Тригонометриялық Фурье қатарларын күшті қосындылау

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 36 бет
Таңдаулыға:

Ф-ОБ-001003
Қазақстан Республикасы Білім мен ғылым министрлігі
Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ- түрік Университеті
Математика кафедрасы

Дипломдық жұмыс

Тақырыбы: Тригонометриялық Фурье қатарларын күшті қосындылау

Орындаған:
ЖМА-511 тобының студенті

Илебаева И.
Ғылыми
жетекшісі:
Ф.-м.ғ.к.,
доцент Тазабеков С.

Түркістан 2009

2
Мазмұны
Кіріспе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
І. Тарау. Фурье қатары үшін күшті қосындылау және класы.
1.1. Көмекші леммалар . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Негізгі теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ІІ. Тарау. Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіз модулі
2.1. Фурье қатары үшін күшті қосындылау . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2.2. Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіздік модулі . .
. . . . . . .
ІІІ. Қорытынды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ІV. Пайдаланылған әдебиеттер

3

Кіріспе
Күшті қосындылау туралы түсінік.
Фейер теоремасы бойынша ұмтылған кезде
(1)
теңдігі орындалатын болса, онда класының кез келген
функциясы үшін .
Ең алғаш рет Хорди мен Литливуд барлық жерде
(2)
теңдігінен күшті қатынас алуға бола ма деген сауал қойды.
Егер (2) қатынас кейбір х нүктелерінде орындалатын болса, онда қатар
осы нүктеде күшті қосындыланады деп айтуға болады. Шартты түрде, қатар к
көрсеткішті қосындыланады деп айтуға болады немесе кейбір ғалымдардың
пайымдауынша
(3)
теңдігін -қосындыланады деп айтуға болады.
Егер болса, онда Гельдер теңсіздігі бойынша -
қосындылауынан - қосындылауы келіп шығады, өйткені кез келген
үшін

егер

4

онда

болады. Олай болса, (3) қатынастан күштірек к-дан үлкен нәтиже алуға
болады.
Бұл дипломдық жұмыста Фурье қатарларын күшті қосындылау және оның
үзіліссіздік модулімен арасындағы байланыс қарастырылады. Г. Фройд , Л.
Лейндлер, И. Сабадош жұмыстарын зерттеудің жалғасы. Фурье қатары мен
функциялар теориясындағы үзіліссіздік модулі мен ең жақсы жуықтаулар
арасындағы байланыстар, Стечкин теңсіздігі, Гельдер теңсіздігі және тағы
басқа теңсіздіктер қолданылады.
Енді керекті анықтамалар мен тұжырымдарды қарастырайық.

5
Анықтамалар мен керекті тұжырымдамалар
Анықтама1: функциясы кесіндісінде үзіліссіз кемімейтін
және төмендегі шарттарды қанағаттандыратын функция болсын.
,
мұндай функцияларды үзіліссіздік модулі деп атайды.
Анықтама2: Айталық функциясы [a,b] анықталсын. Кез келген
функциясының [a,b] кесіндісіндегі үзіліссіздік
модулі дегеніміз
.
Егер функциясына ешқандай шектеу қоймасақ, онда үзіліссіздік
модулі болуы мүмкін.
Егер болса, онда кез келген үшін мына шарт
орындалады:

Үзіліссіздік модулінің кейбір қасиеттерін келтірейік:
қасиет-.
қасиет-. монотонды өспелі
қасиет-. n-бүтін сан n=кез келген оң сан

қасиет-. онда
Анықтама3: класында жатады дейміз, егер
орындалса,

Дербес жағдайда 2 периодты функциясының үзіліссіздік модулін
былай жазуға болады.

6

Анықтама4: Мына , функцияның ең жақсы жуықтауы
тригонметриялық полиномның ретті шамасы деп аталады.
функциясын реті -нен аспайтын тригонометриялық полиноммен ең жақсы
жуықтау дейміз.

Ең жақсы жуықтаудың кейбір қарапайым қасиеттерін келтірейік:
Айталық болса, онда
1.
2.
3.
4.
5. Егер онда
6. С-const
7.
8. Егер онда
Теорема1:(Гельдер теңсіздігі)
Айталық -сандары өзара түйіндес және
функциялары кесіндісінде бар болып, ақырлы болсын.
және интегралдары бар
болсын, онда функциялары да кесіндісінде интегралданады.
Сөйтіп, мынадай теңсіздік орындалады.

7

Бұл теңсіздік неміс ғалымы Гельдердің құрметіне Гельдер теңсіздігі деп
аталады.

8
І тарау. Фурье қатары үшін күшті қосындылау және класы.

1. Көмекші леммалар

Лемма-1: Егер өспелі емес, тізбегі оң және q0 болса, онда
тұрақтысы бар болады және ол n-ге байланысты емес.
Олай болса
(n=1,2,3,...)
Дәлелдеуі: Айталық және (i=1,2,3,...) екі натурал санының
тізбегі сондай-ақ
үшін
(1.1)
және
үшін
(1.2)
болса, онда (2)-ден алатынымыз:

Сондықтан, егер болса, онда

сонымен бірге (1.1)-ден

және осы соңғы екі теңдіктен үшін алатынымыз:

9
(1.3)
егер және болса, онда
(1.4)
болады.Толығымен дәлелденді.
Сонымен, қорытындылай келе

онда

үшін және (1.3) , (1.4) мәндері

үшін. Сондықтан, біздің теңсіздігіміз дұрыс.

Лемма-1 толығымен дәлелденді.
Лемма-2: Айталық тізбегі және теоремадағы р бар болсын. Онда
мәні
(1.5)

мұндағы тұрақты оң және нүктесіндегі f тригонметриялық
полином үшін ең жақсы жуықтау.

10
Дәлелдеуі: Алдымен болған жағдайды қарастырайық, онда Гельдердің
теңсіздігін пайдаланып, мынаны аламыз:

үшін (1.5) теңдік осыны береді.
Егер болса, онда [5]-тен келесі нәтиже қажет болады:

мұндағы , тек р-ға тәуелді. Осы теңсіздікті пайдалана отырып, 1-
леммадан (1.5)-ті аламыз.
Лемма-3: Егер және функциясы класына тиісті
болса, онда функция

11

болады.
Дәлелдеуі: Өйткені тиісті, яғни

сондықтан,

Егер деп алсақ, онда

үшін лемма-3 дәлелденді.
Лемма-4: Егер немесе және табылып,
сондай-ақ болса, онда
(1.6)
функциясы класына тиісті болады.
Дәлелдеуі: Мына функцияның жинақталатының дәлелдейміз,

12
және N нөмерін сондай бір болатындай етіп таңдаймыз. Енді
қатарды мына түрде қарастырамыз:

+

Алдымен деп есептесек, кейбір
үшін
болады. Яғни , болады және бұдан шығатыны

сонымен қатар

13

жуықтау ретінен мынадай теңсіздік аламыз:

Сондықтан

сондай-ақ

бұл үшін дәлелденген, әйткенменде үшін де орынды делік.
Біз байқағандай (1.4) шарт орындалады. Сондықтан біз
толықтырулар қоспаймыз. Лемма-4 толығымен дәлелденді.

14

1.2 Негізгі теорема
Айталық f функциясы периодты интегралданатын
және қосындының толық емес тізбегі. Осы функция үшін Фурье
қатары бар болсын.
Фройд [1] дәлелдеуінде, егер және

(1.7)
болса, онда жатады.
Лейндлер мен Никишиннің [3] жұмысында дәлелдегеніндей бұл
(1.7) шарт пен бірге p=1 болғанда

болатынын көрсеткен. Себебі
Осколков пен Сабадош дәлелдемелерінде яғни (1.7) шарты мен қатар
шарты қажетті.
Лейндлер мен Никишин жұмысының нәтижесі Лейндлердің [4]
жұмысында жалғасын тапқан. Яғни осы сұраққа жауап береді.
Бұл жұмыста мына мәселе тұрғысында қарастырылады, яғни
монотонды тізбегі үшін қажетті және жеткілікті және сондай-ақ
мына шарт орындалады.

мұндағы класында жатады, үзіліссіз модуль бойынша
тұрақты шама және класындағы функциясының
үзіліссіз модулі бар, яғни

15

монотонды тізбек және үшін келесі түрде көрсетеміз:

Енді келесі теореманы көрсетеміз:
Теорема: Айталық дұрыс монотонды (кемімелі де, өспелі де емес)
тізбек болсын. Сонымен қатар үзіліссіз модулі және болса,
онда
шарты

(1.8)

(1.9)
қажетті.
шарты
Егер мәні бар болса, сондай-ақ

(1.10)
болса, онда кері жағдайда яғни (1.8) шартқа (1.9) шарт қажет.

Бұл теоремадан барлық нәтижелер ішінде көрсетілген және алдағы
қарастырып кеткен сұраққа жауап аламыз. Сонымен қатар біздің бұл
теорема Лейндлердің [2] жұмысының кейбір жерлерінде де кездеседі.
Дәлелдеуі:
шарты
Егер болса, онда (1.8) және (1.5) қолданып,
Стечкиннің келесі теңсіздігін пайдаланамыз:

16

онда бұдан алатынымыз:

және класына тиісті.
щарты
Егер (1.8) шарт орындалмаса, онда 3-леммадан алынған
функция -класы (1.6)–ға қатысты емес, ал 4-леммадағы класына
қатысты.
Теорема дәлелденді.

17
ІІ тарау. Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіз модулі

1. Фурье қатары үшін күшті қосындылау

Айталық үзіліссіз, периодты функция және оның
фурье қатары
(1)
(1) –дің дербес n-ші ретті қосындысын деп белгілейміз.
Күшті қосындылау жайында Фройдтың [1] жұмысында
көрсетілген яғни барлық х-тар үшін қандай да бір f(x) функциясы
келесі қасиетке ие болса,
(2)

(мұндағы және К абсолютті тұрақты,)
онда әрбір х үшін мына шарт орындалады.
(3)
Фройдтың жұмысында мынадай мәселе қарастырылған. Барлық х
үшін (3) шарты орындалады егер (2) шартты қанағаттандырса.
Біз бұл мәселеге толымсыз жауап бергенбіз, яғни (3) шартта х=0
болса, онда ол орындалмайды.
Біздің қарама- қарсы мысалымыздан:

Енді бұл жұмыстан біз нәтижелерді талдап қорытындылаймыз.
Біз есептеген дұрыс қосындылау әдісі ұшбұрыштар
матрицасы мен есептелінеді.

18

және . Егер ұмтылса, онда

Айталық өспелі функция және n мен n+1 арасы сызықты дәл
сондай-ақ болсын.
Теорема-1: Айталық болсын. Бұл ұйғарым бойынша ұшбұрыштар
матрицасы келесі қасиетке ие болса, ( өседі)

(4)

(5)
және
(6)
онда барлық х үшін
(7)
болса, онда
(8)
болады.
Сонымен бірге әрбір х үшін

19
(9)
орындалады.
Біз (8) , (9) күшеймейтінің көрсете аламыз.
Дәлелдеуі: Былай деп есептесек
және
мұндағы онда біз

(10)
аламыз.
Өйткені

және (6), (7)-ден

Бұдан алатынымыз:

(11)
сондықтан, (10) және (5) , егер болса, онда алатынымыз:

(12)

20
Бізге белгілі Бернштейннің теңсіздігін пайдалансақ, онда (2.2) және (2.3)-
тен алатынымыз:

(8)-теңсіздікті дәлелдедік. Енді біз (9) теңсіздікті дәлелдейміз. Дәлелдеу
Фройдтың дәлелдеуіне ұқсас. Айталық кез келген оң сан . Егоровтың
теоремасы және (7)-ден және сондай-ақ болсын. Бұл қатар
бірқалыпты жинақталады. Сондықтан (6)-дан
алатынымыз, егер және болса, онда
(14)

таңдайық, сондай-ақ болсын. Айталық ең аз натурал
сан, сонымен қатар болсын. үлкен, өйткені , яғни
мұндағы нүктесі және х пен арасы сондай-ақ
болады. Бұдан (8) және (14)-тен шығатыны:

21
(15)

(5)-тен (15)-тің 1-ші мүшесін келесі түрде жазуға болады.

мұндағы және санының бүтін бөлігін көрсетеді.
Енді (15)-тің 2-ші мүшесін (4) шартпен монотондық жүйесін
пайдаланамыз: Егер болса, онда

(15)-тің 3-ші мүшесін есептесек, онда біз мынаны аламыз:

22

Сондықтан,Бернштейн теңсіздігін пайдалана отырып, (4)-шарттан және (11)
есептеуден төмендегі бағалауға ие боламыз:

бұан шығатыны:

Жоғарыдағы қосындыдан алатынымыз:
(16)
Өйткені барлық үшін (16)-ғы сияқты (9) –дың да туындысы бар
болады.
Айталық функциясы аралығында көрсетілген.Мұндағы
(9) толық емес.
Шынында да орынды.
Сонымен қатар функциясының сыртқы өлшеуіші -ға қарағанда
кіші. Өйткені -ның туындысы бар. өлшеуіші нөлге тең екені
бізге белгілі, сонымен (9)-теңдік дәлелденді.Бұл жағдайда біз келесі
теореманы аламыз.
Теорема-2: Ұйғарым бойынша матрицасы теорема-1де
сондай бір қасиетке ие болса, онда мынадай функция табылады және
барлық х үшін мына шарт орындалады.

23
(17)
ал барлық үшін
(18)
мұны тексеру қиын емес, мысалы мына жағдайда

ал бұл (4), (5) және (6) шарттарды қанағаттандырады және
матрицасы да дұрыс.
Кейбір ескертулерде мәндері

(мұндағы )

бұл теорема-1-гі орташа мән шартына тиісті емес. Егер болса,
онда барлық х-тар үшін орынды.
(19)
онда біз бұдан мына формуланы аламыз:
(20)
және әрбір х үшін
(21)
Ал бұл мына (19) шарттан келіп шығады.

24

егер біз деп есептесек, онда бұл шарт теорема-1-ді
қанағаттандырады. Сонымен бұл теоремадан (20) және (21) теңдікті аламыз.

Егер р=1 болса, онда біз осыған ұқсас теореманы көрсете
аламыз.
Теорема-3: Айталық ұшбұрыш матрицасы келесі қасиеттерден келіп
шығады деп есептейік . жүйесі оң және кемімелі болсын.
(22)
және онда егер барлық х үшін

болса, онда бұдан шығатыны:

және әрбір х үшін мына бағалау орынды.

Сонымен қатар функциясы табылып және ол барлық х үшін мына
қасиетке ие болсын.

ал барлық үшін

25
3-теореманың дәлелдеуінен 1және 2 теореманың нақты шешімі келіп шығады.
Оған мысал ретінде

Бұны анықтау қиын емес, егер (к=1,2,...) болса, онда (22) шарт
орындалмайды. Сондықтан теорема-3-тен орындалмайды, егер

болса, онда келесі мысал шартында шарты шынымен де
орындалмайды. Айталық болсын. Бізге екені белгілі , ал

шарттан оңай есептеуге болады.
Шынымен де, егер болса, онда

және бұл қосынды абсолют тұрақтыға қарағанда аз.
Дәлелдеуі: Айталық

Біз 1-ші барлық х үшін бұл функцияның (17) қасиетке ие екенін
көрсетеміз.

26
(23)
Егер x=0 болса, онда шынында да (23) орынды. Өйткені f(x) функциясы
тақ, енді барлық оң х-тар үшін жеткілікті екенін тексеру керек. Айталық
x(0) кез келген тұрақты нүкте болсын. N нүктесін сондай бір мына
шартты қанағаттандыратындай етіп таңдаймыз.Осыдан біз (23) қосындыны 2-
бөлікке бөлеміз:

(24)
1-ші қосындыны оңай есептейміз:

өйткені, (4)-тен

және

27
(24)-тің 1-ші қосындысы тепе-тең шектелген. (25) –тің 2-ші қосындысын
есептесек, келесі түрде өзгереді.

Көрсетілген нәтижеден алатынымыз, функциясы (17) теңдікті
қанағаттандырады. (18)-ден алатынымыз
және .
Егер болса, онда мына теңдікті аламыз:

(25)
үшін түсінікті болғандай

Сондықтан қосынды дұрыс болады.

Сонымен қатар бұл оңай есептелінеді.

бұдан

және

(25)-ті және нәтижені салыстыра отырып, мына бағалауды аламыз:

бұл

(18)-ге ұқсас дәлелденді. Сонымен теорема толығымен дәлелденді.
Бізге болғанда жағдайы үшін бағалауының
орындалатындығы бұрынан жақсы белгілі, бірақ жағдайы үшін бұл
бағалау орындалмайды.
Осыдан және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.