Тригонометриялық Фурье қатарларын күшті қосындылау

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 36 бет
Таңдаулыға:

Ф-ОБ-001/003

Қазақстан Республикасы Білім мен ғылым министрлігі

Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ- түрік Университеті

«Математика» кафедрасы

Дипломдық жұмыс

Тақырыбы: Тригонометриялық Фурье қатарларын күшті қосындылау

Орындаған: ЖМА-511 тобының студенті

Илебаева И.

Ғылыми жетекшісі:

Ф. -м. ғ. к., доцент Тазабеков С.

Түркістан 2009

Мазмұны

Кіріспе . . . 3

І. Тарау. Фурье қатары үшін күшті қосындылау және класы.

1. 1. Көмекші леммалар . . .

1. 2. Негізгі теорема . . .

ІІ. Тарау. Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіз модулі

2. 1. Фурье қатары үшін күшті қосындылау . . .

2. 2. Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіздік модулі . . .

ІІІ. Қорытынды . . .

ІV. Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

Күшті қосындылау туралы түсінік.

Фейер теоремасы бойынша ұмтылған кезде

(1)

теңдігі орындалатын болса, онда класының кез келген функциясы үшін .

Ең алғаш рет Хорди мен Литливуд барлық жерде

(2)

теңдігінен күшті қатынас алуға бола ма деген сауал қойды.

Егер (2) қатынас кейбір х нүктелерінде орындалатын болса, онда қатар осы нүктеде күшті қосындыланады деп айтуға болады. Шартты түрде, қатар к көрсеткішті қосындыланады деп айтуға болады немесе кейбір ғалымдардың пайымдауынша

(3)

теңдігін -қосындыланады деп айтуға болады.

Егер болса, онда Гельдер теңсіздігі бойынша -қосындылауынан - қосындылауы келіп шығады, өйткені кез келген үшін

егер

4 онда

болады. Олай болса, (3) қатынастан күштірек к-дан үлкен нәтиже алуға болады.

Бұл дипломдық жұмыста Фурье қатарларын күшті қосындылау және оның үзіліссіздік модулімен арасындағы байланыс қарастырылады. Г. Фройд, Л. Лейндлер, И. Сабадош жұмыстарын зерттеудің жалғасы. Фурье қатары мен функциялар теориясындағы үзіліссіздік модулі мен ең жақсы жуықтаулар арасындағы байланыстар, Стечкин теңсіздігі, Гельдер теңсіздігі және тағы басқа теңсіздіктер қолданылады.

Енді керекті анықтамалар мен тұжырымдарды қарастырайық.

Анықтамалар мен керекті тұжырымдамалар

Анықтама1: функциясы кесіндісінде үзіліссіз кемімейтін және төмендегі шарттарды қанағаттандыратын функция болсын.

мұндай функцияларды үзіліссіздік модулі деп атайды.

Анықтама2: Айталық функциясы [a, b] анықталсын. Кез келген функциясының [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіздік модулі дегеніміз

Егер функциясына ешқандай шектеу қоймасақ, онда үзіліссіздік модулі болуы мүмкін.

Егер болса, онда кез келген үшін мына шарт орындалады:

Үзіліссіздік модулінің кейбір қасиеттерін келтірейік:

қасиет- .

қасиет- . монотонды өспелі

қасиет- . n-бүтін сан n= кез келген оң сан

қасиет- . онда

Анықтама3: класында жатады дейміз, егер орындалса,

Дербес жағдайда 2 периодты функциясының үзіліссіздік модулін былай жазуға болады.

Анықтама4: Мына , функцияның ең жақсы жуықтауы тригонметриялық полиномның ретті шамасы деп аталады . функциясын реті -нен аспайтын тригонометриялық полиноммен ең жақсы жуықтау дейміз.

Ең жақсы жуықтаудың кейбір қарапайым қасиеттерін келтірейік:

Айталық болса, онда

5. Егер онда

6. С-const

8. Егер онда

Теорема1: (Гельдер теңсіздігі)

Айталық -сандары өзара түйіндес және функциялары кесіндісінде бар болып, ақырлы болсын.

және интегралдары бар болсын, онда функциялары да кесіндісінде интегралданады. Сөйтіп, мынадай теңсіздік орындалады.

Бұл теңсіздік неміс ғалымы Гельдердің құрметіне Гельдер теңсіздігі деп аталады.

І тарау. Фурье қатары үшін күшті қосындылау және класы.

Көмекші леммалар

Лемма-1: Егер өспелі емес, тізбегі оң және q>0 болса, онда тұрақтысы бар болады және ол n-ге байланысты емес.

Олай болса

(n=1, 2, 3, …)

Дәлелдеуі: Айталық және (i=1, 2, 3, …) екі натурал санының тізбегі сондай-ақ

үшін (1. 1)

және

үшін (1. 2)

болса, онда (2) -ден алатынымыз:

Сондықтан, егер болса, онда

сонымен бірге (1. 1) -ден

және осы соңғы екі теңдіктен үшін алатынымыз:

(1. 3)

егер және болса, онда

(1. 4)

болады. Толығымен дәлелденді.

Сонымен, қорытындылай келе

онда

үшін және (1. 3) , (1. 4) мәндері

үшін. Сондықтан, біздің теңсіздігіміз дұрыс.

Лемма-1 толығымен дәлелденді.

Лемма-2: Айталық тізбегі және теоремадағы р бар болсын. Онда мәні

(1. 5)

мұндағы тұрақты оң және нүктесіндегі f тригонметриялық полином үшін ең жақсы жуықтау.

Дәлелдеуі: Алдымен болған жағдайды қарастырайық, онда Гельдердің теңсіздігін пайдаланып, мынаны аламыз:

үшін (1. 5) теңдік осыны береді.

Егер болса, онда [5] -тен келесі нәтиже қажет болады:

мұндағы , тек р-ға тәуелді. Осы теңсіздікті пайдалана отырып, 1-леммадан (1. 5) -ті аламыз.

Лемма-3: Егер және функциясы класына тиісті болса, онда функция

болады.

Дәлелдеуі: Өйткені тиісті, яғни

сондықтан,

Егер деп алсақ, онда

үшін лемма-3 дәлелденді.

Лемма-4: Егер немесе және табылып, сондай-ақ болса, онда

(1. 6)

функциясы класына тиісті болады.

Дәлелдеуі: Мына функцияның жинақталатының дәлелдейміз,

және N нөмерін сондай бір болатындай етіп таңдаймыз. Енді қатарды мына түрде қарастырамыз:

Алдымен деп есептесек, кейбір үшін

болады. Яғни, болады және бұдан шығатыны

сонымен қатар

жуықтау ретінен мынадай теңсіздік аламыз:

Сондықтан

сондай-ақ

бұл үшін дәлелденген, әйткенменде үшін де орынды делік. Біз байқағандай (1. 4) шарт орындалады. Сондықтан біз толықтырулар қоспаймыз. Лемма-4 толығымен дәлелденді.

1. 2 Негізгі теорема

Айталық f функциясы периодты интегралданатын және қосындының толық емес тізбегі. Осы функция үшін Фурье қатары бар болсын.

Фройд [1] дәлелдеуінде, егер және

(1. 7)

болса, онда жатады.

Лейндлер мен Никишиннің [3] жұмысында дәлелдегеніндей бұл (1. 7) шарт пен бірге p=1 болғанда

болатынын көрсеткен. Себебі

Осколков пен Сабадош дәлелдемелерінде яғни (1. 7) шарты мен қатар шарты қажетті.

Лейндлер мен Никишин жұмысының нәтижесі Лейндлердің [4] жұмысында жалғасын тапқан. Яғни осы сұраққа жауап береді.

Бұл жұмыста мына мәселе тұрғысында қарастырылады, яғни монотонды тізбегі үшін қажетті және жеткілікті және сондай-ақ мына шарт орындалады.

мұндағы класында жатады, үзіліссіз модуль бойынша тұрақты шама және класындағы функциясының үзіліссіз модулі бар, яғни

монотонды тізбек және үшін келесі түрде көрсетеміз:

Енді келесі теореманы көрсетеміз:

Теорема: Айталық дұрыс монотонды (кемімелі де, өспелі де емес) тізбек болсын. Сонымен қатар үзіліссіз модулі және болса, онда

шарты

(1. 8)

(1. 9)

қажетті.

шарты

Егер мәні бар болса, сондай-ақ

(1. 10)

болса, онда кері жағдайда яғни (1. 8) шартқа (1. 9) шарт қажет.

Бұл теоремадан барлық нәтижелер ішінде көрсетілген және алдағы қарастырып кеткен сұраққа жауап аламыз. Сонымен қатар біздің бұл теорема Лейндлердің [2] жұмысының кейбір жерлерінде де кездеседі.

Дәлелдеуі:

шарты

Егер болса, онда (1. 8) және (1. 5) қолданып, Стечкиннің келесі теңсіздігін пайдаланамыз:

онда бұдан алатынымыз:

және класына тиісті.

щарты

Егер (1. 8) шарт орындалмаса, онда 3-леммадан алынған функция -класы (1. 6) -ға қатысты емес, ал 4-леммадағы класына қатысты.

Теорема дәлелденді.

ІІ тарау. Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіз модулі

Фурье қатары үшін күшті қосындылау

Айталық үзіліссіз, периодты функция және оның фурье қатары

(1)

(1) -дің дербес n-ші ретті қосындысын деп белгілейміз.

Күшті қосындылау жайында Фройдтың [1] жұмысында көрсетілген яғни барлық х-тар үшін қандай да бір f(x) функциясы келесі қасиетке ие болса,

(2)

(мұндағы және К абсолютті тұрақты, )

онда әрбір х үшін мына шарт орындалады.

(3)

Фройдтың жұмысында мынадай мәселе қарастырылған. Барлық х үшін (3) шарты орындалады егер (2) шартты қанағаттандырса.

Біз бұл мәселеге толымсыз жауап бергенбіз, яғни (3) шартта х=0 болса, онда ол орындалмайды.

Біздің қарама- қарсы мысалымыздан:

Енді бұл жұмыстан біз нәтижелерді талдап қорытындылаймыз.

Біз есептеген дұрыс қосындылау әдісі ұшбұрыштар матрицасы мен есептелінеді.

және . Егер ұмтылса, онда

Айталық өспелі функция және n мен n+1 арасы сызықты дәл сондай-ақ болсын.

Теорема-1: Айталық болсын. Бұл ұйғарым бойынша ұшбұрыштар матрицасы келесі қасиетке ие болса, ( өседі)

(4)

(5)

және

(6)

онда барлық х үшін

(7)

болса, онда

(8)

болады.

Сонымен бірге әрбір х үшін

(9)

орындалады.

Біз (8) , (9) күшеймейтінің көрсете аламыз.

Дәлелдеуі : Былай деп есептесек

және

мұндағы онда біз

(10)

аламыз.

Өйткені

және (6), (7) -ден

Бұдан алатынымыз:

(11)

сондықтан, (10) және (5) , егер болса, онда алатынымыз:

(12)

Бізге белгілі Бернштейннің теңсіздігін пайдалансақ, онда (2. 2) және (2. 3) -тен алатынымыз:

(8) -теңсіздікті дәлелдедік. Енді біз (9) теңсіздікті дәлелдейміз. Дәлелдеу Фройдтың дәлелдеуіне ұқсас. Айталық кез келген оң сан . Егоровтың теоремасы және (7) -ден және сондай-ақ болсын. Бұл қатар

бірқалыпты жинақталады. Сондықтан (6) -дан алатынымыз, егер және болса, онда

(14)

таңдайық, сондай-ақ болсын. Айталық ең аз натурал сан, сонымен қатар болсын. үлкен, өйткені , яғни мұндағы нүктесі және х пен арасы сондай-ақ болады. Бұдан (8) және (14) -тен шығатыны:

(15)

(5) -тен (15) -тің 1-ші мүшесін келесі түрде жазуға болады.

мұндағы және санының бүтін бөлігін көрсетеді.

Енді (15) -тің 2-ші мүшесін (4) шартпен монотондық жүйесін пайдаланамыз: Егер болса, онда

(15) -тің 3-ші мүшесін есептесек, онда біз мынаны аламыз:

Сондықтан, Бернштейн теңсіздігін пайдалана отырып, (4) -шарттан және (11) есептеуден төмендегі бағалауға ие боламыз:

бұан шығатыны:

Жоғарыдағы қосындыдан алатынымыз:

(16)

Өйткені барлық үшін (16) -ғы сияқты (9) -дың да туындысы бар болады.

Айталық функциясы аралығында көрсетілген. Мұндағы (9) толық емес.

Шынында да орынды.

Сонымен қатар функциясының сыртқы өлшеуіші -ға қарағанда кіші. Өйткені -ның туындысы бар. өлшеуіші нөлге тең екені бізге белгілі, сонымен (9) -теңдік дәлелденді. Бұл жағдайда біз келесі теореманы аламыз.

Теорема-2: Ұйғарым бойынша матрицасы теорема-1де сондай бір қасиетке ие болса, онда мынадай функция табылады және барлық х үшін мына шарт орындалады.

(17)

ал барлық үшін

(18)

мұны тексеру қиын емес, мысалы мына жағдайда

ал бұл (4), (5) және (6) шарттарды қанағаттандырады және матрицасы да дұрыс.

Кейбір ескертулерде мәндері

(мұндағы )

бұл теорема-1-гі орташа мән шартына тиісті емес. Егер болса, онда барлық х-тар үшін орынды.

(19)

онда біз бұдан мына формуланы аламыз:

(20)

және әрбір х үшін

(21)

Ал бұл мына (19) шарттан келіп шығады.

егер біз деп есептесек, онда бұл шарт теорема-1-ді қанағаттандырады. Сонымен бұл теоремадан (20) және (21) теңдікті аламыз.

Егер р=1 болса, онда біз осыған ұқсас теореманы көрсете аламыз.

Теорема-3: Айталық ұшбұрыш матрицасы келесі қасиеттерден келіп шығады деп есептейік . жүйесі оң және кемімелі болсын.

(22)

және онда егер барлық х үшін

болса, онда бұдан шығатыны:

және әрбір х үшін мына бағалау орынды.

Сонымен қатар функциясы табылып және ол барлық х үшін мына қасиетке ие болсын.

ал барлық үшін

3-теореманың дәлелдеуінен 1және 2 теореманың нақты шешімі келіп шығады. Оған мысал ретінде

Бұны анықтау қиын емес, егер (к=1, 2, …) болса, онда (22) шарт орындалмайды. Сондықтан теорема-3-тен орындалмайды, егер

болса, онда келесі мысал шартында шарты шынымен де орындалмайды. Айталық болсын. Бізге екені белгілі, ал

шарттан оңай есептеуге болады.

Шынымен де, егер болса, онда

және бұл қосынды абсолют тұрақтыға қарағанда аз.

Дәлелдеуі: Айталық

Біз 1-ші барлық х үшін бұл функцияның (17) қасиетке ие екенін көрсетеміз.

(23)

Егер x=0 болса, онда шынында да (23) орынды. Өйткені f(x) функциясы тақ, енді барлық оң х-тар үшін жеткілікті екенін тексеру керек. Айталық x(>0) кез келген тұрақты нүкте болсын. N нүктесін сондай бір мына шартты қанағаттандыратындай етіп таңдаймыз. Осыдан біз (23) қосындыны 2- бөлікке бөлеміз:

(24)

1-ші қосындыны оңай есептейміз:

өйткені, (4) -тен

және

(24) -тің 1-ші қосындысы тепе-тең шектелген. (25) -тің 2-ші қосындысын есептесек, келесі түрде өзгереді.

Көрсетілген нәтижеден алатынымыз, функциясы (17) теңдікті қанағаттандырады. (18) -ден алатынымыз

және .

Егер болса, онда мына теңдікті аламыз:

(25)

үшін түсінікті болғандай

Сондықтан қосынды дұрыс болады.

Сонымен қатар бұл оңай есептелінеді.

бұдан

және

(25) -ті және нәтижені салыстыра отырып, мына бағалауды аламыз:

бұл

(18) -ге ұқсас дәлелденді. Сонымен теорема толығымен дәлелденді.

Бізге болғанда жағдайы үшін бағалауының орындалатындығы бұрынан жақсы белгілі, бірақ жағдайы үшін бұл бағалау орындалмайды.

Осыдан және жағдайлары кез келген оң мәні үшін төмендегі қатардың

дербес қосындысында анықтала ма деген заңды сұрақ тууы әбден ықтимал.

Бірқатар зерттеулер нәтижесінде бұл мәселенің орындалмайтындығы дәлелденді. Енді төмендегі теоремаларды дәлелдеуге көшейік.

Теорема -4: тұрақты мәні үшін

(26)

(2. 2) -теңсіздікті қанағаттандыратын функциясы және Lip1 класында жататын және функциялары табылады, мұндағы - және r және p-дан тәуелді тұрақты оң сан.

Бұл тұжырым төмендегі шарттың

дербес жағдайынан туындаған.

Дәлелдеу. Айталық,

болсын. Ең алдымен және функциялары Lip1 класында жататындығын дәлелдейміз. Егер r жұп емес бүтін сан болса, онда

және

болады және егер r жұп болса, онда

және

онда жоғарыдағы бағалаулардың орындары алмастырылады.

бағалауының орындалатындығы Лейндлердің [1] ғылыми тұжы-рымдамасында дәлелденген болатын, енді біз тек бағалауы да орындалатындығын көрсетеміз.

Егер

деп алсақ, онда

теңдігі орындалады.

Айталық, һ кез келген оң сан және шартын қанағаттандыратын n жеткілікті кіші натурал сан болсын. Осы n натурал санының көмегімен һ(х) функциясын екі қосындыға бөліп жазуға болады

теңсіздігінен келесі бағалауға ие боламыз:

. (27)

Енді біз барлық х-тер үшін

бағалауының орындалатындығына көз жеткіземіз. Қарапайым есептеулерден

нәтижесіне ие боламыз.

және функциялары тақ болғандықтан аралығында біркелкі жинақы екенін дәлелдесек жеткілікті. Айталық, m натурал саны

(28)

теңсіздігі орындалатындай өте аз шама және болсын. Сонымен

қатар,

және (29)

белгілеулерін енгізейік. Элементар есептеулерден болса, онда

және (30)

нәтижелеріне ие боламыз. Сондықтан (30) және (30) теңсіздіктерінен

және

бағалауларына ие боламыз, мұнда бізге белгілі төмендегі есептеулерді қолдану арқылы нәтиже алдық

және , .

Алынған нәтижелерді жинақтай келе

бағалауының кез келген жағдайда орындалатындығына көз жеткіземіз. Осыдан және (11) -бағалаудан есептеуінің айқындылығы келіп шығады.

Енді (26) теңсіздікті дәлелдеуге көшейік. Егер р кез келген оң сан және болса, онда

(31)

теңсіздігі орындалады.

Айталық,

болсын. Бұдан теңсіздігі орындалатындығы айқын көрініп тұр, сондықтан да теңсіздігінен мына бағалаудың

орындалатындығы келіп шығады, осы бағалаудан төмендегі нәтижеге ие боламыз:

Соңғы бағалаудан және (2. 7) -теңсіздіктен 1-теоремадағы (2) -теңсіздік оңай дәлелденді.

Енді біз алынған теореманы одан сайын күшейте түсіп, талдау жасаймыз .

Теорема-5. Егер r теріс емес бүтін сан болса және барлық x-тер үшін

(32)

қатары жинақталса, онда біз барлық х-тер мына бағалауға

(33)

ие боламыз, сонымен қатар

(34)

теңсіздігі де орындалады. (33) -бағалау тек үшін ғана емес, үшін орындалады.

Егер r жұп болса, онда (32) -шарт үшін

(35)

бағалауы орындалады, ал егер r бүтін тақ сан болса, онда

(36)

Сонымен қатар, бұл барлық х үшін

(37)

шартын қанағаттандыратын функциясы табылады және r жұп бүтін сан болған жағдайда барлық үшін

(38)

, (39)

теңсіздіктерін аламыз, ал r бүтін тақ сан болған жағдайда және функциялары (38) және (39) -бағалауларында орын алмастырады.

Дәлелдеуі: Ең алдымен (33) -теңдіктің орынды екенін дәлелдейік. Айталық,

(n=1, 2…. )

және

берілсін. Онда

(39) теңдігі орындалады. (33) және (39) -бағалауларын қолдана отырып, келесі теңсіздікті

аламыз, осыдан

бағалауы келіп шығады. Бұл теңсіздік төмендегі қатардың

жинақы болатындығын көрсетеді және осыдан және квадраттық интегралданатын функция екендігі келіп шығады, сондықтан

және абсолют үзіліссіз функциялар болып, (33) -теңдікке ие боламыз.

Енді (34) -теңдікті дәлелдеуге көшейік. Төмендегідей белгілеулер енгізейік

және ,

мұндағы , олай болса

аламыз. Соңғы теңдіктің -ретті туындысы үшін төмендегі теңдікті дәлелдеу үшін

(40)

ең алдымен (17) -теңсіздіктің орындалатындығын тексерейік

. (41)

Енді төмендегі теңсіздікті

және (3) -теңсіздікті қолдана отырып

аламыз, бізге белгілі Бернштейннің теңсіздігінен қолдана отырып (41) -теңсіздікке ие боламыз. (41) -теңсіздік арқылы

қатарының біркелкі жинақталатындығын көреміз және осыдан (40) -теңдіктің орындалатындығы келіп шығады. Егер болса, онда (40) және (41) -бағалаулардан

теңсіздігіне ие боламыз, осыдан (10) -бағалау дәлелденді.

(35) және (36) дәлелдеу үшін Заманскийдің келесі нәтижесін қолда-

намыз: бағалауы тек қана r тақ үшін

r жұп үшін

шартарын қанағаттандырғанда ғана орындалады, мұндағы

Абел түрлендіруін пайдаланып

теңсіздігін оңай есептейміз, осыдан және (8) -теңсіздіктен Заманскийдің белгілі нәтижесі арқылы (35) және (36) -формулалардың айқындылығы келіп шығады.

(37), (38) және (38) -функцияларының қасиетінен төмендегі өте қарапайым формулаға ие боламыз

. (42)

(8) -теңсіздіктің дұрыстығын тексеру үшін N натурал санын бір теңсіздігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда

болады. Мұндағы қосындылар - абсолют тұрақтыдан аз шама, атап айтқанда

Осыдан бізге жақсы белгілі

бағалауын пайдалана отырып

теңсіздігін аламыз.

Енді келесі лемманы дәлелдейік.

Лемма. Айталық, тізбегі төмендегі теңсіздікті

қанағаттандырытын кемімелі сандық тізбек және

болсын. Онда кез келген саны үшін

Дәлелдеу. белгілеуін енгізейік. Осыдан

(43)

аламыз. Кез келген үшін

бағалауының орындалатындығы ақиқат, сондықтан келесі қосынды

оң мәнге ие болады. Енді келесі бағалаудың орындалатындығын көреміз

. (44)

Осы теңсіздіктен

және жағдайы үшін

бағалауын аламыз, осыдан (44) -теңсіздік дәлелденеді.

Алынған нәтижелерді жинақтай келе (41) -бағалау арқылы лемманың есебіне байланысты төмендегі бағалауды аламыз

Осы лемманы пайдалана отырып (37) бен (38) -бағалауларды оңай дәлелдей аламыз. Егер r жұп болса, онда

және

орындалатындығы ақиқат. (14) -бағалау лемма арқылы оңай анықталады және осыдан

(37) -бағалау да дәлелденеді.

Егер r тақ болса, онда (38) және (39) бағалаулар дәл осыған ұқсас дәлелденеді.

2. 3 Күшті жуықтауға байланысты үзіліссіздік модулі

Айталық функциясы -периодты интегралданатын функция және оның Фурье қатары

(1)

болсын.

Бұл функция үшін фурье қатарының -ші дербес қосындысы деп белгілейміз және оның нормасы бар.

Егер мына қасиетке ие болса

, p>1

үшін онда

және

болады және ол барлық уақытта орындалады. Бұл Фройдтың [2] дәлелденген.

Дәл сол сияқты p=1 болғанда Лейндлер мен Никишин [4] -да зерттеген және олардың нәтижелері Лейндлердің [3] -да талданған. Бұдан келіп шығатыны, егер r теріс емес, бүтін сан болса сонымен бірге

болса, онда

барлық х үшін орынды және

болады. Бұл жуықтау жалпы тиімді мүмкіндік. Осы нәтижеден келесіні аламыз:

бұл класына тиісті емес. Осыдан Лейндлер былай деп сұрақ қойады:

Егер

0<p<1

болғанда шарты орындала ма?

Осколков пен Сабадош бұл сұрақтың орынды екенін көрсетті. Олар бұл сұраққа жалпыланған түрде жауап берді. Яғни, егер -кез келген үзіліссіздік модулі үшін болса және