Математикалық структура ұғымы, изоморфизм

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 35 бет
Таңдаулыға:

14. ЛЕКЦИЯ САБАҚТАРЫ

1 - лекция

Математикалық структура ұғымы, изоморфизм.

1. Қатынас ұғымын еске түсірейік. Ешқайсысы бос жиын болмайтын М\, М2, .
. . , Мпжиындары берілсін. Кез келген МхХМ2Х. . .ХМпбөлімше жиын
М1 М2, ... , Мпжиындарының ішінде анықталған n-ар (немесе п-орынды) қатынас
деп аталады. Егер (т1 т2, ... , тп)болса, онда т1 т2, ... , тп,
мұнда (^Мі) элементтері А қатынасында дейді.
Егер Мі = М2=. . . = Мп—М және, сондықтан, 7MіХМ2Х...Х ХМп = Мпболса(
мұнда М" дәрежесі'—М жиынының n-нші дe-карттық дәрежесі), онда т1 x т2" n-
ар катынасы М жиыны іші-де анықталған дейді.
М1ХМ2бинар қатынас болған жағдайда (п = 2) (тһ т2)еД орнына
тіДт2 деп жазады.
Егер Еф0 жиыны үстінде
:ЕхЕ-^Е

алтебралық операция (композицияның ішкі заңы) анықталған болса, онда оны
E3 бөлімше жиын арқылы, мұнда = {(а, b, с)3
(а, Ь) = с} ретінде алыпа, Е жиынының ішінде анықталған тернар қатынас (п
= 3) ролінде карастыруға бо-
лады.
Егер Е жиынының үстінде операторларының жиыны L бо-
латын
f:АxЕЕ
композицияның сыртқы f заңы анықталса (мультипликативтік түрде жазғанда f
(, а)=а болады), онда оны AxExE белімше жиын арқылы,
= {(, а, &)AxExE \ f а = b} ретін-де алып, L, Е
жиындарының ішінде анықталған тернар қаты-нас ролінде қарастыруға болады.
2. Егер біз М1ХМ2Х. . .ХМпдекарттық көбейтіндіден әр т ү р л і екі бөлімше
жиын, мысалы, і мен 2 бөліп шығарсак, онда біз М1 М2, ... ,
Мпжиындарының системасында әр түрлі екі қатынасты анықтаймыз.
2 болғандықтан, қатына
лі бағыттарына бөлініп кететін білімдердің ұлан-байтақ саласы болып
көрінетіндігіне карамастан, біртұтас ғылым.дей аламыз.. Оның зерттеу пәні —
математикалық структуралар жиыны, оның негізгі әдісі — аксиоматикалық здіс.

§ 2. Аксиомалар системасының интерпретациялары (модельдері)

1. Әрбір Е жиыны үстінде кез келген структураны анықтау-
ға болады деп ойламау керек. Мысалы, Е= {0, 1, 2, 3, 4, 5}
жиыны үстінде Rөрісі үстіндегі п өлшемді векторлық кеңістік
структурасын анықтауға болмайды, алайда ол структура Rп=
= RХRХ...ХR(п рет) жиыны үстінде онай анықталады.
Сондықтан математикалық структураны анықтағанда Т =0 жағдайы екі
себептен туады, ол себептер мынадай:
а) берілген база қажетті текті структураны құруға мүмкін-дік бермейді,
бірак базаны баска бір жолмен таңдап алғаида структура құрылады;
'б) кажет структураны кұруға мүмкіндік беретін база бол-майды (база қалай
алынса да, T = 0 бола береді).
Соңғы жағдайда Т жиынын анықтайтын А, А2, ... , А(ак- сиомалары
системасының щайшылығы бар дейді. Ал егер қа-растырылған структураны
анықтайтын база болса (демек, Т 0 болса), онда ол аксиомалардың
системасын қайшылықсыз дейді.
2. ,2, .. . , кқатынастарына нақты мағына берерліктей
және А\, А2, ... ,А аксиомалары орындалатын бір нақтыМ
жиыны табылды делік (демек, М ліиыны үстінде Т текті струк-
тура анықталады делік). Ондайда А\, А2, ... , А(аксиомалары
системасыньщ интерпретациясы құрылды дейді де, М жиыны-
ның езін Т текті структураның моделі дейді.
М ы с а л. М жиыны элементтері нақты сандар болатын екін-ші рстті квадрат
матрицалар жиыны болісын. Әдеттегі әдіспен матрицаларды қосу және оларды й
өрісіндегі нақты сандарға көбейту операцияларын қолданып, М жиыны
нақты^сандардың И өрісі үстіндегі 4 өлшемді векторлық кеңістіктің моделі
бола-тындығын көреміз.
Сонымен, А\, А2, . . . , А(аксиомалары системасының қан-шылықсыздығын
дәлелдеу үшін оның әйтеуір бір интерпрета-циясып кұру жеткілікті болады.
Е с к е р т п е. Егер Т текті структураларды анықтайтын база болса, онда
ол текті структуралардың А\, А2, ... , Аі аксиома-лары системасы
қайшылыксыз система (басқаша айтқанда, берілген аксиомалар системасының
интерпретациясын құруға болатынсистема) деп аталады дедік. Кейде
аксиомалардыц мұндай системасын мағынасы бойынша қайшылықсыз система деп
атайды.
Егер системадан логикалық жолмен бірі екіншісін теріске шығарарлық екі
түрлі қорытынды жасалмайтын болса, онда аксиомалардың ол системасын ішкі
қайшылықсыз система деп атайды.
Берілген аксиомалар системасының ішкі қайшылықсызды-ғын тексеру үшін
аксиомалардан шығатын логикалық сөйлем-дердің қорытылу техиикасын зерттеу
керек. Бұл мәселе мате-матикалық логиканың негізгі есептерінің бірі болып
табылады. Біз бұл арада мына бір мәселені ғана атап өтеміз. Егер аксио-
малар системасының мағынасы бойынша қайшылықсыз екен-дігі мәлім болса, яғни
оның интерпретациясы құрылған болса, онда ол аксиомалар системасының ішкі
қайшылықсыздығы жө-ніндегі проблема сол интерпретацияны құрғанда пайдаланыл-
ған ұғымдар системасының ішкі қайшылықсыздығы жөніндегі мәселеге
келтіріледі.
Егер бұл ұғымдар системасының ішкі қайшылықсыздығы мәлім болса, онда
берілген аксиомалар системасының мағына-сы бойынша қайшылықсыздығын
дәлелдей отырып, біз ол сис-теманың ішкі қайшылықсыздығын да дәлелдеген
боламыз.
Сонымен, егер математикалық логика заңдылықтары арқы-лы логикалық
қорытындылар шығару техникасын зерттеп қа-растырмай, тек геометрия
мәселелерімен шектелсек, біз аксио-малардың берілген системасының мағынасы
бойынша қайшы-лықсыздығы жөніндегі мәселені ғана шеше аламыз.

1- А\, Ач, . . . , А(аксиомаларының системасы қайшылықсыз (мағынасы
бойынша) және, сондықтан, негізгі қатынастары Ді, А2, - . . , Ай болатын Т
текті структураларды анықтайтың болсын.
М' жиыны үстінде А қатынастарға нақты Аі, Д2, ... , А& мағыналар
берілсін де, солар бойынша А\, А2, . . . , А(аксио-маларының бәрі де
орындалатын болсын. Сонда М' жиыны үс-тінде а'^.Т структурасы анықталады
деуге болады. Сондай әдіспен М" жиыны үстінде А қатынастарының нақты А^,
А^, ... , А"һмағыналары болатындай о"=Т структурасы анықтал-сын. Егер
І:М'-*М"\(х'; у',... , о')еД; =(Ңх'), \(у'), ... , 1('о'))^А), яғни х',
у', ... , а'еМ' элементтері А қатынасында, оларға сәй.кес ](х'), і(у'),
... , [(о')еМ" элементтері А"}қатынасында биекция бар болса (әдетте
изоморфизм деп аталатын), онда а' және а" структуралары изоморфты
структуралар деп аталады (ал М' және М" модельдері изоморфты модельдер деп
ата-лады).
М ы с а л. Т абельдік группа структурасының тегі болсын. Осы
тектегі нақты екі структураны карастырайык:
' — аддитивтік группа ретінде накты сандардың Rжиыны,
"—мультипликативтік группа ретінде оң сандардың R+ жиыны.
f(х) — Iп х, хR+

заңы арқылы берілетін }: К+ -Ябиекциясын карастырайық.
Iп(ху) = Iп х+Iп у болатындықтан, f(ху)= f (х)+ f (у), демек, '
және" структуралары изоморфты структуралар болады (не-месе, кейде
айтылатынындай, Rмен R+группалары изоморф-ты группалар дейді).
Үстінде о структурасы анықталған М жиынының өзіне-өзі-нің изоморфизмі
сол жиыннын автоморфизмі деп аталады.
М ы с а л. п өлшемді векторлық кеңістік үстінде анықталған әрбір
азғындамайтын сызықтық оператор сол кеңістіктің авто-морфизмі болып
табылады. (Өздеріңіз тексерініздер).

2 – лекция
Евклид және оның Бастамалары. V постулат.

Адамдардың алғашқы геометриялық тусініктері палеолит дәуірінде (яғни жүз
мыңдаған жылдарға созылған ежелгі тас дәуірінде) қалыптаса бастаған болса
керек. Палеолиттің соңғы кезінде адамдар өздері паналаған мекен-үңгірлерді
суреттер-мен және мүсіндермен мәнерлейтін болған. Аңшылық пен ба-лық
аулаушылықтан жер кәсібіне жеткен адамдар неолит дәу-іріне (жаңа тас
дәуіріне) көшкен. Бұл шамамен 10 мың жыл кейін болды. Сол кезде деревнялар
бой көтеріп, қолөнер (бал-шықтан ыдыстар жасау, өрмек тоқу, ағаш ібұйымдар
жасау т. б.) мен сауда дами бастады, бұлар сан ұғымының қалыпта-суына
себепші болды. Заттардың ұзындығын, бетінің ауданын және көлемін өлшеу
кажет болды.
Адамдардың күнделікті практикалық қызметі кезінде біртіндеп жазықтықтағы
және кеңістіктегі фигуралар жөніндегі түсініктер сараланып, фигуралардың
өте-мөте қарапайьтм қа-сиеттері байқалды.
Ежелгі Вавилон мен Египеттің өте ерте замаңдағы мәдениетінің бізге жеткен
ескерткіштері бүл елдерде геометрия жада-ғай эмпириялық сипатта жүріп, әр
түрлі есептердің дербес жағ-дайлардағы шешімдерінің жиынтығы түрінде
болғандығын көрсетеді. Мәселея, египеттіктер біздің эрамызға дейіпгі II мың-
жылдықта үшбұрыштың ауданы мен дурыс тертбұрышты киық пирамиданың кәлемін
дәл есептеп шығара білген.
Вавилон геометриясы да, египет геометриясы сияқты, өлшеу-ден туған
практикалық есептер негізіндс дамыған. Вавилон-дықтар біздің заманымыздан
бұрынғы II мыңжылдықтың езін-де Пифагор теоремасы деп аталған сөйлемді
білген. Вавилонда астроігомия ғыльтмы елеулі табыстарға жеткен.
Ежелгі Шығыс елдерінің (Вавилон мен Египет) математикасында ешқандай
дәлелдемелер болмағандығын атап айту керек, оларда тек: есептеп шығар
дейтін жалаң ережелер ғана болған.
Біздің заманымыздан бұрынғы VII ғасырда геометрияны грек ғалымдары дамыта
бастады. Аңыз бойынша, грек мате-матикасының атасы гректердің мемлекет
каласы Милеттен шыққан көпес Фалес деп есептеледі. Грек көпестері Ежелгі
Шығыстың математикасымен танысып, Шығыс ғалымдары теориямен жөнді
шұғылданбағандығын аңғарған. Былай есептеп шығар дейтін іережелер бар,
бірақ мынадаій сұраққа жауап жоқ: неге осылай ғана шығарамыз, дұрыс
шығарғандығымызды қайдан білеміз?
Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына іргелес бұрыштарының касиеттері
жөніндегі, вертикаль бұрыштардың қасиеттері жө-ніндегі және басқа да кейбір
теоремалардың дәлелдеімелерін Фалес (б. э. дейінгі 640—548 жылдар шамасы)
ашқан делінеді. Фалес философтардың Ионий мектебінің негізін салушы болып
табылады.
Пифагордың (б. э. дейінгі 570—471 жылдар шамасы) фило-софиялық мектебінде
математика айырықша орын алған. Бұл мектептің идеялық жолын ұстағандар —
пифагоршылдар — үшбұрыш бұрыштарының қосындысы туралы теореманы, Пифагор
теоремасының дәлелдемесін, дұрыс көпжақтардың бес типі бар екендігін, ортақ
өлшемдері жоқ кесінділердің болатын-дығын (мұны Пифагордың шәкірті Гиппас
тапқан) ашқан деп есептеледі.
Демокрит (б. э. дейінгі 470—370 жылдар шамасы) дүниені затсыз кеңістікте
қозғалып жүрген атомдардың жиыны деп есептеген. Атомдар (яғни
бөлінбейтіндер) — бөліктері бол-майтын, бірақ белгілі бір мөлшіерлері
болатын, материалдық элементтер. Демокрит бөлінбейтіндер әдісін пайдаланып,
пира-мида мен конустың кәлемдері туралы теоремаларды ашқан. Бертін бұл
әдісті Архимед, Декарт, Галилей, Қавальери ,қол-данған.
Пдатон (б. э. дейінгі 429—348 жылдар шамасы) әуелі гео-метриямен танысу
керек, философияны содан кейін оқу керек деп үйреткен. Оның академиясының
маңдайшасында мынадай, тақтайшаға жазылған, жазу тұрған: Геометрияны
білмейтін-дер мұнда кірмесін. Платонның ізбасарлары теоремалардьщ басым
кепшілігін сол Платон ашқан деген. Әрине, бұл — тым асырып айтылған сөз.
Платонның сіңірген еңбегі шәкірттерін ойлай білуге, логикалық іқорытындылар
жасай білуге үйрету-інде жатыр, соның арқасьгнда математикалық
пайымдаулардың дәлдігі мен логикалық жүйелілігі артты.
Платон кәне заман философиясында аса ірі идеалист бол-ды, Демокриттің
материализміне қарсы күресті. Ол математи-када Демокриттің бөлінбейтіндер
әдісін қолдануға тыйым сал-ды, онысы, сөз жоқ, математиканың дамуына бөгет
жасады.
Евдокс (б. э. дейінгі 410—356 жылдар шамасы) — пропор-циялардың
геометриялық теориясын жасағая ғалым, гректер иррационал сандарды білмейтін
еді, бұл сандардың теориясы арқылы шешілетін мәселелер пропорциялар аркылы
шешілетін еді. Сонымен қатар Евдокс тауысу әдісін ашты, бұл әдістің не-
гізгі қағидасы мынадай: Егер А шамадан -5- А немесе одан
гөрі үлкенірек бөлігін алса, қалдығынан, тағы да солай, жар-тысын немесе
одан гері үлЛетПрек бөлігін алса, осылай кайта-лап ала берсе, шамасы кез
келген алдын ала берілген шамадан кіші болатын қалдыққа жетуге болады.
Евдокс осы әдіспен пирамиданың, конустың және шардың көлемдерін тапқан.
Евдокстың шәкірті — Менехм конустық қймаларды ашты, бүл сызықтарды
Аполлоний зор білгірлікпен зерттеді.
Аристотель (б. э. дейінгі 384—322 жылдар) — ежелгі заман-ның аса ірі
философы, формальды логиканың негізін салушы. Геометриямен ол тікелей
шұғылданған жоқ.
Сонымен, математика Грецияда философиямея ынтымақтаса отырып дамыды.
Б. э. дейінгі III ғасырдың басында гректерде кептеген гео-метриялық
фактілер мен оларды дәлелдеу әдістерінің сұрыпта-лып жиналған мол қоры
болды. Осы кезде белгілі геометрия-лық материалды түгел жинап алу және оны
логикалық жағы-нан тәртіпке келтіру мәселесі көтерілді. Бұл мәселені шешуге
кептеген грек авторлары (Гиппократ, Федий т. б.) талаптанды, бірақ олардың
жазған шығармалары бізге жетпей өшіп кетті, Евклидтің Негіздері шыққаннан
кейін олар мүлде ұмыт болды.
Евклид (б. э. дейінгі 330—275 жылдар) — Платон мектебі-ніц тәрбиесін
алған ғалым, кейін Александрияда математика-дан сабақ берген. Оның
Негіздерінде геометрияның негізгі арнасы жүйелі түрде баяндалған, бұл
еңбектің зор шеберлікпен жазылгандығы сонша, геометрия ғасырлар бойы осы
шығарма бойынша оқытылып келген.
Епклидтің Негіздері 13 кітаптан (яғни тараудан) құра-лады.
1. - к і т а п. Үшбұрыштар туралы теоремалар, параллель тү-зулердің
теориясы, үшбұрыштар мен көпбұрыштардың тең ша'-малы болу шарттары, Пифагор
теоремасы.
2. - к і т а п. Көпбұрышты оған тең шамалы болатын квад-ратқа айналдыру.
3. - к і т а п. Шеңбер.
4. - к і т а п. Іштей және сырттай сызылған көпбұрыштар, дұ-рыс п-бұрышты
салу жолдары (п = 5, 6, 10, ал п = Ъ жағдай 1-кітапта қарастырылған
болатын).
5. - к і т а п. Пропорциялар теориясы.
6. - к і т а п. Көпбұрыштардың ұқсастығы.
7, 8, 9 - к і т а п т а р. Геометриялық жолмөн баяндалған арифметика.
10 - к і т а п. Ортақ елшіемі жоқ шамалар.
11, 12, 13-кітаптар. Бұларда стереометрияның негіздері баяндалған, ал 13-
кітап түгелімен дұрыс көпжақтар жөншдегі ілімге арналған.
Геометрияның Евклидтің тұсында ғалымдарға мәлім болған бірталай материалы
(мысалы, конустық қималар теориясы, жо-ғары ретті қисық сызықтар)
Негіздерде айтылмаған.
Әрбір кітап сол кітапта кездесетін ұғымдардың бәрінің аяықтамаларын
келтіруден басталып отырады. Мәселен, 1-кі-таптың бас жағында 23 анықтама
берілген. Солардың кейбі-реулерін келтірейік.
1) Нүкте дегеннің бөлігі жоқ.
2) Сызық дегеніміз ені жоқ ұзындық.
3) Түзу сызық дегеніміз сол сызықтың бойындағы нүктелер бойынша біркелкі
орналасқан сызық.
4) Бет дегеннің тек ені мен ұзындығы ғана болады.
5) Жазықтық дегеніміз сонда жататын барлық түзулер бо-йынша біркелкі
орналасқан бет.
Аныіқтамалардан кейін Евклид дәлелдемесіз қабылданатын сейлемдерді
келтіреді, оларды постулаттар және аксиомалар деп екі түрге бәледі.
Постулаттар I. Кез келген нүктеден басқа бір кез кел-гей нүктеге дейін
түзу сызық жүргізуге болатындығы талап еті-леді.
II. Әрбір (шектеулі) түзуді қажетіяше соза беруге болатын-
дығы талап етіледі.
III. Кез келген центрден кез келген радиуспен шеңбер сызуға болатындығы
талап етіледі.
IV. Тік бұрыштардың бәрінің бірдей болуы талап етіледі.
V. Әрдайым екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде үшін-
ші түзудің бір жағында қосындысы екі тік бұрыштың қосын-
дысынан кем (кіші) ішкі тұтас бұрыштар құралатын болса,
шектеусіз оозғанда алғашқы айтылған екі түзудің қиылысатын-
дығы және қосындының екі тік бүрыштың қосындысынан кем
жағында -қиылысатындығы талап етіледі.
Аксиомалар I. Әрқайсысы өз алдына үшінші бір ша-маға тең екі шама біріне
бірі тең болады.
II. Тең шамаларға тең шамаларды қосқанда шығатын қо-сындылар да тең
болады.
VII. Бірінің орнына екіншісі дәл келетін фигуралар біріне бірі тең
болады.
Содан кейін Евклид геометрияның теоремаларын баяндай-ды, бұл
теоремалардың әрқайсысы бұрын қарастырылған тео-ремаларды, постулаттарды
және аксиомаларды ғана пайдаланып, дәлелдеуге боларлықтай етіліп, реттелген
жүйе бойынша орналастырылады.

3-5 – лекция
Гилберта аксиомалар жүйесі.

1899 ж. неміс математигі Д. Гильберттің Геометрия негіз-демелері атты
атақты кітабы басылып шықты. Бұл кітапта тұңғыш рет евклидтік
геометрияны логикалық жолмен кұруға жеткілікті болатын аксиомалардың тізімі
келтірілді. Осы күнгі математикадағы а.ксиоматикалық әдіс пен
математикалық структуралардың қазіргі тұрғыдан қарастырылатын теориясы
(яғни Н. Бурбаки тобы қалыптастырған түсініктер) Гильберт-тің осы
Геометрия негіздемелерінен басталады деуге болады.
Гильберттің баяндауы бойынша евклидтік кеңістік струк-турасының базасы үш
жиыннан — Е,Ғ,G жиындарынан — тұрады. Бірінші Е жиынының элементтері
нүктелер деп аталады да,
А, В, С, ... , әріптерімен белгіленеді, Ғ жиынының элементтері түзулер деп
аталады да, а, b, с, ... әріптерімөн белгіленеді, G жиынының элементтері
жазықтықтар деп аталады да (немесе ) әріптерімен
белгіленеді.
Базаның жиындары үстінде тиісті (немесе жатады), ара-сында жатады
және конгруэнт сөздерімен белгіленетін қа-тынастар болады. Бұл
қатынастардың нақты сипаты қандай екендігі елеулі роль атқармайды, тек сол
қатынастар төменде тізімі келтірілетін аксиомаларды қанағаттандыратьш
болса, болғаны (бұл аксиомалар осы қатынастардың айқын тұжырымдалған
қасиеттерін көрсетеді).
Гильберт аксиомаларының тізімінде 20 аксиома бар, олар
бес топқа бөлінген.
Ітоптағы аксиомалар — іліктестік аксиомалары.
Жатады, яғни іліктестік белгісін біз таңбасы арқылы
белгілейміз. Бірінші топқа мынадай сегіз аксиома бар:
Мұндай а түзуі біреу ғана болады (ол (АВ) деп те
белгіленеді).

217
13. Бір түзуде жатпайтын ең кем дегенде үш нүкте болады.

Егер А, В, С нүктелері бір түзуде жатпаса, былай жазып көрсетеді:

немесе немесе

Мұндай жазықтық біреу ғана болады (ол (АВС) деп те белгі-ленеді).

Ів. (А, В=а, АфВ; А, В=П, С=а)=С=П.
Бұл жағдайда а түзуі П жазықтығында жатады дейді немесе П жазықтығы а
түзуінен өтеді дейді.

Бұл аксиомалар бойынша мынадай төореманы дәлелдеуге болады: кез келген
жазықтықта бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте болады.
Птоптағы аксиомалар — рет аксиомалары.
Егер В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жататын болса,
біз оны былай жазып көрсетеміз:
-түзудің әр түрлі үш нүктелері.

113. Түзудің әр түрлі үш үктесінің екеуінің арасында жата-
тывының саны бірден аспайды.
Бұдан кейін, қатынасын пайдаланып, кесінді мен оньщ ішкі
нүктелерінің әдеттегі анықтамаларын және сәуленің анық-тамасын беруге
болады.
114. (Паш аксиомасы). А, В, С нүктелері бір түзуде жатпай-
тын нүктелер, ал а түзуі (АВС) жазықтығының айтылып отыр-
ған үш нүктесінің ешқайсысынан өтпейтін түзу болсын. Егер
а түзуі кесіндісінің ішкі нүктесінен өтетін болса, онда ол
түзу [АС] кесіндісінің ішкі нүктесінен де немесе [ВС] кесінді-
сінің ішкі нүктесінен де өтеді. Айтылып отырған а түзуі [АВ],
[АС], [ВС] кесінділерінің үшеуін бірдей қиып өте алмайтын-
дығын дәлелдеуге болады.
I және II топтардағы аксиомалардан шығатын кейбір теоре-маларды көрсете
кетейік.

Әрдайым түзудің әр түрлі үш нүктесінің біреуі ғана қалған ексуінің арасында
жатады.
Кез келген кесіндідегі нүктелердің жиыны шексіз болады.
П жазықтығында жататын а түзуі сол II жазықтығының а түзуінде жатпайтын
нүктелерінің жиынын екі бөлікке бөледі.
Бұдап кейін жарты жазықтық пен оныц шекарасьшық әдеттегі анықтамаларын,
бұрыш пен оның қабырғаларының анықтамаларын және көпбұрыштың анықтамасын
тұжырымдауға болады.
5. Егер түзу дөңес бұрыштың төбесінен өтіп, оның ішкі об-
лысындағы нүктелер жиынымен кұр (бос) жиыннан өзгеше

қиылысу жасайтын болса,онда ол түзу ұштары бұрыштың
қабырғаларында жататын кесіндіні қиып өтеді.
Ескере кететін бір жәйіт мынадай:біз I және II топтардағы
аксиомаларды пайдаланып,түзудің нүктелерінің жиыны шексіз
екендігін тағайындаймыз.Бірақ бұл аксиомалар арқылы түзудегі
нүктелердің жиыны саналымсыз жиын екендігін дәлелдеуге
болмайды.
III топтағы аксиомалар - конгруэнттік аксиомалар.
Конгруэнттікті таңбасымен белгілейміз.
Егер кесіндісі мен сәулесі берілсе, онда
Мұндай нүктенің біреу ғана екендігін дәлелдеуге
болады.

Дөңес бұрышы, сәулесі және түзуімен
шектелген жарты жазықтығы берілсін.Онда жарты
жазықтығында қатынасын қанағаттандыратын бір ғана
сәулесі болады (163-сурет).
Сонымен қатар,әрбір бұрыштың өзі-өзіне конгруэнт болуы,яғни
әрдайым болуы талап етіледі.
Егер екі үшбұрыш – ABC және үшбұрыштары –үшін
болса,онда болады.
Конгруэнттік аксиомаларынан шығатын кейбір теоремаларды атап
өтейік.
1.Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары конгруэнт
болады.
2.Үшбұрыштардың конгруэнттігінің бірінші,екінші және үшінші
белгілері дұрыс болады (мұнда
болғанда ABC үшбұрышы үшбұрышына кнгруэнт үшбұрыш
деп аталады).
3.Конгруэнттік қатынас кесінділер жиыны үстінде де, бұрыштар
жиыны үстінде де эквиваленттік қатынас болып табылады.
Бұдан кейін кесінділерге қатысты ‹үлкен› және ‹кіші ›
ұғымдарының әдеттегі анықтамалары беріледі де, кесінділерді
салыстырудың қасиеттері тағайындалады.Бұрыштар жөнінде де
осындай анықтамалар мен қасиеттер баяндалады.
4.Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теорема (үшбұрыштардың
сыртқы бұрышы онымен сыбайлас болмайтын ішкі бұрыштарының
әрқайсысынан үлкен болады) .

5. Әрбір үшбұрыштың үлкен бұрышының қарсысында оның үлкен
қабырғасы жатады.

6.Кез келген кесіндіні қақ бөлуге болады.

IV топтағы аксиомалар - үздіксіз аксиомалары.

(Архимед аксиомасы) . мен берілген кесінділер
болсын (164-сурет) .Онда (AB) түзуінің бойында нүктелерінің
төмендегі шарттарды қанағаттандыратын шекті жиыны болады:

(Контор аксиомасы).Бір түзуінің бойында

кесінділерінің мынадай екі шартты қанағаттандыратын шексіз
тізбегі берілсін:

) әрбір келесі кесінді өзінің алдында айтылатын
кесіндінің бөлігі болып табылады;

б) кез келген алдын ала берілген кесіндісі үшін

теңсіздігі орындалатындай натурал сан табылады.

Онда түзуінің бойында берілген тізбектің
кесінділерінің әрқайсысына жататын M нүктесі болады (165-сурет).

Мұндай M нүктесінің біреу ғана болатындығы түсініктң.. Шынында
да, нүктесі де берілген тізбектегі кесінділердің әрқайсысына
жатады деп ұйғарсақ, n саны қандай болса да, болар
еді,ал ондай қорытынды аксиомаға қайшы келер еді.

I-III топтардағы аксималар сол қалпында сақталғанда

аксиомалары мынадай Дедекинд сөйлеміне эквивалент
болатындығын дәлелдеуге болады. кесіндісіндегі нүктелердің
кластарына бөлшектеуі,атап

айтқанда Ǿ бөлшектеуі, берілсін және ол мынадай екі шартты
қанағаттандырсын:

1) және кластарында A,B нүктелерінен өзгеше
нүктелер де бар,

2) егер және болса, қатынасы дұрыс болады.

Онда

кесіндісінің 1-2 шарттарды қанағаттандыратын
кластарға бөлшектенуін дедекиндтік қима деп атайды.

нүктесін осы қиманы шығаратын нүкте дейді.Мұндай нүктенің
біреу ғана болатындығын дәлелдеуге болады.

V топтағы аксиомалар – параллельдік аксиомасы.

түзуі мен нүктесі берілсін.Онда
жазықтығында жатып, А нүктесінен өтіп, түзуімен қиылыспайтын
түзулердің саны бірден аспайды.Ондай (А нүктесінен өтіп,
түзуіне параллель болатын) түзудің болатындығы жоғарыда дәлелденген.

1-ескертпе.Гильберттің аксиоматикасын біз оқу құралдарында
айтылып жүргеніндей етіп баяндадық.Гильберттің Геометрия
негіздемелерінде IV топтың аксиомасы ретінде параллельдік
аксимасы,ал V топтың аксиомалары ретінде үздіксіздік аксиомалары
алынған, мұнда Гильберт Кантор аксиомасының орнына басқа аксиома
алып,оны сызықтық толымдылықтың аксиомасы деп атаған.Бұл аксиоманың
тұжырымдауы тым шұбалаңқы,сондықтан біз оны келтірмейміз.
2-ескертпе. Үздіксіздік аксиомаларын пайдаланып, нақ-ты сандардың Е
жиыны үстінде түзу нүктелері жиынының ретін сақтайтын биекция болатыңдығын
дәлелдеуге болады. Сонымен, түзудің бойыңдағы нүктелер, К жиыиындағы
сандардай, үздіксіз, біріне-бірі иін тіресе орналасады.
2. Үш өлшемді нақты евклидтік кеқістікке арналған Вейль аксиомаларының
системасын деп, ал Гильберттің I—V ак-сиомаларының системасын
деп белгілейік.
Егер теориясында системасының барлық сөйлем-дері
дұрыс болса, ал теориясында системасының барлық сөйлемдері
дұрыс болса, онда пен системалары өзара эквивалент системалар
деп аталады. Бұл жағдайда біз бір ғана теорияға келеміз: = және
принциптік жағынан алғанда аксиомалардың пен системаларының
қайсысын негізгісі деп есептесе де бәрібір. Алайда бүл тек принциптік
жағынан ғана солай. Ал практикада аксиомалар системасының (аксиомалардың
өзара эквивалент системалары жиынынан) сәтті түрде таңдалып алынуы
теорияиың жасалуын айтарлықтай оңайлатуы мүмкін.
Аксиомалардың және системаларының біріне-бірі
эквивалент екендігін дәлелдеуге болады.
Ескертпе. £3 евклидтік кеңістіктің структурасын анық-тағаида Гильберт
те Евклидте болған Е, Ғ, 0 жиындарының базасын алады және Гильберт негізгі
қатынастарды атап көр-сетеді (Евклид бұл қатынастарды атап көрсетпеген,
Евклид за-манындағы математика жағдайында оларды ешкімиің де атап көрсетуі
мүмкін емес еді), осы қатынастардың қасиеттерін си-паттайтын аксиомалардың
тізімін береді. Сонымен, Гильберттін аксиоматикасы Е3 кеңістігінің
геометриясын Евклидтің өз ру-хында жасауға бейімделген.
Жоғарыда айтылғанындай, осы күнгі аксиоматикалық әдіс те, қазіргі
мағынадағы математикалық структуралардың теориясы да Гильберттің
Геометрия негіздемелерінен басталады. Сондықтан Гильберттің бүл кітабы
математика тарихында берік орын алды.
Алайда қазіргі ғылым түрғысынан алғанда Гильберттің ак-сиоматикасы тым
күрделі және қажеттен тыс шұбалаңкы болып табылады (мүның солай екендігі
белгілі алгебралык структуралардың, мәселен, группаның, сақинаның, ерістің,
ак-сиоматикаларымен салыстырғанда айқын көрінеді). Бұл аксио-матика аркылы
геометрияның түйінді теоремаларына жеткенше, оған дейінгі аралықтағы сан
алуан леммалардың, теоремалардың және салдарлардың шытырманынан өткенше,
шыдамдылықпен көп күш жүмсау керек.
Гильберт аксиоматикасының тағы да бір кемшілігі оның векторлық кеңістік
ұғымымен ішкі байланысының жоқтығы болып табылады, ал қазір бұл кеңістік
математикада аса мадызды роль атқарады. Неміс математигі Герман Вейль 1918
жылы кеңістіктің өзі құрастырған аксиоматикаын ұсынды, онда векторлық
кеңістік ұғымы кең түрде қолданылады. Вейль үсынған аксиомалардың тізімінде
15 аксиома бар. Онда алдымен 1—2-аксиомалар келтіріледі, олар осы кітапта
пайдаланылып отыр. Одан кейін векторлық кеңістіктің 8 аксиомасы,
өлшемділік аксиомасы делінетін (өшірулердің V кеңістігінің өлшемділігін
тағайындайтын) бір аксиома және V векторлық кеңістігі үстінде берілген g
бисызықтық форманың қасиеттерін тағайындайтын төрт аксиома бар.
Қазір, векторлық кеңістіктің теориясы математиканың барлық
салаларын;кеулеп кеткен жағдайда және алгебра курсында жан-жақты айтылатын
жағдайда евклидтіік кеңістік структурасын анықтауда векторлық кеңістіктің
структурасын әбден мәлім деп есептеу қолайлы болады. Онда Вейль
аксиоматикасын, осы кітапта баяндалып отырғанындай, қарапайым түрде
келтіруге болады.
Евклидтік кеңістік структурасын анықтаудың басқаша жолдарын неміс
математигі Ф. Бахман мен француз математигі Г. Шоке ұсынады. Ф. Бахман
өзінің теориясының негізіне осьтік және центрлік симметрияларды алады да,
геометрияны өзінше бір симметриялар есептемесі ретінде дамытады. Г.
Шокенің аксиоматикасы параллельдік, перпендикулярлық және ара қашықтық
ұғымдарына негізделген, бұл теория да белгілі бір мағынада Вейль мен Бахман
аксиоматикаларының аралығынаи орын алады деуге болады.

6-7– лекция

Лобачевский және оның геометриясы. Лобачевский аксиомалары. Лобачевский
жазықтығында аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы.

Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) Нижний Новгородта
(қазір Горький қаласы) туған. Ол Қазан университеті жанындағы гимназияны,
содан кейін Қазан университетін бітірген, бітіргеннен кейін сонда
оқытушылық қызметке қалдырылған. Професоор болып көп жыл осы
университетте еңбек еткен, тек өмірінің соңғы жылдарында ғана қызметтен
босаған. 1826 ж. 7 февральда (ескі санат бойынша) Н. И. Лобачевский
Қазан университетінің физика-математика факультетіне Геометрия
принциптері жөніндегі пайьшдаулар деген атпен параллель түзулердің
теориясы туралы баяндамасын тапсырған. 1829 ж. ол Қазан
университетінің ғылыми жазбаларында өзінің Геометрияның бастамалары
туралы атты мақаласын жариялаған. Бұл мақала жаңа геометриядан
жарияланған ең алғашқы жұмыс еді. Одан кейінгі жылдарда Лобачевский
геометриядан тағы да бірталай шығармалар жазып бастырды.
Н. И. Лобачевский өзінің жариялаған еңбектерінде Евклидтің V постулатын
геометрияның қалған аксиомаларынан қорытып шығаруға болмайтындығын айқын
тұжырымдап және негіздеп берген тұңғыш ғалым болды. Оған дейін V постулат
проблемасымен шұғылданған ғалымдар — Прокл, Хайям, Вал-лис, Ламберт,
Саккери, Лежаңдр т. б. V постулатты дәлелдеу мақсатын алға қойған болса,
Лобачевский алдымен осы посту-латты мүлде алып тастайды да, оның орнына
мынадай аксиома (Лобачевский аксиомасы) келтіреді:
V*. а түзуі мен Аа нүктесі берілсін. Онда (А, а) жазықты-ғында А
нүктесінен өтіп, а түзуін қиып өтпейтін ең кем деген-
де екі түзу болады.
V* аксиомасы мен Евклид геометриясының барлық аксио-маларын (V
постулаттан басқасьш) пайдалана отырып, Лобачевский өзінің жазықтықтағы
және кеңістіктегі геометриясын дамытады, тригонометриялық формулаларды
табады және ана-лиздің осы жаңа геометрияда қолданылуын көрсетеді. Жаңа
геометрияны ғалым өзі болжал геометрия деп атады (ол кейін Лобачевский
геометриясы немесе гиперболалық геометрия деп аталатын болды). Өзінің
геометриясы еш уақытта кайшылықтарға келтірмейтіндігін дәлелдеу
мақсатымен, Лобачевский бұл геометрияның аналитикалық зерттеуін келтіреді
және бұл проблеманы (қайшылықсыздық проблемасын) өз заманы тұр-ғысынан
алғанда қанағаттанарлық дәрежеде шешеді.
Лобачевский өзінің геометриясының математикалық анализде жемісті түрде
қолданылуы мүмкіндігін көрсетті: ол соған дейін шығарылмай келген көптеген
интегралдарды есептеп шығарып берді.
2.Лобачевский геометриясының ол қабылдаған аксиоманың
тікелей салдары болып табылатын ең қарапайым фактілерін
атап өтейік.
1-теорема.Кез-келген ABC үшбұрышының ішкі бұрыштарының
қосындысы 2d-ден кем болады.
■ Саккери-Лежандырдың 1-теоремасы бойынша
Ал деп ұйғарсақ,V постулат дұрыс болып шығады,ол V*
аксиомаға қайшы келеді.Сондықтан,
■
Салдар.Кез келген жай төртбұрыштың ішкі бұрыштарының
қосындысы 4d-ден кем болады.

■ ABCD жай төртбұрышының ішкі бұрыштарының қосындысы
2-теорема.Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы тұрақты шама емес,
басқаша айтқанда, ол қосынды барлық үшбұрыштарда бірдей
болмайды.
■ Керісінше ұйғарып,бұл қосынды тұрақты делік. пен
нүктелері үшбұрышының және қабырғаларының
ішкі нүктелері болсын (166-сурет). Ұйғаруымыз бойынша яғни
(1)
(2)

Шығады,яғни жай төртбұрышының ішкі бұрыштарының қосындысы
4d-ге тең болады.Бұл қорытынды 1-теореманың салдарына қайшы
келеді.Сондықтан, ■
3-терема.Егер ABC үшбұрышының үш бұрышы үшбұрышының
өздеріне сәйкес үш бұрышына конгруэнт болса,онда ол үшбұрыштар
конгруэнт болады.
■ ABC мен үшбұрыштарында болсын. деп
ұйғарайық,нақтылық үшін делік.Онда болады (167-сурет).
Енді нүктесін

алайық. Сонда Δ АВ"С" Δ А'В'С’ болады (конгруэнттіктің 1
белгісі бойынша). Сондықтан,
1В,
2.С. (3)
[ВС] ∩ В"С"] = болатындығын дәлелдейік. Керісінше ұйғарайық: [ВС] ∩
[В"С"]=М болсын. Бұл жағдайда екі мүмкіндік болады:
а) М = С,
б) μ(ВМС).
Осыларды қарастырып керейік.
а) Егер М = С болса, С" = С, сондықтан 2.С болады,
ол (3) шартқа қайшы келеді (168-сурет).^
б) Егер μ(ВМС) деп ұйғарсақ (169-с-урег), MCС" үшбұры-
шында 2С болады, мұндай қорытынды үшбұрыштың
сыртқы бұрышы туралы теоремаға іқайшы келеді.
Сонымен, [ВС] ∩ [В"С"]=0. Бұдан μ(АС"С) шығады. Сонда
1 + 3 = 2d, 2 + 4 = 2d, (4)
(3), (4) 3+ В = 2d, 4+С=2d.
Демек, ВВ"С"С дөңес төртбұрышының ішкі бұрыштарының косындысы 4d-ге тең
болып шығады, мұндай қорытынды 1-теореманың салдарына қайшы келеді. Сөйтіп,
[АВ]≠[А'В'] дейтін ұйғарым қайшылыққа әкеледі. Демек, [AB][A'B']және
АВСА'В'С болады (конгруэнттіктің II белгісі бойынша).
4-теорема. а және а' тузулері бір жазықтықта жатып, қиылыспайтын болсын,
А, В, Са μ(АВС) болсын; А' және В' нүктелері сәйкес А жэне В
нуктелерінің а' тузуіндегі ортого-наль проекциялары болсын. Онда
А'АСВ'ВС болады (170-сурет).
Керісінше ұйғарайық: А'АСВ'ВС. Осы теңсіздіктің скі жақ
бөлігіне де АВВ' бұрышын қоссақ,
А'АС+АВВ'2d,
демек, А'АВВ' дөңес төртбұрышының ішкі бұрыштарының қо-

171-сурет. 172-сурет.
сындысы 4d-ден кем емес больіп шығады, ал мүндай қорытьшды 1-теореманың
салдарына кайшы келеді.
5-теорема. Жазықтыңта а түзуі мен Аа нүктесі беріл-сін. Онда осы
жазықтықта жатып, А нүктесінен өтіп, а түзуін қимайтын түзулердің шексіз
жиыны болады
Лобачевский аксиомасы бойынша А нүктесінен өтетін және а түзуін қимайтын
екі түзу b мен с түзулері болады (171-сурет). a түзуі с түзуімен шектелген
жарты жазықтықтардың біреуінде ғана жатады және бұл жарты жазьиқтық b
түзуін [МА) сәулесі бойынша қияды. [МА) сәулесінің толықтауышы болатын
сәуленің бойынан.бір В≠А нүктесін алайық. В нүктесі мен а түзуі екі түрлі
жарты жазықтықта жатады (ол жарты жазықтықтардың шекарасы с түзуі болады).
Сондықтан, егер Dа болса, [BD]∩c = С болады.
N нүктесі [ВС] кесіндісінін ішкі нүктесі болсын. Керісінше үйғарайық:
(АN) ∩а=S болсын. [АN)[с, В) және [с, В)а = 0 болатындықтан,
S[АN) болады. Демек, 5 нүктесі [АN') сәулесінің толықтауышы болатын
[АN̍) сәулесінің нүктесі.
NDS үшбүрышы мен b түзуіне Паш аксиомасын қолданайық. Ь түзуі бұл
үшбұрыштьтң төбелерінін ешқайсысынан да өтпей-ді, оньщ [NS] кабырғасын
қияды, бірақ [ND] қабырғасьш ки-майды. Сондықтан Ь түзуі айтылып отырған
үшбұрыштың [DS] қабырғасын қияды. Сонда біз мынадай корытьшдыға келеміз: а
Ь≠0. Бірақ бүл қорытынды берілгеи шартқа қай-шы келеді. Сондықтан,
(АN)а = 0. [ВС] кееіндісшдегі нүк-телердің жиыны шексіз болғандықтан,
теорема толькқ дәлел-
денді деуге болады.
3. Жазыктықта а түзуі мен Аа нүктесін алайык.
(АВ)A(Ва) және (АС)(АВ) түзулерін жүргізейік (І72-
сурет). 5-теорема бойынша А нүктесінен өтетін, бірак а түзуін қимай-тып
түзулердің шексіз жиыны болады. Осы жиында (АС) түзуі дс болады.Егер
түзу А нүктесінен өтіп, сәуле бойынша ВАС тік бұрышьш қиятып болса, онда
ол түзу [ВС] кесіндісін де қияды. Осы [ВС] кесіндісінің нүктелерін мынадай
заң бойьшша екі класқа, Д' және А"2 кластарына, бөлейік:
М М [ВС] және (МА) ∩a≠,
M К2 М [ВС] және (МА) ∩а=0.
ВС кесіндісінің әрбір нүктесі екі кластың біріне ғана кіре-тіпдігі, сонымен
бірге В, СК2 болатындығы айқын. класында B-ден баоқа
да нуктелер болады. ВАС бұрышының а түзуінде жататын ішкі D нүктесін алсақ,
[АD]∩ [ВС]=М болады. К2 класында С-ден басқа да нүктелер болады,
ейткені V* аксиома бойынша (МА) \ (МА)≠(АС), (МА)∩а= 0 болады және егер осы
тузудің [МА) сәулесі ВАСʹ бұрышы-мен сыбайлас ВАС бұрышының ішкі сәулесі
болса, онда ВАС бұрышының орнына BACʹ бұрышын қарастырамыз.
М0, М0≠В және N0К2 болсын. Онда: μ(ВМ0N0). Кері-• інше ұйғарайық:
М0 нүктесі В мен N0 нүктелерінің арасында жатпайды делік. М0,N0ВС]
және М0 ≠N0 болғандықтан, μ.(ВМйМ0) мүмкіндігі ғана қалады. Бірак олай
болғанда [М0A)∩а=D0 (мұндай нүкте бар, өйткені М0 ) болады.
(АМ0) түзуі ВАО0 үш:бұрышының ішкі N0 нүктесінен етеді, де-мек, бұл тузу
үшбұрыштың [ВD0] кабырғасын қиып өтеді, сон-дықтан ол а тузуін де киып
өтеді. Бірақ N0 (АN0) ∩а = 0 шығады. Қайшылыкка кездестік.
Сонымен, [ВС] кесіндісі нүктелерінің екі класқа, және К2
кластарына, бөлшектенуі дедекинд аксиомасының барлық шарт-тарын
канағаттандырады, сондықтан [ВС] кесіндісі нүктелері-нің жиыны үстінде
дедекинд қимасы болады. Бұл қиманы L нуктесі жасайтын болсын. LК2
екендігін дәлелдейік.
Керісінше ұйғарайық: L. Сонда (АL)∩а=D болады.
D[ВХ)=а∩[(АВ), С) болады (өйткені О нүктесі [ВХ) сәу-лесінің
толықтауыш сәулесінде жатады деп ұйғарғанда үшбұ-рыштың сыртқы бұрышы
туралы теоремаға қайшы корытынды-ға келеміз).
Р[ВХ) μ(ВDР) нүктесін алайық. Онда (АР)∩[LС]= Р0 μ(LР0С) болады
және Дедекинд қимасын жасайтын L нүктесінің қасиеті бойынша Р0К2
болады. Бұл корытынды (АР0)∩a≠ скорытындысына қайшы келеді. Сондықтан,
LК2 және сонымен бірге μ(ВМЬ)М деп корытамыз.
(АВ) түзуі бойынша (АL) түзуіне симметриялы болатьш (АL') түзуін алайык.
Бұл (АL) және (АL') түзулерінің мына-дай касиеттері болады.
а) Бұл түзулер а тузуін қимайды,
б) (АL) және (АL') түзулерінен кұралатын терт вертикаль бұрыштың екеуінің
ішінде орналасатын, төбелері А нүктесінде болатын шоқтың барлық түзулері а
түзуін қиып өтеді, ал қал-
ған екі вертикаль бұрыштың ішінде орналасатын вертикаль шоғы й түзуін
қимайды.
а) және б) қасиеттері болатын (АL) және (АL') түзулерін Лобачевский а
түзуіне параллель түзулер деп, ал ВАЬ бұры-шын А нүктесіндегі а түзуі
бойынша аныкталатын параллель-дік бүрышы деп атаған. Демек, параллельдік
бұрыш Лобачев-ский жазыктығында әрдайым сүйір бұрыш болады. [ВХ') сәулесі
[ВХ) сәулесінің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.