Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 52 бет
Таңдаулыға:

МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ

пәнінен

дәрістер тезистері

ДӘРІСТЕР ТЕЗИСТЕРІ

Лекция 1. Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары

Лекция мақсаты:

1. Математикалық құрылымдарды қарастыру.

2. Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау

Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда қазіргі математика қазіргі математика, Н. Бурбаки айтқандай, математикалық құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.

Николай Бурбаки - Францияның белгілі атақты математиктер тобын біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор, Мандельброт т. б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді американ математигі П. Р. Халмоштың «Николай Бурбаки» деген мақаласынан табуға болады.

Н. Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша «Математика элементтері» атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.

Н. Бурбаки «Математика элементтері» атты бірнеше томдарын жарыққа шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді

Н. Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды зерттейді.

Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар болып табылады.

Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп атайды.

Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы мен комбинациясы болып табылады.

Мысалға, теңдеу, функция, группа, сақина және өріс - алгебралық құрылымның түрлері.

Нақты сандар жиыны мен натурал сандар жиыны - реттік құрылымның түрлері, ал топологиялық кеңістік пен топологиялық векторлық кеңістік- топологиялық құрылымның түрлері.

Математика - математикалық құрылымдар жайындағы ғылым. Мұндай түсініктің үлкен әдістемелік және педагогикалық маңызы бар. Біріншіден, математика ғылымының негізінде құрылым ұғымы жатыр, бүкіл математика ғылымы математикалық құрылымдарды зерттейді, ендеше құрылымдық бірлік математикалық білімнің синтезін, математикалық ғылымдардың ішкі бір тұтастығын тамаша дәлелдейді. Екіншіден, математикалық білімді синтездеуде математикалық құрылым ұғымымен бірге аксиоматикалық әдіс үлкен роль атқарады. Аксиоматикалық әдіс математикалық ойды әжептәуір үнемдеуде және математикалық құрылымдарды зерттеуде құнды әдіс болып табылады.

Математика ғылымында «құрылым» терминін енгізген Н. Бурбаки барлық математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана анықтады.

Дәлірек айтқанда, олар бір-біріне ұқсамайтын құрылымдардың үш типін анықтады, олар алгебралық, реттік және топологиялық.

Бақылау сұрақтары:

1. «Математикалық құрылым» терминінің мән-мағынасы.

2. Құрылымдардың типтері.

3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.

4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.

5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.

6. Н. Бурбаки ұйымы.

7. П. Р. Халмоштың мақаласы.

8. Н. Бурбакидің негізгі мақсаты.

9. «Математика элементтері» бірінші томы.

10. Аксиоматикалық әдіс.

Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар

1. Жиын ұғымы.

2. Жиындардың берілу тәсілдері.

3. Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.

Лекция мақсаты:

1. Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.

2. Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға үйрету.

Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді. Жиындар - математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын “сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т. с. с. ұғымдарды, сондай-ақ сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.

Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.

Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.

Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, . . . , ал элементтерін кіші a, b, c, d, e, . . . әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ∅ таңбасымен белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ∈ таңбасы, “тиісті емес” деген сөздің орнына ∉ таңбасы пайдаланылады.

Жиынның берілу тәсілдері:

1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.

Мысалы, А жиыны 3, 4, 5, 6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы жақшаға алып А={3, 4, 5, 6} түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6 элементтерінен тұрады" деп оқиды.

2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.

Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда, оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А={хх∈N, х<6}. А={ 1, 2, 3, 4, 5}.

Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын нүктелердің геометриялық орны дейді.

Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.

(Леонард Эйлер (1707-1783) -Петербург ғылым академиясының мүшесі, Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон Венн (1886-1921) ағылшын математигі) .

Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды айтады.

А∪В={х/ х∈А немесе х∈В}

Бақылау сұрақтары:

1. Жиын ұғымы.

2. Жиын элементі.

3. Бос жиын.

4. Шекті және шексіз жиындар.

5. Жиындар теориясының негізін салған математик.

6. Жиындардың берілу тәсілдері.

7. Эйлер-Венн диаграммасы.

8. Жиындардың қиылысуы.

9. Жиындардың бірігуі.

10. Жиындардың айырмасы.

Лекция 3. Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер теоремасы

Лекция мақсаты:

1. Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.

2. Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.

Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура) және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы, сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын, арасында, соңында т. с. с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын қалыптастыру -бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр, фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын, тең жиын, т. б. қарастырылады.

Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.

Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.

Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P, Q, R, S, . . . т. с. с. Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R⊂ХхХ болады.

Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.

Граф, график - гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.

Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі. Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін. Мысалы, Х = {4, 5, 6, 7, 9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін мынандай қостар жиыны {(5, 4), (6, 4), (6, 5), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (9, 4), (9, 5), (9, 6), (9, 7) } немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.

Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т. с. с.

Х⊥У, ХУ, х=у+1, у=3+х, х>у, т. с. с.

Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15}, х=3у

Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар қарастырылады.

Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса, онда R қатысы рефлексивті деп аталады.

Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады.

R рефлексивті: ⇔∀х⊂Х, х Rх

Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R

қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ⇔∀х, у∈Х үшін хRу⇒уRх.

Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір

мезгілде ⇔х≠у, хКу=>уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 2<5=>5<2

Транзитивтілік. Егер ∀ х, у, z∈Х элементі үшін хRу ∧ уRz=>хRz шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 3<4 және 4<5=>3<5 “еселі” 8:4 және 4:2⇒8:2

Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды, егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.

Анықтама . Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе, онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.

Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді

Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.

R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.

Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс деп атайды,

Бақылау сұрақтары:

1. Қатыс

2. Байланысты граф

3. Граф сөзінің мағынасы

4. Графтар теориясының элементтері

5. Графтың төбелері

6. Қатыстың қасиеттері

7. Эквивалентті қатыс

8. Транзитивтік қатыс

9. Реттік қатыс

10. Қатаң реттік қатыс.

Лекция 4. Сәйкестік ұғымы, оның графы мен графигі

Лекция мақсаты:

1. Сәйкестік ұғымын түсіндіру.

2. Сәйкестік графымен таныстыру.

Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында, жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.

А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын қостардың жиынын айтады.

Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х={3, 5, 7, 9}, У={4, 6} жиындарының арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі орындалуы керек. 5>4 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 7>4, 7>6 болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т. с. с. бағытталады.

X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.

Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын жазайык: (5, 4), (7, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6) . X жиынының элементтерін ОХ осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.

Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.

Х={3, 5, 7}, У ={4, 6} жиындарының элементтерінің арасында R -“артық” сәйкестігі берілсін. Сонда R ={(5, 4), (7, 4), (7, 6) } және графы (1-сызба) . Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады

Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері сәйкестік деп аталып, R ' арқылы белгіленеді.

Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп көңіл бөлінеді. Оқушылар 5>3 болғандықтан 3< 5 екенін, егер АВ кесіндісі СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа болатынын терең түсіну керек.

Бақылау сұрақтары:

1. Сәйкестік.

2. Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.

3. Сәйкестіктің анықталу облысы.

4. Өзара бірмәнді сәйкестік.

5. Тең қуатты жиындар.

6. Кері сәйкестік.

Лекция 5. Бейнелеулер және олардың түрлері. Тең қуаттас жиындар. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері

Бейнелеулер, олардың түрлері
Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері

Жиындарды бейнелеу - сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х∈Х элементінің бейнесінің болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да мүмкін.

Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х∈Х элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у∈У болатын X және У жиындары арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х∈Х үшін хРу болатын бір және тек бір ғана у∈У табылады.

Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.

«Сюръекция» француздың sur-үстінде, астында және латынның jacio-тастау, бейнелеу деген мағынаны білдіреді.

Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.

Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.

Егер f бейнелеуде әрбір у∈У элементтің толық түпкі бейнесі тек қана бір х∈Х элементтен тұрса, яғни әрбір у∈У элемент тек қана бір х∈Х элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х→у бейнелеуі өзара бір мәнді бейнелеу болып табылады.

Егер Х жиынын У жиынына өзара бір мәнді бейнелеу мүмкін болса, онда бұл жиындарды эквивалентті жиындар деп атайды да, Х~У түрінде белгілейді.

Егер А және В жиындары эквивалентті болса, онда олардың қуаттары

бірдей болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды тең қуаттас деп те атайды. Шектеулі жиындар үшін қуат дегеніміз - ол жиын элементтерінің саны болып табылады да, теріс емес бүтін санмен өрнектеледі.

Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.

Мысалы: N={1, 2, 3, 4, …. n }- натурал сандар жиыны, B={2, 4, 6… 2n}- жұп сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді. Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз, бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады, сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.

Бақылау сұрақтары:

1. Жиындарды бейнелеу.

2. Сюръективті бейнелеу.

3. Инъективті бейнелеу.

4. Биективті бейнелеу.

5. Өзара бірмәнді бейнелеу.

Лекция 6. Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері

Мақсаты:

1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.

2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.

Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.

Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті. Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.

Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.

Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”, “қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т. б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы” ұғымдары қосылады.

Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы - осы ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.

Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында жатады, өлшемнің бар болуы, т. с. с. негізгі ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда ашылады.

Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге болады.

Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф. Энгельстің анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.

Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:

а) ол төртбұрыш;

ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;

б) қарама-қарсы қабырғалары тең;

в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;

г) қарама-қарсы бұрыштары тең.

Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді " басқа фигуралардан айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі болады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.