Математикадағы дифференциалдық есептеулер элементтері

Мақсаты: Жоғарғы математикада қарастырылатын белгілі дифференциалдық есептеулер элементтері бойынша мектеп матиматикасындағы туындыларды табу үшін қолдануға болатынын көрсету.

Кіріспе
Туындылар және оларды функцияларды зерттеуде қолданылуы қарастырылатын математиканың бөлімі дифференциялдық есептеу деп аталады.Айырманы көрсететін Δƒ түріндегі өсімше туындыларымен жұмыс істегенде елеулі орын алады.Сондықтан да жаңа есептеу calculis differentialis ( қазақша айырмаларды есептеу деп аударылады)атауында латынша differentia (айырма) түріде көрініс табуы орынды,бұл атау XVII ғасырдың аяғында,яғни жаңа әдіс дүниеге келгенде пайда болды. «Туынды» термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы,және оны 1797 жылы француз математигі Ж.Лагранж (1736-1813) енгізген,қазіргі кездегі ý',ƒ' белгілеулерін де сол енгізген.Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады:ƒ'(x)функциясы ƒ(x)-тен шығады, ƒ(x)-тің туындысы болып табылады.Ағылшын математигі И.Ньютон ( 1643-1727) функцияның туындысын флюксия деп атайды,ал функцияның өзін флюксия деп атаған.Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) дифференциялдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген.Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиi кездеседі.Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) df символын f функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. f функциясының дифференциалын – ƒ'(х )туындысыны Δх өсімшесіне көбейтіндісі,яғни df= ƒ'(х ). Δх; Δх белгілеуін dx -пен алмастырып,оны былай да жазуға болады:
df= ƒ'(х )dx
осыдан
ƒ'(х )=
Дифференциялдың геометриялық мағынасын 1-суреттен анық көрінеді: мұнда df=AB ,1түзуі-графикке жүргізілген жанама.
3
Дифференциялдық есептеуде қабылданған терминология туралы әңгімені шек және шексіз аз ұғымдары толықтыра түседі.Шек туралы төменде айтылады.Әзірге мынаны ескертеміз,мысалы,туынды барлық нұсқауларда шек ретінде анықталады.Жоғарыда қабылданған Δх→() жағдайда → ƒ'(х )
деп жазудың орнына ƒ'(х )= түрінде жазады. Lim белгілеуі – латыннның limes(меже,шекара)деген сөзінңі қысөарған түрі: мысалы, Δх -ті кеміте келіп, біз мәнін ƒ'(х ) «шекарасына» ұмтыламыз. «Шек» терминін ағылшын математигі И.Ньютон(1643-1727) енгізген. Δх-тен (Δх) квадрат функциясы шексіз аз шаманың мысалы бола олады,өйткені Δх→() жағдайда (Δх) →() .Жалпы егер limά(x)=0 болмаса, ά(x)-шексіз аз деп атайды. Математикалық анализде шексіз аздар маңызды орынға ие,сондықтан да оны көбінесе шексіз аздар анализі деп атайды. Қазақша maximum–ең үлкен,ал minimum–ең кіші деп аударылады. Дифференциялдық есептеуді ағылшын математигі И.Ньютон(1643-1727) мен неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) біршама беріректе,ғасырдың соңыңда құрды.Таңқаларлық бір нәрсе,бұдан көп жыл бұрын грек математигі Архимед ( б.з.д.287-212)аса күрделі спираль сияқты қисыққа жанама жүргізу есебін шығарған ( ол мұнда шекке көшуді қолданған),сонымен бірге ƒ(x)= х (a-x) функциясының максимумын таба білген. Жанама ұғымы итальян математигі Н.Тартальи(1499-1557)еңбектерінде ауық-ауық ұшырасын қалады, мұнда жанама зеңбіректің оқты барынша алысқа атуға көмектесетін көлбеулік бұрышы жөніндегі мәселені оқып – үйрену барысында айтылады.австрия алымы И.Кеплер(1571-1630) радиусы берілген шарға іштей сызылған параллелипипедтің ең үлкен көлемі туралы есепті шығару барысында жанаманы қарастырған. XVII ғасырда итальян ғалымы Г.Галилейдің(1564-1642) қозғалыс туралы ілімі негізінде туындының кинематикалық концепсиясы қарштап өркендеді.Әр түрлі есептерді шығаруға қолданылған алуан түрлі варианттардың баяндалуы француз математигі Р.Декарт(1596-1650),француз атематигіРобервальде (1602-1675),ағылшын ғалымы И.Барроу (1630-1677) мен И.Ньютон еңбектерінде кездеседі. Жанама мен нормалды(жанама перпендикуляр және жанасу нүктесінде жүргізілген түзу осылай аталады)қарастыруға француз математигі Р.Декарт (1596-1650) линзалардың оптикалық қасиеттерін зерттеу барысында келді.Ол аналитикалық геометрия әдістерінің және өзі ойлап тапқан анықталмаған коэфициенттер әдісінің
4
көмегімен бірқатар қисықтарға,соның ішінде элипске нормалдар салу туралы есепті шығара білді. 1629 жылы француз математигі П.Ферма(1601-1665) көпмүшелердің экстремумдарын табу ережелерін ұсынды.Айта кететін елеулі нәрсе,Ферма осы ережелерді қорытып шығарғанда,мавксимум мен минимумдардың қарапайым дифференциялдық шартын біле отырып,шекке көшуді қауырт қолданды. Туындылар туралы ғылымды жүйелі түрде дамытқан неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716)пен ағылшын математигі И.Ньютон (1643-1727) жылы болды,олар анализдің негізгі екі проблемасын тұжырымдады. 1.«Жүретін жолдың тұрақты ұзындығы берілген,көрсетілген уақыт ішіндегі қозғалыс жылдамдығын табу керек. 2.Қозғалыс жылдамдығы тұрақты,көрсетілген уақыт ішінде жүрілген жолдың ұзындығын табу керек». Бірінші проблема дифференциялдық есептеудің даму бағдарламасын береді,екіншісі интегралдық есептеуге жатады. Ньютон механика есептерін негізге алса (ньютондық анализ ньютондық классикалық механикамен қатар жасалған-ды),Лейбництің артықшылығы ол геометрия есептеріни негіз етіп алды. Француз математигі А.Лопиталь ( 1661-1704),швейцария математигі И.Бернуллиден (1667-1748) дәріс алған,ол жылдың өзінде дифференциялдық есептеудің алғашқы курсы «Қисық сызықтарды зерттеуге арналған шексіз аздар анализін» баспадан шығарып үлгерді,бұл жаңа әдістердің таралуына септігін тигізді. Математикалық анализдің дамуына швейцария математигі Л.Эйлер(1707-1783) мен неміс математигі К.Ф.Гаусс(1777-1855) теңдесі жоқ үлес қосты. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу,яғни функцияларды қосылғыштарының саны шектеусіз көпмүшелер түрінде көрсету жөнінде болып отыр.Шектусіз қосындылардың (сан қатары)мысалы бізге таныс,мәселен шексіз периодты бөлшектерді қосылғыштарының саны шектеусіз қосынды түрінде көрсету.Сандық және функциялық қатарлармен Ньютон ғана емес,одан бұрынғылар да шұғылданған болатын,сондықтан да мынадай тамаша қатыс үшін f(х + Δх)= ƒ'(х )+ .Δх+ .( Δх)+...+ .( Δх) +... (мұндағы: функциясын х нүктесінде n- рет дифференциялаудан шыққан мән,ал n!=1 2…n ) Қабылданған Тейлор формуласын атамай кету дұрыс болмас еді.((Б.Тейлор (1685-1731)-ағылшын математигі,формуласы 1715 жылы жарық көрген). Туындылар формулаларын біле отырып,мысалы пен функциялары үшін,оларды өзіміз Тейлор қатарына жіктей аламыз. Кейбір жағдайларда,қосылғыштардың шектеусіз санын ескермей тастап кетіп,көпмүшелермен берілген функциялар жап-жақсы жуықтау беретін формула шығарып алуға болады екен. Шығарылатын есептер шеңберін кеңейтуге мүмкіндік беретін қуатты жаңа әдістерін пайда болуынан туған сезім XVIII ғасырда анализдің қарақынды дамуына себепші болды.

Әдебиеттер.
1.Н.Темірғалиев «Математикалық анализ».Алматы т. 1 Мектеп 2.А.Н.Колмоногоров ,А.М.Абрамов «Алгебра мен анализ бастамалары».Алматы.Рауан.1992. 3.Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов,С.И.Шварцбурд «Алгебра и математический анализ».Москва.Просвешение.1983. 4. Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов,С.И.Шварцбурд «Алгебра и математический анализ».Москва.Просвешение.2000. 5.Е.С.Кочетков, Е.С.Кочеткова «Алгебра және элементар функциялар».Алматы.Мектеп.1973. 6.Н.Темірғалиев. «Дифферциалданатын элементар функциялардың туындыларын есептеуді үнемі және тез үйретудің әдістемесі»//И.Ф.М.6.2000.Б.67-40. 7.О.А.Жәутіков «Математикалық анализ курсы».Алматы,Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы.»1959. 8.Х.И.Ибрашев,Ш.Еркеғұлов «Математикалық анализ курсы».Алматы.т.1 1963,т.1970. 9.Б.Т.Төлегенов «Бір айнымалы функциялардың дифферциялдық есептеуі».Алматы.1969. 10.Б.Т.Төлегенов «Математикалық анализдер лекциялар курсы».1-бөлім.Алматы.1973.