МЕТРИКАЛЫ ЖИЫНДАР

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

МЕТРИКАЛЫ ЖИЫНДАР
1. Кейбір бастапқы ұғымдар
Жиындарды зерттеу, оларды әр түрге сұрыптау, т.б. көптеген мәселелерді
айқындау, жиынның кезкелген екі элементінің ара қашықтығын анықтайтын
ұғыммен байланысты. Математикалық анализде екі нақты санның ара қашықтығы
олардың айырмасының модулі арқылы анықталады. Егер х және у сандары үшін
p(x,y) = [x-y] (1)
ден қабылдасақ, онда осы р(х2у) функциясының мәні х пен у сандарының
қашықтығы деп түсінеміз. Мұндай функцияны кезкелген жиын
элементтерінде анықтауға болады. Мысалы, R2 = RxR жиынының элементтері х =
(х1 х2), у - (У1 У2) жұптары үшін олардың қашықтығы
р(х, у) = [(х1-х2)2 + (у1-у2)2]1 2 (2)
өрнегімен анықталатыны және оның геометриялық мағынасы -
жазықтықта координаттары осы жұптармен анықталған нүктелердің ара
қашықтығы екеңдігі белгілі. Жазықтықтағы нүкте екі сан жұбымен
анықталады, сондықтан оны екі өлшемді кеңістік деп те атайды. Ұқсас түрде,
п-өлшемді Rn кеңістігінің х = (х1,..,хn) және у = (у1,..., уn,)
нуктелерінің ара қашықтығы
р(х,у) = [(Х1 У1)2 + ...+ (хn – уn)2]12 (3)
өрнегімен анықталатыны да белгілі. Жиынның кез келген екі элементінің
қашықтығын анықтайтын р(х,у) функциясы метрика деп аталады. Ал метрика
анықталған жиын метрикалық кеңістік деп аталады.
Метрикалық кеңістіктер кезкелген жиында әртүрлі метрикалар енгізу
нәтижесінде анықталуы мүмкін. Тек метрика анықтайтын р(х,у)
функциясы үшін үш шарт орындалуы қажет. Олар: 1) Кезкелген х пен у
элементтері үшін р(х,у) -р(у,х) (симметрия шарты); 2) р(х,у) 0, ал
р(х,у) = 0 теңдігі тек қана х = у жағдайында ғана орындалуы керек (тепе-
теңдік шарты); 3) Кезкелген х, у, z элементтері үшін р(х,у) p(x,z) і
p(z,y) тендігі орындалу қажет (ұшбұрыш тендігі). Метрикалық кеңістіктер
функционалдық анализде кеңінен зерттеледі.
Нақты сандар R жиыны, онда (1) теңдігімен метрика анықталған соң
метрикалық кеңістік болады. Сондай-ақ, (2)-тендікпен метрик анықталған соң,
координатты жазықтық R2 метрикалық кеңістікке айналады. Жалпы алғанда, "n-
діктер" жиыны R^-де (З)-теңдік арқылы Метрика енгізіп, оны метрикалық
кеңістікке айналдыруға болады.
Математикалық анализде Og(y) ={x: y-δxy+ δ} жиыны У нүктесінің
(симметриялы) 8-маңайы деп аталды. Бұл, басқаша айтқанда, (у - 8 ,
у + δ) интервалында жатқан барлық сандар жиыны. Маңайдың осы анықтамасын
(1) теңдігімен анықталған метриканы пайдаланып екінші түрде жазайық:
08(у)={х : р (х, у) 8} (4)
Әрине, бұл екі жазудың мағынасы бірдей. Бірақ маңайдың (4) түрінде
жазылған анықтамасын метрикалық кеңістіктердің бәрінде де қолдануға болады.
Мысалы, (4)-өрнектегі метрика р(х, у) тендік (2) бойынша R жиынында
анықталса, онда (4) тендігімен координаттық жазықтықтағы у = (у1,у2)
нүктесінің δ -маңайы анықталар еді. Ал бұл 0δ (у) маңайы центрі (уі,у2)
нүктесінде, радиусы δ-ға тең дөңгелектің ішінде жатқан х=(х1х2)
нүктелерінен тұратыны айқын. Сондай-ақ, (4)-теңдіктегі метрика Rn
кеңістігінің элементтері үшін (З)-формуламен анықталса онда 0δ (у) маңайы -
центрі R" кеңістігінің у нүктесінде орналасқан радиусы δ -ға тең шардың
ішінде жатқан х нүктелерінен тұрады.
Бұл курста, негізінде, нақты сандар жиыны, оның ішжиындары туралы сөз
болады. Олар - бір-өлшемі R1 кеңістігіндегі жиындар. Келесі пункттерде
анықталуы метрикамен байланысты осындай жиындардың түрлерін қарастырамыз.
Тапсырма. (1)-(3) теңдіктермен анықталған метрикалардың жоғарыда
айтылған үш шартты қанағаттандыратынын дәлелдеңіз.
2. Ашық және тұйық жиындар.
Алдымен анализден белгілі кейбір ұғымдарды тағы да еске түсірейік.
1-анықтама. Нақты сан Хо-дің маңайы деп, осы нүктені қамтитын кезкелген
интервалды айтады.
Басқаша айтқанда, егер а Х0 b болса, онда а х b теңсіздігін
Қанағаттандыратын х сандарының бәрінен тұратын жиын, яғни интервал (а, Ь),
сол х0 нүктесінің маңайы деген сөз. Анықтама бойынша, осы интервалдың
ішінде жатқан, х0 нүктесін қамтитын интервалдардың қайсысы да осы х0
нүктесінің маңайы болады. Солардың ішінде қайсыбір δ 0 үшін х0
нүктесінің симметриялы 5-маңайы да табылады.
Егер жиының х нүктесі мен бірге осы нүктенің қайсыбір маңайы т осы
жиынға түгел енетін болса, онда мұндай нүкте жиынның ішкі нүктесі деп
аталады.
2-анықтама. Егер А жиынының барлық нүктелері ішкі нүктелер болса, онда
мұндай жиын ашық жиын деп аталады.
Анықтама бойынша, егер А ашық жиын болса, х0 - осы жиынның кайсыбір
элементі болса, онда барлық нүктелері осы А жиынында жатқан және радиусы δ
0 болатын Oδ (x0) маңайы табылады. Мысалы, кезкелген интервал - ашық
жиын: айталық, х є (а, в); яғни а х в болсын. Онда х - а және
в - х оң сандар, олардың кішісін с әрпімен белгілейік. Сонда (х - с , х +
с) интервалы (а, в) интервалына енетінін түсіну қиын емес, яғни х
нүктесімен бірге оның осы маңайы да (а, в) интервалына еніп жатыр, демек,
интервал - ашық жиын. Ерекше бір жеке жағдай, (-∞, ∞) интервалы ашық жиын
екеніне көңіл аударған жөн. Енді ашық жиындардың кейбір қасиеттеріне
тоқталайық.
1-теорема. Ашық жиындардың ақырлы қиылысуы және олардың кезкелген
(ақырлы не ақырсыз) бірігуі ашық жиын болады. Дәләлдеуі.
А1,А2,...,Ак,... жиындарының әрқайсысы ашық жиын болсын. Осылардың
ақырлы қиылысуы А = А1∩А2∩...∩Ак жиынының ашық жиын екенін дәлелдейік.
Кезкелген хєА нүктесін алайық. Қиылысуда жатқан х нүктесі қиылысқан
жиындардың қайсысына да енеді. Х є А1 және А1 ашық жиын болғандықтан, х
нүктесінің радиусы δ1 маңайы А1 жиынына түгелімен енеді. Осыған ұқсас, х
нүктесінің А2,...,Ак жиындарына енетін радиусы 52,..., δк маңайлары
табылады. Осы маңайлардың радиусы ең кішісі А1,...,Ак жиындарының бәріне
де енетіні айқын. Демек, 0δ (х) с А, δ =min{ δ1,..-, δK}- Сонымен, А
жиынына, оның х нүктесімен қатар, осы нүктенің маңайы 0δ (х) енеді екен,
яғни А ашық жиын болғаны.
Енді осы ашық жиндардың кезкелген біріктіруін қарастырайық.
В = A1 A2 ... AK ... болсын. Осы біріктіруде жатқан х єВ
кезкелген нүкте біріктірілген жиындардың ең болмағанда бірінде жатуға тиіс.
Мысалы, х є Ар болсын. Ар - шарт бойынша ашық жиын, демек х нүтесімен бірге
осы нүктенің қайсыбір Oδ(x) маңайы да тұтасымен Ар жиынына енеді. Олай
болса, бұл маңай В жиынына да тұтасымен енеді, яғни В жиыны ашық жиын
болғаны.
Тапсырма. Қиылысатын жиындар саны ақырсыз болған жағдайда 1-теоремада
келтірілген дәлелдің өтпейтін себебін ашыңыз және мұндай жағдайда теорема
тұжырымы дұрыс болмауы мүмкін екендігін көрсететін мысал келтіріңіз.
2-теорема. R1 кеңістігіндегі (яғни метрикасы 7-пункттегі (1) теңдігімен
анықталған сандық түзудегі) әрбір ашық жиын G қиылыспайтын интервалдардың
ақырлы, не саналымды бірігуінен тұрады.
Дәлелдеуі. Кезкелген х є G нүктесін алайық. G ашық жиын болғандықтан
бұл нүктені қамтитын қайсыбір интервал (маңай) Оδ осы жиынға енеді. А
әріпімен х-тен кіші (яғни сан өсінде х-тің сол жағында орналасқан) және G
жиынына енбейтін нүктелер жиынын белгілейік. Сонда, егер А бос жиын болса,
онда (-∞, х) интервалы тұтасымен G жиынында болғаны. Ал егер А бос жиын
болмаса, онда, А жиыны жоғарыдан шенелгендіктен, α = sup A бар. Бұл α саны
G жиынында жатуы мүмкін емес, себебі, егер α є G болса, онда оның қайсыбір
маңайы О(α) да G жиынында жатар еді, демек, бұл маңайда А жиынының бір де
нүктесі болмас еді, ал онда α саны А жиынының супремумі бола алмайды.
Супремумнің анықтамасы бойынша А жиынының α санынан үлкен элементі жоқ,
олай болса (α,x) G.
Дәл осылай, В әріпімен х-тен үлкен, G жиынына енбейтін сандар жиынын
белгілеп, β = inf В санын анықтаймыз да, (х , β) G екенін дәлелдейміз ( -
β = + ∞ болуы да мүмкін). Сонымен, кезкелген x є G нүктесі қайсыбір (α, β)
с G интервалында жататыны, және ол х-ті қамтитын ең үлкен интервал (яғни, х-
ті қамтитын, және G жиынында жатқан басқа интервалдардың бәрі де осы
интервалдың ішжиыны) екендігі, ал осы интерваддың шеткі нүктелері G жиынына
жатпайтыны дәләлденді. Осыңдай интервалды ашық жиынның құрастырушы
интервалы деп атайды. G жиынының әрбір нүктесі құрастырушы интервалдардың
бірінде жатқандықтан G жиыны осы интервалдардың бірігуінен тұрғаны.
Ақырында, (α, β) және (α 1, β1) интервалдары G жиынын құрастырушы екі
интервал болса, онда бұлар қиылыспайды: егер бұл екеуіне ортақ х нүктесі
бар десек, онда (α, β) х-ті қамтитын (және G жиыныңда жатқан)
Интервалдардың ең үлкені болғандықтан (α 1 βх) (α , β), сондай-ақ, (α 1
β1) де х-ті қамтитын интервалдардың ең үлкені болғандықтан (α, β) = (α1 β1)
яғни (α, β) = (α1, β1)- Сан түзуінде жатқан қиылыспайтын Интервалдар саны
ақырлы, немесе, көп дегенде, саналымды жиын құрайды. (5-пункттің соңындағы
1-есепті қараңыз). Теорема дәлелденді.
Енді Математикалық анализ курсынан белгілі келесі анықтамаларды да еске
салайық.
3-анықтама. Егер х1, х2,..., Хк,... сандарының тізбегі және х саны үшін
к → ∞ кезде p(xк х) = хк - х → 0 болса, онда бұл тізбек х нүктесіне
жинақталады дейміз.
Шектің анықтамасын пайдаланып, 3-анықтаманы басқа түрде жазуға болады:
Егер р(хк, х) έ теңсіздігі барлық к ≥ К үшін орындалатындай кезкелген
έ 0 саны үшін К=К(έ) саны табылса, онда {хк} тізбегі х санына жинақталады
дейміз.
Мұндағы х саны {хк} тізбегінің шегі деп аталады және lim Хк = х
түрінде жазылады.
к→∞

4-анықтама. Егер М жиынында х санына ұмтылатын {хк} тізбегі бар болса,
онда х нүктесі М жиынының шектік нүктесі деп аталады. Бұл анықтаманы да
басқа пара-пар түрлерде келтірейік:
Егер х нүктесінің кезкелген маңайында М жиынының ақырсыз көп нүктелері
бар болса, онда х нүктесі М жиынының шектік нүктесі деп аталады.
Шектік нүкте анықтамасының бұл түріндегі ақырсыз көп нүктелері деген
сөздердің орнына, ең болмағанда х-тен өзге бір нүктесі деген сөздерді
айтып, анықтаманы үшінші түрде беруге болады. Атап айтқанда,
Егер х нүктесінің кезкелген маңайында М жиынының ең болмағанда х-тен
өзге бір нүктесі бар болса, онда х нүктесі М жиынының шектік нүктесі деп
аталады.
Тапсырма. Осы үш түрлі анықтаманың пара-пар екенін дәлелдеңіз.
5-анықтама. А жиынының шектік нүктелерінің жиынын оның туынды жиыны
(қысқаша - туындысы) деп атаймыз және А' түрінде белгілейміз. Егер А' А
болса, онда А жиыны тұйық жиын деп, егер А А' болса, онда А жиыны өзінде
өзі тығыз жиын деп, егер А' = А болса, онда А кемел жиын деп аталады.
Сонымен, кемел жиын деген - әрі тұйық, әрі өзінде өзі тығыз жиын.
Тұйық жиынның мысалдары ретінде кезкелген кесінді [а, в], сондай-ақ,
кезкелген ақырғы жиын тұйық жиын екеніне көз жеткізу қиын емес: кесіндінің
әр нүктесі - оның шектік нүктесі, ал ақырлы А жиынның бір де шектік нүктесі
жоқ, яғни А'= Ø А. Ерекше мысал - нақты сандар жиыны ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.