Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары
МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ
пәнінен
дәрістер тезистері
ДӘРІСТЕР ТЕЗИСТЕРІ
Лекция 1. Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және
олардың сипаттамалары
Лекция мақсаты:
1. Математикалық құрылымдарды қарастыру.
2. Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар
болып табылады.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп
атайды.
Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы
мен комбинациясы болып табылады.
Мысалға, теңдеу, функция, группа, сақина және өріс - алгебралық
құрылымның түрлері.
Нақты сандар жиыны мен натурал сандар жиыны – реттік құрылымның
түрлері, ал топологиялық кеңістік пен топологиялық векторлық кеңістік-
топологиялық құрылымның түрлері.
Математика – математикалық құрылымдар жайындағы ғылым. Мұндай
түсініктің үлкен әдістемелік және педагогикалық маңызы бар. Біріншіден,
математика ғылымының негізінде құрылым ұғымы жатыр, бүкіл математика ғылымы
математикалық құрылымдарды зерттейді, ендеше құрылымдық бірлік
математикалық білімнің синтезін, математикалық ғылымдардың ішкі бір
тұтастығын тамаша дәлелдейді. Екіншіден, математикалық білімді синтездеуде
математикалық құрылым ұғымымен бірге аксиоматикалық әдіс үлкен роль
атқарады. Аксиоматикалық әдіс математикалық ойды әжептәуір үнемдеуде және
математикалық құрылымдарды зерттеуде құнды әдіс болып табылады.
Математика ғылымында құрылым терминін енгізген Н.Бурбаки барлық
математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана
анықтады.
Дәлірек айтқанда, олар бір-біріне ұқсамайтын құрылымдардың үш типін
анықтады, олар алгебралық, реттік және топологиялық.
Бақылау сұрақтары:
1. Математикалық құрылым терминінің мән-мағынасы.
2. Құрылымдардың типтері.
3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.
4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.
5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.
6. Н.Бурбаки ұйымы.
7. П.Р.Халмоштың мақаласы.
8. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
9. Математика элементтері бірінші томы.
10. Аксиоматикалық әдіс.
Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындар және оларға
қолданылатын амалдар
1. Жиын ұғымы.
2.Жиындардың берілу тәсілдері.
3.Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.
Лекция мақсаты:
1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады.
Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын
“сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ
сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-
үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік
тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан
әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген
жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің
санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері
бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-
бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп
жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=(х(х(N, х6(.
А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп
атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон
Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады.
А(В((х х(А немесе х(В(
Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы.
2.Жиын элементі.
3.Бос жиын.
4. Шекті және шексіз жиындар.
5.Жиындар теориясының негізін салған математик.
6. Жиындардың берілу тәсілдері.
7.Эйлер-Венн диаграммасы.
8.Жиындардың қиылысуы.
9.Жиындардың бірігуі.
10.Жиындардың айырмасы.
Лекция 3. Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер
теоремасы
Лекция мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын
қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы
математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр,
фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын,
тең жиын, т.б. қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс
деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда
R(ХхХ болады.
Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.
Граф, график — гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х = {4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады.
R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хКу=уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс
деп атайды,
Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс
2. Байланысты граф
3. Граф сөзінің мағынасы
4. Графтар теориясының элементтері
5. Графтың төбелері
6. Қатыстың қасиеттері
7. Эквивалентті қатыс
8. Транзитивтік қатыс
9. Реттік қатыс
10. Қатаң реттік қатыс.
Лекция 4. Сәйкестік ұғымы, оның графы мен
графигі
Лекция мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Сәйкестік графымен таныстыру.
Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі
қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы,
кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында,
жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.
А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы
сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын
қостардың жиынын айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті
түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х=(3, 5, 7, 9(, У=(4,6( жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін
нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайык: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Х=(3,5,7(, У ={4,6( жиындарының элементтерінің арасында R
-“артық” сәйкестігі берілсін. Сонда R =((5,4), (7,4), (7,6)( және графы (1-
сызба). Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X
жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады
Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері
сәйкестік деп аталып, R' арқылы белгіленеді.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4. Өзара бірмәнді сәйкестік.
5.Тең қуатты жиындар.
6. Кері сәйкестік.
Лекция 5. Бейнелеулер және олардың түрлері. Тең қуаттас
жиындар. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері
1. Бейнелеулер, олардың түрлері
2. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең
болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.
Сюръекция француздың sur-үстінде, астында және латынның jacio-
тастау, бейнелеу деген мағынаны білдіреді.
Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің
бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У
жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің
бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай
бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.
Егер f бейнелеуде әрбір у(У элементтің толық түпкі бейнесі тек
қана бір х(Х элементтен тұрса, яғни әрбір у(У элемент тек қана бір х(Х
элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х(у бейнелеуі өзара бір
мәнді бейнелеу болып табылады.
Егер Х жиынын У жиынына өзара бір мәнді бейнелеу мүмкін болса, онда
бұл жиындарды эквивалентті жиындар деп атайды да, Х~У түрінде белгілейді.
Егер А және В жиындары эквивалентті болса, онда олардың қуаттары
бірдей болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды тең қуаттас деп те атайды.
Шектеулі жиындар үшін қуат дегеніміз – ол жиын элементтерінің саны болып
табылады да, теріс емес бүтін санмен өрнектеледі.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
Мысалы: N={1,2,3,4, ... n }- натурал сандар жиыны, B={2,4,6... 2n}- жұп
сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді.
Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал
сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең
қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз,
бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады,
сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.
Бақылау сұрақтары:
1.Жиындарды бейнелеу.
2.Сюръективті бейнелеу.
3.Инъективті бейнелеу.
4.Биективті бейнелеу.
5. Өзара бірмәнді бейнелеу.
Лекция 6. Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері
Мақсаты:
1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.
2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны
қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті.
Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы
жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика
курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”,
“қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған
көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы”
ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы
ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар
аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы
үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар
көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі,
сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында
жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері
аксиомаларда ашылады.
Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге
болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің
анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты
бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген
белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі
белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан
айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез
келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын
қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері
ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға
жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін
белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі
болады.
Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын
айтады. Мысалы, "үшбұрыш" ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға,
үш төбе, үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны
болын табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі,
басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым
тар болады.
Бақылау сұрақтары:
1. Математикалық ұғым.
2. Ұғымның мазмұны.
3. Ұғымның көлемі.
4. Ұғымның анықтамасын беру.
5. Анықтама беру ережелері.
6. Сан о бастан қалай пайда болған?
7. Тік төртбұрыштың тегі.
8. Контекстуалдық тәсілмен бастауыш сыныпта қандай ұғым анықталады?
9. Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Шеңбер”.
10.Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Трапеция”.
Лекция 7. Предикаттар және оларға амалдар қолдану. Кванторлар.
Математикалық логиканың заңдары
Мақсаты:
1. Пікірге мағлұмат беру.
2. Предикат туралы түсінік қалыптастыру.
Бірқатар жәй хабарлы сөйлемдерді қарастырайық:
1. Түркістан – рухани астана;
2. Натурал сандар жиыны ақырсыз;
3. 15 саны 3-ке еселі;
4. Бос жиынның элементі бар;
5. 18 саны 7-ге бөлінеді.
Бұл сөйлемдердің барлығы мазмұны жағынан әртүрлі. Бірақ олардың барлығына
ортақ бір қасиеттің бар екенін байқауға болады. Осы ортақ қасиет - кейбір
сөйлемдерде ақиқат (дұрыс, дәл), ал басқаларында жалған (дұрыс емес, қате)
ойлардың айтылуы. 1- 2-3- сөйлемдерді ақиқат, ал 4-5- сөйлемдер жалған деп
есептейміз.
Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса, онда ол
пікір деп аталады.
Математикада пікірлермен үнемі кездесіп отырамыз және ондай пікірлерді
жазу үшін , , =, ≠ т.б. символдарды пайдаланамыз. Мысалы, 12 7 пікірі
12 саны 7-ден артық деген сөйлемнің математикалық жазылуы болып табылады.
Кез келген хабарлы сөйлем пікір болмайтынын көрсетейік. Мысалы, х 7,
х+4= 8, х+е-37=0 сөйлемдері пікір бола алмайды, өйткені сөйлемдердегі
айнымалылардың мәндері белгісіз болғандықтан олардың әрқайсысының ақиқат
немесе жалған екендігі туралы айта аламыз. Қандай да бір сөйлем туралы ол
ақиқат немесе жалған деп үнемі айта аламыз. Пікірлерді латын алфавитінің
үлкен әрпімен, ал олардың мағынасы ақиқат болса, а әрпімен, жалған болса
ж әрпімен белгілеу келісілген.
Ескерту: Кейбір оқулықтарда ақиқат және жалған деген сөздерді сәйкесінше
1 және 0 цифраларымен де белгілейді.
Бастауыш мектеп оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар т.с.с. пікірлермен танысады. Одан
кейін екі таңбалы, үш таңбалы сандар туралы пікірлер, күрделі сандық
өрнектердің теңдігі, теңсіздігі туралы пікірлерге кездесетін болады.
Мысалы, мына амалдардың дұрыс орындалғандығын не дұрыс орындалмағандығын
тексеріңіздер:
517 + 408 = 925
804 - 235 = 579
Басқаша айтқанда, бұл жаттығуда берілген теңдіктердің ақиқат немесе
жалған екендіктерін анықтау талап етіледі. Есептеу арқылы оқушы бірінші
теңдіктің ақиқат, ал екінші теңдіктің жалған екендігіне көз жеткізеді.
Пікірлер элементар (жәй) және күрделі (құрама) болып келеді.
Элементар пікір деп оны басқа пікірлерге жіктеуге келмейтін пікірді
айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, онда оны күрделі
пікір деп атайды.
Күрделі пікір әртүрлі жалғаулықтар және сөз тіркестері арқылы элементар
пікірлерден құрылады. Мысалы, 102 саны жұп және 9-ға бөлінеді, 3 6
7, берілген төртбұрыш - ромб немесе шаршы деген пікірлердің әрқайсысы
күрделі. Олар элементар пікірлерді және, немесе деген сөздермен
байланыстыру арқылы алынып тұр.
Күрделі пікірлерді егер, онда, сонда тек сонда ғана деген сөздерді
пайдаланып та алуға болады. Мысалы, Егер үшбұрыштың екі қабырғасы тең
болса, онда ол теңбүйірлі, трапеция теңбүйірлі болса, сонда тек сонда
ғана оған сырттай шеңбер сызуға болады.
Грамматикада және, немесе, егер, онда, сонда тек сонда ғана
сөздерін жалғаулық деп атайды. Логикада оларды элементар пікірлер
арасындағы байламдар деп атайды, өйткені мұндай жалғаулықтар элементар
пікірлерді бір күрделі пікірге біріктіреді.
Сөйлем құрылысында қолданылатын емес сөзі мен дұрыс емес деген сөз
тіркесін қарастырайық. Аталған тіркес қандай да бір пікірді теріске шығару
мақсатында қолданылады: Мысалы, 12 жәй сан. Бұл жалған пікір, себебі 12
саны 1 мен өзінен басқа да сандарға бөлінеді. Осы сөйлемге емес, дұрыс
емес сөздерін қолданайық. Сонда, 12 жәй сан емес, 12 жәй сан деген
дұрыс емес деген сөйлемдер құрастырамыз. Ал, бұл пікірлер ақиқат болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
9. Пікірлерді теріске шығару.
10. Пікірлер конъюнкциясы, дизъюнкциясы және импликациясы.
Лекция 8. Теорема және оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу тәсілдері
Мақсаты:
1. Теорема ұғымы және оның құрылымымен таныстыру. Оны дәлелдеу
тәсілдері.
2. Дұрыс және дұрыс емес пайымдаулар.
Қарапайым фигуралардың немесе кез келген ұғымның негізгі қасиеттерін
білдіретін тұжырымдар дәлелденбейді және олар аксиомалар деп аталады.
Аксиома гректің аксиос деген сөзінен шыққан, ол күмән тудырмайтын пікірді
білдіреді, яғни дәлелдеусіз қабылданатын сөйлем. Ұғымның негізгі қасиеттері
аксиомада беріледі. Мысалы, геометрияның негізгі ұғымдары нүкте, түзу,
жазықтық – аксиомалар арқылы сипатталады: қандай да түзу болсын, оның
бойында жататын және жатпайтын нүктелер болады. Кез келген екі нүкте арқылы
түзу жүргізуге болады және тек біреу ғана. Кез келген түзу жазықтықты екі
жарты жазықтыққа бөледі.
Кез келген математикалық теорияда аксиомалар жүйесі негізгі ұғымның
қасиеттерін ашып қана қоймай, оның қосымша, жанама түрдегі анықтамалары
болады.
Қандай да бір геометриялық фигураның немесе ұғымның қасиеті туралы
тұжырымның дұрыстығы пайымдау жолымен, яғни дәлелдеумен анықталады.
Дәлелденетін пікірді теорема деп атаймыз. Оларды кейде салдар немесе
белгілері деп атайды. Мысалы, алгебрада – формула, тепе-теңдік, ереже жиі
қарастырылады. Бірақ та, атаулары әртүрлі болғанымен бұл сөйлемдердің
құрамы біркелкі. Сондықтан барлықтарын теоремалар деп атаймыз. Теореманың
тұжырымдамасы әдетте екі бөлімнен тұрады. Бір бөлімде берілгендер туралы
айтылады. Бұл бөлім теореманың шарты деп аталады. Екінші бөлімде нені
дәлелдеу керек екені туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың қорытындысы деп
аталады.
Теорема. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір
қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы
өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (5-сурет).
Сызбаны сөзбен айтудың геометриялық жазылуы деп түсінеміз, сондықтан
теоремаларды дәлелдегенде сызбаны пайдалануға рұқсат етіледі.
а түзуі жазықтықтағы екі жарты жазықтыққа бөледі, А және В нүктелері
әртүрлі жарты жазықтықтарды жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен
қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.
Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС
кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады.
Мұнда а түзуі АВ және ВС кесінділерін қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Мұнда теореманың шарты – түзу үшбұрыштың ешбір ешбір төбесі арқылы өтпйді
және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы – бұл түзу
үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды. Теореманың
құрамы әртүрлі болғанымен оның шартын немесе берілуін және оның
қорытындысын (нені дәлелдеу керек екенін) көрсетеді
Ұғымды толық түсіну үшін оның барлық қасиеттері қарастырылады.
Геометрияда аксиома мен теорема сияқты сөздермен қатар анықтама сөзі
де пайдаланылады. Бір нәрсеге анықтама беру – оның не нәрсе екенін
түсіндіру. Мысалы, үшбұрыштың анықтамасы, үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын
үш нүктеден және осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны
айтады.
Бақылау сұрақтары:
1. Әр теореманың берілуі (шартын) мен қорытындысын бөліп алыңыз:
а) егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын тең болса, онда оның барлық
бұрыштары тең;
б) екі жұп санның қосындысы жұп сан;
в) егер сан 3-ке және 4-ке еселік болса, онда ол сан 12-ге еселі.
2. Теорема берілген: Ромбының диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысады.
Ромбының диагоналдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.
Осы теореманың шартын және қорытындысын айырып алыңыз және мына сөздарді
қолданып оны басқаша келтіріңіз:
1) туындайды, болады; 2) кез келген;
3. Тең бүйірлі үшбұрышқа анықтама беріңіз.
4. Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол тең бүйірлі болады
теоремасына кері теореманы тұжырымдаңыз.
5. Егер төртбұрыштың диагоналдары қиылысып және қиылысу нүктесінде қақ
бөлінетін болса, ондатбұрыш – параллелограмм. Осы теореманың шартын және
қорытындысын айырып алыңыз.
6. Егер параллелограмның барлық бұрыштары тең болса, оның тік
төртбұрыш болып табылатындығын дәлелдеу керек.
7. Егер параллелограмның диагоналдары перпендикуляр болса, оның ромб
болатындығын дәлелдеңіз.
8. Егер тік төртбұрыштың диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысатын
болса, оның шаршы болатындығын дәлелдеңіз.
9. Қандай тапеция тең бүйірлі трапеция деп аталады?
10. Шаршы деген не? Шаршының қасиеттерін атап беріңіз.
Лекция 9. Комбинаторикалық есептер, қосынды мен көбейтінді ережесі.
Ауыстырулар, терулер, орналастырулар.
Мақсаты:
1.Комбинаторика элементтерін зерттеу.
2.Логикалық есептерді шешуде комбинаторикалық әдістерді меңгерту.
Факториалды есептей білу, есептер шығаруда қолдана білу.
Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін
жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін
нәтижелерін және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын
есептеуге тура келеді.
Мысалы: әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп
беруге болады?
Футболдан әлем біріншілігінде жартылай финалға шыққан 4 команда
арасында алтын, күміс, қола медальдары неше түрлі тәсілмен иемделінеді және
т.с.с.
Бұл есептерде заттардың өзара орналасуының немесе іс-әрекеттің барлық
мүмкін комбинациялары қарастырылады. Сондықтан мұндай есептерді
комбинаторикалық есептер деп атайды.
Комбинаторлық әдістер физика, химия, биология, экономика, тағы басқа
ғылымда қолдануға болады. Ал комбинаторикалық есептерді шешуде үйретуде
математика саласын комбинаторика деп атайды.
Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен
формулалар бар.
A жиынының элементтері санын n(A) арқылы белгілейді. Мынадай
заңдылық орындалады:
Қосу ережесі.
Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін
(1)
теңдігі орындалады.
Ал бұдан (2)
математикалық индукция принципі бойынша бірнеше қосылғыштарға жазып шығуға
болады.
(3)
Есеп. Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол
турниріне, 10-ы баскетбол турниріне және 8-і волейбол ойынынан жарысқа
қатысқан. Мұнда 6 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол жарысына, 5 оқушы әрі
футбол, әрі волейбол жарысына, 4 оқушы әрі баскетбол, әрі волейбол
турниріне, ал 3 оқушы барлық үш ойыннан жарысқа қатысқан. Сынып
оқушыларының нешеуі осы турнирлердің бірде – біреуіне қатыспаған?
Талдау:
Эйлер – Венн диаграммасын қолданайық.
А – футболға қатысқан оқушылар жиыны,
В – баскетбол,
С – волейбол,
U – сыныптағы барлық оқушылар жиыны болсын. Есеп шарты бойынша:
(3) формула бойынша
Сыныптағы оқушылардың жарыстың қандай да бір түріне
қатысқандарын біліп алдық. Онда сыныпта оқушы жарыстың бірде – бір
түріне қатыспаған.
Көбейту ережесі.
Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін барлық
, қос элементтер саны осы жиындар элементтері сандарының
көбейтіндісіне тең.
Алмастырулар.
Х жиыны n элементтен құралған жиын болсын. Онда Х жиынының
элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері қайталанбайтын
әрбір шеруді n – нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп
аталады. Оны арқылы белгілейді.
немесе
Есеп. 4 оқушыны 7 орындыққа неше түрлі тәсілмен отырғызып шығуға
болады?
Талдау: Мұнда Х жиыны 7 элементтен тұрады. Онда бізге қажетті сан
барлық 7-ден 4 бойынша қайталанбайтын орналастырулар санына тең. Өйткені
бірнеше оқушы бір орындыққа отырмайды деп есептейміз.
Сонда .
Есеп. Бес адамды кезекке неше түрлі тәсілмен тұрғызуға болады?
Талдау: Бізге қажетті сан 5 элементтен алынған барлық алмастырулар
санына тең. .
Есеп. Үш таңбалы саннан қанша әртүрлі цифрдан құрастырылған үш
таңбалы сан алуға болады?
.
Терулер.
n элементі бар Х жиынының әрбір k элементі ішкі жиынын n – нен k
бойынша алынған қайталанбайтын терулер деп атайды.
арқылы белгілейді.
.
Есеп. Шахмат турниріне 12 ойыншы қатысты және әрбір шахматшы
өзгелермен бір-бір ойыннан ойнайды. Турнирде барлығы неше партия ойналды?
Талдау: Әрбір партияны өткізуге екі ойыншы қатысады. Онда барлық
өткізілген партиялар саны 12-ден 2 бойынша алынған терулер санына тең.
.
Бақылау сұрақтары:
1.Комбинаторикалық есептерге анықтама бер.
2.Комбинаторика элементтерін ата.
3. Қосынды мен көбейту ережесі
4. Ауыстырулар
5. Терулер
6. Орналастырулар
Лекция 10. Сандардың натурал қатарының кесіндісі. Реттік
натурал сан.
Натурал сан аксиомалары
Мақсаты:
1..Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.
Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Натурал сандар терминін тьұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен
480-524 қолданған.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектеліп
орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент,
қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай
элемент бастапқы элементтағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың
реттелген натурал қатары деп аталады.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.
Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Бақылау сұрақтары:
1. Сан ұғымының маңыздылығы туралы ғалымдардың пікірі.
2. Натурал сан терминін тұңғыш қолданған ғалым.
3. Натурал қатардың шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын
жасау әйгілі туындылары.
4. Натурал қатары.
5. Теріс емес бүтін сандар жиынын реттейтін қатыс.
6. Натурал сандардың негізгі қасиеттері.
7. Натурал қатарды анықтаудың тәсілі.
8. “Натурал сан” ұғымы.
9. Натурал сандар теориясы.
10. Нөл ұғымы.
Лекция 11. Теріс емес бүтін сандар. Теріс емес бүтін сандар жиынының,
реттік қатынастың түсініктемесі. Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын
амалдарды анықтау
Мақсаты:
1.Теріс емес бүтін сандарды түсіндіру.
2.Оларға амалдар қолдана алу..
Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен – 0 санынан
тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес
бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни “артық”,
“кем”, “тең” қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың
нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша
анықталады.
Егер а,в( болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса,
онда олар тең болады: а=в(А( В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын
сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін “кем” қатынасының қасиеттерін же
теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың
транзитивтілігі мынаған байланысты: А(В, В(С, А(В(С болса, онда А(С
шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса,
онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
“Теңдік” таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-
1558, ал “артық”, “кем” таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот
1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан
шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың
бірігуі арқылы анықталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына
шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в
санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын
айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды
өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі,
бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай
есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың
қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының
негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы
–арифметикалық жай есептер.
Бақылау сұрақтары:
1.Теріс емес бүтін сан.
2. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртүрлі жолдары.
3.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “тең”, “артық” қатынастары.
4.Алғаш “теңдік” таңбасын қолданған кім?
5. Алғаш “артық”, “ кем” таңбаларын қолданған математик.
6. Бос жиынның қуаты.
7.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “кем”, “артық” қатынастары.
8. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі.
9.Санаудың ондық жүйесі қай ғасырда, қай жерде қалыптасты.
10.Д.Пеано аксиомасы.
Лекция 12.Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден
екінші жүйеге ауысуы туралы түсінік
Мақсаты:
1.Санау жүйесі туралы ұғым беру.
2. Кез келген жүйеден екінші жүйеге көше алуы.
Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді:
бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы
разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп
аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап
айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп
т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан
жүйелі сан деп аталады.
Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой
мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол
ой күнделік өмір қажетінен туған.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы
білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі
қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша
ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын
сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
пәнінен
дәрістер тезистері
ДӘРІСТЕР ТЕЗИСТЕРІ
Лекция 1. Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және
олардың сипаттамалары
Лекция мақсаты:
1. Математикалық құрылымдарды қарастыру.
2. Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар
болып табылады.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп
атайды.
Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы
мен комбинациясы болып табылады.
Мысалға, теңдеу, функция, группа, сақина және өріс - алгебралық
құрылымның түрлері.
Нақты сандар жиыны мен натурал сандар жиыны – реттік құрылымның
түрлері, ал топологиялық кеңістік пен топологиялық векторлық кеңістік-
топологиялық құрылымның түрлері.
Математика – математикалық құрылымдар жайындағы ғылым. Мұндай
түсініктің үлкен әдістемелік және педагогикалық маңызы бар. Біріншіден,
математика ғылымының негізінде құрылым ұғымы жатыр, бүкіл математика ғылымы
математикалық құрылымдарды зерттейді, ендеше құрылымдық бірлік
математикалық білімнің синтезін, математикалық ғылымдардың ішкі бір
тұтастығын тамаша дәлелдейді. Екіншіден, математикалық білімді синтездеуде
математикалық құрылым ұғымымен бірге аксиоматикалық әдіс үлкен роль
атқарады. Аксиоматикалық әдіс математикалық ойды әжептәуір үнемдеуде және
математикалық құрылымдарды зерттеуде құнды әдіс болып табылады.
Математика ғылымында құрылым терминін енгізген Н.Бурбаки барлық
математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана
анықтады.
Дәлірек айтқанда, олар бір-біріне ұқсамайтын құрылымдардың үш типін
анықтады, олар алгебралық, реттік және топологиялық.
Бақылау сұрақтары:
1. Математикалық құрылым терминінің мән-мағынасы.
2. Құрылымдардың типтері.
3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.
4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.
5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.
6. Н.Бурбаки ұйымы.
7. П.Р.Халмоштың мақаласы.
8. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
9. Математика элементтері бірінші томы.
10. Аксиоматикалық әдіс.
Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындар және оларға
қолданылатын амалдар
1. Жиын ұғымы.
2.Жиындардың берілу тәсілдері.
3.Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.
Лекция мақсаты:
1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады.
Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын
“сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ
сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-
үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік
тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан
әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген
жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің
санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері
бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-
бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп
жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=(х(х(N, х6(.
А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп
атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон
Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады.
А(В((х х(А немесе х(В(
Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы.
2.Жиын элементі.
3.Бос жиын.
4. Шекті және шексіз жиындар.
5.Жиындар теориясының негізін салған математик.
6. Жиындардың берілу тәсілдері.
7.Эйлер-Венн диаграммасы.
8.Жиындардың қиылысуы.
9.Жиындардың бірігуі.
10.Жиындардың айырмасы.
Лекция 3. Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер
теоремасы
Лекция мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын
қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы
математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр,
фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын,
тең жиын, т.б. қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс
деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда
R(ХхХ болады.
Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.
Граф, график — гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х = {4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады.
R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хКу=уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс
деп атайды,
Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс
2. Байланысты граф
3. Граф сөзінің мағынасы
4. Графтар теориясының элементтері
5. Графтың төбелері
6. Қатыстың қасиеттері
7. Эквивалентті қатыс
8. Транзитивтік қатыс
9. Реттік қатыс
10. Қатаң реттік қатыс.
Лекция 4. Сәйкестік ұғымы, оның графы мен
графигі
Лекция мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Сәйкестік графымен таныстыру.
Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі
қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы,
кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында,
жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.
А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы
сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын
қостардың жиынын айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті
түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х=(3, 5, 7, 9(, У=(4,6( жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін
нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайык: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Х=(3,5,7(, У ={4,6( жиындарының элементтерінің арасында R
-“артық” сәйкестігі берілсін. Сонда R =((5,4), (7,4), (7,6)( және графы (1-
сызба). Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X
жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады
Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері
сәйкестік деп аталып, R' арқылы белгіленеді.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4. Өзара бірмәнді сәйкестік.
5.Тең қуатты жиындар.
6. Кері сәйкестік.
Лекция 5. Бейнелеулер және олардың түрлері. Тең қуаттас
жиындар. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері
1. Бейнелеулер, олардың түрлері
2. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең
болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.
Сюръекция француздың sur-үстінде, астында және латынның jacio-
тастау, бейнелеу деген мағынаны білдіреді.
Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің
бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У
жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің
бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай
бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.
Егер f бейнелеуде әрбір у(У элементтің толық түпкі бейнесі тек
қана бір х(Х элементтен тұрса, яғни әрбір у(У элемент тек қана бір х(Х
элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х(у бейнелеуі өзара бір
мәнді бейнелеу болып табылады.
Егер Х жиынын У жиынына өзара бір мәнді бейнелеу мүмкін болса, онда
бұл жиындарды эквивалентті жиындар деп атайды да, Х~У түрінде белгілейді.
Егер А және В жиындары эквивалентті болса, онда олардың қуаттары
бірдей болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды тең қуаттас деп те атайды.
Шектеулі жиындар үшін қуат дегеніміз – ол жиын элементтерінің саны болып
табылады да, теріс емес бүтін санмен өрнектеледі.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
Мысалы: N={1,2,3,4, ... n }- натурал сандар жиыны, B={2,4,6... 2n}- жұп
сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді.
Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал
сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең
қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз,
бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады,
сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.
Бақылау сұрақтары:
1.Жиындарды бейнелеу.
2.Сюръективті бейнелеу.
3.Инъективті бейнелеу.
4.Биективті бейнелеу.
5. Өзара бірмәнді бейнелеу.
Лекция 6. Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері
Мақсаты:
1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.
2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны
қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті.
Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы
жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика
курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”,
“қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған
көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы”
ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы
ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар
аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы
үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар
көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі,
сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында
жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері
аксиомаларда ашылады.
Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге
болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің
анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты
бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген
белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі
белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан
айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез
келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын
қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері
ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға
жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін
белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі
болады.
Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын
айтады. Мысалы, "үшбұрыш" ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға,
үш төбе, үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны
болын табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі,
басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым
тар болады.
Бақылау сұрақтары:
1. Математикалық ұғым.
2. Ұғымның мазмұны.
3. Ұғымның көлемі.
4. Ұғымның анықтамасын беру.
5. Анықтама беру ережелері.
6. Сан о бастан қалай пайда болған?
7. Тік төртбұрыштың тегі.
8. Контекстуалдық тәсілмен бастауыш сыныпта қандай ұғым анықталады?
9. Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Шеңбер”.
10.Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Трапеция”.
Лекция 7. Предикаттар және оларға амалдар қолдану. Кванторлар.
Математикалық логиканың заңдары
Мақсаты:
1. Пікірге мағлұмат беру.
2. Предикат туралы түсінік қалыптастыру.
Бірқатар жәй хабарлы сөйлемдерді қарастырайық:
1. Түркістан – рухани астана;
2. Натурал сандар жиыны ақырсыз;
3. 15 саны 3-ке еселі;
4. Бос жиынның элементі бар;
5. 18 саны 7-ге бөлінеді.
Бұл сөйлемдердің барлығы мазмұны жағынан әртүрлі. Бірақ олардың барлығына
ортақ бір қасиеттің бар екенін байқауға болады. Осы ортақ қасиет - кейбір
сөйлемдерде ақиқат (дұрыс, дәл), ал басқаларында жалған (дұрыс емес, қате)
ойлардың айтылуы. 1- 2-3- сөйлемдерді ақиқат, ал 4-5- сөйлемдер жалған деп
есептейміз.
Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса, онда ол
пікір деп аталады.
Математикада пікірлермен үнемі кездесіп отырамыз және ондай пікірлерді
жазу үшін , , =, ≠ т.б. символдарды пайдаланамыз. Мысалы, 12 7 пікірі
12 саны 7-ден артық деген сөйлемнің математикалық жазылуы болып табылады.
Кез келген хабарлы сөйлем пікір болмайтынын көрсетейік. Мысалы, х 7,
х+4= 8, х+е-37=0 сөйлемдері пікір бола алмайды, өйткені сөйлемдердегі
айнымалылардың мәндері белгісіз болғандықтан олардың әрқайсысының ақиқат
немесе жалған екендігі туралы айта аламыз. Қандай да бір сөйлем туралы ол
ақиқат немесе жалған деп үнемі айта аламыз. Пікірлерді латын алфавитінің
үлкен әрпімен, ал олардың мағынасы ақиқат болса, а әрпімен, жалған болса
ж әрпімен белгілеу келісілген.
Ескерту: Кейбір оқулықтарда ақиқат және жалған деген сөздерді сәйкесінше
1 және 0 цифраларымен де белгілейді.
Бастауыш мектеп оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар т.с.с. пікірлермен танысады. Одан
кейін екі таңбалы, үш таңбалы сандар туралы пікірлер, күрделі сандық
өрнектердің теңдігі, теңсіздігі туралы пікірлерге кездесетін болады.
Мысалы, мына амалдардың дұрыс орындалғандығын не дұрыс орындалмағандығын
тексеріңіздер:
517 + 408 = 925
804 - 235 = 579
Басқаша айтқанда, бұл жаттығуда берілген теңдіктердің ақиқат немесе
жалған екендіктерін анықтау талап етіледі. Есептеу арқылы оқушы бірінші
теңдіктің ақиқат, ал екінші теңдіктің жалған екендігіне көз жеткізеді.
Пікірлер элементар (жәй) және күрделі (құрама) болып келеді.
Элементар пікір деп оны басқа пікірлерге жіктеуге келмейтін пікірді
айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, онда оны күрделі
пікір деп атайды.
Күрделі пікір әртүрлі жалғаулықтар және сөз тіркестері арқылы элементар
пікірлерден құрылады. Мысалы, 102 саны жұп және 9-ға бөлінеді, 3 6
7, берілген төртбұрыш - ромб немесе шаршы деген пікірлердің әрқайсысы
күрделі. Олар элементар пікірлерді және, немесе деген сөздермен
байланыстыру арқылы алынып тұр.
Күрделі пікірлерді егер, онда, сонда тек сонда ғана деген сөздерді
пайдаланып та алуға болады. Мысалы, Егер үшбұрыштың екі қабырғасы тең
болса, онда ол теңбүйірлі, трапеция теңбүйірлі болса, сонда тек сонда
ғана оған сырттай шеңбер сызуға болады.
Грамматикада және, немесе, егер, онда, сонда тек сонда ғана
сөздерін жалғаулық деп атайды. Логикада оларды элементар пікірлер
арасындағы байламдар деп атайды, өйткені мұндай жалғаулықтар элементар
пікірлерді бір күрделі пікірге біріктіреді.
Сөйлем құрылысында қолданылатын емес сөзі мен дұрыс емес деген сөз
тіркесін қарастырайық. Аталған тіркес қандай да бір пікірді теріске шығару
мақсатында қолданылады: Мысалы, 12 жәй сан. Бұл жалған пікір, себебі 12
саны 1 мен өзінен басқа да сандарға бөлінеді. Осы сөйлемге емес, дұрыс
емес сөздерін қолданайық. Сонда, 12 жәй сан емес, 12 жәй сан деген
дұрыс емес деген сөйлемдер құрастырамыз. Ал, бұл пікірлер ақиқат болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
9. Пікірлерді теріске шығару.
10. Пікірлер конъюнкциясы, дизъюнкциясы және импликациясы.
Лекция 8. Теорема және оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу тәсілдері
Мақсаты:
1. Теорема ұғымы және оның құрылымымен таныстыру. Оны дәлелдеу
тәсілдері.
2. Дұрыс және дұрыс емес пайымдаулар.
Қарапайым фигуралардың немесе кез келген ұғымның негізгі қасиеттерін
білдіретін тұжырымдар дәлелденбейді және олар аксиомалар деп аталады.
Аксиома гректің аксиос деген сөзінен шыққан, ол күмән тудырмайтын пікірді
білдіреді, яғни дәлелдеусіз қабылданатын сөйлем. Ұғымның негізгі қасиеттері
аксиомада беріледі. Мысалы, геометрияның негізгі ұғымдары нүкте, түзу,
жазықтық – аксиомалар арқылы сипатталады: қандай да түзу болсын, оның
бойында жататын және жатпайтын нүктелер болады. Кез келген екі нүкте арқылы
түзу жүргізуге болады және тек біреу ғана. Кез келген түзу жазықтықты екі
жарты жазықтыққа бөледі.
Кез келген математикалық теорияда аксиомалар жүйесі негізгі ұғымның
қасиеттерін ашып қана қоймай, оның қосымша, жанама түрдегі анықтамалары
болады.
Қандай да бір геометриялық фигураның немесе ұғымның қасиеті туралы
тұжырымның дұрыстығы пайымдау жолымен, яғни дәлелдеумен анықталады.
Дәлелденетін пікірді теорема деп атаймыз. Оларды кейде салдар немесе
белгілері деп атайды. Мысалы, алгебрада – формула, тепе-теңдік, ереже жиі
қарастырылады. Бірақ та, атаулары әртүрлі болғанымен бұл сөйлемдердің
құрамы біркелкі. Сондықтан барлықтарын теоремалар деп атаймыз. Теореманың
тұжырымдамасы әдетте екі бөлімнен тұрады. Бір бөлімде берілгендер туралы
айтылады. Бұл бөлім теореманың шарты деп аталады. Екінші бөлімде нені
дәлелдеу керек екені туралы айтылады. Бұл бөлім теореманың қорытындысы деп
аталады.
Теорема. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір
қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы
өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (5-сурет).
Сызбаны сөзбен айтудың геометриялық жазылуы деп түсінеміз, сондықтан
теоремаларды дәлелдегенде сызбаны пайдалануға рұқсат етіледі.
а түзуі жазықтықтағы екі жарты жазықтыққа бөледі, А және В нүктелері
әртүрлі жарты жазықтықтарды жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен
қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.
Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС
кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады.
Мұнда а түзуі АВ және ВС кесінділерін қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Мұнда теореманың шарты – түзу үшбұрыштың ешбір ешбір төбесі арқылы өтпйді
және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы – бұл түзу
үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды. Теореманың
құрамы әртүрлі болғанымен оның шартын немесе берілуін және оның
қорытындысын (нені дәлелдеу керек екенін) көрсетеді
Ұғымды толық түсіну үшін оның барлық қасиеттері қарастырылады.
Геометрияда аксиома мен теорема сияқты сөздермен қатар анықтама сөзі
де пайдаланылады. Бір нәрсеге анықтама беру – оның не нәрсе екенін
түсіндіру. Мысалы, үшбұрыштың анықтамасы, үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын
үш нүктеден және осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны
айтады.
Бақылау сұрақтары:
1. Әр теореманың берілуі (шартын) мен қорытындысын бөліп алыңыз:
а) егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын тең болса, онда оның барлық
бұрыштары тең;
б) екі жұп санның қосындысы жұп сан;
в) егер сан 3-ке және 4-ке еселік болса, онда ол сан 12-ге еселі.
2. Теорема берілген: Ромбының диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысады.
Ромбының диагоналдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.
Осы теореманың шартын және қорытындысын айырып алыңыз және мына сөздарді
қолданып оны басқаша келтіріңіз:
1) туындайды, болады; 2) кез келген;
3. Тең бүйірлі үшбұрышқа анықтама беріңіз.
4. Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол тең бүйірлі болады
теоремасына кері теореманы тұжырымдаңыз.
5. Егер төртбұрыштың диагоналдары қиылысып және қиылысу нүктесінде қақ
бөлінетін болса, ондатбұрыш – параллелограмм. Осы теореманың шартын және
қорытындысын айырып алыңыз.
6. Егер параллелограмның барлық бұрыштары тең болса, оның тік
төртбұрыш болып табылатындығын дәлелдеу керек.
7. Егер параллелограмның диагоналдары перпендикуляр болса, оның ромб
болатындығын дәлелдеңіз.
8. Егер тік төртбұрыштың диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысатын
болса, оның шаршы болатындығын дәлелдеңіз.
9. Қандай тапеция тең бүйірлі трапеция деп аталады?
10. Шаршы деген не? Шаршының қасиеттерін атап беріңіз.
Лекция 9. Комбинаторикалық есептер, қосынды мен көбейтінді ережесі.
Ауыстырулар, терулер, орналастырулар.
Мақсаты:
1.Комбинаторика элементтерін зерттеу.
2.Логикалық есептерді шешуде комбинаторикалық әдістерді меңгерту.
Факториалды есептей білу, есептер шығаруда қолдана білу.
Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін
жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін
нәтижелерін және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын
есептеуге тура келеді.
Мысалы: әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп
беруге болады?
Футболдан әлем біріншілігінде жартылай финалға шыққан 4 команда
арасында алтын, күміс, қола медальдары неше түрлі тәсілмен иемделінеді және
т.с.с.
Бұл есептерде заттардың өзара орналасуының немесе іс-әрекеттің барлық
мүмкін комбинациялары қарастырылады. Сондықтан мұндай есептерді
комбинаторикалық есептер деп атайды.
Комбинаторлық әдістер физика, химия, биология, экономика, тағы басқа
ғылымда қолдануға болады. Ал комбинаторикалық есептерді шешуде үйретуде
математика саласын комбинаторика деп атайды.
Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен
формулалар бар.
A жиынының элементтері санын n(A) арқылы белгілейді. Мынадай
заңдылық орындалады:
Қосу ережесі.
Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін
(1)
теңдігі орындалады.
Ал бұдан (2)
математикалық индукция принципі бойынша бірнеше қосылғыштарға жазып шығуға
болады.
(3)
Есеп. Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол
турниріне, 10-ы баскетбол турниріне және 8-і волейбол ойынынан жарысқа
қатысқан. Мұнда 6 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол жарысына, 5 оқушы әрі
футбол, әрі волейбол жарысына, 4 оқушы әрі баскетбол, әрі волейбол
турниріне, ал 3 оқушы барлық үш ойыннан жарысқа қатысқан. Сынып
оқушыларының нешеуі осы турнирлердің бірде – біреуіне қатыспаған?
Талдау:
Эйлер – Венн диаграммасын қолданайық.
А – футболға қатысқан оқушылар жиыны,
В – баскетбол,
С – волейбол,
U – сыныптағы барлық оқушылар жиыны болсын. Есеп шарты бойынша:
(3) формула бойынша
Сыныптағы оқушылардың жарыстың қандай да бір түріне
қатысқандарын біліп алдық. Онда сыныпта оқушы жарыстың бірде – бір
түріне қатыспаған.
Көбейту ережесі.
Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін барлық
, қос элементтер саны осы жиындар элементтері сандарының
көбейтіндісіне тең.
Алмастырулар.
Х жиыны n элементтен құралған жиын болсын. Онда Х жиынының
элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері қайталанбайтын
әрбір шеруді n – нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп
аталады. Оны арқылы белгілейді.
немесе
Есеп. 4 оқушыны 7 орындыққа неше түрлі тәсілмен отырғызып шығуға
болады?
Талдау: Мұнда Х жиыны 7 элементтен тұрады. Онда бізге қажетті сан
барлық 7-ден 4 бойынша қайталанбайтын орналастырулар санына тең. Өйткені
бірнеше оқушы бір орындыққа отырмайды деп есептейміз.
Сонда .
Есеп. Бес адамды кезекке неше түрлі тәсілмен тұрғызуға болады?
Талдау: Бізге қажетті сан 5 элементтен алынған барлық алмастырулар
санына тең. .
Есеп. Үш таңбалы саннан қанша әртүрлі цифрдан құрастырылған үш
таңбалы сан алуға болады?
.
Терулер.
n элементі бар Х жиынының әрбір k элементі ішкі жиынын n – нен k
бойынша алынған қайталанбайтын терулер деп атайды.
арқылы белгілейді.
.
Есеп. Шахмат турниріне 12 ойыншы қатысты және әрбір шахматшы
өзгелермен бір-бір ойыннан ойнайды. Турнирде барлығы неше партия ойналды?
Талдау: Әрбір партияны өткізуге екі ойыншы қатысады. Онда барлық
өткізілген партиялар саны 12-ден 2 бойынша алынған терулер санына тең.
.
Бақылау сұрақтары:
1.Комбинаторикалық есептерге анықтама бер.
2.Комбинаторика элементтерін ата.
3. Қосынды мен көбейту ережесі
4. Ауыстырулар
5. Терулер
6. Орналастырулар
Лекция 10. Сандардың натурал қатарының кесіндісі. Реттік
натурал сан.
Натурал сан аксиомалары
Мақсаты:
1..Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.
Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Натурал сандар терминін тьұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен
480-524 қолданған.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектеліп
орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент,
қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай
элемент бастапқы элементтағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың
реттелген натурал қатары деп аталады.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.
Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Бақылау сұрақтары:
1. Сан ұғымының маңыздылығы туралы ғалымдардың пікірі.
2. Натурал сан терминін тұңғыш қолданған ғалым.
3. Натурал қатардың шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын
жасау әйгілі туындылары.
4. Натурал қатары.
5. Теріс емес бүтін сандар жиынын реттейтін қатыс.
6. Натурал сандардың негізгі қасиеттері.
7. Натурал қатарды анықтаудың тәсілі.
8. “Натурал сан” ұғымы.
9. Натурал сандар теориясы.
10. Нөл ұғымы.
Лекция 11. Теріс емес бүтін сандар. Теріс емес бүтін сандар жиынының,
реттік қатынастың түсініктемесі. Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын
амалдарды анықтау
Мақсаты:
1.Теріс емес бүтін сандарды түсіндіру.
2.Оларға амалдар қолдана алу..
Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен – 0 санынан
тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес
бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни “артық”,
“кем”, “тең” қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың
нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша
анықталады.
Егер а,в( болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса,
онда олар тең болады: а=в(А( В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын
сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін “кем” қатынасының қасиеттерін же
теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың
транзитивтілігі мынаған байланысты: А(В, В(С, А(В(С болса, онда А(С
шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса,
онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
“Теңдік” таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-
1558, ал “артық”, “кем” таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот
1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан
шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың
бірігуі арқылы анықталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына
шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в
санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын
айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды
өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі,
бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай
есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың
қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының
негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы
–арифметикалық жай есептер.
Бақылау сұрақтары:
1.Теріс емес бүтін сан.
2. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртүрлі жолдары.
3.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “тең”, “артық” қатынастары.
4.Алғаш “теңдік” таңбасын қолданған кім?
5. Алғаш “артық”, “ кем” таңбаларын қолданған математик.
6. Бос жиынның қуаты.
7.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “кем”, “артық” қатынастары.
8. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі.
9.Санаудың ондық жүйесі қай ғасырда, қай жерде қалыптасты.
10.Д.Пеано аксиомасы.
Лекция 12.Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден
екінші жүйеге ауысуы туралы түсінік
Мақсаты:
1.Санау жүйесі туралы ұғым беру.
2. Кез келген жүйеден екінші жүйеге көше алуы.
Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді:
бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы
разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп
аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап
айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп
т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан
жүйелі сан деп аталады.
Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой
мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол
ой күнделік өмір қажетінен туған.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы
білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі
қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша
ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын
сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz