, тарих ғылымдарының кандидаты, Сарыбаева Ә. Қ.
Мырзабекова Қ. И. , Жандарбекова Д. И. , Палмағанбетова Л.
М91
Математиканы оқытудың әдістемесі. Оқу-әдістемелік құрал. -Түркістан
2014. 56- б.
Ұсынылып отырған оқу-әдістемелік құралда математиканы оқыту әдістерін,
оқытудың негізгі дидактикалық қағидаларын, оқыту әдістері және формаларын,
эвристикалық әдістерін, оқытудың дәстүрлі әдістерін, бағдарламалық оқытуды,
практикалық және зертханалық жұмыстарды, математикалық ұғымдарды, ұғым —
логикалық категорияны, ұғымның негізгі мінездемелерін, математикалық
ұғымдарды қалыптастыруды, ұғымдардың анықтамасы және олармен жүргізілетін
жұмыстарды, ұғымдарды бөлу және жіктеуді, математиканы тереңдеңдетіп оқыту
мәселелерін, математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптар мен мектептердегі
математиканы оқытудың ерекшеліктерін, математикадан факультативтік
сабақтарын, математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстарын өзінің
педагогикалық іс-тәжірибесінде теориялық тұрғыда білімін көтеруде
тәжірибеде пайдалануда осы әдістемелік құрал өз көмегін көрсете алады.
ISBN 9965-9530-6-6
ББК74. 262. 0
Мырзабекова Қ. И. ,
Жандарбекова Д. И.
Палмағанбетова Л.
Алғы сөз
Бәсекеге қабілетті дамыған мемлекет болу үшін біз сауаттылығы жоғары
елге айналуымыз керек. Қазіргі әлемде жай ғана жаппай сауаттылық
жеткіліксіз болып қалғаны қашан. Бұған 2012 жылғы желтоқсан айындағы ҚР-ның
Президенті –Елбасы Н. Назарбаевтың Қазақстан-2050 стратегиясы -
кемелденген мемлекеттің жаңа саяси курсы- атты Жолдауында біз бәсекеге
қабілетті ел болуымыз үшін ұшқыр білімді ұлт болуымыз керек делінген. Соңғы
жылдардағ қоғамдық және әлеуметтік өмірде болып жатқан елеулі өзгерістер
мектеп алдында көптеген жаңка міндеттер қойып отыр. Әсіресе, білім беру
жүйесінде әлемдік деңгейге жету үшін жасалынып жатқан талпыныстар, мектеп
оқушыларына терең, сапалы жаңа технология үлгілерімен сабақ беру талаптары
қойылуда. Математика пәнінің мұғалімі оқытудың жалпы заңдылықтарын,
мақсаттары мен мазмұнын, әдістемелік зерттеулерді, оқытудың әртүрлі әдіс-
тәсілдерін қолдана білуі керек.
Бүгінгі таңда елімізде математиканы оқыту әдістемеі бойынша ана
тілімізде оқу-құралдар шыға бастады. Сонымен қатар, оқу-әдістемелік құралда
математиканы оқыту әдістерін, оқытудың негізгі дидактикалық қағидаларын,
оқыту әдістері және формаларын, эвристикалық әдістерін, оқытудың дәстүрлі
әдістерін, бағдарламалық оқытуды, практикалық және зертханалық жұмыстарды,
математикалық ұғымдарды, ұғым — логикалық категорияны, ұғымның негізгі
мінездемелерін, математикалық ұғымдарды қалыптастыруды, ұғымдардың
анықтамасы және олармен жүргізілетін жұмыстарды, ұғымдарды бөлу және
жіктеуді, математиканы тереңдеңдетіп оқыту мәселелерін, математиканы
тереңдетіп оқытатын сыныптар мен мектептердегі математиканы оқытудың
ерекшеліктерін, математикадан факультативтік сабақтарын, математикадан
сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстарын өзінің педагогикалық іс-тәжірибесінде
теориялық тұрғыда білімін көтеруде тәжірибеде пайдалануда осы әдістемелік
құрал өз көмегін көрсете алады.
Математиканы оқыту әдістері
1. Педагогиканың дидактика деп аталатын тарауында кез келген оқу пәнін
оқытуға қойылатын жалпы, бірыңғай талаптар жиыны - дидактикалық қағидалар
тағайындалған. Бұл туралы педагогика курсында толық мағлұматтар
келтірілген. Математиканы оқытуда басшылыққа алынатын негізгі дидактикалық
қағидалардың әрқайсысына қысқаша тоқталайық.
1. Ғылымилық қағидасы. Білімнің ғылымилығының мынадай үш белгіні
қанағаттандыруы, оның сапалық көрсеткіші болып табылады:
а) білім мазмұнының қазіргі ғылым деңгейіне сәйкес келуі;
ә) танымның жалпы әдісінің дұрыс екеніне оқушылар сенімін қамтамасыз ету;
б) таным процесінің маңызды зандылықтарын көрсету.
Бұл айтылған шарттар бір-бірімен тығыз байланысты және әрқайсысының
алдыңғысы келесісінің қажетті шарты болып саналады.
Бірінші шарт математика материалдарын ғылыми тұрғыдан баяндауды талап
етеді. Егер мектепте оқылатын математика пәні материалдарының теориялық
дәрежесі жоғары болып: ұғымдардың анықталуы мен сөйлемдердің (аксиомалар
мен теоремалардың) тұжырымдалуы олардың мазмұнын дәл, толық және дұрыс ашып
беретін болса, ал дәлелдеу процесі баянды және жүйелі жүргізілсе, сонда
ғана ғылымилық қағидасы орыңдалады.
Екінші шарт бойынша оқытудың ғылымилық қағидасы ғылыми таным жөніндегі
білім талап етіледі. Бұл білімнің ғылымилығының қажетті шарты ғана болып
есептелінеді. Сондықтан бұл оқушылардың таным процесі жөніндегі ұғымдарын
қалыптастыруға жеткіліксіз. Математикада ғылыми танымның тиімді әдістерініц
бірі қарастырылып отырған құбылыстың немесе процестің математикалық моделін
құру болып табылады. Себебі ғылымның әр түрлі саласында модельдеу әдісі кең
түрде қолданылады. Сондықтан екінші шарт математикалық модельдеу әдісін
оқытудың бірінші сатысына көтереді.
Үшінші шарт бойынша оқушыларда таным процесі және оның зандылықтары
жөніндегі ұғымдардың қалыптасуын талап етеді.
Бұл айтылған ғылымилық қағидасының шарттарын іске асыру үшін оқыту
процесінде проблемалық оқыту және әр түрлі зерттеу жолдары кеңінен
қолданылуы керек. Түсінікті болу үшін бірнеше мысалдар келтірейік.
1) х2 +1 = 0 теңдеуінің қандай сандар жиынында шешімі бар?
2)у = уіх — і функциясының анықталу облысын анықта.
а + 6 l4ab = a + b-l4ab = 0 = (4a - -Jb)2 0 оның толық
дәлелдемесі бола алмайтындығын түсіндір.
2. Оқыту процесінде тәрбиелеу қағидасы математиканы оқыту өз бетінше
жеке дара жүргізілмей, шәкірттерге жан-жақты тәрбие беру функциясын қатар
атқаруға міндетті. Бұл туралы жоғарыда математиканы оқыту мақсатын баяндау
кезінде толық айтылды.
3. Математиканы оқытудағы көрнекілік қағидасы. Ол оқушылардың оқу
материалын қабылдау, талдау және жалпылау процесінің мәнінен туындайды. Оқу
барысының әр түрлі кезендерінде көрнекілік түрліше функциялар орындайды.
Математиканы оқыту практикасы бұл қағиданы жүзеге асыруға бағытталған
арнайы құрал-жабдықтар жасауды қажет етеді (геометриялық фигуралардың
модельдері, кестелер, оқу диафильмдері, кинофильмдер, теледидар,
микрокалькуляторлар т.б. )
Ескеретін бір нәрсе, көрнекілікті қалай болса солай қолдана бермей, тек
қажеттілігіне, тиімділігіне қарай пайдалана білудің маңызы зор. Мысалы,
стереометрияның алғашқы сабақтарыңда фигуралардың әр түрлі моделін көрсету
оқушылар үшін пайдалы болады да, кейінірек олардың кеңістік қиялын дамытуға
кері әсер етуі мүмкін, яғни стерейметрияны үйретуде нақты көрнекілік
біртіндеп "абстрактілік көрнекілікке" (жазық сызбаларды қарастыру) орын
беруге тиіс.
4. Математиканы оқытудағы саналылық және белсенділік қағидасы. Бұл
қағида қазіргі қоғамның белсенді де саналы өкілдерін дайындау жөніндегі
мектеп міндеттері мен мақсаттарынан және математикалық материалды игеруге
мағыналы және шығармашылық қатысты талап ететін оқыту процесінің өз
ерекшеліктерінен туындалады.
5. Математиканы оқытудағы білімнің берік болу қағидасы. Математиканы
үйретуде оқушылардың алған білімі, дағдылары берік болуы үшін мұғалім: а)
өткен материалды қайталауды білікті түрде ұйымдастыра білуі қажет (жаңа
тақырыптарды отер алдында, оту барысында қайталау, қорытынды қайталау т.б.
); ә) оқушылардың білім, дағдыларына дер кезінде бақылау жасап отыруға және
мұнда орын алған олқылықтарды алдын ала біліп, оларды түзетіп отыруға тиіс;
б) оқушыларға берілетін есептердің, жаттығулардың және басқа тапсырмалардың
жүйелілігіне (қалай болса солай емес) айрықша мән беруі қажет т. с. с.
6. Математиканы оқытудағы жүйелілік және реттілік қағидасы.
Математиканы үйретудегі жүйелілік — деректерді оқып-зерттегенде белгілі бір
тәртіпті сақтауды және мектеп математика курсындағы негізгі ұғымдар мен
теорияларды біртіндеп меңгеруді көздейді. Математикалық білім алуда негізгі
мен қосалқыны бір жүйеге келтіріп және оларды таразылай отырып қана,
оқушылар ұмытылғанды әрқашан қалпына келтіре алады және оларды орнын тауып
қолдана алады.
Математиканы үйретудегі реттілік (бірте-біртелік) қағидасы бойынша
оқыту: а) қарапайымнан күрделіге; ә) елестен ұғымға; б) белгіліден
белгісізге; в) білімнен білікке, одан дағдыға кешу бағытында жүруге тиіс.
Бұл қағиданы жүзеге асыру үшін мұғалім математиканы оқытуды басқыштар
тізбегі түрінде орналастыруға тиіс, келесі басқыш бірінші басқыштағы білім,
дағдыларды толықтырады және шәкірттердің жаңа білім сатысына котерілуіне
пегіз болады.
7. Математиканы оқытудағы түсініктілік қағидасы.
Математикадағы түсініктілікті білім алуды барынша жеңілдету деп ұғынуға
болмайды. Түсініктіліктің дидактикалық мәнісі шәкірттің жас ерекшелігіне
қарай үйретілгенін, берілетін білім тым қиын да, аса жеңіл де болмауы
қажет. Математиканы үйрену барысында оқушылар өздерінің білім қабілеттеріне
лайық қиындықтарды жеңіп, бейнет-зейнетіне бөленуге тиіс, осылай өз күшіне
сенім пайда болады, математикалық әрекетке құштарлық күшейеді.
Дидактикалық қағидалар өзара бір-бірімен тығыз байланысып біртұтас жүйе
құрады. Мысалы, көрнекілік құралдарын шебер пайдалана білу оқытудың
түсініктілігін арттырады. Математиканы үйретуде жүйелілік және реттілік
қағидаларын қатаң сақтау математиканы оқытуды біртіндеп қиындатуға
ұштасады, ал ол түсініктілік қағидасын жемісті түрде жүзеге асыруға
мүмкіңдік береді.
Математиканы оқыту әдістерін мұғалім мен шәкірттің оқып-үйрену
кезіндегі қызмет, әрекет айырмашылықтарына қарай екі түрге бөлуге болады:
1. оқыту әдістері (мұғалім әрекеті). Бұған ақпараттық және оқушының
қызметін басқару әдістері жатады;
2. оқу әдістері (шәкірт әрекеті).
Бұған оқу материалын танып — білу әдістері жатады.
Бұл жіктеуде екінші топтағы әдістерге баса көңіл бөлінеді, өйткені олар
арқылы оқу процесінің мақсаты болып табылатын оқу материалдарын игеру
қамтамасыз етіледі. Математиканы оқып үйренудің әдістері деп оқушылардың
өздерінің математика жөніндегі белсенді, дербес тану әрекетін іске асыру,
ұйымдастыру тәсілдерін айтады. Бұл әдістер математиканы үйренудің ғылыми
және оқу әдістері болып екіге бөлінеді. Біріншісі математиканы ғылым
ретінде зерттеп білуге құрал болады. Екіншісі орта мектеп математика
педагогикасыңда математиканы оқытуды күшейту үшін арнайы жасалынған әдістер
болып табылады. Олар: эвристикалық әдіс, модельдер арқылы үйрету әдісі,
бағдарламалық оқыту әдісі т.б.
Үйрену мен үйрету, оқу мен оқыту егіз жүретін үрдістер. Сондықтан да
математика дидактикасында үйрету (оқыту) әдістері мен формаларына үлкен
орын беріледі. Оқыту әдістері деп оқушыларға математикалық білім, білік
және дағдылардың белгілі бір жүйесін беру тәсілдерін айтады.
Оқушыларды белгілі бір үлгі бойынша әрекетке үйрету немесе оларға оте
күрделі, өздігінше меңгеруге қиын түсетін оқу материалын оту кезінде оқыту
әдістерінің көмегі зор болады.
Оқыту әдістеріне мұғалімнің кеңесі, әңгімесі, дәрістері, түсіндіру,
жаттығу ретіндегі өзіндік жұмысты басқару, шәкірттің оқу әдебиеті мен
жұмысына әсер етуі т.б. жатады. Математиканы оқыту формасы деп оқу процесін
ұйымдастыру тәсілдері түсіңдіріледі. Олар - ең әуелі сынып-сабақ, сынып —
топ, зертханалық және практикалық сияқты жалпы формалар. Басқа формалар
ішінен оқытудың проблемалық формасын, оқытудың дараланған формасын,
техникалық құрал-жабдықты кеңінен қолдану жағдайында өтетін оқу формасын
т.б. бөліп айтуға болады.
Педагогиканың аса маңызды қағидаларының бірі мынадай: әрбір үйрету
әдісіне белгілі бір үйрену әдісі сәйкес келуі қажет. Былайша айтқанда әрбір
оқыту және оқу әдістері арасында белгілі бір арақатынас сақталуы тиіс.
Алайда практика жүзінде оқыту әдісін үйрену және үйрету әдістерінен ажырату
мүмкін бола бермейді және оларды бөлудің керегі жоқ.
Математиканы оқыту процесінде белгілі бір әдісті (немесе белгілі бір
оқыту формасын) жемісті түрде пайдалану үшін мұғалім осы әдісті жетік білуі
қажет. Мұның мәнісі мынада: а) бұл әдістің мәнін түсініп, оны оқытудың әр
түрлі нақты жағдайларында қолдана білу қажет; ә) оқыту процесінде әрбір
әдістің жиі кездесетін формаларын білу керек; б) бұл әдістің байқалатын,
кездесетін жақсы және теріс жақтарын білу керек; в) осы әдіс арқылы мектеп
математика курсындағы қандай мәселені оқу қолайлы болатынын алдын ала біліп
отыру керек; г) оқу материалын үйрену процесінде оқушыларды осы әдіспен
(басқа емес) жұмыс істеуге үйрете білу қажет.
Эвристикалық әдіс
Оқытудағы эвристикалық әдіс деп әдістемеде негізінен диалогтық (сұрақ-
жауап) формадағы эвристикалық әңгімені түсінеді. Мұнда мұғалім оқушыларға
білімді, ұғымды бірден дайын түрінде бермей, өз орнымен қойылған сұрақтар
арқылы оларда бұрын қалыптасқан білімдері мен бақылаулары және өмір
тәжірибесіне сүйеніп жаңа ұғымдарға, ережелерге, дәлелдеулерге және есептің
шешуіне өздерін дайындау керек. Эвристикалық әңгіме оқытуда орын алып
келген жалаң жаттау мен догатизмге қарсы бағыттялпш оқушылардың
ізденімпаздығын, олардың өз бетінше ойлау қабілетін арттыруды көздейтін
прогрессивтік одіс болып табылады. Эвристикалық әңгіме қойылатын сұрақтар
ішінде оқушылар бірден дайын жауап таба алмайтьндай проблемалық сауалдар
кездеседі. Бұрын үйретілген мәселелерді еске түсіріп, жанғыртуға арналған
сұрақтар мұнда шешуші рөл атқармайды, олар тек әлі белгісіз тың сұрақтарға
жауап беруге, шешуге көмекші болады. Тек өткенді қайталау, жаңғыртуға
арналған әңгіме эвристикалық әңгімеге жатады, оны катехиздік әңгіме дейді.
Қазіргі дидактиканың барлық талабын қанағаттандыра отырып, эвристикалық
әңгіме оқушыларға сабақ барысында танып білгізудің ең маңызды және тиімді
әдістерінің қатарына жатады. Ол қазіргі жағдайда V—IX сыныптарда
математикадан жаңа материал өтуде және жаппай есеп шығартуда негізгі әдіс
болуы керек. Ол, әрине, мұнда басқа оқыту әдістерімен ұштастыра
пайдаланылуы тиіс. Бұл тұрғыда алдыңғы қатарлы тиімді әдістер больш
табылатын проблемалық-бағдарламалық жаңа әдістер алдыңғы кезекке шығады.
Эвристикалық әңгіме синтетикалық әдістерден гөрі аналитикалық әдістермен
жақсы үйлеседі.
Эвристикалық әңгіме-сұрақтар жүйесі бірсыпыра шарттарды қанағаттандыруы
қажет: сұрақтар логикалық жағынан жүйелі, қысқа, дәл болуы; екі-ұшты,
дүдәмәл болмауы, жауабы оп-оңай болмауы және оқушылардың көпшілігінің жан-
жақты ойлауына кең жол ашуы т.б. Ал бұған берілетін оқушының жауабы дәл
және толық, барлық сынып оқушыларына түсінікті болуы қажет. Жауап беруге
көп оқушы қатысқаны дұрыс болады.
Теорема дәлелдеу кезіңде кездесетін бір эвристикалық әңгіменің
сұрақтарын келтірейік:
Теорема: а және b векторларын қосу орын ауыстырымды болады.
Теоремада не берілген? Нені дәлелдеу керек? Ең әуелі
бұл теореманы а = OA, b = OB және О, А, В нүктелері бір түзудің бойында
жатпайтын жағдай үшін дәлелдейміз.
Бұл теореманың қойылысы догматикалық болмай, сандарды қосудың орын
ауыстырымдылық заңының аналогиясы ретіңде алынуы керек. Дәлелденгенше әлі
ақиқаты анықталмаған ойды проблема, болжам деп атаған жон.
- Сандарды қосудың орын ауыстырымдылық заңының дұрыстығын қалай біліп
едік?
Мұны қалай жасауға болады?
Векторларды қосудың қандай тәсілін білеміз?
— Үшбұрыш ережесі формула түрінде қалай жазылады?
— а + b ны табуға үшбұрыш ережесін қолдану үшін ОВ-ны қай нүктеден
бастап жүргізу керек? Оны салындар.
Алынған векторлар қосындысын қалай табады? Орындандар.
Нәтижені көрсетіңдер.
Суретке қарасақ векторларды қосудың жаңа ережесі параллелограмм
ережесін алыппыз.
Теорема қандай жағдай үшін дәлелденді? Тағы қандай жағдайлар болуы
мүмкін?
Міне, осындай мұғалім сұрақтарын қадағалай отырып оқушылар мәселені
шешуге тікелей және саналы түрде қатыстырылады, іздеу, талқылау
әрекеттеріне жаттығады, бұрын өткен мәселеге қатысты материалдарды еске
түсіріп, бекітеді.
Эвристикалық әдісті көп қолданып жүрген мұғалімдер тәжірибесі, оның
оқушылардың оқу жұмысына деген козқарасын өзгертетінін көрсетеді.
Эвристикаға "дәндеп" алған шәкіртке "дап-дайын" жоспармен жұмыс істеу
қызық болмай қалады, жалықтырады. Сабақ кезінде немесе үй тапсырмасын
орындау кезінде болсын, мәселені шешу кілтін, есептерді шешудің жаңа
жолдарын оқушылардың өздері "ашуға" құмарлық пайда болады. Олар
эвристикалық әдіс-айлалар қолданылатын жұмыстарға ынталы болады. Ал бұл
сайып келгенде, шәкірттердің математикалық талғамын жақсартып,
математиканың негіздерін саналы түрде игеруіне игі әсер етеді.
Эвристикалық әдісті қолданудағы бір кемшілік — ол проблеманы үйретуде
мұғалімнің өзі айту (ақпараттық) әдісіне қарағанда уақытты көп алады.
Сондықтан да оқытушының бұл әдісті сабақ сайын қолдануына мүмкіндігі
бола бермейді. Оның үстіне қаңдай да бір тиімді әдіс болмасын, оны үнемі
қолдана беру дұрыс емес, басқа әдістерді алмастырып отыру қажет.
Оқытудың дәстүрлі әдістері ертеде пайда болған және олар үнемі
жетілдіріп отырылады. Педагогика мен оған жақын ғылымдардың XIX ғасырдағы
деңгейіне сәйкес келетін бұл әдістердің көп жақтары ескіріп, қатаң сынға
алына бастағанына да көп болды.
Алайда дәстүрлі әдістердің үлкен кемшіліктерімен қатар олардың тиімді
жақтары да бар. Сондықтан бұл әдістер күні бүгінге дейін әдістемелік
тәжірибеде қолданыс табуда.
Дәстүрлі әдістерге ең алдымен сөзбен баяндаудың және дайын білімді
түсіндірудің догматикалық әдістері жатады (мұғалімнің әңгімесі мен дәрісі).
Бұл әдістерде белсеңці ролді мұғалім атқарады да, оқушыларға ұйып тыңдаушы
міндеті қалады. Математиканы оқытуға және математиканы оқыту әдістеріне
қойылатын қазіргі талаптар оқытушы мен оқушының әңгіме, дәріс үстінде қарым-
қатынастарын маңызды өзгерістер, жаңалықтар енгізу міндетін қойып отыр.
Мұндағы басты мақсат, оқушыларды әрекетсіз тыңдаушы, айтқанды қабылдаушы,
жай орындаушы ғана емес белсенді ой әрекетін атқарушы дәрежесіне көтеру
болып табылады, сондықтан да мұғалімнің оқу әңгімесі мен дөрісі шәкірттерді
бейтарап қалдырмай, оларды айтылып отырған мағлұматтарға, деректерге,
жаңалықтарға тартып отыру қажет.
Әңгіме немесе дәріс кезінде оқытушы ағынан жарыла сөйлей отырып,
шәкірттерге өзінің "ойлау зертханасының" есігін айқара ашуы тиіс. Екінші
сөзбен айтқанда, ол оқылатын математикалық материалдарды дайын күйінде
жалаң айта салмай, оларды формуланы қорыту, теореманы дәлелдеу жолдарын
табу процесінің мәнісіне, сырын терең бойлауға бастаушы қызметін атқарады.
Оқулықтың құрғақ мәтінінен мұғалімнің жаңды сөзінің үстем болуының
себебінің өзі осында. Осы талапқа сай оқу материалын баяндау барысында
мұғалім өзіне "Неге?", "Қандай негіз бар?", "Бұл деректі тағайындау үшін
нені білу қажет?", "Неден бастау керек?", "Бұл қалай істеледі?", "Мұны
басқаша жасауға бола ма?" деген тәріздес көп сауалдар қойып, оларға қолма-
қол жауап келтіреді. Оқытушы өзімен-өзі ақылдасқандай, ауызекі әңгіме
жүргізгендей халде болады.
Мұғалімнің әңгімесі дәріске қарағанда анағұрлым шағындау болып келеді,
ол оқыту формасы ретінде бірінші сыныптан бастап барлық сыныптарда
қолданылады деуге болады. Мәселен, келтірілген тарихи мағлұматтардың
барлығы жақсы дайындалған, қызықты да қысқаша әңгіме түрінде беріледі.
Әңгіменің ұзақтығы әр түрлі болып келуі мүмкін, алайда ол сабақтың белгілі
бір бөлігін ғана алып, оқытудың басқа формаларына да орын қалатындай етіп
жүргізілуі тиіс.
Математиканы оқытуда дәріс әдісі негізінен жоғары сыныптарда
қолданылады. Ол бүкіл сабақты немесе оның бір бөлігін ғана қамтуы мүмкін.
Оқу дәрістерінің әңгімеден айырмашылығы, онда келтірілетін, айтылатын
материалдың мазмұнына байланысты болып келеді. Кез келген тарихи шолулар
бағдарламалық материал бойынша берілетін кішігірім мағлұматтан, кестелер
арқылы орындалатын жұмыстардың сипаттамалары әңгіме түрінде беріледі. Ал
енді логарифмдік функциялар және оның қасиеттері, математикалық индукция
әдісі, тригонометриялық функциялардың "қосу теоремасы" т.б. сияқты күрделі
мәселелерді қарастыруда оқытудың тиімді формасы дәріс болады, өйткені
мұндай материалды баяңдау көлемді де күрделі математикалық түрлендіру
жұмыстарын қажет етеді. Оның үстіне оқытушының айтқандарын шәкірттер қысқа
да, нұсқа етіп жазып алуға үлгерулері тиіс.
Бұл тұрғыда тағы бір ескеретін жай, жоғарғы сыныптарда математиканы
оқытуда дәрістік әдісті қолдану белгілі дәрежеде оқушыларды жоғары оқу
орындарында оқуына дайындау болып табылады. Өйткені оларда дәріс оқу
оқытудың ең негізгі әдістерінің бірі екені белгілі.
Бағдарламалық оқыту
Математиканы оқыту әдістері кез келген басқа білім салалары сияқты
үнемі даму, жетілу үстіндегі ғылым. Бұл, әсіресе, оқыту әдістемесіндегі
орын альш отырған өзгерістерден анық байқалады. Кейінгі кезде математика
педагогикасында жоғарыда айтылған дәстүрлі оқу, оқыту әдістерімен қатар
және соларға ұштастырыла қолданылатын жаңа әдістер бой көрсетіп,
кейбіреулері математиканы оқыту практикасында лайықты орын ала бастады.
Математиканы оқытудың қазіргі кезендегі ең басты ерекшеліктері мынадай:
1) Оқытудың барлық кезеңдерінде шәкірттердің білім алу белсенділігін
арттыру. Мұнда мұғалімнің жәрдемімен шәкірттердің өздігінше білім алуына
баса көңіл бөлінеді. 2) Оқу процесіңде оқушылардың математикалық ойлауын
жандандыру, яғни оларды математика саласы бойынша теориялық білім алу және
тиімді ойлаудың негізгі интенсивті әдістерін игеруге баулу.
Оқыту — мұғалім тарапынан оқыту, үйрету, ал шәкірт тарапынан оқу,
үйренуді қамтитын екі жақты процесс. Сондықтан да оқыту жемісті болу үшін
бұлардың арасыңда әрқашан тура және кері байланыс орын алуы керек. Оқытушы
оқу процесінің жүруін басқарып отыруы үшін шәкірттен мұғалімге ол жөнінде
ақпарат дер кезінде жетіп отыруы шарт, Тек осындай ақпаратты ескере отырып,
мұғалім сабақ үстіндс әр оқушының оқуына білікті түрде араласа алады. Бұл
бағдарламалық оқыту идеясын туғызады. Бұл әдіс бойынша оқушы
бағдарламаланған оқулықтағы немесе оқыту мәшинесіне енгізілген арнайы
құрастырылған оқыту бағдарламасына сәйкес жұмыс істейді. Бағдарламада
шәкірт өз жұмысының дұрыс-бұрыстығын бақылап отыруы үшін қойылған
сұрақтардың жауаптары да келтіріледі. Бағдарламалық әдісті басқа әдістермен
біріктіре отырып қолданудың бір түрі бағдарламалық картаны пайдалану болын
табылады. Бұл картада оқулықта келтірілген математиканың белгілі бір
тарауын өз бетінше оқып игеруді жүзеге асыруды көздеген нұсқаулардың
реттелген жүйесі келтіріледі. Бағдарламалық карта арқылы мектеп математика
курсындағы белгілі бір тақырыпта көлемі шағын өз бетінше оқу барысында
оқушы өз әрекетінің дұрыстығьш дер кезінде бақылап отыруға мүмкіндік алады.
Осындай картаның әдістемелік әдебиеттерде келтіріліп жүрген бір үлгісін
келтірейік.
Қазір математикалық пәндер бойынша жоғары және орта мектептерге
арналған бағдарламаланған оқулықтар мен материалдар дайындалып, олармен
тиісті эксперименттер жүргізілуде оқытушы бағдарлама әрқайсысы (теориялық
мағлұмат) амалдық кадр (жаттығулар) және кері байланыс нұсқау, жауап)
кадрынан түратын бөліктерден құралады. Бірнеше адымнан кейін барып бақылау
кадры беріледі.
Оқытатын бағдарлама сайып келгенде оқыту алгоритмі болады, ендеше
бағдарламалық оқыту — оқу процесін алгоритмдеу проблемасымен тығыз
байланысты болады.
Бағдарламалық оқытуды дамытып, мектеп практикасына енгізу оқытудың
техникалық құралдары ролін күшейте түседі. Мектептерде бағдарламаланған
оқулықтарды кең қолдану мәшинелік оқытуды қолға алуға мүмкіндік береді
(микропроцессорлар, ЭЕМ т.б. ).
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру
Ұғым — логикалық категория. Ұғымның негізгі мінездемелері
Педагогика ғылымы ғылыми ұғымдарды олардың таным процесіңдегі
гаосеологиялық және психологиялық маңызына сүйене отырып, білім мазмұнының
басты құрылымдық бірлігі ретінде анықтайды. Ұғым шындық дүниесін біржақты
ғана бейнелемейді, объектілердің жалпы маңызын ашып көрсетеді, заттың
елеулі қасиеттерін анықтаумен қатар, жалпы мен жалқының, нақты мен
абстрактшің бірлігін, белгілі бір ғылым саласының даму нәтижесін, оның көп
уақыт тырнақталып жиналған қорытындысын түйіндейді.
Ұғым қарастыратын объектінің, құбылыстың соған ғана тән ерекше қасиетін
сипаттайды.
Мысалы: 1) Адам сөйлей алатын омыртқалылар тобының мүшесі;
2) радиус — шеңбер центрін оның бойындағы кез келген нүктемен қосатын
кесінді.
3) ұғым — зерттелінетін объектінің жалпы, сонымен бірге маңызды
белгілері, негізгі ой түйіні болатын барлық айрықша сипаттары туралы
түсінік, мәліметтердің тұтастай жиынтығы туралы пайымдар.
Ұғым — өте күрделі логикалық және гносеологиялық категория. Ол
біріншіден, жоғарғы материяның жемісі; екіншіден, ол шындық дүниесін
бейнелейді; үшіншіден, жалпылау құралы; төртіншіден, ұғымның қалыптасуы
сөзбен, жазумен және белгілеумен тығыз байланысты болады. Сонымен ұғым —
ойлаудың жоғарғы түрі, шындық дүниесін сипаттайтын "қару" болып табылады.
Оқыту процесінде математикалық ұғымдардың пайда болуы мен құрылымы,
олардың материалдық дүниенің заттарымен, құбылыстарымен байланысын ашу —
мұғалімнің бірден бір міндеті. Мұғалім бұл күрделі әдіснамалық мәселені
шешу нәтижесінде оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастырады. Математика
ақиқат (шындық) дүниенің белгілі бір жағы болып табылатын мөлшерлік
қатынастар және кеңістіктік формалар, абстрактілі объектілер мен олар
туралві" ұғымдарды зерттейтін ғылым екендігін түсінуге мүмкіндік береді.
Кез келген ұғым, оның ішінде математикалық ұғым да, табиғатта бар
заттардың елеулі белгілерін абстракциялау арқылы пайда болады. Бірақ
математикалық ұғымдар заттар мен құбылыстардың нақтылы мазмұнын елемей,
олардың барльнъша ортақ мөлшерлік қатынастар мен формаларды ғана
бейнелейді. Академик Ә. Нысанбаевтың сөзімен айтқанда "математика заттардың
өзін емес, сол заттардың бейнесі болатын белгілерін және абстрактілі
құрылымы мен функцияларын зерттейді". Математика абстрактілі объектілермен
тікелей қатынаста болады. Бірақ материалдық объекті мен математикалық
объектіні шатастырмау қажет. Математикалық объекті материалдық объектінің
дәл өзі емес, оның күрделі абстракция нәтижесінде пайда болатын көшірмесі,
бейнесі, яғни абстрактілі объект (нүкте, түзу, сан, жиын, топ, функция,
оператор, құрылым т.б. ). Айталық, бөлмедегі орындықтардың санын есептейтін
болсақ, біз олардың түсіне, сапасына кеңіл аудармаймыз, санына ғана көңіл
аударамыз. Қанша адамға орындық керек, қаншасы бар, қаншасы жоқ, жетпейтіні
қанша? — соны білуге ұмтыламыз. Басқа заттарды санағаңда да олардың
физикалық қасиетіне назар аудармай тек олардың санын білуге тырысамыз.
Сондай-ақ қандай да бір ыдыстың сыйымдылығын анықтау қажет болса, ол
ыдыстың қандай материалдан жасалғанына мән бермей, оның пішінін ғана
ескереміз. Екі қаланың ара қашықтығьш есептегенде калаларды нүкте, керулі
тұрған жіпті түзу сызық ретінде қарастырамыз. Жіптің жуандығы немесе оның
қандай материалдан ширатылғандығы ескерілмейді. Осылайша абстракциялау
нәтижесінде математикалық ұғымдар пайда болады.
Табиғи ғылымдардан математиканың айырмашылығы, оның ұғымдарының бірнеше
сатылы (кемінде екі сатылы) абстрактілігіңде.
Адам өзінің санасында бірдей сипатқа ие болатын бірнеше объектілерді
біріктірсе және осы заттар класын бір атпен атайтын болса (мысалы, кітап,
қой, жылқы), онда ол абстрактілі ұғым алғаны. Сонда бұл ұғым
абстракциялаудың қарапайым түрі — бірдейге сайып абстракциялау (немесе
бірдейге саю) нәтижесінде пайда болады. Абстракциялаудың осы түрінің
жәрдемімен алғашқы математикалық ұғымдар пайда болады. Олардың ішіндегі ең
бастысы - сан ұғымы. Мысалы, бала үш элементтен тұратын, әр түрлі заттарға
(үш ойыншық, үш алма, үш саусақ) бақылау жасай отырып, езі
бұрын естіп жүрген "үш" сөзі мен заттардың саны арасындағы сәйкестік бар
екендігін ұғынады. Сонда үш элементтен түратын әр түрлі барлық жиындарға
тән, олардың мөлшерін білдіретін "үш" саны туралы ұғым пайда болады.
Математикалық ұғымдар пайда болатын абстракцияның бір түрі —
идеализация абстракциясы. Өлшемі жоқ нүкте, қалыңдығы жоқ сызық т.б.
алғашқы геометриялық ұғымдар абстракцияның осы түрі негізінде келіп шыққан.
Жер бетінде әр жаққа тартылған жіп немесе сым темір, дәптер бетіндегі
сызық, тағы басқаларды біз бір класқа біріктіріп қана қоймаймыз, санамызда
идеалды "сызық" ұғымының бейнесін жасаймыз. Сонымен, "сызьқ" сөзі заттарды
белгілі бір класқа жатқызумен ғана шектеліп қоймай, идеалды бейнені
жасаумен де байланысты болады. Бізді қоршаған дүниеде үш қой, үш ағаш т.б.
ұғымдар бар, бірақ онда математикалық сызық ұғымы жоқ. "Сызық" ұғымы
заттардың ортақ қасиеттерін жалпылаумен бірге, ортақ қасиеттерді идеалдап
түр.
Идеализациялау абстракциясы бойынша көптеген математикалық ұғымдар куб,
тікбұрышты параллелепипед, шар т.б. пайда болады.
Математикалық ұғымдар осылайша пайда болғанымен математика үшін олар
нақтылы болып табылады. Математикалық ұғымдарды олардың жалпы сипаттағы
белгілері бойынша біріктіріп тағы да бір, екінші рет абстракциялаймыз
(абстракциядан абстракцияға). Мысалы, барлық төртбұрышты фигураларды
қарастыра отырып, олардың қандай да бір белгілері бойынша параллелограмм,
тіктөртбұрыш, квадрат ұғымдарына көшеді. Бұл тағы да бірдейге саю
абстракциясы болып табылады. Бірақ бұл жерде математикалық заттар емес,
қалыптасқан абстрактілі математикалық ұғымдар біріктіріледі.
Математикалық ұғымдардың басты ерекшелігі - шындық дүние заттарын
тікелей емес, жанама түрде бейнелеуінде.
Математика абстракциялаудың екінші сатысымен де шектеліп қалмайды.
Көптеген математикалық ұғымдар келесі абстракциялау нәтижесіңде пайда
болған. Олардың ішінде жазықтықтағы және кеңістіктегі фигуралардың тең
шамалылық үғьімы, одан кейінгі абстракциялау көлем ұғымы болады. Қазіргі
математиканың маңызды ұғымдары болатын топ және өріс, векторлық кеңістік
т.б. — көп сатылы абстракциялау нәтижесі.
Көп сатылы абстракциялау нәтижесінде пайда болған математикалық
ұғымдарды өмірде қолдануға болмайды деген жаңсақ пікір тумауы керек.
Кемінде екі рет абстракциялау кезінде пайда болатын көлем ұғымы біздің
күнделікті тіршілігімізде кең түрде қолданылады. Ал топ, өріс, көп өлшемді
векторлық кеңістік т.б. ұғымдар ғылым мен техникада қолданыс табуда.
Ұғымның негізгі мінездемелері ретінде:
а) ұғымның мазмұны;
ә) ұғымның көлемі;
б) ұғымның басқа ұғымдармен қатысы және байланысы қарастырылады.
Ұғымның мазмұны деп ұғымдар класына жататын барлық объектілерге тиісті
елеулі белгілердің жиынтығын айтады. ұғымның көлемі — берілген ұғымдар
класына жататын барлық объектілер жиынтығы. Мысалы үшбұрыш ұғымының мазмұны
"бір түзуде жатпайтын үш нүкте және оларды қос-қостан қосатын үш кесінді",
яғни үш қабырғасы, үш төбесі және үш бұрышы бар фигура болса, оның көлемі
мүмкін болатын барлық тең қабырғалы, тең бүйірлі, әр қабырғалы үшбұрыштар
бола алады.
Сол сияқты "функция" ұғымының мазмұны — аргумент әрбір мәніне белгілі
бір ереже немесе заң бойынша функцияның тек қана бір мәні сәйкес келуі
болса, оның көлеміне сызықтық функция, квадраттық функция, көрсеткіш,
логарифмдік функция т.б. жатады.
Сонымен ұғымның мазмұны — оның елеулі белгілері болады да, көлеміне
ұғымға енетін барлық объектілер жиынтығы жатады.
Ұғымның көлемін дұрыс елестету үшін оны "логикалық дөңгелек" арқылы
кескіндеу тиімді. Мұндағы үлкен дөңгелек берілген ұғымды көрсетсе, оның
ішіндегі кіші дөңгелектер берілген ұғымға жататындарын білдіреді. Мысалы, 9-
суретте үлкен дөңгелек жай бөлшек ұғымы (М) болса, оның ішіндегі кіші
дөңгелектер жай бөлшек ұғымына жататын дұрыс (N), бұрыс (К) бөлшектер
болады.
9-сурет
Егер ұғымның көлемі көптеген ұғымдарды қамтитын болса, онда берілген
ұғымның көлемі кең, ал ол ұғымдар аз болса, ұғымның көлемі тар делінеді.
Егер ұғымның сәйкес класына енетін объектілердің ортақ, елеулі қасиеттері
көп болатын болса, ұғымның мазмұны бай, ал ондай ортақ белгілер аз болса,
ұғымның мазмұны кедей деп аталынады.
Ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны кедейлене береді және
керісінше ұғымның көлемі неғұрлым тар болған сайын мазмұны қорлана түседі.
Мысалы, "төрт-бұрыш" ұғымының белгілеріне тағы да бір "екі қабырғасы
параллель" болсын дегенді қосатын болсақ, онда ол "трапеция" ұғымын береді.
Егер оған тағы "басқа екі қабырғасы да параллель" болсын деген белгі
қосатын болсақ, онда ол "параллелограмм" ұғымы болып шығады.
Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең, қарама-қарсы
қабырғалары тең, диагональдары бір нүктеде қиылысып қақ бөлінеді т.б.
белгілеріне "барлық қабырғалары тең" деген белгіні қосатын болсақ, онда ол
ромб болады.
Сонымен, ұғымның көлемі мен мазмұны бір-біріне кері қатынаста болады
екен, ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны соғұрлым тарыла береді,
көлемі тарылған сайын, оның мазмұны қорлана түседі.
Егер қандай да бір ұғымның көлемінен белгілі бір ерекшеліктері бойынша
басқа бір ұғымның көлемі бөлініп алынатын болса, онда алғашқы ұғымның өзі
тегі, ал бөлініп алынған ұғым алғашқыға қатысты оның түрі деп аталынады.
Тектік ұғым мен түрлік ұғымның арақатысы 10-суретте кескінделген. Мысалы,
"үшбұрыш" ұғымдар класынан үшбұрыштың екі қабырғасы тең болатынын бөліп
алатын болсак, онда "тең бүйірлі үшбұрыш" ұғымы жалпы "үшбұрыш" ұғымының
түрі, (В) ал "тең бүйірлі үшбұрыш" үшін "үшбұрыш" тектік ұғым (А) болады.
Егер тең бүйірлі үшбұрыштардың ішінен бір бұрышы тік болатынын тағы да
бөліп алатын болсақ, ондай жағдайда "тең бүйірлі үшбұрыш" тектік, ал "тең
бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш" — түрлік ұғым болып табылады.
Тектік ұғымды түрлік ұғымдардан бөліп алуға мүмкіндік туғызатын белгі
ұғымның түрлік айырмашылығы делінеді. Жоғарыда келтірілген мысалдардағы
үшбұрыштар класынан тең бүйірлі үшбұрыш ұғымын бөліп алатын "екі қабырғасы
тең" белгісі түрлік айырмашылық немесе түрлік ерекшелік болады. Ал тең
бүйірлі үшбұрыштан, тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш ұғымын бөліп тұратын
"бір бұрышы тік" белгісі түрлік ерекшелік болады.
Тектік ұғымнан түрлік ұғымға өту ұғымды шектеу (ұғымның көлемін
кеңейту) деп аталады.
Егер ұғымдар бір-бірімен тектік және түрлік қатынаста болса, олар өзара
бағынышты делінеді. Түрлік ұғымдар тектік ұғымға бағынышты болады. Мысалы,
"үшбұрыштар" ұғымына "тең бүйірлі", "тең қабырғалы", "әр түрлі қабырғалы
үшбұрыштар" немесе "сүйір бұрышты үшбұрыш", "доғал бұрышты үшбұрыш",
"тікбұрышты үшбұрыш" ұғымдары бағынышты.
Ойлау процесіңде түрлік және тектік ұғымдарды және олардың арасындағы
бағыныштылық қатынастарды айыра білу үлкен рөл атқарады. Сондықтан
математиканы оқытуда мұғалім де, оқушы да ұғымдар арасында қандай қатыстар
бар екендігін айқын білуі тиіс. Оқыту тәжірибесі бұл мәселені оқушылардың
дұрыс түсінбейтін жағдайларының да кездесетінін көрсетуде. Мысалы,
төртбұрыштар тақырыбын өткен кезде мұғалім мынадай сұрақ қояды:
"Тіктөртбұрыш пен параллелограмның айырмашылығы қандай?, "Квадрат пен
тіктөртбұрыштың ұқсастығы мен айырмашылықтары неде?". Бұл сұрақтардың
қойылуындағы негізгі кемшілік "параллелограмм" ұғымы "тіктөртбұрыш", ал
"тіктөртбұрыш" ұғымы "квадрат" ұғымына қатысты алғанда тектік ұғым болып
табылатындығын ескермегенінде болса керек. Тектік ұғымды түрлік ұғыммен
салыстырудың ешқандай мағынасы болмайды, себебі түрлік ұғымда тектік
ұғымның барлық қасиеттері де болады. Мұңдай жағдайда дұрыс сұрақ мынадай
болуы мүмкін: "Тіктөртбұрыш қандай белгілер арқылы параллелограмнан
ажыратылады?", "Қандай белгісі бойынша тіктөртбұрыш квадрат бола алады?".
Ұғымдарды салыстыруға бағытталған сұрақтар тегі бірдей түрлік ұғымдарға
қойылады. Мысалы, "жай сандар" мен "құрама сандар", "рационал сандар" мен
"иррационал сандар", "тіктөртбұрыш" пен "ромб", "квадрат теңдеу" мен
"сызықтық теңдеу" салыстырылады.
Мектептегі оқыту процесінде тектік ұғымдарды түрлік ұғымдармен
шатастыру да жиі кездеседі. Мәселен, есептің шартында кез келген төртбұрыш
туралы әңгіме болғанда оқушылар кез келген төртбұрыш сызудың орнына
тіктөртбұрышты немесе квадрагты кескіндейді. Нәтижесінде, есептің шартына
енбейтін тіктөртбұрыштың немесе квадраттың қасиеттерін еріксіз қолдануға
тура келеді де, есепті шығаруға кедергі жасайды, не оны қате шығарады.
Немесе есептің шарты бойынша кез келген үшбұрыш болатын болса, оның орнына
тең қабырғалы үшбұрыш, не тікбұрышты үшбұрыш сызып қателесетіндер де жиі
кездеседі.
Мұндай жағдайлар оқушылардың қоршаған ортадан тіктөртбұрышты жалпы
төртбұрыш кескінінен көбірек кездестіруіне байланысты болса, екінші жағынан
оқыту процесінде төртбұрыш тақырыбын өтуге байланысты "төртбұрыш" ұғымы мен
оның дербес түрі болатын "тіктөртбұрыш" ұғымы арасындағы қатынастар жігін
ажыратуға жете назар аудармаудан болатын жағдай. Сондықтан да оқушы
"төртбұрыш" терминін "тіктөртбұрышпен" шатастырады.
Ұғымдар арасындағы бағыныштылық қатынастар қарапайым болғанымен, бұл
мәселеге өте ұқыптылықпен қарауға тура келеді. Мұғалім ұғымдар арасындағы
өзара бағыныштылық қатынасты оқушыларға көптеген қарапайым және нақтылы
мысалдар арқылы түсіндіріп отыруы керек. Мұнда анықтама, тұжырымдау, оның
құрылысымен таныстыру, ұғымдарды жіктеу жұмыстарының маңызы зор.
Қандай да болмасын білімге талпыну, танымдық ізденімпаздықты арттыру,
соның ішінде математикалық білімді игеріп, іскерлік пен дағдыны
қалыптастыру — маңызды да қиын мәселе. Танымдық іс-әрекеттер арнайы
құрылған проблемалық ахуалдар кезінде пайда болады да, оны оқушылар бұрын
немесе жаңадан игерген нақты жұмыстарда және басқа пәндерді оқып үйренуде
үнемі өз қажетіне жарата алады.
Жалпы алғанда математиканы оқып-үйрену ұғымды қалыптастыру мен оны
терең танымдық дәрежеге жеткізуден, математикалық тұжырымдарды,
теоремаларды дәлелдей білуге үйретуден және оны нақтылы іс-әрекетте, есеп
шығаруға қолдана білуден тұрады. Мұның алғашқысы да, маңыздысы да
математикалық ұғымдарды игеру болғандықтан, оның алатын орны да ерекше.
Оқушының білім-танымының бастауы, оның қолданылар аясының кендігі мен
түсінілуі үшін мұғалімнің өзі олармен жете таныс әрі оның қасиетінен жан-
жақты хабардар болуы керек. Сонда ғана шындық дүниенің заттары мен
құбылыстары туралы оқушы дұрыс түсініктер алып, олар туралы тура ой түзеді.
Мұның өзі баланың дамуына, ойының жетілуіне игі әсер етіп, алған таным-
білімдерін әрі қарай толықтырып, ұштап, күнделікті өмірде қолдана білуіне
жол ашады.
Мектеп оқушыларына ғылыми ұғымдар жүйесін қалыптастыру — оларды жалпы
ғылыми білімдер жүйесімен қаруландырудың маңызды элементтерінің бірі. Әрбір
оқу пәні бір-бірімен өзара байланыстағы ұғымдар жүйесін және пән
байланыстағы ғылыми ұғымдар жүйесін қамтиды.
Оқушылардың жалпы пөнаралық бойынша білімдерінің сапасы олардың ұғымдар
жүйесін меңгеруіне байланысты. Заттардың қасиеттері мен сипаттарын, материя
қозғалысының формалары мен олардың алуан түрлі көріністерін оқып-үйрену,
математика және жаратылыстану пәңдері курсының мазмұны болып табылады.
Ұғымдарды меңгермейінше зандар мен теорияларды саналы түрде білу мүмкін
емес, өйткені олардың өзі ұғымдар арасындағы байланыстарды білдіреді. Ал
ұғымды меңгеру дегеніміз — болмыстың, заттар мен құбылыстардың маңызды
қасиеттерін, олардың арасындағы мәнді байланыстарды, арақатынастарды білу.
Ғылыми зерттеулер мен адамның практикалық қызметінде кеңінен қолданылып
жүрген, ғылымның "қаруы" ретінде қабылданған ұғымдардың мазмұны оқу
процесінде біртіндеп ашылады. Ұғымды меңгеру оқушылардың белсенді ой
қызметімен, анализ және синтез, салыстыру, абстракциялау және жалпылау
сияқты ойлау амалдарын (операцияларды) орындаумен байланысты. Сондықтан
ұғымдарды қалыптастыру оқушылардың ойлауын дамытумен тікелей байланысты.
Ұғым туралы психолог В. В. Давыдов "Балаларға жалпылау мен ұғымды
қалыптастыру мектептің басты міндеттерінің бірі болып табылады", - деген.
Математикалық ұғымдар жалпылау мен абстракциялаудың жоғары деңгейі
болғандықтан мектеп курсында оған ерекше орын береді. Бұл процесті зерттеу
Л. С. Выготскийден басталады, проблеманы шешуге айрықша үлес қосқандар В.
В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, Н. Ф. Талызина, Д. Н. Богоявленский, Н.
А. Менчинская т.б. болды.
Таным іс-әрекетіне басқару объектісі ретінде сипаттама бере келіп Н. Ф.
Талызина былай деп атап көрсетеді: "ұғымды қалыптастыру, біріншіден,
нақтылы заттардың қажетті және жеткілікті белгілеріне тән амалдар жүйесін
игеруден, екіншіден, осы амалдардың жалпы логикалық жүйесін меңгеруден,
яғни берілген объектінің белгілі бір класқа жататындығына белгілі бір
ұғымға сай келетіндігіне көз жеткізуден тұрады.
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру оқушылардың белсенді іс-
әрекетінсіз мүмкін емес. Математикалық ұғымдарды игеру таным процесінің
жалпы және нақтылы іс-әрекеттері арқылы жүзеге асырылады. Оларға жалпылау,
нақтылау, анализ, синтез, салыстыру, аналогия, жіктеу жоне бір жүйеге
келтіру іс-әрекеттері жатады.
Математикалық ұғымдарды игеру оқушының нерв жүйесінің аналитикалық-
синтетикалық қызметінің нәтижесі ретінде түсіндіріледі. Талдау арқылы оқушы
заттар мен құбылыстардың жекелеген қасиеттерін бөліп алады, ал синтез
көмегімен жалпы белгілері бойынша оларды біріктіреді. Одан соң объектінің
ерекше қасиеттері абстракцияланып, терминдермен бекітіледі. Бұл процесс
бөлініп алынған ұғымды қолдана білумен аяқталады.
Математикалық ұғымдардың қалыптасуы күрделі психологиялық процесс.
Ұғымдардың қалыптасуы мынадай сүлбе бойынша жүреді:
сезіну (туйсіну) — қабылдау — түсінік (елестету) — ұғым.
Сезіну, қабылдау және түсінік — танудың алғашқы сатысы, олар сезімдік
тану деп аталады. Сезіну — сыртқы дүние заттары мен құбылыстарының жеке
белгілерінің мидағы бейнеленуі. Сол себепті сезіну шындықты танып білудің
алғашқы сатысы болып табылады. Сезінумен тікелей байланыста қабылдау жүзеге
асырылады. Қабылдау — заттар мен құбылыстардың мидағы тұтастай бейнеленуі.
Қабылдау кезінде ми қабығының аналитикалық-синтетикалық қабілеті айқын
көріне бастайды. Қабылдау процесінде объективті дүниені сезінулерімізді
әрқилы бөліктерге бөліп, анализдеу жүзеге асырылады да, сонымен бір
мезгілде ол бөліктерді синтез арқылы белгілі бір нақтылы затқа немесе
құбылысқа жатқызады. Материалдық дүниенің заттары мен құбылыстарының кейбір
жалпы жақтары (ерекшеліктері) қабылдау арқылы біздің санамызда қандай да
бір байланыс құрап, жалпы түсінік (елестету) пайда болуына себін тигізеді.
Сезіну мен қабылдау объективті деректердің біздің сезім мүшелерімізге
тікелей әсер етуі нәтижесінде пайда болса, ал жалпы түсінік (елестету) ол
түсінікке сәйкес келетін заттар мен құбылыстардың өзі қатыспаған жағдайдың
өзінде де адам санасында пайда бола береді. Мысалы, адам шел далада болмаса
да немесе теңізде жүзіп көрмесе де, оның шөл дала немесе теңіз туралы жалпы
түсінігі болуы мүмкін.
Қабылдау құрамына түйсінумен бірге бұрынғы тәжірибе мен білім де енеді.
Мысалы, төмендегі суреттерді бұрынғы тәжірибе, білім арқасында (бір
қарағанда) бір де бір бұрышы болмаса да — үшбұрыш шектелмеген қисық болса
да — шеңбер деп қабыддаймыз.
Ұғымның санада пайда болуының жоғарырақ сатысы — түсінік. Түсінік есте
сақтаумен тікелей байланысты. Түсінік заттың бұрын қабылданған бейнесін
қайталау. Ми қыртыстарында қозу нәтижесінде бұрынырақ сақтальш қалған іздер
— түсініктің физиологиялық негізі болып табылады.
Түсініктің пайда болуында ойлаудың аналитикалық-синтетикалық қызметі
айқындала түседі: қабылдаудағы жалпы элементтер бөліктерге бөлінеді де,
онымен бір мезгілде ол элементтер бір бүтінге, яғни қандай дабір бейнеге
біріктіріледі. Түсінік сезіну мен қабылдаудан тыс бола алмайды.
Ұғымның құралуы түсінікке негізделеді.
Ойлаудың негізгі элементі — ұғым. Ұғым — объективті шындықтың көңіл
аударарлықтай және жалпыланған маңызды қасиеттерін бейнелейтін ойлау
формасы. Әрбір ұғымға біздің қабылдауымызда және түсініктерімізде
бейнеленетін материалдық дүние объектілерінің біршама класы сәйкес келеді.
Ұғым қалыптасуының осы сатыларын "квадрат" ұғымы әр жылы көрсетелік.
7—8 жасар балаларға, алдымен, әр түрлі бояулармен боялған, әр түрлі
пішіндегі, әр түрлі өлшемдегі квадрат, квадрат емес фигуралар көрсетіледі.
Олардың біреуін жеке алып, мынау — квадрат дейміз. Содан соң қалған
фигуралардан квадратты тап десе, балалар пішініне, түсіне, мөлшеріне көңіл
аудармай, квадратты қиналмай-ақ табады. Әрі қарай фигураларды жинап алып,
"квадрат сыз" десек, балалар квадрат болатындай фигура сызуға әрекеттенеді.
Бұл квадрат туралы түсініктің пайда болуы. Содан соң "квадратты басқа
фигуралардан қалай айыруға болады" деген сұраққа "оның 4 қабырғасы, 4
бұрышы болады, қабырғалары өзара тең, бұрыштары тік болады деп жауап
береді. Яғни ойлау процесі нәтижесінде оның өзіне тән қасиеттері
ерекшеленіп, түсініктен квадрат ұғымы пайда болады. Ұғымның даму
диалектикасы да осыңда.
Ұғымның көрнекілік дәрежесі қабылдау мен түсініктегідей бола алмайды.
Оның себебі, ұғымда объектінің барлық қасиеттері емес, оның тек айрықша, ең
жалпы қасиеттері ғана бейнеленеді. Обьектіні басқа объектілерден өзгешелеп
тұратын ең жалпы белгілері ұғымның елеулі белгілері деп аталынады. Мысалы,
параллелограмның елеулі белгілері — оның қарама-қарсы қабырғаларының қос-
қостан параллельдігі, қарама-қарсы екі қабырғасының параллель және тең
болуы, қарама-қарсы қабырғаларының қос-қостан теңдігі, қарама-қарсы
бұрыштарының теңдігі т.б. бола алады.
Ұғымның елеулі белгілерін оның қасиеттерінен ажырата алу керек. Ұғымның
белгілері сол ұғымды қамтып тұрған объектілер класын бөліп алуға мүмкіндік
берсе, оның қасиеттері әр уақытта оның белгілері бола бермейді. Мысалы,
вертикаль бұрыштардың өзара тең болатын қасиеті вертикаль бұрыштарды
анықтай бермейді, себебі, бұрыштар тең болғанымен, олар вертикаль бұрыштар
болмауы да мүмкін. Ұғымның белгілері мен қасиеттерінің дәл келуі, ұғымның
қажетті және жеткілікті шартын құрайды.
Ұғымды басқа ұғымдардан ажыратып тұратын белгілері біреу ғана болмауы
мүмкін. Жоғарыда келтірілген параллелограмм белгілерінің кез келгенін
параллелограмм анықтамасының ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Жандарбекова Д. И.
Палмағанбетова Л.
Математика пәнін оқыту әдістемесі
Түркістан-2014
УДК373: 51
ББК74. 262. 0
М91
Пікір берген: Қ. А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік
унивесритетінің оқытушысы, тарих ғылымдарының кандидаты, Сарыбаева Ә. Қ.
Мырзабекова Қ. И. , Жандарбекова Д. И. , Палмағанбетова Л.
М91
Математиканы оқытудың әдістемесі. Оқу-әдістемелік құрал. -Түркістан
2014. 56- б.
Ұсынылып отырған оқу-әдістемелік құралда математиканы оқыту әдістерін,
оқытудың негізгі дидактикалық қағидаларын, оқыту әдістері және формаларын,
эвристикалық әдістерін, оқытудың дәстүрлі әдістерін, бағдарламалық оқытуды,
практикалық және зертханалық жұмыстарды, математикалық ұғымдарды, ұғым —
логикалық категорияны, ұғымның негізгі мінездемелерін, математикалық
ұғымдарды қалыптастыруды, ұғымдардың анықтамасы және олармен жүргізілетін
жұмыстарды, ұғымдарды бөлу және жіктеуді, математиканы тереңдеңдетіп оқыту
мәселелерін, математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптар мен мектептердегі
математиканы оқытудың ерекшеліктерін, математикадан факультативтік
сабақтарын, математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстарын өзінің
педагогикалық іс-тәжірибесінде теориялық тұрғыда білімін көтеруде
тәжірибеде пайдалануда осы әдістемелік құрал өз көмегін көрсете алады.
ISBN 9965-9530-6-6
ББК74. 262. 0
Мырзабекова Қ. И. ,
Жандарбекова Д. И.
Палмағанбетова Л.
Алғы сөз
Бәсекеге қабілетті дамыған мемлекет болу үшін біз сауаттылығы жоғары
елге айналуымыз керек. Қазіргі әлемде жай ғана жаппай сауаттылық
жеткіліксіз болып қалғаны қашан. Бұған 2012 жылғы желтоқсан айындағы ҚР-ның
Президенті –Елбасы Н. Назарбаевтың Қазақстан-2050 стратегиясы -
кемелденген мемлекеттің жаңа саяси курсы- атты Жолдауында біз бәсекеге
қабілетті ел болуымыз үшін ұшқыр білімді ұлт болуымыз керек делінген. Соңғы
жылдардағ қоғамдық және әлеуметтік өмірде болып жатқан елеулі өзгерістер
мектеп алдында көптеген жаңка міндеттер қойып отыр. Әсіресе, білім беру
жүйесінде әлемдік деңгейге жету үшін жасалынып жатқан талпыныстар, мектеп
оқушыларына терең, сапалы жаңа технология үлгілерімен сабақ беру талаптары
қойылуда. Математика пәнінің мұғалімі оқытудың жалпы заңдылықтарын,
мақсаттары мен мазмұнын, әдістемелік зерттеулерді, оқытудың әртүрлі әдіс-
тәсілдерін қолдана білуі керек.
Бүгінгі таңда елімізде математиканы оқыту әдістемеі бойынша ана
тілімізде оқу-құралдар шыға бастады. Сонымен қатар, оқу-әдістемелік құралда
математиканы оқыту әдістерін, оқытудың негізгі дидактикалық қағидаларын,
оқыту әдістері және формаларын, эвристикалық әдістерін, оқытудың дәстүрлі
әдістерін, бағдарламалық оқытуды, практикалық және зертханалық жұмыстарды,
математикалық ұғымдарды, ұғым — логикалық категорияны, ұғымның негізгі
мінездемелерін, математикалық ұғымдарды қалыптастыруды, ұғымдардың
анықтамасы және олармен жүргізілетін жұмыстарды, ұғымдарды бөлу және
жіктеуді, математиканы тереңдеңдетіп оқыту мәселелерін, математиканы
тереңдетіп оқытатын сыныптар мен мектептердегі математиканы оқытудың
ерекшеліктерін, математикадан факультативтік сабақтарын, математикадан
сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстарын өзінің педагогикалық іс-тәжірибесінде
теориялық тұрғыда білімін көтеруде тәжірибеде пайдалануда осы әдістемелік
құрал өз көмегін көрсете алады.
Математиканы оқыту әдістері
1. Педагогиканың дидактика деп аталатын тарауында кез келген оқу пәнін
оқытуға қойылатын жалпы, бірыңғай талаптар жиыны - дидактикалық қағидалар
тағайындалған. Бұл туралы педагогика курсында толық мағлұматтар
келтірілген. Математиканы оқытуда басшылыққа алынатын негізгі дидактикалық
қағидалардың әрқайсысына қысқаша тоқталайық.
1. Ғылымилық қағидасы. Білімнің ғылымилығының мынадай үш белгіні
қанағаттандыруы, оның сапалық көрсеткіші болып табылады:
а) білім мазмұнының қазіргі ғылым деңгейіне сәйкес келуі;
ә) танымның жалпы әдісінің дұрыс екеніне оқушылар сенімін қамтамасыз ету;
б) таным процесінің маңызды зандылықтарын көрсету.
Бұл айтылған шарттар бір-бірімен тығыз байланысты және әрқайсысының
алдыңғысы келесісінің қажетті шарты болып саналады.
Бірінші шарт математика материалдарын ғылыми тұрғыдан баяндауды талап
етеді. Егер мектепте оқылатын математика пәні материалдарының теориялық
дәрежесі жоғары болып: ұғымдардың анықталуы мен сөйлемдердің (аксиомалар
мен теоремалардың) тұжырымдалуы олардың мазмұнын дәл, толық және дұрыс ашып
беретін болса, ал дәлелдеу процесі баянды және жүйелі жүргізілсе, сонда
ғана ғылымилық қағидасы орыңдалады.
Екінші шарт бойынша оқытудың ғылымилық қағидасы ғылыми таным жөніндегі
білім талап етіледі. Бұл білімнің ғылымилығының қажетті шарты ғана болып
есептелінеді. Сондықтан бұл оқушылардың таным процесі жөніндегі ұғымдарын
қалыптастыруға жеткіліксіз. Математикада ғылыми танымның тиімді әдістерініц
бірі қарастырылып отырған құбылыстың немесе процестің математикалық моделін
құру болып табылады. Себебі ғылымның әр түрлі саласында модельдеу әдісі кең
түрде қолданылады. Сондықтан екінші шарт математикалық модельдеу әдісін
оқытудың бірінші сатысына көтереді.
Үшінші шарт бойынша оқушыларда таным процесі және оның зандылықтары
жөніндегі ұғымдардың қалыптасуын талап етеді.
Бұл айтылған ғылымилық қағидасының шарттарын іске асыру үшін оқыту
процесінде проблемалық оқыту және әр түрлі зерттеу жолдары кеңінен
қолданылуы керек. Түсінікті болу үшін бірнеше мысалдар келтірейік.
1) х2 +1 = 0 теңдеуінің қандай сандар жиынында шешімі бар?
2)у = уіх — і функциясының анықталу облысын анықта.
а + 6 l4ab = a + b-l4ab = 0 = (4a - -Jb)2 0 оның толық
дәлелдемесі бола алмайтындығын түсіндір.
2. Оқыту процесінде тәрбиелеу қағидасы математиканы оқыту өз бетінше
жеке дара жүргізілмей, шәкірттерге жан-жақты тәрбие беру функциясын қатар
атқаруға міндетті. Бұл туралы жоғарыда математиканы оқыту мақсатын баяндау
кезінде толық айтылды.
3. Математиканы оқытудағы көрнекілік қағидасы. Ол оқушылардың оқу
материалын қабылдау, талдау және жалпылау процесінің мәнінен туындайды. Оқу
барысының әр түрлі кезендерінде көрнекілік түрліше функциялар орындайды.
Математиканы оқыту практикасы бұл қағиданы жүзеге асыруға бағытталған
арнайы құрал-жабдықтар жасауды қажет етеді (геометриялық фигуралардың
модельдері, кестелер, оқу диафильмдері, кинофильмдер, теледидар,
микрокалькуляторлар т.б. )
Ескеретін бір нәрсе, көрнекілікті қалай болса солай қолдана бермей, тек
қажеттілігіне, тиімділігіне қарай пайдалана білудің маңызы зор. Мысалы,
стереометрияның алғашқы сабақтарыңда фигуралардың әр түрлі моделін көрсету
оқушылар үшін пайдалы болады да, кейінірек олардың кеңістік қиялын дамытуға
кері әсер етуі мүмкін, яғни стерейметрияны үйретуде нақты көрнекілік
біртіндеп "абстрактілік көрнекілікке" (жазық сызбаларды қарастыру) орын
беруге тиіс.
4. Математиканы оқытудағы саналылық және белсенділік қағидасы. Бұл
қағида қазіргі қоғамның белсенді де саналы өкілдерін дайындау жөніндегі
мектеп міндеттері мен мақсаттарынан және математикалық материалды игеруге
мағыналы және шығармашылық қатысты талап ететін оқыту процесінің өз
ерекшеліктерінен туындалады.
5. Математиканы оқытудағы білімнің берік болу қағидасы. Математиканы
үйретуде оқушылардың алған білімі, дағдылары берік болуы үшін мұғалім: а)
өткен материалды қайталауды білікті түрде ұйымдастыра білуі қажет (жаңа
тақырыптарды отер алдында, оту барысында қайталау, қорытынды қайталау т.б.
); ә) оқушылардың білім, дағдыларына дер кезінде бақылау жасап отыруға және
мұнда орын алған олқылықтарды алдын ала біліп, оларды түзетіп отыруға тиіс;
б) оқушыларға берілетін есептердің, жаттығулардың және басқа тапсырмалардың
жүйелілігіне (қалай болса солай емес) айрықша мән беруі қажет т. с. с.
6. Математиканы оқытудағы жүйелілік және реттілік қағидасы.
Математиканы үйретудегі жүйелілік — деректерді оқып-зерттегенде белгілі бір
тәртіпті сақтауды және мектеп математика курсындағы негізгі ұғымдар мен
теорияларды біртіндеп меңгеруді көздейді. Математикалық білім алуда негізгі
мен қосалқыны бір жүйеге келтіріп және оларды таразылай отырып қана,
оқушылар ұмытылғанды әрқашан қалпына келтіре алады және оларды орнын тауып
қолдана алады.
Математиканы үйретудегі реттілік (бірте-біртелік) қағидасы бойынша
оқыту: а) қарапайымнан күрделіге; ә) елестен ұғымға; б) белгіліден
белгісізге; в) білімнен білікке, одан дағдыға кешу бағытында жүруге тиіс.
Бұл қағиданы жүзеге асыру үшін мұғалім математиканы оқытуды басқыштар
тізбегі түрінде орналастыруға тиіс, келесі басқыш бірінші басқыштағы білім,
дағдыларды толықтырады және шәкірттердің жаңа білім сатысына котерілуіне
пегіз болады.
7. Математиканы оқытудағы түсініктілік қағидасы.
Математикадағы түсініктілікті білім алуды барынша жеңілдету деп ұғынуға
болмайды. Түсініктіліктің дидактикалық мәнісі шәкірттің жас ерекшелігіне
қарай үйретілгенін, берілетін білім тым қиын да, аса жеңіл де болмауы
қажет. Математиканы үйрену барысында оқушылар өздерінің білім қабілеттеріне
лайық қиындықтарды жеңіп, бейнет-зейнетіне бөленуге тиіс, осылай өз күшіне
сенім пайда болады, математикалық әрекетке құштарлық күшейеді.
Дидактикалық қағидалар өзара бір-бірімен тығыз байланысып біртұтас жүйе
құрады. Мысалы, көрнекілік құралдарын шебер пайдалана білу оқытудың
түсініктілігін арттырады. Математиканы үйретуде жүйелілік және реттілік
қағидаларын қатаң сақтау математиканы оқытуды біртіндеп қиындатуға
ұштасады, ал ол түсініктілік қағидасын жемісті түрде жүзеге асыруға
мүмкіңдік береді.
Математиканы оқыту әдістерін мұғалім мен шәкірттің оқып-үйрену
кезіндегі қызмет, әрекет айырмашылықтарына қарай екі түрге бөлуге болады:
1. оқыту әдістері (мұғалім әрекеті). Бұған ақпараттық және оқушының
қызметін басқару әдістері жатады;
2. оқу әдістері (шәкірт әрекеті).
Бұған оқу материалын танып — білу әдістері жатады.
Бұл жіктеуде екінші топтағы әдістерге баса көңіл бөлінеді, өйткені олар
арқылы оқу процесінің мақсаты болып табылатын оқу материалдарын игеру
қамтамасыз етіледі. Математиканы оқып үйренудің әдістері деп оқушылардың
өздерінің математика жөніндегі белсенді, дербес тану әрекетін іске асыру,
ұйымдастыру тәсілдерін айтады. Бұл әдістер математиканы үйренудің ғылыми
және оқу әдістері болып екіге бөлінеді. Біріншісі математиканы ғылым
ретінде зерттеп білуге құрал болады. Екіншісі орта мектеп математика
педагогикасыңда математиканы оқытуды күшейту үшін арнайы жасалынған әдістер
болып табылады. Олар: эвристикалық әдіс, модельдер арқылы үйрету әдісі,
бағдарламалық оқыту әдісі т.б.
Үйрену мен үйрету, оқу мен оқыту егіз жүретін үрдістер. Сондықтан да
математика дидактикасында үйрету (оқыту) әдістері мен формаларына үлкен
орын беріледі. Оқыту әдістері деп оқушыларға математикалық білім, білік
және дағдылардың белгілі бір жүйесін беру тәсілдерін айтады.
Оқушыларды белгілі бір үлгі бойынша әрекетке үйрету немесе оларға оте
күрделі, өздігінше меңгеруге қиын түсетін оқу материалын оту кезінде оқыту
әдістерінің көмегі зор болады.
Оқыту әдістеріне мұғалімнің кеңесі, әңгімесі, дәрістері, түсіндіру,
жаттығу ретіндегі өзіндік жұмысты басқару, шәкірттің оқу әдебиеті мен
жұмысына әсер етуі т.б. жатады. Математиканы оқыту формасы деп оқу процесін
ұйымдастыру тәсілдері түсіңдіріледі. Олар - ең әуелі сынып-сабақ, сынып —
топ, зертханалық және практикалық сияқты жалпы формалар. Басқа формалар
ішінен оқытудың проблемалық формасын, оқытудың дараланған формасын,
техникалық құрал-жабдықты кеңінен қолдану жағдайында өтетін оқу формасын
т.б. бөліп айтуға болады.
Педагогиканың аса маңызды қағидаларының бірі мынадай: әрбір үйрету
әдісіне белгілі бір үйрену әдісі сәйкес келуі қажет. Былайша айтқанда әрбір
оқыту және оқу әдістері арасында белгілі бір арақатынас сақталуы тиіс.
Алайда практика жүзінде оқыту әдісін үйрену және үйрету әдістерінен ажырату
мүмкін бола бермейді және оларды бөлудің керегі жоқ.
Математиканы оқыту процесінде белгілі бір әдісті (немесе белгілі бір
оқыту формасын) жемісті түрде пайдалану үшін мұғалім осы әдісті жетік білуі
қажет. Мұның мәнісі мынада: а) бұл әдістің мәнін түсініп, оны оқытудың әр
түрлі нақты жағдайларында қолдана білу қажет; ә) оқыту процесінде әрбір
әдістің жиі кездесетін формаларын білу керек; б) бұл әдістің байқалатын,
кездесетін жақсы және теріс жақтарын білу керек; в) осы әдіс арқылы мектеп
математика курсындағы қандай мәселені оқу қолайлы болатынын алдын ала біліп
отыру керек; г) оқу материалын үйрену процесінде оқушыларды осы әдіспен
(басқа емес) жұмыс істеуге үйрете білу қажет.
Эвристикалық әдіс
Оқытудағы эвристикалық әдіс деп әдістемеде негізінен диалогтық (сұрақ-
жауап) формадағы эвристикалық әңгімені түсінеді. Мұнда мұғалім оқушыларға
білімді, ұғымды бірден дайын түрінде бермей, өз орнымен қойылған сұрақтар
арқылы оларда бұрын қалыптасқан білімдері мен бақылаулары және өмір
тәжірибесіне сүйеніп жаңа ұғымдарға, ережелерге, дәлелдеулерге және есептің
шешуіне өздерін дайындау керек. Эвристикалық әңгіме оқытуда орын алып
келген жалаң жаттау мен догатизмге қарсы бағыттялпш оқушылардың
ізденімпаздығын, олардың өз бетінше ойлау қабілетін арттыруды көздейтін
прогрессивтік одіс болып табылады. Эвристикалық әңгіме қойылатын сұрақтар
ішінде оқушылар бірден дайын жауап таба алмайтьндай проблемалық сауалдар
кездеседі. Бұрын үйретілген мәселелерді еске түсіріп, жанғыртуға арналған
сұрақтар мұнда шешуші рөл атқармайды, олар тек әлі белгісіз тың сұрақтарға
жауап беруге, шешуге көмекші болады. Тек өткенді қайталау, жаңғыртуға
арналған әңгіме эвристикалық әңгімеге жатады, оны катехиздік әңгіме дейді.
Қазіргі дидактиканың барлық талабын қанағаттандыра отырып, эвристикалық
әңгіме оқушыларға сабақ барысында танып білгізудің ең маңызды және тиімді
әдістерінің қатарына жатады. Ол қазіргі жағдайда V—IX сыныптарда
математикадан жаңа материал өтуде және жаппай есеп шығартуда негізгі әдіс
болуы керек. Ол, әрине, мұнда басқа оқыту әдістерімен ұштастыра
пайдаланылуы тиіс. Бұл тұрғыда алдыңғы қатарлы тиімді әдістер больш
табылатын проблемалық-бағдарламалық жаңа әдістер алдыңғы кезекке шығады.
Эвристикалық әңгіме синтетикалық әдістерден гөрі аналитикалық әдістермен
жақсы үйлеседі.
Эвристикалық әңгіме-сұрақтар жүйесі бірсыпыра шарттарды қанағаттандыруы
қажет: сұрақтар логикалық жағынан жүйелі, қысқа, дәл болуы; екі-ұшты,
дүдәмәл болмауы, жауабы оп-оңай болмауы және оқушылардың көпшілігінің жан-
жақты ойлауына кең жол ашуы т.б. Ал бұған берілетін оқушының жауабы дәл
және толық, барлық сынып оқушыларына түсінікті болуы қажет. Жауап беруге
көп оқушы қатысқаны дұрыс болады.
Теорема дәлелдеу кезіңде кездесетін бір эвристикалық әңгіменің
сұрақтарын келтірейік:
Теорема: а және b векторларын қосу орын ауыстырымды болады.
Теоремада не берілген? Нені дәлелдеу керек? Ең әуелі
бұл теореманы а = OA, b = OB және О, А, В нүктелері бір түзудің бойында
жатпайтын жағдай үшін дәлелдейміз.
Бұл теореманың қойылысы догматикалық болмай, сандарды қосудың орын
ауыстырымдылық заңының аналогиясы ретіңде алынуы керек. Дәлелденгенше әлі
ақиқаты анықталмаған ойды проблема, болжам деп атаған жон.
- Сандарды қосудың орын ауыстырымдылық заңының дұрыстығын қалай біліп
едік?
Мұны қалай жасауға болады?
Векторларды қосудың қандай тәсілін білеміз?
— Үшбұрыш ережесі формула түрінде қалай жазылады?
— а + b ны табуға үшбұрыш ережесін қолдану үшін ОВ-ны қай нүктеден
бастап жүргізу керек? Оны салындар.
Алынған векторлар қосындысын қалай табады? Орындандар.
Нәтижені көрсетіңдер.
Суретке қарасақ векторларды қосудың жаңа ережесі параллелограмм
ережесін алыппыз.
Теорема қандай жағдай үшін дәлелденді? Тағы қандай жағдайлар болуы
мүмкін?
Міне, осындай мұғалім сұрақтарын қадағалай отырып оқушылар мәселені
шешуге тікелей және саналы түрде қатыстырылады, іздеу, талқылау
әрекеттеріне жаттығады, бұрын өткен мәселеге қатысты материалдарды еске
түсіріп, бекітеді.
Эвристикалық әдісті көп қолданып жүрген мұғалімдер тәжірибесі, оның
оқушылардың оқу жұмысына деген козқарасын өзгертетінін көрсетеді.
Эвристикаға "дәндеп" алған шәкіртке "дап-дайын" жоспармен жұмыс істеу
қызық болмай қалады, жалықтырады. Сабақ кезінде немесе үй тапсырмасын
орындау кезінде болсын, мәселені шешу кілтін, есептерді шешудің жаңа
жолдарын оқушылардың өздері "ашуға" құмарлық пайда болады. Олар
эвристикалық әдіс-айлалар қолданылатын жұмыстарға ынталы болады. Ал бұл
сайып келгенде, шәкірттердің математикалық талғамын жақсартып,
математиканың негіздерін саналы түрде игеруіне игі әсер етеді.
Эвристикалық әдісті қолданудағы бір кемшілік — ол проблеманы үйретуде
мұғалімнің өзі айту (ақпараттық) әдісіне қарағанда уақытты көп алады.
Сондықтан да оқытушының бұл әдісті сабақ сайын қолдануына мүмкіндігі
бола бермейді. Оның үстіне қаңдай да бір тиімді әдіс болмасын, оны үнемі
қолдана беру дұрыс емес, басқа әдістерді алмастырып отыру қажет.
Оқытудың дәстүрлі әдістері ертеде пайда болған және олар үнемі
жетілдіріп отырылады. Педагогика мен оған жақын ғылымдардың XIX ғасырдағы
деңгейіне сәйкес келетін бұл әдістердің көп жақтары ескіріп, қатаң сынға
алына бастағанына да көп болды.
Алайда дәстүрлі әдістердің үлкен кемшіліктерімен қатар олардың тиімді
жақтары да бар. Сондықтан бұл әдістер күні бүгінге дейін әдістемелік
тәжірибеде қолданыс табуда.
Дәстүрлі әдістерге ең алдымен сөзбен баяндаудың және дайын білімді
түсіндірудің догматикалық әдістері жатады (мұғалімнің әңгімесі мен дәрісі).
Бұл әдістерде белсеңці ролді мұғалім атқарады да, оқушыларға ұйып тыңдаушы
міндеті қалады. Математиканы оқытуға және математиканы оқыту әдістеріне
қойылатын қазіргі талаптар оқытушы мен оқушының әңгіме, дәріс үстінде қарым-
қатынастарын маңызды өзгерістер, жаңалықтар енгізу міндетін қойып отыр.
Мұндағы басты мақсат, оқушыларды әрекетсіз тыңдаушы, айтқанды қабылдаушы,
жай орындаушы ғана емес белсенді ой әрекетін атқарушы дәрежесіне көтеру
болып табылады, сондықтан да мұғалімнің оқу әңгімесі мен дөрісі шәкірттерді
бейтарап қалдырмай, оларды айтылып отырған мағлұматтарға, деректерге,
жаңалықтарға тартып отыру қажет.
Әңгіме немесе дәріс кезінде оқытушы ағынан жарыла сөйлей отырып,
шәкірттерге өзінің "ойлау зертханасының" есігін айқара ашуы тиіс. Екінші
сөзбен айтқанда, ол оқылатын математикалық материалдарды дайын күйінде
жалаң айта салмай, оларды формуланы қорыту, теореманы дәлелдеу жолдарын
табу процесінің мәнісіне, сырын терең бойлауға бастаушы қызметін атқарады.
Оқулықтың құрғақ мәтінінен мұғалімнің жаңды сөзінің үстем болуының
себебінің өзі осында. Осы талапқа сай оқу материалын баяндау барысында
мұғалім өзіне "Неге?", "Қандай негіз бар?", "Бұл деректі тағайындау үшін
нені білу қажет?", "Неден бастау керек?", "Бұл қалай істеледі?", "Мұны
басқаша жасауға бола ма?" деген тәріздес көп сауалдар қойып, оларға қолма-
қол жауап келтіреді. Оқытушы өзімен-өзі ақылдасқандай, ауызекі әңгіме
жүргізгендей халде болады.
Мұғалімнің әңгімесі дәріске қарағанда анағұрлым шағындау болып келеді,
ол оқыту формасы ретінде бірінші сыныптан бастап барлық сыныптарда
қолданылады деуге болады. Мәселен, келтірілген тарихи мағлұматтардың
барлығы жақсы дайындалған, қызықты да қысқаша әңгіме түрінде беріледі.
Әңгіменің ұзақтығы әр түрлі болып келуі мүмкін, алайда ол сабақтың белгілі
бір бөлігін ғана алып, оқытудың басқа формаларына да орын қалатындай етіп
жүргізілуі тиіс.
Математиканы оқытуда дәріс әдісі негізінен жоғары сыныптарда
қолданылады. Ол бүкіл сабақты немесе оның бір бөлігін ғана қамтуы мүмкін.
Оқу дәрістерінің әңгімеден айырмашылығы, онда келтірілетін, айтылатын
материалдың мазмұнына байланысты болып келеді. Кез келген тарихи шолулар
бағдарламалық материал бойынша берілетін кішігірім мағлұматтан, кестелер
арқылы орындалатын жұмыстардың сипаттамалары әңгіме түрінде беріледі. Ал
енді логарифмдік функциялар және оның қасиеттері, математикалық индукция
әдісі, тригонометриялық функциялардың "қосу теоремасы" т.б. сияқты күрделі
мәселелерді қарастыруда оқытудың тиімді формасы дәріс болады, өйткені
мұндай материалды баяңдау көлемді де күрделі математикалық түрлендіру
жұмыстарын қажет етеді. Оның үстіне оқытушының айтқандарын шәкірттер қысқа
да, нұсқа етіп жазып алуға үлгерулері тиіс.
Бұл тұрғыда тағы бір ескеретін жай, жоғарғы сыныптарда математиканы
оқытуда дәрістік әдісті қолдану белгілі дәрежеде оқушыларды жоғары оқу
орындарында оқуына дайындау болып табылады. Өйткені оларда дәріс оқу
оқытудың ең негізгі әдістерінің бірі екені белгілі.
Бағдарламалық оқыту
Математиканы оқыту әдістері кез келген басқа білім салалары сияқты
үнемі даму, жетілу үстіндегі ғылым. Бұл, әсіресе, оқыту әдістемесіндегі
орын альш отырған өзгерістерден анық байқалады. Кейінгі кезде математика
педагогикасында жоғарыда айтылған дәстүрлі оқу, оқыту әдістерімен қатар
және соларға ұштастырыла қолданылатын жаңа әдістер бой көрсетіп,
кейбіреулері математиканы оқыту практикасында лайықты орын ала бастады.
Математиканы оқытудың қазіргі кезендегі ең басты ерекшеліктері мынадай:
1) Оқытудың барлық кезеңдерінде шәкірттердің білім алу белсенділігін
арттыру. Мұнда мұғалімнің жәрдемімен шәкірттердің өздігінше білім алуына
баса көңіл бөлінеді. 2) Оқу процесіңде оқушылардың математикалық ойлауын
жандандыру, яғни оларды математика саласы бойынша теориялық білім алу және
тиімді ойлаудың негізгі интенсивті әдістерін игеруге баулу.
Оқыту — мұғалім тарапынан оқыту, үйрету, ал шәкірт тарапынан оқу,
үйренуді қамтитын екі жақты процесс. Сондықтан да оқыту жемісті болу үшін
бұлардың арасыңда әрқашан тура және кері байланыс орын алуы керек. Оқытушы
оқу процесінің жүруін басқарып отыруы үшін шәкірттен мұғалімге ол жөнінде
ақпарат дер кезінде жетіп отыруы шарт, Тек осындай ақпаратты ескере отырып,
мұғалім сабақ үстіндс әр оқушының оқуына білікті түрде араласа алады. Бұл
бағдарламалық оқыту идеясын туғызады. Бұл әдіс бойынша оқушы
бағдарламаланған оқулықтағы немесе оқыту мәшинесіне енгізілген арнайы
құрастырылған оқыту бағдарламасына сәйкес жұмыс істейді. Бағдарламада
шәкірт өз жұмысының дұрыс-бұрыстығын бақылап отыруы үшін қойылған
сұрақтардың жауаптары да келтіріледі. Бағдарламалық әдісті басқа әдістермен
біріктіре отырып қолданудың бір түрі бағдарламалық картаны пайдалану болын
табылады. Бұл картада оқулықта келтірілген математиканың белгілі бір
тарауын өз бетінше оқып игеруді жүзеге асыруды көздеген нұсқаулардың
реттелген жүйесі келтіріледі. Бағдарламалық карта арқылы мектеп математика
курсындағы белгілі бір тақырыпта көлемі шағын өз бетінше оқу барысында
оқушы өз әрекетінің дұрыстығьш дер кезінде бақылап отыруға мүмкіндік алады.
Осындай картаның әдістемелік әдебиеттерде келтіріліп жүрген бір үлгісін
келтірейік.
Қазір математикалық пәндер бойынша жоғары және орта мектептерге
арналған бағдарламаланған оқулықтар мен материалдар дайындалып, олармен
тиісті эксперименттер жүргізілуде оқытушы бағдарлама әрқайсысы (теориялық
мағлұмат) амалдық кадр (жаттығулар) және кері байланыс нұсқау, жауап)
кадрынан түратын бөліктерден құралады. Бірнеше адымнан кейін барып бақылау
кадры беріледі.
Оқытатын бағдарлама сайып келгенде оқыту алгоритмі болады, ендеше
бағдарламалық оқыту — оқу процесін алгоритмдеу проблемасымен тығыз
байланысты болады.
Бағдарламалық оқытуды дамытып, мектеп практикасына енгізу оқытудың
техникалық құралдары ролін күшейте түседі. Мектептерде бағдарламаланған
оқулықтарды кең қолдану мәшинелік оқытуды қолға алуға мүмкіндік береді
(микропроцессорлар, ЭЕМ т.б. ).
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру
Ұғым — логикалық категория. Ұғымның негізгі мінездемелері
Педагогика ғылымы ғылыми ұғымдарды олардың таным процесіңдегі
гаосеологиялық және психологиялық маңызына сүйене отырып, білім мазмұнының
басты құрылымдық бірлігі ретінде анықтайды. Ұғым шындық дүниесін біржақты
ғана бейнелемейді, объектілердің жалпы маңызын ашып көрсетеді, заттың
елеулі қасиеттерін анықтаумен қатар, жалпы мен жалқының, нақты мен
абстрактшің бірлігін, белгілі бір ғылым саласының даму нәтижесін, оның көп
уақыт тырнақталып жиналған қорытындысын түйіндейді.
Ұғым қарастыратын объектінің, құбылыстың соған ғана тән ерекше қасиетін
сипаттайды.
Мысалы: 1) Адам сөйлей алатын омыртқалылар тобының мүшесі;
2) радиус — шеңбер центрін оның бойындағы кез келген нүктемен қосатын
кесінді.
3) ұғым — зерттелінетін объектінің жалпы, сонымен бірге маңызды
белгілері, негізгі ой түйіні болатын барлық айрықша сипаттары туралы
түсінік, мәліметтердің тұтастай жиынтығы туралы пайымдар.
Ұғым — өте күрделі логикалық және гносеологиялық категория. Ол
біріншіден, жоғарғы материяның жемісі; екіншіден, ол шындық дүниесін
бейнелейді; үшіншіден, жалпылау құралы; төртіншіден, ұғымның қалыптасуы
сөзбен, жазумен және белгілеумен тығыз байланысты болады. Сонымен ұғым —
ойлаудың жоғарғы түрі, шындық дүниесін сипаттайтын "қару" болып табылады.
Оқыту процесінде математикалық ұғымдардың пайда болуы мен құрылымы,
олардың материалдық дүниенің заттарымен, құбылыстарымен байланысын ашу —
мұғалімнің бірден бір міндеті. Мұғалім бұл күрделі әдіснамалық мәселені
шешу нәтижесінде оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастырады. Математика
ақиқат (шындық) дүниенің белгілі бір жағы болып табылатын мөлшерлік
қатынастар және кеңістіктік формалар, абстрактілі объектілер мен олар
туралві" ұғымдарды зерттейтін ғылым екендігін түсінуге мүмкіндік береді.
Кез келген ұғым, оның ішінде математикалық ұғым да, табиғатта бар
заттардың елеулі белгілерін абстракциялау арқылы пайда болады. Бірақ
математикалық ұғымдар заттар мен құбылыстардың нақтылы мазмұнын елемей,
олардың барльнъша ортақ мөлшерлік қатынастар мен формаларды ғана
бейнелейді. Академик Ә. Нысанбаевтың сөзімен айтқанда "математика заттардың
өзін емес, сол заттардың бейнесі болатын белгілерін және абстрактілі
құрылымы мен функцияларын зерттейді". Математика абстрактілі объектілермен
тікелей қатынаста болады. Бірақ материалдық объекті мен математикалық
объектіні шатастырмау қажет. Математикалық объекті материалдық объектінің
дәл өзі емес, оның күрделі абстракция нәтижесінде пайда болатын көшірмесі,
бейнесі, яғни абстрактілі объект (нүкте, түзу, сан, жиын, топ, функция,
оператор, құрылым т.б. ). Айталық, бөлмедегі орындықтардың санын есептейтін
болсақ, біз олардың түсіне, сапасына кеңіл аудармаймыз, санына ғана көңіл
аударамыз. Қанша адамға орындық керек, қаншасы бар, қаншасы жоқ, жетпейтіні
қанша? — соны білуге ұмтыламыз. Басқа заттарды санағаңда да олардың
физикалық қасиетіне назар аудармай тек олардың санын білуге тырысамыз.
Сондай-ақ қандай да бір ыдыстың сыйымдылығын анықтау қажет болса, ол
ыдыстың қандай материалдан жасалғанына мән бермей, оның пішінін ғана
ескереміз. Екі қаланың ара қашықтығьш есептегенде калаларды нүкте, керулі
тұрған жіпті түзу сызық ретінде қарастырамыз. Жіптің жуандығы немесе оның
қандай материалдан ширатылғандығы ескерілмейді. Осылайша абстракциялау
нәтижесінде математикалық ұғымдар пайда болады.
Табиғи ғылымдардан математиканың айырмашылығы, оның ұғымдарының бірнеше
сатылы (кемінде екі сатылы) абстрактілігіңде.
Адам өзінің санасында бірдей сипатқа ие болатын бірнеше объектілерді
біріктірсе және осы заттар класын бір атпен атайтын болса (мысалы, кітап,
қой, жылқы), онда ол абстрактілі ұғым алғаны. Сонда бұл ұғым
абстракциялаудың қарапайым түрі — бірдейге сайып абстракциялау (немесе
бірдейге саю) нәтижесінде пайда болады. Абстракциялаудың осы түрінің
жәрдемімен алғашқы математикалық ұғымдар пайда болады. Олардың ішіндегі ең
бастысы - сан ұғымы. Мысалы, бала үш элементтен тұратын, әр түрлі заттарға
(үш ойыншық, үш алма, үш саусақ) бақылау жасай отырып, езі
бұрын естіп жүрген "үш" сөзі мен заттардың саны арасындағы сәйкестік бар
екендігін ұғынады. Сонда үш элементтен түратын әр түрлі барлық жиындарға
тән, олардың мөлшерін білдіретін "үш" саны туралы ұғым пайда болады.
Математикалық ұғымдар пайда болатын абстракцияның бір түрі —
идеализация абстракциясы. Өлшемі жоқ нүкте, қалыңдығы жоқ сызық т.б.
алғашқы геометриялық ұғымдар абстракцияның осы түрі негізінде келіп шыққан.
Жер бетінде әр жаққа тартылған жіп немесе сым темір, дәптер бетіндегі
сызық, тағы басқаларды біз бір класқа біріктіріп қана қоймаймыз, санамызда
идеалды "сызық" ұғымының бейнесін жасаймыз. Сонымен, "сызьқ" сөзі заттарды
белгілі бір класқа жатқызумен ғана шектеліп қоймай, идеалды бейнені
жасаумен де байланысты болады. Бізді қоршаған дүниеде үш қой, үш ағаш т.б.
ұғымдар бар, бірақ онда математикалық сызық ұғымы жоқ. "Сызық" ұғымы
заттардың ортақ қасиеттерін жалпылаумен бірге, ортақ қасиеттерді идеалдап
түр.
Идеализациялау абстракциясы бойынша көптеген математикалық ұғымдар куб,
тікбұрышты параллелепипед, шар т.б. пайда болады.
Математикалық ұғымдар осылайша пайда болғанымен математика үшін олар
нақтылы болып табылады. Математикалық ұғымдарды олардың жалпы сипаттағы
белгілері бойынша біріктіріп тағы да бір, екінші рет абстракциялаймыз
(абстракциядан абстракцияға). Мысалы, барлық төртбұрышты фигураларды
қарастыра отырып, олардың қандай да бір белгілері бойынша параллелограмм,
тіктөртбұрыш, квадрат ұғымдарына көшеді. Бұл тағы да бірдейге саю
абстракциясы болып табылады. Бірақ бұл жерде математикалық заттар емес,
қалыптасқан абстрактілі математикалық ұғымдар біріктіріледі.
Математикалық ұғымдардың басты ерекшелігі - шындық дүние заттарын
тікелей емес, жанама түрде бейнелеуінде.
Математика абстракциялаудың екінші сатысымен де шектеліп қалмайды.
Көптеген математикалық ұғымдар келесі абстракциялау нәтижесіңде пайда
болған. Олардың ішінде жазықтықтағы және кеңістіктегі фигуралардың тең
шамалылық үғьімы, одан кейінгі абстракциялау көлем ұғымы болады. Қазіргі
математиканың маңызды ұғымдары болатын топ және өріс, векторлық кеңістік
т.б. — көп сатылы абстракциялау нәтижесі.
Көп сатылы абстракциялау нәтижесінде пайда болған математикалық
ұғымдарды өмірде қолдануға болмайды деген жаңсақ пікір тумауы керек.
Кемінде екі рет абстракциялау кезінде пайда болатын көлем ұғымы біздің
күнделікті тіршілігімізде кең түрде қолданылады. Ал топ, өріс, көп өлшемді
векторлық кеңістік т.б. ұғымдар ғылым мен техникада қолданыс табуда.
Ұғымның негізгі мінездемелері ретінде:
а) ұғымның мазмұны;
ә) ұғымның көлемі;
б) ұғымның басқа ұғымдармен қатысы және байланысы қарастырылады.
Ұғымның мазмұны деп ұғымдар класына жататын барлық объектілерге тиісті
елеулі белгілердің жиынтығын айтады. ұғымның көлемі — берілген ұғымдар
класына жататын барлық объектілер жиынтығы. Мысалы үшбұрыш ұғымының мазмұны
"бір түзуде жатпайтын үш нүкте және оларды қос-қостан қосатын үш кесінді",
яғни үш қабырғасы, үш төбесі және үш бұрышы бар фигура болса, оның көлемі
мүмкін болатын барлық тең қабырғалы, тең бүйірлі, әр қабырғалы үшбұрыштар
бола алады.
Сол сияқты "функция" ұғымының мазмұны — аргумент әрбір мәніне белгілі
бір ереже немесе заң бойынша функцияның тек қана бір мәні сәйкес келуі
болса, оның көлеміне сызықтық функция, квадраттық функция, көрсеткіш,
логарифмдік функция т.б. жатады.
Сонымен ұғымның мазмұны — оның елеулі белгілері болады да, көлеміне
ұғымға енетін барлық объектілер жиынтығы жатады.
Ұғымның көлемін дұрыс елестету үшін оны "логикалық дөңгелек" арқылы
кескіндеу тиімді. Мұндағы үлкен дөңгелек берілген ұғымды көрсетсе, оның
ішіндегі кіші дөңгелектер берілген ұғымға жататындарын білдіреді. Мысалы, 9-
суретте үлкен дөңгелек жай бөлшек ұғымы (М) болса, оның ішіндегі кіші
дөңгелектер жай бөлшек ұғымына жататын дұрыс (N), бұрыс (К) бөлшектер
болады.
9-сурет
Егер ұғымның көлемі көптеген ұғымдарды қамтитын болса, онда берілген
ұғымның көлемі кең, ал ол ұғымдар аз болса, ұғымның көлемі тар делінеді.
Егер ұғымның сәйкес класына енетін объектілердің ортақ, елеулі қасиеттері
көп болатын болса, ұғымның мазмұны бай, ал ондай ортақ белгілер аз болса,
ұғымның мазмұны кедей деп аталынады.
Ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны кедейлене береді және
керісінше ұғымның көлемі неғұрлым тар болған сайын мазмұны қорлана түседі.
Мысалы, "төрт-бұрыш" ұғымының белгілеріне тағы да бір "екі қабырғасы
параллель" болсын дегенді қосатын болсақ, онда ол "трапеция" ұғымын береді.
Егер оған тағы "басқа екі қабырғасы да параллель" болсын деген белгі
қосатын болсақ, онда ол "параллелограмм" ұғымы болып шығады.
Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең, қарама-қарсы
қабырғалары тең, диагональдары бір нүктеде қиылысып қақ бөлінеді т.б.
белгілеріне "барлық қабырғалары тең" деген белгіні қосатын болсақ, онда ол
ромб болады.
Сонымен, ұғымның көлемі мен мазмұны бір-біріне кері қатынаста болады
екен, ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны соғұрлым тарыла береді,
көлемі тарылған сайын, оның мазмұны қорлана түседі.
Егер қандай да бір ұғымның көлемінен белгілі бір ерекшеліктері бойынша
басқа бір ұғымның көлемі бөлініп алынатын болса, онда алғашқы ұғымның өзі
тегі, ал бөлініп алынған ұғым алғашқыға қатысты оның түрі деп аталынады.
Тектік ұғым мен түрлік ұғымның арақатысы 10-суретте кескінделген. Мысалы,
"үшбұрыш" ұғымдар класынан үшбұрыштың екі қабырғасы тең болатынын бөліп
алатын болсак, онда "тең бүйірлі үшбұрыш" ұғымы жалпы "үшбұрыш" ұғымының
түрі, (В) ал "тең бүйірлі үшбұрыш" үшін "үшбұрыш" тектік ұғым (А) болады.
Егер тең бүйірлі үшбұрыштардың ішінен бір бұрышы тік болатынын тағы да
бөліп алатын болсақ, ондай жағдайда "тең бүйірлі үшбұрыш" тектік, ал "тең
бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш" — түрлік ұғым болып табылады.
Тектік ұғымды түрлік ұғымдардан бөліп алуға мүмкіндік туғызатын белгі
ұғымның түрлік айырмашылығы делінеді. Жоғарыда келтірілген мысалдардағы
үшбұрыштар класынан тең бүйірлі үшбұрыш ұғымын бөліп алатын "екі қабырғасы
тең" белгісі түрлік айырмашылық немесе түрлік ерекшелік болады. Ал тең
бүйірлі үшбұрыштан, тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш ұғымын бөліп тұратын
"бір бұрышы тік" белгісі түрлік ерекшелік болады.
Тектік ұғымнан түрлік ұғымға өту ұғымды шектеу (ұғымның көлемін
кеңейту) деп аталады.
Егер ұғымдар бір-бірімен тектік және түрлік қатынаста болса, олар өзара
бағынышты делінеді. Түрлік ұғымдар тектік ұғымға бағынышты болады. Мысалы,
"үшбұрыштар" ұғымына "тең бүйірлі", "тең қабырғалы", "әр түрлі қабырғалы
үшбұрыштар" немесе "сүйір бұрышты үшбұрыш", "доғал бұрышты үшбұрыш",
"тікбұрышты үшбұрыш" ұғымдары бағынышты.
Ойлау процесіңде түрлік және тектік ұғымдарды және олардың арасындағы
бағыныштылық қатынастарды айыра білу үлкен рөл атқарады. Сондықтан
математиканы оқытуда мұғалім де, оқушы да ұғымдар арасында қандай қатыстар
бар екендігін айқын білуі тиіс. Оқыту тәжірибесі бұл мәселені оқушылардың
дұрыс түсінбейтін жағдайларының да кездесетінін көрсетуде. Мысалы,
төртбұрыштар тақырыбын өткен кезде мұғалім мынадай сұрақ қояды:
"Тіктөртбұрыш пен параллелограмның айырмашылығы қандай?, "Квадрат пен
тіктөртбұрыштың ұқсастығы мен айырмашылықтары неде?". Бұл сұрақтардың
қойылуындағы негізгі кемшілік "параллелограмм" ұғымы "тіктөртбұрыш", ал
"тіктөртбұрыш" ұғымы "квадрат" ұғымына қатысты алғанда тектік ұғым болып
табылатындығын ескермегенінде болса керек. Тектік ұғымды түрлік ұғыммен
салыстырудың ешқандай мағынасы болмайды, себебі түрлік ұғымда тектік
ұғымның барлық қасиеттері де болады. Мұңдай жағдайда дұрыс сұрақ мынадай
болуы мүмкін: "Тіктөртбұрыш қандай белгілер арқылы параллелограмнан
ажыратылады?", "Қандай белгісі бойынша тіктөртбұрыш квадрат бола алады?".
Ұғымдарды салыстыруға бағытталған сұрақтар тегі бірдей түрлік ұғымдарға
қойылады. Мысалы, "жай сандар" мен "құрама сандар", "рационал сандар" мен
"иррационал сандар", "тіктөртбұрыш" пен "ромб", "квадрат теңдеу" мен
"сызықтық теңдеу" салыстырылады.
Мектептегі оқыту процесінде тектік ұғымдарды түрлік ұғымдармен
шатастыру да жиі кездеседі. Мәселен, есептің шартында кез келген төртбұрыш
туралы әңгіме болғанда оқушылар кез келген төртбұрыш сызудың орнына
тіктөртбұрышты немесе квадрагты кескіндейді. Нәтижесінде, есептің шартына
енбейтін тіктөртбұрыштың немесе квадраттың қасиеттерін еріксіз қолдануға
тура келеді де, есепті шығаруға кедергі жасайды, не оны қате шығарады.
Немесе есептің шарты бойынша кез келген үшбұрыш болатын болса, оның орнына
тең қабырғалы үшбұрыш, не тікбұрышты үшбұрыш сызып қателесетіндер де жиі
кездеседі.
Мұндай жағдайлар оқушылардың қоршаған ортадан тіктөртбұрышты жалпы
төртбұрыш кескінінен көбірек кездестіруіне байланысты болса, екінші жағынан
оқыту процесінде төртбұрыш тақырыбын өтуге байланысты "төртбұрыш" ұғымы мен
оның дербес түрі болатын "тіктөртбұрыш" ұғымы арасындағы қатынастар жігін
ажыратуға жете назар аудармаудан болатын жағдай. Сондықтан да оқушы
"төртбұрыш" терминін "тіктөртбұрышпен" шатастырады.
Ұғымдар арасындағы бағыныштылық қатынастар қарапайым болғанымен, бұл
мәселеге өте ұқыптылықпен қарауға тура келеді. Мұғалім ұғымдар арасындағы
өзара бағыныштылық қатынасты оқушыларға көптеген қарапайым және нақтылы
мысалдар арқылы түсіндіріп отыруы керек. Мұнда анықтама, тұжырымдау, оның
құрылысымен таныстыру, ұғымдарды жіктеу жұмыстарының маңызы зор.
Қандай да болмасын білімге талпыну, танымдық ізденімпаздықты арттыру,
соның ішінде математикалық білімді игеріп, іскерлік пен дағдыны
қалыптастыру — маңызды да қиын мәселе. Танымдық іс-әрекеттер арнайы
құрылған проблемалық ахуалдар кезінде пайда болады да, оны оқушылар бұрын
немесе жаңадан игерген нақты жұмыстарда және басқа пәндерді оқып үйренуде
үнемі өз қажетіне жарата алады.
Жалпы алғанда математиканы оқып-үйрену ұғымды қалыптастыру мен оны
терең танымдық дәрежеге жеткізуден, математикалық тұжырымдарды,
теоремаларды дәлелдей білуге үйретуден және оны нақтылы іс-әрекетте, есеп
шығаруға қолдана білуден тұрады. Мұның алғашқысы да, маңыздысы да
математикалық ұғымдарды игеру болғандықтан, оның алатын орны да ерекше.
Оқушының білім-танымының бастауы, оның қолданылар аясының кендігі мен
түсінілуі үшін мұғалімнің өзі олармен жете таныс әрі оның қасиетінен жан-
жақты хабардар болуы керек. Сонда ғана шындық дүниенің заттары мен
құбылыстары туралы оқушы дұрыс түсініктер алып, олар туралы тура ой түзеді.
Мұның өзі баланың дамуына, ойының жетілуіне игі әсер етіп, алған таным-
білімдерін әрі қарай толықтырып, ұштап, күнделікті өмірде қолдана білуіне
жол ашады.
Мектеп оқушыларына ғылыми ұғымдар жүйесін қалыптастыру — оларды жалпы
ғылыми білімдер жүйесімен қаруландырудың маңызды элементтерінің бірі. Әрбір
оқу пәні бір-бірімен өзара байланыстағы ұғымдар жүйесін және пән
байланыстағы ғылыми ұғымдар жүйесін қамтиды.
Оқушылардың жалпы пөнаралық бойынша білімдерінің сапасы олардың ұғымдар
жүйесін меңгеруіне байланысты. Заттардың қасиеттері мен сипаттарын, материя
қозғалысының формалары мен олардың алуан түрлі көріністерін оқып-үйрену,
математика және жаратылыстану пәңдері курсының мазмұны болып табылады.
Ұғымдарды меңгермейінше зандар мен теорияларды саналы түрде білу мүмкін
емес, өйткені олардың өзі ұғымдар арасындағы байланыстарды білдіреді. Ал
ұғымды меңгеру дегеніміз — болмыстың, заттар мен құбылыстардың маңызды
қасиеттерін, олардың арасындағы мәнді байланыстарды, арақатынастарды білу.
Ғылыми зерттеулер мен адамның практикалық қызметінде кеңінен қолданылып
жүрген, ғылымның "қаруы" ретінде қабылданған ұғымдардың мазмұны оқу
процесінде біртіндеп ашылады. Ұғымды меңгеру оқушылардың белсенді ой
қызметімен, анализ және синтез, салыстыру, абстракциялау және жалпылау
сияқты ойлау амалдарын (операцияларды) орындаумен байланысты. Сондықтан
ұғымдарды қалыптастыру оқушылардың ойлауын дамытумен тікелей байланысты.
Ұғым туралы психолог В. В. Давыдов "Балаларға жалпылау мен ұғымды
қалыптастыру мектептің басты міндеттерінің бірі болып табылады", - деген.
Математикалық ұғымдар жалпылау мен абстракциялаудың жоғары деңгейі
болғандықтан мектеп курсында оған ерекше орын береді. Бұл процесті зерттеу
Л. С. Выготскийден басталады, проблеманы шешуге айрықша үлес қосқандар В.
В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, Н. Ф. Талызина, Д. Н. Богоявленский, Н.
А. Менчинская т.б. болды.
Таным іс-әрекетіне басқару объектісі ретінде сипаттама бере келіп Н. Ф.
Талызина былай деп атап көрсетеді: "ұғымды қалыптастыру, біріншіден,
нақтылы заттардың қажетті және жеткілікті белгілеріне тән амалдар жүйесін
игеруден, екіншіден, осы амалдардың жалпы логикалық жүйесін меңгеруден,
яғни берілген объектінің белгілі бір класқа жататындығына белгілі бір
ұғымға сай келетіндігіне көз жеткізуден тұрады.
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру оқушылардың белсенді іс-
әрекетінсіз мүмкін емес. Математикалық ұғымдарды игеру таным процесінің
жалпы және нақтылы іс-әрекеттері арқылы жүзеге асырылады. Оларға жалпылау,
нақтылау, анализ, синтез, салыстыру, аналогия, жіктеу жоне бір жүйеге
келтіру іс-әрекеттері жатады.
Математикалық ұғымдарды игеру оқушының нерв жүйесінің аналитикалық-
синтетикалық қызметінің нәтижесі ретінде түсіндіріледі. Талдау арқылы оқушы
заттар мен құбылыстардың жекелеген қасиеттерін бөліп алады, ал синтез
көмегімен жалпы белгілері бойынша оларды біріктіреді. Одан соң объектінің
ерекше қасиеттері абстракцияланып, терминдермен бекітіледі. Бұл процесс
бөлініп алынған ұғымды қолдана білумен аяқталады.
Математикалық ұғымдардың қалыптасуы күрделі психологиялық процесс.
Ұғымдардың қалыптасуы мынадай сүлбе бойынша жүреді:
сезіну (туйсіну) — қабылдау — түсінік (елестету) — ұғым.
Сезіну, қабылдау және түсінік — танудың алғашқы сатысы, олар сезімдік
тану деп аталады. Сезіну — сыртқы дүние заттары мен құбылыстарының жеке
белгілерінің мидағы бейнеленуі. Сол себепті сезіну шындықты танып білудің
алғашқы сатысы болып табылады. Сезінумен тікелей байланыста қабылдау жүзеге
асырылады. Қабылдау — заттар мен құбылыстардың мидағы тұтастай бейнеленуі.
Қабылдау кезінде ми қабығының аналитикалық-синтетикалық қабілеті айқын
көріне бастайды. Қабылдау процесінде объективті дүниені сезінулерімізді
әрқилы бөліктерге бөліп, анализдеу жүзеге асырылады да, сонымен бір
мезгілде ол бөліктерді синтез арқылы белгілі бір нақтылы затқа немесе
құбылысқа жатқызады. Материалдық дүниенің заттары мен құбылыстарының кейбір
жалпы жақтары (ерекшеліктері) қабылдау арқылы біздің санамызда қандай да
бір байланыс құрап, жалпы түсінік (елестету) пайда болуына себін тигізеді.
Сезіну мен қабылдау объективті деректердің біздің сезім мүшелерімізге
тікелей әсер етуі нәтижесінде пайда болса, ал жалпы түсінік (елестету) ол
түсінікке сәйкес келетін заттар мен құбылыстардың өзі қатыспаған жағдайдың
өзінде де адам санасында пайда бола береді. Мысалы, адам шел далада болмаса
да немесе теңізде жүзіп көрмесе де, оның шөл дала немесе теңіз туралы жалпы
түсінігі болуы мүмкін.
Қабылдау құрамына түйсінумен бірге бұрынғы тәжірибе мен білім де енеді.
Мысалы, төмендегі суреттерді бұрынғы тәжірибе, білім арқасында (бір
қарағанда) бір де бір бұрышы болмаса да — үшбұрыш шектелмеген қисық болса
да — шеңбер деп қабыддаймыз.
Ұғымның санада пайда болуының жоғарырақ сатысы — түсінік. Түсінік есте
сақтаумен тікелей байланысты. Түсінік заттың бұрын қабылданған бейнесін
қайталау. Ми қыртыстарында қозу нәтижесінде бұрынырақ сақтальш қалған іздер
— түсініктің физиологиялық негізі болып табылады.
Түсініктің пайда болуында ойлаудың аналитикалық-синтетикалық қызметі
айқындала түседі: қабылдаудағы жалпы элементтер бөліктерге бөлінеді де,
онымен бір мезгілде ол элементтер бір бүтінге, яғни қандай дабір бейнеге
біріктіріледі. Түсінік сезіну мен қабылдаудан тыс бола алмайды.
Ұғымның құралуы түсінікке негізделеді.
Ойлаудың негізгі элементі — ұғым. Ұғым — объективті шындықтың көңіл
аударарлықтай және жалпыланған маңызды қасиеттерін бейнелейтін ойлау
формасы. Әрбір ұғымға біздің қабылдауымызда және түсініктерімізде
бейнеленетін материалдық дүние объектілерінің біршама класы сәйкес келеді.
Ұғым қалыптасуының осы сатыларын "квадрат" ұғымы әр жылы көрсетелік.
7—8 жасар балаларға, алдымен, әр түрлі бояулармен боялған, әр түрлі
пішіндегі, әр түрлі өлшемдегі квадрат, квадрат емес фигуралар көрсетіледі.
Олардың біреуін жеке алып, мынау — квадрат дейміз. Содан соң қалған
фигуралардан квадратты тап десе, балалар пішініне, түсіне, мөлшеріне көңіл
аудармай, квадратты қиналмай-ақ табады. Әрі қарай фигураларды жинап алып,
"квадрат сыз" десек, балалар квадрат болатындай фигура сызуға әрекеттенеді.
Бұл квадрат туралы түсініктің пайда болуы. Содан соң "квадратты басқа
фигуралардан қалай айыруға болады" деген сұраққа "оның 4 қабырғасы, 4
бұрышы болады, қабырғалары өзара тең, бұрыштары тік болады деп жауап
береді. Яғни ойлау процесі нәтижесінде оның өзіне тән қасиеттері
ерекшеленіп, түсініктен квадрат ұғымы пайда болады. Ұғымның даму
диалектикасы да осыңда.
Ұғымның көрнекілік дәрежесі қабылдау мен түсініктегідей бола алмайды.
Оның себебі, ұғымда объектінің барлық қасиеттері емес, оның тек айрықша, ең
жалпы қасиеттері ғана бейнеленеді. Обьектіні басқа объектілерден өзгешелеп
тұратын ең жалпы белгілері ұғымның елеулі белгілері деп аталынады. Мысалы,
параллелограмның елеулі белгілері — оның қарама-қарсы қабырғаларының қос-
қостан параллельдігі, қарама-қарсы екі қабырғасының параллель және тең
болуы, қарама-қарсы қабырғаларының қос-қостан теңдігі, қарама-қарсы
бұрыштарының теңдігі т.б. бола алады.
Ұғымның елеулі белгілерін оның қасиеттерінен ажырата алу керек. Ұғымның
белгілері сол ұғымды қамтып тұрған объектілер класын бөліп алуға мүмкіндік
берсе, оның қасиеттері әр уақытта оның белгілері бола бермейді. Мысалы,
вертикаль бұрыштардың өзара тең болатын қасиеті вертикаль бұрыштарды
анықтай бермейді, себебі, бұрыштар тең болғанымен, олар вертикаль бұрыштар
болмауы да мүмкін. Ұғымның белгілері мен қасиеттерінің дәл келуі, ұғымның
қажетті және жеткілікті шартын құрайды.
Ұғымды басқа ұғымдардан ажыратып тұратын белгілері біреу ғана болмауы
мүмкін. Жоғарыда келтірілген параллелограмм белгілерінің кез келгенін
параллелограмм анықтамасының ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz