МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ пәнінен практикалық сабақтарға арналған әдістемелік нұсқаулық
ДАУЛЕТБЕКОВА Б.Д.
МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ
пәнінен практикалық сабақтарға арналған
әдістемелік нұсқаулық
... ..
Шымкент, 2012
ББК 22.1Z7
Д 89
Рецензенттер:
1. Тазабеков С. -физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент.
2. Садыков Ж. – педагогика ғылымдарының кандидаты, доцент.
Математика негіздері пәнінен практикалық сабақтарға арналған
әдістемелік нұсқаулығын Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік
университетінің оқу-әдістемелік Кеңесі бекітіп, баспаға ұсынған (№ 5
хаттама, 3- ақпан 2012 ж.).
Даулетбекова Б.Д.
Математика негіздері пәнінен практикалық сабақтарға арналған
әдістемелік нұсқаулық. -Шымкент, 2012. -108 бет.
ISBN 99 85-789-59-8
Бұл нұсқаулықта 5В010200 - Бастауышта оқытудың педагогикасы мен
әдістемесі мамандығы бойынша Математика негіздері пәнінің оқу
бағдарламасы, практикалық сабақтың күнтізбелік-тақырыптық жоспары, әр
практикалық сабақтардың жоспарлары, қысқаша теориялық мәліметтер және
болашақ бастауыш сынып мұғалімдерінің өз бетімен білімдерін жетілдіруге
бағытталған тестік тапсырмалар мен есептер жинағы берілген.
Әдістемелік нұсқаулық студенттерге аса маңызды математикалық
ұғымдардың мән-мағынасын ашып көрсетуді, болашақ бастауыш сынып мұғалімінің
білім, білік және дағдыларын қалыптастыруды қамтамасыз етеді.
Д © Даулетбекова Б.Д., 2012
ISBN 99 85-789-59-8
КІРІСПЕ
Тиянақты теориялық білімді практикалық іс-әрекетте шебер қолдана
алатын, қазір заман талабына сай, дайындығы мол мамандар дайындау жоғары
оқу орындарының басты міндетті.
Осыған байлынысты өте күрделі жағдайда жұмыс істейтін, болашақ ұрпақ
тәрбиешісі мұғалімдердің математикалық білімін жақсарту қажет.
Практикалық сабақтардың негізгі мәселелері
Практикалық сабақтардың негізгі мақсаты төмендегі мәселелерді шешуге
бағытталған:
• студенттерге дұрыс дүниетаным, ой-өріс беру;
• студенттерді оқулықтармен, ғылыми әдістемелік басылымдармен жұмыс
істеуге үйрету;
• математикалық мәселелердің схемасын құрып, дербес есептерді шешу
мүмкіншілігін тудыру;
• студенттердің логикалық ойлануын дамыту.
Студенттер жете білуге тиісті:
• математиканың негізгі ұғымдарын, аксиомаларын, теоремаларын;
• өтілген теоремаларды дәлелдеуді;
• математикалық амалдарды орындауды;
• логикалық индукция дамытуды;
• өз ойларын айқын да жеткілікті, қысқа да сиымды етіп баяндауды;
• математикалық логика элементтерін.
Іске асыра алуы қажет:
• жиындарды және оларға амалдар қолдануды;
• жиындар теориясы мен логиканы мектеп математикасы курсының ұғымдарын
анықтауға қолдануды;
• қатынастарды және оларға амалдар қолдануды;
• геометриялық түрлендірулерді;
• теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдануды;
• шамаларді өлшеуді
Практикалық сабақтарды оқу есептерін шығару оқытудың натижелі және
белсенді тәсілдерінің бірі болып табылады.
Әртүрлі есептерді шығару алынған білімдерді меңгеруді жақсартады.
Оқу үрдісінде есептерді қолдануды жеке және топтық жұмыстар түрінде
пайдалану мүмкін.
Әр практикалық сабаққа дайындықты тақырыптың негізгі кезеңдерін
қайталаудан (әдебиеттер бойынша), бақылау сұрақтарына жауап беру және үй
тапсырмасын талдаудан бастау керек. Есептердің негізгі типтері аудиторияда
практикалық сабақтарда шешіледі.
Тақырыптар бойынша әдебиеттер әр практикалық сабақтың соңында
келтірілген. Курста формулалар қоры мен ереже, анықтамалар да кездеседі.
Бұл формулаларды есте сақтау үшін оларды жақсы қолдана білу керек. Әр
тақырыптың мазмұны қысқаша теориялық мәліметтер, негізгі анықтама, формула
және олардың мағынасын ашатын бақылау сұрақтары түрінде берілген.
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ КҮНТІЗБЕЛІК - ТАҚЫРЫПТЫҚ ЖОСПАРЫ
№ Сабақтың тақырыбы мен жоспары Сағ. Тапсырманы
саны тексеру түрі
Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және 1 Сұрақ-жауап,
1 олардың сипаттамалары. Есеп шығару
Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың берілу тәсілдері. 1 Сұрақ-жауап,
2 Жиындарға амалдар қолдану. Есеп шығару
Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер 1 Сұрақ-жауап,
3 теоремасы. Есеп шығару
4 Сәйкестік ұғымы, оның графы мен графигі. 1 Сұрақ-жауап
Бейнелеулер және олардың түрлері; Тең қуаттас жиындар. Сұрақ-жауап,
5 Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері. 1 Есеп шығару
Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері.
6 Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы. Пікірлер 1 Сұрақ-жауап,
және оларға амалдар қолдану. Есеп шығару
Предикаттар және оларға амалдар қолдану. Кванторлар. 1 Сұрақ-жауап,
7 Математикалық логиканың заңдары. Есеп шығару
Теорема және оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу 1 Сұрақ-жауап,
8 тәсілдері. Есеп шығару
Комбинаторикалық есептер, қосынды мен көбейтінді Сұрақ-жауап,
9 ережесі. Ауыстырулар, терулер орналастырулар. 1 Есеп шығару
Натурал сандар. Сандардың натурал қатарының Сұрақ-жауап,
10 кесіндісі. Реттік натурал сан. Натурал сандар жиыны. 1 Есеп шығару
Теріс емес бүтін сандар. Теріс емес бүтін сандар
жиынының реттік қатынастың түсініктемесі. Пеано 1 Сұрақ-жауап,
11 аксиомалары, теріс емес бүтін сандарға қолданылатын Есеп шығару
амалдарды анықтау.
12 Санау жүйелері. Санау жүйелері туралы ұғым; ондық 1 Сұрақ-жауап,
санау жүйесі. Есеп шығару
13 Сандардың бөлінгіштігі: бөлінгіштік қатынас және оның Сұрақ-жауап,
қасиеттері. Жай және құрама сандар. Эратосфен елегі. 1 Есеп шығару
14 Сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ 1 Сұрақ-жауап,
еселігі, олардың негізгі қасиеттері мен оларды табу Есеп шығару
алгоритмі.
15 Бүтін және рационал сандар. Бүтін және рационал 1 Сұрақ-жауап,
сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар. Есеп шығару
Барлығы 15
1 Нақты сандар: иррационал сан ұғымы. Нақты сандар жиыны1
және оларға қолданылатын амалдар, олардың қасиеттері. Сұрақ-жауап,
Есеп шығару
2 Жуық сандарға амалдар қолдану; саннның квадраты мен 1
кубы, дәрежелеу, квадрат және куб түбір. Сұрақ-жауап,
Есеп шығару
3 Комплекс сандар ұғымы.Комплекс санның геом. кескіні, 1 Сұрақ-жауап,
оларға қолданылатын амалдар және олардың заңдары Есеп шығару
4 Ауызша және жазбаша есептеулер. Тиімді және тез 1 Сұрақ-жауап,
есептеу тәсілдері Стандартты емес және қызықты Есеп шығару
жаттығулар.
5 Математикалық өрнектер. Өрнек туралы ұғым. 1 Сұрақ-жауап,
Теңбе-теңдік түрлендірулер. Бірмүшелік және Есеп шығару
көпмүшеліктер.
Теңдік және теңсіздік. Санды теңдік, санды теңсіздік 1 Сұрақ-жауап,
6 ұғымдары, олардың қасиеттері. Есеп шығару
Теңдеулер. Теңдеулердің мәндестігі, сызықтық және 1
7 квадрат теңдеулер, теңдеулер жүйелері мен Сұрақ-жауап,
жиынтықтары; есептерді алгебралық әдіспен шығару. Есеп шығару
8 Бір айнымалысы бар теңсіздік ұғымы. Теңсіздіктер 1 Сұрақ-жауап,
жүйелері мен жиынтықтары. Есеп шығару
9 Функциялар: функция ұғымы, оның берілу тәсілдері мен 1 Сұрақ-жауап,
графигі. Тура және кері пропорционалдық Есеп шығару
Планиметрияны аксиоматикалық тұрғыда құру. Нүкте, 1 Сұрақ-жауап,
10 түзу, көпбұрыш және оның түрлері. Центрлік және остік Есеп шығару
симметриялар. Нүктенің геом. орны.
11 Фигуралардың ауданын есептеудің негізгі формулалары. 1 Сұрақ-жауап,
Екі нүктенің арақашықтығы. Берілген қатынаста Есеп шығару
кесіндіні бөлу; сызықтың, түзудің және шеңбердің
теңдеулері.
12 Стереометрияны аксиоматикалық тұрғыда құру. Денелер 1
беттерінің аудандары мен көлемдерінің негізгі Сұрақ-жауап,
формулалары; көпжақтар туралы Эйлер теоремасы. Есеп шығару
13 Қарапайым геометриялық салулар. Координаталары бойынша1 Сұрақ-жауап,
геометриялық фигураны салу. Есеп шығару
14 Геометриялық мазмұнды есептер. 1 Сұрақ-жауап,
Есеп шығару
15 Шамалар арасындағы тәуелділік. Бірқалыпты түзу 1 Есеп шығару
сызықты қозғалыс кезіндегі уақыт, жылдамдық және жол
арасындағы тәуелділік.
Барлығы 15
№1 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ:
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
1. Сабақ жоспары: Математикалық құрылымдардың типтері және олардың
сипаттамалары.
2. Сабақ мақсаты: Математикалық құрылымдарды қарастыру.
Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Математика басқа ғылымдар
сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің
құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен ғана емес, тек қана
формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандық
қатынастар мен кеңістіктік формаларымен анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы
салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды
даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика –
қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса,
басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас
әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-
қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен
мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің,
формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес
үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған
дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне
және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде
әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын
бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Трактаттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп
атайды.
Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы
мен комбинациясы болып табылады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Н.Бурбаки ұйымы.
2. П.Р.Халмоштың мақаласы.
3. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
4. Математика элементтері бірінші томы.
5. Аксиоматикалық әдіс.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
7. Үй тапсырмасы: 1. Теориялық материалдарды оқу.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№2 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ЖИЫН ҰҒЫМЫ. ЖИЫНДАРДЫҢ БЕРІЛУ ТӘСІЛДЕРІ.
ЖИЫНДАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ
1. Сабақ жоспары: Жиын ұғымы туралы түсініктерін есеп шығару арқылы
бақылау.
2. Сабақ мақсаты: Кез келген зат, нысандар арқылы жиынды құра білуге,
оларға амалдар қолдана және Эйлер–Венн диаграммасы арқылы көрнекті түрде
кескіндеу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Математикада XIX ғасырдың екінші
жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын
теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі
Георг Кантор (1845-1918) болды.
Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен
біріккен нәрселер, нысандар жиынды құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар
жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын бөлшектер
жиыны т.с.с.
Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі
немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды
латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне
алып жазу келісілген. Мысалы, “планета” сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен
белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-
түрлі жазуға болады.
Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар
жиыны A – шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны
N - шектеусіз жиын.
Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B.
Оқылуы: “a B жиынының элементі” немесе “a B жиынына тиісті”. Мысалы, 7 саны
натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N. Егер c элементі A жиынына тиісті
болмаса, оның жазылуы: c ¢ A. Оқылуы:”c A жиынына тиісті емес”. Мысалы, 0
саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 ¢ N.
Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос
жиынның белгіленуі: Ø . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай
сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны
- бос жиын.
Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A
жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп
сандар жиыны – B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті.
Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны – A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың
байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы
кескінделеді.
Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы
кескінделген.
Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A.
Мұндағы A - қандай да бір жиын.
Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп
аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына
тең.
A жиынына да, B жиынына да тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды A
және B жиынының қиылысуы деп атайды.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
нысана жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х6(. А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті ортақ элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А және В жиындарының қиылысуы былай
белгіленеді:
С=А(В. А(В={хх(А және х(В}
Егер А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: А(В=(.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А және В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
4.Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы, жиын элементі;
2.Жиындардың берілу тәсілдері;
3.Бос жиын, шекті және шексіз жиындар;
4.Ішкі жиын, тең жиындар, универсал жиын;
5. Жиындарды Эйлер дөңгелектері арқылы және сан түзуінің бойында кескіндеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
1. А-геометриялық фигуралар жиыны. Осы жиынға
А) бесбұрыш: В) түзу: С) куб: Д) дөңгелек тиісті ме?
2. Х- хайуандар жиыны болсын. Осы жиынға:
А) сиыр; В) құмырсқа; С) қарға; Д) піл тиісті бола ма?
3.А жиыны -1, -2, -3, -4 сандарынан тұрады. Осы жиынды жазыңыздар.
Берілген санға қарама-қарсы сандарды жиын түрінде жазыныздар.
4. К-жай сандар жиыны, М-жұп сандар жиыны, Л-тақ сандар
жиыны болсын. 7, 11, 12, 18, 37, 47, 51, 65, 96, 115, 217, 321, 512, 418,
233 сандары қайсы жиынға тиісті болатынын көрсетіңіздер.
5. А-параллелограмдар жиыны болсын. Осы жиынға:
А)ромб; В) трапеция; в) параллелограмм диагоналы; г) тіктөртбұрыш тиісті
бола ма?
7. Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. а) Гүл аттарынан; б) тарихи оқиғалардан в) сандардан г)
геометриялық фигуралардан түратын жиындарға мысалдар келтіріңіздер.
3. В-барлық натурал сандар жиыны, А-12 санының барлықнатурал
бөлгіштерінің жиыны, В-24 санының натурал белгіштерінің жиыны
берілген. Осы А және В жиындарының элементтерін нүктелермен және Эйлер-
Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіздер.
4.У-мектеп кітапханасындағы кітаптар жиыны, А-математика
кітаптарының жиыны, В-жаратылыстану пөндерінің жиыны, С-физика кітаптарының
жиыны екені белгілі. Осы жиындардыЭйлер-Венн диаграммалары арқылы
кескіндеңіздер.
5.А-университетте оқитын студенттер жиыны, В-осы университеттегі 1-
курс студентттерінің жиыны. Осы екі жиынды Эйлер-Венн
диаграммасы арқылы кескіндеп көрсетіңіздер.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ. Математика. -Алматы, 2000.
2. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың
теориялық негіздері. -Астана, 2003.
3. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. - Алматы, 2004.
4. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
5. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ГРАФ
1. Сабақ жоспары: Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер
теоремасы.
2. Сабақ мақсаты: Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру. Жазық граф
туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Математикада әртүрлі нысандар
арасында (сан, шама, фигура) және олардың қасиеттерінің арасында да
байланыстар зерттеледі. Мысалы, сандар арасында тең, кем, артық, 1-і
артық, 2 есе кем, кейін, бұрын, арасында, соңында т.с.с. қатыстары
қарастырылады.
Натурал сан ұғымын қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі
ұғымы және жалпы сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамыту.
Математикада көбінесе екі нысанның арасындағы қатынас қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
С.И.Ожеговтың түсіндірме сөздігінде бинарлық двойной, состоящий из двух
компонентов деп жазған, яғни екі элементтен тұратын немесе қос деген
мағынаны білдіреді.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы
қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас әріптерімен белгілейді P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R(
ХхХ болады.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызып графигін беруге болады.
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Қатыстың кескінін, яғни сызба түрінде көрнекі түрде беруге болады, ол
сызбаны граф деп атайды. Граф, график гректің сөзі, жазамын деген
мағынаны білдіреді. Сызбада берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды
қосатын бағытталған сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды. Графта
сызықтардың басы да ұшы да беттесетін нүктені ілгектері деп
атайды.Графтармен байланысты ұсынған алғаш жұмыстардың бірі Эйлер жұмысы
болып есептеледі (1736 ж.).
Жазықтықта әртүрлі А, В, С, Д, Е нүктелерін белгілейік. Осы
нүктелерді граф төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды граф қабырғалары
деп атайды.
Бұл графты А, В, С, Д, Е нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден
басқа ешбір нүктелермен қиылыспайтын, қабырғалары тек төбелерде ғана
қиылысатын графты жазық граф деп атайды.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы қабырғалары тек төбесінде ғана
қиылысатын графтарды жазық граф берілсін.
Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын өзара қосқанда да ол жазық
граф бола алса, ондай граф толық жазық граф деп аталады.
Кез келген граф үшін Т- Қ + Ж =2 теңдеуі орындалады.
Т - граф төбелерінің саны;
Қ – граф қабырғаларының саны;
Ж - граф жазықтықтарының саны.
Бұл теорема жазық граф үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы
алғанда графтар төбелерден, қабырғалардан, жазықтардан тұрады. Берілген
графтар арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.
Графтағы ешбір қабырғалары арқылы артық рет өтпейтін сызық шынжыр
деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден әр
қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып сол А төбесіне қайта оралу
мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп аталады. Егер циклдың барлық төбелері
әртүрлі болса, мұндай цикл қарапайым, қарсы жағдайда қарапайым емес цикл
деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың қабырғаларын дәл бір ретпен
қамтиды.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс.
2. Байланысты граф.
3. Граф сөзінің мағынасы.
4. Графтар теориясы.
5. Графтың төбелері.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. У=(2,3,4,5, 6( жиынында "артық" және "артық немесе тең" атысы
берілген. Графын сыз, қасиетін анықта. Қайсысы рефлексивті қасиетке ие?
Неліктен?
3. У(( 2,4,6,8,12(- жиынында "2 есе артық" және "2-і артық" қатысы
берілген, қасиетін анықта. Графтарының ұқсастығы неде?
4. А кесінділер жиынында "тең" және "қысқа" қатыстары берілген,
қатыстардың графын сыз, қасиетін анықта. Қай қатыс рефлексивті қасиетке ие
болмайды? Графының ерекшелігі неде?
5. Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} -жиынында “3-ке бөлгенде бірдей
қалдық қалады” қатысы берілген. Қатыстың қасиетін анықта, эквиваленттік
қатыс бола ма? Қатыс жиынды неше класқа бөледі?
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. А={1,4,7,10,15,18,19} жиынында 3-ке бөлгенде бірдей қалдық қалады
деген R қатысы берілген.
а) R қатысына тиісті барлық парларын атаңыздар.
б) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
3. В={0,3,4, 6, 7} жиынында х саны у санынан 3-ке артық х, у € В
деген R қатысы берілген.
а) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
б) R қатысын теңдеу түрінде жазыңыздар.
4. Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр” графын сыз, қасиетін анықта.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№4 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: СӘЙКЕСТІК ҰҒЫМЫ, ГРАФЫ МЕН ГРАФИГІ
1. Сабақ жоспары: Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Сабақ мақсаты: Сәйкестік ұғымын өмірмен байланыстыра отырып
түсіндіру. Бейнелеулер мен олардың түрлеріне бастауыш сынып оқушысына
түсінікті етіп мысалдар келтіру.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Екі жиынның элементтерінің
арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты
сәйкестік деп айтады. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен
нақты сандардың немесе жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосындысының
арасында сәйкестік болады.
Анықтама. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік
деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиынын
айтады. R€XxY, Мысалы, Х={3,5,7,9}. P:xy Y={4,6}.
P={(5,4),(7,6), (7,4), (9,4), (9,6)}.
A={5,7,9}
T={4,6}
7€ X, 7 толық бейнесі {4,6}.
4 € Y, 4 толық түпкілікті бейнесі {5,7,9}.
Ақырлы осы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы
көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының арасыңдағы “артық”
(үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген
жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін
кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
Мысалы: N={1,2,3,4, ... n }- натурал сандар жиыны, B={2,4,6... 2n}- жұп
сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді.
Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал
сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең
қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз,
бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады,
сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.
4. Бақылау сүрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръективті бейнелеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
3. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиын сәйкестік құрастырады?
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№5 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: БЕЙНЕЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ТҮРЛЕРІ.
ТЕҢ ҚУАТТАС ЖИЫНДАР
1.Сабақ жоспары: Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
2.Сабақ мақсаты: Бейнелеулерге есептер шығарып жаттықтыру
3.Қысқаша теориялық мәліметтер Ақырлы осы жиындардың арасындағы
сәйкестікті график аркылы көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Тең қуатты жиындар.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6. Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
3. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
4. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиынын құрастыр. Қай ішкі жиын
сәйкестік құрастырады?
5.Оқушылар қарындашқа 10 теңге, дәптерге 7 теңге, өшіргішке 5 теңге,
қаламға 15 теңге төледі. Қандай екі жиын арасында сәйкестік берілген.
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2 .Инъективті бейнелеу.
3.Биективті бейнелеу.
4. Өзара бірмәнді бейнелеу.
5. Өзара бірмәнді сәйкестік.
6. Сатып алынған заттар есебі неде: кітап-100 тг, дәптер-10 тг, бояу
жаққыш 15 тг, өшіргіш 20 тг. Сатып алынған заттар жиыны Х және осы
заттардың бағаларының жиыны У-ті жазып, олардың арасындағы сәйкестікті
тұжырымдап, оның графын құрыңыз.
7. Төбелерінің координаталары (0,6), (5,0), (0,-3), (8-,0) бойынша
төртбұрыш салыңыздар. Осы төртбұрыш Х (ені) және У (ұзындығы) жиындарының
арасындағы сәйкестіктің графигі болып есептеледі.
8. АВС үшбұрышын сызыңыз. Х-осы үшбұрыштың бұрыштарының жиыны, ал У-
оның қабырғаларының жиыны, ал R:х бұрышы у қабырғасына қарсы жатыр деген
сәйкестік болсын. R сәйкестігінің графигіне тиісті барлық парларды атап
шығыңыз.
9. Х={xx €z, 0≤x≤4} және У={yy€Z, 0≤y≤5} жиындар элементтерінің
арасындағы сәйкестік кестемен берілген. Сәйкестіктің графигін құрыңыздар.
х 0 0
а а А
а ж Ж
ж а Ж
ж ж Ж
Мына Күн Жерден үлкен және Астана - Қазақстанның астанасы деген
пікірді қарастырайық. Бұл пікір Күн Жерден үлкен және Астана -
Қазақстанның астанасы деген пікірлердің конъюнкциясы болады. Сонымен қатар
ол ақиқат пікір, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.
Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды деген конъюнкция
жалған, өйткені оған енетін жәй пікірлердің біреуі Ертіс Каспийге құяды
жалған.
12 тақ сан және 5-ке бөлінеді деген пікір жалған, себебі бұл
конъюнкцияға кіретін екі жәй пікірдің екеуі де жалған.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. Пікірдің ақиқат не жалған екендігін анықта: -2х+6(2.
3 Келесі математикалық сөйлемдердің қайсысы пікір болады?
а) тік төртбұрыш шаршы болады.
в) х саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді.
с) (4+3)х2х=40
4.Пікір және предикатты бөліп жаз:
1) 1,2х+3у-8,
2) 0,3х+7,8у=9
3) 0,5(х+5)-8,
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. Келесі пікірлерді кванторлар арқылы жазыңыздар. Кез келген а және
в үшін (а+в)2=а2+2аb+в2 болады.
3. Төмендегі предикаттарды кез келген жалпылық квантор арқылы
жазыңыздар: а) “кез келген нақты сан х оң”; в) “кез келген натурал сан х
5-ке еселі”.
4. Келесі пікірлердің қайсысы қарапайым және күрделі, ақиқат және
жалған екендіктерін анықтаңыздар:
1) Даринаның туылған мерзімі қыс айы-желтоқсан;
2) Кәусәр - ең ұзақ гүлдейтін үй өсімдігі
3) 8-наурыз Жыл басы
4) 25 саны 7-ге қалдықсыз бөлінеді.
5. Келесі қос пікірлердің қайсысы бірін-бірі теріске шығаратын пікір
болатынын көрсетіңіздер:
а) 5 кіші 6; 5 үлкен 6; в) 5 кіші 6; 5 кіші немесе тең 6.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
№8 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ТЕОРЕМА ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ. ТЕОРЕМАНЫ
ДӘЛЕЛДЕУ ТӘСІЛДЕРІ
1. Сабақ жоспары: Теорема, оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу
тәсілдері
2. Сабақ мақсаты: Теорема ұғымы және оның құрылымымен таныстыру. Оны
дәлелдеу тәсілдері. Дұрыс және дұрыс емес пайымдаулар.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Теорема. Егер үшбұрыштың ешбір
төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған
екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы
өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (1-сурет).
Сызбаны сөзбен айтудың геометриялық жазылуы деп түсінеміз, сондықтан
теоремаларды дәлелдегенде сызбаны пайдалануға рұқсат етіледі.
а түзуі жазықтықтағы екі жарты жазықтыққа бөледі, А және В нүктелері
әртүрлі жарты жазықтықтарды жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен
қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.
Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС
кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады.
Мұнда а түзуі АВ және ВС кесінділерін қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Мұнда теореманың шарты – түзу үшбұрыштың ешбір ешбір төбесі арқылы өтпйді
және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы – бұл түзу
үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды. Теореманың
құрамы әртүрлі болғанымен оның шартын немесе берілуін және оның
қорытындысын (нені дәлелдеу керек екенін) көрсетеді
Ұғымды толық түсіну үшін оның барлық қасиеттері қарастырылады.
Геометрияда аксиома мен теорема сияқты сөздермен қатар анықтама сөзі
де пайдаланылады. Бір нәрсеге анықтама беру – оның не нәрсе екенін
түсіндіру. Мысалы, үшбұрыштың анықтамасы, үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын
үш нүктеден және осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны
айтады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Әр теореманың берілуі (шартын) мен қорытындысын бөліп алыңыз:
а) егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын тең болса, онда оның барлық
бұрыштары тең;
б) екі жұп санның қосындысы жұп сан;
в) егер сан 3-ке және 4-ке еселік болса, онда ол сан 12-ге еселі.
2. Теорема берілген: Ромбының диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысады.
Ромбының диагоналдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.
Осы теореманың шартын және қорытындысын айырып алыңыз және мына сөздарді
қолданып оны басқаша келтіріңіз:
1) туындайды, болады; 2) кез келген;
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1. Тік төртбұрыштың диагоналдарының қиылысу нүктесінің кіші қабырғадан
қашықтығы үлкен қабырғадан қашықтығынан 4 см артық. Тік төртбұрыштың
периметрі 56 см-ге тең. Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңыздар.
2. Параллелограмның екі қабырғасының қатынасы 3:4 қатынасындай, ал
оның периметрі 2,8 м-ге тең. Қабырғаларын табыңыздар.
3. Үшбұрыштың қабырғалары 8 см, 10 см, 12 см-ге тең. Төбелері осы
үшбұрыштың қабырғаларының орталары болып келген үшбұрыштың қабырғаларын
табыңыздар.
4. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына параллель болатын орта сызығы 3 см-
ге тең. Үшбұрыштың периметрі 16 см деп алып, оның қабырғаларын табыңыздар.
5. Трапеция табандарының қатынасы 2:3 қатынасындай, ал орта сызығы 5
м. Табандарын табыңыздар.
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. АВС және МРК үшбұрыштары тең. АВ қабырғасы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ
пәнінен практикалық сабақтарға арналған
әдістемелік нұсқаулық
... ..
Шымкент, 2012
ББК 22.1Z7
Д 89
Рецензенттер:
1. Тазабеков С. -физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент.
2. Садыков Ж. – педагогика ғылымдарының кандидаты, доцент.
Математика негіздері пәнінен практикалық сабақтарға арналған
әдістемелік нұсқаулығын Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік
университетінің оқу-әдістемелік Кеңесі бекітіп, баспаға ұсынған (№ 5
хаттама, 3- ақпан 2012 ж.).
Даулетбекова Б.Д.
Математика негіздері пәнінен практикалық сабақтарға арналған
әдістемелік нұсқаулық. -Шымкент, 2012. -108 бет.
ISBN 99 85-789-59-8
Бұл нұсқаулықта 5В010200 - Бастауышта оқытудың педагогикасы мен
әдістемесі мамандығы бойынша Математика негіздері пәнінің оқу
бағдарламасы, практикалық сабақтың күнтізбелік-тақырыптық жоспары, әр
практикалық сабақтардың жоспарлары, қысқаша теориялық мәліметтер және
болашақ бастауыш сынып мұғалімдерінің өз бетімен білімдерін жетілдіруге
бағытталған тестік тапсырмалар мен есептер жинағы берілген.
Әдістемелік нұсқаулық студенттерге аса маңызды математикалық
ұғымдардың мән-мағынасын ашып көрсетуді, болашақ бастауыш сынып мұғалімінің
білім, білік және дағдыларын қалыптастыруды қамтамасыз етеді.
Д © Даулетбекова Б.Д., 2012
ISBN 99 85-789-59-8
КІРІСПЕ
Тиянақты теориялық білімді практикалық іс-әрекетте шебер қолдана
алатын, қазір заман талабына сай, дайындығы мол мамандар дайындау жоғары
оқу орындарының басты міндетті.
Осыған байлынысты өте күрделі жағдайда жұмыс істейтін, болашақ ұрпақ
тәрбиешісі мұғалімдердің математикалық білімін жақсарту қажет.
Практикалық сабақтардың негізгі мәселелері
Практикалық сабақтардың негізгі мақсаты төмендегі мәселелерді шешуге
бағытталған:
• студенттерге дұрыс дүниетаным, ой-өріс беру;
• студенттерді оқулықтармен, ғылыми әдістемелік басылымдармен жұмыс
істеуге үйрету;
• математикалық мәселелердің схемасын құрып, дербес есептерді шешу
мүмкіншілігін тудыру;
• студенттердің логикалық ойлануын дамыту.
Студенттер жете білуге тиісті:
• математиканың негізгі ұғымдарын, аксиомаларын, теоремаларын;
• өтілген теоремаларды дәлелдеуді;
• математикалық амалдарды орындауды;
• логикалық индукция дамытуды;
• өз ойларын айқын да жеткілікті, қысқа да сиымды етіп баяндауды;
• математикалық логика элементтерін.
Іске асыра алуы қажет:
• жиындарды және оларға амалдар қолдануды;
• жиындар теориясы мен логиканы мектеп математикасы курсының ұғымдарын
анықтауға қолдануды;
• қатынастарды және оларға амалдар қолдануды;
• геометриялық түрлендірулерді;
• теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдануды;
• шамаларді өлшеуді
Практикалық сабақтарды оқу есептерін шығару оқытудың натижелі және
белсенді тәсілдерінің бірі болып табылады.
Әртүрлі есептерді шығару алынған білімдерді меңгеруді жақсартады.
Оқу үрдісінде есептерді қолдануды жеке және топтық жұмыстар түрінде
пайдалану мүмкін.
Әр практикалық сабаққа дайындықты тақырыптың негізгі кезеңдерін
қайталаудан (әдебиеттер бойынша), бақылау сұрақтарына жауап беру және үй
тапсырмасын талдаудан бастау керек. Есептердің негізгі типтері аудиторияда
практикалық сабақтарда шешіледі.
Тақырыптар бойынша әдебиеттер әр практикалық сабақтың соңында
келтірілген. Курста формулалар қоры мен ереже, анықтамалар да кездеседі.
Бұл формулаларды есте сақтау үшін оларды жақсы қолдана білу керек. Әр
тақырыптың мазмұны қысқаша теориялық мәліметтер, негізгі анықтама, формула
және олардың мағынасын ашатын бақылау сұрақтары түрінде берілген.
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ КҮНТІЗБЕЛІК - ТАҚЫРЫПТЫҚ ЖОСПАРЫ
№ Сабақтың тақырыбы мен жоспары Сағ. Тапсырманы
саны тексеру түрі
Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және 1 Сұрақ-жауап,
1 олардың сипаттамалары. Есеп шығару
Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың берілу тәсілдері. 1 Сұрақ-жауап,
2 Жиындарға амалдар қолдану. Есеп шығару
Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер 1 Сұрақ-жауап,
3 теоремасы. Есеп шығару
4 Сәйкестік ұғымы, оның графы мен графигі. 1 Сұрақ-жауап
Бейнелеулер және олардың түрлері; Тең қуаттас жиындар. Сұрақ-жауап,
5 Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері. 1 Есеп шығару
Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері.
6 Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы. Пікірлер 1 Сұрақ-жауап,
және оларға амалдар қолдану. Есеп шығару
Предикаттар және оларға амалдар қолдану. Кванторлар. 1 Сұрақ-жауап,
7 Математикалық логиканың заңдары. Есеп шығару
Теорема және оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу 1 Сұрақ-жауап,
8 тәсілдері. Есеп шығару
Комбинаторикалық есептер, қосынды мен көбейтінді Сұрақ-жауап,
9 ережесі. Ауыстырулар, терулер орналастырулар. 1 Есеп шығару
Натурал сандар. Сандардың натурал қатарының Сұрақ-жауап,
10 кесіндісі. Реттік натурал сан. Натурал сандар жиыны. 1 Есеп шығару
Теріс емес бүтін сандар. Теріс емес бүтін сандар
жиынының реттік қатынастың түсініктемесі. Пеано 1 Сұрақ-жауап,
11 аксиомалары, теріс емес бүтін сандарға қолданылатын Есеп шығару
амалдарды анықтау.
12 Санау жүйелері. Санау жүйелері туралы ұғым; ондық 1 Сұрақ-жауап,
санау жүйесі. Есеп шығару
13 Сандардың бөлінгіштігі: бөлінгіштік қатынас және оның Сұрақ-жауап,
қасиеттері. Жай және құрама сандар. Эратосфен елегі. 1 Есеп шығару
14 Сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ 1 Сұрақ-жауап,
еселігі, олардың негізгі қасиеттері мен оларды табу Есеп шығару
алгоритмі.
15 Бүтін және рационал сандар. Бүтін және рационал 1 Сұрақ-жауап,
сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар. Есеп шығару
Барлығы 15
1 Нақты сандар: иррационал сан ұғымы. Нақты сандар жиыны1
және оларға қолданылатын амалдар, олардың қасиеттері. Сұрақ-жауап,
Есеп шығару
2 Жуық сандарға амалдар қолдану; саннның квадраты мен 1
кубы, дәрежелеу, квадрат және куб түбір. Сұрақ-жауап,
Есеп шығару
3 Комплекс сандар ұғымы.Комплекс санның геом. кескіні, 1 Сұрақ-жауап,
оларға қолданылатын амалдар және олардың заңдары Есеп шығару
4 Ауызша және жазбаша есептеулер. Тиімді және тез 1 Сұрақ-жауап,
есептеу тәсілдері Стандартты емес және қызықты Есеп шығару
жаттығулар.
5 Математикалық өрнектер. Өрнек туралы ұғым. 1 Сұрақ-жауап,
Теңбе-теңдік түрлендірулер. Бірмүшелік және Есеп шығару
көпмүшеліктер.
Теңдік және теңсіздік. Санды теңдік, санды теңсіздік 1 Сұрақ-жауап,
6 ұғымдары, олардың қасиеттері. Есеп шығару
Теңдеулер. Теңдеулердің мәндестігі, сызықтық және 1
7 квадрат теңдеулер, теңдеулер жүйелері мен Сұрақ-жауап,
жиынтықтары; есептерді алгебралық әдіспен шығару. Есеп шығару
8 Бір айнымалысы бар теңсіздік ұғымы. Теңсіздіктер 1 Сұрақ-жауап,
жүйелері мен жиынтықтары. Есеп шығару
9 Функциялар: функция ұғымы, оның берілу тәсілдері мен 1 Сұрақ-жауап,
графигі. Тура және кері пропорционалдық Есеп шығару
Планиметрияны аксиоматикалық тұрғыда құру. Нүкте, 1 Сұрақ-жауап,
10 түзу, көпбұрыш және оның түрлері. Центрлік және остік Есеп шығару
симметриялар. Нүктенің геом. орны.
11 Фигуралардың ауданын есептеудің негізгі формулалары. 1 Сұрақ-жауап,
Екі нүктенің арақашықтығы. Берілген қатынаста Есеп шығару
кесіндіні бөлу; сызықтың, түзудің және шеңбердің
теңдеулері.
12 Стереометрияны аксиоматикалық тұрғыда құру. Денелер 1
беттерінің аудандары мен көлемдерінің негізгі Сұрақ-жауап,
формулалары; көпжақтар туралы Эйлер теоремасы. Есеп шығару
13 Қарапайым геометриялық салулар. Координаталары бойынша1 Сұрақ-жауап,
геометриялық фигураны салу. Есеп шығару
14 Геометриялық мазмұнды есептер. 1 Сұрақ-жауап,
Есеп шығару
15 Шамалар арасындағы тәуелділік. Бірқалыпты түзу 1 Есеп шығару
сызықты қозғалыс кезіндегі уақыт, жылдамдық және жол
арасындағы тәуелділік.
Барлығы 15
№1 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ:
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
1. Сабақ жоспары: Математикалық құрылымдардың типтері және олардың
сипаттамалары.
2. Сабақ мақсаты: Математикалық құрылымдарды қарастыру.
Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Математика басқа ғылымдар
сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің
құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен ғана емес, тек қана
формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандық
қатынастар мен кеңістіктік формаларымен анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы
салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды
даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика –
қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса,
басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас
әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-
қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен
мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің,
формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес
үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған
дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне
және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде
әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын
бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Трактаттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп
атайды.
Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы
мен комбинациясы болып табылады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Н.Бурбаки ұйымы.
2. П.Р.Халмоштың мақаласы.
3. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
4. Математика элементтері бірінші томы.
5. Аксиоматикалық әдіс.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
7. Үй тапсырмасы: 1. Теориялық материалдарды оқу.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№2 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ЖИЫН ҰҒЫМЫ. ЖИЫНДАРДЫҢ БЕРІЛУ ТӘСІЛДЕРІ.
ЖИЫНДАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ
1. Сабақ жоспары: Жиын ұғымы туралы түсініктерін есеп шығару арқылы
бақылау.
2. Сабақ мақсаты: Кез келген зат, нысандар арқылы жиынды құра білуге,
оларға амалдар қолдана және Эйлер–Венн диаграммасы арқылы көрнекті түрде
кескіндеу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Математикада XIX ғасырдың екінші
жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын
теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі
Георг Кантор (1845-1918) болды.
Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен
біріккен нәрселер, нысандар жиынды құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар
жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын бөлшектер
жиыны т.с.с.
Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі
немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды
латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне
алып жазу келісілген. Мысалы, “планета” сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен
белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-
түрлі жазуға болады.
Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар
жиыны A – шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны
N - шектеусіз жиын.
Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B.
Оқылуы: “a B жиынының элементі” немесе “a B жиынына тиісті”. Мысалы, 7 саны
натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N. Егер c элементі A жиынына тиісті
болмаса, оның жазылуы: c ¢ A. Оқылуы:”c A жиынына тиісті емес”. Мысалы, 0
саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 ¢ N.
Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос
жиынның белгіленуі: Ø . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай
сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны
- бос жиын.
Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A
жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп
сандар жиыны – B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті.
Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны – A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың
байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы
кескінделеді.
Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы
кескінделген.
Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A.
Мұндағы A - қандай да бір жиын.
Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп
аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына
тең.
A жиынына да, B жиынына да тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды A
және B жиынының қиылысуы деп атайды.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
нысана жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х6(. А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті ортақ элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А және В жиындарының қиылысуы былай
белгіленеді:
С=А(В. А(В={хх(А және х(В}
Егер А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: А(В=(.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А және В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
4.Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы, жиын элементі;
2.Жиындардың берілу тәсілдері;
3.Бос жиын, шекті және шексіз жиындар;
4.Ішкі жиын, тең жиындар, универсал жиын;
5. Жиындарды Эйлер дөңгелектері арқылы және сан түзуінің бойында кескіндеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
1. А-геометриялық фигуралар жиыны. Осы жиынға
А) бесбұрыш: В) түзу: С) куб: Д) дөңгелек тиісті ме?
2. Х- хайуандар жиыны болсын. Осы жиынға:
А) сиыр; В) құмырсқа; С) қарға; Д) піл тиісті бола ма?
3.А жиыны -1, -2, -3, -4 сандарынан тұрады. Осы жиынды жазыңыздар.
Берілген санға қарама-қарсы сандарды жиын түрінде жазыныздар.
4. К-жай сандар жиыны, М-жұп сандар жиыны, Л-тақ сандар
жиыны болсын. 7, 11, 12, 18, 37, 47, 51, 65, 96, 115, 217, 321, 512, 418,
233 сандары қайсы жиынға тиісті болатынын көрсетіңіздер.
5. А-параллелограмдар жиыны болсын. Осы жиынға:
А)ромб; В) трапеция; в) параллелограмм диагоналы; г) тіктөртбұрыш тиісті
бола ма?
7. Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. а) Гүл аттарынан; б) тарихи оқиғалардан в) сандардан г)
геометриялық фигуралардан түратын жиындарға мысалдар келтіріңіздер.
3. В-барлық натурал сандар жиыны, А-12 санының барлықнатурал
бөлгіштерінің жиыны, В-24 санының натурал белгіштерінің жиыны
берілген. Осы А және В жиындарының элементтерін нүктелермен және Эйлер-
Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіздер.
4.У-мектеп кітапханасындағы кітаптар жиыны, А-математика
кітаптарының жиыны, В-жаратылыстану пөндерінің жиыны, С-физика кітаптарының
жиыны екені белгілі. Осы жиындардыЭйлер-Венн диаграммалары арқылы
кескіндеңіздер.
5.А-университетте оқитын студенттер жиыны, В-осы университеттегі 1-
курс студентттерінің жиыны. Осы екі жиынды Эйлер-Венн
диаграммасы арқылы кескіндеп көрсетіңіздер.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ. Математика. -Алматы, 2000.
2. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың
теориялық негіздері. -Астана, 2003.
3. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. - Алматы, 2004.
4. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
5. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ГРАФ
1. Сабақ жоспары: Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер
теоремасы.
2. Сабақ мақсаты: Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру. Жазық граф
туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Математикада әртүрлі нысандар
арасында (сан, шама, фигура) және олардың қасиеттерінің арасында да
байланыстар зерттеледі. Мысалы, сандар арасында тең, кем, артық, 1-і
артық, 2 есе кем, кейін, бұрын, арасында, соңында т.с.с. қатыстары
қарастырылады.
Натурал сан ұғымын қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі
ұғымы және жалпы сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамыту.
Математикада көбінесе екі нысанның арасындағы қатынас қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
С.И.Ожеговтың түсіндірме сөздігінде бинарлық двойной, состоящий из двух
компонентов деп жазған, яғни екі элементтен тұратын немесе қос деген
мағынаны білдіреді.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы
қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас әріптерімен белгілейді P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R(
ХхХ болады.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызып графигін беруге болады.
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Қатыстың кескінін, яғни сызба түрінде көрнекі түрде беруге болады, ол
сызбаны граф деп атайды. Граф, график гректің сөзі, жазамын деген
мағынаны білдіреді. Сызбада берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды
қосатын бағытталған сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды. Графта
сызықтардың басы да ұшы да беттесетін нүктені ілгектері деп
атайды.Графтармен байланысты ұсынған алғаш жұмыстардың бірі Эйлер жұмысы
болып есептеледі (1736 ж.).
Жазықтықта әртүрлі А, В, С, Д, Е нүктелерін белгілейік. Осы
нүктелерді граф төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды граф қабырғалары
деп атайды.
Бұл графты А, В, С, Д, Е нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден
басқа ешбір нүктелермен қиылыспайтын, қабырғалары тек төбелерде ғана
қиылысатын графты жазық граф деп атайды.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы қабырғалары тек төбесінде ғана
қиылысатын графтарды жазық граф берілсін.
Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын өзара қосқанда да ол жазық
граф бола алса, ондай граф толық жазық граф деп аталады.
Кез келген граф үшін Т- Қ + Ж =2 теңдеуі орындалады.
Т - граф төбелерінің саны;
Қ – граф қабырғаларының саны;
Ж - граф жазықтықтарының саны.
Бұл теорема жазық граф үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы
алғанда графтар төбелерден, қабырғалардан, жазықтардан тұрады. Берілген
графтар арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.
Графтағы ешбір қабырғалары арқылы артық рет өтпейтін сызық шынжыр
деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден әр
қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып сол А төбесіне қайта оралу
мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп аталады. Егер циклдың барлық төбелері
әртүрлі болса, мұндай цикл қарапайым, қарсы жағдайда қарапайым емес цикл
деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың қабырғаларын дәл бір ретпен
қамтиды.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс.
2. Байланысты граф.
3. Граф сөзінің мағынасы.
4. Графтар теориясы.
5. Графтың төбелері.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. У=(2,3,4,5, 6( жиынында "артық" және "артық немесе тең" атысы
берілген. Графын сыз, қасиетін анықта. Қайсысы рефлексивті қасиетке ие?
Неліктен?
3. У(( 2,4,6,8,12(- жиынында "2 есе артық" және "2-і артық" қатысы
берілген, қасиетін анықта. Графтарының ұқсастығы неде?
4. А кесінділер жиынында "тең" және "қысқа" қатыстары берілген,
қатыстардың графын сыз, қасиетін анықта. Қай қатыс рефлексивті қасиетке ие
болмайды? Графының ерекшелігі неде?
5. Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} -жиынында “3-ке бөлгенде бірдей
қалдық қалады” қатысы берілген. Қатыстың қасиетін анықта, эквиваленттік
қатыс бола ма? Қатыс жиынды неше класқа бөледі?
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. А={1,4,7,10,15,18,19} жиынында 3-ке бөлгенде бірдей қалдық қалады
деген R қатысы берілген.
а) R қатысына тиісті барлық парларын атаңыздар.
б) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
3. В={0,3,4, 6, 7} жиынында х саны у санынан 3-ке артық х, у € В
деген R қатысы берілген.
а) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
б) R қатысын теңдеу түрінде жазыңыздар.
4. Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр” графын сыз, қасиетін анықта.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№4 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: СӘЙКЕСТІК ҰҒЫМЫ, ГРАФЫ МЕН ГРАФИГІ
1. Сабақ жоспары: Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Сабақ мақсаты: Сәйкестік ұғымын өмірмен байланыстыра отырып
түсіндіру. Бейнелеулер мен олардың түрлеріне бастауыш сынып оқушысына
түсінікті етіп мысалдар келтіру.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Екі жиынның элементтерінің
арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты
сәйкестік деп айтады. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен
нақты сандардың немесе жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосындысының
арасында сәйкестік болады.
Анықтама. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік
деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиынын
айтады. R€XxY, Мысалы, Х={3,5,7,9}. P:xy Y={4,6}.
P={(5,4),(7,6), (7,4), (9,4), (9,6)}.
A={5,7,9}
T={4,6}
7€ X, 7 толық бейнесі {4,6}.
4 € Y, 4 толық түпкілікті бейнесі {5,7,9}.
Ақырлы осы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы
көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының арасыңдағы “артық”
(үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген
жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін
кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
Мысалы: N={1,2,3,4, ... n }- натурал сандар жиыны, B={2,4,6... 2n}- жұп
сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді.
Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал
сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең
қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз,
бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады,
сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.
4. Бақылау сүрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръективті бейнелеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
3. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиын сәйкестік құрастырады?
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері. –Астана, 2008.
№5 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: БЕЙНЕЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ТҮРЛЕРІ.
ТЕҢ ҚУАТТАС ЖИЫНДАР
1.Сабақ жоспары: Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
2.Сабақ мақсаты: Бейнелеулерге есептер шығарып жаттықтыру
3.Қысқаша теориялық мәліметтер Ақырлы осы жиындардың арасындағы
сәйкестікті график аркылы көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Тең қуатты жиындар.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6. Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
3. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
4. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиынын құрастыр. Қай ішкі жиын
сәйкестік құрастырады?
5.Оқушылар қарындашқа 10 теңге, дәптерге 7 теңге, өшіргішке 5 теңге,
қаламға 15 теңге төледі. Қандай екі жиын арасында сәйкестік берілген.
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2 .Инъективті бейнелеу.
3.Биективті бейнелеу.
4. Өзара бірмәнді бейнелеу.
5. Өзара бірмәнді сәйкестік.
6. Сатып алынған заттар есебі неде: кітап-100 тг, дәптер-10 тг, бояу
жаққыш 15 тг, өшіргіш 20 тг. Сатып алынған заттар жиыны Х және осы
заттардың бағаларының жиыны У-ті жазып, олардың арасындағы сәйкестікті
тұжырымдап, оның графын құрыңыз.
7. Төбелерінің координаталары (0,6), (5,0), (0,-3), (8-,0) бойынша
төртбұрыш салыңыздар. Осы төртбұрыш Х (ені) және У (ұзындығы) жиындарының
арасындағы сәйкестіктің графигі болып есептеледі.
8. АВС үшбұрышын сызыңыз. Х-осы үшбұрыштың бұрыштарының жиыны, ал У-
оның қабырғаларының жиыны, ал R:х бұрышы у қабырғасына қарсы жатыр деген
сәйкестік болсын. R сәйкестігінің графигіне тиісті барлық парларды атап
шығыңыз.
9. Х={xx €z, 0≤x≤4} және У={yy€Z, 0≤y≤5} жиындар элементтерінің
арасындағы сәйкестік кестемен берілген. Сәйкестіктің графигін құрыңыздар.
х 0 0
а а А
а ж Ж
ж а Ж
ж ж Ж
Мына Күн Жерден үлкен және Астана - Қазақстанның астанасы деген
пікірді қарастырайық. Бұл пікір Күн Жерден үлкен және Астана -
Қазақстанның астанасы деген пікірлердің конъюнкциясы болады. Сонымен қатар
ол ақиқат пікір, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.
Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды деген конъюнкция
жалған, өйткені оған енетін жәй пікірлердің біреуі Ертіс Каспийге құяды
жалған.
12 тақ сан және 5-ке бөлінеді деген пікір жалған, себебі бұл
конъюнкцияға кіретін екі жәй пікірдің екеуі де жалған.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. Пікірдің ақиқат не жалған екендігін анықта: -2х+6(2.
3 Келесі математикалық сөйлемдердің қайсысы пікір болады?
а) тік төртбұрыш шаршы болады.
в) х саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді.
с) (4+3)х2х=40
4.Пікір және предикатты бөліп жаз:
1) 1,2х+3у-8,
2) 0,3х+7,8у=9
3) 0,5(х+5)-8,
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. Келесі пікірлерді кванторлар арқылы жазыңыздар. Кез келген а және
в үшін (а+в)2=а2+2аb+в2 болады.
3. Төмендегі предикаттарды кез келген жалпылық квантор арқылы
жазыңыздар: а) “кез келген нақты сан х оң”; в) “кез келген натурал сан х
5-ке еселі”.
4. Келесі пікірлердің қайсысы қарапайым және күрделі, ақиқат және
жалған екендіктерін анықтаңыздар:
1) Даринаның туылған мерзімі қыс айы-желтоқсан;
2) Кәусәр - ең ұзақ гүлдейтін үй өсімдігі
3) 8-наурыз Жыл басы
4) 25 саны 7-ге қалдықсыз бөлінеді.
5. Келесі қос пікірлердің қайсысы бірін-бірі теріске шығаратын пікір
болатынын көрсетіңіздер:
а) 5 кіші 6; 5 үлкен 6; в) 5 кіші 6; 5 кіші немесе тең 6.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
№8 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ТЕОРЕМА ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ. ТЕОРЕМАНЫ
ДӘЛЕЛДЕУ ТӘСІЛДЕРІ
1. Сабақ жоспары: Теорема, оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу
тәсілдері
2. Сабақ мақсаты: Теорема ұғымы және оның құрылымымен таныстыру. Оны
дәлелдеу тәсілдері. Дұрыс және дұрыс емес пайымдаулар.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Теорема. Егер үшбұрыштың ешбір
төбесі арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған
екі қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы
өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (1-сурет).
Сызбаны сөзбен айтудың геометриялық жазылуы деп түсінеміз, сондықтан
теоремаларды дәлелдегенде сызбаны пайдалануға рұқсат етіледі.
а түзуі жазықтықтағы екі жарты жазықтыққа бөледі, А және В нүктелері
әртүрлі жарты жазықтықтарды жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен
қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.
Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС
кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады.
Мұнда а түзуі АВ және ВС кесінділерін қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Мұнда теореманың шарты – түзу үшбұрыштың ешбір ешбір төбесі арқылы өтпйді
және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы – бұл түзу
үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды. Теореманың
құрамы әртүрлі болғанымен оның шартын немесе берілуін және оның
қорытындысын (нені дәлелдеу керек екенін) көрсетеді
Ұғымды толық түсіну үшін оның барлық қасиеттері қарастырылады.
Геометрияда аксиома мен теорема сияқты сөздермен қатар анықтама сөзі
де пайдаланылады. Бір нәрсеге анықтама беру – оның не нәрсе екенін
түсіндіру. Мысалы, үшбұрыштың анықтамасы, үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын
үш нүктеден және осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны
айтады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Әр теореманың берілуі (шартын) мен қорытындысын бөліп алыңыз:
а) егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын тең болса, онда оның барлық
бұрыштары тең;
б) екі жұп санның қосындысы жұп сан;
в) егер сан 3-ке және 4-ке еселік болса, онда ол сан 12-ге еселі.
2. Теорема берілген: Ромбының диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысады.
Ромбының диагоналдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.
Осы теореманың шартын және қорытындысын айырып алыңыз және мына сөздарді
қолданып оны басқаша келтіріңіз:
1) туындайды, болады; 2) кез келген;
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1. Тік төртбұрыштың диагоналдарының қиылысу нүктесінің кіші қабырғадан
қашықтығы үлкен қабырғадан қашықтығынан 4 см артық. Тік төртбұрыштың
периметрі 56 см-ге тең. Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңыздар.
2. Параллелограмның екі қабырғасының қатынасы 3:4 қатынасындай, ал
оның периметрі 2,8 м-ге тең. Қабырғаларын табыңыздар.
3. Үшбұрыштың қабырғалары 8 см, 10 см, 12 см-ге тең. Төбелері осы
үшбұрыштың қабырғаларының орталары болып келген үшбұрыштың қабырғаларын
табыңыздар.
4. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына параллель болатын орта сызығы 3 см-
ге тең. Үшбұрыштың периметрі 16 см деп алып, оның қабырғаларын табыңыздар.
5. Трапеция табандарының қатынасы 2:3 қатынасындай, ал орта сызығы 5
м. Табандарын табыңыздар.
7.Үй тапсырмасы:
1. Теориялық материалдарды оқу.
2. АВС және МРК үшбұрыштары тең. АВ қабырғасы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz