Өшетін тербелістер

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Өшетін тербелістер
Гармониялық тербеліс кезінде, бір тербеліп тұрған нүкте тек
квазисерпімді күштің ғана әсерінде болады деп есептедік. Кез келген реал
(нақты) тербелмелі системада, әрқашанда системаның энергиясын төмендететін,
кедергі күші болады. Егер энергияның кемуі сыртқы күштің жұмысы есебінен
толықтырылып отырмаса, онда тербеліс өшеді.
Еркін (немесе меншікті) өшетін тербелістерді қарастырайық. Тербеліс
еркін болғандықтан да сыртқы күш тепе-теңдік қалпынан шығарған немесе
сыртқы күш есебінен алғашқы түрткі алған система, одан әрі карай өзімен-өзі
болады да тек қана квазисернімді күш пен ортаның кедергі күшінің әсерінде
тұрады. Әлсіз тербелістерді қарастырумен шектелейік. Онда системаның
жылдамдығы да аз болады, ал онша үлкен емес жылдамдықтарда кедергі күші
жылдамдықтың шамасына пропорционал болады:
fr = -r υ =- rx
(5.1)
мұндағы r—кедергі коэффициенті деп аталатын тұрақты шама. — таңбасы
fг және υ шамаларының бағыттары қарама-қарсы болуына байланысты алынған.
Тербеліп тұрған денеге арналған Ныотонның екінші заңын жазалық:
mх = — R х — r х.
Оны төмендегідей етіп қайта жазайық:
х+2β х + ω 02х=0
(5.2)
мұнда мынадай белгілеулер енгізілген:
r
2 β = _______ ,

(5.З)
m

r
ω20 = _______ .

(5.4)
m

ωо ортаның кедергісі болмағанда, яғни r = 0 болғанда система жасайтын еркін
тербелістің жиілігі екендігін ескертейік. Бұл жиілікті система тербелісінің
м е н ш і к т і ж и і л і г і деп атайды.
Гармониялық осциллятор жағдайында а амплитудасы арқылы анықталатын
тербеліс құлашы тұрақты болып қалады. Орта кедергісінің болуы тербеліс
құлашының кемуіне әкеліп соғады. Сондықтан (5.2) теңдеуінің шешімін мынадай
түрде іздейік:
х = а (t) соs (ω t + а),
(5.5)
мұндағы а(t) — кейбір уақыт функциясы.
(5.5) өрнегін t бойынша дифференциалдап, х және х шамаларын табамыз:
х = а соs (ω t + а) — а ω sіn(ω t + а),
х = а соs (ω t + а) — 2а ω sіn(ω t + а)—
— а ω2 соs (ω t + а).
Бұл өрнектерді (5.2) теңдеуіне қойып, аса күрделі емес түрлендірулерден
кейін мынадай қатыстарға келеміз:
[а + 2 β а + (ω20 - ω2) а] соs (ω t + а) —
— 2 ω [а + β а] sin(ω t + а) =0.
Біздің алған теңдеуіміз t шамасының кез келген мәнін қанағаттандыру үшін,
соs (ω t + а) және sin(ω t + а) болғанда коэффициенттердің нольге тең болуы
қажет. Осылайша біз екі теңдеуге келіп тірелеміз:
а + β а = 0, (5.6)
а + 2 β а + (ω20 - ω2) а = 0. (5.7)
(5.6) теңдеуді мына түрде жазуға болады:
da da
— = — βа, бұдан — = — β dt.
dt a

Соңғы теңдеуді интегралдау мынаны береді: 1nа= — βt+ + 1nа0, мұндағы 1n а0
арқылы интегралдау тұрақтысы белгіленген. Ақырында, табылған қатысты
потеңцирлеу арқылы, а(t) үшін мынадай өрнекті аламыз:
а = а0е -βt.
(5.8)
а=— βа және а = β2а болатындығын оңай байқауға болады. Осы мәндерді (5.7)
теңдеуіне қою мына қатысқа келтіреді:
β 2а- 2β2а+ (ω20 - ω2)а = 0,
бұдан нольге тең емес а кебейткішке қысқартудан соң ω2-ның мәні алынады:
ω2 = ω20- β2

ω20β2 шарты орындалғанда шамасы заттық және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.