Түрлендірілген Фурье қатарының ең жақсы жуықтауы туралы теорема

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Анықтамалар мен көмекші
тұжырымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

I-тарау. Түрлендірілген Фурье қатары.

1.1. Түрлендірілген Фурье қатарының ең жақсы жуықтауы туралы
теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

1.2. Түрлендірілген Фурье қатары үшін жалпы
жағдай ... ... ... ... ... ... ... .

II-тарау. Коэффициенттері түрлендірілген Фурье қатары.

2.1. Түрлендірілген Фурье коэффициентімен берілген функцияның
интегралдық
қасиеті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ..

Әдебиеттер.

Кіріспе.

Тригонометриялық қатарлар теориясы функциялар теориясының

бір саласы. Зерттеу нәтижесі метрикалық функциялар теориясының
әдісіне сүйенеді.
Метрикалық функциялар теориясының, оның ішінде, әсіресе,
тригонометрикалық қатарлар теориясының Ресейде дамуына Н. Н.
Лузиннің атақты Интеграл және тригонометриялық қатарлар (1915
ж) монографиясы үлкен әсерін тигізді. Бұл монография метрикалық
функциялар теориясын зерттеушілердің негізгі кітабына, яғни кітап
осы уақытқа дейінгі шешілген және шешілмеген көптеген проблемалардың
көзіне айналды.
Тригонометриялық қатарлар теориясында негізгі назар мына
сұрақтарға аударылады: жинақтылық, жинақсыздық, абсолютті жинақтылық,
қатарлар коэффициенттері, түйіндес функциялар және оның біреу ғана
болу проблемасы, жіктеу проблемасы, қосындылау.
1911 жылы Н. Н. Лузин мына түрдегі тригонометриялық қатарды
құрды:

мұндағы

Бұл қатар аралықтың барлық жерде дерлік
жинақталмайды.Кейінгі маңызды қадам өз заманының заңғар математигі А.
Н. Колмогоров тарапынан жасалды. Ол барлық жерде жинақталмайтын Фурье-
Лебег тригонометриялық қатарын құрды.
Диплом жұмысы 2 тараудан тұрады. Бірінші тарауда түрлендірілген
Фурье қатардың ең жақсы жуықтаулары туралы терема және сол қатар
үшін жалпы жағдай қарастырылады, ал екінші тарауда коэффициенттері
Харди және Бельман түрлендірулері арқылы берілген Фурье қатары жайлы
сөз болады. Сонымен қатар анықтамалар мен қажетті тұжырымдамалар да
бар.

Анықтамалар мен қажетті тұжырымдар

өрнек түріндегі қатарды тригонометриялық қатар дейміз, мұндағы -
тұрақты сандар (n=0,1,2,...,) олар қатардың коэффициенттері деп аталады.
Егер аралықта барлық х-тер үшін қатар жинақталса, онда қатар
периодты функция кескіндейді. Сондықтан, тригонометриялық қатарды
кескіндейтін функция периодты функцияны қарастырады немесе
берілген аралықтағы ұзындығы -ге тең функцияны алады. Одан әрі оны
периодты түрде жалғастырады, яғни үшін орындалады.
Тригонометриялық қатар тек математикада ғана емес, сонымен қатар
оның көптеген салаларында үлкен роль атқарады. Ең алдымен оны айтпас бұрын,
тригонометриялық және дәрежелік қатарлардың байланысын атап өтейік. Егер
мына

(2)
түрдегі қатарды қарастырсақ, мұндағы , және десек,
онда (1) түрдегі қатар (2) түрдегі қатардың бірлік шеңберіндегі нақты
бөлігі; (2) түрдегі қатардың жорамал бөлігі үшін қатар

(3)
бар болады және (1) түрдегі қатарға түйіндес деп аталады.
функциясы тригонометриялық қатардың қосындысы ғана емес,
сонымен бірге аралығында бұл қатар бірқалыпты жинақталады дейік.
Онда оның коэффициенттерін анықтау оңай болады.
Ол үшін мына теңдікті

немесе -қа көбейтіп, шектері аралығында
интегралдаймыз (бұл заңдылық) және былай десек,

(4)

Нәтижесінде
(5)
аламыз.
(4) түрдегі формулаларды Фурье формулалары деп атайды. және
сандары - Фурье коэффициенттері, ақырында функциясынан
шыққан коэффициенттері Фурье формуласымен анықталатын қатар
функциясы үшін Фурье қатары деген атқа ие. Біз оны деп
белгілейміз.
Тригонометриялық қатарлардың жинақтылығын үйренуде мына функциялар

(6)
және

(7)
ерекше роль атқарады. функциясын мына түрде жазуға болады:

(8)
Шынында

,

Бұдан -ге бөлгеннен кейін (8) шығады.
(8) өрнек Дирихле ядросы деп аталады, өйткені Дирихле оны алғашқы
болып Фурье қатарының жинақтылығын үйренуде қолданған.
Сол сияқты функциясы Дирихле ядросына түйіндес деп аталады, ол
мына түрге ие

(9)
және тікелей тексеру оңай.
(8) және (9) формулаларынан бірден көрінеді, егер , онда

және
.
функциясының аралықта кемитін ескерейік (жай
дифференциалдау арқылы көз жеткізуге болады), ал өйткені
.
Демек,
үшін
.
5) және (6) қолданып,

үшін

және
үшін

аламыз.
Бұл формулаларды алдағы уақытта жиі қолданамыз. Көбінесе үшін

және

бағалаулары жеткілікті болады, кейде маңызды болады, онда

және
(10)

және периодтылығы бойынша мынаны айтуға болады,
болса, (10) орындалады.
нақты сандар болсын,
деп ұйғарайық.
Онда және n үшін
(11)

аламыз (егер m=0 болса, онда екеніне келісеміз).
Бұл формула Абель түрлендіруі деп аталады, оңай дәлелденеді.
екенін ескеріп, осы өрнекті сол жақ бөлігіне қойып, мүшелерді
топтауға болады.
m=0 үшін дербес жағдайда

(12)
аламыз.
(11) және (12) формулалар бөліктеп интегралдауға ұқсас,
интегралын -ға келтіріп есептеу ыңғайлы және мұнда

деп алып, (11)-ді мына түрде жазуға болады

,

яғни қарастырып отырған қосындыларымызды басқа қосындыларға келтіріп
есептеуге көбінесе тиімді.
Дербес жағдайда қарастырып отырған тізбектеріміздің бірі монотонды
кемитіндіктен бұл тиімді (барлық үшін болғандықтан,
шығады).
Абель түрлендіруінен бірден салдар аламыз:
Салдар. Егер үшін барлық және , болса, онда
.
Шынында,
.
санының орнына кейбір аралығында анықталатын
функциясын алған жағдайды қарастырайық.

деп алсақ, мына лемманы аламыз:
Абель леммасы: Егер 0 және , болса, онда қатар

аралығында бірқалыпты жинақталады және оның қосындысы үшін
мына теңсіздік орындалады:

(13)
Дәлелдеу: Шынында,

деп ұйғарайық. Онда (12) формула бойынша
, (14)
бұдан
.
Өйткені
, (15)
ал қатар

Теріс емес мүшелерімен жинақталады (0 бойынша) және
қосындысына ие, онда қатар аралығында абсолютті және бірқалыпты
жинақталады. Онда 0 және (13) формуладан аралығында
функциясына бірқалыпты жинақталады. Бұл (13) дұрыс және лемма
дәлелденді.
функциясының Фурье қатарының дербес қосындысы мына
формуламен өрнектеледі:
,
мұндағы - Дирихле ядросы. Сондықтан чезардың қосындысы

мына түрде жазылады:

,
мұндағы,

(16)
Сондықтан
.
функциясы Фейер ядросы деп аталады. Оны ыңғайлы түрге
келтірейік:

болғандықтан , онда

.
Сонымен,
.
Осы өрнектен ядроның қасиетін қорытындылаймыз.
1) .
Бұл қасиет болашақта елеулі роль атқарады.
2) , үшін аламыз, өйткені
үшін,

және
үшін, ,
бұдан ,

десек, мынаны аламыз:
.
3) .
Бұл (16) формуладан және шығады .
4) Егер , онда
.
болсын, мұнда .
Мына теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдейік:

немесе қысқаша
.
Бұл теңсіздік Гельдер теңсіздігі деп аталады.
Шынында,

десек,

аламыз, мұнда
(17)
Бірақ
.
х бойынша интегралдап, мынаны табамыз:
және

және (17) формуладан

шығады. Бұл теңсіздікті дәлелдейді.
Ескерту. десек, Коши-Буняковский теңсіздігін аламыз:

немесе
.
Егер және - 2 сандық тізбектері және
және

қатарлары жинақталса, онда

үшін

аламыз.
Ескерту. Гельдер теңсіздігі және -те сақталады, егер

(18)

дегенге келіссек.
(18) оң бөлігінің шегі бар екенін көрсетейік, егер функция маңызды
шектелген және ол аңызды жоғарғы шекарасына тең болса. Сонда

(19)
болатындай аралығында маңызды жоғарғы шекарадан М саны табылады
және басқа жағынан үшін көбейтіндісі табылады, мұнда .
Шынында, егер (20) барлық жерде дерлік орындалса, онда
,
сондықтан
.
Екінші жағынан, егер және Е бойынша 6 онда
,
өйткені
,
ал сан болғандықтан, , онда

,
осыдан

шығады.
Гельдер теңсіздігінен алда керек болатынын бір салдарды келтірейік:
- шектелген, периодты, теріс емес және

функциясы болсын.
дейік.
Егер

деп белгілесек, онда
.
Шынында, Гельдер бойынша

,
бұдан шығатыны:

және интегралдың ретін өзгертіп,
.
-тің периодтылығы бойынша аламыз және дәрежеге
шығарып, ізделінді теңсіздікті аламыз.
Теорема: Егер және болса,

онда
, (20)
мұндағы -дан тәуелді.
Дәлелдеу. Бұл теңсіздік Харди теңсіздігі деп аталады. Бұған көз
жеткізу үшін ең алдымен біз, егер болғанда бөліктеп интегралдауды
алатынымызды ескеруіміз керек:

,
яғни,
.

Гельдер теңсіздігінен
,
содан

Гельдер теңсіздігінің тағы да қолдана отырып

.
Бұдан мынаны аламыз:
.
Одан соң теңсіздіктің екі жағын да -ге бөлеміз, онда

аламыз. Егер шекке көшсек, ол мынаны береді:

,

яғни соңғы теңсіздікті сол жағындағы интегралдың бар болатынын дәлелдедік
және ол үшін мына бағалауды береді:

мұндағы - тұрақты, тек -дан тәуелді.

Хаусдорф-Юнга теоремасы:
1)Айталық және

(21)
яғни Фурье коэффициенттері де ортогональды және
нормалданған жүйе болсын және жүйесі

Онда

(22)

2)Егер сан тізбегі болса және ол
(21) шарттарын қанағаттандырса және

Харди-Литтльвуд теоремасы: 1) функциясының Фурье қатары
мына түрде болсын

және онда

2) Айталық -комплекс сандар

болсын, онда қандайда бір функциясының Фурье
коэффициенті болады, және

Айталық -кемімейтін, кесіндісінде үзіліссіз функция
және мына шарттарды қанағаттандыратын болсын

мұндай функциялар үзіліссіздік модулі деп аталады. Барлық -периодты
өлшемді функциясын интервалында арқылы белгілейміз.
Егер , болса

функциясының үзіліссіздік модулі деп аталады.
-белгісі функциясының нормасын
білдіреді

-дәрежесі -нен аспайтын полином болсын.

,

шамасы реті -нен аспайтын тригонометриялық полином тізбегімен
функцияның ең жақсы жуықтауы деп аталады.
функцияның фурье коэффициенты тригонометриялық жүйе бойынша мына
тендіктермен өрнектеледі:

онда

қатары функцияның Фурье қатары деп аталады.
Айталық -нольге ұмтылатын монотонды кемімелі
оң сандар тізбегі болсын.
-арқылы әрбір

үшін функциялар класын белгілейміз мұндағы

-дан тәуелді оң тұрақтылар.

тізбегі квазимонотонды деп аталады, егер ,
және табылып, болғанда мына тізбек кемімелі
монотонды нольге ұмтылса.
Егер үзіліссіздік модулі және саны,
функцияның барлық нүктедегі жиынын білдіреді және олардың әрбірі үшін

орындалады.
Айталық, , оның Фурье қатары:

(23)

Екінші тарауда мынадай Харди және Бельман түрлендірулерін
қарастырамыз:

Т:

және

Т*:

Теорема А.(Г.Харди) Айталық класында жататын

функцияның Фурье коэффициенттері , ,ал мына

тізбек қандайда бір түрлендірілген Фурье коэффициенттері болсын.

Кейбір жағдайларда түрлендірілген Фурье қатары үшін
өрнегі

алмаймыз, бірақта егер болса және Фурье қатарын
аламыз, Бельман дәлелдегендей қатарымыз қандайда бір
функциясының Фурье қатары болады.
Теорема В.(Бельман) Айталық және болсын,онда қатар

қандайда бір функцияның Фурье қатары болады, мұндағы

Теорема С.(П.Л.Ульянов) Айталық болсын.Егер және
болса, онда жәнеде мынадай бағалауды аламыз.

Лемма 1 (М.Тиман) Айталық кемімелі он сандар тізбегі болсын және
ол , нольге ұмтылсын. Онда мына функция

(24)

мұндағы

класында жатады.

Дәлелдеу. Алдымен (24)-қатардың коэффициенттерінің кемімелі
және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.