КЕЙБІР АСТРОФИЗИКАЛЫҚ ҚҰБЫЛЫСТАРДЫ ДИНАМИКАЛЫҚ ХАОС ТЕОРИЯСЫ ӘДІСІМЕН СИПАТТАУ ТУРАЛЫ

Пән: Астрономия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

КЕЙБІР АСТРОФИЗИКАЛЫҚ ҚҰБЫЛЫСТАРДЫ ДИНАМИКАЛЫҚ ХАОС ТЕОРИЯСЫ ӘДІСІМЕН СИПАТТАУ

Сигналдардың мультифракталдық талдауы

Бұл бөлімде біз мультифрактал теориясының негізін қарастырымыз. Мультифрактал біртекті емес фракталды обьектілерден құралған [6] . Оны сипаттау үшін регулярлы фракталдармен салыстырғанда бір ғана мөлшер - фракталдың өлшемділігі D, енгізу жеткіліксіз, яғни сан жағынан шексіз өлшемділіктер енгізу қажет. Бұның себебі, D мөлшермен анықталатын таза геометриялық сипаттамалармен қатар, бұл фракталдар кейбір статистикалық қасиеттерге ие. «Біртекті емес» сөзінің мағынасын көптік нүктелерінің фрактал бойынша біркелкі емес таралуы деп түсіну керек. Біртектіліктің болмау себебі, фракталдың геометриялық бірдей әртүрлі ықтималдылықпен толтырылуында, немесе, сәйкес аудандарды геометриялық өлшемдерге толтыру ықтималдылықтарының сәйкес келмеуі.

d (d = 1 - сызық, d = 2 - жазықтық, d = 3 - үш өлшемді кеңістік) өлшемділігі бар Евклидтік кеңістікте өлшемі L болатын, ℒ шектеулі ауданды алатын фракталды обьектіні қарастырайық. Фракталды объектінің құрылуның белгілі бір сатысында ол осы ауданда таралған, N >> 1 нүктелерден құрылған көптік болсын, түбінде N → болады деп есептейміз. Барлық ℒ ауданды δ жақты және δ ^d көлемді кубтық аудандарға бөлейік. δ-ның азаюына байланысты ауданды алып жатқан ұяшықтардың саны N(δ), мына дәрежелік заңға байланысты өзгеріп отырады:

, (2. 1. 1)

D хаусдорфты немесе фракталды өлшемділік. (1) қатынасын логарифмдейік және δ-ны нoльге ұмтылдырып, мынаны жазуға болады:

. (2. 1. 2)

Логарифмді кез-келген оң негіз немесе бірден өзге негіз арқылы алуға болады, мысалы, негізі 10 немесе D фракталды өлшемділіктің ортақ анықтамасы болып табылады. Осыған сәйкес D- нің мәні берілген обьектінің өзіндік сипаттамасы болып табылады [6] .

Көп өлшемді объектілердің фракталды өлшемділіктері. Бір өлшемді фракталды объектілердің өзұқсас қасиетке ие немесе масштабтық инварианттылығы болады, яғни, кіші бөлшектер үлкенге ұқсас. Егер анықтайтын айнымалылардың саны бірден үлкен болса және осы айнымалылар бойынша ұқсастық коэффициенттері әр түрлі болса, онда бұндай фракталдық объектілер өзаффинді деп аталады. Өзұқсас фракталдарға мысал ретінде, біртекті ортада қозғалатын, броундық бөлшектердің траекториясын алуға болады. Бұл жағдайда координаттар осі біркелкі, ұқсастық коэффициенттері барлық бағытта бірдей. Және осы уақытта бөлшектің координатасының уақытқа тәуелділігі өзаффиндік фракталды қисықты береді, бөлшектің қозғалуы уақытқа сызық бойымен тәуелді болғандықтан, коэфиценттері, координат және уақыты бойынша әртүрлі болып келеді. Өзаффинді фрактал ретінде күрделі генераторлардан алынған сигналдардың және жартылай өткізгіш жұқа пленкалардың уақыттық және кеңістіктік энергетикалық спектрлердің т. б. қисық пішіндерін қарастыруға болады.

Б. Мандельброт модельді фракталдар үшін аффиндік көрсеткіштерді енгізді. Олар арқылы фракталдық өлшемдер анықталады және олардың Херстің эмпирикалық көрсеткіштерімен байланысы болуы мүмкіндігін көрсетеді. Алайда реалды жағдайда белгілі бір сәйкес масштаб (аффиндіктің көрсеткішін анықтайтын) әлі анықталмаған. Белгілі болып табылатын периметрі мен ауданының қатынасы тек қана эмпирикалық тұрақтылық арқылы фракталдық өлшемділігінің тек бір ғана мағынасын анықтайды, онысы - ең бір көп салалы емесі болып табылады. Хаусдорф формуласы (2), фракталды өлшемділікті зерттейтін басқа да әдістер өзаффинді обьектілерді зерттеуде олардың фракталдану заңдылығын білмей қолданысқа түсе алмайды. Төменірек өзаффиндік обьектілердің фракталдық өлшемділігін бос параметрлерсіз анықтау әдісін қарастырып, нәтижесін инерциялық сызықсыздығы бар генератор белгілерін сипаттауға қолданамыз [6] .

Фракталды өлшемдер - ұзындық L(δ), аудан F(δ), көлем V(δ) әдетте өлшемнің ортақ формуласымен анықталады, кез келген аддитивті өлшенетін физикалық шама M (масса аналогы) :

(2. 1. 3)

бұл жерде N(δ) - ұяшықтардың ең аз саны, олар жиын элементтерін сипаттау үшін жеткілікті болып табылады.

D- ның массасын M арқылы табудың кері тапсырмасын қоюға болады, егер оларды фракталдар үшін интервал мен интегралдуының нүктелерінің шашырауының санын яғни δ-ға тәуелді интегралдар ретінде алсақ. Кездейсоқ түрде δ-ның мағынасын немесе δ-өлшемді ұяшық номерін таңдай отырып, біз бір әдіспен тұрақты және кездейсоқ фракталдарды қарастыруымызға болады.

, (2. 1. 4)

Енді фракталдық өлшемділіктің ортақ формуласымен жазайық

, ,

, (2. 1. 5)

бұл жерде - d ₁ = 1, d ₂ = 2, d ₃ = 3 - ұзындықтың ауданның, көлемнің топологиялық өлшемдері. (V) - тен δ ₂ мен δ ₃ - ті алып тастасақ

. (2. 1. 6)

n-өлшемді жағдайда

, (2. 1. 7)

мұндағы V _j (δ) - көп өлшемді фракталды өлшем, D _n - оның фракталды өлшемділігі. Егер фракталды өлшемдер сызықтың деформациясынан, үстінен, топологиялық өлшемдердің d _i , i = 1, 2, 3 көлемінен түзілетінін еске алсақ, ортақ жағдайда мынаны қабылдауға болады

, , (2. 1. 8)

мұндағы γ _n - скейлинг көрсеткіші, яғни D _n -нің бөлшек бөлігі.

D _n - анықталатын (19) мағынасы n-сатысының сызықсыз теңдеуі болып табылады. (19) -дегі V _j көрсеткіштерінің тең болған жағдайында, яғни

(2. 1. 9)

біз γ _n -ге қатынасты теңдеуге ие боламыз [6] .

(9) -дың талабы D _n -өлшемділікті n-өлшемді обьектінің d _n және d _n-1 топологиялық өлшемділікті элементтердің каскадты деформациясы нәтижесі жолымен түзілуін білдіреді. Мысалы үшін d _n-1 арқылы өтетін фракталдануы n = 1 болғанда көптеген нүктелерден тұратын фракталды қисық көрінетін. n = 3 болғанда үстіңгі жақтың деформациясы нәтижесінде түзілетін, нүктелерден құралған қисықтан тұратын фракталды обьектінің байқалатынын білдіреді.

Фракталдық өлшемдіктері арқылы өзаффиндік жиындардың жалпылама суреттеу мүмкіндігін көрсеттік. Осы бөлімнің негізгі теңдігі болып, көпөлшемді факталды өлшем арқылы анықталатын фракталдық өлшемдер, күрделі геометриялық обьектілердің форма коэффициенттері және өзаффинді фракталдар ретінің параметрлерінің кірістіру мүмкіндігін орнату болып табылады. Өлшеу масштабы кішірейсе, реттің жергілікті параметрі өседі, ал жалпылама параметрі өлшеу масштабы көбейсе өседі. Үздіксіз фракталдық қисықтың симметриясының өзгеруі екінші текті фазалық ауысуға ұқсас [6] .

Евклидтік кеңістіктегі L өлшемі бар фракталдық обьектіні қарастыруға қайтып келсек. Біз ең кемінде бір нүктесі бар ұяшықтарды қарастырайық. Ұяшықтардың нөмері i мына түрде өзгерсін i = 1, 2, . . . N(δ), N(δ) -δ ұяшық өлшеміне тәуелді ұяшықтардың суммалық саны. Егер нүктелердің ұяшықтар бойынша таралуы біркелкі болмаса, фрактал біртекті емес, яғни мультифрактал болып табылады. Мультифракталды суреттеу үшін, ℒ аудандағы нүктелердің таралуын сипаттайтын, жалпылама фракталдық өлшемділіктер жиыны енгізіледі.

n _i (δ) - i нөмерге ие ұяшықтағы нүктелер санын берсін, онда

(2. 1. 10)

p _i (δ) шамасы кездейсоқ алынған нүктенің i ұяшығында болу ықтималдылығы. Жалпылама фракталдық өлшемділіктердің спектрі D _q мына қатынаспен анықталады:

, (2. 1. 11)

q - < q +< аралығындағы кез-келген мәнді қабылдайды, функциясы мына түрге келеді:

, (2. 1. 12)

- жалпылама статистикалық сумма:

. (2. 1. 13)

Егер D _q = D = const, яғни q-дан тәуелсіз, онда берілген нүктелер жиыны фракталдық өлшемділікпен ғана сипатталатын жәй, регулярлы фракталды береді. Егер D _q q-ға байланысты өзгерсе, онда берілген нүктелер жиыны мультифрактал деп саналады. .

Жалпы түрде мультифрактал белгілі - бір бейсызық функциясымен сипатталады. Нүктелердің таралу сипатын білу үшін функциясының туындысы да қажет:

(2. 1. 14)

q = 1 болса, жалпылама фракталдық өлшемділік мынаған тең:

. (2. 1. 15)

Бұл формуладағы бөлімі фракталдық жиынның энтропиясын береді. Нәтижесінде жалпылама фракталдық өлшемділіктің D ₁ пен энтропияның S(δ) байланысы мынандай:

. (2. 1. 16)

бұдан,

, (2. 1. 17)

яғни, D ₁ белгілі-бір ұяшықтағы нүктенің орнын анықтауға керек информацияны сипаттайды. Осыған байланысты жалпылама фракталдық өлшемділікті D ₁ информациялық өлшемділік деп те атайды [6] .

Мультифракталдық спектрдің функциясы - f(α)

D _q шамалары шын мәнінде фракталдық өлшемділік болып табылмайды [6] . Сондықтан, олармен қатар мультифракталды жиынды сипаттау үшін М. спектрдің функциясын f(α) қолданылады (Мультифрактал сингулярлығының спектрі) . f(α) шамасы берілген q шамасындағы статистикалық суммаға үлес қосатын ℒ көптіктің біртекті фракталдық бөлігінің, өзі тектес көптіктерге р _i -дің δ ұяшық өлшемінен тәуелділігі дәрежелік сипат береді :

(2. 1. 18)

бұндағы α _i - дәреженің белгілі бір көрсеткіші (әртүрлі ұяшыққа әртүрлі I алынады) . біртекті фрактал үшін α _i дәрежесінің барлық көрсеткіштері бірдей және D мөлшеріне тең.

(2. 1. 19)

Бұл жағдайда статистикалық сумма мынадай болады.

(2. 1. 20)

Сондықтан және барлық келтірген функциялық өлшемділіктер D _q =D және q тәуелді емес. Бірақ мультифрактал сияқты күрделі обьектіге оның біртекті болмауының себебінен р _i ойықтарының толтырылуы ортақ жағдайда бірдей емес және α _i дәрежесі көрсеткіші әртүрлі ұяшық үшін әртүрлә мән береді. Төменнен біз байқаймыз егер бұл мәндер белгілі - бір тұйық интервалды ( . . . ) үздіксіз толтырған типтік жағдайлар болады. интервал (α _min , α _max ),

α . (2. 1. 21)

α шектік мәндер мен τ(q) функциясынан алынған туынды мәндерің арасындағы байланысты табайық. Дәлірек айтсақ q→± кезіндегі осы туындының шегін қарастырайық. Егер q→ деп алсақ i бойынша суммалағанда (21) қатынаста тек толтырған ұяшықтар үшін, яғни әрбірін максималды түрде толтыру ықтималдылығына ие орынды. Аналогты түрде q→- , онда (21) қатынасты суммалағанда аз толтырылған яғни толтыру ықтималдылығы минамал болатын ұяшықтарға орынды. Бұл жағдайда туындысы α _max мәнге ұмтылады. Сөйтіп, қорыта келгенде мынадай қатынас шығады:

(2. 1. 22)

Яғни α мәнінің интервалы (q→± ) болғандағы D _q . функциясының шекті мәндерімен анықталады.

α _i . дің әртүрлі мәні бір D шамасымен сипатталатын тығыздықпен емес әртүрлі (α- ға байланысты) f(α) дәрежесінің көрсеткіштерімен кездеседі .

. (2. 1. 23)

Яғни f(α) функциясының физикалық мағынасы ұяшықты толтыруының ықтималдылығы бірдей болатын ℒ көптігінің ℒ _α бөлігінің хаусдорфтық өлшемділігін береді. Бөліктің функциялық өлшемділігі көптіктің функциялық өлшемділіктен кем немесе тең болатындықтан мына теңсіздік орынды:

. (2. 1. 24)

Яғни, біз мынадай қорытындыға келеміз f(α) функциясының әртүрлі мәндерінің жиына (әртүрлі α үшін) ℒ көптігінің ℒ _α біртекті бөлігінің фракталдық өлшемділігінің спектрі болып табылыды. Бұдан мультифрактал ұғымы түсінікті болады. Әрбір бөлікке ұяшықтың жалпы санының N(δ) тек бір бөлігі тиесілі болғандықтан, ықтималдылықтың нормалау шарты

(2. 1. 25)

бөліктер арқылы суммалағанда орындамайды. Бұл тығыздықтардың бірден кіші болғаны. Сондықтан, α _i мәндері бірдей болатын р _i ықтималдылықтардың өзі де бөлікті құрайтын ұяшықтардың санына кері пропорционал шамасынан кіші. f(α) функциясы үшін мына маңызды теңсіздікке келеміз:

. (2. 1. 26)

Теңдік белгісі толығымен біртекті фрактал үшін жазылған, ондағы

2. 2. Сигналдардың информациялық - энтропиялық талдауы

Жалпы қабылданған терминологияға сәйкес информацияның келесі анықтамасын пайдаланамыз.

Информация объекттің табиғатына тәуелсіз симметрияның, құрылымның бұзылуына (яғни, хаостан тәртіптің пайда болуы) және зерттелетін құбылыстың ықтималды бағытында пайда болады. Жалпы қабылданған терминологияға сәйкес Р _i ықтималдығы бар құрылымның ие болған информацианы мына түрде беріледі:

(2. 2. 1)

ал оның орташа мәні информациялық-энтропияны(анықталмағандық шегін) береді

. (2. 2. 2)

Өзқауымдасатын жүйелердің керемет қасиеті болып олардың әртүрлі иерархиялық деңгейлерінің өзіне ұқсастығы болып табылады: Жартысы бүкіл бүтіні туралы мәліметтерге ие болуы мүмкін.

Р құрылымның ықтималдық іске асуын I анықтаушы үздіксіз функциясы ретінде қарастыру арқылы мынаны аламыз:

, (2. 2. 3)

Бұл (1) формуладан үздіксіз жағдайда шығады. Р( I ) ықтималдығын ықтималдық тығыздығының таралу функциясы f( I ) арқылы өрнектейміз:

, (2. 2. 4)

Мұндағы интегралдау шектері 1 ≥ Р ≥ 0 болғандағы 0 ≤ I ≤ ∞ интервал өзгерісіне сәйкес келеді. (4) қатынас келесі функцияны қанағаттандырады:

, . (2. 2. 5)

Информацияны іске асырудың ықтималдық функциясы P(I) ықтималдық тығыздығы функциясы f(I) -мен сәйкес келеді. Әсіресе информация өздік секілді жүйенің ажыратылмас оның әрбір иерархиялық деңгейіне сәйкес келетін сипаттамасы болып табылады: жартысы бүкіл бүтін туралы мәліметтерге ие болуы мүмкін.

Информацияны I тәуелсіз айнымалы ретінде қарастырып, f(I) ықтималдылық таралу тығыздығының және S(I) информациялық энтропияның қозғалмайтын нүктелерін анықтайық [7]

;

, , . (2. 2. 6)

I ₁₀ <S≤I ₁ кезінде жәй обьектілердің өзұқсастығын байқаймыз, ал I ₂₀ <S≤I ₂ кезінде ұқсастық коэффициенттері әр түрлі күрделі объектілердің өзаффинділігі байқалады, мұндағы I ₁₀ =0, 5, I ₂₀ =0, 618 экспонента бойынша жіктегендегі I ₁ , I ₂ нің бірінші жақындауы болып табылады [7] .

Өзқауымдастықтың бірінші шарты болып, жүйенің тепе-теңсіздігі мен біртексіздігі жатады. x(t) радиосигналының біртексіздігі аффинділікпен, яғни, х шамасымен t уақыттың әртүрлі өзгеруімен, сипатталады. Гельдер теңсіздігін қолданып, жалпыландырылған метрикалылық сипаттама екі айнымалы үшін былай жазуға болады:

, . (2. 2. 7)

Біз коэффициентімен қолданамыз [8] .

2. 3 Зерттеу нәтижелері

Жұмыста 1947-2007 жылдар аралығындағы және әрбір жекелеген айлар бойынша орын алған радиосәулелену ағындарындағы төменгі қуаттылық оқиғалары зерттеледі.

Радиосәулелену ағындары мультифракталдық және информациялық-энтропиялық талдау әдістерімен зерттелді. Әрбір ағын үшін сәйкес сигналадары алынып, фазалық суреттері тұрғызылды (1-3 суреттер), мультифракталдық спектрлер және мультифракталдық өлшемділік анықталды (4-6 суреттер), сондай-ақ жалпыландырылған метрикалық сипаттамалары мен Шеннон энтропиясы есептелді (8-10 суреттер) . Төмендегі суреттерде жоғарыда аталған сипаттамалардың сәйкес графиктері көрсетілген.

13 қатар :