Сызықтық емес программалау есебі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 17 бет
Таңдаулыға:

-Мазмұны.

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..

І бөлім. Сызықтық емес программалау есебі.

1. Сызықтық емес программалау есебінің жалпы қойылуы..

2. Мақсат функция сызықты емес және шектеулер жүйелері сызықты СЕП
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
...

ІІ бөлім. Сызықтық емес программалау есебін шешудің қосалқы әдістері
.

2.1. Мақсат функциясы сызықты емес және шектеулер жүйесінде
теңсіздіктеріде сызықты емес СЕП есебінің берілуі ... ... ... ...

2.2. Логранж көбейткіштер
әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ...

Қосымша

Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...

Кіріспе.

Сызықты емес программалау (СЕП) есептерінің сипаты және дәрежелері
сызықты программалау есептеріне қарағанда кеңірек және жоғары.
СЕП есептері тауар қорларын басқаруда, құрал жабдықтарды жөндеу
жұмыстарын ұйымдастырғанда, халық шаруашлығы кәсіпорындарының
өндірістеріне болжаулар жасағанда және т.б. халық шаруашылық есептерінде
қолданылады.
СЕП есептерінің СП есептерінен айырмашылығы, олардың бәріне бірдей шешу
әдістері жоқ және шешімі бола алатын аймақ (ШМБА) барлық уақытта дөңес
бола бермейді. Кейбір есептерде ШМБА дөңес болған кездің өзінде мақсат
функцияның бірнеше локальды экстремалды мәндері болуы мүмкін. Мұндай кезде
әр түрлі есептеу әдістерімен локальды экытремалды мәндердіберетін
нүктелерді табуға болады, бірақ осы мәндердің ішінен глобальды (обсалюттік
ең төменгі немесе ең жоғарғы) эксрималдық мәнді анықтау ең қиын іс және
ірден оны анықтау мүмкін емес. Мақсат функцияның және шектеулер жүйелерінің
түрінде байланысты СЕП есептерін шешу үшін бірншеше арнайы әдістер
дасалған. Оларға Лангранж әдісі, графиктік әлістері және жуықталған
әдістер жатады.
Егер СП есебінің экстрималды нүктесі көпжақтылардың төбелерінде
болса, ал СЕП есептерінің экстрималды нүктелері көбжақтылардың төбелерінде
немесе қабырғаларында, немесе қырында, немесе осы дененің ішінде жатуы
мүмкін.
Курстық жобаның мақсаты: Сызықтық емес программалау әдістерін
пайдаланып, халық шаруашылығында күнделікті қолданылатын өндіріс
орындарын жоспарлау, өнідірістен мүмкін болғанша жоғары өнім алу, техниканы
өндіріс құралдарын дұрыс пайдалану, малға тиімді рацион жасау, қатынас
есептерін шешу, халық шаруашылығын өркендету мәселелері қарастыратын
есептер шығару.
Зерттеу міндеттері:
1. Тәжірибелік есептерді шығару кезеңдері.
2. Сызықты емес теңсіздіктермен жұмыс.
3.СЕПЕ математикалық модельдерінің жазылуы.
4. Бір түрден екінші түрге өту кезеңдері.
5. Жүйедегі шектеулердің бірлесуі.
Зерттеу объектісі: Сызықтық емес программалау есебінің қойылуы,
формалдау, математикалық моделін құру, әдісті таңдап алу, берілген
әдіске бағдарлама құру, тәжірибеде қолдану.

Зерттеу пәні: Өндірістік және экономикалық процестерді модельдеу

Зерттеу әдістері: Журналдар, сызба суреттер, программалық
көірінстер, проектор.
Курстық жобаның құрылымы: Кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан
және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

І бөлім. Сызықтық емес программалау есебі.
1.1. Сызықтық емес программалау есебінің жалпы қойылуы.

Жалпы математикалық программалау есептерінің математикалық моделінің
жазылу жолы бір типтес. Мысалы, мына шектеулер жүйелерін қанағаттандыратын
және (сонымен қатар - бүтін сандар болуы мүмкін ) мына
функцияны

экстремалды және жеткізетін - векторын табу керек деп жазылатыны
белгілі.
Көрсетілген жағдайларды қанағаттандырмайтын кез келген математикалық
программалау есептері сызықты емес программалау есебі деп аталады.
Сызықты емес программалау (СЕП) есептерінің сипаты және дәрежелері сызықты
программалау есептеріне қарағанда кеңірек және жоғары.
СЕП есептері тауар қорларын басқаруда, құрал жабдықтарды жөндеу
жұмыстарын ұйымдастырғанда, халық шаруашлығы кәсіпорындарының
өндірістеріне болжаулар жасағанда және т.б. халық шаруашылық есептерінде
қолданылады.
Жалпы СЕП есептерінің мәнісі функцияның

максималды немесе минималды мәнін анықтауда.
Сонымен қатар, егер Z – функциясы n-функциялардың (∑) қосындысы
болса, онда

Оны Сеперабельді немесе егер Хі – ң біреуі екінші (шаршы) дәрежелі болса,
онда оны шаршыланған (квадратическая) деп атайды. Екң жағдайа да мақсат
функцияның экстремалдық мәні мына шарттарда:
және

ізделінеді.
СЕП есептерінің СП есептерінен айырмашылығы, олардың бәріне бірдей
шешу әдістері жоқ және шешімі бола алатын аймақ (ШМБА) барлық уақытта
дөңес бола бермейді. Кейбір есептерде ШМБА дөңес болған кездің өзінде
мақсат функцияның бірнеше локальды экстремалды мәндері болуы мүмкін. Мұндай
кезде әр түрлі есептеу әдістерімен локальды экытремалды мәндердіберетін
нүктелерді табуға болады, бірақ осы мәндердің ішінен глобальды (обсалюттік
ең төменгі немесе ең жоғарғы) эксрималдық мәнді анықтау ең қиын іс және
ірден оны анықтау мүмкін емес. Мақсат функцияның және шектеулер жүйелерінің
түрінде байланысты СЕП есептерін шешу үшін бірншеше арнайы әдістер
дасалған. Оларға Лангранж әдісі, графиктік әлістері және жуықталған
әдістер жатады.
Егер СП есебінің экстрималды нүктесі көпжақтылардың төбелерінде
болса, ал СЕП есептерінің экстрималды нүктелері көбжақтылардың төбелерінде
немесе қабырғаларында, немесе қырында, немесе осы дененің ішінде жатуы
мүмкін.
Егер СЕП есебі сызықсыз шектеулер болса, онда шешім бола алатын
аймақ дөңес болмайды және глобалдық оптимумнан (ең кіші немесе төмен емес)
болуы мүмкін.
СЕП есебі шешу алгоритмін нақтылы тұжырымдау үшін бірнеше мысалдар
мен тәсілдерді қарастырамыз.
Есептің графикалық әдісі.
Сеп есебін графикалық жолмен шешу мынадай кезеңдерден тұрады:
1. қатынаспен анықталған есептің шешімі мүмкін бола алатын аймақты
табады (егер ол бос болса, онда есептің шешімі жоқ).
2. -гипержазықтығы құралады.
3. Гипержазықтықтың ең биік (ең төменгі) деңгейі анықталынады немесе
есептің көптік шешімі бола алатын аймаққа мақсат функцияың шешулеріне
байланысты шешімі жоқ екендігі анықталады.
4. Гипержазықтықтың ең биік (ең төменгі) деңгейі өтетін шешімі мүмкін
болаалатын аймақтан бір нүкте табылады және сол нүкте функция мәнін
анықтайды.
Мысал.

мына жағдайда:

Координат өсінде жүйедегі теңсіздіктердің графиктерін
тұрғызайқ.Берілген есептің шешімі мүмкін бола алатын аймақ ОАВС көпбұрышы
(1-сурет).Осы аймақтан Функция максималды мәнге жететін нүктені анықтаиды.
Ол үшін деңгеи сызықты

тұрғызамыз. Мұндағы h – кез келген тұрақты шама, осы көрсеткіштің әртүрлі
мәнінде функция қалай өзгеретінін зерттейік. h - ң әр мәнінде парабола
аламыз. Ол ОХ осіне қашықтаған сайын h – мәні өседі. ОАВС қырының бірінде
парабола жанасқан жерінде функция максималды мәніне жетеді.
Есепте парабола

1 – сурет.
АВ қабырғасымен D нүктесінде жанасады. Бұл нүктенің координатын мына
теңдеулер жүйесін шешу арқылы табуға болады.

Жүйеден мына мәндерді таптық:

Сонымен есепті шығарудың нәтижесінде мақсат функцияның максималды
мәні көпбұрыштың төбесінде емес екеніне көзіміз жетті. Сондықтан сызықты
программалау есебінің геометриялық шығару жолын, яғни көббұрыштың барлық
төбелерін қарап шығу тәсілін бұл есепке қолдануға болмайды.
Мысал:
Мақсат фукнцияның

мына жағдайда:

глобалдық (обсалюттік) экстремалды мәнін табу керек.
Шешімі: шешімі мүмкін бола алатын аймақ радиюсы 4 – ке тең шеңбердің
төрттен бір бөлігі, ол координаттар өсінің бірінше ширегінде орналасқан
(2 – суретті қараңыз).
Деңгей сызығы () өз - өзіне паралельді жылжытып отырып,
шеңбермен жанасу нүктесіне дейін апарамыз. Сүретте деңгей сызығы шеңбермен
А нүктесінде жанасқан. Деңгей сызығының (Х2=-2Х1) бұрыштық коэффиценті - 2
ге тең. Функция глобалдық минимумына О(0.0) нүктесінде ал глобалдық
максимум оның шеңбермен жанасу нүктесінде жетеді.

2 – сурет
А нктесі арқылы деңгей сызығына перпендикуляр жүргіземіз. Бұл тік бұрыш
сызық координаттың бас нүктесі арқылы өтеді және оның бұрыштық коэффиценті
тең, сонымен қатар ол мынадай теңдікпен өрнектеледі:

Нәтижесінде мынадай теңдіктер жүйесі табылады:

Жүйені шешу нәтижесі:

Сөйтіп глобалды максимум мақсат функция , ал сол нүктенің
кординаты

1.2. Мақсат функция сызықты емес және шектеулер жүйелері сызықты СЕП есебі

Мысал.
Мына функцияның
мына жағдайда:

глобалдық экстремалды мәнін табу керек.
Шешімі: Координаттар өсінде жүйедегі шектеулерді пайдаланып олардың
графигін тұрғызамыз (3 - сурет)

3 – сурет.

Берілген Z – мақсат функциясы формуласы бойынша шеңбер құруға болады.
Шеңбердің бас нүктесін (01)координаттары осы теңдік арқылы табылады, ол
О1(2;3).
Сонымен Z – мақсат функциясы минималды мәнінде, О1 – нүктесінде, ал
максималды мәнінде D – нүктесінде жетеді. D – нүктесінің координаты
D(9;0).
Z – функциясының ең үлкен (глобалдық) максималды мәні:

D – нүктенің координаттары сәйкес. Ал Функцияның ең кіші (глобалдық)
минималды мәні:

О1 – нүктенің координаттарына сәйкес.
Тағы бір есепті қарастырайық.
Мысал: мына функцияның

мына жағдайда

Глобалдық экстрималды (ең үлкен және ең кіші) мәндерін іздейік.

Шешімі: Координаттар өсінде жүйедегі етңсіздіктердің графиктерін
тұрғызайық. Шешімі мүмкін бола алатын аймақ – ОАВD.
Деңгей сызығы, бас нүктесі О1 (6.3) шеңбер түрінде бейнеленеді. Ең
үлкен максималды мән О(0.0) нүктесіне сәйкес келеді. Өйткені, ол шеңбердің
бас нүктесінен ең алыс орналасқан шешімі мүмкін бола алатын аймақтың ең
шеткі нүктесі. Ең кіші минималды мән Е – нүктесінің координаттарына сәйкес.
Ол нүкте түзу сызығына О1- нүктесінентік бұрышпен түсірілген
сызықтың қиылысында жатыр.
Енді осы Е – нүктесіунің координаттарын іздейік. сызығының
бұрыштық коэффиценті - тең, ал оған тік бұрышпен түсірілген сызық О1Е-
ң бұрыштық коэффиценті тең. Олай болса, бұрыштық коэффиценті тең.
О1-нүктесінен өтетін түзу сызықтың түрі
бұдан
Нәтижесінде

жүйеден Е – нүктенің кооринаттарын табамыз.

демек

Е – нүктесінің координаттарын басқаша да есептеуге болады. X1 – і
анықталмаған функция деп есептеп

өрнегінен туынды алып, мына өрнекті табамыз.

Алынған мәнді түзудің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.