Өшетін тербелістер

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Өшетін тербелістер

Гармониялық тербеліс кезінде, бір тербеліп тұрған нүкте тек квазисерпімді күштің ғана әсерінде болады деп есептедік. Кез келген реал (нақты) тербелмелі системада, әрқашанда системаның энергиясын төмендететін, кедергі күші болады. Егер энергияның кемуі сыртқы күштің жұмысы есебінен толықтырылып отырмаса, онда тербеліс өшеді.

Еркін (немесе меншікті) өшетін тербелістерді қарастырайық. Тербеліс еркін болғандықтан да сыртқы күш тепе-теңдік қалпынан шығарған немесе сыртқы күш есебінен алғашқы түрткі алған система, одан әрі карай өзімен-өзі болады да тек қана квазисернімді күш пен ортаның кедергі күшінің әсерінде тұрады. Әлсіз тербелістерді қарастырумен шектелейік. Онда системаның жылдамдығы да аз болады, ал онша үлкен емес жылдамдықтарда кедергі күші жылдамдықтың шамасына пропорционал болады:

f _r = -r υ =- rx (5. 1)

мұндағы r-кедергі коэффициенті деп аталатын тұрақты шама. «-» таңбасы f _г және υ шамаларының бағыттары қарама-қарсы болуына байланысты алынған.

Тербеліп тұрған денеге арналған Ныотонның екінші заңын жазалық:

mх = - R х - r х.

Оны төмендегідей етіп қайта жазайық:

х+2β х + ω ₀ ² х=0 (5. 2)

мұнда мынадай белгілеулер енгізілген:

2 β = , (5. З)

ω ² ₀ = . (5. 4)

ω _о ортаның кедергісі болмағанда, яғни r = 0 болғанда система жасайтын еркін тербелістің жиілігі екендігін ескертейік. Бұл жиілікті система тербелісінің м е н ш і к т і ж и і л і г і деп атайды.

Гармониялық осциллятор жағдайында а амплитудасы арқылы анықталатын тербеліс құлашы тұрақты болып қалады. Орта кедергісінің болуы тербеліс құлашының кемуіне әкеліп соғады. Сондықтан (5. 2) теңдеуінің шешімін мынадай түрде іздейік:

х = а (t) соs (ω t + а), (5. 5)

мұндағы а(t) - кейбір уақыт функциясы.

(5. 5) өрнегін t бойынша дифференциалдап, х және х шамаларын табамыз:

х = а соs (ω t + а) - а ω sіn(ω t + а),

х = а соs (ω t + а) - 2а ω sіn(ω t + а) -

- а ω ² соs (ω t + а) .

Бұл өрнектерді (5. 2) теңдеуіне қойып, аса күрделі емес түрлендірулерден кейін мынадай қатыстарға келеміз:

[а + 2 β а + (ω ² ₀ - ω ² ) а] соs (ω t + а) -

- 2 ω [а + β а] sin(ω t + а) =0.

Біздің алған теңдеуіміз t шамасының кез келген мәнін қанағаттандыру үшін, соs (ω t + а) және sin(ω t + а) болғанда коэффициенттердің нольге тең болуы қажет. Осылайша біз екі теңдеуге келіп тірелеміз:

а + β а = 0, (5. 6)

а + 2 β а + (ω ² ₀ - ω ² ) а = 0. (5. 7)

(5. 6) теңдеуді мына түрде жазуға болады:

da da

- = - βа, бұдан - = - β dt.

dt a

Соңғы теңдеуді интегралдау мынаны береді: 1nа= - βt+ + 1nа ₀ , мұндағы 1n а ₀ арқылы интегралдау тұрақтысы белгіленген. Ақырында, табылған қатысты потеңцирлеу арқылы, а(t) үшін мынадай өрнекті аламыз:

а = а ₀ е ^-βt . (5. 8)

а=- βа және а = β ² а болатындығын оңай байқауға болады. Осы мәндерді (5. 7) теңдеуіне қою мына қатысқа келтіреді:

β ² а- 2β ² а+ (ω ² ₀ - ω ² ) а = 0,

бұдан нольге тең емес а кебейткішке қысқартудан соң ω ² -ның мәні алынады:

ω ² = ω ² ₀ - β ²

ω ² ₀ >β ² шарты орындалғанда шамасы заттық және (5. 2) дифференциалдық теңдеуінің шешімін (5. 5) түрінде беруге болады. Сонымен өшу онша үлкен болмағанда (β< ω ² ₀ болғанда), тербеліс мына функция арқылы сипатталады:

х = а ₀ е- ^βt соs (ωt+α) .

Бұл функцияның графигі 182-суретте берілген. Пунктирлік сызықпен тербеліп тұрған нүктеңің х ығысуы болатын шекара көрсетілген

(5. 10) функциясының түріне сәйкес системаның қозғалысын жиілігі ω амплитудасы (5. 8) заңы бойынша өзгеретін гармониялық тербеліс ретінде қарастыруға болады. 182-суреттегі пунктирлік қисық сызықтың жоғарғысы а(t) функциясының графигін береді, әрі а ₀ шамасы уакыттың бастапқы мезетіндегі амплитуданы береді. х ₀ бастапқы ығысу, а ₀ шамасынан басқа, бастапқы фазаға да тәуелді болады: х ₀ = a ₀ ∙соs α

Тербелістің өшу жылдамдығы өшу коэффициенті деп аталатын β = r-/2m шамасымен анықталады. Амплитуда е есе кемитін уақытты табайық. Анықтама бойынша е- ^βt = e- ^βt , осыдан βt =1. Демек, өшу коэффициенті амплитуда е есе шамасына кемитін уақыт аралығына шама жағынан кері болады.

Орта кедергісі онша үлкен болмаған кезде (β ² <ω _о ² ) тербеліс периоды іс жүзінде T ₀ = 2n/ ω _о шамасына тең. Өшу коэффициепті өскен сайын тербеліс периоды артады.

Осыдан кейінгі әйтеуір бір бағытқа ең үлкен ауытқулар (мысалы, 182-суреттегі _а ', а", а'", және т. б. ) геометриялық прогрессия түзеді. Шынында да, егер а' = а ₀ е- ^βt болса, онда а" = а ₀ е- ^βt ^+Т = а'е- ^βt , а'" = = а ₀ е- ^βt ^+2Т і = а- ^βt және т. б. Жалпы бір-бірінен бір периодқа сәйкес уақыт мезеті айырылатын амплитудалар қатынасы мынаған тең:

Соңғы шаманы әдетте тербелістің сипаттамасы ретінде пайдаланады. (3 шамасын ернегіне сәйкес К және Т арқылы өрнектей отырып, амплитуданың кему заңын мына турде жазуға болады:

Демек, өшудің логарифмдік декременті шама жағынан амплитуда е есе кемитін уақыт ішінде жасалатын тербеліс санына кері шама.

Тербелмелі системаны сипаттау үшін көбінесе тербелмелі системаның б е р і к т і г і деп аталатын төмендегі шама енгізіледі:

Анықтамадан кәрінгендей, беріктілік амплитуда е есе кемитін т уақыт ішінде жасалатын Nе тербеліс санына пропорционал болады.

Өшетін тербеліс жасайтын системаның импульсын табайық. (5, 10) функциясын уақыт бойынша дифференциалдап және алынған нәтижені массасына кебейтіп төмендегіні аламыз:

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.