Математиканың бастауыш курсының өзекті мәселесі
Б.ДАУЛЕТБЕКОВА, Ж.ШАЛАБАЕВА
Б.ДАУЛЕТБЕКОВА, Ж.ШАЛАБАЕВА
БАСТАУЫШ СЫНЫП МҰҒАЛІМДЕРІН ДАЯРЛАЙТЫН ЖОҒАРЫ ЖӘНЕ АРНАУЛЫ ОҚУ
ОРЫНДАРЫ СТУДЕНТТЕРІНЕ АРНАЛҒАН
ШЫМКЕНТ, 2010 Ж.
ББК 22.11 я 73
Д 45
Пікір жазғандар:
Ү.Рахмет – педагогика ғылымдарының кандидаты, профессор.
С.Тазабеков – физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент.
Оқу құралын баспаға Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік
университетінің оқу-әдістемелік кеңесі мақұлдаған (№5 хаттама,
26–ақпан 2010 ж.)
Д 45 Б.Даулетбекова, Ж.Шалабаева
МАТЕМАТИКАНЫҢ БАСТАУЫШ КУРС НЕГІЗДЕРІ
Б.Даулетбекова, Ж.Шалабаева – Шымкент, 2010. – 152 бет.
ISBN 9965-14-616-5
Оқу құралын жазу барысында Қазақстан Республикасы жалпы орта білім
берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарты (бастауыш білім), типтік оқу
бағдарламасы, оқулықтарға арналған әдістемелік нұсқаулар және жаттығулар
қолданылды.
Оқу құралы бастауыш сыныптарда қарастырылатын математикалық ұғымдарды
оқыту жүйесін меңгеруге мүмкіндік туғызады.
Бұл құралда математикадан бақылау жұмысын орындау туралы жалпы
нұсқаулар, тақырыптары мен тапсырмаларды орындау үлгілері көрсетілген.
Оқу құралы бастауыш сынып мұғалімдерін даярлайтын жоғары оқу орындары
мен колледж студенттеріне арналған
Д
ISBN 9965-14-616-5
2010
©
Б.Даулетбекова, Ж.Шалабаева
К І Р І С П Е
Жалпы білім беретін мектептің оқу бағдарламасында: Бастауыш сатыда
білім берудің түбегейлі мақсат, міндеттерін жүзеге асыруда әр оқу пәнінің
өз орны мен рөлі бар. Математика ақиқаттың ең маңызды саласы және адамның
алуан түрлі коммуникативтік жағдайларға еркін араласып қатысу, сауатты
бағдарлай алу қабілетін дамытып, жүзеге асыратын табиғи және жасанды
тілдер туралы оқушының қажетті білім алуына, ауызекі сөйлеуін дамытуға,
ойын сауатты жеткізе білу біліктерін қалыптастыруға, дүниені математикалық
өрнектер арқылы бейнелеп қабылдауға кеңінен жол ашатын, танымдық,
тәрбиелік, дамытушылық мүмкіндіктері мол жетекші пән ретінде
қарастырылады, - деп атап көрсетілген.
Осындай күрделі мәселенің дұрыс шешілуі ұстаздардың теориялық
білімінің және кәсіби мамандығының деңгейіне байланысты.
Болашақ бастауыш мектеп мұғалімінің кәсіби даярлығы әр түрлі оқу,
арнайы және факультативтік пәндерді оқып-үйрену барысында жүзеге асырылатын
психологиялық-педагогикалық, пәндік теориялық және дербес әдістемелік
дайындықты қамтиды. Бұлардың ішінде математикалық ұғымдар, заңдар,
қасиеттер, фактілер, әрекет тәсілдері, логикалық амалдар мен ақыл-ой
операцияларын қарастыратын математиканың бастауыш курсы негіздері пәні
ерекше рөл атқарады.
Математика курсы бастауыш сынып мұғалімі бөлімі студенттеріне аса
күрделі, маңызды математикалық ұғымдар мен фактілердің мән-мағынасын ашып
көрсету, бастауыш сынып оқушыларына математиканы табысты оқытып-үйрету,
оларды осы оқу пәні арқылы тәрбиелеу мен дамытуда қажет болатын теориялық
әзірліктің іргетасын қалау мақсатын көздейді.
Курс мазмұны және оның құрамына кіретін мәселелерді қарастырудың реті
мұғалімдердің математикалық білімін тереңдете әрі кеңейте түсуге қатысты
өзіндік жұмыс тұрғысынан, сондай-ақ орта буын математикасы талаптары
тұрғысынан алғанда бастауыш мектеп мұғалімдерінің шығармашылық мүмкіндігін
арттыра түседі.
Математиканың бастауыш курсының өзекті мәселесі — теріс емес бүтін
сандар, олармен жүргізілетін амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары
болып табылады. Әр алуан қырынан (реттік, еселік, шаманың шешуші, есептеу
барысының нәтижесі) қарастырылып, натурал сан мен нөл ұғымдарын, сондай-ақ
есептеулер жүргізу біліктері мен дағдыларын қалыптастырудың теориялық
негіздері болып табылады.
Алгебра мен геометрия элементтері, сондай-ақ Сан ұғымының кеңеюі
тақырыбының табиғи жалғасы мен қорытындысы ретінде Шамалар және оларды
өлшеу мәселелері сан ұғымымен тығыз байланыста қарастырылады. Мектеп
математикасы курсында сан мен шама ұғымдары математиканың жиын,
сәйкестік, қатынас және т.с.с. жалпы ұғымдарына сүйеніп енгізіледі. Шын
мәнінде, бұл жалпы ұғымдар мектеп математикасы курсында айқын емес түрде
қолданылады.
Сондықтан болашақ бастауыш мектеп мұғалімдері белгілі бір жалпы
математикалық ұғымдар жүйесімен таныс болуы тиіс. Осыған орай математика
курсы жиындар және оларға қолданылатын амалдар, сәйкестіктер,
комбинаторика, есеп және оны шешу үдерісі, алгоритмдер сияқты жалпы
ұғымдарды оқып-үйренуден басталуы кездейсоқтық емес. Мұнда жиындар
теориясы мен математикалық логика элементтері мектеп математикасы курсының
негізін құрайтындықтан және оны тиісті математикалық тілмен қамтамасыз
ететіндіктен барынша тереңірек баяндалады. Бұл жалпы ұғымдар, сондай-ақ әр
алуан жиындар туралы білімдер Алгебра элементтері тақырыбында, атап
айтқанда өрнек, теңдеу, теңсіздік, тендеулер жүйесі, теңсіздіктер
жүйесі мен жиынтығы және т.б ұғымдарды қарастыру барысында кеңінен
қолданылады.
Оқушының оқуға деген қызығушылығын оятудың маңызды құралдарының бірі
математиканы өмірмен байланыстырып оқытуды қамтамасыз ету. Теориялық
материалды оқытқанда мазмұны қоршаған дүниенің өмір жағдайларымен
байланысты күнделікті өмірде жүзеге асыруға болады.
Оқу құралында педагогикалық жоғары оқу орындарында болашақ бастауыш
мектеп мұғалімдерінің кәсіби даярлықтарын жақсартудың маңызды алғы
шарттарының бірі -өзбетінше бақылау жұмыстарын орындау болып табылады.
Оқу құралында бастауыш мектептің математика курсында қарастырылатын
алгебралық және геометриялық ұғымдардың түсініктемелері қысқаша лекция
түрінде жазылып, әр тақырыпқа байланысты бақылау сұрақтары мен жаттығулар,
соңынан бақылау жұмысын орындау туралы жалпы нұсқау және тапсырмаларды
орындау үлгілері мен бақылау жұмыстарының тапсырмалары келтірілген.
МАТЕМАТИКАНЫҢ БАСТАУЫШ КУРСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ пәнінен берілетін білім
мазмұны
Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында Білім беру
жүйесінің басты міндеті – ұлттық және жалпы азаматтық құндылықтар, ғылым
мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға және кәсіби
шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытудың жаңа
технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттандыру, халықаралық ғаламдық
коммуникациялық желілерге шығу деп, білім беру жүйесін одан әрі дамыту
міндеттері көзделеді.
Білім алуға, шеберлікке, іс-әрекет дағдыларына үйрету мен меңгеру
барысы және адамды өмір мен еңбекке бейімді етіп даярлаудың негізгі құралы
– оқыту. Оқыту барысының нәтижесінде білім беру мен тәрбие мақсаттары
жүзеге асырылады. Түрлі оқу орындарындағы оқыту – білім берудің басты жолы,
сол сияқты оқу отбасында, өндірісте, жұмыста т.б. күнделікті адамның
тіршілік және қызмет барысындағы жағдайларды іске асып отырады.
Оқытудың мазмұны мен сипаты қоғамның материалдық және мәдени даму
дәрежесіне сай белгіленеді. Оқудың мақсаты мен мазмұны, оны ұйымдастырудың
түрлері мен әдістері адамзат қоғамының даму кезеңдеріндегі қоғамдық
қатынастар негізінде жалпы білімге, адамдардың даярлығы негізінде қойылатын
талаптардың сипатына және оқыту жөніндегі педагогикалық идеяларға сай
өзгеріп отырады.
Білім беру саласындағы болып жатқан өзгерістер соңғы жылдары
педагогикалық білім алатын болашақ мамандарға, олардың кәсіби
дайындықтарына елеулі талаптар қоюда. Әсіресе, бастауыш сынып мұғалімдерін
даярлауға қойылатын талаптар күрделі де сан-салалы болып отыр.
Себебі, бастауыш сынып мұғалімі – жас ұрпақ бойына ең алғашқы білім
негіздерін сіңіретін, олардың дағдылары мен машықтарын дұрыс бағытта
қалыптасуын қамтамасыз ететін, ізгілікті және отаншылдық қасиеттерге
баулитын тұлға.
Мемлекеттік білім стандартында бастауыш сынып мұғалімдеріне кәсіби жан-
жақты теориялық және практикалық білім мен дағдыларды, әлеуметтік және
гуманитарлық пәндер негіздері өнерпаздық қабілеттерді, оқыту мен ақпараттық
технологияларды пайдалану дағдыларын, іскерлік машықтарын жан-жақты
меңгерту көзделген.
Математиканың бастауыш курсының негіздері пәні болашақ мұғалімдерге
математиканы табысты оқытып-үйретуге, оқушыларды бастауыш математика курсы
ұғымдарының негізгі мектепте қолданылу мүмкіндіктерін көре білуге қажет
болатын даярлықты қамтамасыз етеді.
Математиканың бастауыш курсының негіздері пәні болашақ бастауыш
сыныптар мұғалімдерінің кәсіби даярлығы жүйесіндегі арнаулы пән ретінде
өткен ғысырдың жиырмасыншы жылдары жоғары мектеп жұмысын ұйымдастырудың
бірыңғай мемлекеттік принциптері анықталған кезде қалыптаса бастады.
Бастауыш сынып мұғалімдеріне кәсіби теориялық білім педагогика,
психология, әдістеме ғылымдарын оқытумен бірге бастауыш сыныптардағы
негізгі пәндер – қазақ (орыс) тілі, математика, ана тілі, бейнелеу өнері,
дүниетану, музыка т.б. ғылымдардың негіздерін меңгерту арқылы да белгілі.
Осы тұрғыда бастауыш сыныпта берілетін математикалық білім мазмұны мен
оқушылардың даярлықтарының міндетті деңгейіне қойылатын талаптар басты
назарға алынады. Мектептің бастауыш сатысында берілетін математикалық білім
мазмұны қарапайым математикалық түсініктерді қалыптастыру, сандар
нумерациясы, алгебра және геометрия элементтері, шамалар және оның өлшем
бірліктері деп аталатын бөлімдерден тұрады.
Әрбір мұғалім математика пәнінде оқушыларды терең ойлай білуге, олардың
шығармашылық қабілеттерін дамытып, өз бетінше жұмыс жасай білуге үйрету
мақсатын қояды.
Бұл мақсатты орындау, яғни оқушылардың білім, білік, дағдысын, өзіндік
танымын қалыптастыру – нақты ұйымдастырылған кезеңдер арқылы жүзеге
асырылатын күрделі үрдіс.
Жалпыға міндетті орта білім стандарттарында (жалпы бастауыш білім)
білім объектісі ретінде – білім мазмұны алынған болса, өркениетті
елдердің тәжірибесінде білім нысаны ретінде - оқыту нәтижесі алынған.
Осыған орай білім мазмұнын жаңарту мен оқытудың инновациялық әдістерін
өндіру бүгінгі күннің талабы болып отыр.
Білім сапасы оның төрт сипатын (білім – құндылық, білім - жүйе, білім –
үдеріс, білім – нәтиже) біртұтас қарастыра отырып, олардың ішінде білімнің
құндылық ретіндегі және білімнің нәтиже ретіндегі сипатына мән берумен
тікелей байланысты.
Математика білім саласы бойынша күтілетін нәтижелер білім мазмұнының
жетекші компоненттері және білім, түсіну, қолдану, жоғарғы сипаттағы
біліктер деп аталатын категориялар арқылы бейнелеген оқу материалдарын
меңгеру деңгейлерін ескере отырып анықталады.
Мұнда басты есте болатын нәрсе – оқушылардың математикалық мәдениетін
көтеру, математиканы оқып-үйренуге ынталандыру, нақты дағдыларды бекіту.
Бастауыш оқытудың педагогикасы мен әдістемесі мамандығы бойынша
оқылатын Математиканың бастауыш курсының негіздері пәнінің білім
мазмұнын қысқаша кесте түрінде көрсетсек:
№ Тараудың аты Берілетін теориялық білім мазмұны
1 Жалпы ұғымдар Жиын ұғымы, жиындардың берілу тәсілдері. Эйлер
дөңгелектері, жиындарға қолданылатын амалдар
2 Теріс емес бүтін Натурал сан, нөл ұғымдары. Теріс емес бүтін сандар
сандар жиыны мен оларға қолданылатын амалдар, қасиеттері.
3 Есеп және оны Жай және құрама есептер. Есепті шешу тәсілдері мен
шығару әдістері.
Өрнектер (санды және құрамында әрпі бар өрнектер),
4 Алгебра теңдік, санды теңдік және санды теңсіздік, теңдеу
элементтері және оны шешу тәсілдері, теңдеулер жүйесі,
теңсіздіктер жүйесі.
Қарапайым геометриялық фигуралар, олардың
Геометрия қасиеттері. Қарапайым геометриялық салу есептері.
5 элементтері Геометриялық мазмұнды есептерді шығару.
Геометриялық фигуралардың ауданы мен көлемін
есептеу.
Шамалар (ұзындық, масса, сыйымдылық, уақыт,
6 Шамалар және жылдамдық, баға) және өлшем бірліктері, олардың
оларды өлшеу арасындағы байланыс, шамаларға қолданылатын
арифметикалық амалдар.
Ықтималдықтар Бастауыш мектеп математика курсындағы ықтималдықтар
7 теориясы теориясы мен математикалық статистика
элементтерінің маңызы
Қазіргі кезде білім беру саласында болып жатқан ауқымды өзгерістер
түрлі ынталы бастамалар мен түрлендірулерге кеңінен жол ашуда. Осы
қарастырылған мәселелер реті болашақ бастауыш сынып мұғалімдерінің
оқушылардың математикалық білімін тереңдете және кеңейте түсуімен қатар
шығармашылық ізденісін қамтамасыз етеді.
Бастауыш мектеп жасындағы оқушыларға математиканы оқытудың әдістемелік
жүйесінің өзіндік ерекшеліктерін сипаттайтын әдістемелік ережелер, сондай-
ақ оқытуға тұлғалық-іскерлік пен дамытушылық тұрғыдан қарау әдістемелік
құрал мазмұнын құрайды.
1. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
Құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары
Мақсаты:
1.Математикалық құрылымдарына жалпы ақпарат.
2.Математикалық құрылымдардың типтері мен олардың сипаттамаларына
түсініктеме.
Математика басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және
де ол зерттейтін нақты әлемнің құбылыстары өздерінің материалдық
табиғатымен емес, тек қана формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе
олармен байланысты сандық қатынастар мен кеңістіктік формаларымен
анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы
салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды
даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика –
қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса,
басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас
әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-
қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен
мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің,
формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес
үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған
дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне
және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде
әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын
бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар
болып табылады.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдар базистік деп
аталады. Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың
жиынтығы мен комбинациясы.
Мысалға, группа, сақина және өріс - алгебралық құрылымның түрлері.
Нақты сандар жиыны мен натурал сандар жиыны – реттік құрылымның
түрлері, ал топологиялық кеңістік пен топологиялық векторлық кеңістік-
топологиялық құрылымның түрлері.
Математикалық құрылым деп мынадай жиынды айтамыз:
1) табиғаты кез келген элементтер жиыны (сан, функция, вектор, тензор,
матрицалар т.б.);
2) элементтер арасындағы берілген қатынастар;
3) осы қатынастар үшін анықталған белгілі бір амалдар (композициялар
немесе амалдар);
4) операциялардың негізгі қасиеттері аксиомалар жүйесі арқылы
түсіндіріледі. Мысалы, алгебралық құрылымды қарастыралық. Группа
теориясында үшінші элемент қалған екі элементтің функциясы немесе үшінші
элемент қалған екі элементтің арасындағы қатынас бойынша анықталады.
Қатынастың осындай түрі сақина мен өріске де тән. Мұндай қатынасты
композиция заңы, ал амалдың өзін алгедралық амал деп атайды. Осындай
жиын алгебралық құрылым делінеді. Группа теориясының аксиомалар жүйесі
алгебралық амалдардың негізгі қасиеттерін түсіндіреді. Берілген
құрылымның теориясын құру қабылданған аксиомалар жүйесінен қажетті
логикалық нәтижелерді, теоремаларды алу. Өзінің аксиоматикалық формасында
математика абстрактілік формалардың – математикалық құрылымдардың жиынтығы.
Математикалық құрылым ұғымы жиын мен функция ұғымдарын жалпылаудың, яғни
абстракцияларды абстракциялаудың нәтижесінде пайда болған деген.
Алгебралық пен топологиялық және реттік құрылымдары базистік
делінеді, өйткені математикалық теорияларды құру солардан басталады.
Осындай базистік құрылымдардың өзара әсерінен немесе қосылысынан көп еселі
делінетін күрделі математикалық құрылымдар пайда болады. Әдетте, мұндай
құрылымдар ең кемінде екі базистік құрылымдардың комбинациясы болып
табылады.
Мысалы, нақты сандар жиынында үш базистік құрылым комбинациясы бар,
ендеше бұл жиын үш еселі құрылым делінеді.
Математика – математикалық құрылымдар жайындағы ғылым. Мұндай
түсініктің үлкен әдістемелік және педагогикалық маңызы бар. Біріншіден,
математика ғылымының негізінде құрылым ұғымы жатыр, бүкіл математика ғылымы
математикалық құрылымдарды зерттейді, ендеше құрылымдық бірлік
математикалық білімнің синтезін, математикалық ғылымдардың ішкі бір
тұтастығын тамаша дәлелдейді. Екіншіден, математикалық білімді синтездеуде
математикалық құрылым ұғымымен бірге аксиоматикалық әдіс үлкен роль
атқарады. Аксиоматикалық әдіс математикалық ойды әжептәуір үнемдеуде және
математикалық құрылымдарды зерттеуде құнды әдіс болып табылады.
Математиканың арнаулы бөлімдері қандай-да арнаулы құрылымдар тегіне
тиісті құрылымдармен айналысады. Әрбір құрылымдар тегі сәйкес аксиомалар
жүйесімен анықталады, яғни математика – математикалық құрылымдар жайындағы
ғылым.
Н.Бурбаки еңбектерінде ғылыми дәлдіктің қазіргі деңгейінде құрылған
және тым жалпы принциптерге сүйенген барлық математикаға шолу жасалынған.
Н.Бурбаки зерттеулерінде ядросы жиындар болатын бір ғана математиканың
бар екендігі, ал математиканың әртүрлі тармақтарында түрліше көрініс беруі
және сәйкес теорияның барлық құндылығы осы теорияны зерттейтін құрылымның
қандайда бір типімен айқындалған жиын элементтінің байланысына тәуелділігі
көрсетілген.
Математикалық құрылым ұғымын қалыптастыру әлемді танудың маңызды
ғылыми құралы – аксиоматикалық әдістің дамуымен байланысты. Мысалы,
қазіргі кезде осы күнгі математиканың көптеген бағыттары тек қана
аксиоматикалық әдістің яғни, сәйкес аксиомалар жүйесінің негізінде
құрылады. Ал математика ғылымының әр саласына тән аксиомалардың өзі ұзақ
және күрделі тарихи даму үдерісінде пайда болды.
Құрылым ұғымының басты ерекшелігі табиғаты әр алуан болатын жиын
элементтеріне оның жарамды болатындығында және де қарастырылатын қатынастар
сипатының таңдалу тұрғысынан жоғары дәрежеге ие екендігінде.
Математикалық құрылым – жаңа математикалық ұғым, сандық қатынастар
мен кеңістік формаларды толығырақ, кеңірек және тереңірек бейнелейтін
абстракция. Философиядағы сан категориясы –ең жалпыланған түсінік және
бүкіл таным тарихының нәтижесі, ойлау формасы. Ондағы материя категориясын
физикадағы зат немесе өріске теңестіруге ешбір болмайтыны сияқты, сан
категриясында математикадағы санға, шамаға немесе математикалық құрылымға
ешбір теңестіруге болмайды. Сан, шама және математикалық құрылым – сан
категориясының түрлері. Келешекте санның жаңа түрлері ашылуыф мүмкін және
заңды.
Шексіз көп әр алуан құрылымдар бар және олардың жиынтығын белгілі бір
ретпен оқу, зерттеу математиканың әр түрлі бөлімдерінің мазмұнын құрайды.
Математика ғылымында құрылым терминін енгізген Н.Бурбаки барлық
математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана
анықтады.
Дәлірек айтқанда, олар бір-біріне ұқсамайтын құрылымдардың үш типін
анықтады, олар алгебралық, реттік және топологиялық.
Математикалық құрылымдар аксиоматикасының мән-мағынасына тереңдемей,
құрылымдардың негізгі типтерін жалпы түрде қарастырған, олар:
1) Жиындардың тобын, яғни әр түрлі сипаттағы элементтерден және онда
анықталған операциялардан құралған әртүрлі жиындар. Әрбір жиынды құрайтын
элементтердің табиғатына назар аудармай, осы топқа енетін кез келген
жиынды А=(х, у, ...( символымен белгіленген.
А жиынында анықталған операцияны f арқылы белгілеп, А жиынына тиісті
кез келген х және у элементтері үшін осы жиыннан сәйкес операцияның
нәтижесі болатын z элементі табылады, яғни
Осы қарастырылатын жиындардың әрқайсысында анықталған операциялардың
барлығы үшін ақиқат болатын жалпы заңдарды көрсетсек,
Коммутативтік:
Ассоциативтік:
Қайтымдылық:
Жалпы түрде өрнектеліп көрсетілген осындай үш заңды негізгі
аксиомалар ретінде қабылдап, осы аксиомалар жүйесінен қарастырылып отырған
жиындар тобына енетін А, f жиынының кез келгені үшін ақиқат болып
табылатын басқа да салдарлар мен теориялық тұжырымдарды қорытып шығаруға
болады.
2) Алдыңғы жағдайдағыдай қандай да жиынды қарастырып, оған енетін
әрбір элементтерінің арасындағы қатынастар анықталсын.
Кез келген А жиыны және онда анықталатын қатынасты – Р символымен
белгілейік.
Осындай жиындардың әрқайсысында анықталған қатынастар үшін ақиқат
болатын жалпы қасиеттерді бөліп көрсетсек,
Рефлексивтік:
Антисимметриялық:
Транзитивтік:
Бастапқы аксиомалар ретінде осы үш қасиетті қабылдап барлық
тұжырымдары жиындар тобына енетін кез келген А, Р жиыны үшін де сәйкес
қағидалар ақиқат болып табылатын жалпы теорияны құруға болады.
Математикалық құрылым ұғымын қазіргі математика ғылымына енгізу оның
терең құрылымдық мәнін ашуға, математикалық теорияларды топтауға және
бастауыш мектепте математиканы тиімді және сапалы оқытуға үлкен әсерін
тигізеді.
Кейбір зерттеушілердің пікірінше, мектепте математиканы оқытуда
бағдарламалық материалды аксиоматикалық баяндауға көшудің қажеттігін және
баяндауды оқушылар үшін өте қонымды және түсінікті Н.Бурбаки ұсынған
құрылым ұғымынан бастағанды жөн көреді. Өйткені, Н.Бурбакидің бірінші
кітабы жиындар теориясына арналған және ол бұл теорияны бүкіл математика
ғылымының бірден-бір негізі деп қарастырады.
Бақылау сұрақтары:
1. Математикалық құрылым терминінің мән-мағынасы.
2. Құрылымдардың типтері.
3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.
4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.
5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.
6. Н.Бурбаки ұйымы.
7. П.Р.Халмоштың мақаласы.
8. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
9. Математика элементтері бірінші томы.
10. Аксиоматикалық әдіс.
2. ЖИЫН ҰҒЫМЫ. ЖИЫНДАР ЖӘНЕ ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР
Жиын ұғымы. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындарға қолданылатын
амалдар және олардың заңдары
Мақсаты:
1. Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2. Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуы
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық нысандардың ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі болып
саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып
табылатын “сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды,
сондай-ақ сандарға амалдар қолдану, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді
оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
“Жиын” ұғымына қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым
мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең негізгі ұғым.
Математикада кез келген нысандардың (нәрсе, зат, әріп, цифр, планета, ұғым,
фигура, сан, сөз, адам, жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола
алады. Әдетте жиын қандай болса да бір белгісі немесе ортақ қасиеті бойынша
біріктірілген әртүрлі нысандардан құралады.
Жиын ұғымына математикада мынадай анықтама беріледі: Жиын –бұл
біртұтас алып қарастырылатын нысандардың жиынтығы. Жиындар шектеулі де,
шектеусіз түрде қарастырылады. Кішкене балалар шектеулі жиынмен ғана
танысады. Бала жиын туралы түсініктің дамуы өзінің бірінші сатысында өте
диффузиялық күйде болады: оның айқын шекарасы болмайды және элементтер
бірінен соң бірі қабылдана бермейді. Бұлай қабылдау құрылымдық – бүтін
бірлік түрінде жиынды емес, қайта белгісіз жиынды сипаттайды; оның сандық
жағы да әлі дәл танылмайды. Мысалы, бала көптеген біркелкі кішкене
қуыршақтарды немесе қораптағы әр түсті түймелерді көріп, қуанады. Алайда,
ол оның бірнешеуін қолына ұстап көрісімен, қалғандарын сол сәтте ұмытады.
Кішкене балалар сондай-ақ, егер жиын элементтерінің саны азайса және
олардың бір бөлігі көзден таса болса, оны байқамайды.
Жиын туралы түсініктің осы деңгейі тілде сөздің жекеше және көпше
жалғаулары пайдалануға сәйкес келеді: өйткені оларда нақты сандыұқ құрам
бөленбейді.
Белгісіз жиын туралы түсінік екі жасқа дейінгі балаларға тән сипат.
Бұған мынадай өмірлік мысалдардпан оңай көз жеткізуге болады: балаға
барлық кубиктерді қорапқа салуды немесе столдың үстіне барлық қасықты
жинап, оларды күтушіге апарып беруді ұсынады. Бала бірнеше кубикті алып
қоюмен немесе бірнеше қасықты апарумен ғана шектеледі және тапсырма
орындалды деп есептейді.
Жиындар теориясының негізін салушы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін болып түсінілетін көптік”. Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”,
“жиынтық” деген сөздердің тілдік тура мағынасы, яғни алынып отырған
нысандар бірнешеу деген ойды білдіреді. Бұдан әрбір жиында міндетті түрде
көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген пікір тууы мүмкін. Алайда
математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты тек бір ғана
элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің
саны шектеулі-шектелген жиын, бірде-бір элементі болмайтын жиынды - бос
жиын, элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, D, Е, Ғ, ..., ал элементтерін оның кіші
a,b,c,d,e,.f,... әріптерімен, сондай-ақ жиындар символикасында бос немесе
құр жиын ( таңбасымен белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы,
тиісті емес деген сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады. А={а, в, с,...}
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
нысан жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын
болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға, 7 санынан кем болатын натурал сандардың А жиынын
қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиетін
атап айтқанда, оларды натурал және 7-ден кіші сан болуы аталып отыр.
Қарастырып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х7(. А={ 1, 2, 3, 4, 5, 6(
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталып, былай белгіленеді
В(А.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары өзара тең деп аталып былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А
мен В жиындары тең деп аталады.
Көрнекі түрде жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелеп көрсетуге болады. Дөңгелек не сопақша фигураның ішінде сол жиынның
элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе
Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.
Леонард Эйлер (1707-1783) - Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы
Петербург ғылым академиясының шақыруымен Ресейге келген, Петербург ғылым
академиясының мүшесі және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген.
Ағылшын математигі Джон Венн (1886-1921) Эйлер-Венн диаграммаларында
жиынды тік төртбұрыш түрінде, ал ішкі жиынды шеңбер немесе тұйықталған
қисық сызықпен кескіндеп көрсеткен.
Екі және одан да көп элементтерден тұратын жиындардан жаңа бір жиын
құруға болады. Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану
нәтижесінде пайда болады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті ортақ элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. Яғни, екі жиынға да ортақ элементтер
алынады. А және В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді, мұндағы (
таңбасы жиындардың қиылысуының белгісі.
С=А(В. А(В={хх(А және х(В}
А, В жиындарының қиылысуын көрнекі түрде Эйлер деңгелектері арқылы
бейнелесек, екі жиынның қиылысуын боялған аймақ арқылы көрсетуге
болады.
Егер А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады:
А(В=(.
Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.
Мысалы, дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды,
өйткені бұл екі жиынның ортақ элементтері жоқ.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А және В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
Мысалға, А жиыны сыныптағы математика үйірмесіне қатысатын
оқушылардың жиыны,
ал В жиыны сол сыныптағы физика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны болсын.
Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –“математика
үйірмесіне қатысуы”, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –
“физика үйірмесіне қатысуы” болып табылады. Сонда берілген жиындардың
бірігуіне аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар
енеді. Бұл оқушылардың ішінде тек математика үйірмесіне немесе екі
үйірменің екеуіне де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.
А(В=( деп санап, А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары
арқылы кескіндесек, онда суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А(В жиынын
көрсетеді.
Егер В(А болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және
¯ВА арқылы белгіленеді.
А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В
жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының
айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді.
А\В((хх(А және х(В(
Енді көрнекі түрде А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары
көмегімен кескіндесекэ онда А\В жиыны боялған бөлік болады.
Мысалы, егер А={а, Ь, с, d, е}, В={d, е, к, 1} болса, онда осы
жиындардың қиылысуын, бірігуін және айырмасын табатын болсақ,
А(В ={а, Ь, с, d, е, к, 1};
А(В={ d, е};
А\В ={а, Ь, с}.
Яғни, екі жиынның бірігуін алу үшін екі жиынның барлық элементтерін
қайталатпай аламыз, ал қиылысуында екі жиынға ортақ элементтерді, екі
жиынның айырмасында ортақ емес элементтер жиынын аламыз.
Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы.
2.Жиын элементі.
3.Бос жиын.
4. Шектеулі және шексіз жиындар.
5.Жиындар теориясының негізін салған математик.
6. Жиындардың берілу тәсілдері.
7.Эйлер-Венн диаграммасы.
8.Жиындардың қиылысуы.
9.Жиындардың бірігуі.
10.Жиындардың айырмасы.
Жаттығу:
1. А-геометриялық фигуралар жиыны. Осы жиынға
А) бесбұрыш В) түзу С) текше Д) дөңгелек тиісті ме?
2. Х- хайуандар жиыны болсын. Осы жиынға:
А) сиыр; В) құмырсқа; С) қарға; Д) піл тиісті бола ма?
3.А жиыны -1, -2, -3, - 4 сандарынан тұрады. Осы жиынды жазыңыздар.
Берілген санға қарама-қарсы сандарды жиын түрінде жазыныздар.
4. К-жай сандар жиыны, М-жұп сандар жиыны, Л-тақ сандар
жиыны болсын. Мына сандардың 7, 11, 12, 18, 37, 47, 51, 65, 96, 115, 217,
321, 512, 418, 233 қайсы жиынға тиісті болатынын көрсетіңіздер.
5. А-параллелограмдар жиыны болсын. Осы жиынға:
А)ромб; В) трапеция; в) параллелограмм диагоналы; г) тіктөртбұрыш
тиісті бола ма?
6. А-8 санынан үлкен 18 санынан кіші натурал сандар жиыны, ал В-7
мен аяқталатын натурал сандар жиыны болсын.
а) 12, 17, 0, 3, 7 осы жиындардың қайсысына тиісті екенін х белгісімен
көрсетіңіздер. б) жоғарыдағы сандардың қайсысы жиыңдарға тиісті емес екенін
көрсетіңіздер.
7. а) Гүл аттарынан; б) тарихи оқиғалардан в) сандардан г)
геометриялық фигуралардан тұратын жиындарға мысалдар келтіріңіздер.
8. В-барлық натурал сандар жиыны, А-12 санының барлық
натурал бөлгіштерінің жиыны, В-24 санының натурал бөлгіштерінің
жиыны берілген. Осы А және В жиындарының элементтерін нүктелермен және
Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіздер.
9.У-мектеп кітапханасындағы кітаптар жиыны, А-математика
кітаптарының жиыны, В-жаратылыстану пәндерінің жиыны, С-
физика кітаптарының жиыны екені белгілі. Осы жиындарды
Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіз.
10.А- университетте оқитын студенттер жиыны, В-осы университеттегі 1-
курс студентттерінің жиыны. Осы екі жиынды Эйлер-Венн
диаграммасы арқылы кескіндеп көрсетіңіз.
3. ҚАТЫС. ГРАФ
Қатыс ұғымы. Граф. Қатысты берудің тәсілдері. Қатыстың қасиеттері.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы
Мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі нысандар арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да байланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады.
Натурал сан ұғымын қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі
ұғымы және жалпы сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамыту.
Геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр, фигуралар
арасында тең, ұқсас жиындар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын, тең жиын,
т.б. қарастырылады.
Математикада көбінесе екі нысанның арасындағы қатынас қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
С.И.Ожеговтың түсіндірме сөздігінде бинарлық двойной, состоящий из двух
компонентов деп жазған, яғни екі элементтен тұратын немесе қос деген
мағынаны білдіреді.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы
қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас әріптерімен белгілейді P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R(
ХхХ болады.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жағдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсету арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Қатысты берудің екі тәсілі бар. R қатыста Х жиынынан алынған
элементтердің барлық жұптарын атау арқылы анықтап беру: жұптар жиынын
жазу, қатыстың графын немесе графигін келтіру, кесте арқылы беру.
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Математикада екі нысанның арасында әртүрлі қатыстар қандай да бір
Х жиынында қарастырылып, қостардың жиынын береді. Қатыстың қасиеттеріне
қарай оларды ортақ қасиеттері бойынша топтау (классификациялау) керек.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады. Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға
болады. R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хRу=уRх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады , ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс
деп атайды.
Қатыстың кескінін, яғни сызба түрінде көрнекі түрде беруге болады, ол
сызбаны граф деп атайды. Граф, график гректің сөзі, жазамын деген
мағынаны білдіреді. Сызбада берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды
қосатын бағытталған сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды. Графта
сызықтардың басы да ұшы да беттесетін нүктені ілгектері деп атайды.
Графтармен байланысты ұсынған алғаш жұмыстардың бірі Эйлер жұмысы
болып есептеледі (1736 ж.).
ХІХ ғасырдың аяғына дейін графтар кейбір жекелеген қызықты есептер
шешуде ғана қолданылып келді. Графтар теоремасының математиканың жеке
бөлімі ретінде бөлініп шығуына қолайлы жағдай туғызған маңызды нәтижелер
ХХ ғасырда ғана алынды. Ең алғаш граф терминін енгізгін венгер математигі
Д.Кен. Ол нүктелер жиынынан осы нүктелерді байланыстыратын түзулер,
кесінділер мен қисықтардан құралған формаларды граф деп атады.
С
Жазықтықта әртүрлі А, В, С, Д, Е нүктелерін белгілейік. Осы
нүктелерді граф төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды граф қабырғалары
деп атайды.
Бұл графты А, В, С, Д, Е нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден
басқа ешбір нүктелермен қиылыспайтын, қабырғалары тек төбелерде ғана
қиылысатын графты жазық граф деп атайды.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы қабырғалары тек төбесінде ғана
қиылысатын графтарды жазық граф берілсін.
Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын өзара қосқанда да ол жазық
граф бола алса, ондай граф толық жазық граф деп аталады.
Кез келген граф үшін Т- Қ + Ж =2 теңдеуі орындалады.
Т - граф төбелерінің саны;
Қ – граф қабырғаларының саны;
Ж - граф жазықтықтарының саны.
Бұл теорема жазық граф үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы
алғанда графтар төбелерден, қабырғалардан, жазықтардан тұрады. Берілген
графтар арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.
Графтағы ешбір қабырғалары арқылы артық рет өтпейтін сызық шынжыр
деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден әр
қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып сол А төбесіне қайта оралу
мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп аталады. Егер циклдың барлық төбелері
әртүрлі болса, мұндай цикл қарапайым, қарсы жағдайда қарапайым емес цикл
деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың қабырғаларын дәл бір ретпен
қамтиды.
Граф — бұл жиын нысандарының және олардың арасындағы байланыстың
абстрактілі түсінігі. Граф деп (V, E) жұпты айтады мұнда V – бұл төбелер
жиыны болып, ал Е әрбіреуі өзінің байланысын көрсететін жұптар жиыны (бұл
жұптар қабырғалар деп аталады). Граф бағдарланған және бағдарланбаған болу
мүмкін. Бағдарланған графта байланыстар бағытталған болып келеді (яғни Е
реттелген болып келеді, мысалы (a, b) және (b, a) бұл екі әртүрлі
байланыс), ал бағдарланбаған графта байланыстар бағытталмаған (яғни егер
(a, b) байланысы бар болса, онда (b, a) байланысы міндетті түрде болады).
А) Бағытталған граф Б) Бағытталмаған граф
Графтағы жол бұл әрбір екі төбенің арасындағы қабырғалар арқылы
байланысқан төбелердің ақырғы реті. Жол графқа байланысты бағытталған және
бағытталмаған болып келеді. 1-ші А)суретте [(1), (3), (4), (5)] реттілікті
анықтайды, ал[(1), (4), (5)] реттілік болып келеді.
Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс.
2. Байланысты граф.
3. Граф сµзінің маѓынасы.
4. Графтар теориясы.
5. Графтыњ тµбелері.
6. Инъективті бейнелеу.
7. Қатаң реттік қатыс
8. Қатаң емес реттік қатыс.
9. Эквивалентті қатыс.
10. Қатыстың қасиеттері.
Жаттығу:
1.Х=(1,2,4,8,12( жиынында берілген "х еселі у-ке" қатыстың графын сыз,
қасиетін анықта.
2.У=(2,3,4,5, 6( жиынында "архық" және "артық немесе тең" атысы
берілген. Графын сыз, қасиетін анықта. Қайсысы рефлексивті қасиетке ие?
Неліктен?
3.У(( 2,4,6,8,12(- жиынында "2 есе артық" және "2-і артық" қатысы
берілген, қасиетін анықта. Графтарының ұқсастығы неде?
4. А кесінділер жиынында "тең" және "қысқа" қатыстары берілген,
қатыстардың графын сыз, қасиетін анықта. Қай қатыс рефлексивті қасиетке ие
болмайды? Графының ерекшелігі неде?
5. Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -жиынында “3-ке бөлгенде бірдей қалдық
қалады” қатысы берілген. Қатыстың қасиетін анықта, эквиваленттік қатыс бола
ма? Қатыс жиынды неше класқа бөледі?
6. Х={0,3,7,4,6} жиынында “х саны у санынан 3-ке артық” деген Р қатысы
берілген. Р қатысының графын және Р қатысын теңдеу көмегімен жазыңыздар.
7. Лагерден Марат, Дарина, Индира, Азиза, Султан, Нұрасыл деген 5
оқушы шықты. Дарина Нұрасылдың алдында, Индира Мараттың алдында, бірақ
Нұрасыл соңында, Азиза Даринаның алдында келе жатыр. Ең алдында және ең
соңында кімдер келеді. Нұрасылдың алдында кім және артында кім келеді?
8. Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр” графын сыз, қасиетін анықта.
9.А={1,4,7,10,15,18,19} жиынында 3-ке бөлгенде бірдей қалдық қалады
деген R қатысы берілген.
а) R қатысына тиісті барлық парларын атаңыздар.
б) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
10. В={0,3,4, 6, 7} жиынында х саны у санынан 3-ке артық х, у € В
деген R қатысы берілген.
а) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
б) R қатысын теңдеу түрінде жазыңыздар.
4. СӘЙКЕСТІКТЕР
Сәйкестік туралы ұғым. Оның графы мен графигі. Бейнелеулер және
олардың түрлері. Тең қуаттас жиындар
Мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Бейнелеулер мен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Б.ДАУЛЕТБЕКОВА, Ж.ШАЛАБАЕВА
БАСТАУЫШ СЫНЫП МҰҒАЛІМДЕРІН ДАЯРЛАЙТЫН ЖОҒАРЫ ЖӘНЕ АРНАУЛЫ ОҚУ
ОРЫНДАРЫ СТУДЕНТТЕРІНЕ АРНАЛҒАН
ШЫМКЕНТ, 2010 Ж.
ББК 22.11 я 73
Д 45
Пікір жазғандар:
Ү.Рахмет – педагогика ғылымдарының кандидаты, профессор.
С.Тазабеков – физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент.
Оқу құралын баспаға Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік
университетінің оқу-әдістемелік кеңесі мақұлдаған (№5 хаттама,
26–ақпан 2010 ж.)
Д 45 Б.Даулетбекова, Ж.Шалабаева
МАТЕМАТИКАНЫҢ БАСТАУЫШ КУРС НЕГІЗДЕРІ
Б.Даулетбекова, Ж.Шалабаева – Шымкент, 2010. – 152 бет.
ISBN 9965-14-616-5
Оқу құралын жазу барысында Қазақстан Республикасы жалпы орта білім
берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарты (бастауыш білім), типтік оқу
бағдарламасы, оқулықтарға арналған әдістемелік нұсқаулар және жаттығулар
қолданылды.
Оқу құралы бастауыш сыныптарда қарастырылатын математикалық ұғымдарды
оқыту жүйесін меңгеруге мүмкіндік туғызады.
Бұл құралда математикадан бақылау жұмысын орындау туралы жалпы
нұсқаулар, тақырыптары мен тапсырмаларды орындау үлгілері көрсетілген.
Оқу құралы бастауыш сынып мұғалімдерін даярлайтын жоғары оқу орындары
мен колледж студенттеріне арналған
Д
ISBN 9965-14-616-5
2010
©
Б.Даулетбекова, Ж.Шалабаева
К І Р І С П Е
Жалпы білім беретін мектептің оқу бағдарламасында: Бастауыш сатыда
білім берудің түбегейлі мақсат, міндеттерін жүзеге асыруда әр оқу пәнінің
өз орны мен рөлі бар. Математика ақиқаттың ең маңызды саласы және адамның
алуан түрлі коммуникативтік жағдайларға еркін араласып қатысу, сауатты
бағдарлай алу қабілетін дамытып, жүзеге асыратын табиғи және жасанды
тілдер туралы оқушының қажетті білім алуына, ауызекі сөйлеуін дамытуға,
ойын сауатты жеткізе білу біліктерін қалыптастыруға, дүниені математикалық
өрнектер арқылы бейнелеп қабылдауға кеңінен жол ашатын, танымдық,
тәрбиелік, дамытушылық мүмкіндіктері мол жетекші пән ретінде
қарастырылады, - деп атап көрсетілген.
Осындай күрделі мәселенің дұрыс шешілуі ұстаздардың теориялық
білімінің және кәсіби мамандығының деңгейіне байланысты.
Болашақ бастауыш мектеп мұғалімінің кәсіби даярлығы әр түрлі оқу,
арнайы және факультативтік пәндерді оқып-үйрену барысында жүзеге асырылатын
психологиялық-педагогикалық, пәндік теориялық және дербес әдістемелік
дайындықты қамтиды. Бұлардың ішінде математикалық ұғымдар, заңдар,
қасиеттер, фактілер, әрекет тәсілдері, логикалық амалдар мен ақыл-ой
операцияларын қарастыратын математиканың бастауыш курсы негіздері пәні
ерекше рөл атқарады.
Математика курсы бастауыш сынып мұғалімі бөлімі студенттеріне аса
күрделі, маңызды математикалық ұғымдар мен фактілердің мән-мағынасын ашып
көрсету, бастауыш сынып оқушыларына математиканы табысты оқытып-үйрету,
оларды осы оқу пәні арқылы тәрбиелеу мен дамытуда қажет болатын теориялық
әзірліктің іргетасын қалау мақсатын көздейді.
Курс мазмұны және оның құрамына кіретін мәселелерді қарастырудың реті
мұғалімдердің математикалық білімін тереңдете әрі кеңейте түсуге қатысты
өзіндік жұмыс тұрғысынан, сондай-ақ орта буын математикасы талаптары
тұрғысынан алғанда бастауыш мектеп мұғалімдерінің шығармашылық мүмкіндігін
арттыра түседі.
Математиканың бастауыш курсының өзекті мәселесі — теріс емес бүтін
сандар, олармен жүргізілетін амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары
болып табылады. Әр алуан қырынан (реттік, еселік, шаманың шешуші, есептеу
барысының нәтижесі) қарастырылып, натурал сан мен нөл ұғымдарын, сондай-ақ
есептеулер жүргізу біліктері мен дағдыларын қалыптастырудың теориялық
негіздері болып табылады.
Алгебра мен геометрия элементтері, сондай-ақ Сан ұғымының кеңеюі
тақырыбының табиғи жалғасы мен қорытындысы ретінде Шамалар және оларды
өлшеу мәселелері сан ұғымымен тығыз байланыста қарастырылады. Мектеп
математикасы курсында сан мен шама ұғымдары математиканың жиын,
сәйкестік, қатынас және т.с.с. жалпы ұғымдарына сүйеніп енгізіледі. Шын
мәнінде, бұл жалпы ұғымдар мектеп математикасы курсында айқын емес түрде
қолданылады.
Сондықтан болашақ бастауыш мектеп мұғалімдері белгілі бір жалпы
математикалық ұғымдар жүйесімен таныс болуы тиіс. Осыған орай математика
курсы жиындар және оларға қолданылатын амалдар, сәйкестіктер,
комбинаторика, есеп және оны шешу үдерісі, алгоритмдер сияқты жалпы
ұғымдарды оқып-үйренуден басталуы кездейсоқтық емес. Мұнда жиындар
теориясы мен математикалық логика элементтері мектеп математикасы курсының
негізін құрайтындықтан және оны тиісті математикалық тілмен қамтамасыз
ететіндіктен барынша тереңірек баяндалады. Бұл жалпы ұғымдар, сондай-ақ әр
алуан жиындар туралы білімдер Алгебра элементтері тақырыбында, атап
айтқанда өрнек, теңдеу, теңсіздік, тендеулер жүйесі, теңсіздіктер
жүйесі мен жиынтығы және т.б ұғымдарды қарастыру барысында кеңінен
қолданылады.
Оқушының оқуға деген қызығушылығын оятудың маңызды құралдарының бірі
математиканы өмірмен байланыстырып оқытуды қамтамасыз ету. Теориялық
материалды оқытқанда мазмұны қоршаған дүниенің өмір жағдайларымен
байланысты күнделікті өмірде жүзеге асыруға болады.
Оқу құралында педагогикалық жоғары оқу орындарында болашақ бастауыш
мектеп мұғалімдерінің кәсіби даярлықтарын жақсартудың маңызды алғы
шарттарының бірі -өзбетінше бақылау жұмыстарын орындау болып табылады.
Оқу құралында бастауыш мектептің математика курсында қарастырылатын
алгебралық және геометриялық ұғымдардың түсініктемелері қысқаша лекция
түрінде жазылып, әр тақырыпқа байланысты бақылау сұрақтары мен жаттығулар,
соңынан бақылау жұмысын орындау туралы жалпы нұсқау және тапсырмаларды
орындау үлгілері мен бақылау жұмыстарының тапсырмалары келтірілген.
МАТЕМАТИКАНЫҢ БАСТАУЫШ КУРСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ пәнінен берілетін білім
мазмұны
Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында Білім беру
жүйесінің басты міндеті – ұлттық және жалпы азаматтық құндылықтар, ғылым
мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға және кәсіби
шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытудың жаңа
технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттандыру, халықаралық ғаламдық
коммуникациялық желілерге шығу деп, білім беру жүйесін одан әрі дамыту
міндеттері көзделеді.
Білім алуға, шеберлікке, іс-әрекет дағдыларына үйрету мен меңгеру
барысы және адамды өмір мен еңбекке бейімді етіп даярлаудың негізгі құралы
– оқыту. Оқыту барысының нәтижесінде білім беру мен тәрбие мақсаттары
жүзеге асырылады. Түрлі оқу орындарындағы оқыту – білім берудің басты жолы,
сол сияқты оқу отбасында, өндірісте, жұмыста т.б. күнделікті адамның
тіршілік және қызмет барысындағы жағдайларды іске асып отырады.
Оқытудың мазмұны мен сипаты қоғамның материалдық және мәдени даму
дәрежесіне сай белгіленеді. Оқудың мақсаты мен мазмұны, оны ұйымдастырудың
түрлері мен әдістері адамзат қоғамының даму кезеңдеріндегі қоғамдық
қатынастар негізінде жалпы білімге, адамдардың даярлығы негізінде қойылатын
талаптардың сипатына және оқыту жөніндегі педагогикалық идеяларға сай
өзгеріп отырады.
Білім беру саласындағы болып жатқан өзгерістер соңғы жылдары
педагогикалық білім алатын болашақ мамандарға, олардың кәсіби
дайындықтарына елеулі талаптар қоюда. Әсіресе, бастауыш сынып мұғалімдерін
даярлауға қойылатын талаптар күрделі де сан-салалы болып отыр.
Себебі, бастауыш сынып мұғалімі – жас ұрпақ бойына ең алғашқы білім
негіздерін сіңіретін, олардың дағдылары мен машықтарын дұрыс бағытта
қалыптасуын қамтамасыз ететін, ізгілікті және отаншылдық қасиеттерге
баулитын тұлға.
Мемлекеттік білім стандартында бастауыш сынып мұғалімдеріне кәсіби жан-
жақты теориялық және практикалық білім мен дағдыларды, әлеуметтік және
гуманитарлық пәндер негіздері өнерпаздық қабілеттерді, оқыту мен ақпараттық
технологияларды пайдалану дағдыларын, іскерлік машықтарын жан-жақты
меңгерту көзделген.
Математиканың бастауыш курсының негіздері пәні болашақ мұғалімдерге
математиканы табысты оқытып-үйретуге, оқушыларды бастауыш математика курсы
ұғымдарының негізгі мектепте қолданылу мүмкіндіктерін көре білуге қажет
болатын даярлықты қамтамасыз етеді.
Математиканың бастауыш курсының негіздері пәні болашақ бастауыш
сыныптар мұғалімдерінің кәсіби даярлығы жүйесіндегі арнаулы пән ретінде
өткен ғысырдың жиырмасыншы жылдары жоғары мектеп жұмысын ұйымдастырудың
бірыңғай мемлекеттік принциптері анықталған кезде қалыптаса бастады.
Бастауыш сынып мұғалімдеріне кәсіби теориялық білім педагогика,
психология, әдістеме ғылымдарын оқытумен бірге бастауыш сыныптардағы
негізгі пәндер – қазақ (орыс) тілі, математика, ана тілі, бейнелеу өнері,
дүниетану, музыка т.б. ғылымдардың негіздерін меңгерту арқылы да белгілі.
Осы тұрғыда бастауыш сыныпта берілетін математикалық білім мазмұны мен
оқушылардың даярлықтарының міндетті деңгейіне қойылатын талаптар басты
назарға алынады. Мектептің бастауыш сатысында берілетін математикалық білім
мазмұны қарапайым математикалық түсініктерді қалыптастыру, сандар
нумерациясы, алгебра және геометрия элементтері, шамалар және оның өлшем
бірліктері деп аталатын бөлімдерден тұрады.
Әрбір мұғалім математика пәнінде оқушыларды терең ойлай білуге, олардың
шығармашылық қабілеттерін дамытып, өз бетінше жұмыс жасай білуге үйрету
мақсатын қояды.
Бұл мақсатты орындау, яғни оқушылардың білім, білік, дағдысын, өзіндік
танымын қалыптастыру – нақты ұйымдастырылған кезеңдер арқылы жүзеге
асырылатын күрделі үрдіс.
Жалпыға міндетті орта білім стандарттарында (жалпы бастауыш білім)
білім объектісі ретінде – білім мазмұны алынған болса, өркениетті
елдердің тәжірибесінде білім нысаны ретінде - оқыту нәтижесі алынған.
Осыған орай білім мазмұнын жаңарту мен оқытудың инновациялық әдістерін
өндіру бүгінгі күннің талабы болып отыр.
Білім сапасы оның төрт сипатын (білім – құндылық, білім - жүйе, білім –
үдеріс, білім – нәтиже) біртұтас қарастыра отырып, олардың ішінде білімнің
құндылық ретіндегі және білімнің нәтиже ретіндегі сипатына мән берумен
тікелей байланысты.
Математика білім саласы бойынша күтілетін нәтижелер білім мазмұнының
жетекші компоненттері және білім, түсіну, қолдану, жоғарғы сипаттағы
біліктер деп аталатын категориялар арқылы бейнелеген оқу материалдарын
меңгеру деңгейлерін ескере отырып анықталады.
Мұнда басты есте болатын нәрсе – оқушылардың математикалық мәдениетін
көтеру, математиканы оқып-үйренуге ынталандыру, нақты дағдыларды бекіту.
Бастауыш оқытудың педагогикасы мен әдістемесі мамандығы бойынша
оқылатын Математиканың бастауыш курсының негіздері пәнінің білім
мазмұнын қысқаша кесте түрінде көрсетсек:
№ Тараудың аты Берілетін теориялық білім мазмұны
1 Жалпы ұғымдар Жиын ұғымы, жиындардың берілу тәсілдері. Эйлер
дөңгелектері, жиындарға қолданылатын амалдар
2 Теріс емес бүтін Натурал сан, нөл ұғымдары. Теріс емес бүтін сандар
сандар жиыны мен оларға қолданылатын амалдар, қасиеттері.
3 Есеп және оны Жай және құрама есептер. Есепті шешу тәсілдері мен
шығару әдістері.
Өрнектер (санды және құрамында әрпі бар өрнектер),
4 Алгебра теңдік, санды теңдік және санды теңсіздік, теңдеу
элементтері және оны шешу тәсілдері, теңдеулер жүйесі,
теңсіздіктер жүйесі.
Қарапайым геометриялық фигуралар, олардың
Геометрия қасиеттері. Қарапайым геометриялық салу есептері.
5 элементтері Геометриялық мазмұнды есептерді шығару.
Геометриялық фигуралардың ауданы мен көлемін
есептеу.
Шамалар (ұзындық, масса, сыйымдылық, уақыт,
6 Шамалар және жылдамдық, баға) және өлшем бірліктері, олардың
оларды өлшеу арасындағы байланыс, шамаларға қолданылатын
арифметикалық амалдар.
Ықтималдықтар Бастауыш мектеп математика курсындағы ықтималдықтар
7 теориясы теориясы мен математикалық статистика
элементтерінің маңызы
Қазіргі кезде білім беру саласында болып жатқан ауқымды өзгерістер
түрлі ынталы бастамалар мен түрлендірулерге кеңінен жол ашуда. Осы
қарастырылған мәселелер реті болашақ бастауыш сынып мұғалімдерінің
оқушылардың математикалық білімін тереңдете және кеңейте түсуімен қатар
шығармашылық ізденісін қамтамасыз етеді.
Бастауыш мектеп жасындағы оқушыларға математиканы оқытудың әдістемелік
жүйесінің өзіндік ерекшеліктерін сипаттайтын әдістемелік ережелер, сондай-
ақ оқытуға тұлғалық-іскерлік пен дамытушылық тұрғыдан қарау әдістемелік
құрал мазмұнын құрайды.
1. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
Құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары
Мақсаты:
1.Математикалық құрылымдарына жалпы ақпарат.
2.Математикалық құрылымдардың типтері мен олардың сипаттамаларына
түсініктеме.
Математика басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және
де ол зерттейтін нақты әлемнің құбылыстары өздерінің материалдық
табиғатымен емес, тек қана формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе
олармен байланысты сандық қатынастар мен кеңістіктік формаларымен
анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы
салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды
даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика –
қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса,
басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас
әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-
қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен
мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің,
формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес
үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған
дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне
және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде
әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын
бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар
болып табылады.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдар базистік деп
аталады. Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың
жиынтығы мен комбинациясы.
Мысалға, группа, сақина және өріс - алгебралық құрылымның түрлері.
Нақты сандар жиыны мен натурал сандар жиыны – реттік құрылымның
түрлері, ал топологиялық кеңістік пен топологиялық векторлық кеңістік-
топологиялық құрылымның түрлері.
Математикалық құрылым деп мынадай жиынды айтамыз:
1) табиғаты кез келген элементтер жиыны (сан, функция, вектор, тензор,
матрицалар т.б.);
2) элементтер арасындағы берілген қатынастар;
3) осы қатынастар үшін анықталған белгілі бір амалдар (композициялар
немесе амалдар);
4) операциялардың негізгі қасиеттері аксиомалар жүйесі арқылы
түсіндіріледі. Мысалы, алгебралық құрылымды қарастыралық. Группа
теориясында үшінші элемент қалған екі элементтің функциясы немесе үшінші
элемент қалған екі элементтің арасындағы қатынас бойынша анықталады.
Қатынастың осындай түрі сақина мен өріске де тән. Мұндай қатынасты
композиция заңы, ал амалдың өзін алгедралық амал деп атайды. Осындай
жиын алгебралық құрылым делінеді. Группа теориясының аксиомалар жүйесі
алгебралық амалдардың негізгі қасиеттерін түсіндіреді. Берілген
құрылымның теориясын құру қабылданған аксиомалар жүйесінен қажетті
логикалық нәтижелерді, теоремаларды алу. Өзінің аксиоматикалық формасында
математика абстрактілік формалардың – математикалық құрылымдардың жиынтығы.
Математикалық құрылым ұғымы жиын мен функция ұғымдарын жалпылаудың, яғни
абстракцияларды абстракциялаудың нәтижесінде пайда болған деген.
Алгебралық пен топологиялық және реттік құрылымдары базистік
делінеді, өйткені математикалық теорияларды құру солардан басталады.
Осындай базистік құрылымдардың өзара әсерінен немесе қосылысынан көп еселі
делінетін күрделі математикалық құрылымдар пайда болады. Әдетте, мұндай
құрылымдар ең кемінде екі базистік құрылымдардың комбинациясы болып
табылады.
Мысалы, нақты сандар жиынында үш базистік құрылым комбинациясы бар,
ендеше бұл жиын үш еселі құрылым делінеді.
Математика – математикалық құрылымдар жайындағы ғылым. Мұндай
түсініктің үлкен әдістемелік және педагогикалық маңызы бар. Біріншіден,
математика ғылымының негізінде құрылым ұғымы жатыр, бүкіл математика ғылымы
математикалық құрылымдарды зерттейді, ендеше құрылымдық бірлік
математикалық білімнің синтезін, математикалық ғылымдардың ішкі бір
тұтастығын тамаша дәлелдейді. Екіншіден, математикалық білімді синтездеуде
математикалық құрылым ұғымымен бірге аксиоматикалық әдіс үлкен роль
атқарады. Аксиоматикалық әдіс математикалық ойды әжептәуір үнемдеуде және
математикалық құрылымдарды зерттеуде құнды әдіс болып табылады.
Математиканың арнаулы бөлімдері қандай-да арнаулы құрылымдар тегіне
тиісті құрылымдармен айналысады. Әрбір құрылымдар тегі сәйкес аксиомалар
жүйесімен анықталады, яғни математика – математикалық құрылымдар жайындағы
ғылым.
Н.Бурбаки еңбектерінде ғылыми дәлдіктің қазіргі деңгейінде құрылған
және тым жалпы принциптерге сүйенген барлық математикаға шолу жасалынған.
Н.Бурбаки зерттеулерінде ядросы жиындар болатын бір ғана математиканың
бар екендігі, ал математиканың әртүрлі тармақтарында түрліше көрініс беруі
және сәйкес теорияның барлық құндылығы осы теорияны зерттейтін құрылымның
қандайда бір типімен айқындалған жиын элементтінің байланысына тәуелділігі
көрсетілген.
Математикалық құрылым ұғымын қалыптастыру әлемді танудың маңызды
ғылыми құралы – аксиоматикалық әдістің дамуымен байланысты. Мысалы,
қазіргі кезде осы күнгі математиканың көптеген бағыттары тек қана
аксиоматикалық әдістің яғни, сәйкес аксиомалар жүйесінің негізінде
құрылады. Ал математика ғылымының әр саласына тән аксиомалардың өзі ұзақ
және күрделі тарихи даму үдерісінде пайда болды.
Құрылым ұғымының басты ерекшелігі табиғаты әр алуан болатын жиын
элементтеріне оның жарамды болатындығында және де қарастырылатын қатынастар
сипатының таңдалу тұрғысынан жоғары дәрежеге ие екендігінде.
Математикалық құрылым – жаңа математикалық ұғым, сандық қатынастар
мен кеңістік формаларды толығырақ, кеңірек және тереңірек бейнелейтін
абстракция. Философиядағы сан категориясы –ең жалпыланған түсінік және
бүкіл таным тарихының нәтижесі, ойлау формасы. Ондағы материя категориясын
физикадағы зат немесе өріске теңестіруге ешбір болмайтыны сияқты, сан
категриясында математикадағы санға, шамаға немесе математикалық құрылымға
ешбір теңестіруге болмайды. Сан, шама және математикалық құрылым – сан
категориясының түрлері. Келешекте санның жаңа түрлері ашылуыф мүмкін және
заңды.
Шексіз көп әр алуан құрылымдар бар және олардың жиынтығын белгілі бір
ретпен оқу, зерттеу математиканың әр түрлі бөлімдерінің мазмұнын құрайды.
Математика ғылымында құрылым терминін енгізген Н.Бурбаки барлық
математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана
анықтады.
Дәлірек айтқанда, олар бір-біріне ұқсамайтын құрылымдардың үш типін
анықтады, олар алгебралық, реттік және топологиялық.
Математикалық құрылымдар аксиоматикасының мән-мағынасына тереңдемей,
құрылымдардың негізгі типтерін жалпы түрде қарастырған, олар:
1) Жиындардың тобын, яғни әр түрлі сипаттағы элементтерден және онда
анықталған операциялардан құралған әртүрлі жиындар. Әрбір жиынды құрайтын
элементтердің табиғатына назар аудармай, осы топқа енетін кез келген
жиынды А=(х, у, ...( символымен белгіленген.
А жиынында анықталған операцияны f арқылы белгілеп, А жиынына тиісті
кез келген х және у элементтері үшін осы жиыннан сәйкес операцияның
нәтижесі болатын z элементі табылады, яғни
Осы қарастырылатын жиындардың әрқайсысында анықталған операциялардың
барлығы үшін ақиқат болатын жалпы заңдарды көрсетсек,
Коммутативтік:
Ассоциативтік:
Қайтымдылық:
Жалпы түрде өрнектеліп көрсетілген осындай үш заңды негізгі
аксиомалар ретінде қабылдап, осы аксиомалар жүйесінен қарастырылып отырған
жиындар тобына енетін А, f жиынының кез келгені үшін ақиқат болып
табылатын басқа да салдарлар мен теориялық тұжырымдарды қорытып шығаруға
болады.
2) Алдыңғы жағдайдағыдай қандай да жиынды қарастырып, оған енетін
әрбір элементтерінің арасындағы қатынастар анықталсын.
Кез келген А жиыны және онда анықталатын қатынасты – Р символымен
белгілейік.
Осындай жиындардың әрқайсысында анықталған қатынастар үшін ақиқат
болатын жалпы қасиеттерді бөліп көрсетсек,
Рефлексивтік:
Антисимметриялық:
Транзитивтік:
Бастапқы аксиомалар ретінде осы үш қасиетті қабылдап барлық
тұжырымдары жиындар тобына енетін кез келген А, Р жиыны үшін де сәйкес
қағидалар ақиқат болып табылатын жалпы теорияны құруға болады.
Математикалық құрылым ұғымын қазіргі математика ғылымына енгізу оның
терең құрылымдық мәнін ашуға, математикалық теорияларды топтауға және
бастауыш мектепте математиканы тиімді және сапалы оқытуға үлкен әсерін
тигізеді.
Кейбір зерттеушілердің пікірінше, мектепте математиканы оқытуда
бағдарламалық материалды аксиоматикалық баяндауға көшудің қажеттігін және
баяндауды оқушылар үшін өте қонымды және түсінікті Н.Бурбаки ұсынған
құрылым ұғымынан бастағанды жөн көреді. Өйткені, Н.Бурбакидің бірінші
кітабы жиындар теориясына арналған және ол бұл теорияны бүкіл математика
ғылымының бірден-бір негізі деп қарастырады.
Бақылау сұрақтары:
1. Математикалық құрылым терминінің мән-мағынасы.
2. Құрылымдардың типтері.
3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.
4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.
5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.
6. Н.Бурбаки ұйымы.
7. П.Р.Халмоштың мақаласы.
8. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
9. Математика элементтері бірінші томы.
10. Аксиоматикалық әдіс.
2. ЖИЫН ҰҒЫМЫ. ЖИЫНДАР ЖӘНЕ ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР
Жиын ұғымы. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындарға қолданылатын
амалдар және олардың заңдары
Мақсаты:
1. Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2. Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуы
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық нысандардың ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі болып
саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып
табылатын “сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды,
сондай-ақ сандарға амалдар қолдану, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді
оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
“Жиын” ұғымына қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым
мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең негізгі ұғым.
Математикада кез келген нысандардың (нәрсе, зат, әріп, цифр, планета, ұғым,
фигура, сан, сөз, адам, жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола
алады. Әдетте жиын қандай болса да бір белгісі немесе ортақ қасиеті бойынша
біріктірілген әртүрлі нысандардан құралады.
Жиын ұғымына математикада мынадай анықтама беріледі: Жиын –бұл
біртұтас алып қарастырылатын нысандардың жиынтығы. Жиындар шектеулі де,
шектеусіз түрде қарастырылады. Кішкене балалар шектеулі жиынмен ғана
танысады. Бала жиын туралы түсініктің дамуы өзінің бірінші сатысында өте
диффузиялық күйде болады: оның айқын шекарасы болмайды және элементтер
бірінен соң бірі қабылдана бермейді. Бұлай қабылдау құрылымдық – бүтін
бірлік түрінде жиынды емес, қайта белгісіз жиынды сипаттайды; оның сандық
жағы да әлі дәл танылмайды. Мысалы, бала көптеген біркелкі кішкене
қуыршақтарды немесе қораптағы әр түсті түймелерді көріп, қуанады. Алайда,
ол оның бірнешеуін қолына ұстап көрісімен, қалғандарын сол сәтте ұмытады.
Кішкене балалар сондай-ақ, егер жиын элементтерінің саны азайса және
олардың бір бөлігі көзден таса болса, оны байқамайды.
Жиын туралы түсініктің осы деңгейі тілде сөздің жекеше және көпше
жалғаулары пайдалануға сәйкес келеді: өйткені оларда нақты сандыұқ құрам
бөленбейді.
Белгісіз жиын туралы түсінік екі жасқа дейінгі балаларға тән сипат.
Бұған мынадай өмірлік мысалдардпан оңай көз жеткізуге болады: балаға
барлық кубиктерді қорапқа салуды немесе столдың үстіне барлық қасықты
жинап, оларды күтушіге апарып беруді ұсынады. Бала бірнеше кубикті алып
қоюмен немесе бірнеше қасықты апарумен ғана шектеледі және тапсырма
орындалды деп есептейді.
Жиындар теориясының негізін салушы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін болып түсінілетін көптік”. Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”,
“жиынтық” деген сөздердің тілдік тура мағынасы, яғни алынып отырған
нысандар бірнешеу деген ойды білдіреді. Бұдан әрбір жиында міндетті түрде
көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген пікір тууы мүмкін. Алайда
математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты тек бір ғана
элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің
саны шектеулі-шектелген жиын, бірде-бір элементі болмайтын жиынды - бос
жиын, элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, D, Е, Ғ, ..., ал элементтерін оның кіші
a,b,c,d,e,.f,... әріптерімен, сондай-ақ жиындар символикасында бос немесе
құр жиын ( таңбасымен белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы,
тиісті емес деген сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады. А={а, в, с,...}
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
нысан жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын
болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға, 7 санынан кем болатын натурал сандардың А жиынын
қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиетін
атап айтқанда, оларды натурал және 7-ден кіші сан болуы аталып отыр.
Қарастырып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х7(. А={ 1, 2, 3, 4, 5, 6(
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталып, былай белгіленеді
В(А.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары өзара тең деп аталып былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А
мен В жиындары тең деп аталады.
Көрнекі түрде жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелеп көрсетуге болады. Дөңгелек не сопақша фигураның ішінде сол жиынның
элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе
Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.
Леонард Эйлер (1707-1783) - Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы
Петербург ғылым академиясының шақыруымен Ресейге келген, Петербург ғылым
академиясының мүшесі және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген.
Ағылшын математигі Джон Венн (1886-1921) Эйлер-Венн диаграммаларында
жиынды тік төртбұрыш түрінде, ал ішкі жиынды шеңбер немесе тұйықталған
қисық сызықпен кескіндеп көрсеткен.
Екі және одан да көп элементтерден тұратын жиындардан жаңа бір жиын
құруға болады. Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану
нәтижесінде пайда болады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті ортақ элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. Яғни, екі жиынға да ортақ элементтер
алынады. А және В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді, мұндағы (
таңбасы жиындардың қиылысуының белгісі.
С=А(В. А(В={хх(А және х(В}
А, В жиындарының қиылысуын көрнекі түрде Эйлер деңгелектері арқылы
бейнелесек, екі жиынның қиылысуын боялған аймақ арқылы көрсетуге
болады.
Егер А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады:
А(В=(.
Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.
Мысалы, дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды,
өйткені бұл екі жиынның ортақ элементтері жоқ.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А және В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
Мысалға, А жиыны сыныптағы математика үйірмесіне қатысатын
оқушылардың жиыны,
ал В жиыны сол сыныптағы физика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны болсын.
Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –“математика
үйірмесіне қатысуы”, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –
“физика үйірмесіне қатысуы” болып табылады. Сонда берілген жиындардың
бірігуіне аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар
енеді. Бұл оқушылардың ішінде тек математика үйірмесіне немесе екі
үйірменің екеуіне де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.
А(В=( деп санап, А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары
арқылы кескіндесек, онда суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А(В жиынын
көрсетеді.
Егер В(А болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және
¯ВА арқылы белгіленеді.
А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В
жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының
айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді.
А\В((хх(А және х(В(
Енді көрнекі түрде А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары
көмегімен кескіндесекэ онда А\В жиыны боялған бөлік болады.
Мысалы, егер А={а, Ь, с, d, е}, В={d, е, к, 1} болса, онда осы
жиындардың қиылысуын, бірігуін және айырмасын табатын болсақ,
А(В ={а, Ь, с, d, е, к, 1};
А(В={ d, е};
А\В ={а, Ь, с}.
Яғни, екі жиынның бірігуін алу үшін екі жиынның барлық элементтерін
қайталатпай аламыз, ал қиылысуында екі жиынға ортақ элементтерді, екі
жиынның айырмасында ортақ емес элементтер жиынын аламыз.
Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы.
2.Жиын элементі.
3.Бос жиын.
4. Шектеулі және шексіз жиындар.
5.Жиындар теориясының негізін салған математик.
6. Жиындардың берілу тәсілдері.
7.Эйлер-Венн диаграммасы.
8.Жиындардың қиылысуы.
9.Жиындардың бірігуі.
10.Жиындардың айырмасы.
Жаттығу:
1. А-геометриялық фигуралар жиыны. Осы жиынға
А) бесбұрыш В) түзу С) текше Д) дөңгелек тиісті ме?
2. Х- хайуандар жиыны болсын. Осы жиынға:
А) сиыр; В) құмырсқа; С) қарға; Д) піл тиісті бола ма?
3.А жиыны -1, -2, -3, - 4 сандарынан тұрады. Осы жиынды жазыңыздар.
Берілген санға қарама-қарсы сандарды жиын түрінде жазыныздар.
4. К-жай сандар жиыны, М-жұп сандар жиыны, Л-тақ сандар
жиыны болсын. Мына сандардың 7, 11, 12, 18, 37, 47, 51, 65, 96, 115, 217,
321, 512, 418, 233 қайсы жиынға тиісті болатынын көрсетіңіздер.
5. А-параллелограмдар жиыны болсын. Осы жиынға:
А)ромб; В) трапеция; в) параллелограмм диагоналы; г) тіктөртбұрыш
тиісті бола ма?
6. А-8 санынан үлкен 18 санынан кіші натурал сандар жиыны, ал В-7
мен аяқталатын натурал сандар жиыны болсын.
а) 12, 17, 0, 3, 7 осы жиындардың қайсысына тиісті екенін х белгісімен
көрсетіңіздер. б) жоғарыдағы сандардың қайсысы жиыңдарға тиісті емес екенін
көрсетіңіздер.
7. а) Гүл аттарынан; б) тарихи оқиғалардан в) сандардан г)
геометриялық фигуралардан тұратын жиындарға мысалдар келтіріңіздер.
8. В-барлық натурал сандар жиыны, А-12 санының барлық
натурал бөлгіштерінің жиыны, В-24 санының натурал бөлгіштерінің
жиыны берілген. Осы А және В жиындарының элементтерін нүктелермен және
Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіздер.
9.У-мектеп кітапханасындағы кітаптар жиыны, А-математика
кітаптарының жиыны, В-жаратылыстану пәндерінің жиыны, С-
физика кітаптарының жиыны екені белгілі. Осы жиындарды
Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіз.
10.А- университетте оқитын студенттер жиыны, В-осы университеттегі 1-
курс студентттерінің жиыны. Осы екі жиынды Эйлер-Венн
диаграммасы арқылы кескіндеп көрсетіңіз.
3. ҚАТЫС. ГРАФ
Қатыс ұғымы. Граф. Қатысты берудің тәсілдері. Қатыстың қасиеттері.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы
Мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі нысандар арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да байланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады.
Натурал сан ұғымын қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі
ұғымы және жалпы сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамыту.
Геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр, фигуралар
арасында тең, ұқсас жиындар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын, тең жиын,
т.б. қарастырылады.
Математикада көбінесе екі нысанның арасындағы қатынас қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
С.И.Ожеговтың түсіндірме сөздігінде бинарлық двойной, состоящий из двух
компонентов деп жазған, яғни екі элементтен тұратын немесе қос деген
мағынаны білдіреді.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы
қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас әріптерімен белгілейді P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R(
ХхХ болады.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жағдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсету арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Қатысты берудің екі тәсілі бар. R қатыста Х жиынынан алынған
элементтердің барлық жұптарын атау арқылы анықтап беру: жұптар жиынын
жазу, қатыстың графын немесе графигін келтіру, кесте арқылы беру.
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Математикада екі нысанның арасында әртүрлі қатыстар қандай да бір
Х жиынында қарастырылып, қостардың жиынын береді. Қатыстың қасиеттеріне
қарай оларды ортақ қасиеттері бойынша топтау (классификациялау) керек.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады. Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға
болады. R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хRу=уRх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады , ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс
деп атайды.
Қатыстың кескінін, яғни сызба түрінде көрнекі түрде беруге болады, ол
сызбаны граф деп атайды. Граф, график гректің сөзі, жазамын деген
мағынаны білдіреді. Сызбада берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды
қосатын бағытталған сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды. Графта
сызықтардың басы да ұшы да беттесетін нүктені ілгектері деп атайды.
Графтармен байланысты ұсынған алғаш жұмыстардың бірі Эйлер жұмысы
болып есептеледі (1736 ж.).
ХІХ ғасырдың аяғына дейін графтар кейбір жекелеген қызықты есептер
шешуде ғана қолданылып келді. Графтар теоремасының математиканың жеке
бөлімі ретінде бөлініп шығуына қолайлы жағдай туғызған маңызды нәтижелер
ХХ ғасырда ғана алынды. Ең алғаш граф терминін енгізгін венгер математигі
Д.Кен. Ол нүктелер жиынынан осы нүктелерді байланыстыратын түзулер,
кесінділер мен қисықтардан құралған формаларды граф деп атады.
С
Жазықтықта әртүрлі А, В, С, Д, Е нүктелерін белгілейік. Осы
нүктелерді граф төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды граф қабырғалары
деп атайды.
Бұл графты А, В, С, Д, Е нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден
басқа ешбір нүктелермен қиылыспайтын, қабырғалары тек төбелерде ғана
қиылысатын графты жазық граф деп атайды.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы қабырғалары тек төбесінде ғана
қиылысатын графтарды жазық граф берілсін.
Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын өзара қосқанда да ол жазық
граф бола алса, ондай граф толық жазық граф деп аталады.
Кез келген граф үшін Т- Қ + Ж =2 теңдеуі орындалады.
Т - граф төбелерінің саны;
Қ – граф қабырғаларының саны;
Ж - граф жазықтықтарының саны.
Бұл теорема жазық граф үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы
алғанда графтар төбелерден, қабырғалардан, жазықтардан тұрады. Берілген
графтар арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.
Графтағы ешбір қабырғалары арқылы артық рет өтпейтін сызық шынжыр
деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден әр
қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып сол А төбесіне қайта оралу
мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп аталады. Егер циклдың барлық төбелері
әртүрлі болса, мұндай цикл қарапайым, қарсы жағдайда қарапайым емес цикл
деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың қабырғаларын дәл бір ретпен
қамтиды.
Граф — бұл жиын нысандарының және олардың арасындағы байланыстың
абстрактілі түсінігі. Граф деп (V, E) жұпты айтады мұнда V – бұл төбелер
жиыны болып, ал Е әрбіреуі өзінің байланысын көрсететін жұптар жиыны (бұл
жұптар қабырғалар деп аталады). Граф бағдарланған және бағдарланбаған болу
мүмкін. Бағдарланған графта байланыстар бағытталған болып келеді (яғни Е
реттелген болып келеді, мысалы (a, b) және (b, a) бұл екі әртүрлі
байланыс), ал бағдарланбаған графта байланыстар бағытталмаған (яғни егер
(a, b) байланысы бар болса, онда (b, a) байланысы міндетті түрде болады).
А) Бағытталған граф Б) Бағытталмаған граф
Графтағы жол бұл әрбір екі төбенің арасындағы қабырғалар арқылы
байланысқан төбелердің ақырғы реті. Жол графқа байланысты бағытталған және
бағытталмаған болып келеді. 1-ші А)суретте [(1), (3), (4), (5)] реттілікті
анықтайды, ал[(1), (4), (5)] реттілік болып келеді.
Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс.
2. Байланысты граф.
3. Граф сµзінің маѓынасы.
4. Графтар теориясы.
5. Графтыњ тµбелері.
6. Инъективті бейнелеу.
7. Қатаң реттік қатыс
8. Қатаң емес реттік қатыс.
9. Эквивалентті қатыс.
10. Қатыстың қасиеттері.
Жаттығу:
1.Х=(1,2,4,8,12( жиынында берілген "х еселі у-ке" қатыстың графын сыз,
қасиетін анықта.
2.У=(2,3,4,5, 6( жиынында "архық" және "артық немесе тең" атысы
берілген. Графын сыз, қасиетін анықта. Қайсысы рефлексивті қасиетке ие?
Неліктен?
3.У(( 2,4,6,8,12(- жиынында "2 есе артық" және "2-і артық" қатысы
берілген, қасиетін анықта. Графтарының ұқсастығы неде?
4. А кесінділер жиынында "тең" және "қысқа" қатыстары берілген,
қатыстардың графын сыз, қасиетін анықта. Қай қатыс рефлексивті қасиетке ие
болмайды? Графының ерекшелігі неде?
5. Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -жиынында “3-ке бөлгенде бірдей қалдық
қалады” қатысы берілген. Қатыстың қасиетін анықта, эквиваленттік қатыс бола
ма? Қатыс жиынды неше класқа бөледі?
6. Х={0,3,7,4,6} жиынында “х саны у санынан 3-ке артық” деген Р қатысы
берілген. Р қатысының графын және Р қатысын теңдеу көмегімен жазыңыздар.
7. Лагерден Марат, Дарина, Индира, Азиза, Султан, Нұрасыл деген 5
оқушы шықты. Дарина Нұрасылдың алдында, Индира Мараттың алдында, бірақ
Нұрасыл соңында, Азиза Даринаның алдында келе жатыр. Ең алдында және ең
соңында кімдер келеді. Нұрасылдың алдында кім және артында кім келеді?
8. Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр” графын сыз, қасиетін анықта.
9.А={1,4,7,10,15,18,19} жиынында 3-ке бөлгенде бірдей қалдық қалады
деген R қатысы берілген.
а) R қатысына тиісті барлық парларын атаңыздар.
б) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
10. В={0,3,4, 6, 7} жиынында х саны у санынан 3-ке артық х, у € В
деген R қатысы берілген.
а) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
б) R қатысын теңдеу түрінде жазыңыздар.
4. СӘЙКЕСТІКТЕР
Сәйкестік туралы ұғым. Оның графы мен графигі. Бейнелеулер және
олардың түрлері. Тең қуаттас жиындар
Мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Бейнелеулер мен ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz