ҚАЙТАЛАНБАЛЫ ТӘУЕЛСІЗ СЫНАҚТАР

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

ҚАЙТАЛАНБАЛЫ ТӘУЕЛСІЗ СЫНАҚТАР.

Қайталанбалы тәуелсіз сынақтар

Егер тәжірибе бірнеше рет жүргізілгенде А оқиғасының әр тәжірибедегі ықтималдығы басқа тәжірибелердің нәтижесіне тәуелсіз болса, ондай тәжірибелерді А оқиғасына қарағанда тәуелсіз тәжірибелер деп атайды.

Әртүрлі тәуелсіз тәжірибелерде А оқиғасының ықтималдығы да әртүрлі болуы, немесе бірдей болуы мүмкін. А оқиғасының барлық тәжірибелердегі

ықтималдығы бірдей болатын жағдайды қарастырамыз.

Егер А оқиғасының әр тәжірибедегі пайда болу ықтималдығы р болса, онда

А оқиғасының пайда болмау ықтималдығы әр тәжірибеде q = 1-p болады.

А оқиғасының п тәуелсіз тәжірибеде к рет пайда болуының, ендеше п-к рет

болмауның ықтималдығын табу керек. Іздеп отырған ықтималдықты арқылы белгілейміз. Мысалы, Р ₆ (4) символы 6 тәжірибеде А оқиғасы 4 рет пайда болады, ендеше 2 рет пайда болмайды деген ұғымды береді. Бұл есепті Бернулли формуласы шешеді.

Муавр - Лапластың локальдық теоремасы.

Оқиғаның әрбір тәжірибеде пайда болу ықтималдығы р - тұрақты (0<p<I) болса, онда оқиғаның n тәулсіз тәжірибеде k рет пайда болуы у функциясының жуық мәніне тең болады. n неғұрлым үлкен болған сайын функция мәні соғұрлым дәл.

мұндағы

Функцияның мәндерінің, x>0 үшін, кестесі берілген. Ал x<0 болғанда да осы кестені қолдануға болады, себебі функциясы жұп функция, .

Сонымен А оқиғасы n тәжірибеде k рет пайда болу ықтималдығының жуық мәні мынаған тең:

Жауаптарын салыстырсақ, бірталай айымашылық бар екенін көреміз, себебі, n кіші сан, ал Лапластың жуықтап есептеу формуласы n жеткілікті үлкен мән алғанда ғана жақсы дәлдікпен есптейді.

Қарастырылған екі формулада оқиғаның бір тәжірибедегі пайда болу ықтималдығы р жеткілікті түрде үлкен сан, яғни егер р 0 мен 1 аралығында өзгереді десек, бұл екі жағдайда 0, 1<p<1 болады.

Егер , ал , яғни болса, және k - ның мәні де жеткілікті түрде аз сан болса, онда ізделінді ықтималдықты есептеуге Пуасонның жуықтап есептеу формуласы қолданылады.

Лапластың интегралдық теоремасы

n рет тәуелсіз тәжірибе жасалынды делік. Әр тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р - ға тең (0<p<1) .

n тәжірибеде А оқиғасының - ден кем болмау, - ден көп болмау ықтималдығын қалай табуға болады? Бұл сұраққа Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді.

Теорема. А оқиғасының әр тәжірибеде пайда болу ықтималдығы р тұрақты, 0 мен 1 - ге тең болмаса, онда n тәжірибеде А оқиғасының пайда болу саны - ден кем болмау, - ден аспау ықтималдығы жуық шамамен анықталған интегралға тең:

мұндағы

және

Анықталмаған интеграл элемент р функциялар арқылы өрнектелмейтін болғандықтан, есепті шешуде арнайы кестелер қолданылады. Егер болса, онда функция Лаплас функциясы деп аталады. Арнайы кестелер функциясының х - тің оң мәндеріндегі, дәлірек айтқанда алатын мәндері келтірілген, х<0 болғанда да осы кесте қолданылады, тек бұл жағдайда функциясының тақ екенін ескеру керек, яғни = - , ал x>5 болғанда =0, 5 деп алынады.

Сонымен А оқиғасының n тәжірибеде -ден -ге дейін пайда болу ықтималдығы мынаған тең:

мұндағы және

2. Бернулли формуласы.

А оқиғасының n тәуелсіз тәжірибенің әрбіреуіндегі пайда болу ықтималдығы бірдей және p-ға тең болса ( ), осы оқиғаның n тәжірибеде к-рет пайда болу ықтималдығы